(完整版)参数方程单元测试题

参数方程1. 椭圆{y =4sinθx=3cosθ（θ为参数）的离心率为（ ）A. √74B. √73C. √72D. √752. 直线{x =−tcos20°y =3+tsin20°（t 为参数）的倾斜角是（ ）A. 20∘B. 70∘C. 110∘D. 160∘3. 过点（0，2）且与直线{x =2+ty =1+√3t（t 为参数）互相垂直的直线方程为（ ）A. {x =√3t y =2+tB. {x =−√3t y =2+t (t 为参数)C. {x =−√3t y =2−tD. {x =2−√3t y =t4. 若直线的参数方程为{x =1＋3ty =2−√3t（t 为参数），则直线的倾斜角为（ ）A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘ 5. 曲线C ：{x =2cosθy =3sinθ（θ为参数）上的点到其焦点的距离的最小值为（ ）A. √5−3B. √5−2C. 3−√5D. 16. 已知圆的参数方程为{x =−1＋√2cosθy =√2sinθ（θ为参数），则圆心到直线y =x +3的距离为（ ） A. 1 B. √2 C. 2 D. 2√2 7. 参数方程{y =3sinθx=4cosθ（θ为参数）表示的曲线是（ ）A. 以(±√7,0)为焦点的椭圆B. 以(±4,0)为焦点的椭圆C. 离心率为√75的椭圆 D. 离心率为35的椭圆8. 圆{x =2cosθy =2sinθ+2的圆心坐标是（ ）A. (0,2)B. (2,0)C. (0,−2)D. (−2,0)9. 设直线l ：{x =1+12t y =√32t（t 为参数），曲线C 1：{y =sinθx=cosθ（θ为参数），直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，则|AB |=（ ）A. 2B. 1C. 12D. 1310. 已知圆x 2+y 2-2x =0的圆心为C ，直线{x =−1+√22ty =3−√22t，（t 为参数）与该圆相交于A ，B 两点，则△ABC 的面积为______．11. 设P ，Q 分别为直线{y =6−2t x=t （t 为参数）和曲线C ：{x =1+√5cosθy =−2+√5sinθ（θ为参数）的点，则|PQ |的最小值为______．12. 已知直线C 1：{y =tsinαx=1+tcosα（t 为参数），C 2：{y =sinθx=cosθ（θ为参数），当α=π3时，则C 1与C 2的交点坐标为______．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =1+12ty =√32t（t 为参数），椭圆C 的参数方程为{x =cosθy =2sinθ（θ为参数），设直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点，求线段AB 的长．14. 已知曲线C:{x =4cosφy =3sinφ（φ为参数）．（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若点P （x ，y ）是曲线C 上的动点，求x +y 的取值范围．15. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：{x =1＋35t y =45t（t 为参数），与曲线C ：{x =4k 2y =4k （k 为参数）交于A ，B 两点，求线段AB 的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵（θ为参数），∴（）2+（）2=cos2θ+sin2θ=1，即+=1，其中a2=16，b2=9，故c2=a2-b2=16-9=7（a＞0，b＞0，c＞0），∴其离心率e==．故选：A．将椭圆的参数方程转化为普通方程，即可求其离心率．本题考查椭圆的参数方程，考查椭圆的性质，属于简单题．2.【答案】D【解析】【分析】消去参数，求出直线的斜率，利用斜率和倾斜角之间的关系进行求解即可．本题主要考查参数方程的应用，消去参数求出直线的普通方程是解决本题的关键．【解答】解：消去参数得直线的普通方程为==-cot20°，即-（y-3）cot20°=x，即y=-tan20°x+3，则直线的斜率k=tanα=-tan20°=tan（180°-20°）=tan160°，即倾斜角为160°，故选：D3.【答案】B【解析】解：把直线（t为参数）消去参数，化为普通方程为y=x+1-2，故已知直线的斜率为，故所求直线的斜率为-，倾斜角为，故要求的直线的参数方程为（t为参数），故选：B．把直线（t为参数）消去参数，化为普通方程，可得已知直线的斜率为，故所求直线的斜率为-，倾斜角为，从而求得要求的直线的参数方程．本题主要考查把参数方程化为普通方程，两条直线垂直的性质，求直线的参数方程，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：设直线的倾斜角为α，α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．∴直线的斜率，则直线的倾斜角α=150°．故选D．设直线的倾斜角为α，则α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．可得直线的斜率，即可得出．本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：曲线C：（θ为参数），即+=1，∴a=3，b=2，c==，它上的点到其焦点的距离的最小值为a-c=3-，故选：C．把参数方程化为普通方程，求出a、c的值，再根据椭圆上的点到其焦点的距离的最小值为a-c，得出结论．本题主要考查椭圆的参数方程，椭圆的方程，把参数方程化为普通方程，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：圆的参数方程为（θ为参数），普通方程为（x+1）2+y2=2，圆心到直线y=x+3的距离为d==，故选B．参数方程化为普通方程，即可求出圆心到直线y=x+3的距离．本题考查参数方程化为普通方程，考查点到直线距离公式的运用，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，曲线的参数方程，则其普通方程为+=1，为椭圆；依次分析选项：对于A：椭圆+=1的焦点坐标为（±，0），A正确；对于B、由A可得，B错误；对于C、椭圆+=1中，a=4，c=，其离心率e==，C错误；对于D、由C可得，D错误；故选：A．根据题意，将曲线的方程变形为普通方程，依次分析选项，综合即可得答案．本题考查参数方程与普通方程的互化，关键是掌握参数方程转化为普通方程的方法．8.【答案】A解：∵圆，利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为直角直角坐标方程为x2+（y-2）2=4，故圆心坐标为（0，2），故选A．把圆的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为直角直角坐标方程为x2+（y-2）2=4，从而求得圆心坐标．本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，同角三角函数的基本关系，圆的标准方程，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由曲线C1：（θ为参数），化为x2+y2=1，直线l：（t为参数），消去参数化为y=（x-1），即=0．∴圆心C1（0，0）到直线l的距离d==．∴|AB|=2==1．故选：B．由曲线C1：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1即可化为直角坐标方程．直线l：（t为参数），消去参数化为=0．求出圆心C1（0，0）到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．本题考查了参数方程化为普通方程、直线与圆的相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】12【分析】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了参数方程应用问题，是基础题．把圆的方程化为标准方程，写出圆心与半径；直线的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，计算弦长|AB|，利用三角形面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：圆x2+y2-2x=0化为标准方程是（x-1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1，直线化为普通方程是x+y-2=0，则圆心C到该直线的距离为d==，弦长|AB|=2=2=2×=，∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=．故答案为．11.【答案】√55【解析】解：由题意，曲线C：，消去参数θ：可得曲线C的普通方程为：（x-1）2+（y+2）2=5．直线（t为参数），消去参数t，可得直线的普通方程为：2x+y-6=0．由曲线C的普通方程为：（x-1）2+（y+2）2=5．可知圆心为（1，-2），半径r=．那么：圆心到直线的距离d==可得|PQ|的最小值为：d-r==；故答案为：将直线（t 为参数）和曲线C ：（θ为参数）化为普通方程，利用圆心到直线的距离d 减去半径r ，可得|PQ|的最小值．本题主要考查了参数方程化为普通方程，以及利用平面几何知识解决最值问题．12.【答案】（1，0），（12，-√32） 【解析】解：（Ⅰ）当α=时，C 1的普通方程为y=（x-1），C 2的普通方程为x 2+y 2=1．联立方程组，解得C 1与C 2的交点为（1，0），（，-）．故答案为（1，0），（，-）．先消去参数将曲线C 1与C 2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可．本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，比较基础．13.【答案】解：由{x =1+12t①y =√32t②，由②得t =√3， 代入①并整理得，√3x −y −√3=0． 由{x =cosθy =2sinθ，得{x =cosθy 2=sinθ，两式平方相加得x 2+y 24=1．联立{√3x −y −√3=0x 2+y 24=1，解得{x =1y =0或{x =−17y =−8√37． ∴|AB |=17)8√37)=167．【解析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案．本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题．14.【答案】解：（Ⅰ）∵C:{x =4cosφy =3sinφ（φ为参数），∴曲线C 的普通方程为x 216+y 29=1．（Ⅱ）∵x +y =4cosθ+3sinθ=5sin （φ+θ）（tanφ=43）． ∴当sin （φ+θ）=1时，x +y 取得最大值5，当sin （φ+θ）=-1时，x +y 取得最小值-5． ∴x +y 的取值范围是[-5，5]． 【解析】（Ⅰ）根据平方和等于1消去参数得到普通方程；（Ⅱ）把参数方程代入x+y 得到关于θ的三角函数，根据三角函数的性质求出最值．本题考查了参数方程与普通方程的转化，参数方程的应用，属于基础题． 15.【答案】解：（方法一）直线l 的参数方程化为普通方程得4x -3y =4，将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2=4x ．联立方程组{4x −3y =4y 2=4x 解得 {x =4y =4，或{x =14y =−1 所以A （4，4），B （14，-1）． 所以AB ═254．（方法二）将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2=4x ．直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得 （45t ）2=4（1+35t ），即4t 2-15t -25=0， 所以 t 1+t 2=154，t 1t 2=-254．所以AB =|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=254． 【解析】方法一：直线l 的参数方程化为普通方程得4x-3y=4，将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2=4x ．联立求出交点坐标，利用两点之间的距离公式即可得出． 方法二：将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2=4x ． 直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得4t 2-15t-25=0，利用AB=|t 1-t 2|=即可得出．本题考查了参数方程化为普通方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。

参数方程和极坐标方程单元测试在进行参数方程和极坐标方程的学习过程中，单元测试是非常重要的一环。

通过单元测试，可以检验学生对参数方程和极坐标方程的理解程度，帮助他们发现学习中的不足之处，进一步提高学习效果。

下面将针对参数方程和极坐标方程进行单元测试，具体内容如下：一、选择题1. 下列不是参数方程的是（）。

A. x = cos t, y = sin tB. x = t^2, y = t^3C. x = e^t, y = ln tD. x = 2t, y = 3t2. 参数方程 x = 2cos t, y = 3sin t 表示的图形是（）。

A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆3. 极坐标方程r = 2cosθ 表示的图形是（）。

A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆4. 下列不是极坐标方程的是（）。

A. r = cosθB. r = 3θC. r = e^θD. r = 1 - sinθ5. 若直角坐标方程为 y = x^2 在极坐标下的表示形式为（）。

A. r = sinθB. r = cosθC. r = θ^2D. r = θ二、填空题1. 参数方程 x = 2cos t, y = 3sin t 在t = π/2 时对应的点的坐标为（）。

2. 同心圆的极坐标方程为r = 2cosθ 和r = 4cosθ，这两个圆的圆心坐标分别为（）。

三、解答题1. 请用参数方程表示直角坐标方程 x^2 + y^2 = 4 的图形。

2. 极坐标方程r = 2cos3θ 表示的图形是什么？请画出对应的图形。

通过以上单元测试题目，可以对学生在参数方程和极坐标方程的学习情况进行全面的检验和评估。

希望学生能够认真对待单元测试，查漏补缺，进一步加深对参数方程和极坐标方程的理解。

祝各位同学考试顺利！。

阶段质量检测(十二)(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b答案：C解析：∵ b <0，∴ －b >0，∴ a >－b >0， ∴ －a <b <0，故－a <b <0<－b <a .2．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )A.23 B ．－23C.32 D ．－32答案：D解析：∵ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t y ＝2－3t ，∴ y －2x －1＝－32，∴ 直线的斜率为－32.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝2，CD ⊥AB 于D ，则S △ACD ∶S △BCD ＝( ) A ．3∶2 B.3∶ 2 C ．9∶4 D ．2∶3答案：C解析：由射影定理得，AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ，∴ AC 2∶BC 2＝AD ∶BD ，∴ AD ∶BD ＝9∶4，又S △ACD ∶S △BCD ＝AD ∶BD ，∴ S △ACD ∶S △BCD ＝9∶4.4．已知|x －a |<b 的解集为{x |2<x <6}，则实数a 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：D解析：由|x －a |<b 得a －b <x <a ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2a ＋b ＝6，解得a ＝4，b ＝2.5．在极坐标系中，若A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫1，π4和B ⎝⎛⎭⎫2，－π4则△AOB 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形答案：C解析：∵ A ⎝⎛⎭⎫1，π4，∴ θ1＝π4，∵ B ⎝⎛⎭⎫2，－π4， ∴ θ2＝－π4，∴ θ1－θ2＝π2，即OA ⊥OB .6．已知：如图PM 为⊙O 的切线，M 为切点，若P A ＝1，圆的半径为1，则PM 的长为( )A ．1 B. 3 C ．2 D. 2答案：B解析：∵ ⊙O 的半径为1，∴ PB ＝3，由切割线定理得PM 2＝P A ·PB ，∴ PM 2＝1×3＝3，∴ PM ＝ 3.7．不等式2|x －3|>2的解集为( )A ．{x |2<x <4}B ．{x |x <2或x >4}C ．{x |0<x <2或x >4}D ．以上都不正确答案：B解析：∵ 2|x －3|>2，∴ |x －3|>1，∴ x －3>1或x －3<－1，∴ x >4或x <2.8．直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)的圆心位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B解析：∵ 直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，∴ ⎩⎨⎧a <0b >0又圆的圆心坐标为(a ，b )∴ 圆心在第二象限． 9．如图，P A 、PB 为⊙O 的切线，∠D ＝100°，∠CBE ＝40°，则∠P ＝( )A ．60°B ．40°C ．80°D ．70°答案：A解析：∵ A 、B 、C 、D 四点共圆，∴ ∠D ＋∠ABC ＝180°，又∠D ＝100°，∴ ∠ABC ＝80°，∵ ∠CBE ＝40°，∴ ∠PBA ＝60°，∵ P A ＝PB ，∴ △P AB 为等边三角形，∴ ∠P ＝60°.10．设x ∈R ，若a ≥lg(|x －3|＋|x ＋7|)的解集为∅，则( ) A ．a ≥1 B ．a >1 C ．0<a ≤1 D ．a <1答案：D解析：令f (x )＝lg(|x －3|＋|x ＋7|)， 由已知可得，a <f (x )min .∵ |x －3|＋|x ＋7|≥|(x －3)－(x ＋7)|＝10， ∴ f (x )≥1，∴ a <1.11．参数方程⎩⎨⎧x ＝1t y ＝1tt 2－1(t 为参数)所表示的曲线是( )答案：D解析：∵ x ＝1t ，∴ t ＝1x 代入y ＝1t t 2－1得y ＝x ·⎝⎛⎭⎫1x 2－1∴ y 2＝x 2·1－x 2x2，∴ x 2＋y 2＝1，且x ≠0，x ，y 同号，故选D.12．设f (x )＝|2－x 2|，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．(0,2]C ．(0,4)D ．(0，2)答案：A解析：|2－a 2|＝|2－b 2|.若0<a <b ≤2，则2－a 2＝2－b 2⇒a ＝b ，矛盾．若0<a ≤2<b ，则2－a 2＝b 2－2⇒a 2＋b 2＝4⇒ab ≤a 2＋b 22＝2，又a ≠b ，∴ ab <2.∴ 0<ab <2.若2≤a <b ，则a 2－2＝b 2－2⇒a ＝b 矛盾．故选A.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中的横线上)13．设m ＝a 2b 2＋5，n ＝2ab －a 2－4a ，若m >n ，则实数a ，b 满足的条件是________． 答案：ab ≠1或a ≠－2解析：∵ m >n ，∴ m －n >0，∴ a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a >0，∴ (ab －1)2＋(a ＋2)2>0，∴ ab ≠1或a ≠－2.14．若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，它们相交于A 、B 两点，则线段AB 的长＝________.答案： 3解析：∵ ρ＝1，∴ x 2＋y 2＝1，∵ ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，∴ ρ＝cos θ－3sin θ∴ x 2＋y 2＝x －3y ，∴ 直线AB ：x －3y ＝1，∴ (0,0)到直线AB 的距离为d ＝12，∴ |AB |＝21－⎝⎛⎭⎫122＝ 3.15．如图：已知P A 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，C 为⊙O 上与A 、B 不重合的点，且∠ACB ＝60°，则∠APB ＝________.答案：60°解析：连结OA 、OB ，∵ ∠ACB ＝60°， ∴ ∠AOB ＝120°，∵ P A 、PB 为⊙O 的切线， ∴ OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，∴ ∠P ＋∠AOB ＝180° ∴ ∠P ＝60°.16．设函数f (x )的定义域为R ，若存在常数m >0，使|f (x )|≤m |x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为F 函数．给出下列函数：①f (x )＝0；②f (x )＝x 2；③f (x )＝2(sin x ＋cos x )；④f (x )＝xx 2＋x ＋1；⑤f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数x 1，x 2均有|f (x 1)－f (x 2)|≤2|x 1－x 2|.其中是F 函数的序号是________． 答案：①④⑤解析：由|f (x )|≤m |x |，知m ≥|f (x )||x |(x ≠0)， 对于①，当x ≠0时，|f (x )||x |＝0，当x ＝0时，0≤m ·0，故取m >0即可； 对于②，由|x 2|＝|x |2，∴|f (x )||x |＝|x |(x ≠0)无最大值； 对于③，由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 而|f (x )||x |＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4|x |(x ≠0)无最大值；对于④，x ≠0时，由|f (x )||x |＝1x 2＋x ＋1≤43，x ＝0时，0≤m ·0，只要取m ＝43即可；对于⑤，令x 2＝0，x 1＝x ，由f (0)＝0，知|f (x )|≤2|x |，只要取m ＝2即可．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3， (1)解不等式f (x )≤5； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解析：(1)当x <12时，f (x )＝1－2x ＋x ＋3≤5，∴ －x ≤1，∴ x ≥－1，所以－1≤x <12.当x ≥12时，f (x )＝2x －1＋x ＋3≤5，∴ x ≤1，所以12≤x ≤1，综上所述解集为[－1,1]．(2)f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋2 ⎝⎛⎭⎫x ≥12－x ＋4 ⎝⎛⎭⎫x <12可知当x ＝12时，[f (x )]min ＝72.18．(本小题满分12分)(2010·杭州模拟)如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，求AC .解析：在△ABC 中，设AC 为x (x >1)， ∵ AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，∴ 由射影定理得AC 2＝CF ·BC ，又CF ＝1∴ BC ＝x 2 过D 作DE ⊥BC 于E ，∵ BD ＝DC ，∴ BE ＝EC∴ EC ＝12BC ＝x 22∵ DE ⊥BC ，AF ⊥BC ，∴ AF ∥DE ， ∴ △DEC ∽△AFC ，∴DC AC ＝ECFC∴ 1x ＝x 221，∴ x 32＝1，∴ x 3＝2，∴ x ＝32，∴ AC ＝32.19．(本小题满分12分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ＋1y ＝22t求直线l 与曲线C 相交所成弦的弦长．解析：曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝22t ＋1y ＝22t化为普通方程为x －y －1＝0.曲线C 的圆心(2,0)到直线l 的距离为12＝22，所以直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长为24－12＝14. 20．(本小题满分12分)(2010·济南模拟)如图所示，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F .(1)求证：AB 2＝AE ·BC ；(2)已知BC ＝8，CD ＝5，AF＝6，求EF 的长．解析：(1)∵ BE 切⊙O 于B ，∴ ∠ABE ＝∠ACB . 又AD ∥BC ，∴ ∠EAB ＝∠ABC ，∴ △EAB ∽△ABC ，∴ AE AB ＝ABBC，∴ AB 2＝AE ·BC . (2)由(1)△EAB ∽△ABC ，得BE AC ＝ABBC.又AE ∥BC ， ∴EF AF ＝BE AC ，∴ AB BC ＝EF AF.又AD ∥BC ，∴ AB ＝CD ，∴ AB ＝CD ，∴ 58＝EF6，∴ EF ＝308＝154.21．(本小题满分12分)(2010·辽宁沈阳)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，α为倾斜角，且α≠π2)与曲线x 216＋y 212＝1交于A 、B 两点．(1)写出直线l 的一般方程及直线l 通过的定点P 的坐标； (2)求|P A ||PB |的最大值．解析：(1)∵ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，α为倾斜角，且α≠π2)，∴ y x －2＝t sin αt cos α＝tan α，∴ 直线l 的一般方程为x tan α－y －2tan α＝0.直线l 通过的定点P 的坐标为(2,0)．(2)∵ l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝t sin α椭圆的方程为x 216＋y 212＝1，右焦点坐标为P (2,0)，∴ 3(2＋t cos α)2＋4(t sin α)2－48＝0， 即(3＋sin 2α)t 2＋12cos α·t －36＝0.∵ 直线l 过椭圆的右焦点，∴ 直线l 恒与椭圆有两个交点， ∴ |P A ||PB |＝363＋sin 2α.∵ 0≤α≤π，且α≠π2，∴ 0≤sin 2α<1，∴ |P A ||PB |的最大值为12.22．(本小题满分14分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ＋1(a >0)的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2.(1)证明：(1＋x 1)(1＋x 2)＝1； (2)证明：x 1<－1，x 2<－1；(3)若x 1，x 2满足不等式⎪⎪⎪⎪lg x 1x 2≤1，试求a 的取值范围． 解析：(1)由题意知，x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0的实数根， ∴ x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a ，∴ x 1＋x 2＝－x 1x 2，∴ (1＋x 1)(1＋x 2)＝1.(2)由于关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0有实数根x 1，x 2，故有a >0且Δ＝1－4a ≥0.∴ 0<a ≤14，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－1a≤－4x 1·x 2＝1a≥4，⎩⎪⎨⎪⎧(x 1＋1)＋(x 2＋1)≤－2<0(x 1＋1)(x 2＋1)＝1>0， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1<0x 2＋1<0，即x 1<－1，x 2<－1得证． (3)由⎪⎪⎪⎪lg x 1x 2≤1⇔－1≤lg x 1x 2≤1⇔110≤x1x 2≤10， 由(1＋x 1)(1＋x 2)＝1得x 1＝11＋x 2－1＝－x 21＋x 2， ∴ x 1x 2＝－11＋x 2. ∴110≤－11＋x 2≤10，111≤－1x 2≤1011. ∴ a ＝1x 1·x 2＝－1＋x 2x 22＝－⎝⎛⎭⎫－1x 22＋⎝⎛⎭⎫－1x 2 ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－1x 2－122＋14， 当－1x 2＝12时，a 取最大值为14.当－1x 2＝111或－1x 2＝1011时，a 取最小值10121.∴ a 的取值范围是10121<a <14.。

参数方程一．解答题（共23小题）1．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t 是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．2．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4．（1）若l的参数方程中的时，得到M点，求M的极坐标和曲线C直角坐标方程；（2）若点P（0，2），l和曲线C交于A，B两点，求．3．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C1的参数方程为，（α为参数，且α∈[0，π）），曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．（1）求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；（2））若P是C1上任意一点，过点P的直线l交C2于点M，N，求|PM|•|PN|的取值范围．4．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A、B，求的最小值．5．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．6．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l的参数方程为，其中t为参数，求直线l被曲线C截得的弦长．7．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．9．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），P点的极坐标为（2，π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（Ⅰ）试将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C的焦点坐标；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于两点A，B，点M为AB的中点，求|PM|的值．10．已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．11．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．12．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．13．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．14．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点 P是曲线C上的动点，求 P到直线l的距离的最小值，并求出 P点的坐标．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知C 1：（θ为参数），将C 1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C 2以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ（cosθ+sinθ）=4（1）试写出曲线C 1的极坐标方程与曲线C 2的参数方程；（2）在曲线C 2上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值．16．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角 坐标系，直线l 的参数方程为（t 为参数）．（Ⅰ）写出直线l 与曲线C 的直角坐标系下的方程； （Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M （x ，y ），求的取值范围．17．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．（1）写出直线l 的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P 是直线l 上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．18．已知直线C 1：（t 为参数），圆C 2：（α为参数）（Ⅰ）若直线C 1经过点（2，3），求直线C 1的普通方程；若圆C 2经过点（2，2），求圆C 2的普通方程；（Ⅱ）点P 是圆C 2上一个动点，若|OP|的最大值为4，求t 的值．19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的参数方程为（α为参数），曲线C 2的极坐标方程为ρ2（sin 2θ+4cos 2θ）=4． （1）求曲线C 1与曲线C 2的普通方程；（2）若A 为曲线C 1上任意一点，B 为曲线C 2上任意一点，求|AB|的最小值．20．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线； （Ⅱ）若P 是直线l 上的一点，Q 是曲线C 上的一点，当|PQ|取得最小值时，求P 的直角坐标．21．已知曲线C：9x2+4y2=36，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin （）=2．（Ⅰ）分别将曲线C的参数方程和直线l的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程；（Ⅱ）动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P的坐标为（﹣2，2），求|PB|+|AB|的最小值．参数方程参考答案与试题解析一．解答题（共23小题）1．（2017•惠州模拟）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．2．（2017•达州模拟）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4．（1）若l的参数方程中的时，得到M点，求M的极坐标和曲线C直角坐标方程；（2）若点P（0，2），l和曲线C交于A，B两点，求．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化的方法得到结论；（2）利用参数的几何意义，求．（1）l的参数方程中的时，M（﹣1，1），极坐标为，【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=4，曲线C的直角坐标方程：x2+y2=16…（5分）（2）由得，…（10分）3．（2017•湖北模拟）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C的参数方程为1，（α为参数，且α∈[0，π）），曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．（1）求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；（2））若P是C1上任意一点，过点P的直线l交C2于点M，N，求|PM|•|PN|的取值范围．【分析】（1）求出C1的普通方程，即可求C1的极坐标方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化方法得出C2的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程为：（t为参数），代入C2的直角坐标方程得（x0+tcosα）2+（y+tsinα+1）2=1，由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|•|PN|=|1+2y|，即可求|PM|•|PN|的取值范围．【解答】解：（1）消去参数可得x2+y2=1，因为α∈[0，π），所以﹣1≤x≤1，0≤y≤1，所以曲线C1是x2+y2=1在x轴上方的部分，所以曲线C1的极坐标方程为ρ=1（0≤θ≤π）．…（2分）曲线C2的直角坐标方程为x2+（y+1）2=1…（5分）（2）设P（x0，y），则0≤y≤1，直线l的倾斜角为α，则直线l的参数方程为：（t为参数）．…（7分）代入C2的直角坐标方程得（x+tcosα）2+（y+tsinα+1）2=1，由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|•|PN|=|1+2y|，因为0≤y≤1，所以|PM|•|PN|=∈[1，3]…（10分）4．（2017•泸州模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A、B，求的最小值．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，求圆C的直角坐标方程；（2）利用参数的几何意义，求的最小值．【解答】解：（1）圆C的方程为ρ=6sinθ，可化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9；（2）直线l的参数方程为为参数），代入x2+（y﹣3）2=9，可得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，∴t1+t2=﹣2（cosα﹣sinα），t1t2=﹣7，∴===≥，∴的最小值为．5．（2016•延安校级二模）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【分析】（1）首先，对于曲线C：根据极坐标与直角坐标变换公式，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，化成直角坐标方程，对于直线l：消去参数t即可得到普通方程；（2）首先，联立方程组，消去y整理，然后，设点M，N分别对应参数t1，t2，从而，得到|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|，然胡，结合一元二次方程根与系数的关系，建立含有a的关系式，求解a的取值．【解答】解：（1）∵，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）；直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．（2）联立方程组，消去y并整理，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0 （*）△=8a（4+a）＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|．由题设得（t1﹣t2）2=|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2=|t1t2|．由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，则有（4+a）2﹣5（4+a）=0，得a=1，或a=﹣4．∵a＞0，∴a=1．6．（2016•陕西校级模拟）已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l的参数方程为，其中t为参数，求直线l被曲线C截得的弦长．【分析】（1）先消去参数，求出曲线的普通方程，然后利用普通方程和极坐标方程之间的关系进行转化求解即可．（2）直线方程的极坐标为，代入曲线C的极坐标方程求出ρ即可．【解答】解（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为，将代入并化简得：，即曲线C的极坐标方程为；（2）将代入得弦长为．7．（2016•开封四模）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．【分析】（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程即可；（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得关于t的一元二次方程，由根与系数的关系，求出t1、t2的关系式，结合参数的几何意义，求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程ρsin2θ=acosθ（a＞0），可化为ρ2sin2θ=aρcosθ（a＞0），即y2=ax（a＞0）；（2分）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，化为普通方程是y=x﹣2；（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax（a＞0）中，得；设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，则；（6分）∵|PA|•|PB|=|AB|2，∴t1•t2=，∴=+4t1•t2=5t1•t2，（9分）即；解得：a=2或a=﹣8（不合题意，应舍去）；∴a的值为2．（12分）8．（2016•福建模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【分析】解法一：（Ⅰ）由参数方程消去参数α，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角．（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．（2分）由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）（3分）将代入（*），化简得y=x+2，（4分）所以直线l的倾斜角为．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数），（7分）代入并化简，得．（8分）．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，（9分）所以．（10分）解法二：（Ⅰ）同解法一．（5分）（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，（7分）于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，（8分）故．（10分）9．（2016•平顶山二模）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），P点的极坐标为（2，π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（Ⅰ）试将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C的焦点坐标；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于两点A，B，点M为AB的中点，求|PM|的值．【分析】（Ⅰ）把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的方程ρcos2θ=sinθ，可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）设点A，B，M对应的参数为t1，t2，t，由题意可知．把直线l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，利用韦达定理求得t1+t2的值，可得|PM|=|t|的值．【解答】解：（Ⅰ）把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρcos2θ=sinθ，可得曲线C 的直角坐标方程为x2=y，它是开口向上的抛物线，焦点坐标为．（Ⅱ）点P的直角坐标为（﹣2，0），它在直线l上，在直线l的参数方程中，设点A，B，M对应的参数为t1，t2，t，由题意可知．把直线l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得．因为，所以．10．（2016•汕头模拟）已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．【分析】（1）利用ρ2=x2+y2，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x﹣1）代入下式消去参数t即可；（2）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出最小值．【解答】解：（1）直线l的参数方程为为参数）．由上式化简成t=2（x﹣1）代入下式得根据ρ2=x2+y2，进行化简得C：x2+y2=1（2分）（2）∵代入C得∴（5分）设椭圆的参数方程为参数）（7分）则（9分）则的最小值为﹣4．（10分）11．（2017•自贡模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．（Ⅰ）消去参数t即可得到直线l的普通方程；利用x=ρcosθ，y=ρsinθ【分析】将曲线C转化为普通方程；（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（其中t为参数），消去参数t得普通方程y=x﹣4．由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ．由x=ρcosθ，y=ρsinθ以及x2+y2=ρ2，得y2+（x﹣2）2=4；（Ⅱ）由y2+（x﹣2）2=4得圆心坐标为（2，0），半径R=2，则圆心到直线的距离为：d==3，而点P在圆上，即O′P+PQ=d（Q为圆心到直线l的垂足），所以点P到直线l的距离最小值为3﹣2．12．（2014•新课标Ⅰ）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P 到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．13．（2016•太原三模）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．【分析】（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．14．（2016•衡阳三模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点 P是曲线C上的动点，求 P到直线l的距离的最小值，并求出 P点的坐标．【分析】本题（1）可以先消参数，求出直线l的普通方程，再利用公式将曲线C的极坐标方程化成平面直角坐标方程，（2）利用点到直线的距离公式，求出P 到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论．【解答】解：（1）∵，∴x﹣y=1．∴直线的极坐标方程为：ρcosθ﹣ρsinθ=1．即，即．∵，∴，∴ρcos2θ=sinθ，∴（ρcosθ）2=ρsinθ即曲线C的普通方程为y=x2．（2）设P（x0，y），，∴P到直线的距离：．∴当时，，∴此时，∴当P点为时，P到直线的距离最小，最小值为．15．（2016•衡水校级二模）在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．【分析】（1）把C1消去参数化为普通方程为 x2+y2=1，再化为极坐标方程．根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程，再化为极参数方程．（2）先求得直线l的直角坐标方程，设点P（cosθ，2sinθ），求得点P到直线的距离为d=，故当sin（θ+）=1时，即θ=2kπ+，k∈z时，点P到直线l的距离的最小值，从而求得P的坐标以及此最小值【解答】解：（1）把C1：（θ为参数），消去参数化为普通方程为 x2+y2=1，故曲线C1：的极坐标方程为ρ=1．再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为+=1，即+=1．故曲线C2的极参数方程为（θ为参数）．（2）直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4，即x+y﹣4=0，设点P（cosθ，2sinθ），则点P到直线的距离为d==，故当sin（θ+）=1时，d取得最小值，此时，θ=2kπ+，k∈z，点P（1，），故曲线C上有一点P（1，）满足到直线l的距离的最小值为﹣．216．（2016•晋中模拟）选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M（x，y），求的取值范围．【分析】（I）利用ρ2=x2+y2，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x﹣1）代入下式消去参数t即可；（II）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出其范围即可．【解答】解：（Ⅰ）直线l的普通方程x+y﹣2﹣1=0曲线C的直角坐标方程x2+y2=4；…（4分）（Ⅱ）曲线C经过伸缩变换得到曲线C'的方程为，则点M参数方程为，代入x+y得，x+y=•2cosθ+=2sin=4sin（）∈[﹣4，4]∴x+y的取值范围是[﹣4，4]…（10分）17．（2016•池州一模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．【分析】（1）由已知得t=x﹣3，从而y=，由此能求出直线l的普通方程；由，得，由此能求出圆C的直角坐标方程．（2）圆C圆心坐标C（0，），设P（3+t，），由此利用两点间距离公式能求出点P的坐标，使P到圆心C 的距离最小．【解答】解：（1）∵在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，∴t=x﹣3，∴y=，整理得直线l的普通方程为=0，∵，∴，∴，∴圆C的直角坐标方程为：．（2）圆C：的圆心坐标C（0，）．∵点P在直线l：=0上，设P（3+t，），则|PC|==，∴t=0时，|PC|最小，此时P（3，0）．18．（2016•龙岩二模）已知直线C1：（t为参数），圆C2：（α为参数）（Ⅰ）若直线C1经过点（2，3），求直线C1的普通方程；若圆C2经过点（2，2），求圆C2的普通方程；（Ⅱ）点P是圆C2上一个动点，若|OP|的最大值为4，求t的值．【分析】（I）直线C1：（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=（x﹣1）tanα+2，把点（2，3）代入，解得tanα，即可得出直线C1的普通方程．由圆C2：（α为参数），利用cos2α+sin2α=1消去参数α化为普通方程，把点（2，2）代入解得t2，即可得出圆C2的普通方程．（II）由题意可得：|OP|max =|OC2|+|t|，代入解得t即可得出．【解答】解：（I）直线C1：（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=（x﹣1）tanα+2，∵直线C1经过点（2，3），∴3=tanα+2，解得tanα=1．∴直线C1的普通方程为y=x+1．圆C2：（α为参数），化为普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=t2，∵圆C2经过点（2，2），∴t2=1，∴圆C2的普通方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1．圆心C2=（1，2），半径r=1．（II）由题意可得：|OP|max =|OC2|+|t|，∴4=+|t|，解得t=±（4﹣）．19．（2016•河南三模）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ2（sin2θ+4cos2θ）=4．（1）求曲线C1与曲线C2的普通方程；（2）若A为曲线C1上任意一点，B为曲线C2上任意一点，求|AB|的最小值．【分析】（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得普通方程．曲线C2的极坐标方程为ρ2（sin2θ+4cos2θ）=4，利用y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化为直角坐标方程．（2）设B（cosβ，2sinβ），则|BC1|==，利用三角函数的单调性与值域、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得：x2+（y﹣1）2=．圆心C（0，1）．曲线C2的极坐标方程为ρ2（sin2θ+4cos2θ）=4，可得直角标准方程：y2+4x2=4，即+y2=4．（2）设B（cosβ，2sinβ），则|BC1|==≥，当sin时取等号．∴|AB|的最小值=﹣．20．（2016•武昌区模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（Ⅱ）若P是直线l上的一点，Q是曲线C上的一点，当|PQ|取得最小值时，求P的直角坐标．【分析】（Ⅰ）由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，即可得到直角坐标方程．（II）由题设条件知，|PQ|+|QC|≥|PC|，当且仅当P，Q，C三点共线时，等号成立，即|PQ|≥|PC|﹣，可得：|PQ|min =|PC|min﹣．设P（﹣t，﹣5+t），又C（，0），利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，从而有x2+y2=2x，∴（x﹣）2+y2=3．∴曲线C是圆心为（，0），半径为的圆．（Ⅱ）由题设条件知，|PQ|+|QC|≥|PC|，当且仅当P，Q，C三点共线时，等号成立，即|PQ|≥|PC|﹣，∴|PQ|min =|PC|min﹣．设P（﹣t，﹣5+t），又C（，0），则|PC|===．当t=1时，|PC|取得最小值，从而|PQ|也取得最小值，此时，点P的直角坐标为（﹣，﹣）．21．（2016•黔东南州模拟）已知曲线C：9x2+4y2=36，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【分析】（I）曲线C：9x2+4y2=36，化为=1，利用cos2θ+sin2θ=1可得参数方程．直线l：（t为参数），即，即可化为普通方程．（II）点P（2cosθ，3sinθ）到直线l的距离d==∈，利用|PA|==2d即可得出．【解答】解：（I）曲线C：9x2+4y2=36，化为=1，可得参数方程：（θ∈[0，2π））．直线l：（t为参数），即，化为：2x+y﹣6=0．（II）点P（2cosθ，3sinθ）到直线l的距离d==∈，|PA|==2d∈．∴|PA|的最大值与最小值分别为，．22．（2016•重庆模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin（）=2．（Ⅰ）分别将曲线C的参数方程和直线l的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程；（Ⅱ）动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P的坐标为（﹣2，2），求|PB|+|AB|的最小值．【分析】（1）消参数，根据cos2α+cos2α=1得出曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标的对应关系得到直线l的普通方程；（2）求出P关于直线l的对称点P′，则|PB|+|AB|的最小值为P′到圆心的距离减去曲线C的半径．【解答】解：（1）∵，∴，∴（x﹣1）2+y2=1．∴曲线C的普通方程是：（x﹣1）2+y2=1．∵ρsin（）=2，∴ρsinθ+ρcosθ=2，即ρsinθ+ρcosθ=4．∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣4=0．（2）设点P关于直线l的对称点为P′（x，y），则，解得P′。

《参数方程》练习题一.选择题：1．直线l 的参数方程为()x a t t y b t=+⎧⎨=+⎩为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（ ） A ．1t B ．12t C1 D1 2．直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心3．直线112()2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ ）A ．(3,3)- B．( C．3)- D．(3,4．曲线的参数方程为321x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 是参数)，则曲线是（ ）A 、线段B 、双曲线的一支C 、圆D 、直线5．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56.直线003sin 201cos 20x t y t ⎧=-⎨=+⎩ (t 为参数)的倾斜角是 ( ) A.200 B.700 C.1100 D.1600 7.实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ） A 、27 B 、4 C 、29 D 、5 二、填空题： 7．曲线的参数方程是211()1x t t y t ⎧=-⎪≠⎨⎪=-⎩为参数,t 0，则它的普通方程为_____8．点P(x,y)是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为___________。

9．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩（t 为参数）与圆42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）相切，则θ=_______________。

10.设曲线C 的参数方程为2x=t y=t ⎧⎨⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为__ _____.三、解答题：11．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。

参数方程章节测试卷一、 选择题1．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 2．参数方程12x t y t =-⎨=+（t 为参数）的曲线与坐标轴的交点坐标为（ ）(A)（1,0），（0，-2） (B) （0,1），（-1,0）(C)（0，-1），（1,0） (D) （0,3），（-3,0）3其中a 是参数)，则该曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线的一部分D ．圆的一部分4．已知过曲线()3cos 024sin x y θθθπθ=⎧≤<⎨=⎩为参数，上一点P ，原点为O ，直线PO 的 P 点坐标是（ ） A ．（3，4）B C ．(4，3) D 5和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为A ．(3,3)-B 6． 在直角坐标系中，以坐标原点为极点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线I 的参数方程是.（r 为参数），曲线C 的极坐标方程是=2，直线l 与曲线C 交于A 、B,则|AB| =( ) A.B.C. 4D.7和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点 坐标为（ ）A ．(3,3)- BCD8． 经过点M(1，5)M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是 ( )9．⊙O 1极坐标方程为θρcos 4=，⊙O 2参数方程为θθθ(sin 22cos 2⎩⎨⎧+-==y x 为参数)，则⊙O 1与⊙O 2公共弦的长度为( )A．．110．参数方程22sin 1cos 2x y θθ⎧=+⎨=-+⎩(θ为参数)化成普通方程是( )Ａ.240x y -+= Ｂ.240x y +-= Ｃ.[]240,2,3x y x -+=∈ Ｄ.[]240,2,3x y x +-=∈11（t 为参数）与圆2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的位置关系是( )Ａ.相离 Ｂ.相切 Ｃ.过圆心 Ｄ.相交不过圆心 12．极坐标θρcos 2=和参数方程)(3231为参数t ty tx ⎩⎨⎧+=--=所表示的图形分别是 （ ）A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线 二、填空题14_________.15（t 为参数）的曲线的焦距为 ．16．已知圆在直角坐标系中的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin 2cos 22y x ，现以直角坐标系的原点为极点，以X 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则该圆的极坐标方程是_______________17．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[0,2]θπ∈），则圆C 的圆心坐标为_______，圆心到直线l 的距离为______. 18．在直角坐标系xoy 中，设点A 在曲线C 1：θθθ(sin 4cos 3⎩⎨⎧+=+=y x 为参数)上，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点B 在曲线C 2：1=ρ上，则|AB|的最小值为 ________.三、解答题19．C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点且与直线423x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程。

第二讲过关检测(时间:90分钟,满分:100分)知识点分布表一、选择题(每小题4分,共40分) 1.若圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23,cos 21y x (θ为参数),直线的参数方程为⎩⎨⎧-=-=16,12t y t x (t为参数),则直线与圆的位置关系是（ ）A.过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离2.已知三个方程：①⎩⎨⎧==2,t y t x ②⎩⎨⎧==t y t x 2tan ,tan ③⎩⎨⎧==ty t x 2sin ,sin (都是以t 为参数),那么表示同一曲线的方程是（ ）A.①②③B.①②C.①③D.②③ 3.椭圆⎩⎨⎧+-=+=θθsin 42,cos 35y x （θ为参数）的离心率是（ ）A.47 B.37 C.27 D.57 4.圆锥曲线⎩⎨⎧==θθsec 3,tan 2y x (θ为参数)的准线方程是 （ ）A.13139±=y B.13139±=x C.1313±=y D.1313±=x 5.下列参数方程（t 为参数）中与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的是（ ）A.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y t x 2cos 12cos 1tanB.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y t x 2cos 12cos 1tanC.⎩⎨⎧==2||t y t xD.⎩⎨⎧==t y tx 2cos cos 答案：B6.方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=2,1y t t x （t 为参数）所表示的曲线是（ ）A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线 7.已知圆的渐开线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin ),sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x ,(φ为参数)上有一个点的坐标为（3，0），则渐开线对应的基圆的面积为（ ）A.πB.3πC.4πD.9π 8.设r ＞0,那么直线xcos θ＋ysin θ＝r 与圆⎩⎨⎧==ϕϕsin ,cos r y r x (φ是参数)的位置关系是（ ）A.相交B.相切C.相离D.视r 的大小而定9.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==11,12t t y tx （t 为参数）所表示的曲线是 （ ）10.直线⎩⎨⎧-=+=ααsin 2,cos 1:1t y t x l （t 为参数），如果α为锐角，那么直线l 1与直线l 2:x ＋1＝0的夹角是（ ） A.απ-2B.απ+2C.αD.π－α 二、填空题（每小题4分，共16分） 11.直线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=ty t x 23,22(t 为参数)上与点P(－2,3)的距离等于2的点的坐标是________. 12.椭圆⎩⎨⎧==θθαsin ,cos b y x (θ为参数),若θ∈［0,2π］,则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝________.13.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=ty t x 3,3(参数t ∈R ),圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin 2,cos 2θθy x (参数θ∈［0,2π)),则圆C 的圆心坐标为________,圆心到直线l的距离为________.14.在圆的摆线上有点(π,0)，那么在满足条件的摆线的参数方程中，使圆的半径最大的摆线上,参数4πϕ=对应的点的坐标为_____________.三、解答题(共44分) 15.(10分)求θθcos 1sin 2--=m 最小值.16.(10分)如图,已知椭圆1422=+y x 上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点,求证|OP|·|OQ|为定值.17.(12分)已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)上存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称,求p 的取值范围.18.(12分)如图,已知圆的方程为2122=+y x ,椭圆的方程为1162522=+y x ,过原点的射线交圆于A 点,交椭圆于B 点,过A 、B 分别作x 轴和y 轴的平行线,求所作两直线交点P 的轨迹方程.参考答案1解析：将圆、直线的参数方程化成普通方程，利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，可知圆心到直线的距离小于半径，并且圆心不在直线上. 答案：B2 解析：①②③的普通方程都是y ＝x 2,但①②中x 的取值范围相同，都是x ∈R ，而③中x 的取值范围是－1≤x ≤1.3 解析：将椭圆的参数方程化为普通方程，即116)2(9)5(22=++-y x ，∴a ＝4，b ＝3.由c 2＝a 2－b 2得7=c ，∴47==a c e . 答案：A4 解析：根据条件和三角函数的性质可知,对应的普通方程为14922=-x y ,表示的曲线是焦点在y 轴的双曲线.且对应的a ＝3,b ＝2,13=c ,所以,准线方程是13139±=y . 答案：A5 解析：注意参数的取值范围，可利用排除法，普通方程中的x ∈R ，y ≥0，A 中222221tan 1cot sin 2cos 2xt t t y ====，即x 2y ＝1，故排除A ；C 中x ＝|t|≥0，D 中x ＝cost ∈［－1,1］，故排除C 和D.6 解析：根据参数方程中y 为常数可知，方程表示的是平行于x 轴的直线，再利用不等式知识可以求出x 的取值范围是x ≤－2或x ≥2，可知方程表示的图形是两条射线. 答案：B7 解析：把已知点(3,0)代入参数方程得⎩⎨⎧-=+=②r ①r ),cos (sin 0),sin (cos 3ϕϕϕϕϕϕ由②得φ＝tan φ,所以，φ＝0,代入①得3＝r ·(cos0＋0)，所以,r ＝3，所以,基圆的面积为9π. 答案：D8 解析：根据已知圆的圆心在原点,半径是r,则圆心(0,0)到直线的距离为r r d =+-+=θθ22sin cos |00|,恰好等于圆的半径,所以,直线和圆相切.答案：B9 解析：将参数方程进行消参，则有x t 1=，把x t 1=，代入112-=t ty 中，得当x ＞0时，x 2＋y 2＝1，此时y ≥0；当x ＜0时，x 2＋y 2＝1，此时y ≤0.对照选项，可知D 正确.10 解析：l 1的直线可化为y －2＝－tan α(x －1),l 2的倾斜角为2π,l 1的倾斜角为π－α,∴l 1与l 2的夹角为απ-2.答案：A11 解析:可以把直线的参数方程转化为标准式,或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得222||)2()2(22±=⇒=+-t t ,将t 代入原方程,得⎩⎨⎧=-=4,3y x 或⎩⎨⎧=-=.2,1y x .∴所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2). 答案：(－3,4)或(－1,2) 12 答案：π13 解析：消参后得圆的方程为x 2＋(y －2)2＝4,所以圆心坐标为(0,2),消参数后得直线方程为x ＋y ＝6,那么圆心到直线的距离为2211|620|22=+-+.答案：(0,2) 2214 解析：首先根据摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数),把点(π,0)代入可得1cos )cos 1(0)sin (=⇒⎩⎨⎧-=-=ϕϕϕϕπr r ,则sin φ＝0,φ＝2k π(k ∈Z ),所以,k k r 212==ππ(k ∈Z ),又r ＞0,所以k ∈N ＋,当k ＝1时r 最大为21,再把4πϕ=代入即可. 答案：)422,822(--π15 解:设Q(1,2),P(cos θ,sin θ)为圆x 2＋y 2＝1上任意一点,如图,可知,θθcos 1sin 2--=m 就是直线PQ 的斜率,当过Q 的直线与圆x 2＋y 2＝1相切时,切线的斜率就是所求的最小值.设过Q 与圆x 2＋y 2＝1相切的直线方程为y －2＝k(x －1),即kx －y ＋2－k ＝0, ∵圆心O 到切线PQ 的距离等于半径1, ∴11|2|2=+-k k ,∴43=k ,∴43min =m . 16 证明:设M(2cos φ,sin φ),φ为参数, B 1(0,－1),B 2(0,1). 则MB 1的方程为x y ϕϕcos 21sin 1+=+,令y ＝0,则1sin cos 2+=ϕϕx ,即.sin 1|cos 2|||ϕϕ+=OP MB 2的方程为x y ϕϕcos 21sin 1-=-,∴|sin 1cos 2|||ϕϕ-=OQ ,∴4|sin 1cos 2||sin 1cos 2|||||=-⨯+=•ϕϕϕϕOQ OP .∴|OP|·|OQ|为定值4.17 解:设抛物线上两点A(2px 12,2px 1)、B(2px 22,2px 2). 又A 、B 两点关于直线x ＋y －1＝0对称,则有⎪⎩⎪⎨⎧=--=+++②x x p x x p ①x x p x x p .1)(2)(2,1)()(212212212221由②得x 1＋x 2＝1代入①得012221>-=+ppx x , ∴0＜p ＜1.又由2212221)2(2x x x x +>+,得211>-p p , ∴320<<p 为所求. 18 解:设)sin 22,cos 22(ααA ,B(5cos θ,4sin θ),θ为离心角,则所求轨迹的参数方程为:⎪⎩⎪⎨⎧==②y ①x ,sin 22,cos 5αθ由O 、A 、B 三点共线,知k OA ＝k OB ,从而得θαtan 54tan =③,由①得22225tan x x -=θ④,由②得222212tan y y -=α⑤,将③两边平方得θα22tan 2516tan =⑥,把④⑤代入⑥化简整理得所求轨迹方程为:8x 2＋9x 2y 2＋400y 2＝200.。

hingsintheirbeingadforso参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．　2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解．解答：解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，ti m e an dAl h ei r be i ng ar e g o o d f o rs o ∴，∴x ﹣y+1=0．（2）根据曲线C 的参数方程为：（α为参数）．得（x ﹣2）2+y 2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值=．点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．3．已知曲线C 1：（t 为参数），C 2：（θ为参数）．（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 1上的点P 对应的参数为t=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：（t 为参数）距离的最小值．考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C 1表示一个圆；曲线C 2表示一个椭圆；（2）把t 的值代入曲线C 1的参数方程得点P 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C 2的参数方程设出Q 的坐标，利用中点坐标公式表示出M 的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M 到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．解答：解：（1）把曲线C 1：（t 为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y ﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C 2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C 1的参数方程得：P （﹣4，4），把直线C 3：（t 为参数）化为普通方程得：x ﹣2y ﹣7=0，Al l thi n gs in th e i r be i n g ar eg o o d f o rs o 所以M 到直线的距离d==，（其中sin α=，cos α=）从而当cos θ=，sin θ=﹣时，d 取得最小值．点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为，直线l 的参数方程为（t 为参数），直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB 面积的最大值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由圆C 的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II ）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d ，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）由圆C 的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C 的普通方程为x 2+y 2﹣2x+2y=0，即（x ﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l 的参数方程（t 为参数），把t=x 代入y=﹣1+2t 可得直线l 的普通方程：，∴圆心到直线l 的距离，∴|AB|=2==，点P 直线AB 距离的最大值为，．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、andAllthibeingaregoodforso 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意椭圆的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为．将椭圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为普通方程为（4分）点到直线的距离（6分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（10分）点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．解答：解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，可得，3x+4y+1=0；由于ρ=cos（θ+）=（），即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；ai n th ei r be i ng ar e g oo d f o rs o（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M （，），则x+y==sin （），由于θ∈R ，则x+y 的最大值为1．点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线C 的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：（t 为参数）距离的最小值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用x=ρcos θ，y=ρsin θ即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，解答：解 （1）∵P 点的极坐标为，∴=3，=．∴点P 的直角坐标把ρ2=x 2+y 2，y=ρsin θ代入可得，即∴曲线C 的直角坐标方程为．（2）曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l 的普通方程为x ﹣2y ﹣7=0设，则线段PQ 的中点．那么点M 到直线l 的距离.l l thi n gs in th e i r be i n g a r e g o o df o rs o ∴点M 到直线l 的最小距离为．点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．8．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（I ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x ﹣1）2+y 2=1．把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（II ）由直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解答：解：（I ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x ﹣1）2+y 2=1．把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入化简得：ρ=2cos θ，即为此圆的极坐标方程．（II ）如图所示，由直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．l l t h i n gs i n t h ei r b e i n g a r eg oo 点评：本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．9．在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+）=4．（1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcos θ、y=ρsin θ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）求得椭圆上的点到直线x+y ﹣8=0的距离为，可得d 的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P的坐标．解答：解：（1）由曲线C 1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C 1的普通方程为：．由曲线C 2：得：，即ρsin θ+ρcos θ=8，所以x+y ﹣8=0，即曲线C 2的直角坐标方程为：x+y ﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点到直线x+y ﹣8=0的距离为，∴当时，d 的最小值为，此时点P 的坐标为．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．10．已知直线l 的参数方程是（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ=2cos （θ+）．（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；（Ⅱ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．e an d A l l t h h ei r be i ng a r e g o o d f o r s 分析：（I ）先利用三角函数的和角公式展开圆C 的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得圆C 的直角坐标方程，从而得到圆心C 的直角坐标．（II ）欲求切线长的最小值，转化为求直线l 上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l 上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．解答：解：（I ）∵，∴，∴圆C 的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II ）∵直线l 的普通方程为，圆心C 到直线l 距离是，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是（10分）点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．11．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为，（t 为参数），曲线C 1的方程为ρ（ρ﹣4sin θ）=12，定点A （6，0），点P 是曲线C 1上的动点，Q 为AP 的中点．（1）求点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）直线l 与直线C 2交于A ，B 两点，若|AB|≥2，求实数a 的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将曲线C 1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C 1的直角坐标方程为：x 2+y 2﹣4y=12，设点P （x ′，y ′），Q （x ，y ），根据中点坐标公式，得，代入x 2+y 2﹣4y=12，得点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程为：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=4，（2）直线l 的普通方程为：y=ax ，根据题意，得，ti m e a n dAl lr b e i n g a r e g o o d f o rs o 解得实数a 的取值范围为：[0，]．点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．12．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ，ρcos （）=2．（Ⅰ）求C 1与C 2交点的极坐标；（Ⅱ）设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为（t ∈R 为参数），求a ，b 的值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：压轴题；直线与圆．分析：（I ）先将圆C 1，直线C 2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II ）由（I ）得，P 与Q 点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ 的直角坐标方程为x ﹣y+2=0，由参数方程可得y=x ﹣+1，从而构造关于a ，b 的方程组，解得a ，b 的值．解答：解：（I ）圆C 1，直线C 2的直角坐标方程分别为 x 2+（y ﹣2）2=4，x+y ﹣4=0，解得或，∴C 1与C 2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II ）由（I ）得，P 与Q 点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ 的直角坐标方程为x ﹣y+2=0，由参数方程可得y=x ﹣+1，ti mn dAl l thi n gs i n t h ei r be i n g ar es o 解得a=﹣1，b=2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．13．在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P （4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ（Ⅰ）写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 与直线相交于不同的两点M 、N ，求|PM|+|PN|的取值范围．解答：解：（I ）直线l 的参数方程为（t 为参数）．曲线C 的极坐标方程ρ=4cos θ可化为ρ2=4ρcos θ．把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入曲线C 的极坐标方程可得x 2+y 2=4x ，即（x ﹣2）2+y 2=4．（II ）把直线l 的参数方程为（t 为参数）代入圆的方程可得：t 2+4（sin α+cos α）t+4=0．∵曲线C 与直线相交于不同的两点M 、N ，∴△=16（sin α+cos α）2﹣16＞0，∴sin αcos α＞0，又α∈[0，π），∴．又t 1+t 2=﹣4（sin α+cos α），t 1t 2=4．∴|PM|+|PN|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=4|sin α+cos α|=，∵，∴，∴．∴|PM|+|PN|的取值范围是．点评：本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题．　14．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2sin θ．（Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．e an dn gs in th ei r b e i n g a r e g o （II ）设P ，又C ．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（I ）由⊙C 的极坐标方程为ρ=2sin θ．∴ρ2=2，化为x 2+y 2=，配方为=3．（II ）设P ，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P （3，0）．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为θ=（p ∈R ），曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．（Ⅰ）把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB 的长度．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得曲线C 2及曲线C 1的直角坐标方程．（Ⅱ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB 的长度．解答：解：（Ⅰ）曲线C 2：（p ∈R ）表示直线y=x ，曲线C 1：ρ=6cos θ，即ρ2=6ρcos θ所以x 2+y 2=6x 即（x ﹣3）2+y 2=9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r=3所以弦长AB==．∴弦AB 的长度．点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．16．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin （θ+）=，圆C 的参数方程为，（θ为参数，r ＞0）（Ⅰ）求圆心C 的极坐标；（Ⅱ）当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3．eandAllthingsintheirbeoodforsom 专题：计算题．分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值，最后列出关于r的方程即可求出r值．解答：解：（1）由ρsin（θ+）=，得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0．由得C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C的极坐标（1，）．（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．17．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题．分析：（I）利用，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，然后求出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（I）由，x2+y2=ρ2，t a dA h i n 可知圆圆的极坐标方程为解，），）解法一：由，，的公共弦的参数方程为的公共弦的参数方程为）代入从而的公共弦的参数方程为。

极坐标与参数方程单元练习1一、选择题（每小题5分，共25分）1、已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。

A. 53，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πB. 543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪C. 523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3、在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ）4、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ）A 、线段B 、双曲线的一支C 、圆D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ）A 、27 B 、4 C 、29D 、5二、填空题（每小题5分，共30分）1、点()22-，的极坐标为 。

2、若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=___________，S AOB ∆=___________。

（其中O 是极点）3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=的距离是________ _____。

4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是_______ _____。

5、圆锥曲线()为参数θθθ⎩⎨⎧==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。

6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。

三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分）1、求圆心为C 36，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程。

2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。

参数方程一、选择题1．直线34x t y t =-⎧⎨=+⎩，（t 为参数)上与点(3,4)P 的距离等于 ）A ．)3,4(B ．)5,4(-或)1,0(C ．)5,2(D ．)3,4(或)5,2(2．已知直线t ty t x (12⎩⎨⎧+=+=为参数）与曲线C ：03cos 42=+-θρρ交于B A ,两点， ）A ．1 BC 3．曲线θθθ(sin 2cos 1⎩⎨⎧+=+-=y x 为参数）的对称中心（ ）A 、在直线y=2x 上B 、在直线y=-2x 上C 、在直线y=x-1上D 、在直线y=x+1上4．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） C 、圆 D 、射线二、解答题5．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是记射线OM ：与C 分别交于点O ，P ，与l 交于点Q ，求PQ 的长．6．选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y 2=25.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，∣AB ∣l 的斜率.7．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.（Ⅰ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a. 8．选修4-4：坐标系与参数方程．已知直线l 的参数方程为431x t ay t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin 8ρρθ-=-．（1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆M 所得弦长为，求实数a 的值． 9．（本小题满分10分）已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为12cos (2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）． （1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的坐标方程是，且直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求弦AB 的长．10．（2014•大武口区校级一模）已知直线的极坐标方程为，圆M 的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求圆M 上的点到直线的距离的最小值．11．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位,已知直线 l 的参数方程为 1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数， 0απ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程。

参数方程大题1． 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩(t 为参数）,直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3：ρ（cos θ+sin θ)−2=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.2. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。

（1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2）设点A 的极坐标为π(2,)3，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值.3。

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）。

（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标;（2）若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a 。

4. 在直线坐标系xoy 中,曲线C 1的参数方程为(为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρsin （）=.（I ）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（II ）设点P 在C 1上,点Q 在C 2上，求∣PQ ∣的最小值及此时P 的直角坐标.5. 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y 。

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，学.科网求C 的极坐标方程;（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin xt α,yt α,（t 为参数），l 与C 交于A ,B 两点，10AB ,求l 的斜率.6。

选修系列4 综合测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t2，y ＝2＋32t (t 为参数)，则其直角坐标方程为( )A.3x ＋y ＋2－3＝0B.3x －y ＋2－3＝0 C ．x －3y ＋2－3＝0 D ．x ＋3y ＋2－3＝0答案 B解析 ∵⎩⎨⎧x －1＝t 2，y －2＝32t ， ∴y －2＝3(x －1)．即3x －y ＋2－3＝0.2.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，BC ＝10，AC 与BD 交于点O ，过O 点作EF ∥AD ，交AB 于E ，交DC 于F ，则EF ＝( )A.103B.203 C ．10 D ．20答案 B3．“a ＝2”是“关于x 的不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 因为|x ＋1|＋|x ＋2|≥|x ＋1－(x ＋2)|＝1，所以由不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空，得a >1，所以“a ＝2”是“关于x 的不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空”的充分不必要条件，故选C.4．在极坐标系中，点(2，π3)到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )A ．2 B.4＋π29C.1＋π29D. 3答案 D解析 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点(2，π3)的直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cos θ的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心到点(1，3)的距离为 3.5．设x ，y ∈R ，M ＝x 2＋y 2＋1，N ＝x ＋y ＋xy ，则M 与N 的关系是( ) A ．M ≥N B ．M ≤N C ．M ＝N D ．不能确定答案 A解析 x 2＋1≥2x ，y 2＋1≥2y ，x 2＋y 2≥2xy ，三式相加即可．6.如图，E ，C 分别是∠A 两边上的点，以CE 为直径的⊙O 交∠A 的两边于点D ，点B ，若∠A ＝45°，则△AEC 与△ADB 的面积比为( )A ．2∶1B ．1∶2 C.2∶1 D.3∶1答案 A解析 连接BE ，求△AEC 与△ABD 的面积比即求AE 2∶AB 2的值，设AB ＝a ，∵∠A ＝45°， 又∵CE 为⊙O 的直径，∴∠CBE ＝∠ABE ＝90°. ∴BE ＝AB ＝a ，∴AE ＝2a .∴AE 2∶AB 2＝2a 2∶a 2. 即AE 2∶AB 2＝2∶1，∴S △AEC ∶S △ABD ＝2∶1.7．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125 B.125 5 C.95 5 D.9510 答案 B解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t ⇒⎩⎨⎧x ＝1＋5t ×25，y ＝1＋5t ×15.把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t 代入x 2＋y 2＝9，得(1＋2t )2＋(2＋t )2＝9.5t 2＋8t －4＝0.∴|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(－85)2＋165＝125，弦长为5|t 1－t 2|＝1255. 8．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是( ) A ．[1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，1]答案 A解析 设f (x )＝|x ＋1|－|x －2|，则f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.由f (x )≥1，解得x ≥1，所以解集为[1，＋∞)．9.如图，AC 切⊙O 于D ，AO 延长线交⊙O 于B ，BC 切⊙O 于B ，若AD ∶AC ＝1∶2，则AO ∶OB 等于( )A ．2∶1B ．1∶1C ．1∶2D ．2∶1.5 答案 A解析 如右图所示，连接OD ，OC .∵AD ∶AC ＝1∶2， ∴D 为AC 的中点． 又∵AC 切⊙O 于点D ， ∴OD ⊥AC .∴OA ＝OC . ∴△AOD ≌△COD . ∴∠1＝∠2.又∵△OBC ≌△ODC ，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠2＝∠3＝60°，∴OC ＝2OB . ∴OA ＝2OB .故选A.10．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，直线l 与曲线C 交于A ，B ，则|AB |＝( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2答案 B解析 依题意得，直线AB 的普通方程是y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.曲线C 的标准方程是x 2＋y 2＝4，圆心C (0,0)到直线AB 的距离等于22＝2，|AB |＝24－(2)2＝22，选B. 11．若不等式|x ＋a |≤2在x ∈[1,2]时恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0] B ．[0,3] C ．(－3,0) D ．(0,3)答案 A解析 由题意得－2≤x ＋a ≤2，－2－x ≤a ≤2－x ，所以(－2－x )max ≤a ≤(2－x )min .因为x ∈[1,2]，所以－3≤a ≤0.12.如图，AB 是半圆的直径，点C ，D 在AB 上，且AD 平分∠CAB ，已知AB ＝10，AC ＝6，则AD 等于( )A ．8B ．10C ．210D ．4 5答案 D解析 如图，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C ＝∠D ＝90°.又∵AC ＝6，AB ＝10，∴BC ＝8. ∴cos ∠BAC ＝35.又∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝12∠BAC .∴2cos 2∠BAD ＝1＋cos ∠BAC ＝85.∴cos ∠BAD ＝255.又在Rt △ADB 中，AD ＝AB ·cos ∠BAD ＝10×255＝4 5.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．(2014·重庆)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1，12]解析 |2x －1|＋|x ＋2|＝|x －12|＋(|x －12|＋|x ＋2|)≥0＋|(x －12)－(x ＋2)|＝52，当且仅当x ＝12时取等号，因此函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值是52.所以a 2＋12a ＋2≤52，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，即实数a的取值范围是[－1，12]．14．(2014·湖北)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________．答案 (3，1)解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3⇒x 2＝3y 2(x ≥0，y ≥0)，曲线C 2的普通方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝4，x 2＝3y 2得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，即C 1与C 2的交点坐标为(3，1)． 15.如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G ，给出下列三个结论：①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ；②AF ·AG ＝AD ·AE ；③△AFB ∽△ADG .其中正确结论的序号是________． 答案 ①②解析 由题意，根据切线长定理，有BD ＝BF ，CE ＝CF ，所以AD ＋AE ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝(AB ＋BF )＋(AC ＋CF )＝AB ＋AC ＋(BF ＋CF )＝AB ＋AC ＋BC .所以①正确；因为AD ，AE 是圆的切线，根据切线长定理，有AD ＝AE .又因为AG 是圆的割线，所以根据切割线定理有AD 2＝AF ·AG ＝AD ·AE ，所以②正确；根据弦切角定理，有∠ADF ＝∠AGD .又因为BD ＝BF ，所以∠BDF ＝∠BFD ＝∠ADF ，在△AFB 中，∠ABF ＝2∠ADF ＝2∠AGD ，所以③错误．16．已知正实数x ，y 满足2x ＋12y ＋m ＝xy ，若xy 的最小值是9，则实数m 的值为________．答案 3解析 由基本不等式，得xy ≥2xy ＋m ，令xy ＝t ，得不等式t 2－2t －m ≥0.∵xy 的最小值是9，∴t 的最小值是3.∴3是方程t 2－2t －m ＝0的一个根，∴m ＝3.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1. 答案 (1)略 (2)略证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.18．(本小题满分12分)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED . 答案 (1)略 (2)略证明 (1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA . 又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA . 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD .从而∠BDA ＝∠PF A .由于AF ⊥EP ，所以∠PF A ＝90°，于是∠BDA ＝90°. 故AB 是直径． (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径， 故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB . 于是∠DAB ＝∠CBA . 又因为∠DCB ＝∠DAB ， 所以∠DCB ＝∠CBA . 故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角． 于是ED 为直径，由(1)得ED ＝AB . 19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，直线l 的极坐标方程为ρ＝42sin θ＋cos θ.(1)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(2)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值． 答案 (1)C 1：x 2＋2y 2＝2，l ：2y ＋x －4＝0 (2)233解析 (1)C 1：x 2＋2y 2＝2，l ：2y ＋x ＝4. (2)设Q (2cos θ，sin θ)，则点Q 到直线l 的距离 d ＝|2sin θ＋2cos θ－4|3＝|2sin (θ＋π4)－4|3≥23，当且仅当θ＋π4＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π4(k ∈Z )时取等号．∴点Q 到直线l 距离的最小值为233.20．(本小题满分12分)如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC .(1)求证：FB ＝FC ； (2)求证：FB 2＝F A ·FD ；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6，求AD 的长． 答案 (1)略 (2)略 (3)4 3解析 (1)∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC . ∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB . ∴FB ＝FC .(2)∵∠F AB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ， ∴△FBA ∽△FDB ，∴FB FD ＝F AFB ，∴FB 2＝F A ·FD .(3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°.∴∠D ＝30°.∵BC ＝6，∴AC ＝23，∴AD ＝2AC ＝4 3. 21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．答案 (1)C 1：ρ＝2，C 2：ρ＝4cos θ，⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝⎛⎭⎫－π3≤θ≤π3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t (－3≤t ≤3) 解析 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t (－3≤t ≤3)．⎝ ⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y (－3≤y ≤3) 方法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝⎛⎭⎫－π3≤θ≤π3.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x －1|＋2a (a ∈R )． (1)解关于x 的不等式f (x )<3.(2)若不等式f (x )≥ax ，∀x ∈R 恒成立，求a 的取值范围． 答案 (1)当a ≥32时，x ∈∅；当a <32时，x ∈(2a －2,4－2a ) (2)[0,1]解析 (1)由f (x )<3，即|x －1|＋2a <3，得|x －1|<3－2a . 当3－2a ≤0时，即a ≥32，不等式的解集为∅；当3－2a >0时，即a <32，不等式等价于2a －3<x －1<3－2a ，得2a －2<x <4－2a .综上，当a ≥32时，不等式的解集为∅；当a <32时，不等式的解集为{x |2a －2<x <4－2a }．(2)方法一：由f (x )≥ax ，当x <1时，a ≥1－x x －2＝(－1－1x －2)∈(－1,0)．∴a ≥0.当1≤x ≤2时，a (x －2)≤x －1恒成立⇔a ≥x －1x －2恒成立，∵x －1x －2＝(1＋1x －2)∈(－∞，0]，∴a ≥0. 当x ＝2时，1＋2a ≥2a 恒成立，a ∈R . 当x >2时，a ≤x －1x －2恒成立，∵x －1x －2∈(1，＋∞)，∴a ≤1. 综上，∀x ∈R 使得不等式f (x )≥ax 恒成立的a 的取值范围是[0,1]． 方法二：由f (x )≥ax ，即|x －1|＋2a ≥ax ，∴|x－1|≥a(x－2)．依题意，y＝|x－1|的图像恒在y＝a(x－2)图像的上方，而y＝a(x－2)恒过(2,0)点，依图分析得0≤a≤1.。

第一单元 参数方程测试（一） 第I 卷(非选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.圆的参数方程是2cos x θθ=⎧⎨⎩，y=2sin , (θ为参数)，这个圆的半径是（ ）Ａ.１ B. 2 C.2 Ｄ.４ 2.椭圆的参数方程是5cos x y θθ=⎧⎨⎩，=3sin , (θ为参数)，这个椭圆的长轴长是（ ）Ａ.3 B.5 C.6 Ｄ.10 3.已知曲线Ｃ的参数方程是23x t y t =⎧⎨=+⎩，，(t 是参数，且t ≥0)，则下列点在曲线Ｃ上的是（ ）Ａ.(１，2) B.(－1,1) C.(2,3) D.(２，7)4.方程22321x t y t ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，，(t 是参数)表示的曲线是（ ） Ａ.直线 Ｂ.射线 Ｃ.圆 Ｄ.椭圆5.下列以t 为参数所表示的曲线方程中，与方程xy ＝6所表示的曲线完全一致的是（ ）Ａ.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩B.2||3||x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C.2cos 3cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D. 2tan 3tan x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 6.双曲线3sec x θθ=⎧⎨⎩，y=4tan ,(θ为参数)的两焦点坐标是（ ）A.(±7,0)B.(±5,0) Ｃ.(0，±7) D.(0，±5)7.圆的参数方程是2cos x θθ=+⎧⎨⎩，y=-1+sin , (θ为参数)，则这个圆的圆心坐标是( )A.(2，－1)B.（－2,1）C.（１，－2）D.（－1,2） 8.若直线的参数方程为1223x t y t =+⎧⎨=-⎩，，（t 为参数），则直线的斜率为（ ）A.23 B.23- C.32 D.32- 9.点Ａ(2，a)在椭圆Ｃ：4cos x θθ=⎧⎨⎩，y=2sin ,(θ为参数)上，则a 的值是( )A. 3B.－ 3C.± 3 Ｄ.±2 3 10. 参数方程cos 2x θθ=⎧⎨⎩sin ，y=,(θ为参数)表示的曲线是( )Ａ．椭圆的一段 Ｂ．双曲线的一段 C ．抛物线的一段 D ．线段 11.若θ∈[0，2π]，则椭圆22222cos 4sin 0x y x y θθ+-+=的中心的轨迹是（ ）12.设P(x ，y)是曲线C ：2cos x θθ=-+⎧⎨⎩，y=sin ,（θ为参数，0≤θ≤2π）上任意一点，则yx 的取值范围是（ ）A. [-3，3]B.(-∞，-3)∪（3，+∞）C. [3333-，] D. (-∞，33-)∪（33，+∞） 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13.点A （3,a ）在曲线Ｃ：22x t y t =⎧⎨=-⎩，，（t 是参数）上，O 是原点，则|OA|= .14.曲线28x t y t t =-⎧⎨=-⎩，，(t 为参数)与x 轴交点的坐标是 . 15.直线314x at y t =+⎧⎨=-+⎩，，（t 为参数）过定点 .16.曲线C 的参数方程是4cos x θθ=⎧⎨⎩，y=4sin ,(θ为参数，且π4≤θ≤3π4)，则曲线Ｃ的长度是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）一架救援直升飞机以50m/s 的速度作水平直线飞行，在离灾区指定目标的水平距离还有200m 时投放救灾物资（不计空气阻力，重力加速度g ＝10m/s 2）,问此时飞机的飞行高度约为多少？xyO 2-1Axy O 2 1B18.（本小题满分12分）已知点A(3，－3)，点Ｐ是圆Ｃ：32cos x θθ=-+⎧⎨⎩，y=1+2sin ,(θ为参数)上一动点，求线段P Ａ中点Ｍ的轨迹的参数方程. 19. （本小题满分12分）已知曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩，，(α是参数)，直线l的参数方程是22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，t ，求直线l 与曲线C 相交所成弦的弦长．20.（本小题满分12分）已知定点Ａ(0,2)，动点Ｍ在双曲线x 2－y 2＝1上，判断线段MA 有最小值吗？如果有，请求出点Ｍ的坐标；如果没有，请说明理由.21.（本小题满分12分）点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3x-4y=24的最大距离和最小距离22.（本小题满分14分）过点P 作倾斜角为α的直线与曲线2221x y +=交于点M ，N ，求|PM|·|PN|的值及相应的α的值.参考答案1.C 易知这个圆的半径是2.2.D 易知这个椭圆的长半轴长是5，所以长轴长是10.3.D 由x=t ，将各选项的横坐标（非负值）看成是t ，检验y 的值，只有Ｄ选项符合.4.B 将其化成普通方程为x －2y+5＝0(x ≥－3)，即曲线是一条射线.5.D Ａ，Ｂ中的选项x 只能取正数，Ｃ选项中的x 值受限，如不能取小于-2或大于2的数，只有Ｄ项符合．6.B 由条件知双曲线的焦点在x 轴上，且实半轴长a=3，虚半轴长b=４，所以焦点坐标是(±5，0).7.A 由题意得，该圆的普通方程为22(1)1y ++=(x-2)，显然，其圆心坐标为（2，-1）. 8.D 233122y t k x t --===--. 9.C 把x=2，y=a 代入参数方程得：24cos θθ=⎧⎨⎩，a=2sin ,解得cos θ＝12，所以sin θ＝±32，即得a ＝±3．10.C 条件可化为⎩⎨⎧ x ＝sin θy ＝1－2sin 2θ,得普通方程是y ＝1-2x 2(-1≤x ≤1)，故其表示的曲线是抛物线的一段.11．D把已知方程化成标准方程为22()(sin )12x y θθ++=，所以椭圆中心坐标是sin θθ，-），其轨迹方程是sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，-，（θ为参数，且θ∈[0，2π]），即2212x y +=（0≤x-1≤y ≤0）. 12.C 曲线C 的普通方程为22(2)1x y ++=，令yx=k ，则y=kx.结合右图，运用几何意义及性质，知max 3k =，min 3k =-.所以k ∈[33-，13．5 将曲线C 的参数方程化成普通方程为y=2x-2，代入A （3,a ），得a=4.所以A （3，4）.所以．14．(－7,0)或(－8,0) 由条件知y=0，可得t ＝1或t=0，所以x=－7或x ＝－8，即得交点的坐标是(－7,0)或(－8,0)． 15.（3，-1）143y x a+=-，-（y+1）a+4x-12=0对于任何a 都成立，则x=3，且y=-1. 16．2π 由条件知曲线C 是半径为4，圆心角为π2的一条弧，即所求曲线的长度是4×π2＝2π．17．解：设飞机在点A 将物资投出机舱.在经过飞机航线且垂直于地面的平面上建立平面直角坐标系，其中，x 轴为地平面与这个平面的交线，y 轴经过点A.如图1，记物资出舱时为时刻0，在t 时刻，物资的位置为M(x ，y).易得它的水平位移量为x=50t y=h-52t ， 即2505.x t y h t =⎧⎨=-⎩，当x=200时，得t ＝4，此时y=0.得h ＝80. 故要使物资准确地投入到指定位置，飞行高度约为80m ． 18．解：设点Ｍ(x,y)，点Ｐ (-3+2cos θ，1+2sin θ)，由中点坐标公式可得：x ＝-3+2cos θ+32=cos θ，y ＝1+2sin θ－32＝sin θ－1.因此，点Ｍ的轨迹的参数方程是cos sin 1.x y θθ=⎧⎨=-⎩，(θ为参数).19．解：将曲线C 的参数方程化成普通方程为（x －2）2＋y 2=4，将直线l 的参数方程化成普通方程为x －y －1=0，曲线C 的圆心（2，0）到直线l =， m 图1所以直线l 与曲线C相交所成弦的弦长为20．解：根据题意，设Ｍ的坐标为(sec θ，tan θ)，则|MA|2＝sec 2θ+(tan θ－2)2＝tan 2θ＋1＋(tan θ－2)2＝2tan 2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，所以|MA|有最小值，且最小值是 3.此时，tan θ＝1，即sec θ＝± 2. 所以Ｍ(2，1)或Ｍ(-2，1)． 21.解：根据题意，设P(4cos θ,3sin θ)，则点P 到直线3x-4y=24的距离12cos 12sin 245d θθ--=，当cos()14πθ+=-时，max 12(25d =； 当cos()14πθ+=时，min12(25d = ２2．解：设直线为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩，，(t 为参数)，代入曲线并整理得223(1sin))02t t αα+++=.则12223321sin 21sin PM PN t t αα⋅===++（）. 因为直线与曲线相交，所以△=2234(1sin )2αα-⨯+）≥0，即2sin α≤14.所以当2sin α=14，即sin α=12（因为0≤α<π）时，α=6π或56π.此时，|PM|·|PN|有最小值为65．。

参数方程单元测试题一、选择题 1．将参数方程⎩⎨⎧αα cos ＝－1－ cos 2＝y x (a 为参数)化成普通方程为( )．A ．2x ＋y ＋1＝0?B ．x ＋2y ＋1＝0C ．2x ＋y ＋1＝0(－3≤x ≤1)D ．x ＋2y ＋1＝0(－1≤y ≤1)2．双曲线xy ＝1的参数方程是( )．A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧21－21＝＝t y t xB ．⎪⎩⎪⎨⎧t y tx sin 1＝ sin ＝C ．⎪⎩⎪⎨⎧t y tx tan 1＝ tan ＝D ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧t t t t y x －－e ＋e 2＝2＋e ＝e3．对于参数方程和⎩⎨⎧30sin ＋2 ＝ 30 cos －1 ＝ t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧ 30sin 2＝　30 cos ＋ 1 ＝ t －y t x 的曲线，正确的结论是( )． A ．是倾斜角为30o 的平行线 B ．是倾斜角为30o 的同一直线C ．是倾斜角为150o 的同一直线D ．是过点(1，2)的相交直线4．参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(θθθ sin ＋121＝2sin ＋2cos ＝y x (0≤?≤2?)的曲线( )． A ．抛物线的一部分，且过点(－1，21) B ．抛物线的一部分，且过点(1，21)C ．双曲线的一支，且过点(－1，21)D ．双曲线的一支，且过点(1，21)5．直线⎩⎨⎧t y tx ＋ 3＝－－ 2＝(t 为参数)上与点A (2，－3)的距离等于1的点的坐标是( )．A ．(1，－2)或(3，－4)B ．(2－2，－3＋2)或(2＋2，－3－2)C ．(2－22，－3＋22)或(2＋22，－3－22) D ．(0，－1)或(4，－5) 6．直线x cos ?＋y sin ?＝2与圆⎩⎨⎧θθ＝ ＝2sin 2cos y x (??为参数)的位置关系是( )．A ．相交不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离7．若点P (4，a )在曲线⎪⎩⎪⎨⎧ty tx 2＝2＝(t 为参数)上，点F (2，0)，则|PF |等于( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．78． 已知点(m ，n )在曲线⎪⎩⎪⎨⎧ααsin 6＝ cos 6 ＝ y x (?为参数)上，点(x ，y )在曲线⎩⎨⎧ββsin 24＝ cos 24＝y x (?为参数)上，则mx ＋ny 的最大值为( )．Ａ．12 B ．15 C ．24D ．309．直线y ＝kx ＋2与曲线⎪⎩⎪⎨⎧ααsin 3＝ 2cos y x ＝至多一个交点的充要条件是( )．A ．k ∈[－21，21]B ．k ∈(－∞，－21]∪［21，＋∞)C ．k ∈[－22，22] D ．k ∈(－∞，－22]∪［22，＋∞) 10．过椭圆C ：⎪⎩⎪⎨⎧θθsin 3＝ 2cos y x ＝(??为参数)的右焦点F 作直线l 交C 于M ，N 两点，|MF |＝m ，|NF |＝n ，则nm 1＋1的值为( )．A ．32B ．34C ．38 D ．不能确定二、填空题11． 弹道曲线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧221 sin ＝ cos ＝00gt －t v y t v x αα(t 为参数，a ，v 0，g 为常数)，当炮弹达到最高点时，炮弹飞行的水平距离为 ．12．直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧20cos ＝－3＋20 sin ＝t y t x (t 为参数)，则直线的倾斜角为 ．13．曲线C 1：y ＝|x |，C 2：x ＝0，C 3的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧ty tx 1－＝＝(t 为参数)，则C 1，C 2，C 3围成的图形的面积为 ． 14．直线⎩⎨⎧θθsin ＝ cos ＝t y t x 与圆⎩⎨⎧ααsin 2 ＝ cos 2＋4＝y x 相切，则该直线的倾斜角＝________．15．变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧ty t x －1＝＝2(t 为参数)，则代数式2＋＋x y 2的取值范围是 ． 16．若动点(x ，y )在曲线1＝　＋4222by x (0＜b ≤4)上变化，则x 2＋2y 的最大值为 ． 三．解答题17．已知直线l 1过点P (2，0)，斜率为34．(1)求直线l 1的参数方程；(2)若直线l 2的方程为x ＋y ＋5＝0，且满足l 1∩l 2＝Q ，求|PQ |的值． 18．已知点P (x ，y )为曲线C ：⎩⎨⎧θθθθ － 4sin ＋ 3sin 3cos 4cos y ＝x ＝(??为参数)上动点，若不等式x ＋y ＋m ＞0恒成立，求实数m 的取值范围．19．经过点M (2，1)作直线交曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧t t y tt x 1－＝1＋＝ (t 是参数)于A ，B 两点，若点M 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程．20．已知直线l ：⎪⎩⎪⎨⎧θθ sin ＋ － ＋ ＋ 2t y ＝t x ＝1cos 1(t 为参数，?∈R )，曲线C ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧1 1＝1＝2－t t y t x (t 为参数)．(1)若l 与C 有公共点，求直线l 的斜率的取值范围；(2)若l 与C 有两个公共点，求直线l 的斜率的取值范围． 一、选择题1．D 解析：将cos ?＝－y 代入x ＝2cos ?－1，得普通方程x ＋2y ＋1＝0，又因为－1≤cos ?≤1，所以有－1≤y ≤1，故选D ． 2．C 解析：由xy ＝1知x ≠0且x ∈R ，又A 中x ＝21t =t ≥0；B 中x ＝sin t ∈[－1，1]；D 中x ＝2＋－tt e e ≥2＋－tt e e ＝1；故排除A ，B ，D ． 3．C 解析：31＝－1－2－x y ，31＝－1－2－x y ． 4．B 解析：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(θθθ sin ＋121＝2sin ＋2cos ＝y x (0≤?≤2?)， 由参数方程得x 2＝1＋sin ?，代入y 得x 2＝2y 为抛物线．又x ≥0，故选B ． 5．C 解析：由(－t )2＋(t )2＝12，t ＝±22． 6．C 解析：圆的普通方程为x 2＋y 2＝4，圆心(0，0)到直线x cos ?＋y sin ?－2＝0的距离 d = 12＝2等于半径，所以直线与圆相切． 7．C 抛物线为y 2＝8x ，准线为x ＝－2，|PF |为P (4，a )到准线x ＝－2的距离，即6.8．A 解析：(利用圆的参数方程)⎩⎨⎧⎩⎨⎧ββααsin 24＝ cos 24＝ sin 6＝ cos 6＝y x n m ，， 则mx ＋ny ＝12(cos ??cos ?＋sin ? sin ?)＝12cos (?－?)，且－1≤cos (?－?)≤1.9．A 解析：曲线的普通方程为1 ＝3＋422y x ．与直线方程联立，得一元二次方程．令判别式Δ≤0，得－21≤k ≤21．10．B 解析：曲线C 为椭圆 ，1 ＝3＋422y x 右焦点F (1，0)，设l ：⎩⎨⎧θθsin ＝ cos ＝1＋t y t x ，代入椭圆方程得：(3＋sin 2?)t 2＋6tcos ??－9＝0，t 1t 2＝－θ2sin ＋ 39，t 1＋t 2＝－θθ2sin ＋ 3cos 6，∴34＝4－＋＝－＝1＋1＝1＋12121221212121|t t |t t t t |t t ||t t ||t ||t |n m )(． 二、填空题11．g v ααcos sin 20．解析：由y ＝v 0t sin ?－21gt 2知，当炮弹达到最高点时，t ＝g v sin 0α，代入得x ＝v 0cos ?gvsin 0α＝g v ααcos sin 20．12．110o ．解析：⎪⎩⎪⎨⎧ 20 cos ＝－3＋20 sin ＝t y t x (t 为参数)即⎪⎩⎪⎨⎧)()( 70sin ＝70 cos ＋ 3＝－t y －t x (t 为参数)，所以倾斜角?＝－70o ＋180o ＝110o ．13．8π．解析：C 3的曲线是圆x 2＋y 2＝1在第一象限的部分(含端点)，则由图形得三曲线围成的图形的面积是圆x 2＋y 2＝1在第一象限部分的21，面积是8π．14．6π或65π．直线为y ＝x tan ?，圆为(x －4)2＋y 2＝4，作出图形，相切时，易知倾斜角为6π或65π． 15．⎥⎦⎤⎢⎣⎡232 ，．解析：参数方程⎪⎩⎪⎨⎧t y t x －1＝＝2(t 为参数)化普通方程为x 2＋42y ＝1(0≤x ≤1，0≤y ≤2)，代数式2＋2＋x y 表示过点(－2，－2)与椭圆x 2＋42y ＝1在第一象限及端点上任意一点连线的斜率，由图可知，k max ＝k PB ＝2，k min ＝k PA ＝32．16．4＋162b ．解析：⎩⎨⎧θθsin ＝ 2cos ＝b y x ，4cos 2?＋2b sin ??＝－4sin 2?＋2b sin ??＋4，令t ＝sin ?(－1≤t ≤1)，有x 2＋2y ＝－4t 2＋2b ＋4．当t ＝4b 时，x 2＋2y 有最大值为4＋162b ．三、解答题17．(1)解：设直线的倾斜角为?，由题意知tan ?＝34，所以sin ?＝54，cos ?＝53，故l 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ty tx 54＝53＋＝2(t 为参数)． (2)解：将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ty t x 54＝53＋＝2代入l 2的方程得：2＋53t ＋54t ＋5＝0，解得t ＝－5，即Q (－1，－4)，所以|PQ |＝5．18．解：x ＋y ＋m ＞0，即7sin ??＋cos ??＋m ＞0，m ＞－(7sin ??＋cos ??)，即m ＞－52sin (??＋??)．而－52sin (??＋??)的最大值为52．所以m ＞52，即m ∈(52，+∞)．19．解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧②1－＝①1＋＝ t t y tt x由①2－②2得x 2－y 2＝4 ③，该曲线为双曲线．0)(第15题)1(第设所求直线的参数方程为⎩⎨⎧θθsin ＋ ＋ 2 t y ＝t x ＝1cos (t 为参数)，代入③得：(cos 2?－sin 2??)t 2＋(4cos ??－2sin ???)t －1＝0， t 1＋t 2＝－θθθθ22sin cos 2sin cos 4－－，由点M (2，1)为A ，B 的中点知t 1＋t 2＝0，即4cos ?－2sin ??＝0，所以tan ??＝2，因为??是直线的倾斜角， 所以k ＝2，所求直线的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0． 20．(1)解：直线l ：⎪⎩⎪⎨⎧θθ sin ＋ － ＋ ＋ 2t y ＝t x ＝1cos 1(t 为参数，?∈R )经过点(1＋2，－1)，曲线C ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧1 1＝1＝2－t t y t x (t 为参数)表示圆x 2+y 2=1的一部分(如图所示)设直线的方程l ：y ＋1＝k (x －1－2)．当l 与圆相切时，圆心O (0，0)到l 的距离d ＝1＋ 1＋2＋12k k )(＝1，解得k ＝－1或k ＝0．又k PC ＝－1＋ 22＜k PA ＝－21，k PB ＝－2＋21， 如图所示，当l 与C 有公共点时，应有－1≤k ≤k PA 或者k PB ≤k ＜k PD ＝0， 即k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21－1 ，－∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡02＋21－ ，． (2)由图可知，若l 与C 有两个公共点时，应有－1＜k ＜k PC ，即k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛＋122－ 1，－．。

4.4 参数方程单元测试一、选择题（每题只有一个选项是正确的,请把正确选项填在题后的括号内） 1在方程⎩⎨⎧==θθ2cos ,sin y x (θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )A.(2,-7)B.(32,31) C.(21,21) D.(1,0) 思路解析：把参数方程化为普通方程要注意范围的等价性,普通方程是y=1-2x 2(-1≤x≤1), 再根据选择肢逐个代入进行验证即可. 答案：C2下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是…( ) A.⎩⎨⎧==t y t x |,| B.⎩⎨⎧==ty t x 2cos ,cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y t x 2cos 12cos 1,tan D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y t x 2cos 12cos 1,tan思路解析：注意参数范围,可利用排除法.普通方程x 2-y 中的x∈R ,y≥0,A 中x=｜t ｜≥0,B中x=cost∈［-1,1］,故排除A 和B.而C 中y=t t 22sin 2cos 2=cot 2t=221tan 1x t =, 即x 2y=1,故排除C.答案：D3直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 2y x (θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心思路解析：把圆的参数方程化为普通方程得x 2+y 2=4,得到半径为2,圆心为(0,0),再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,即可判断直线和圆的位置关系. 答案：C4参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2,1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线 思路解析：根据参数中y 是常数可知,方程表示的是平行于x 轴的直线,再利用不等式知识求出x 的范围可得x≤-2,或x≥2,可知方程表示的图形是两条射线.答案：B 5双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 21,tan 2y x (θ为参数)的渐近线方程为( )A.y-1=±21(x+2) B.y=±21x C.y-1=±2(x+2) D.y+1=±2(x -2)思路解析：根据三角函数的性质把参数方程化为普通方程得4)1(2-y -(x+2)2=1,可知这是中心在(1,-2)的双曲线,利用平移知识,结合双曲线的渐近线的概念即可. 答案：C6设r>0,那么直线xcos θ+ysin θ=r 与圆⎩⎨⎧==ϕϕsin ,cos r y r x （φ是参数）的位置关系是…( )A.相交B.相切C.相离D.视r 的大小而定思路解析：根据已知圆的圆心在原点,半径是r,则圆心(0,0)到直线的距离为d=θθ22sin sin |00|+-+r =r,恰好等于圆的半径,所以,直线和圆相切.答案：B 7设直线l 1:⎩⎨⎧-=+=ααsin 2,cos 1t y t x (t 为参数),如果α为锐角,那么直线l 1到直线l 2:x+1=0的角是( )A.2π-αB.2π+α C.α D.π-α 思路解析：根据方程可知,l 1的倾斜角为π-α,l 2的倾斜角为2π,根据直线到角的定义,只需让l 1逆时针旋转2π+α即与l 2重合.所以,直线l 1到l 2的角为2π+α.答案：B 8直线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=ty t x 23,22(t 为参数)上与点P(-2,3)的距离等于2的点的坐标是…( )A.(-4,5)B.(-3,4)C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5)或(0,1)思路解析：可以把直线的参数方程转化为标准式,或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得(22)2()2(+-｜t ｜=222±=⇒t ,将t 代入原方程,得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=2,14,3y x y x 或∴所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2). 答案：C9半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,那么其横坐标可能是( ) A.π B.2π C.12π D.14π 思路解析：根据条件可知圆的摆线的参数方程为⎩⎨⎧-=-=ϕϕϕcos 33,sin 33y x (φ为参数),把y=0代入可得cos φ=1,所以φ=2k π(k∈Z ).而x=3φ-3sin φ=6k π.根据选项可知选C.答案：C二、填空题（请把正确的答案直接填写在题后的横线上） 10已知参数方程⎩⎨⎧+=+=θλθλsin ,cos bt y at x(a,b,λ均不为零,0≤θ<2π),当(1)t 是参数时，(2)λ是参数时,(3)θ是参数时, 分别对应的曲线为_________,_________,_________. 思路解析：本题主要考查参数方程的有关含义,强调在一个方程中,不同的量作为参数会得到不同的含义.把t 作为参数消去t 可得bx-ay-b λcos θ-a λsin θ=0表示直线;把λ看作参数可得y-bt=cot θ(x-at)表示直线;同理,把θ看作参数,消去θ可得(x-at)2+(y-bt)2=λ2表示圆.答案：直线 直线 圆 11圆锥曲线⎩⎨⎧==θθsec 3,tan 2y x (θ为参数)的准线方程是____________.思路解析：根据条件和三角函数的性质可知,对应的普通方程为4922x y -=1,表示的曲线是焦点在y 轴的双曲线,且对应的a=3,b=2,c=13,所以准线方程是y=±13139. 答案：y=±13139 12直线l 经过点M 0(1,5),倾斜角是3π,且与直线x-y-32=0交于点M,则｜M 0M ｜的长为____________.思路解析：直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 235,21(t 为参数),代入方程x-y-32=0中,解得t=-(10+36),根据t 的几何意义,可知｜M 0M ｜=｜t ｜=10+36. 答案：10+3613在圆的摆线上有点(π,0),那么在满足条件的摆线的参数方程中,使圆的半径最大的摆线上,参数φ=4π对应点的坐标为____________. 思路解析：首先根据摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数),把点(π,0)代入可得⎩⎨⎧-=-=)cos 1(0),sin (ϕϕϕπr r ,1cos =⇒ϕ则sin φ=0,φ=2k π(k∈Z ),所以r=k k 212=ππ(k∈Z ),又r>0,所以k∈N *,当k=1时r 最大为21.再把φ=4π代入即可. 答案：(422,822--π)三、解答题（请写出详细的解答过程）14A 为椭圆92522y x +=1上任意一点,B 为圆(x-1)2+y 2=1上任意一点,求|AB|的最大值和最小值.v 思路分析：化普通方程为参数方程,再求出圆心坐标,利用两点间距离公式转化为三角函数求值域问题来解决. 解：化普通方程为参数方程⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 5y x (θ为参数),圆心坐标为C(1,0),再根据平面内两点之间的距离公式可得｜AC ｜=16135)165(cos 1610cos 10cos 16sin 9)1cos 5(2222+-=+-=+-θθθθθ, 所以当cos θ=165时,|AC|取最小值为4153,cos θ=-1时,|AC|取最大值为6,所以当cos θ=165时,|AB|取最小值为4153+1；当cos θ=-1时,|AB|取最大值为6+1=7.15设抛物线y 2=4x 有内接△OAB,其垂心恰为抛物线的焦点,求这个三角形的周长.思路分析：因为抛物线的焦点恰为三角形的垂心,则抛物线的对称轴即x 轴与AB 垂直,且A 、B 关于x 轴对称,所以△OAB 为等腰三角形.解：抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0),F 为△OAB 的垂心,所以x 轴⊥AB,A、B 关于x 轴对称.设A(4t 2,4t)(t>0),则B(4t 2,-4t),所以k AF =1442-t t ,k OB =t t t 1442-=-.因为AF⊥OB,所以k AF ·k OB =1442-t t ·(t 1-)=-1.所以t 2=45.由于t>0,得t=25,所以A(5,52).所以｜AB ｜=54,｜OA ｜=｜OB ｜=53,这个三角形的周长为510.16已知点M(2,1)和双曲线x 2-22y =1,求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在的直线l 的方程.思路分析：这是直线和圆锥曲线的综合应用题,首先可以设出直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x (t 为参数),代入双曲线的方程,得到关于t 的二次方程.设方程的两根分别为t 1,t 2,若M 为弦AB 中点,则有t 1+t 2=0,可得α的方程,从而得到直线的斜率,即可得直线的方程.解：设直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x(t 为参数),代入双曲线的方程可得关于t 的二次方程(2+tcos α)22)sin 1(2αt +=1,即(2cos 2α-sin 2α)t 2+(8cos α+2sin α)t+5=0. 并设弦的两个端点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2. 由于M 是中点, 所以t 1+t 2=0,即αααα22sin cos 2sin 2cos 8-+-=0,所以tan α=-4, 即直线的斜率是-4.所以直线的方程是y-1=-4(x-2),即4x+y-9=0.。

圆的参数方程1.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)判断点A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值． 解：将点A (2，0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝1，sin θ＝0.由于0≤θ<2π，解得θ＝0，所以点A (2，0)在曲线C 上，对应θ＝0.将点B ⎝⎛⎭⎫－3，32的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ，即⎩⎨⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.由于0≤θ<2π， 解得θ＝5π6，所以点B ⎝⎛⎭⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝5π6. 2.已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝3t 2－1，(t 为参数)．(1)判断点M 1(0，－1)和M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值．[思路点拨] (1)将点的坐标代入参数方程，判断参数是否存在． (2)将点的坐标代入参数方程，解方程组．[解] (1)把点M 1(0，－1)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2t－1＝3t 2－1，∴t ＝0.即点M 1(0，－1)在曲线C 上．把点M 2(4，10)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2t10＝3t 2－1，方程组无解． 即点M 2(4，10)不在曲线C 上． (2)∵点M (2，a )在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t ，a ＝3t 2－1. ∴t ＝1，a ＝3×12－1＝2. 即a 的值为2.3.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1y ＝2t ，(t 为参数)．①判断点A (1，0)，B (5，4)，E (3，2)与曲线C 的位置关系； ②若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值． 解：①把点A (1，0)的坐标代入方程组，解得t ＝0， 所以点A (1，0)在曲线上．把点B (5，4)的坐标代入方程组，解得t ＝2， 所以点B (5，4)也在曲线上．把点E (3，2)的坐标代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝t 2＋1，2＝2t ，即⎩⎨⎧t ＝±2，t ＝1.故t 不存在，所以点E 不在曲线上． ②令10＝t 2＋1，解得t ＝±3，故a ＝2t ＝±6.4.(1)曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t －2，(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．解析：令x ＝0，即t ＝0得y ＝－2，∴曲线C 与y 轴交点坐标是(0，－2)． 答案：(0，－2)(2)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t ，(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ，(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴，则a ＝________． 解析：由y ＝0知1－2t ＝0，t ＝12，所以x ＝t ＋1＝12＋1＝32.令3cos θ＝0，则θ＝π2＋k π(k ∈Z )，sin θ＝±1，所以32＝±a .又a >0，所以a ＝32.答案：325.已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝at 2，(其中t 为参数，a ∈R)．点M (5，4)在该曲线上，则常数a ＝________．解析：∵点M (5，4)在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝1＋2t 4＝at 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1.∴a 的值为1. 答案：16.圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝4的一个参数方程为____________．解析：令x ＋12＝cos θ，y －12＝sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)(注本题答案不唯一)7.已知圆的普通方程x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，则它的参数方程为____________．解析：由x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.令x ＋1＝cos θ，y －3＝sin θ，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)(注答案不唯一)8.圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝16的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋4cos θy ＝－3＋4sin θ，(θ为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋4cos θy ＝3＋4sin θ，(θ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4cos θy ＝3－4sin θ，(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－4cos θy ＝3－4sin θ，(θ为参数) 解析：选B.∵圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ，(θ为参数)∴圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋4cos θy ＝3＋4sin θ，(θ为参数)9.已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，则它的一个参数方程是____________．解析：将x 2＋y 2＝2x 化为(x －1)2＋y 2＝1知圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，∴它的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)10.已知圆P ：⎩⎨⎧x ＝1＋10cos θy ＝－3＋10sin θ，(θ为参数)，则圆心P 及半径r 分别是( )A ．P (1，3)，r ＝10B ．P (1，3)，r ＝10C ．P (1，－3)，r ＝10D ．P (1，－3)，r ＝10解析：选C.由圆P 的参数方程可知圆心P (1，－3)，半径r ＝10.11.圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )A ．(0，2)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(2，0) 解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θy ＝2sin θ得(x －2)2＋y 2＝4，其圆心为(2，0)，半径r ＝2.12.直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：选 D.圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2，故选 D.13.已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2sin θy ＝2cos θ，(θ∈[0，2π)，θ为参数)与x 轴交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：令y ＝2cos θ＝0，则cos θ＝0，因为θ∈[0，2π)，故θ＝π2或3π2，当θ＝π2时，x ＝－3＋2sin π2＝－1，当θ＝3π2时，x ＝－3＋2sin 3π2＝－5，故|AB |＝|－1＋5|＝4.答案：414.已知动圆x 2＋y 2－2x cos θ－2y sin θ＝0.求圆心的轨迹方程．解：设P (x ，y )为所求轨迹上任一点． 由x 2＋y 2－2x cos θ－2y sin θ＝0得： (x －cos θ)2＋(y －sin θ)2＝cos 2θ＋sin 2θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ这就是所求的轨迹方程．15.P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6，0)，M 是PQ 中点， (1)画图并写出⊙O 的参数方程；(2)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程． 解：(1)如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ.(2)设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)，因Q (6，0)， ∴M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ. 16.已知点P (2，0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设Q (cos θ，sin θ)，PQ 中点M (x ，y )，则由中点坐标公式得x ＝2＋cos θ2＝12cos θ＋1，y ＝0＋sin θ2＝12sin θ.∴所求轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12cos θ＋1y ＝12sin θ(θ为参数)消去θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝14，它表示以(1，0)为圆心、半径为12的圆．17.设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是____________．解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ，为所求． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝12sin 2θ18.已知P 是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α，(α为参数)上任意一点，则(x －1)2＋(y ＋1)2的最大值为________．解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α代入(x －1)2＋(y ＋1)2得(1＋cos α)2＋(1＋sin α)2＝2sin α＋2cos α＋3＝22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋3， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1时有最大值为3＋2 2. 答案：3＋2219.已知点P (x ，y )在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ，(θ为参数)上，则x －2y 的最大值为( )A ．2B ．－2C ．1＋ 5D ．1－ 5解析：选C.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ，所以x －2y ＝1＋cos θ－2sin θ＝1－(2sin θ－cos θ) ＝1－5⎝⎛⎭⎫25sin θ－15cos θ＝1－5sin ()θ－φ⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝12， 所以x －2y 的最大值为1＋ 5.20.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ，(θ为参数)，求曲线C 上的点到直线l ：x－y ＋1＝0的距离的最大值．解：点C (1＋cos θ，sin θ)到直线l 的距离 d ＝|1＋cos θ－sin θ＋1|12＋12＝|2＋cos θ－sin θ|2＝⎪⎪⎪⎪2＋2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π42≤2＋22＝2＋1，即曲线C 上的点到直线l 的最大距离为2＋1.21.(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上． 所以a ＝1.22.若P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α，(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A.依题意P (2＋cos α，sin α)，∴(x －5)2＋(y ＋4)2＝(cos α－3)2＋(sin α＋4)2＝26－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)(其中cos φ＝45，sin φ＝35)∴当sin(α－φ)＝1，即α＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z )时，有最大值为36.23.已知点P ⎝⎛⎭⎫12，32，Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ，(θ为参数)上的动点，则|PQ |的最大值是________．解析：由题意，设点Q (cos θ，sin θ)， 则|PQ |＝⎝⎛⎭⎫cos θ－122＋⎝⎛⎭⎫sin θ－322＝2－3sin θ－cos θ ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6 故|PQ |max ＝2＋2＝2. 答案：224.已知曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ，(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离的最小值为________．解析：设曲线上动点为P (x ，y )，定点为A ，则|P A |＝（1＋cos θ＋1）2＋（sin θ＋2）2 ＝9＋42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 故|P A |min ＝9－42＝22－1. 答案：22－125.已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝－1＋sin θ，与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．解：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1.∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a |2≤1.解得1－2≤a ≤1＋ 2.法二：将圆C 的方程代入直线方程， 得cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2.26.设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点．①求2x ＋y 的取值范围；②若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围．解：圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝1＋sin θ，(θ为参数)．①2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1(φ由tan φ＝2确定)，∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.②若x ＋y ＋c ≥0恒成立，即c ≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R 成立．且－(cos θ＋sin θ＋1)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－1的最大值是2－1，则当c ≥2－1时，x ＋y ＋c ≥0恒成立．27.已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0. (1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． [解] (1)由ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0， 得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0， 即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，∴圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2，3分 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos αy ＝2＋2sin α，(α为参数)6分(2)由(1)知x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α) ＝4＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，9分 又－1≤sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.12分28.圆的直径AB 上有两点C ，D ，且|AB |＝10，|AC |＝|BD |＝4，P 为圆上一点，求|PC |＋|PD |的最大值．解：如图所示，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)．易知点C (－1，0)，D (1，0)．因为点P 在圆上，所以可设P (5cos θ，5sin θ)． 所以|PC |＋|PD |＝（5cos θ＋1）2＋（5sin θ）2＋（5cos θ－1）2＋（5sin θ）2 ＝26＋10cos θ＋26－10cos θ ＝（26＋10cos θ＋26－10cos θ）2 ＝52＋2262－100cos 2θ.当cos θ＝0时，|PC |＋|PD |有最大值为226.29.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.。