高中数学 第2章 平面向量 2.1 向量的概念及表示课后导练 苏教版必修4

小学+初中+高中

小学+初中+高中 第1课时 §2.1 向量的概念及表示

【教学目标】

一、知识与技能

1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向），能正确地表示向量；

2．注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）；

3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念。

二、过程与方法

（1）从对不同问题的思考中感受什么是向量。

（2）通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质.

三、情感、态度与价值观

（1）通过向量包含大小和方向，概念的学习感知数学美。

（2）向量的方向包含正反两方面，正反关系的对照培养学生辨证唯物主义思维

【教学重点难点】：1．向量、相等向量、共线向量等概念；

2．向量的几何表示

【教学过程】

一、问题情境：

问题1、湖面上有3个景点O，A，B，如图所示.一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客送至景点B，从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移.位移与距离这两个量有什么不同？

问题2、下列物理量中，那些量分别与位移和距离这两个量类似：

（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；

（2）物体所受重力；

（3）物体的质量为a千克；

（4）1月1日的4级偏南风的风速。 O

A B 小学+初中+高中

小学+初中+高中 问题3、上述的物理量中有什么区别吗？

二、新课讲解：

（一）概念辨析：

（1）向量的定义：

（2）向量的表示：

（3）向量的大小及表示

（4）零向量：

（5）单位向量：

（二）向量的关系：

问题4：在平行四边形ABCD中，向量AB与CD，AB与DC有什么关系？

（1）平行向量

（2）相等向量

（3）相反向量 小学+初中+高中

小学+初中+高中

说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作0//a；

（2）零向量与零向量相等，记作00；

（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。

1 课题: 平面向量的实际背景及基本概念

［课时安排］ 2课时

［教学目标］ 1．知识与技能: 理解向量、零向量、单位向量、平行向量的概念：掌握向量的几何表示，会用字母表示向量

2．过程与方法: 启发式教学,引导学生思路

3．情感、态度与价值观: 经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法．

［教学重点］ 向量、零向量、单位向量、平行向量的概念

［教学难点］ 向量及相关概念的理解，零向量、单位向量、平行向量的判断.

［教学器材］

［教法学法］

［教学过程］ 备注

【自主学习】

知识梳理:

1. 向量即有_____，又有_______，所以向量不同于数量；

2. 向量AB 的大小（长度）称为__________ ，记作|AB|；

3. 长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；

4. 长度为1个单位的向量，叫___________；

4. 方向__________的非零向量叫平行向量，平行向量就是共线向量。规定0与任一向量平行. 向量a、b平行，记作ab∥.

即学即练:

1. ________________的向量叫相等向量, 向量ab与相等记作ab=。

2．下列物理量中，不能称为向量的是

B

（终点） 2 A．质量 B．速度 C．位移 D．力

3．设O是正方形ABCD的中心，向量AOOBCOOD、、、是

A．平行向量 B．有相同终点的向量 C．相等向量 D．模相等的向量

【课外拓展】

1. 下列各量中是向量的是

( )

A.密度 B.体积 C.重力 D.质量

2．下列各说法中，其中正确的个数为

（ ）

（1）向量AB的模长与向量BA的模长相等;（2）两个非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反;（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量;（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;（5）平行向量就是向量所在直线平行

课

题 第2章 平面向量

【知识梳理】

知识点一：向量的有关概念

1.向量：

既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).

2.向量的表示方法：

(1)字母表示法：如,,,abcrrrL等.

(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如ABuuur，CDuuur等.

(3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OAuuur的起点O为在坐标原点，终点A坐标为,xy，则,xy称为OAuuur的坐标，记为OAuuur=,xy.

3.相等向量：

长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量ar与br相等，记为abrr.

4.零向量： 长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的.

5.单位向量：

长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量.

6.共线向量：

方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：0r与任一向量共线.

注：共线向量又称为平行向量.

7.相反向量：

长度相等且方向相反的向量.

知识点二、向量的运算

1.运算定义

运 算 图形语言 符号语言 坐标语言

加法与减法

OA+OB=OC

OBOA=AB 记OA=(x1，y1)，OB=(x2，y2)

则OAOBuuuruuur=(x1+x2，y1+y2)

OBOAuuuruuur=(x2-x1，y2-y1)

OA+AB=OB

实数与向量的乘积

ABa

R 记a=(x，y)

则axy，

两个向量的数量积

cos,abababrrrrrr 记1122(,),(,)axybxyrr

则ab=x1x2+y1y2

2.运算律 加法：

①abbarrrr(交换律)； ②()()abcabcrrrrrr(结合律)

2.1平面向量的基本概念

学习目标 平面向量的实际背景及基本概念

重点难点 平面向量的实际背景及基本概念

方法 自主探究

一． 探知部分：（学生自己独立完成）

1．向量的定义 既有________，又有________的量叫做向量．

2．向量的表示方法

3．向量的有关概念

二：探究部分：[探究1] (1)下列各量中是向量的是( )

A．时间 B．加速度 C．面积 D．长度

(2)给出下列说法 ①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；

③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等；

⑤由于0方向不确定，故0不能与任一向量平行．其中正确的是

课堂

随笔 课堂

随笔 [探究2] 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.

(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a.

(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝5，说出c的终点的轨迹是什么？并作出轨迹．

[探究3] 如图所示，四边形ABCD中，AB→＝DC→，N，M分别是AD，BC上的点，且CN→＝MA→.

求证：DN→＝MB→.

三：应用部分：1. 给出命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；

②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与向量BA→相等．

以上命题中，正确命题的序号是( )

A．① B．② C．①③ D．②③

2 一辆汽车从点A出发向西行驶了100 km到达点B，然后又改变方向向西偏北50°走了200

km到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达点D.(1)作出向量AB→，BC→，CD→；(2)求|AD→|.

3. 以边长为2的正方形A1B1C1D1的中心O为起点，分别以各顶点、各边的中点为终点作出向量a，b，c，d，e，f，g，h.

(1)试在各边与已知正方形相应各边平行且边长为1的正方形ABCD中找出与它们相等的向量；

(2)试找出已知向量中分别与AB→，BC→，AC→，BD→共线的向量．