随机过程(孙应飞)习题参考答案

（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。

解：由定义，有：)(2)0()0()}()({2)0()0()]}()()][()({[2)]([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D（2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马尔可夫过程。

证明：我们要证明：n t t t <<<≤∀Λ210，有})()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P Λ形式上我们有：})()(,,)(,)({})()(,,)(,)(,)({})(,,)(,)({})(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P ΛΛΛΛΛ因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j Λ相互独立即可。

第二章 Markov 过程 习题解答1、 设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ⎩⎨⎧===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。

不是的话，请说明理由。

解：（1）显然，随机序列}2,{≥n X n 的状态空间为}3,2,1,0{=S 。

任意取S i i i j i n ∈-132,,,,, ，由于当i X n =给定时，即1,-n n ξξ的值给定时，就可以确定1+n X 的概率特性，即我们有：}{},,,,{12233111i X j X P i X i X i X i X j X P n n n n n n ========+--+因此}2,{≥n X n 是齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p qp q p q p qP 0000000 由于01,0>-=>p q p ，画出状态转移图，可知各个状态都相通，且都是非周期的，因此此链是不可约的遍历链。

（也可以利用02>P 判定此链是不可约的遍历链）（2）显然，}2,{≥n Y n 的状态空间为}1,0{=S ，由于：}1,1{}1,1,0{}1,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P}0,1{}0,1,0{}0,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P由}2,{≥n Y n 的定义，可知}1,1,1{}1,1,0{}0,1,1{}0,1,0{}1,0,1{}1,1{12312312312312323===⋃===⋃===⋃⋃===⋃======ξξξξξξξξξξξξξξξY Y}1,1,0,0{}0,1,0,0{}1,1,0{12341234234====⋃========ξξξξξξξξY Y Y}0,0,1{}0,1{12323======ξξξY Y ， ∅====}0,1,0{234Y Y Y利用}1,{≥n n ξ是相互独立同分布的随机变量序列及其分布，我们有：322233}1,1{q q p pq Y Y P ++=== 223234}1,1,0{q p pq Y Y Y P +==== 223}0,1{pq Y Y P ===0}0,1,0{234====Y Y Y P即有：22222343}1,10{q p pq qp pq Y Y Y P +++==== 0}0,10{234====Y Y Y P由于01,0>-=>p q p ，因此有}0,10{}1,10{234234===≠===Y Y Y P Y Y Y P根据马氏链的定义可知}2,{≥n Y n 不是马氏链。

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

中国科学大学随机过程（孙应飞）复习题及答案汇总-共12页（1）设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。

解：由定义，有：)(2)0()0()}()({2)0()0()]}()()][()({[2)]([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D（2）试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马尔可夫过程。

证明：我们要证明：n t t t <<<≤? 210，有})()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P形式上我们有：})()(,,)(,)({})()(,,)(,)(,)({})(,,)(,)({})(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。

第11讲随机过程孙应飞第三章 Poisson 过程（Poisson 信号流）九、更新过程（1）概念及基本性质定义：设}1,{≥k X k 是独立同分布，取值非负的随机变量，分布函数为)(x F ，且1)0(k k n X S X S S 1110,,0，对0≥?t ，记：}:sup{)(t S n t N n ≤=则称}0),({≥t t N 为更新过程。

更新过程是一计数过程，并有：}{})({t S n t N n ≤=≥}{}{}{})({11t S t S S t S n t N n n n n ≤-≤=<≤==++记：)(s F n 为n S 的分布函数，由∑==nk k n X S 1，易知：)()(1x F x F =)2()()()(01≥-=?-n u F d u x F x F xn n证明：由全概率公式有：))(())(()()()(}{)(}{)(}{}{}{)(1101010111x F f x f F u F d u x F u F d u x S P u F d u x S P ud u f u X u x S P x X S P x S P x F n n x n xn n X n n n n n n n----∞-∞∞---*=*=-=-≤=-≤==-≤=≤+=≤=即)(x F n 是)(x F 的n 重卷积，记作：F F F n n *=-1。

另外，记：)}({)(t N E t m =称)(t m 为更新函数。

关于更新函数，有以下重要的定理。

定理：对于0≥?t ，有：∑∞==1)()(n n t F t m证明：根据以上的关系式，计算得：∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞==∞=∞=≤=≥=≥=========11111110}{})({})({})({})({})({})({)(n n n k k kn n n k n n t S P n t N P k t N P n t N P n t N P n t N P n n t N P n t m即有：∑∞==1)()(n n t F t m推论：若对0≥?t ，1)(<="">1))(1)(()(--≤t F t F t m下面是重要的更新方程。

随机过程习题及部分解答习题一1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。

2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。

习题二1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。

3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。

4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。

习题三1. 试证3.1节均方收敛的性质。

2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有()()()b aX t dt X b X a '=-⎰5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有[()()]()()b b baaaX t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰()()(),b c baacaX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤6. 求随机微分方程()()()[0,](0)0X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨=⎩的()X t 数学期望[()]E X t 。

第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题解答1、 设∑=-=Nk k k kn U n X 1)cos(2ασ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。

解：计算均值函数和相关函数如下0)}{cos(2)cos(2}{)(11=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==∑∑==Nk k k k N k k k k n X U n E U n E X E n ασασμ∑∑∑∑∑∑======-=--=--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Ni i i N i i i i i i Ni Nj j j i i j i N j j j j N i i i i X m n U m U n E U m U n E U m U n E m n R 12121111)](cos[)}cos(){cos(2)}cos(){cos(2)cos(2)cos(2),(ασαασαασσασασ因此可知，},1,0,{ ±=n X n 是平稳随机过程。

2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程，A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。

（1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 解：（1）样本函数不连续。

（2）令：012≥>t t ，下面求相关函数：)(221)(212210)(1212211212121211212212122112221122121121212cos cos )]}(cos[)]({cos[21!)]([)]}(cos[)]({cos[)1(21))]}()(()(cos[))]()(()(2)({cos[21))]}()(()(cos[))]()(()({cos[21))}(cos())({cos(}{))}(cos())(cos({)}()({),(t t t t k t t k kX e t t e t t t t e k t t t t t t t t t t t t t t t E t t t t t t t t E t t t t E A E t t t t A E t X t X E t t R ----∞=--⋅=⋅-++=⋅-⋅-++-=-+-+-+++=-+-++++=++⋅=++==∑λλλωωωωλωωηηπωηηππηωηηπωηηπωπηωπηωπηωπηω因为：t t t R ωξ2cos ),(=因此该过程是均方连续的随机过程。

（完整版）随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。

解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。

解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验，定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，⽅差 )1(),(22X Xt σσ。

习题11. 令X(t)为二阶矩存在的随机过程，试证它是宽平稳的当且仅当EX(s)与E[X(s)X(s+t)]都不依赖s.证明：充分性：若X(t)为宽平稳的，则由定义知EX(t)=μ， EX(s)X(s+t)=r(t) 均与s 无关必要性：若EX(s)与EX(s)X(s+t)都与s 无关，说明EX(t)=常数， EX(s)X(s+t)为t 的函数2. 记1U ，．．．，n U 为在（０,１）中均匀分布的独立随机变量，对0 < t , x < 1定义I( t , x)=⎩⎨⎧>≤，，，，t x t x 01并记X(t)=),(11∑=nk k U t I n ，10≤≤t ，这是1U ，．．．，n U 的经验分布函数。

试求过程X （t ）的均值和协方差函数。

解： EI ()k U t ,= P ()t U k ≤= t ， D()),(k U t I = EI ()k U t ,－()2),(kU t EI= t －2t = t(1－t)j k ≠， cov ()),(),(j k U s I U t I ，=EI(t,k U )I(s,j U )－EI(t, k U )EI(s, j U ) = st －st=0k = j ， cov ()),(),(j k U s I U t I ，= EI(t,k U )I(s,j U )－st = min(t,s)－stEX(t)=),(11∑=n k k U t EI n =∑=nk tn 11= tcov ())(),(s X t X =()()),(),,(cov 1),(),,(cov 1212j kjk nk k k U s I Ut I n U s I U t I n ∑∑≠=+=[]∑=nk st t s n12),min(1－=()st t s n－),min(13.令1Z ，2Z 为独立的正态分布随机变量，均值为0，方差为2σ，λ为实数，定义过程()t Sin Z t Cos Z t X λλ21+=.试求()t X 的均值函数和协方差函数，它是宽平稳的吗？Solution: ()221,0~,σN Z Z . 02221==EZ EZ .()()221σ==Z D Z D ，()0,21=Z Z Cov ,()0=t EX ，()()()()()[]s Sin Z s Cos Z t Sin Z t Cos Z E s X t X Cov λλλλ2121,+⋅+=[]t C o s S i n Z Z s t S i n C o s Z Z s t S i n S i n Z t C o s C o s Z E λλλλλλλλ12212221+++=()02++=s t S i n S i n s t C o s C o s λλλλσ =()[]λσs t Cos -2(){}t X 为宽平稳过程.4.Poisson 过程()0,≥t t X 满足（i ）()00=X ；(ii)对s t >，()()s X t X -服从均值为()s t -λ的Poisson 分布；（iii ）过程是有独立增量的.试求其均值函数和协方差函数.它是宽平稳的吗？Solution ()()()()t X t X E t EX λ=-=0，()()t t X D λ= ()()()()()s t s X t EX s X t X Cov λλ⋅-=,()()()()()ts s EX s X s X t X E 22λ-+-= ()()()()ts s EX s X D 220λ-++=()ts s s 22λλλ-+=()t s s λλλ-+=1 显然()t X 不是宽平稳的.5. ()t X 为第4题中的Poisson 过程，记()()()t X t X t y -+=1，试求过程()t y 的均值函数和协方差函数，并研究其平稳性. Solution ()λλ=⋅=1t Ey , ()()λ=t y DCov(y(t),y(s))=Ey(t)y(s)-Ey(t)y(s)=E(x(t+1)-x(t))(x(s+1)-x(s))-λ2(1)若s+1<t, 即s≤t-1，则Cov(y(t),y(s))=0-λ2=-λ2(2)若t<s+1≤t+1, 即t>s>t-1, 则Cov(y(t),y(s))=E[x(t+1)-x(s+1)+x(s+1)-x(t)][x(s+1)-x(t)+x(t)-x(s)] -λ2=E(x(t+1)-x(s+1))(x(s+1)-x(t))+E(x(t+1)-x(s+1))(x(t)-x(s))+E(x(s+1)-x(t))+E(x(s+1)-x(t))(x(t)-x(s))- λ2=λ(s+1-t)= λ-λ(t-s)- λ2(3) 若t<s<t+1Cov(y(t),y(s))= E [x(t+1)-x(s)+x(s)-x(t)] [x(s+1)-x(t+1)+x(t+1)-x(s)]- λ2 =(x(t+1)-x(s))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(t+1)-x(s))(x(t+1)-x(s))+E(x(s)-x(t))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(s)-x(t))(x(t+1)-x(s))- λ2=0+λ(t+1-s)+0-λ2=λ+λ(t-s)- λ2(4) 若s>t+1 Cov(y(t),y(s))=0-λ2=-λ2由此知，故方差只与t-s有关，与t,s无关故此过程为宽平稳的。

孙应飞随机过程答案【篇一：随机过程第18-19讲】lass=txt>（四）随机分析（续）5．随机微分方程初步设{y(t);t?t}是一均方连续的二阶矩过程，x0是一存在一、二阶矩的随机变量，假设{y(t);t?t}和x0是独立的，考虑以下随机微分方程： ?dx(t)?y(t)??dt??x(t0)?x0试研究{x(t);t?t}的统计特性。

解：方程两边在均方意义下积分，有：x(t)?x(t0)??ty(u)dut并且该解是唯一的。

由于：e{x(t)}?e{x(t0)}??te{y(u)}dut所以，当e{y(t)}?0时，e{x(t)}?e{x0}又相关函数为：rx(t1,t2)?e{x(t1)x(t2)}?e{x0}?e{x0}?te{y(u)}du?e{x0}?te{y(u)}du2t2t1??tt2?t1t0ry(u,v)dudv所以，当e{y(t)}?0时，有：rx(t1,t2)?e{x0}??t设有一阶线性微分方程：2t2?t1t0ry(u,v)dudv?dx(t)?a(t)x(t)?y(t)??dt??x(t0)?x0其中a(t),t?t是一确定性函数，{y(t);t?t}是一均方连续的实二阶矩过程，x0是存在一、二阶矩的随机变量，则此线性方程有唯一的解：x(t)?x0exp{?ta(u)du}??ty(v)exp{?va(u)du}dvttt下面研究其均值函数和相关函数?x(t)?e{x(t)}?e{x0}exp{?ta(u)du}??te{y(v)}exp{?va(u)du}dvtttrx(t1,t2)?e{x(t1)x(t2)}?e{x}exp{?ta(u)du}exp{?ta(v)dv}20t1t2?exp{?ta(u)du}?te{x0y(v)}exp{?va(u)du}dvt1t2t2?exp{?ta(u)du}?te{x0y(v)}exp{?va(u)du}dvt2t1t1??tt1?t2t0ry(v1,v2)exp{?va(u)du}exp{?va(u)du}dv1dv2121t1t2（五）各态历经性1．各态历经性本节主要讨论根据试验记录（样本函数）确定平稳过程的均值和相关函数的理论依据和方法。

（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。

解：由定义，有：)(2)0()0()}()({2)0()0()]}()()][()({[2)]([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D（2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马尔可夫过程。

证明：我们要证明：n t t t <<<≤∀ 210，有})()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P形式上我们有：})()(,,)(,)({})()(,,)(,)(,)({})(,,)(,)({})(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。