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高中数学第2章平面向量23向量的坐标表示达标训练苏教版必修4

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高中数学 第2章 平面向量 2.3 向量的坐标表示达标训练 苏教版必修4基础·巩固 1.设a =(-1，1)，b =(-1,2),c =(3,-2),用a 、b 作基底，可将向量c 表示为c =p a +q b ,则( ) A.p=-4,q=1 B.p=1,q=-4 C.p=0,q=4 D.p=1,q=4 思路解析：由(3，-2)=p(-1,1)+q(-1,2)=(-p-q,p+2q)，所以⎩⎨⎧=+=-2.2q p 3,q -p -解得p=-4,q=1.答案：A 2.设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(-2，0)、(4，1)、(5，3)、(-1，2)，则四边形ABCD 为( ) A.正方形 B.梯形 C.菱形 D.平行四边形 思路解析：如右图所示,=(-1,2)-(-2,0)=(1,2),=(5,3)-(4,1)=(1,2),∴=.由平面上两点间距离公式可得AB≠AD, ∴四边形为平行四边形. 答案：D 3.若a =(sin α，-31),b =(cos α,31)且a ∥b ,则钝角α为( ) A.30° B.60° C.45° D.135° 思路解析：由a ∥b ,∴31×sin α+31×cos α=0, 即sin α+cos α=0.∴tan α=-1.又∵α为钝角,∴α=135°. 答案：D4.若O(0，0)，B(1，3)，且OB OB 3'=，则B′点的坐标为( )A.(3,9)B.(-3,9)C.(-3,3)D.(3,-3) 思路解析：由于点B 坐标为(1，3)，则OB =(1，3)，则OB OB 3'==3×(1，3)=(3，9). 答案：A5.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP =+λ||||AC AB +，λ∈［0，+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心 思路解析：都为单位向量，所以λ+平分与的夹角,如右图所示,即平分∠A,即通过△ABC 的内心.答案：B6.已知边长为2的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB 、AD 分别落在x 轴、y 轴的正方向上，则向量AC BC AB ++32的坐标为_____________________. 思路解析：根据题意建立坐标系如图,则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2). ∴=(2，0)，=(0，2)，=(2，2).∴++32=(4，0)+(0，6)+(2，2)=(6，8).答案：(6，8)7.已知a =(6,4),b =(4,-2),若λa +b 与a +λb (λ∈R )平行，则λ=_________________. 思路解析：λa +b =λ(6,4)+(4,-2)=(6λ+4,4λ-2), a +λb =(6,4)+λ(4,-2)=(6+4λ,4-2λ). ∵(λa +b )∥(a +λb ),∴(6λ+4)(4-2λ)-(6+4λ)(4λ-2)=0,即7λ2=7.∴λ=1或-1. 答案：1或-18.D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的中点，且=a ，=b ,给出下列命题：①AD =-21a -b ；②BE =a +21b ；③=21a +21b ；④++=0. 其中正确命题的序号为_______________________.思路解析：如右图所示，+==-b +21=-b -21a ， CE BC BE +==a +21b ，+==-b -a , =+21=b +21(-b -a )=21b -21a ， ++=-b -21a +a +21b +21b -21a =0.所以应填①②④.答案：①②④9.已知A(1，2),B(4，8),AB AC 3=，BA DA 3-=,求点C 、D 和向量CD 的坐标. 思路分析：可利用某点的坐标与从原点出发的向量一一对应求解. 解：∵AB =(4，8)-(1，2)=(3，6), ∴3==(9，18).∴+==(1，2)+(9，18)=(10，20), 即C 点坐标为(10，20).又3-==-3(-3，-6)=(9，18),∴-==(1，2)-(9，18)=(-8，-16), 即D 点坐标为(-8，-16).=(-8，-16)-(10，20)=(-18，-36).10.已知：A(1,-2)，B(2,1)，C(3,2)，D(-2,3). (1)求证：A 、B 、C 三点不共线；(2)以、为一组基底来表示++. 思路分析：利用向量的坐标运算及两向量平行的充要条件.(1)证明：∵AB =(1,3),AC =(2,4),又∵1×4-3×2≠0. ∴与不共线. ∴A、B 、C 三点不共线.(2)解：CD BD AD ++=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8). 设n m +=++， 即(-12,8)=(m+2n,3m+4n). ∴⎩⎨⎧+=+=4n 3m 82n m 12-⇒⎩⎨⎧==-22.n 32,m ∴2232-=++. 综合·应用11.已知梯形ABCD 中，AB∥CD，且AB=2CD ，M 、N 分别为CD 、AB 的中点，设=e 1，=e 2，以e 1、e 2为基底表示MN 是( ) A.-41e 1+e 2 B.41e 1-e 2 C.e 1-41e 2 D.e 1+41e 2 思路解析：把所求向量放入与基底相关的三角形或平行四边形中，构造向量关系式求解. 如右图，)(AD AN MD DN MD MN -+=+=.由于AB∥CD，且AB=2CD ，M 、N 分别为CD 、AB 的中点，则=-41=-41e 1，=21=21e 1. 所以)(-+==-41e 1+21e 1-e 2=41e 1-e 2.答案：B12.已知向量a =(2，2)，b =(2，-2)，c =(-2，4)，则c 等于( ) A.-21a +23b B.21a -23b C.23a -21b D.-23a +21b 思路解析：可设c =x a +y b ，再利用向量相等建立方程解之即可. 设c =x a +y b ，则有(-2,4)=x(2,2)+y(2,-2)=(2x+2y,2x-2y)，即⎩⎨⎧=--=+.2,1y x y x 解之,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==,23,21y x答案：B13.已知A(3，-1)，B(5，4)，向量p 的坐标为(2k-1,7)，当p ∥时，k 的值是( ) A.-109 B.109 C.-1019 D.1019 思路解析：求出的坐标，利用向量平行的坐标表示列出方程组求解即可.=(5，4)-(3，-1)=(2，5)，又p =(2k-1,7)，且p ∥，则有2×7-(2k-1)×5=0，解得k=1019. 答案：D14.若向量a =(-1,x)与b =(-x,1)共线且方向相同，则x 的值为______________. 思路解析：∵a =(-1,x)与b =(-x,1)共线,∴(-1)×1-x·(-x)=0,即x 2=1. ∴x=±1.∵a 与b 方向相同, ∴x=1. 答案：115.如图，在△ABC 中，=a ,=b ,AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量=_______________.思路解析：方法一：∵=a ，=b ，则=21=21b .∴+==a +21b .而=32AD , ∴AG =32a +31b . 方法二：过G 作BC 的平行线，交AB 、AC 于E 、F.∵△AEF∽△ABC,AE =32AD =32a ，EF =32BC =32b ，EG =21EF =31b ,∴+==32a +31b . 答案：32a +31b 16.已知向量集合M={a |a =(1,2)+λ(3,4),λ∈R }，N={a |a =(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R }，则M∩N=______.思路解析：利用M∩N 的元素特殊，列出方程组求解.M={a |a =(1+3λ,2+4λ),λ∈R }，N={a |a =(-2+4λ,-2+5λ),λ∈R }， M∩N 的元素既在M 内又在N 内，故可设 (1+3x,2+4x)=(-2+4y,-2+5y),x 、y∈R ，即⎩⎨⎧+=++=+5y.-24x 24y,-23x 1解得⎩⎨⎧==0.y -1,x所以M∩N={(-2,2)}.答案：{(-2,2)}17.证明三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍. 思路分析：利用向量的方法证明平面几何问题. 证明：设=b ，=a ，则+==b +21a,+==21b +a .∵A、G 、D 共线，B 、G 、E 共线, ∴可设=λ，=μ,则=λ=λ(b +21a )=λb +21λa , =μ=μ(21b +a )=21μb +μa ,∵=+,即21b +(21μb +μa )=λb +21λa ,∴(μ-21λ)a +(21μ-λ+21)b =0.∵a ，b 不平行，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-02121021λμλμ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3132μλ⇒=32,即三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.回顾·展望18.(2006全国高考)已知向量a=(4,2),b=(x,3),且a∥b，则x等于( )A.9B.6C.5D.3思路解析：由于a=(4,2),b=(x,3)，则若a∥b，应有4×3-2x=0，即x=6.答案：B19.(2006山东高考)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2)，若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( )A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)思路解析：设d=(x,y)，则由已知可得4a+4b-2c+2(a-c)+d=0，即(4，-12)+(-8，16)-(-2，-4)+(4，-2)+(x,y)=(0，0).解得x=-2,y=-6.答案：D。

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高中数学 第2章 平面向量 2.3 向量的坐标表示课后导练

高中数学 第2章 平面向量 2.3 向量的坐标表示课后导练

高中数学 第2章 平面向量 2.3 向量的坐标表示课后导练 苏教版必修4基础达标1.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）A.e 1=(0,0),e 2=(1,-2)B.e 1=(-1,2),e 2=(5,7)C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)D.e 1=(2,-3),e 2=(21,-43)解析：e 1与e 2应非0且不共线，只有B 适合.答案：B2.已知a =(-1,3),b =(-1,x),且a ∥b ，则x 等于（ ） A.3 B.-31 C.31D.-3解析：由a ∥b ，得-x=-1×3,x=3.答案：A3.下列各式正确的是（ ）A.a =(-2,4) b =(5,2) 则a +b =(3,6)B.a =(5,2) b =(2,4) 则a -b =(-3,2)C.a =(1,0) b =(0,1) 则a +b =(0,1)D.a =(1,1) b =(1,2) 则2a +3b =(4,8) 解析：用向量坐标运算的法则来解，逐一计算，只有A 正确.答案：A4.已知A （1,-3）,B(8, 21)且A 、B 、C 三点共线，则C 点的坐标是（ ）A.（-9，1）B.（9，-1）C.（9，1）D.（-9，-1） 解析：设C(x,y)，则=(7,27),=(x-1,y+3).∵A、B 、C 三点共线， ∴AB∥, ∴7(y+3)=27(x-1),7x-14y-49=0.只有C 满足.答案：C5.设a =（31，t a nα）,b =(cosα, 23),且a ∥b ，则锐角α的值为（ ）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π解析：∵a ∥b ,∴31×23-t a nα·cosα=0，即sinα=21,α=6π.答案：B6.若A 点的坐标为A （1，2），O 为原点，且'OA =2OA ，则A′点的坐标（ ）A.（1，4）B.（2，2）C.（2，4）D.（4，2）解析：设A （x,y ）.由（x,y ）=2(1,2),得x=2,y=4.答案：C7.若|a |=32,b =(-1,3)，且a ∥b ,则a =____________.解析：设a =(x,y)，则⎩⎨⎧=+=+,03,1222y x y x 解出x,y. 答案：(530,3053-)或（-530,3053） 8.已知点A 、B 、C 的坐标分别是（2，-4）、（0，6）、（-8，10），则+2BC =___________，-21=_________________. 解析：=（-2，10），=（-8，4），∴+2=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18),用同样方法得-21=(-3,-3). 答案：（-18,18） (-3,-3)9.已知向量a =(3,-2),b =(-2,1),c =(7,-4).试用a 和b 来表示c .解：设c =λ1a +λ2b .将已知坐标代入有(7,-4)=λ1(3,-2)+λ2(-2,1)=(3λ1-2λ2，-2λ1+λ2).故⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-=+-=-3.2,1,42,72212121λλλλλλ 故c =a -2b .10.已知向量a =(5,2),b =(x 2+y 2,xy),且a =b ,求x,y 的值.解：根据两向量相等的充要条件是它们的对应坐标相等,)2()1(2522⎩⎨⎧==+xy y x ①+②×2得（x+y ）2=9,①-②×2得（x-y ）2=1,可有⎩⎨⎧±=-±=+,1,3y x y x解得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.1,2,2,1,2,1,1,2y x y x y x y x 综合运用11.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（-1，0）、（3，0）、（1，-5），则第四个顶点的坐标为（ ）A.（1，5）或（5，-5）B.（1，5）或（-3，-5）C.（5，-5）或（-3，-5）D.（1，5）或（5，-5）或（-3，-5） 解析：设出第四个顶点坐标（x,y ），根据点写出向量坐标，再用向量相等求出. 答案：D12.已知向量e 1≠0，λ∈R，a =e 1+λe 2,b =2e 1.若a 与b 共线，则下列关系中一定成立的是（ ）A.λ=0B.e 2=0C.e 1∥e 2D.e 1∥e 2或λ=0 解析：若e 1与e 2共线.当e 1与e 2同向时，a =e 1(1+λ1)=211λ+·b ，满足题意；当e 1与e 2反向时，a =(1-λ2)e 1=b 211λ-，满足题意. 若e 1与e 2不共线.由a ∥b ，可知，λ=0.答案：D13.设①AB =22(a +5b ) ②BC =-2a +8b ③CD =3(a -b )，则共线的三点是（ ） A.A 、B 、C B.B 、C 、D C.A 、B 、D D.A 、C 、D 解析：=-2a +8b , =3a -3b , ∴=BC +CD =a +5b . 从而=22. 答案：C14.(2004上海高考)已知点A （1，-2），若向量AB 与a =（2，3）同向，|AB |=132，则点B 的坐标为__________________.解析：设=（x,y ）,因与a 同向，∴=λa (λ>0),即（x,y ）=λ(2,3)， ∴⎩⎨⎧==,3,2λλy x 又||=132，∴x 2+y 2=52.∴4λ2+9λ2=52,λ=2(λ>0).即=（4，6）. ∴点B 的坐标为（5，4）.答案：（5，4）15.已知a =(1,2),b =(-3,2).当k 为何值时，k a +b 与a -3b 平行？平行时，它们是同向还是反向？解：k a +b =k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a -3b =(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).当k a +b 与a -3b 平行时，存在唯一实数λ,使k a +b =λ(a -3b ).于是(k-3,2k+2)=λ(10,-4),∴⎩⎨⎧-=+=-.422,103λλk k解得k=-31,λ=-31. 故k=-31时，k a +b 与a +3b 平行. 这时k a +b =-31a +b ， ∵λ=-31＜0， ∴-31a +b 与a -3b 反向. 拓展探究 16.已知△ABC 的面积为14 c m 2,D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且AD ∶DB =BE∶EC=2∶1，求△APC 的面积.思路分析：据题目所给的比例关系解出△PAB，与△PBC 的面积，再相减得到所求. 解：设=a , =b .则=a +32b , =31a +b . ∵点A 、P 、E 与D 、P 、C 分别共线，∴存在λ和μ，使得AP =λAE =λa +32λb , =μ=31μa +μb . 又∵=+=(32+31μ)a +μb , ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.74,7632,3132μλμλμλ∴S △PAB =74S △ABC =14×74=8 c m 2. ∴S △PBC =14×(1-76)=2 c m 2. 故S △APC =14-8-2=4 c m 2.。

苏教版必修四第二章平面向量第三讲向量的坐标表示2平面向量的坐标运算(习题+解析)

苏教版必修四第二章平面向量第三讲向量的坐标表示2平面向量的坐标运算(习题+解析)

高中平面向量的坐标运算数学（答题时间： 40 分钟）1.以下说法中正确的有 ________。

（1）向量的坐标即此向量终点的坐标；（2）地点不一样的向量其坐标可能同样；（3）一个向量的坐标等于它的起点坐标减去它的终点坐标；（4）相等的向量坐标必定同样。

2.已知 a＝（－ 1， x）与 b＝（－ x，2）共线，且方向同样，则实数x＝ ________。

*3.（连云港高一检测）已知点M（ 3，－ 2）， N（－ 6， 1），且MP＝ 2 PN，则点 P 的坐标为 ________。

*4.设 m＝（ a， b），n ＝（ c， d），规定两向量之间的一个运算为m? n ＝（ ac－ bd，ad＋bc），若已知 p＝（ 1， 2）， p? q＝（－ 4，－ 3），则 q＝ ________。

5.以下说法正确的有 ______________。

（1）存在向量 a 与任何向量都是平行向量；（ 2）假如向量 a＝（ x1 122x1x2；， y ）， b＝（ x， y），且 a∥ b，则y2y1（ 3）假如向量a＝（ x1， y1）， b＝（ x2， y2），且 a∥ b，则 x1y2－ x2y1＝ 0；（ 4）假如向量 a＝（ x1 122x1x2， y）， b＝（ x， y），且，则 a∥ b。

y1y2a6.已知向量 m＝（2，3），n＝（－ 1，2），若 am＋ bn 与 m－ 2n 共线，则等于 ________。

b **7.已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），设 AB ＝a， BC ＝b， CA ＝c，且 CM ＝3c， CN ＝－2b，（ 1）求 3a＋ b－ 3c；（ 2）求知足 a＝ mb＋ nc 的实数 m，n；（ 3）求 M， N 的坐标及向量MN 的坐标。

**8.已知O（0，0），A（1，2），B（4，5）及OP＝OA＋t AB，求：（ 1）t 为什么值时， P 在 x 轴上？ P 在 y 轴上？ P 在第二象限？（ 2）四边形 OABP 可否为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不可以，请说明原因。

高中数学 第2章 平面向量 2.2 向量的线性运算达标训练 苏教版必修4(2021年整理)

高中数学 第2章 平面向量 2.2 向量的线性运算达标训练 苏教版必修4(2021年整理)

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高中数学 第2章 平面向量 2.2 向量的线性运算达标训练 苏教版必修4基础·巩固1.AB 可以写成：①BO AO +;②BO AO -；③OB OA -;④OA OB -.其中正确的是（ ） A 。

①② B.②③ C.③④ D.①④思路解析:向量加法的三角形法首尾顺次连接，而从同一点出发的两个向量的差与连接两个向量的终点且指向被减数的向量对应。

答案：D2.下列命题中，真命题的个数为（ ）①如果a 与b 的方向相同或相反,那么与a 共线的向量的方向必与a 、b 之一的方向相同 ②△ABC 中，必有CA BC AB ++=0 ③若CA BC AB ++=0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点 ④若a ，b 均为非零向量，且方向相同，则｜a +b ｜与|a |+｜b |一定相等 A 。

0 B.1 C.2 D 。

3思路解析：①若与a 共线的为0,则它不一定与a 、b 方向相同；②正确;③有可能A 、B 、C 三点共线；④一般来说,｜a +b ｜≤｜a |+｜b |，但当两个向量a ，b 方向相同时，则有｜a +b ｜=｜a |+｜b ｜. 答案：C3.如图2—2-16，已知ABCDEF 是一正六边形,O 是它的中心，其中OA =a ,OB =b ,OC =c ,则EF 等于（ ）图2—2-16A 。

高中数学 第2章 平面向量 2.3.2 平面向量的坐标运算优

高中数学 第2章 平面向量 2.3.2 平面向量的坐标运算优

2.3.2 平面向量的坐标运算5分钟训练（预习类训练,可用于课前） 1.在△ABC 中，设AB =m ，BC =n ，D 、E 是边BC 上的三等分点，则AD =_______,AE =___________.思路解析:由D 、E 是边BC 上的三等分点，可得BD =31BC ,BE =32BC ，转化为已知向量即可. 答案:m +31n m +32n 2.下列所给向量共线的有( )A.(1，5)，(5，-5)B.(2，-3)，(21,-43) C.(1，0)，(0，1) D.(1，-3)，(8，21)思路解析:本题考查平面向量共线的条件，只需将所给坐标代入公式，看“x 1y 2-x 2y 1=0”是否成立即可. 答案:B10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.已知向量a =(1,2),b =(2,3),c =(3,4)且c=λ1a +λ2b ,则λ1、λ2的值分别为( ) A.-2,1 B.1,-2 C.2,-1 D.-1,2 思路解析:因为c =λ1a +λ2b ,则有(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3)=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2),∴⎩⎨⎧=+=+,432,322121λλλλ解得λ1=-1,λ2=2.答案:D2.已知|a |=10,b =(3,4),a ∥b ,则向量a =_____________.思路解析:首先设a =(x,y)，然后利用|a |=10,a ∥b ,列出含x 、y 的两个等式，解出x 、y. 答案:(6,8)或(-6,-8)3.已知点A(3，1)、B(0，0)、C(3，0).设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC =λCE ,其中λ等于( )A.2B.21 C.-3 D.-31思路解析:∵AE 为∠BAC 的平分线，∴.212||||||||===AC AB CE BE∴BE =-2CE .∴=BE -=-2-=-3.答案:C4.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1)、B(-1,3)，若点C 满足OC=αOA +βOB ，其中α、β∈R ，且α+β=1,则点C 的轨迹方程为_________________.思路解析:将点C 所满足的向量式条件转化为直角坐标的方程式即为点C 的轨迹方程. 答案:x+2y-5=0 5.用坐标法证明AB +BC +CA =0.思路解析:本题没有给出向量的坐标，需要将各向量的坐标设出来，然后进行向量运算. 证明:设A(a 1,a 2)、B(b 1,b 2)、C(c 1,c 2),则AB =(b 1-a 1,b 2-a 2)，BC =(c 1-b 1,c 2-b 2)，CA =(a 1-c 1,a 2-c 2).∴AB ++=(b 1-a 1,b 2-a 2)+(c 1-b 1,c 2-b 2)+(a 1-c 1,a 2-c 2)=(b 1-a 1+c 1-b 1+a 1-c 1,b 2-a 2+c 2-b 2+a 2-c 2)=(0,0)=0. ∴AB +BC +CA =0.6.平面内给定三个向量:a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1). (1)求3a +b -2c ；(2)求满足a =m b +n c 的实数m 和n ； (3)若(a +k c )∥(2b -a )，求实数k ；(4)设d =(x,y)满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1，求d .思路解析:根据向量的坐标运算法则及两个向量平行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解.解:(1)3a +b -2c =3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6). (2)∵a =m b +n c ,m 、n ∈R ，∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+-.98,95,22,34n m n m n m 解得(3)∵(a +k c )∥(2b -a )且a +k c =(3+4k,2+k)2b -a =(-5,2)，∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0. ∴k=-1316. (4)∵d -c =(x-4,y-1)，a +b =(2,4)，且(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⎩⎨⎧=-+-=---.5525,55205525,5520.1)1()4(,0)1(2)4(422y x y x y x y x 或解得 ∴d =(5525,5520++)或d =(5525,5520--). 志鸿教育乐园聪明的学生物理课上，老师正在讲振动和共鸣，为了让学生更好地理解它们的物理原理，老师提问道：“如果我朝鱼塘扔一块石头，会发生什么现象？……” 学生异口同声地回答：“罚款5元！” 30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.在△ABC 中，已知A(2，3)、B(8，-4),G(2，-1)是中线AD 上的一点，且|AG |=2|GD |，则点C 的坐标为( )A.(-4，2)B.(-4，-2)C.(4，-2)D.(4，2) 思路解析:设C 点坐标为(x ，y)，由于G 是△ABC 的重心，则2=382x++，∴x=-4. -1=343y +-，∴y=-2.答案:B2.已知A 、B 、C 三点共线，且A(3，-6)、B(-5，2)，若C 点横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A.-13B.9C.-9D.13 思路解析:设C(6，y)，则AB ∥.又AB =(-8，8)，AC =(3，y+6)，∴-8(y+6)-3×8=0.∴y=-9. 答案:C3.已知A(-2，4)、B(3，-1)、C(-3，-4)且CM=3CA ，CN=2CB ，试求点M 、N 和MN 的坐标.解:∵A(-2，4),B(3，-1),C(-3-4)，∴CA =(-2+3，4+4)=(1，8)， CB =(3+3，-1+4)=(6，3).于是=3=3(1，8)=(3，24)，CN =2CB =2(6，3)=(12，6).设M(x ，y)，则有=(x+3，y+4)，∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+,20,0,244,33y x y x 解得 即M 点的坐标为(0，20).同理,可求得N(9，2). 因此=(9-0，2-20)=(9，-18).故所求的点M 、N 的坐标分别为(0，20)，(9，2)，的坐标为(9，-18). 4.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ(+||AC AC )，λ∈[0，+∞），则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心思路解析:此题之所以答得不好，主要原因是很多考生看不明白用向量表述的问题，理不清题意.实际上,||AB AB 与||AC AC分别表示与AB 、AC 同向的单位向量， 设AP1=λ||AB AB,AP 2=λ||AC AC,则当λ=0时，P 与A 重合；当λ＞0时AP 为菱形AP 1PP 2的对角线，故点P 在∠BAC 的平分线或其延长线上.答案:B5.若a =(3，4)，b ∥a 且b 的起点为(1，2)，终点为(x ，3x)，则b =___________. 思路解析:∵b =(x ，3x)-(1，2)=(x-1，3x-2)，且b ∥a ， ∴3(3x-2)-4(x-1)=0.∴x=52. ∴b=(-53，-54).答案:(- 53，-54)6.已知点M(x ，y)在向量OP=(1，2)所在的直线上，则x 、y 所满足的条件为________.思路解析:∵M 在所在的直线上，∴OM ∥OP .又OM=(x ，y)，=(1，2)，∴2x-y=0，即y=2x. 答案:y=2x7.如图2-3-7所示，已知△ABC 中A(7，8)、B(3，5)、C(4，3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，NM 与AD 交于点F.求DF.图2-3-7解:∵A(7，8)、B(3，5)、C(4，3)， ∴AB =(3-7，5-8)=(-4，-3)，AC =(4-7，3-8)=(-3，-5).又∵D 是的中点，∴AD =21(AB +AC )=(-27，-4).又∵M 、N 分别为AB 、AC 的中点， ∴F 为AD 的中点. ∴DF =-21AD =(47，2).8.已知点A(2，3)、B(5，4)、C(7，10)，若AP =AB +λAC (λ∈R )，则λ为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上,点P 在第三象限内？ 解:设点P 的坐标为(x ，y)，则AP =(x ，y)-(2，3)=(x-2，y-3)，AB +λ=(5，4)-(2，3)+λ［(7，10)-(2，3)］=(3，1)+λ(5，7)=(3，1)+(5λ，7λ)=(3+5λ，1+7λ). ∵AP =AB +λAC ，∴(x-2，y-3)=(3+5λ，1+7λ).∴⎩⎨⎧+=+=∴⎩⎨⎧+=-+=-.74,55.713,532λλλλy x y x ∴P 点的坐标为(5+5λ，4+7λ).(1)若点P 在一、三象限的角平分线上，则5+5λ=4+7λ，∴λ=21.(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎨⎧<+<+,074,055λλ∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-<.74,1λλ∴λ＜-1，即只要λ＜-1时，点P 就在第三象限内.9.如图2-3-8所示,已知平面上三点A 、B 、C 的坐标分别为(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，求点D 的坐标，使得这四点能构成平行四边形的四个顶点.图2-3-8思路解析:本题没有指明所构成的平行四边形的顶点顺序，故应分三种情形分别求解. 解:(1)当平行四边形为ABCD 时，因为AD =DC，所以(4，1)=(x+2，y-1)，所以x=2，y=2，即D(2，2).(2)当平行四边形为ACDB 时，因为BA =，所以(-1，-2)=(3-x ，4-y)，所以x=4，y=6，即D(4，6). (3)当平行四边形为DACB DA =BC ，所以(-2-x ，1-y)=(4，1)，所以x=-6，y=0，即D(-6，0). 10.已知向量AB =(6，1)，BC =(x ，y)，CD =(-2，-3)，当BC ∥DA 时，求实数x 、y 应满足的关系. 解:DA =-AD =-(AB +BC +CD )=-［(6，1)+(x ，y)+(-2，-3)］ =(-x-4，-y+2)，BC =(x ，y).当∥DA 时，x(-y+2)-y(-x-4)=0，化简得y=-21x. 所以当BC ∥DA 时，x 、y 应满足y=-21x.11.已知a =(1，2)，b =(-3，2)，当k 为何值时，k a +b 与a -3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解法一:k a +b =k(1，2)+(-3，2)=(k-3，2k+2)， a -3b =(1，2)-3(-3，2)=(10，-4).当k a +b 与a -3b 平行时，存在唯一实数λ 使k a +b =λ(a -3b ).由(k-3，2k+2)=λ(10，-4)，∴⎩⎨⎧-=+=-.422,103λλk k解之,得k=-31，λ=-31. 当k=-31时，k a +b 与a -3b 平行，这时k a +b =-31a +b . ∵λ=-31＜0，∴-31a +b 与a -3b 反向.解法二:由解法一知k a +b =(k-3，2k+2)， a -3b =(10，-4)，∵(k a +b )∥(a -3b )， ∴(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0.解得k=-31，此时k a +b =(-31-3，-32+2)=(-310，34)=-31(10，-4)=-31(a -3b ). ∴当k=-31时，k a +b 与a -3b 平行并且反向.12.已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A(1，0)、B(4，3)、C(2，4)、D(0，2).证明四边形ABCD 是梯形. 证明:∵AB =(4，3)-(1，0)=(3，3)，CD =(0，2)-(2，4)=(-2，-2)，∴AB =-23CD ，故AB 与CD 共线，即AB ∥CD .∴AB ∥CD. ∵AD =(0，2)-(1，0)=(-1，2)，BC =(2，4)-(4，3)=(-2，1)，又∵(-1)×1-2×(-2)≠0， ∴AD 不平行于BC. ∴四边形ABCD 是梯形.13.(2005 上海)已知函数f(x)=kx+b 的图象与x 、y 轴分别相交于点A 、B,AB =2i +2j (i 、j 分别是与x 、y 轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x 2-x-6. (1)求k 、b 的值;(2)当x 满足f(x)>g(x)时,求函数)(1)(x f x g +的最小值. 解:(1)由已知得A(-kb,0)、B(0,b),则AB ={kb ,b},于是kb=2,b=2. ∴k=1,b=2.(2)由f(x)>g(x),得x+2>x 2-x-6,即(x+2)(x-4)<0,得-2<x<4,21225)(1)(2+++=+--=+x x x x x x f x g -5,由于x+2>0,则)(1)(x f x g +≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立. ∴)(1)(x f x g +的最小值是-3.。

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