人教 A 版 2018-2019 学年高中数学修1-2第二章检测(时间 :90 分钟满分:120分)一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.有一段演推理是的:“若直平行于平面,直平行于平面内的所有直;已知直b? 平面α,a? 平面α,直 b∥平面α,直 b∥直 a”,个然是的,是因 ()A. 大前提B. 小前提C.推理形式D.非以上解析“若直平行于平面 ,直平行于平面内的所有直”是的 ,即大前提是的.故 A .答案 A已知∈ N* 猜想f( x)的表达式()2.f( x+1)),A .f(x)C.f(x)解析当 x= 1 ,f(2)当x=2 ,f(3)当x=3 ,f(4)故可猜想 f(x) B .答案 B3.如所示,4只小物座位,开始鼠,猴,兔,猫分坐1,2,3,4 号座位 ,如果第 1 次前后排物互座位 ,第 2 次左右列物互座位 ,第 3 次前后排物互座位⋯⋯交替行下去,那么第 2 018次互座位后 ,小兔坐在 ()号座位上 .A.1B.2C.3D.4解析由意得第 4 次互座位后 ,4 只小物又回到了原座位,即每 4 次互座位后,小物回到原座位 ,而 2 018= 4×504+ 2,所以第 2 018 次互座位后的果与第 2 次互座位后的果相同,故小兔坐在 2 号座位上 , B .答案 B4.已知x∈(0,+∞),不等式x≥ 2,x≥ 3,x≥ 4,⋯ ,可推广 x≥ n+ 1, a 的 ()n2C.22(n- 1)nA .2 B.n D.n123n 解析∵第一个不等式中 a= 1,第二个不等式中a= 2 ,第三个不等式中a= 3 ,∴第 n 个不等式中a=n .答案 D5.若△A1B1C1的三个内角的余弦分等于△A2B2C2的三个内角的正弦 , ()A. △A1B1C1和△A2B2C2都是角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是角三角形C.△A1B1C1是角三角形 ,△A2B2 C2是角三角形D.△A1B1C1是角三角形 ,△A2 B2C2是角三角形解析因正弦在 (0° ,180°)内是正 ,所以△A1B1C1的三个内角的余弦均大于0,因此△A1B1C1是角三角形 .由于△A1B1C1的三个内角的余弦分等于△A2B2C2的三个内角的正弦 ,因此△A2B2C2不可能直角三角形 ,故假△A2 B2C2也是角三角形,并 cos A1= sin A2, cosA1= cos(90° -A2),所以 A1= 90° -A2 .同理 cos B1= sin B2,cos C1= sin C2,有 B1= 90° -B2 ,C1= 90° -C2 .又 A1+B 1+C 1= 180° ,(90° -A 2)+ (90°-B2)+(90° -C2)= 180° ,即A2+B 2+C 2= 90° .与三角形内角和等于180°矛盾 ,所以原假不成立.故 D .答案 D6.察下列各式:a+b= 1,a2+b 2= 3,a3+b 3= 4,a4+b 4= 7,a5+b 5= 11,⋯ , a10+b 10等于 ()A.28B.76C.123D.199解析利用法:a+b= 1,a2+b 2= 3,a3+b 3= 4= 3+ 1,a4+b 4= 4+3= 7,a5 +b 5= 7+ 4= 11,a6+b 6= 11+ 7= 18,a7+b 7= 18+ 11= 29,a8 +b 8= 29+ 18= 47,a9+b 9= 47+29= 76,a10+b 10= 76+ 47= 123.律从第三开始,其果前两果的和.答案 C7.大于或等于 2 的自然数的正整数运算有如下分解方式:2= 1+322= 1+3+ 5324= 1+ 3+ 5+ 723= 3+ 543= 13+ 15+ 17+ 19根据上述分解律23的分解中最小的正整数是21, m+n 等于 () ,若 m = 1+ 3+ 5+⋯ + 11,nA .10 B.11 C.12 D.132解析∵m = 1+ 3+ 5+ ⋯ + 11∴m=6.∵23= 3+ 5,33= 7+ 9+11, 43= 13+15+ 17+ 19,∴53= 21+ 23+25+ 27+ 29.又 n3的分解中最小的正整数是21,∴n3= 53,n= 5,∴ m+n= 6+ 5= 11.答案 B8.于奇数列1,3,5,7,9,⋯ ,在行如下分:第一有 1 个数 {1}, 第二有 2 个数 {3,5}, 第三有3个数 {7,9,11}, ⋯⋯ ,依此推 ,每内奇数之和S n与其的号数n(n∈N* )的关系是 ()A. S n=n 2B. S n =n 3C.S n=n 4D.S n=n (n+ 1)解析当 n= 1,S1=1;当n= 2 ,S2= 8= 23;当n= 3 ,S3= 27=33.猜想 S n=n 3.故 B .答案 B9.古希腊人常用小石子在沙上成各种形状来研究数,比如 :(1)(2)他研究 (1) 中的 1,3,6,10,⋯ ,由于些数能表示成三角形,将其称三角形数;似地 ,称 (2)中的 1,4,9,16,⋯的数正方形数.下列数中既是三角形数,又是正方形数的是()A.289B.1 024C.1 225D.1 378解析根据图形的规律可知 ,第 n 个三角形数为 a n第 n 个正方形数为 b n=n 2,由此可排除选项D(1 378 不是平方数 ),将选项 A,B,C 代入到三角形数与正方形数的表达式中检验可知,符合题意的是选项 C,故选 C.答案 C10.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲所示 ,在平行四边形ABCD 中 ,有2222AC +BD = 2(AB +AD ),那么在图乙所示的平行六面体ABCD-A 1B1C1D1中,等于A.2( AB2+AD 2 +C.4(AB 2+AD 2 +解析如图 ,连接 A1C1,AC,则四边形 AA1C1C 是平行四边形,故A1C2+连接 BD ,B1D 1,则四边形 BB1D 1D 是平行四边形 ,故又在 ?ABCD 中 ,AC2+BD 2=2(AB 2+AD 2),则故选 C.答案 C二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时 ,甲说 :我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市 ;乙说 :我没去过 C 城市 ;丙说 :我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.解析由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B 城市 ,因此甲一定去过 A 城市和 C 城市 .又乙没去过 C 城市 ,所以三人共同去过的城市必为A, 故乙去过的城市就是 A .答案 A312.已知函数f(x)=x +x ,a,b,c∈R ,且 a+b> 0,b+c> 0,c+a> 0,则 f(a)+f (b)+f (c)的值一定比零(填“大”或“小”).3解析∵f(x)=x +x 是R上的奇函数 ,且是增函数 ,又由 a+b> 0 可得 a>-b ,∴f(a)>f ( -b)=-f (b),∴f(a)+f (b) >0.同理 ,得 f(b)+f (c)> 0,f(c) +f (a)> 0.三式相加 ,整理得 f(a)+f (b)+f (c) >0.答案大13.在平面几何中,△ABC 的内角平分线CE 分 AB 所成线段的比为把这个结论类比到空间在三棱锥中如图所示平面平分二面角且与相交于则类比后得到的结论是解析∵CE 平分∠ ACB,而平面 CDE 平分二面角A-CD-B ,可类比成△故结论为△△△答案△△14.已知集合{ a,b,c} = {0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b= 2;③c≠0有且只有一个正确,则 100a+ 10b+c 等于.解析由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:(1)当①成立时 ,则 a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立 ;(2)当②成立时 ,则 a= 2,b= 2,c=0,此种情况不成立 ;(3)当③成立时 ,则 a= 2,b≠2,c≠0,即 a= 2,b= 0,c=1,所以 100a+ 10b+c= 100×2+ 10×0+ 1=201.故答案为 201.答案 20115.把数列的所有项按照从大到小的原则写成如下数表-1人教 A 版 2018-2019 学年高中数学修1-2⋯第 k 行有 2k-1个数 ,第 t 行的第 s 个数 (从左数起 )A(t,s), A(6,10)=.01234个数 ,A(6,10) 数列的第41 .解析前 5 行共有 2+2 + 2 + 2 + 2 =31∵ a n-答案三、解答题 (本大题共 5 小题 ,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)某同学在一次研究性学中,以下五个式子的都等于同一个常数:①s in 213° +cos217° -sin 13° cos 17°;②s in 215° +cos215° -sin 15° cos 15°;③s in 218° +cos212° -sin 18° cos 12°;④s in 2(-18° )+ cos248° -sin( -18°)cos 48° ;⑤s in 2(-25° )+ cos255° -sin( -25°)cos 55° .(1)从上述五个式子中一个 ,求出个常数 ;(2) 根据 (1)的算果 ,将同学的推广三角恒等式,并明你的.解法一 (1)② 式,算如下:sin215° +cos215° -sin 15° cos 15°=130°= 1(2)三角恒等式sin2α+ cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)明如下 :sin2α+ cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)= sin2α+(cos 30° cos α+ sin 30° sin α)2-sin α·(cos 30° cos α+ sin 30 °sin α)= sin2ααcosααcosα解法二 (1) 同解法一 .22(2)三角恒等式sin α+ cos (30° -α)-sin α·cos(30° - α)明如下 :22-°-2α60° cos 2α+ sin 60° sin 2α)αcosαsin 2α2α2α2α2α2α) = 12α2α17.(8分)已知函数f(x)=a x-(1)证明函数 f(x)在 (-1,+ ∞)内为增函数 ;(2)用反证法证明方程 f( x)=0 没有负数根 .分析对第 (1) 小题 ,可用定义法证明;对第 (2)小题 ,可按反证法证明命题的步骤加以证明.证明 (1)设 x1,x2是 (- 1,+ ∞)内的任意两个实数,且 x1<x 2.∵a> 1,又x1+ 1> 0,x2+ 1> 0,--于是 f(x2)-f(x1)故函数 f(x)在 (-1,+ ∞)内为增函数 .(2)假设存在x0<0( x0≠-1) 满足 f( x0)= 0,则于是 0<-且 0-即这与假设 x0< 0 矛盾 ,故方程 f(x)= 0 没有负数根 .18.(9分)先解答(1),再通过结构类比解答(2):(1)求证 :ta-(2)设 x∈R ,a 为非零常数 ,且 f(x+a )试问是周期函数吗证明你的结论-(1) 证明由两角和的正切公式得ta--即 ta命题得证 .-(2)解猜想 f(x)是以 4a 为周期的周期函数 . 证明过程如下 :∵ f(x+ 2a)=f [(x+a )+a ]∴f(x+ 4a)=f [(x+ 2a)+ 2a]=∴ f(x)是以 4a 为周期的周期函数.故 f(x) 是周期函数 ,其中一个周期为4a.19.(10分)已知0<b<a< e,其中e是自然对数的底数.(1)试猜想 a b与 b a的大小关系 ;(2)证明你的结论 .(1) 解取 a= 2,b= 1 可知 a b>b a,又当 a= 1,b时,a b>b a,由此猜测 a b>b a对一切 0<b<a< e 成立 .(2)证明要证 a b >b a对一切 0<b<a< e 成立 ,需证 ln a b> ln b a,需证 bln a>a ln b,需证设函数 f(x)∈ (0,e),-f'(x)当x∈ (0,e)时 ,f'(x)> 0 恒成立 .所以 f(x)在(0,e)内单调递增,所以 f(a)>f (b), 即所以a b>b a.20.(10分)已知数列{ a n}和{ b n}满足:a1=λ,a n+1其中为常数为正整数(1)求证 :对任意实数λ,数列 { a n } 不是等比数列 ;(2)求证 :当λ≠-18 时 ,数列 { b n} 是等比数列 ;(3) 设 S n为数列 { b n} 的前 n 项和 ,是否存在实数λ,使得对任意正整数 n,都有 S n>- 12?若存在 ,求实数λ的范围 ;若不存在 ,请说明理由 .分析解答本题 ,需综合运用等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本运算技能,并注意分类讨论思想的应用.(1) 证明假设存在实数λ,使得数列{ a n}是等比数列,则有又因为 a2所以--即则 9=0,这是不可能的.所以假设不成立,原结论成立 .故对任意实数λ,数列 { a n} 不是等比数列.(2)证明因为λ≠-18,所以 b1=- (λ+ 18)≠0.又b n+ 1= (-1)n+ 1[a n+ 1-3(n+ 1)+21]= (-1)n+-==所以 b n≠0,所以∈N *).故当λ≠-18 时 ,数列 { b n} 是以 -(λ+ 18)为首项 ,为公比的等比数列.(3)解当λ≠-18 时,由 (2)得-b n=- (λ+ 18) ·-所以 S n- -=当λ=- 18 时 ,b n= 0,从而 S n= 0,(* )式仍成立 .要使对任意正整数n,都有 S n>- 12,即解得λ- -令 f(n) =1-则当n为正奇数时,1<f (n)≤当n为正偶数时≤ f(n)< 1,故对任意正整数n,f(n)的最大值为f(1)所以λ<20综上所述 ,存在实数λ,使得对任意正整数n,都有 S n>- 12,此时实数λ的取值范围是(-∞,-6).。
