【教育专用】高中数学第二章平面向量2.3向量的坐标表示2.3.2平面向量的坐标运算教案苏教版必修4

教育学习+K12

教育学习+K12 2．3.2 平面向量的坐标运算

整体设计

教学分析

1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．

2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律．

3．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a＝λb，那么a与b共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的．

三维目标

1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法．理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示．

2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体．在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．

重点难点

教学重点：平面向量的坐标运算．

教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解．

课时安排

2课时

教学过程

第1课时 教育学习+K12

教育学习+K12 导入新课

对于平面内的任意向量a，过定点O作向量OA→＝a，则点A的位置被向量a的大小和方向所惟一确定．如果以定点O为原点建立平面直角坐标系，那么点A的位置可通过其坐标来反映，从而向量a也可以用坐标来表示，这样就可以通过坐标来研究向量问题了．事实上，向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算怎样通过坐标运算来实现呢？

推进新课

新知探究

1．平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．

注意：(1)在直角坐标平面内，以原点为起点的向量OA→的坐标就等于点A的坐标．

(2)两个向量相等对应坐标相等．

2．平面向量的坐标运算

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)．

即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．

|AB→|＝2－x12＋2－y12，即平面内两点间的距离公式．

(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，λ∈R.

3．线段的中点坐标公式

若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2的中点P(x1＋x22，y1＋y22)．

应用示例

思路1

例1课本本节例1.

变式训练 教育学习+K12

教育学习+K12 已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b等于( )

A．(－2，－1) B．(－2,1)

C．(－1,0) D．(－1,2)

答案：D

例2课本本节例2.

变式训练

1.如图1，已知的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，试求顶点D的坐标．

图1

活动：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种解法：方法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；方法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD→的坐标，进而得到点D的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点D的坐标表示为已知点的坐标．

解：方法一：如图1，设顶点D的坐标为(x，y)．

∵AB→＝(－1－(－2)，3－1)＝(1,2)，DC→＝(3－x,4－y)，

由AB→＝DC→，得(1,2)＝(3－x,4－y)．

∴ 1＝3－x，2＝4－y.∴ x＝2，y＝2.∴顶点D的坐标为(2,2)．

方法二：如图1，由向量加法的平行四边形法则可知BD→＝BA→＋AD→＝BA→＋BC→＝(－2－(－1)，1－3)＋(3－(－1)，4－3)＝(3，－1)，而OD→＝OB→＋BD→＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)，

∴顶点D的坐标为(2,2)．

点评：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．

2.如图2，已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标， 教育学习+K12

教育学习+K12

图2

使这四点构成平行四边形的四个顶点．

解：当为ABCD时，仿例2得D1＝(2,2)；

当为ACDB时，仿例2得D2＝(4,6)；

当为DACB时，仿例2得D3＝(－6,0).

例3课本本节例4.

思路2

例1设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)．

(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；

(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．

活动：教师充分让学生思考，并提出：这一结论可以推广吗？即当P1PPP2＝λ时，点P的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：

由P1P→＝λPP2→，知(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，

即 x－x1＝λ2－y－y1＝λ2－  x＝x1＋λx21＋λ，y＝y1＋λy21＋λ.

这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．

解：(1)如图3，由向量的线性运算可知 教育学习+K12

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图3

OP→＝12(OP1→＋OP2→)＝(x1＋x22，y1＋y22)．

所以点P的坐标是(x1＋x22，y1＋y22)．

(2)如图4，当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即P1PPP2＝12或P1PPP2＝2.如果P1PPP2＝12，那么

OP→＝OP1→＋P1P→＝OP1→＋13P1P2→＝OP1→＋13(OP2→－OP1→)

＝23OP1→＋13OP2→

图4

＝(2x1＋x23，2y1＋y23)．

即点P的坐标是(2x1＋x23，2y1＋y23)．

同理，如果P1PPP2＝2，那么点P的坐标是(x1＋2x23，y1＋2y23)．

点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.

变式训练

在△ABC中，已知点A(3,7)、B(－2,5)．若线段AC、BC的中点都在坐标轴上，求点C的坐标．

解：(1)若AC的中点在y轴上，则BC的中点在x轴上．

设点C的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得3＋x2＝0，y＋52＝0，

∴x＝－3，y＝－5，即C点坐标为(－3，－5)． 教育学习+K12

教育学习+K12 (2)若AC的中点在x轴上，则BC的中点在y轴上，同理可得C点坐标为(2，－7)．

综合(1)(2)，知C点坐标为(－3，－5)或(2，－7).

例2已知点A(1,2)，B(4,5)，O为坐标原点，OP→＝OA→＋tAB→.若点P在第二象限，求实数t的取值范围．

活动：教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量相等，把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解．教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力，或者让学生到黑板上板书解题过程，并对思路清晰过程正确的同学进行表扬，同时也要对组织步骤不完全的同学给予提示和鼓励．教师要让学生明白“化归”思想的利用．不等式求变量取值范围的基本观点是：将已知条件转化为关于变量的不等式(组)，那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集．

解：由已知AB→＝(4,5)－(1,2)＝(3,3)，

∴OP→＝(1,2)＋t(3,3)＝(3t＋1,3t＋2)．

若点P在第二象限，则 3t＋1<03t＋2>0 －23

故t的取值范围是(－23，－13)．

点评：此题通过向量的坐标运算将点P的坐标用t表示，由点P在第二象限可得到一个关于t的不等式组，这个不等式组的解集就是t的取值范围．

知能训练

课本本节练习1～6.

课堂小结

1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算．

2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好的基础．

作业

课本习题2.3 1～8.

设计感想

1．本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算．这对学生来说学习并不教育学习+K12

教育学习+K12 困难，可大胆让学生自己探究．本教案设计流程符合新课改精神．教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．

2．平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．

3．通过平面向量坐标的加、减代数运算，结合图形，不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系，而且教师可在这两题的基础上稍作推广，就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式．它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．

备课资料

一、关于点P分有向线段所成的比的探讨

(1)定义法：根据已知条件直接找到使P1P→＝λPP2→的实数λ的值．

例1已知点A(－2，－3)，点B(4,1)，延长AB到P，使|AP→|＝3|PB→|，求点P的坐标．

解：因为P点在AB的延长线上，P为AB→的外分点，所以AP→＝λPB→，λ<0.

又根据|AP→|＝3|PB→|，可知λ＝－3，由分点坐标公式易得P点的坐标为(7,3)．

(2)公式法：依据定比分点坐标公式．

x＝x1＋λx21＋λ，y＝y1＋λy21＋λ，结合已知条件求解λ.

例2已知两点P1(3,2)，P2(－8,3)，求点P(12，y)分P1P2→所成的比λ及y的值．

解：由线段的定比分点坐标公式，得