人教A版高中数学选修推理与证明同步练习(1)

凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。

高中新课标选修（1-2）推理与证明测试题

一、选择题

1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ）

Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件

答案：Ａ

2．结论为：nnxy能被xy整除，令1234n，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ）

Ａ．nN Ｂ．nN且3n≥ Ｃ．n为正奇数 Ｄ．n为正偶数

答案：Ｃ

3．已知数列37111519L，，，，，，则311是这个数列的第（ ）

Ａ．23项 Ｂ．24项 Ｃ．25项 Ｄ．26项

答案：Ｃ

4．在等差数列na中，若0na，公差0d，则有4637aaaa··，类经上述性质，在等比数列nb中，若01nbq，，则4578bbbb，，，的一个不等关系是（ ）

Ａ．4857bbbb Ｂ．5748bbbb

Ｃ．4758bbbb Ｄ．4578bbbb

答案：Ｂ

5．（1）已知332pq，求证2pq≤，用反证法证明时，可假设2pq≥，

（2）已知abR，，1ab，求证方程20xaxb的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x的绝对值大于或等于1，即假设11x≥，以下结论正确的是（ ）

Ａ．(1)与(2)的假设都错误

Ｂ．(1)与(2)的假设都正确

Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误

Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确

答案：Ｄ 凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。

6．观察式子：213122，221151233，222111712344，L，则可归纳出式子为（ ）

Ａ．22211111(2)2321nnnL≥

Ｂ．22211111(2)2321nnnL≥

Ｃ．222111211(2)23nnnnL≥

Ｄ．22211121(2)2321nnnnL≥

答案：Ｃ

7．如图，在梯形ABCD中，()ABDCABaCDbab，，∥．若EFAB∥，EF到CD与AB的距离之比为:mn，则可推算出：mambEFmm．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰ADBC，相交于O点，设OAB△，OCD△的面积分别为12SS，，EFAB∥且EF到CD与AB的距离之比为:mn，则OEF△的面积0S与12SS，的关系是（ ）

Ａ．120mSnSSmn Ｂ．120nSmSSmn

Ｃ．120mSnSSmn Ｄ．120nSmSSmn

答案：Ｃ

8．已知abR，，且2abab，，则（ ）

Ａ．2212abab Ｂ．2212abab

Ｃ．2212abab Ｄ．2212abab

答案：Ｂ

9．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)axbxca有有理根，那么abc，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）

Ａ．假设abc，，都是偶数

Ｂ．假设abc，，都不是偶数

Ｃ．假设abc，，至多有一个是偶数

Ｄ．假设abc，，至多有两个是偶数

答案：Ｂ 凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。

10．设1250aaaL，，，是以101，，三个数组成的数列，若12509aaaL，且2221250(1)(1)(1)107aaaL，则1250aaaL，，，中有0的个数为（ ）

Ａ．10 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．13

答案：Ｂ

11．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，()2xxaaSx，()2xxaaCx，其中0a，且1a，下面正确的运算公式是（ ）

①()()()()()SxySxCyCxSy；

②()()()()()SxySxCyCxSy；

③()()()()()CxyCxCySxSy；

④()()()()()CxyCxCySxSy；

Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①②③④

答案：Ｄ

12．正整数按下表的规律排列

则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ ）

Ａ．22005 Ｂ．22006 Ｃ．20052006 Ｄ．20052006

答案：Ｄ

二、填空题

13．写出用三段论证明3()sin()fxxxxR为奇函数的步骤是 ．

答案：满足()()fxfx的函数是奇函数， 大前提

333()()sin()sin(sin)()fxxxxxxxfx， 小前提 1 2 5 10 17

4 3 6 11 18

9 8 7 12 19

16 15 14 13 20

25 24 23 22 21 凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。

所以3()sinfxxx是奇函数． 结论

14．要证明3726，在合情推理法、演绎推理法、分析法和综合法中，选用的最适合的证法是 ．

答案：分析法

15．已知等差数列有一性质：若na是等差数列，则通项为12nnaaabnL的数列nb也是等差数列．类比上述命题，相应的等比数列有性质：na是等比数列(0)na，则通项为nb 的数列nb为等比数列．

答案：12nnaaaL···

16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：

设第n个图有na个树枝，则1na与(2)nan≥之间的关系是 ．

答案：122nnaa

三、解答题

17．已知命题：“若数列na是等比数列，且0na，则数列12()nnnbaaanNL也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．

解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列na是等差数列，则数列12nnaaabnL也是等差数列．

证明如下：设等差数列na的公差为d，

则1121(1)2(1)2nnnnnadaaadbannnL， 凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。

所以数列nb是以1a为首项，2d为公差的等差数列．

18．如图，设在四面体PABC中，90ABCPAPBPCD，，°是AC的中点．

求证：PD垂直于ABC△所在的平面．

证明：（综合法）连结PDBD，，因为BD是ABCRt△斜边上的中线，所以DADCDB．

又PAPBPC∵，而PD是PADPBDPCD，，△△△的公共边，

PADPBDPCD∴△≌△≌△．

于是PDAPDBPDC，而90PDAPDC°，

因此，90PDB°．

PDACPDBD，∴．

由此可知PD垂直于ABC△所在平面．

19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．

证明：（分析法）设圆和正方形的周长为l，依题意，圆的面积为2π2πl·，

正方形的面积为24l．

因此本题只需证明22π2π4ll．

要证明上式，只需证明222π4π16ll，

两边同乘以正数24l，得11π4．

因此，只需证明4π．

∵上式是成立的，所以22π2π4ll．

这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．

20．（1）求证：π1tantan41tanxxx；

（2）设xR，a为非零常数，且1()()1()fxfxafx，试问：()fx是周期函数吗？证明你的结论．

凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。

证明：（1）πtantanπ1tan4tanπ41tan1tantan4xxxxx，

从而得证；

（2）()fx不是周其函数．

用反证法证明：假设()fx是周期函数，且周期为a，

则()()faxfx，1()()()1()fxfxafxfx．

21()()()fxfxfx∴，有2()1fx．

而2()0fx≥，由此得出矛盾，故假设不成立．

所以()fx不是周期函数．

21．圆的垂径定理有一个推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦．这一性质能推广到椭圆吗？设AB是椭圆22221(0)xyabab的任一条弦（不经过原点），M是AB的中点，设OM与AB的斜率都存在，并设为OMABkk，，则OMk与ABk之间有何关系？并证明你的结论．

解：22OMABbkka·．

证明：设112200()()()AxyBxyMxy，，，，，，

则22112222222211xyabxyab，，相减，得1212121222()()()()0xxxxyyyyab．

又1202xxx，1202yyy，

则有20122012yyybxxxa·，即22OMABbkka·．

22．自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用nx表示某鱼群在第n年年初的总量，nN，且10x．不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与nx成正比，死亡量与2nx成正比，这些比例系数依次为正常数abc，，．

（1）求1nx与nx的关系式；

（2）猜想：当且仅当1xabc，，，满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）

解：（1）从第n年初到第1n年初，鱼群的繁殖量为nax，被捕捞量为nbx，死亡量为2ncx，