下载文档原格式
第二章 Markov 过程 习题解答1、 设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ⎩⎨⎧===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。
不是的话，请说明理由。
解：（1）显然，随机序列}2,{≥n X n 的状态空间为}3,2,1,0{=S 。
任意取S i i i j i n ∈-132,,,,, ，由于当i X n =给定时，即1,-n n ξξ的值给定时，就可以确定1+n X 的概率特性，即我们有：}{},,,,{12233111i X j X P i X i X i X i X j X P n n n n n n ========+--+因此}2,{≥n X n 是齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p qp q p q p qP 0000000 由于01,0>-=>p q p ，画出状态转移图，可知各个状态都相通，且都是非周期的，因此此链是不可约的遍历链。
（也可以利用02>P 判定此链是不可约的遍历链）（2）显然，}2,{≥n Y n 的状态空间为}1,0{=S ，由于：}1,1{}1,1,0{}1,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P}0,1{}0,1,0{}0,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P由}2,{≥n Y n 的定义，可知}1,1,1{}1,1,0{}0,1,1{}0,1,0{}1,0,1{}1,1{12312312312312323===⋃===⋃===⋃⋃===⋃======ξξξξξξξξξξξξξξξY Y}1,1,0,0{}0,1,0,0{}1,1,0{12341234234====⋃========ξξξξξξξξY Y Y}0,0,1{}0,1{12323======ξξξY Y ， ∅====}0,1,0{234Y Y Y利用}1,{≥n n ξ是相互独立同分布的随机变量序列及其分布，我们有：322233}1,1{q q p pq Y Y P ++=== 223234}1,1,0{q p pq Y Y Y P +==== 223}0,1{pq Y Y P ===0}0,1,0{234====Y Y Y P即有：22222343}1,10{q p pq qp pq Y Y Y P +++==== 0}0,10{234====Y Y Y P由于01,0>-=>p q p ，因此有}0,10{}1,10{234234===≠===Y Y Y P Y Y Y P根据马氏链的定义可知}2,{≥n Y n 不是马氏链。
第四章 Markov 过程本章我们先讨论一类特殊的参数离散状态空间离散的随机过程，参数为0{0,1,2,}T N ==L ，状态空间为可列{1,2,}I =L 或有限{1,2,,}I n =L 的情况，即讨论的过程为Markov 链。
Markov 链最初由Markov 于1906年引入，至今它在自然科学、工程技术、生命科学及管理科学等诸多领域中都有广泛的应用。
之后我们将讨论另一类参数连续状态空间离散的随机过程，即纯不连续Markov 过程。
§4.1 Markov 链的定义与性质一、Markov 链的定义定义 4.1设随机序列{;0}n X n ≥的状态空间为I ，如果对0n N ∀∈，及0110011,,,,,{,,,}0n n n n i i i i I P X i X i X i +∈===>L L ，有：11001111{,,,}{}n n n n n n n n P X i X i X i X i P X i X i ++++=======L （4.1.0)则称{;0}n X n ≥为Markov 链。
注1：等式（4.1.0）刻画了Markov 链的特性，称此特性为Markov 性或无后效性，简称为马氏性。
Markov 链也称为马氏链。
定义4.2 设{;0}n X n ≥为马氏链，状态空间为I ，对于,i j I ∀∈，称1{}()ˆn n i j P X j X i p n +===为马氏链{;0}n X n ≥在n 时刻的一步转移概率。
注2：一步转移概率满足：()0,,()1,i j i jj Ip n i j Ipn i I ∈≥∈=∈∑若对于,i j I ∀∈，有1{}()ˆn n i j i j P X j X i p n p +===≡即上面式子的右边与时刻n 无关，则称此马氏链为齐次（或时齐的）马氏链。
设{}0()(0),p i P X i i I ==∈，如果对一切i I ∈都有00()0,()1i Ip i p i ∈≥=∑，称0()p i 为马氏链的初始分布。
随机过程是概率论的一个重要分支，而Markov链则是随机过程中的一个经典模型。
在实际应用中，Markov链可以用来描述各种随机现象，比如金融市场的走势、气候的变化、信息的传递等等。
今天，我们就来探讨一下应用随机过程中的Markov链，并通过一个例题来深入理解这个概念。
让我们来简单回顾一下Markov链的基本概念。
在一个Markov链中，假设我们有一些状态，每个状态发生的概率只与其前一状态有关，而与其他状态无关。
这个性质就是所谓的“无记忆性”，也就是说，一个状态的发生只受到前一个状态的影响，而与更早的状态无关。
这种性质使得Markov链在描述许多现实问题时非常方便，因为它可以有效地简化问题的复杂度。
接下来，我们将以一个例题来具体说明Markov链的应用。
假设我们有一个赌徒，他每天的赌博结果只与前一天的输赢有关，如果前一天赢了，那么第二天继续赢的概率为0.6，输的概率为0.4；如果前一天输了，那么第二天继续输的概率为0.7，赢的概率为0.3。
现在我们要求这个赌徒在连续三天内至少赢两次的概率是多少。
根据上述情况，我们可以建立这个问题的Markov链模型。
假设赌徒的状态有两种，分别表示赢和输。
然后我们可以根据给定的转移概率来构建状态转移矩阵，从而求出连续三天内至少赢两次的概率。
在实际操作中，我们可以通过矩阵乘法或者迭代法来得到最终的概率结果。
具体的计算过程可以参考相关的数学推导。
通过这个例题，我们不仅深入理解了Markov链的基本概念，还学会了如何将其应用到实际问题中。
我们也可以发现，在实际问题中，Markov链的应用往往需要一定的数学知识和计算技巧来解决。
对于这个主题，我们除了要了解其基本概念外，还需要具备一定的数学建模和求解能力。
应用随机过程中的Markov链是一个相当有趣且广泛应用的领域。
通过学习和掌握Markov链的相关知识，我们不仅可以更好地理解许多随机现象，还可以应用到实际问题中去解决各种复杂的情况。
随机过程与马尔可夫链随机过程是数学中一种常见的描述随机变量随时间变化的模型。
它可以用于建模和分析各种随机现象，如股票价格的波动、人员流动、网络数据传输等。
而马尔可夫链则是一种常见的随机过程，它具有马尔可夫性质，即未来状态的概率分布仅依赖于当前状态，与过去的状态无关。
一、随机过程的定义与特点随机过程可以用数学模型来描述，其中最常见的是通过概率函数来定义。
对于离散时间的随机过程，我们可以用一个序列{Xn}来表示，其中Xn表示在第n个时间点的随机变量。
同样地，对于连续时间的随机过程，我们可以用一个函数X(t)来表示，在不同的时间点t上取不同的随机值。
随机过程具有以下几个特点：1. 随机过程描述了随机变量在时间上的演化规律；2. 随机过程是随机变量的集合，它可以包含无穷个甚至连续无穷个随机变量；3. 随机过程可以是离散时间的，也可以是连续时间的；4. 随机过程可以是有限维的，也可以是无限维的。
二、马尔可夫链的定义与性质马尔可夫链是一种特殊的随机过程，它满足马尔可夫性质。
具体来说，给定一个随机过程{Xn}，如果对于任意的时刻n，给定过去的状态Xn-1，未来状态Xn+1的条件概率分布仅依赖于当前状态Xn，则称该过程具有马尔可夫性质。
马尔可夫链的定义包括以下几个要素：1. 状态空间：马尔可夫链的状态空间是指随机变量Xn取值的范围，可以是有限的或者可数的。
2. 转移概率：对于任意两个状态i和j，转移概率Pij表示从状态i转移到状态j的概率。
3. 初始概率：初始概率πi表示初始状态为i的概率。
马尔可夫链具有以下几个重要性质：1. 马尔可夫性质：未来状态的概率分布只依赖于当前状态，与过去的状态无关。
2. 时齐性：马尔可夫链的转移概率在时间上保持不变。
3. 不可约性：任意两个状态之间存在一条路径，使得转移到目标状态的概率大于0。
4. 非周期性：不存在周期性的状态循环。
三、马尔可夫链的应用马尔可夫链在实际问题中有着广泛的应用。
随机过程中的马尔可夫链随机过程是指一种具有随机性质的过程，而马尔可夫链是随机过程中的一种基本模型。
马尔可夫链是一种具有马尔可夫性质的随机过程。
所谓马尔可夫性质，是指在一个随机过程中，当前状态的概率分布仅依赖于当前状态，而不依赖于历史状态。
马尔可夫链广泛应用于各个领域，如物理学、生物学、计算机科学等。
一、马尔可夫链的定义与性质马尔可夫链是一种随机过程，其状态空间可以是一个有限集合或可数集合。
若设Xn表示马尔可夫链在时间n的状态，则马尔可夫链具有以下性质：1.满足马尔可夫性质：在给定现在状态下，未来状态的概率分布与过去状态无关。
2.具有无后效性：状态的转移只受当前状态影响，与之前的状态无关。
3.具有Markov性：任意时刻t，下一状态Xt+1只与当前状态Xt有关，与过去状态无关。
二、转移矩阵转移矩阵是马尔可夫链中的重要概念。
假设状态集合为{1，2，3，...，N}，若Xn=j，则转移矩阵Pij表示从状态j转移到状态i的概率。
即在马尔可夫链的当前状态为j时，下一时刻转移至状态i的概率为Pij。
满足下列条件：1.所有元素的值都是非负数；2.每行元素的和等于1。
3.初始转移概率矩阵为pc，则$t\in N^{*}$时，$i, j\in{1,2,3,...,N}$$ P_{ij} P_{j1}=P_{i1}$$ P_{ij} P_{j2}=P_{i2}$$ P_{ij} P_{jr}=P_{ir}$也就是说，转移矩阵是一个n阶方阵，矩阵中的元素为非负实数并且每行的和为1。
三、平稳分布在马尔可夫链中，若转移矩阵满足一定条件，那么存在一个平稳分布，在链条经过足够多的转移后，状态分布不再增长或减少，变得稳定，称之为稳态或平稳分布。
平稳分布是指当马尔可夫链在经过一定转移后，概率分布已经趋于稳定，不再发生变化的状态分布。
平稳分布的计算是求解方程$P_\infty=P_\infty P$。
其中$P_\infty$为平稳分布，$P$为转移矩阵。
随机过程中的马尔可夫链与随机游走马尔可夫链和随机游走是随机过程中两个重要的概念，它们在各个领域的建模和分析中都有着广泛的应用。
本文将介绍马尔可夫链和随机游走的基本概念、性质和应用，帮助读者全面了解和认识这两个重要的随机过程。
一、马尔可夫链1. 马尔可夫链的定义马尔可夫链是一种离散时间的随机过程，在某一时刻的状态只依赖于前一时刻的状态，与之前的状态无关。
马尔可夫链具有马尔可夫性质，即未来的状态只与当前的状态有关，与过去的状态无关。
2. 马尔可夫链的转移概率马尔可夫链的状态转移是通过概率矩阵描述的。
概率矩阵P=(pij)的第i行第j列元素pij表示从状态i转移到状态j的概率。
概率矩阵满足以下条件：每一行的元素之和为1，且所有元素都非负。
3. 马尔可夫链的平稳分布如果一个马尔可夫链满足某些条件，那么它将具有平稳分布。
平稳分布是指在长时间运行后，马尔可夫链中各个状态的概率趋于稳定，不再发生变化。
二、随机游走1. 随机游走的定义随机游走是一种在数学上描述随机过程的模型，其基本思想是在某个状态空间中随机地进行步长为1的移动。
每次移动的方向和位置都是根据特定的概率分布决定的。
2. 随机游走的简单例子一个简单的随机游走的例子是一维平面上的步长为1的游走。
从原点开始，每次向左或向右移动，移动方向由一个公平的硬币决定。
经过n次移动后，游走的位置可以用一个整数表示。
3. 随机游走的性质随机游走具有一些有趣的性质。
首先，随机游走是马尔可夫链的一个特例，因为每一步的移动只依赖于当前的位置。
其次，随着游走次数的增加，游走的位置呈现出一定的规律性，如对称性、回归性等。
这些性质在实际问题的建模和分析中有重要的应用价值。
三、马尔可夫链与随机游走的应用1. 马尔可夫链的应用马尔可夫链在很多领域有广泛的应用。
在自然语言处理中，马尔可夫链可以用于语言模型的建立。
在金融领域，马尔可夫链可以用于股票价格模型的构建。
此外，在生物学、物理学、工程学等领域，马尔可夫链也有着重要的应用。
