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考研数学（数学三）模拟试卷367(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(ex2－1)sinx＝( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：极限函数为幂指函数，可用换底法求其极限．2．设f(x)在(a，b)内可微，且f(a)＝f(b)＝0，f′(a)＜0，f′(b)＜0，则方程f′(x)＝0在(a，b)内( )．A．没有实根B．有且仅有一个实根C．有且仅有两个不等实根D．至少有两个不等实根正确答案：D解析：利用极限的保号性及f′(a)＜0，f′(b)＜0．先证明存在一点c∈(a，b)，使f(c)＝0．于是f(x)有三个零点，两次使用罗尔定理便得到结论(D)成立．因利用极限的保号性，在a的右邻域内必存在点x1，使f(x1)＜0，其中a＜x1＜．同理由f′(b)＜0知，必存在一点x2，使f(x2)＞0，其中＜x2＜b．由连续函数的零点定理知，必存在C∈(x1，x2)(a，b)，使f(c)＝0．在闭区间[a，c]，[(c，b]上对f(x)分别使用罗尔定理可知，至少存在一点ξ1∈(a，C)使得f′(ξ1)＝0，至少存在一点ξ2∈(c，b)使f′(ξ2)一0．故方程f′(x)＝0在(a，b)内至少有两个不等实根，仅(D)入选．3．设f(x)有二阶连续导数，且(x0，f(x0))为曲线y＝f(x)的拐点，则＝( ) A．0B．1C．-1D．不存在正确答案：A解析：因f(x)有二阶连续导数，故可对左边的极限式两次使用洛必达法则，利用题设有f″(x0)＝0，从而所求极限的值即可得到．而点(x0，f(x0))为曲线的拐点，故f″(x0)＝0．仅(A)入选．4．设D＝｛(x，y)｜x2＋y2≤R2，R＞0｝，常数λ≠0，则积分(eλrcos θ－e－λrsinθ)rdr的值( )．A．为正B．为负C．为零D．λ＞0时为正，λ＜0时为负正确答案：C解析：化为直角坐标系下的二重积分，便于利用积分的对称性及被积分函数的奇偶性求解．原式＝(eλx一e－λy)dσ．因D关于y＝x对称，故e－λxd σ．又D关于Y轴对称，而eλx一e－λx为奇函数(自变量带相反符号的两同名函数之差为奇函数)，故(eλx一e－λx)dσ＝0，即(eλx一e－λx)dσ＝0．仅(C)入选．5．设A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若｜A｜＝a，则行列式等于( )．A．一anB．anC．(一1)n22anD．(一1)n22nan正确答案：D解析：利用行列式性质及｜A*｜＝｜A｜n－1求之．仅(D)入选．6．设A是三节矩阵，P是三阶可逆矩阵，已知P－1AP＝，且Aα1＝α1，Aα2＝α2，Aα3＝0，则p是( )．A．[α1，α1，α1＋α3]B．[α2，α3，α1]C．[2α1＋3α2，一8α2，4α3]D．[α1＋α2，α2＋α3，α3＋α1]正确答案：C解析：P的三个列向量是A的对直于特征值的特征向量，判别时要利用下述三条原则：(1)A的对于同一特征值的特征向量α1，α2的线性组合如kα1，k α1＋kα2仍是A的属于同一特征值的特征向量；(2)对于不同特征值的特征向量的线性组合(例如其和或其差)不再是A的特征向量；(3)P中特征向量的排列次序与对角阵中特征值的排列次序一致．利用上述原则即可判定正确的选项．解一(A)中α1＋α3不是A的特征向量，(D)中α2＋α3，α3＋α1，也不再是A的特征向量，(B)中特征向量与对角阵中特征值的排列不一致，故均不能充当P．仅(C)入选．解二因为α1、α2是λ＝1的特征向量，α3是λ＝0的特征向量，2α1＋3α2，一8α2仍是λ＝1的特征向量，4α3仍是λ＝0的特征向量，且其排列次序与对角阵中特征值的排列次序一致．仅(C)入选．7．设A，B为随机事件，P(A)＝0．7，P(A－B)＝0．3，则P()＝( )．A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7正确答案：C解析：先用事件的运算将，则所求概率归结为求P()＝1一P(AB)．利用全集分解有P(AB)＋P(A)＝P(AB)＋P(A—B)＝P(A)．仅(C)入选．＝1－(0．7－0．3)＝1—0．4＝0．6．8．设总体X服从正态分布N(0，σ2)(σ2已知)，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，S2为样本方差，则( )．A．～χ2(n)B．～χ2(n一1)C．～χ2(n)D．～χ2(n)正确答案：C解析：利用χ2分布的下述可加性求之．利用χ2分布的下述可加性求之．设Xi～χ2(mi)(i＝1，2，…，k)，X1，X2，…，Xk相互独立，则X1＋X2＋…＋Xk～χ2(m1＋m2＋…＋mk)．且与S2相互独立，由χ2分布的可加性得到～χ2(n)．仅(C)入选．填空题9．＝____________．正确答案：e2005解析：所求极限的函数为幂指函数，先用换底法将其化为以e为底的指数函数，再用等价无穷小代换：ln(1＋f(x))～f(x)(f(x)→0)求其极限．而＝5.401＝2005．故原式＝e2005．10．＝___________．正确答案：2.e2(π／4－1)解析：对n项乘积先取对数，产生因子1／n，再用定积分定义求之．令，在其两边取对数，得到再用定积分定义得到故原式＝2.e2(π／4－1)．11．设方程x2＝y2y确定y是x的函数，则dy＝___________．正确答案：解析：所给方程含幂指函数，先取对数或化为以e为底的指数函数求出y′即得dy．lnx2＝lny2y，即2lnx＝2ylny，两边求导得到 2.y′＝2y′lny＋2y′故y′＝．所以dy＝y′dx＝dx．12．e－x2dx＝___________．正确答案：解析：按题设积分次序求不出积，需换坐标系．为此先画出二重积分的区域．所给积分的积分区域用D表示．如下图所示．该积分改用极坐标系计算，得到13．已知A＝，矩阵B满足BA*＋2A－1＝B，其中A*是A的伴随矩阵，则｜B｜＝___________．正确答案：解析：矩阵方程中出现未知矩阵A*或A－1时，尤其是同时出现A*与A－1时，常在矩阵方程两边左乘或右乘矩阵A，利用A*A＝AA*＝｜A｜E 及A－1A＝AA－1＝E消掉A*与A－1，从而简化矩阵方程，在此基础上再提公因式使所求矩阵化为因子矩阵．在原方程两边右乘A，得到BA*A＋2A－1A＝BA．得｜A｜B＋2E＝3B＋2E＝BA亦即BA－3B＝2E，B(A－3E)＝2E，故｜B｜｜A一3E｜＝｜2E｜，｜B｜＝8，｜B｜＝14．已知随机变量Y的概率密度为随机变量Z＝的数学期望E(Z)＝___________．正确答案：解析：求E(Z)就是求随机变量Z的函数的期望，可用一般公式求之．计算时，尽量使用Γ函数的结果．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二（解答题）模拟试卷300(题后含答案及解析)题型有：1.1．求极限：．正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续2．设矩阵A=的特征值之和为1，特征值之积为-12(b＞0)．(1)求a、b的值；(2)求一个可逆矩阵P，使P-1AP=A为对角矩阵．正确答案：由λ1+λ2+λ3=a+2+(-2)=1，λ1λ2λ3=｜A｜=2(-2a-b2)=-12，解得a=1，b=2．P=，可使P-1AP=. 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量3．设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足，k＞1，证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)＝(1－ξ－1)f(ξ)．正确答案：作辅助函数为F(x)＝xe1－x f(x)．再利用积分中值定理和微分中值定理证明．涉及知识点：一元函数积分学4．设f(x)二阶连续可导，且f(0)=f’(0)=0，f’’(0)≠0，设u(x)为曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线在x轴上的截距，求正确答案：曲线y=f(x)在点(x，f(x))的切线为Y-f(x)=f’(x)(X-x)，涉及知识点：一元函数微分学5．设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得正确答案：令因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’ (ξ)=0．而φ’ (x)=解析：由知识模块：一元函数微分学6．设有向量组(I)：α1＝(1，0，2)T，α2＝(1，1，3)T，α1＝(1，－1，a ＋2)T和向量组(II)：β1＝(1，2，a＋3)T，β2＝(2，1，a＋6)T，β3＝(2，1，a ＋4)T．试问：当a为何值时，向量组(I)与(II)等价?当以为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)不等价?正确答案：当a≠＝1时，向量组(I)与(Ⅱ)等价；当a＝－1时，向量组(I)与(Ⅱ)不等价．涉及知识点：向量7．求正确答案：因为为奇函数，所以涉及知识点：一元函数积分学设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．8．证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；正确答案：S1(c)=cf(c)，S2(c)=，即证明S1(c)=S2(c)，或cf(f)+，φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得φ’(c)=0，即cf(c)+f(t)dt=0，所以S1(c)=S2(f)，命题得证. 涉及知识点：一元函数积分学9．设f(x)在(0，1)内可导，且f’(x)＞，证明(1)中的c是唯一的．正确答案：令h(x)=xf(x)-，因为h’(x)=2f(x)+xf’(x)＞0，所以h(x)在[0，1]上为单调函数，所以(1)中的c是唯一的．涉及知识点：一元函数积分学10．计算所围成．正确答案：涉及知识点：二重积分11．设z＝，求正确答案：涉及知识点：多元函数微分学12．求正确答案：涉及知识点：一元函数积分学13．设f(x，y)在单位圆x3+y2≤1上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，f(0，0)=2004，试求极限正确答案：2004 涉及知识点：高等数学14．设α1，α2，α3为四维列向量组，α1，α2线性无关，α3=3α1+2α2，A=(α1，α2，α3)，求Ax=0的一个基础解系．正确答案：方法一AX=0x1α1+x2α2+x3α3=0，由α3=3α1+2α2可得(x1+3x3)α1+(x2+2x3)α2=0，因为α1，α2线性无关，因此方法二由r(A)=2可知AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，而3α1+2α2-α3=0，因此ξ=为AX=0的一个基础解系．涉及知识点：线性方程组15．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学16．，求A的全部特征值，并证明A可以对角化．正确答案：令αTβ=k，则A2=kA，设AX=λX，则A2X=λ2X=kλX，即λ(λ-k)X=0，因为X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k．由λ1+…+λn=tr(A)且tr(A)=k得λ1=…=λn-1=0，λn=k．因为r(A)=1，所以方程组(0E-A)X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，即λ=0有n-1个线性无关的特征向量，故A可以对角化．涉及知识点：线性代数部分17．设矩阵，B=P—1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A 的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。
考研数学二（线性代数）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设n维行向量α=，A=E-αTα，B=E+2αTα，则AB为( )．A．OB．-EC．ED．E+αTα正确答案：C解析：由ααT=，得AB=(E-αTα)(E+2αTα)=E，选(C) 知识模块：线性代数部分2．设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=O，则( )．A．r(B)=nB．r(B)<nC．A2-B2=(A+B)(A-B)D．｜A｜=0正确答案：D解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)<n，于是｜A｜=0，选(D) 知识模块：线性代数部分3．设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，记向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βm；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γm，若向量组(Ⅲ)线性相关，则( )．A．(Ⅰ)，(Ⅱ)都线性相关B．(Ⅰ)线性相关C．(Ⅱ)线性相关D．(Ⅰ)，(Ⅱ)至少有一个线性相关正确答案：D解析：若α1，α2，…，αn线性无关，β1，β2，…，βn线性无关，则r(A)=n，r(B)=n，于是r(AB)=n．因为γ1，γ2，…，γm线性相关，所以r(AB)=r(γ1，γ2，…，γn)只有零解，而无解，故(A)不对；方程组有非零解，而无解，故(B)不对；方程组无解，但只有零解，故(C)不对；若Ax=b有无穷多个解，则r(A)=r()B．C．λ｜A｜D．λ｜A｜n-1正确答案：B解析：因为A可逆，所以λ≠0，令AX=λX，则A*AX=λA*X，从而有A*X=选(B) 知识模块：线性代数部分6．设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )．A．可逆矩阵B．实对称矩阵C．正定矩阵D．正交矩阵正确答案：B解析：因为A与对角阵合同，所以存在可逆矩阵P，使得pTAP=A，从而A=(pT)-1P-1=(p-1)TP-1，AT=[(P-1)TP-1]T=(P-1)TP-1=A，选(B) 知识模块：线性代数部分填空题7．设f(x)=，则x2项的系数为_______．正确答案：x解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．知识模块：线性代数部分8．设A是三阶矩阵，且｜A｜=4，则=_______正确答案：2解析：=｜2A-1｜=23｜A-1｜=2 知识模块：线性代数部分9．设A=，则(A-2E)-1=_______．正确答案：解析：A-2E= 知识模块：线性代数部分10．设，且α，β，γ两两正交，则a=_______，b=_______．正确答案：-4，-13解析：因为α，β，γ正交，所以，解得a=-4，b=-13．知识模块：线性代数部分11．设A=(a(C1，C2为任意常数)解析：因为AX=0有非零解，所以｜A｜=0，而｜A｜==-(a+4)(a-6)且a(C1，C2为任意常数)．知识模块：线性代数部分12．设A为三阶矩阵，A的各行元素之和为4，则A有特征值_______，对应的特征向量为_______正确答案：4，解析：因为A的各行元素之和为4，所以，于是A有特征值4，对应的特征向量为知识模块：线性代数部分13．设5x12+x22+tx3x2+4x1x2-2x1x3-2x2x3为正定二次型，则t的取值范围是_______．正确答案：t>2解析：二次型的矩阵为A=，因为二次型为正定二次型，所以有5>0，=1>0，｜A｜>0，解得t>2．知识模块：线性代数部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二（选择题）模拟试卷100(题后含答案及解析)题型有：1.1．下列关于向量组线性相关性的说法正确的个数为( )①若α1，α2，…，αn线性相关，则存在全不为零的常数k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0。
②如果α1，α2，…，αn线性无关，则对任意不全为零的常数k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn≠0。
③如果α1，α2，…，αn线性无关，则由k1α1+k2α2+…+knαn=0可以推出k1=k2=…kn=0。
④如果α1，α2，…，αn线性相关，则对任意不全为零的常数k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn=0。
A．1。
B．2。
C．3。
D．4。
正确答案：B解析：对于①，线性相关的定义是：存在不全为零的常数k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0。
不全为零与全不为零不等价，故①错。
②和③都是向量组线性无关的等价描述，正确。
对于④，线性相关性只是强调不全为零的常数k1，k2，…，kn的存在性，并不一定要对任意不全为零的k1，k2，…，kn都满足k1α1+k2α2+…+knαn=0，故④错误。
事实上，当且仅当α1，α2，…，αn全为零向量时，才能满足对任意不全为零的常数k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn=0。
综上所述，正确的只有两个，故选B。
知识模块：向量2．已知四维向量组α1，α2，α3，α4线性无关，且向量β1=α1+α3+α4，β2=α2一α4，β3=α3+α4，β4=α2+α3，β5=2α1+α2+α3。
则r(β1，β2，β3，β4，β5)=( )A．1。
B．2。
C．3。
D．4。
正确答案：C解析：将表示关系合并成矩阵形式有(β1，β2，β3，β4，β5)=(α1，α2，α3，α4)(α1，α2，α3，α4)C。
因四个四维向量α1，α2，α3，α4线性无关，故｜α1，α2，α3，α4｜≠0，即A=(α1，α2，α3，α4)是可逆矩阵。
2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1．1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭曲线的渐近线方程为（ ）。
A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e 〖答案〗B〖解析〗1ln 11lim lim lim ln 1,1x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e ．2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（ ）。
A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩〖答案〗D〖解析〗当x ≤0时，()(1d ln f x x x C ==+⎰当x ＞0时，()()()()()2d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x xx x x x x x x x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x ＝0处(110lim ln x x C C -→++=，()220lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+ 所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故())()ln 1,0d 1sin cos ,0x C x f x x x x x C x ⎧++≤⎪=⎨⎪+++>⎩⎰，综合选项，令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩.3．设数列{x n }，{y n }满足x 1＝y 1＝1/2，x n ＋1＝sinx n ，y n ＋1＝y n 2，当n →∞时（ ）。
2024年考研数学二模拟卷2024年考研数学二模拟卷指的是在2024年全国硕士研究生招生考试中，用于模拟测试考生数学二科目知识掌握程度的试卷。
这种试卷通常由填空题、计算题等题型组成，涵盖了数学二所要求的知识点，难度和题型与正式考试相仿。
以下是两道示例的2024年考研数学二模拟卷的选择题和一道填空题：计算题：1.题目：已知函数 f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 在 x = 1 和 x = -1 时取极值，且 f(-2) = -4。
(1) 求 a、b 的值；(2) 求 f(x) 的单调区间。
答案：(1) a = 1，b = -3；(2) 单调递增区间为 (-∞，-1) 和 (1，+∞)，单调递减区间为 (-1，1)。
判断题：1.题目：已知函数 f(x) = x^2 + 2x + m 在区间 [-3, 3] 上的最小值为 -3。
(1) 求 m 的值；(2) 求 f(x) 在区间 [-3, 3] 上的最大值。
答案：(1) m = -6；(2) 最大值为 15。
填空题：1.题目：已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 在区间 [0, a] 上有最大值 4，则 a的取值范围是 ___。
答案：a > 2 或 0 < a < 1总结：2024年考研数学二模拟卷指的是在2024年全国硕士研究生招生考试中，用于模拟测试考生数学二科目知识掌握程度的试卷。
这种试卷通常由选择题、填空题、计算题等题型组成，难度和题型与正式考试相仿。
通过做模拟卷可以帮助考生熟悉考试形式和题型，检查自己的知识掌握程度，提高解题技巧和应试能力。
考研数学模拟试卷（数学二）（附答案，详解）一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设()f x 在(,)-∞+∞内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（ ）. （A ）sin ()f x '（B ）sin ()x t f t dt ⋅⎰（C ）(sin )x f t dt ⎰（D ）[sin ()]x t f t dt +⎰2.设111e ,0,()1e 1,0,x xx f x x ⎧+⎪≠⎪=⎨-⎪⎪=⎩ 则0x =是()f x 的（ ）.（A ）可去间断点（B ）跳跃间断点（C ）第二类间断点（D ）连续点 3.若函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内可导，且()()f x g x <，则必有（ ）. （A ）()()f x g x ->- （B ）()()f x g x ''< （C ）0lim ()lim ()x x x x f x g x →→< （D ）()()x xf t dtg t dt <⎰⎰4.设()f x 是奇函数，除0=x 外处处连续，0=x 是其第一类间断点，则⎰xdt t f 0)(是（ ）.（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数（C ）在0=x 间断的奇函数 （D ）在0=x 间断的偶函数. 5.函数x x x x x f ---=32)2()(不可导点有（ ）. （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个.6.若)(),()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在)0,(-∞内0)('>x f ，0)(''<x f ，则()f x 在),0(+∞内 有（ ）.（A ）0)('>x f ，0)(''<x f （B ）0)('>x f ，0)(''>x f（C ）0)('<x f ，0)(''<x f （D ）0)('<x f ，0)(''>x f7. 设A 为4阶实对称矩阵，且2A A O +=.若A 的秩为3，则A 相似于（ ）.(A) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 1110⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(C) 1110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(D) 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 8.设3阶方阵A 的特征值是1,2,3，它们所对应的特征向量依次为123,,ααα，令312(3,,2)P ααα=，则1P AP -=（ ）.（A ）900010004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）300010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）100020003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）100040009⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上） 9. 设()f x 二阶可导，2)0(",1)0(',0)0(===f f f ，则2()limx f x xx→-= . 10.微分方程(e 1)1xy y -'+-=的通解为 . 11.曲线xx xx y cos 25sin 4-+=的水平渐近线为 .12. 设()f x 是连续函数，且1()2()f x x f t dt =+⎰，则()f x = .13.若0sin lim(cos )5x x xx b e a→-=-，则=a ，=b .14.设A 为n 阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组0Ax =的通解为 . 三、解答题（本题共9小题，满分94分。
[考研类试卷]考研数学（数学二）模拟试卷356
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设a1，a2，a3是4元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且秩(A)=3，a1=(1，2，3，4)T，a2+a3=(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解
x=
2
3
4
5 设f(x)在(一∞，+∞)内连续且严格单调增加，f(0)=0，常数n为正奇数，并设
则正确的是( )
（A）F(x)在(一∞，0)内严格单调增加，在(0，+∞)内也严格单调增加．（B）F(x)在(一∞，0)内严格单调增加，在(0，+∞)内严格单调减少．
（C）F(x)在(一∞，0)内严格单调减少，在(0，+∞)内严格单调增加．
（D）F(x)在(一∞，0)内严格单调减少，在(0，+∞)内也严格单调减少．
6 当x→∞时，若，则a，b，c的值一定是[ ]．
（A）a＝0，b＝1，c＝1
（B）a＝0，b＝1，c为任意常数
（C）a＝0，b，c为任意常数
（D）a，b，c均为任意常数
7
8
（A）  （B）  （C）  （D）  二、填空题9
10
11
12
13
14
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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17
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19
20 设(2E—C－1B)A T＝C－1，其中E是4阶单位矩阵，A T是4阶矩阵A的转置矩阵，，求A．
21 设，A＝αβT，B＝βTα，其中βT是β的转置，求解方程 2B2A2x＝A4x＋B4x＋γ．
22
23。
模拟试卷(一)一、选择题下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．若为______．A．0 B．6 C．36 D．∞2．等于______．3．设函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，则f(x)dx等于_____．A．f(x) B．f(x)dx C．f(x)+C D．f'(x)dx4．设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x-y)+(t)dt，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有______．5．记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为______．A．1 B．2 C．3 D．46．设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为______．7．设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示．则对任意常数k，必有______．A．α1，α2，α1，kβ1+β2线性无关 B．α1，α2，α1，kβ1+β2线性相关C．α1，α2，α1，β1+kβ2线性无关 D．α1，α2，α1，β1+kβ2线性相关8．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是______．A．α1-α2，α2-α3，α3-α2B．α1+α2，α2+α3，α3+α1C．α1-2α2，α2-2α3，α3-2α1D．α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1二、填空题9．设函数f(x)=则函数f[f(x)]=______．10．下列两个积分的大小关系是：11．已知曲线y=f(x)过点(0，-)，且其上任一点(x，y)处的切线斜率为xln(1+x2)，则f(x)=______．12．设3阶方阵A，B满足A2B-A-B=E，其中E为3阶单位矩阵，若A=则|B|=______．13．设A=，E为4阶单位矩阵，且B=(E+A)-1(E-A)，则(E+B)-1=______．14．矩阵的非零特征值是______．三、解答题：15．求16．计算17．如图所示，设曲线L的方程为y=f(x)，且y"＞0．又MT，MP分别为该曲线在点M(x0，y)处的切线和法线．已知线段MP的长度为(其中y 0=y(x))，试推导出点P(ξ，η)的坐标表达式．18．已知函数f(u)具有二阶导数，且f'(0)=1，函数y=y(x)由方程y-xe y-1=1所确定．设z=f(lny-sinx)，求<wt>19．计算二重积分|x2+y2-1|dσ，其中：D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．20．已知A=，且A2=AB=I，其中I是3阶单位矩阵，求矩阵B．21．设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(-2，-6，10，p)T．(1)p为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量α=(4，1，6，10)T用α1，α2，α3，α4线性表出．(2)p为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组．22．已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．23．若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使P-1AP=A．参考答案与解析一、选择题1．[考点提示] 麦克劳林展开式、洛必达法则．[解题分析] 由于题设未给出关于f(x)的更多性质，故不应直接对原式应用洛必达法则，可将sin6x展成麦克劳林级数，即当x→0时，sin6x=6x-(6x)3+o(x3)=6x*36x3+o(x3)，因此所以选C．或者：所以2．[考点提示] 定积分的定义．[解题分析] 本题考查定积分的定义，即函数求和取极限的形式．则将[1，2]等分为n个小区间，间隔为在小区间右端点上函数f(x)=lnx的值为ln，由定积分定义知，选B．3．[考点提示] 微分与积分关系．[解题分析] 利用微分与积分关系即可．[详解] 因故应选B．4．[考点提示] 二阶导数．[解题分析] 由题设可得因为所以选B．5．[考点提示] 行列式．[解题分析] 由题设，利用行列式的性质，由第2，3，4各列减第1列，并将第2列加到第4列上，得则由此不难求得x=0和zx=1是f(x)=0的两个根，所以选B．6．[考点提示] 矩阵的初等变换、初等矩阵．[解题分析] 由题设，由A到B的过程相当于A右乘初等矩阵B 到C的过程相当于B右乘初等矩阵所以选D．7．[考点提示] 线性相关与线性无关．[解题分析] 由题设，β1可由α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，β1线性相关，在C中取k=0，则可看出C不正确．又由β2不能由α1，α2，α3线性表示且α1，α2，α3线性无关，知α1，α2，α3，β2线性无关，在B中取k=0，可看出B不正确．关于A，矩阵(α1，α2，α3，kβ1+β2)可通过初等列变换化为(α1，α2，α3，β2)，则该矩阵秩为4，所以α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关，所以A正确．关于D，同样可将矩阵(α1，α2，α3，β1+kβ2)化为(α1，α2，α3,kβ2)，当k=0时，矩阵的秩为3，则α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关．当k≠0时矩阵秩为4，此时α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关．所以D不正确．综上，应选A．8．[考点提示] 向量组的相关性．[解题分析] 很显然A选项的向量组(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α1)=0，即线性相关，故应选A．二、填空题9．[考点提示] 复合函数的定义．[解题分析] 直接按复合函数的定义计算即可，注意|f(x)|≤1．[详解] 由f(x)=知|f(x)|≤1，因此有f[f(x)]=1．[评注] 已知f(x)和g(x)，求复合函数f[g(x)](或g[f(x)])，一般用代入法逐次复合即可，应特别注意的是g(x)的值域与f(x)的定义域的对应关系．10．[考点提示] 定积分性质．[解题分析] 先比较区间上两个被积分函数的大小，再利用定积分的性质得到答案．[详解] 因为y=e x在实数域内严格单调增加．又在区间[-2，-1]上有1≤-x3≤8，-8≤x3≤-1，所以在区间[-2，-1]上由定积分的性质知[评注] 本题考查定积分的比较性质．11．[考点提示] 导数的几何意义．[解题分析] 由导数的几何意义建立一阶微分方程，求解方程即得曲线方程，[详解] 由已知，得y'=xln(1+x2)，于是代入条件：y(0)=，得C=-所以f(x)=(1+x2)[ln(1+x2)-1]．12．[考点提示] 行列式、矩阵方程．[解题分析] 由题设所给方程A2B-A-B=E，得(A2-E)B=A+E，即 (A+E)(A-E)B=A+E．又由已知则且|A+E|=3·(4+2)=18≠0．又A-E=且|A-E|+2≠0，于是B=(A-E)-1(A+E)-1(A+E)=(A-E)-1．因此|B|=13．[考点提示] 矩阵运算．[解题分析] 由已知B=(E+A)-1(E-A)．则 (E+A)B=E-A，即 B+AB+A+E=2E，即 B+E+A(B+E)=2E，从而 (E+A)(B+E)=2E，因此14．[考点提示] 矩阵的特征值．[解题分析] 由题设，由|A-λE|=0可得出矩阵的特征值，即解得λ1=0，λ2=0，λ3=4，所以非零特征值为4．三、解答题15．[考点提示] 三角函数求极限．[解题分析][详解1][详解2]16．[考点提示] 分部积分法．[解题分析] 被积函数为对数函数与幂函数的乘积，因此采用分部积分法，将对数函数看作u．17．[考点提示] 曲线的切线、法线．[解题分析] 按题意，要求用x0，y及y'，y"等表示P点的坐标，必须列出两个关于未知量ξ，η的方程，由于MT，MP分别是f(x)在M(x0，y)点处的切线和法线，根据导数的几何意义及切线与法线的斜率之间的关系可列出一个方程．另外，由M点和P点之间的距离公式可列出另一个方程．[详解] 由题设得又PM⊥MT，所以由①、②解得由于y"＞0，曲线L是凹的，故y-η＜0，从而又于是得[评注] 由题设知，实际上是曲线在M点的曲率半径，因而本题实际上是考查曲率中心P的坐标的推导．如果对教材中相应的内容掌握得比较好，解答此类问题应该没有什么困难．18．[考点提示] 隐函数的求导．[解题分析]在y-xe y-1=1中，令x=0，得y=1．由y-xe y-1=1，两边对x求导，得y'-e y-1-xe y-1y'=0．再对x求导，得y"-e y-1y'-e y-1y'-xe y-1y'2-xe y-1y"=0．将x=0，y=1代入上面两式得y'(0)=1，y"(0)=2，故19．[考点提示] 二重积分．[解题分析] 此题用分块积分法，如下图所示．在D中：用分块积分法得而所以作极坐标变换求I：1又故20．[考点提示] 矩阵运算．[解题分析] 由题设，可知因而A可逆，由A2-AB=I，A2-I=AB，即A-A-1=B，不难求得因此21．[考点提示] 向量组线性相关与无关、线性方程组．[解题分析] 由题设，向量组α1，α2，α3，α4线性无关等价于矩阵A=(α1，α2，α3，α4)的行列式|A|≠0，即即p≠2时，向量组α1，α2，α3，α4线性无关，此时α用α1，α2，α3，α4线性表示，等价于方程组Ax=α，将相应的增广矩阵化为行简化阶梯形为：所以因此当p=2时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关．此时向量组的秩等于3，α1，α2，α3(或α1，α3，α4)为其一个极大线性无关组．22．[考点提示] 线性无关、线性相关、基础解系．[解题分析] 由题设，先确定方程组Ax=β的系数矩阵的秩r(A)，由已知α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，则r(A)=3，则原方程组Ax=β相应的齐次方程组Ax=0的基础解系所含向量个数应为4-r(A)=4-3=1．又由已知，β可由α1，α2，α3，α4线性表示，则原方程组Ax=β的增广矩阵(α1，α2，α3，α4，β)的秩也等于3，从而可知Ax=β有无穷多解．由α1-2α2+α3=0，知当x=(1，-2，1，0)T时，即x是Ax=0的一个基础解系．而由β=α1+α2+α3+α4知，当x=(1，1，1，1)T时，即X=(1，1，1，1)t是Ax=β的一个特解．综上可知，Ax=β的通解为：其中C是任意常数．注本题也可直接求解Ax=β，即今x=，则Ax=β将α1=2α2-α3及β=α1+α2+α3+α4，代入上式，得(2x1+x2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4-1)α4=0．由题设α2，α3，α4线性无关，从而此方程的增广矩阵为通过初等行变换化为行简化阶梯形由此知该方程组对应的齐次方程组的基础解系为，特解为，因此该方程组(也即原方程组)的通解为：其中C为任意常数．23．[考点提示] 相似矩阵、对角化．[解题分析] 由题设，先求矩阵A的特征值，设E为3阶单位矩阵，则由可得λ1=6，λ2=6，λ3=-2．欲使A相似于对角阵Λ，应使λ1=λ2=6对应两个线性无关的特征向量，因此A-6E的秩为1，于是可得出a=0，从而下面求特征向量：当λ1=λ2=6时，由(A-6E)x=0，可得出两个线性无关的特征向量为：ξ1=(0，0，1)T，ξ2=(1，2，0)T．当λ3=-2时，由(A+2E)x=0，可得ξ3=(1，-2，0)T．于是且P-1存在，并有P-1AP=A，其中：。
