2012年上海市高考数学试卷(文科)教师版

2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）【整理】佛山市三水区华侨中学骆方祥（lbylfx @ ）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：i i 13=（i 为虚数单位）.【答案】 1-2i【解析】ii 13=(3)(1)(1)(1)i i i i =1-2i【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。

2．若集合}012|{x x A，}1|{x x B ，则B A= .【答案】1|12x x 【解析】由集合A 可得：x>12，由集合B 可得：-1<x<1，所以，B A =1|12x x 【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法，解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。

3．函数xx x f cos 12sin )(的最小正周期是 .【答案】【解析】根据韪得：1()sin cos 2sin 222f x x x x 【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则21arctan,21tan.【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5.一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为.【答案】6【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1r ，所以该圆柱的表面积为：624222rrl S 圆柱表.【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题.6.方程14230xx 的解是.【答案】3log 2【解析】根据方程03241x x，化简得0322)2(2xx ，令20xt t，则原方程可化为0322tt，解得3t或舍1t，即3log ,322xx.所以原方程的解为3log 2.【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n nV V V .【答案】78【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21n nV V V .【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.8.在61xx的二项式展开式中，常数项等于.【答案】20【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C ()20T x x.【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.9.已知()y f x 是奇函数，若()()2g x f x 且(1)1g ，则(1)g .【答案】3【解析】因为函数)(x f y 为奇函数，所以有)()(x f x f ，即,1)1(,1)1(,2)1()1(f g f g 所以，又3212)1()1(,1)1()1(f g f f .【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y为奇函数，所以有)()(x f x f 这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件22x y 的目标函数z y x 的最小值是.【答案】2【解析】根据题意得到0,0,22;xy xy或0,0,22;x yx y或0,0,22;x y xy或0,0,2 2.x y x y其可行域为平行四边形ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成z xy，z 的最小值就是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2m i n z .105510642246y=x+z BDAC【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2minz ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）.【答案】32【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32.【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD，则AM AN 的取值范围是【答案】4,1【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2AD AB ，所以(0,0),(2,0),(2,1)(0,1).A B C D 设)20(),1,(),,2(xx N b M ，根据题意，22xb ，所以2(,1),(2,).2xANx AM 所以123x ANAM20x ，所以41231x ，即41ANAM.105510642246C ADBM N【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13.已知函数()y f x 的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()yxf x （01x）的图像与x 轴围成的图形的面积为.【答案】41【解析】根据题意，得到12,02()122,12x x f x xx，从而得到121,22210,2)(22x x xx x x xf y 所以围成的面积为41)22(2121221dxx xxdxS，所以围成的图形的面积为41.【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.14.已知1()1f x x，各项均为正数的数列n a 满足11a ，2()n n a f a ，若2010201a a，则2011a a 的值是.【答案】265133【解析】据题xx f 11)(，并且)(2n na f a ，得到nna a 112，11a ，213a ，20122010a a ，得到2010201011a a ，解得2152010a （负值舍去）.依次往前推得到2651331120a a .【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件)(2n na f a 是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.若12i 是关于x 的实系数方程20xbx c 的一个复数根，则（）A ．2,3bcB.2,1b cC.2,1b cD.2,3bc 【答案】D【解析】根据实系数方程的根的特点知12i 也是该方程的另一个根，所以b i i 22121，即2b ，c i i 3)21)(21(，故答案选择 D.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16.对于常数m 、n ，“0mn ”是“方程221mxny的曲线是椭圆”的（）A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程122nymx的曲线表示椭圆，常数常数n m,的取值为0,0,,mn mn 所以，由0mn得不到程122nymx的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn ，因而必要.所以答案选择 B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数n m,的取值情况.属于中档题.17.在△ABC 中，若222sin sin sin A BC ，则△ABC 的形状是（）A ．钝角三角形B 、.直角三角形 C.锐角三角形D.不能确定【答案】A【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A Ra 代入得到222abc ，由余弦定理的推理得222cos 02abcCab，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择 A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.18.若2sinsin (i)777n n S （n N ），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（）A ．16 B.72C.86D.100【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点.已知∠BAC =2，AB=2，AC=23，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）[解]（1）3232221ABCS ，2分三棱锥P-ABC 的体积为3343131232PAS VABC. 6分（2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线BC 与AD 所成的角.8分在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2，4322222222cos ADE，所以∠ADE =43arccos .因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos .12分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．已知函数)1lg()(x x f . （1）若1)()21(0x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10x时，有)()(x f x g ，求函数)(x g y ])2,1[(x 的反函数.（8分）[解]（1）由1022x x ，得11x .PABCDPABCDE由1lg )1lg()22lg(0122x xx x 得101122x x . ……3分因为01x ，所以1010221x xx ，3132x.由313211x x 得3132x.……6分（2）当x [1,2]时，2-x [0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y .……10分由单调性可得]2lg ,0[y .因为yx103，所以所求反函数是xy 103，]2lg ,0[x . ……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0t时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）[解]（1）5.0t时，P 的横坐标x P =277t，代入抛物线方程24912xy 中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP|=2949，得救援船速度的大小为949海里/时.……4分由tan ∠OAP =30712327，得∠OAP=arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度.……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t .由222)1212()7(tt vt ，整理得337)(1442122ttv.……10分因为2212tt，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144v ，即25v . 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22yxC .xOyPA（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF|=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|k k 的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122yx相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分）[解]（1）双曲线1:2212yC x ，左焦点)0,(26F .设),(y x M ，则22222262)3()(||xy x MF ，……2分由M 是右支上一点，知22x，所以223||22xMF ，得26x.所以)2,(26M . ……5分（2）左顶点)0,(22A ，渐近线方程：x y 2. 过A 与渐近线x y2平行的直线方程为：)(222xy，即12x y.解方程组122x yx y ，得2142yx .……8分所求平行四边形的面积为42||||y OA S .……10分（3）设直线PQ 的方程是b kx y.因直线与已知圆相切，故11||2kb ，即122kb (*).由1222yxb kx y ，得012)2(222bkbx xk .设P(x 1, y 1)、Q(x 2, y 2)，则22221212221kbkkb x x x x .))((2121b kx b kx y y ，所以2212122121)()1(bx x kb x x k y y x x OQOP 22222222221222)1)(1(kkbkb k kb k .由(*)知0OQ OP ，所以OP ⊥OQ.……16分【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题．23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m a x {21k ka a ab （k=1,2,…,m ），即kb 为k a a a ,,,21中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分）（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k mk 1（C 为常数，k=1,2,…,m ）.求证：k ka b （k=1,2,…,m ）；（6分）（3）设m=100，常数)1,(21a.若n ana n n n2)1()1(2，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b .[解]（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.……4分（2）因为},,,max{21k k a a a b ，},,,,max{1211k k ka a a ab ，所以k k b b 1. ……6分因为C b a k mk 1，C b a kmk 1，所以011kmk mk kb b a a ，即k ka a 1.……8分因此，k k a b .……10分（3）对25,,2,1k ，)34()34(234k ka a k；)24()24(224kk a a k；)14()14(214kk a a k；)4()4(24k k a a k .比较大小，可得3424k k a a .……12分因为121a ，所以0)38)(1(2414k a a a kk，即1424k ka a ；0)14)(12(2244ka a a kk，即244k ka a .又k k a a 414，从而3434k k a b ，2424kk a b ，2414kka b ，k k a b 44. ……15分因此)()()(1001002211a b a b a b =)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k=2511424)(k k ka a =251)38()1(k ka =)1(2525a .……18分【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。

2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?3．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1B．0C．D．14．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）6．（5分）如果执行下边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．188．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．πB．4πC．4πD．6π9．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωｘ+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝（）A．B．C．D．10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．811．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690B．3660C．1845D．1830二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q= ．15．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= ．16．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m= ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．【解答】解：复数z====﹣1+i．所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【专题】5J：集合．【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，∵B={x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B?A．故选：B．【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．3．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1B．0C．D．1【考点】BS：相关系数．【专题】29：规律型．【分析】所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．【解答】解：由题设知，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选：D．【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题．4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4∴b=2，a=1+即C（1+，2）则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1），直线BC的方程为y﹣3=﹣（x﹣1）当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣∴故选：A．【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【考点】E7：循环结构．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．18【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．πB．4πC．4πD．6π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球的体积为：=4π．故选：B．【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．9．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωｘ+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝（）A．B．C．D．【考点】HK：由y=Asin（ωｘ+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题．【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωｘ+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．8【考点】KI：圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．11．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【考点】7J：指、对数不等式的解法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选：B．【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690B．3660C．1845D．1830【考点】8E：数列的求和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…ａ50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和．【解答】解：由于数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…ａ50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故选：D．【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y=4x﹣3 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，当x=1时，y′=4，∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．故答案为：y=4x﹣3．【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q= ﹣2 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】由题意可得，q≠1，由S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求q【解答】解：由题意可得，q≠1∵S3+3S2=0∴∴q3+3q2﹣4=0∴（q﹣1）（q+2）2=0∵q≠1∴q=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题中要注意公比q是否为115．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= 3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法16．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=2 ．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．【解答】解：函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．即M+m=2．故答案为：2．【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC?（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S△ABC=bcsinA=，所以bc=4，a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；BB：众数、中位数、平均数；CS：概率的应用．【专题】15：综合题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率．【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n＜17时，利润y=10n﹣85；（4分）∴利润y关于当天需求量n的函数解析式（n∈N*）（6分）（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为元；（9分）（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分）【点评】本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【考点】L2：棱柱的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．【解答】证明：（1）由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1?平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1?平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想．【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f′（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）=，则g′（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】14：证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．【分析】①不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈?；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2012上海高考数学试题（文科）答案与解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 【答案】 1-2i 【解析】i i +-13=(3)(1)(1)(1)i i i i --+-=1-2i 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。

2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A = .【答案】 1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】由集合A 可得：x>12，由集合B 可得：-1<经<1，所以，B A =1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法，解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。

3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 .【答案】π【解析】根据韪得：1()sin cos 2sin 222f x x x x =+=+ 【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小. 4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】设直线的倾斜角为α，则21arctan ,21tan ==αα. 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 . 【答案】π6【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的表面积为：πππππ624222=+=+=r rl S 圆柱表.【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题. 6.方程14230xx +--=的解是 .【答案】3log 2 【解析】根据方程03241=--+x x，化简得0322)2(2=-⋅-x x ，令()20x t t =>，则原方程可化为0322=--t t ，解得 3=t 或()舍1-=t ，即3log ,322==x x .所以原方程的解为3log 2 .【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中. 7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++= .【答案】78 【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V . 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.8.在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 .【答案】20-【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C ()20T x x=-=- .【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题. 9.已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= . 【答案】3【解析】因为函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-，即,1)1(,1)1(,2)1()1(-==+=f g f g 所以，又 3212)1()1(,1)1()1(=+=+-=-=-=-f g f f .【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 . 【答案】2-【解析】根据题意得到0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩或0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩或0,0,22;x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≤⎩或0,0,2 2.x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥-⎩其可行域为平行四边形ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成z x y +=，z 的最小值就是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z .【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 【答案】32【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32 . 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题. 12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BC CD= ，则AM AN ⋅ 的取值范围是 【答案】[]4,1【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==AD AB ，所以 (0,0),(2,0),(2,1)(0,1).A B C D 设)20(),1,(),,2(≤≤x x N b M ，根据题意，22x b -=，所以2(,1),(2,).2x AN x AM →→-== 所以123+=∙→→x AN AM ()20≤≤x ，所以41231≤+≤x ， 即→→≤∙≤41AN AM .【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13.已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为 . 【答案】41 【解析】根据题意，得到12,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩ ，从而得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤≤==121,22210,2)(22x x x x x x xf y 所以围成的面积为41)22(21212210=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为41 . 【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14.已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 . 【答案】265133+ 【解析】据题x x f +=11)(，并且)(2n n a f a =+，得到nn a a +=+112，11=a ，213=a ，20122010a a =，得到2010201011a a =+，解得2152010-=a （负值舍去）.依次往前推得到 2651331120+=+a a . 【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件)(2n n a f a =+是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c == B.2,1b c ==- C.2,1b c =-=- D.2,3b c =-= 【答案】 D【解析】根据实系数方程的根的特点知1也是该方程的另一个根，所以b i i -==-++22121，即2-=b ，c i i ==+-3)21)(21(，故答案选择D.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩所以，由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn >，因而必要.所以答案选择B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数n m ,的取值情况.属于中档题.17.在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A ．钝角三角形 B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】 A【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A R a ===代222a b c +<，由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A. 【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 18.若2sinsin...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．16 B.72 C.86 D.100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =2π，AB=2，AC=23，PA BCDP A=2.求：（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三 角函数值表示）.（6分） [解]（1）3232221=⨯⨯=∆ABC S ， 2分 三棱锥P -ABC 的体积为3343131232=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC . 6分 （2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与AD 所成的角. 8分在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2， 4322222222cos ==∠⨯⨯-+ADE ，所以∠ADE =43arccos .因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos . 12分 【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x xx x 得101122<<+-x x . ……3分 因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x . 由⎩⎨⎧<<-<<-1211x x 得3132<<-x . ……6分 （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分 由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、PA BCDE幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程4912y =中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=tt v .……10分因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y x C .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF |=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的 面积；（5分） （3）设斜率为)2|(|<k k 的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分） [解]（1）双曲线1:2212=-y C x ，左焦点)0,(6-F .设),(y x M ，则22222262)3()(||+=++=x y x MF ， ……2分由M 是右支上一点，知22≥x ，所以223||22=+=x MF ，得26=x .所以)2,(26±M . ……5分（2）左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……8分所求平行四边形的面积为42||||==y OA S . ……10分（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故11||2=+k b ，即122+=k b (*). 由⎩⎨⎧=-+=1222y x bkx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==+----22221212221k b k kbx x x x . ))((2121b kx b kx y y ++=，所以2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x ++++=+=⋅22222222221222)1)(1(k k b k b k kb k --+-----+=+.由(*)知0=⋅，所以OP ⊥OQ . ……16分【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,max{21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分） （2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）. 求证：k k a b =（k =1,2,…,m ）；（6分）（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若n an a n n n )1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .[解]（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分（2）因为},,,max{21k k a a a b =，},,,,max{1211++=k k k a a a a b ， 所以k k b b ≥+1. ……6分 因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1. ……8分 因此，k k a b =. ……10分（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ； )14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=.比较大小，可得3424-->k k a a . ……12分因为11<<a ，所以0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ； 0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a . 又k k a a 414>+，从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=. ……15分因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+--- =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+--- =∑=---2511424)(k k k a a=∑=--251)38()1(k k a =)1(2525a -. ……18分 【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。

2012年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1、计算：31i i-=+ （i 为虚数单位） 2、若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则A B ⋂＝3、函数sin 2()1cos xf x x =-的最小正周期是4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）5、一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6、方程14230x x +--=的解是7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++= 8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -=10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为14、已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15、若12+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-=16、对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件17、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ）A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、锐角三角形D 、不能确定18、若2sinsin ...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A 、16B 、72C 、86D 、100三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2π，2AB =，23AC =，2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）PAB C D。

1. 计算：设i 为虚数单位，则31ii-=+ . 2.（文）若集合{}|210A x x =->，{}||1B x x =<，则A B = .（理）若集合{}|210A x x =+>，{}|1|2B x x =-<，则A B = .3. （文）函数2()1sinx f x cosx=-的最小正周期是 .（理）函数2()1cosx f x sinx =-的值域是 .4.（文）若(2d =，1)是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 .（理）若(2n =-，1)是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 .5.（文）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，则该圆柱的表面积为 .（理）在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 .6.（文）方程14230xx +--=的解是 .（理）有一列正方体，其棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为1V ，2V ，⋅⋅⋅，n V ，⋅⋅⋅，则12()n n lim V V V →∞++⋅⋅⋅+= .7.（文）有一列正方体，其棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为1V ，2V ，⋅⋅⋅，n V ，⋅⋅⋅，则12()n n limV V V →∞++⋅⋅⋅+= .（理）已知函数||()x a f x e -=，a 为常数. 若()f x 在区间[1，)+∞上是增函数，则a 的取值范围是 .8.（文）在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 .（理）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9.（文）已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= .（理）已知2()y f x x =+是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1f =，则(1)g -=.10. （文）满足约束条件||2||2x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 .（理）如图所示，在极坐标系中，过点(2M ，0)的直线l 与极轴的 夹角6πα=， 若将直线l 的极坐标方程写成()f ρθ=的形式，则()f θ= .11. 三位同学参加跳远、跳高、铅球项目的比赛. 若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 . 12. （文）在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅ 的取值范围是 . （理）在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是 边BC 、CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅ 的取值范围是 . 13. （文）已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0A ，0)、1(2B ，1)、(1C ，0)， 那么函数()(01)y xf x x =≤≤的图像与x 轴围成的图形的面积为 .（理）已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0A ，0)、1(2B ，5)、(1C ，0)， 那么函数()(01)y xf x x =≤≤的图像与x 轴围成的图形的面积为 . 14. （文）已知函数1()1f x x=+. 各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，且2()n n a f a +=. 如果20102012a a =，那么2011a a +的值是 .（理）如图所示，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC =.若2AD c =，且2AB BD AC CD a +=+=， 其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值为 .α lxOMDCBA15. 若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则 （ ）A ．2b =，3c =B ．2b =，1c =-C ．2b=-，1c =-D ．2b=-，3c =16. 对于常数m 、n ，“0mn>”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17. （文）在ABC 中，若222sinA sinB sinC +<，则ABC 的形状是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定（理）设412341010x x x x ≤<<<≤，5510x =. 随机变量1ξ取值1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值122x x +，232x x +，342x x +，452x x +，512x x +的概率均为0.2. 若记1D ξ、2D ξ分别是随机变量1ξ、2ξ的方差，则（ ）A ．12D D ξξ>B ．12D D ξξ=C ．12D D ξξ<D ．1D ξ与2D ξ的大小关系和1x ，2x ，3x ，4x 取值有关18. （文）若2()777nn S sinsinsin n N πππ*=++⋅⋅⋅+∈，则在1S ，2S ，3S ，⋅⋅⋅，100S 中， 正数的个数是（ ）A ．16B ．72C ．86D ．100（理）设125n n a sin n π=，12n n S a a a =++⋅⋅⋅+. 则在1S ，2S ，⋅⋅⋅，100S 中，正数的个数（ ）A ．25B ．50C ．75D ．10019. （文）如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点. 已知2AB =，23AC =，2BAC π∠=，2PA =.①求三棱锥P ABC -的体积；②求异面直线BC 与AD 所成的角的大小.（理）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PC的中点. 已知2AB =，22AD =，2PA =.①求PCD 的面积； ②求异面直线BC 与AE 所成的角的大小.20. 已知函数()(1)f x lg x =+.①若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；②如果()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =，求函数()y g x =(12)x ≤≤的反函数.PDCB AABCPDE21. 海事救援船对一艘失事船只进行定位：以失事船只的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，且以1海里为单位长度. 则救援船只恰好在失事船只正南方向12海里A 处，如图所示. 现假设：失事船只的移动路径可视为抛物线21249y x =，定位后救援船只立即沿直线匀速前往救援，且救援船只出发t 小时后，失事船只所在位置的横坐标为7t . ①当0.5t=时，写出失事船只所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船只速度的大小和方向；②问救援船只的时速至少是多少海里才能追上失事船只？22. （文）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C xy -=.①设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若||22MF =，求点M 的坐标；②过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； ③设斜率为(22)k k -<<的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥.（理）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C xy -=.①过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；②设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥； ③设椭圆222:41C x y +=，若M 、N分别是1C 、2C 上的动点，且OMON ⊥，求证：O 到直线MN 的距离为定值.PAyxO23. （文）对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{1k b max a =，2a ，⋅⋅⋅，}(1k a k =，2，⋅⋅⋅，)m ，即k b 为1a ，2a ，⋅⋅⋅，k a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5.①若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a ；②设{}n b 是{}n a 的控制数列，且满足1k m k a b C -++=，其中C 为常数，1k =，2，⋅⋅⋅，m ，求证：(1k k b a k ==，2，⋅⋅⋅，)m ；③设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122100100()()()b a b a b a -+-+⋅⋅⋅+-.（理）对于数集{1X =-，1x ，2x ，⋅⋅⋅，}n x ，其中120n x x x <<<⋅⋅⋅<，2n ≥，定义向量集{|(Y a a s ==，)t ，s X∈，}t X ∈，若对任意的1a Y ∈，存在2a Y∈ ，使得120a a ⋅=，则称X 具有性质P . 例如，{1-，1，}2具有性质P .①若2x >，且{1-，1，2，}x 具有性质P ，求x 的值；②若X 具有性质P ，求证：1X∈，且当1nx >时，11x =；③若X 具有性质P ，且11x =，2x q =，q 为常数，求有穷数列1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的通项公式.参考答案（文）1. 12i-2.1,1 2⎛⎫ ⎪⎝⎭3. π4.12 arctan5. 6π6.23log7. 8 78. 20-9. 310. 2-11. 2 312. []1,413. 1 414. 135326+15. D16. B17. A18. C19. ①433②34arccos20. ①21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭②310(02)xy x lg=-≤≤21. ①速度为949海里/小时，方向为北偏东730arctan弧度②2522. ①6,22M⎛⎫±⎪⎝⎭②24③略23. ①2,3,4,5,12,3,4,5,22,3,4,5,32,3,4,5,42,3,4,5,5②略③2525(1)a-——————————————————参考答案（理）1. 12i-2.1,32⎛⎫-⎪⎝⎭3.53,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦4. 2arctan5. 160-6. 877.(],1-∞8.33π9.1-10.16sin πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭11. 2312. []2,513. 54 14. 22213c a c -- 15. B16. C 17. A18.D19. ①23 ②4π20. ①21,33⎛⎫-⎪⎝⎭ ②310(02)x y x lg =-≤≤21. ①速度为949海里/小时，方向为北偏东730arctan弧度 ②2522. ①28②略③定值为3323. ①4②略 ③1(1,2,,)k k x q k n -==⋅⋅⋅。

2012上海高考数学试题（文科）填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：3i1i-+= （i 为虚数单位）． 【测量目标】复数的运算．【考查方式】给出算式，直接求出结果．【参考答案】12i - 【试题解析】3i (3i)(1i)1i (1i)(1i)---=++-=12i -． 2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则A B = ．【测量目标】集合的含义与基本运算．【考查方式】已知两个集合，根据集合的交集运算求出结果． 【参考答案】 1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【试题解析】由集合A 可得：12x >，（步骤1） 由集合B 可得：11x -<<，（步骤2） 所以，AB =1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．（步骤3） 3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 ．【测量目标】行列式的基本运算、三角函数的性质．【考查方式】根据行列式的运算，求函数的最小正周期． 【参考答案】π【试题解析】依题意得：1()sin cos 2sin 222f x x x x =+=+，2ππ2T ==． 4．若()2,1d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．【测量目标】平面向量的夹角问题．【考查方式】给出直线的方向向量根据直线的倾斜角与斜率的关系，求出倾斜角． 【参考答案】1arctan2【试题解析】设直线的倾斜角为α，则21arctan ,21tan ==αα． 5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 ． 【测量目标】圆柱的表面积公式．【考查方式】给出圆柱的高和底面周长，根据圆柱的表面积公式求出表面积． 【参考答案】6π【试题解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的表面积为：22π2π4π2π6πS rl r =+=+=圆柱表．6．方程14230xx +--=的解是 ．【测量目标】指数方程的求解．【考查方式】给出指数方程，利用换元法，求出方程的解． 【参考答案】3log 2 【试题解析】根据方程03241=--+x x，化简得2(2)2230x x --=，令()20xt t =>，则原方程可化为0322=--t t ，解得 3=t 或1t =-（舍去），即3log ,322==x x ．（步骤2）所以原方程的解为3log 2．（步骤3）7．有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++= ．【测量目标】等比数列的通项公式和前n 项的和、函数的极限．【考查方式】给出棱长为等比数列的正方体，根据等比数列通项公式求解无穷递缩等比数列的极限． 【参考答案】78【试题解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V ．8．在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 ．【测量目标】二项式定理．【考查方式】根据二项式定理，求其常数项． 【参考答案】20-【试题解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C 20T x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． 9．已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= ． 【测量目标】奇函数的性质．【考查方式】结合奇函数的特点，求出复数函数在某点的值． 【参考答案】3【试题解析】因为函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-，即(1)(1)2g f =+，（步骤1）(1)1,(1)1g f ==-又所以，，（步骤2）3212)1()1(,1)1()1(=+=+-=-=-=-f g f f ．（步骤3）10．满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 ． 【测量目标】二元线性规划求最值．【考查方式】考查了线性规划问题，根据约束条件和函数得到不等式组表示画出可行域并探求最优解． 【参考答案】2-【试题解析】根据题意得到0022x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤或0022x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤或0022x y x y ⎧⎪⎨⎪-+⎩≤≥≤或0022x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥，（步骤1）其可行域为平行四边形ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成z x y +=，（步骤2）z 的最小值就是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z ．（步骤3）11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）． 【测量目标】排列组合及其应用．【考查方式】考查了排列组合概率问题，根据古典概型求解． 【参考答案】32【试题解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32． 12．在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN 的取值范围是 ．【测量目标】平面向量的概念、向量的运算．【考查方式】根据题目所给条件建立平面直角坐标系，再运用平面向量的数量积运算求取值范围．【参考答案】[]4,1【试题解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==AD AB ，所以(0,0),(2,0),(2,1)(0,1)A B C D ．（步骤1）设(2,),(,1),(02)M b N x x ≤≤，根据题意，22xb -=， 所以2(,1),2,2x AN x AM -⎛⎫== ⎪⎝⎭．（步骤2）所以312AM AN x=+()02x≤≤，（步骤3）所以31142x +≤≤，即14AMAN≤≤．（步骤4）13．已知函数()y f x=的图像是折线段ABC，其中(0,0)A、1,12B⎛⎫⎪⎝⎭、(1,0)C，函数()y xf x=（01x≤≤）的图像与x轴围成的图形的面积为．【测量目标】函数的图象与性质、函数的解析式求解方法、定积分求解．【考查方式】根据所给函数的点和图象得到分段函数进而运用定积分求解图形面积．【参考答案】41【试题解析】根据题意，得到12,02()122,12x xf xx x⎧⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩≤≤≤，（步骤1）从而得到2212,02()122,12x xy xf xx x x⎧⎪⎪==⎨⎪-+<⎪⎩≤≤≤（步骤2）所以围成的面积为41)22(2121221=+-+=⎰⎰dxxxxdxS，所以围成的图形的面积为41．（步骤3）14．已知1()1f xx=+，各项均为正数的数列{}n a满足11a=，2()n na f a+=，若20102012a a=，则2011a a+的值是．【测量目标】数列的概念及其推导．【考查方式】给出函数、数列以及两者间的关系条件，根据条件及数列的性质求解． 【参考答案】265133+ 【试题解析】据题xx f +=11)(，并且)(2n n a f a =+，得到n n a a +=+112， （步骤1）11=a ，213=a ，20122010a a =，得到2010201011a a =+，解得2152010-=a （负值舍去）．依次往前推得到2651331120+=+a a ．（步骤2） 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-= 【测量目标】实系数方程的性质，复数的代数形式的四则运算．【考查方式】给出实系数方程及一个复数根，根据实系数方程根的特点得出另一个根，再利用复数代数形式的四则运算求解． 【参考答案】D【试题解析】根据实系数方程的根的特点知1也是该方程的另一个根，所以112b +==-，即2-=b ，（步骤1）(13c -+==，故答案选择D ．（步骤2）16．对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】椭圆的标准方程以及简单的逻辑关系．【考查方式】根据椭圆方程的组成特征和题目所给条件，再判断两者间充分条件、必要条件和充要条件的关系． 【参考答案】B【试题解析】方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，常数n m ,的取值为00m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩，所以，由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn >，因而必要．所以答案选择B ． 17．在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC △的形状是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 【测量目标】正余弦定理的应用．【考查方式】给出三角形角之间的条件关系，运用正弦定理及其推理、余弦定理推算出三角形的形状． 【参考答案】A【试题解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C RcB R b A R a ===代入得到222a b c +<，（步骤1）由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形．故选择A ．（步骤2） 18．若π2ππsin sin (i)777n n S =+++（*n ∈N ），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．16B ．72C ．86D ．100 【测量目标】正弦函数的图象和性质，综合分析问题和解决问题能力． 【考查方式】利用正弦函数的周期性找出其中等于零或小于零的项． 【参考答案】C【试题解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律． 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知π2BAC ∠=，2AB =，AC = 2PA =．求：（1）三棱锥P ABC -的体积；（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．【测量目标】直线与直线、直线与平面的位置关系，空间想象能力和推理论证能力．【考查方式】根据所给条件利用三棱锥体积公式、直线与直线、直线与平面的位置关系和余弦定理求解．【试题解析】解：（1）122ABCS=⨯⨯=△（步骤1）三棱锥P ABC-的体积为11233ABCV S PA=⨯=⨯=△（步骤2）（2）取PB的中点E，连接DE AE、，则ED BC，所以ADE∠（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角．（步骤3）在三角形ADE中，2DE=，AE=2AD=，222223cos2224ADE+-∠==⨯⨯，所以3arccos4ADE∠=．因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是3arccos4．（步骤4）20．已知函数)1lg()(+=xxf．（1）若0(22)()1f x f x<--<，求x的取值范围；（2）若)(xg是以2为周期的偶函数，且当01x≤≤时，有)()(xfxg=，求函数)(xgy=])2,1[(∈x的反函数．【测量目标】函数的概念、性质，及数形结合思想．【考查方式】考查了指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质．【试题解析】解：（1）由⎩⎨⎧>+>-122xx，得11<<-x．（步骤1）由220lg(22)lg(1)lg11xx xx-<--+=<+得221101xx-<<+．因为01>+x，所以1010221+<-<+xxx，2133x-<<．（步骤2）由112133xx-<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩得2133x-<<．（步骤3）（2）当[]1,2x∈时，[]20,1x-∈，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==． 由单调性可得]2lg ,0[∈y ．（步骤4）因为yx 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x ．（步骤5）21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图． 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7．（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标． 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【测量目标】函数的概念、性质，数形结合、分类讨论的思想方法． 【考查方式】根据所给条件选择恰当的函数模型进行求解． 【试题解析】解：（1）5.0=t 时，P 的横坐标772P x t ==，代入抛物线方程21249y x = 得P 的纵坐标3P y =．（步骤1）由2AP =，得救援船速度的大小为949海里/时．（步骤2） 由772tan 31230OAP ∠==+，得7arctan 30OAP ∠=，故救援船速度的方向为北偏东7arctan 30弧度．（步骤3）（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为()27,12t t ．（步骤4）由222)1212()7(++=t t vt ，整理得2221144()337v t t =++．（步骤5） 因为2212t t +≥，当且仅当t =1时等号成立， 所以22144233725v ⨯+=≥，即25v ≥． 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．（步骤6）22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y x C ．（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点．若MF =M 点的坐标；（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为)2|(|<k k 的直线2l 交C 于P Q 、两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP OQ ⊥；【测量目标】双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．【考查方式】给出双曲线的标准方程，可知其焦点和顶点坐标、渐近线方程再根据直线与双曲线的关系求解．【试题解析】解：（1）双曲线22:112x C y -=，左焦点(0)2F -． 设),(y x M，则2222||(22MF x y =++=+，（步骤1） 由M是右支上一点，知2x，所以||2MF =+=2x =．所以M ±．（步骤2） （2）左顶点(0)A ，渐近线方程：x y 2±=．（步骤3） 过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：y x =，即12+=x y ． 解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y，得412x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．（步骤4）所求平行四边形的面积为||||4S OA y ==．（步骤5） （3）设直线PQ 的方程是b kx y +=1=，即221()b k =+*．（步骤6）由⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k ．（步骤7） 设()()1122,,P x y Q x y 、，则12221222212kb x x k b x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩，))((2121b kx b kx y y ++=，所以2212121212(1)()OP OQ x x y y k x x kb x x b =+=++++()()2222222221121222k b k b b k k k k+---+-+=---．（步骤8） 由()*知0OP OQ =，所以OP OQ ⊥．（步骤9）23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m ax {21k k a a a b =1,2,,k m =⋯（），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5．（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，1,2,,k m =⋯）． 求证：k k a b =（1,2,,k m =⋯）；（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．若n an a n n n 2)1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- ．【测量目标】数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质，分析探究、推理论证能力．【考查方式】通过定义控制数列，考查了数列的基本性质和通项公式．【试题解析】解：（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5． （步骤1）（2）因为},,,m ax {21k k a a a b =，},,,,m ax {1211++=k k k a a a a b ，所以1k k b b +≥．（步骤2）因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，所以110k k m k m k a a b b +-+--=-≥，即1k k a a +≥．因此，k k a b =．（步骤3）（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ；)14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=．（步骤4）比较大小，可得3424-->k k a a ．（步骤5） 因为112a <<，所以0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ； 0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a ． 又k k a a 414>+，从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，4141k k b a --=，k k a b 44=．（步骤6） 因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+- 3377101041419999()()()()()k k b a b a b a b a b a --=-+-+-++-++- 236791042419899()()()()()k k a a a a a a a a a a --=-+-+-++-++- 2542411()k k k aa --==-∑251(1)(83)k a k ==--∑2525(1)a =-．（步骤7）。

2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(文史类)一、填空题：(本大题共有14题，满分56分)1.计算：工= _____________ .仃为虚数单位)1 + Z2.若集合A = {x|2x-1 >0}, B = {x制vl},贝lj AC\B= ____________ .3.函数/(A)=S IN X2的最小正周期是 ____________________ .-1 COSX4 .若7 = (2,1)是直线/的一个方向向量,则/的倾斜角的大小为____________ ・(结果用反三角函数值表示)5.一个高为2的圆柱，底面周长为2兀，该圆柱的表面积为__________ .6.方程4r-2A+,-3 = 0的解是_____________ .7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、丄为公比的等比数列，体积分别2记为X，X, •…，匕，•…，则lim(M+X+…+匕,)=8.在丄丫的二项式展开式中，常数项等于________________ ・\ X)9・己知y = f(x)是奇函数，若g(x) = /(x) + 2且g(l) = l ,则g(T)= ____________ •10・满足约束条件|x| + 2|y|<2的目标函数z = 的最小值是____________ •11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是_____________ .(结果用最简分数表示)12.在矩形A3CD中，边A3、AD的长分别为2、1,若M、N分别是边BC、\BM\丽| _________________CD上的点，且满足7 = #』，则AM - AN的取值范围是_____________ •13.己知函数y = /（x）的图像是折线段A3C,其中A（0,0）、3（丄,1）、C（1,O）,2函数y = xf M（0<x<l）的图像与x轴围成的图形的面积为___________ ・14.己知/« = —,各项均为正数的数列匕｝满足仏2=/（冷），1 I X右^2010 = ^2012 '则“20 +白'J fl L 心____ •二、选择题：（本大题共有4题，满分20分）15.若1 + 72/是关于x的实系数方程疋+加+c = 0的一个复数根，则（）A . b = 2、c = 3 ；B . b = 2,c = —1；C . Z? = —2,c = —l；D . b = —2, c = 3 .16.对于常数加、”，“ 〃加>0”是“方程mx2+ny2=\的曲线是椭圆”的（）A .充分不必要条件；3・必要不充分条件；C .充分必要条件；D .既不充分也不必要条件.17.在△A3C中，若sin2A + sin2B<sin2C,则△A3C的形状是（）A.钝角三角形；B.直角三角形；C・锐角三角形；D.不能确定.18.若S” =sin 彳+ sin 扌+ ...+sin 罕（mN*）,则在S「S、，…中，正数的个数是（D. 100.三、解答题：(本大题共有5题，满分74分)19.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知/(x) = lg(x + l).(1)若O</(l-2x)-/(x)<l,求x 的取值范围；(2)若g(Q是以2为周期的偶函数，且当0<x<l时，g(x) = /(x),求函数y = g(x) (xe[l,2])的反函数.21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题A • 16；B • 12；满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里4处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线= ②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；49③救援船出发/小时后，失事船所在位置的横坐标为7/.（1）当）=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合, 求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分在平面直角坐标系，中，己知双曲线C:2x2= 1.（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若鬥=2血，求点M的坐标；（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积;（3）设斜率为& （网＜血）的直线/交C于八Q两点，若/与圆x2 + / = l相切，求证：OP丄OQ・23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于项数为加的有穷数列｛%｝,记以=max｛di，a2，...,（s｝（ « =1,2,...,加）, 即仿为⑷心,...,代中的最大值，并称数列他｝是&｝的控制数列，如1, 3, 2, 5, 5的控制数列是1, 3, 3, 5, 5.（1）若各项均为正整数的数列｛①｝的控制数列为2, 3, 4, 5, 5,写出所有的⑷；（2 ）设｛/?,｝是［a n｝的控制数歹lj,满足冬+仇一*+1 = C（C为常数，k = l, 2,..., m）, 求证:b k = a k（ R = 1,2,…,）；（1 、n（；r+l）-,1，若5=肿-（-1尸_〃，｛化｝是｛©｝的控制2 ）数列，求（勺一勺）+ @2 -“2）+ •・•+（勺00 - "】00）•上海市教育考试院保留版权 岛考（20⑵数学（文）答案第顷（共4页》2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）答案要点及评分标准说明1. 本解答列出试题的解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标 准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持毎题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题 的评阅.当考生的解答在某一步出现错误，影响了后地部分，但该步以后的解答未改变这 一題的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分 应给分数之半.如果有较严垂的慨念性错误，就不给分. 解答一、（第I 题至第Z 题）题号 15 16 1718 代号DBAC三、（第19题至第23题） 19.[解]⑴ S M[)C = -^ x 2 x 2x ;3 = 2\,z 3 ....... 2分三棱锥P-ABC 的体积为V - \ x = - x 2x5 x 2 =・ 6分333(2)取的中点E,连接DE 、AE,则1. l-2i6. log, 3宀312. [1,4] 3. 7C& —2013.-414. arctan -9. 3 「13內 + 314. -----------------2610. 一2pEDH BC ,所以ZADE (或其补角)畑异面直线在WDE 中.DE = 2, AE = >/2 . =22 + 22 -2 3 3cos "DE =-—=——-=—.所以/A DE = arccos —・2x2x2 4 4因此，异面直线BC与所成的角的大小是arccos-・……12分4f2-2x>0,,20. [解]⑴由< 得-lvxv 1.x + l>02-?x 2—2丫由0vlg(2-2x) — lg(x + l) = lg―<1 得1<—— <10. ……3分X+l X+12 1因为x + 1 >0 »所以x + 1 <2 — 2x vl0x + 10, <x <一・I白 2 1得一-<x<7. ……6分——< x < - 3 3I 3 3(2) 6(1,2]时，2-xe[0,l],因此P = g(x) = g(x-2) = g(2-x) = /(2-x) =lg(3-x). ……10 分由单调性可得y“0,lg2]・因为x = 3-2,所以所求反函数^^ = 3-10\ xe[0Jg2]・ (4)7 10【解](1)r = 0.5时，P的横坐标Xf,=7t = -.代入抛物线方科丿= 得p的钮坐标〃=3. ...... 2分得救援船速厦的大小为<949海里/时.7 7由论皿拄，得沖臥故救援船速度的方向为北偏东arctan 辭度.⑵ 设救援船的时速为v海里，经过/小时追上矢弔船，此时位置为(7/J2P). 由吩J(7r)2+(12/2 十12)2 .高考(2012)数学(文)答宝第2贞(共4页)整理得V? =144(/2+*) + 337.10分因为/2+p->2.当且仅当了= 1时等号成'L高考(2012)数学(文)答宝第2贞(共4页)髙考（2012）数学（文）答突第3页（芫3所以 V 2>144X 2 + 337 = 25\ 即 v>25 ・因此，救援船的时速至少绘25海里才能追上次引船.2( J6 }22.(解］(1)双曲线C : — >•' = 1 •左焦点F - ~~,0・ 丄 〔2 丿2f /7\2 <6 j X + ----- I2由M 点是右支上一点，知x >.所以| MF |= VJx +得x 仝.（2）左顶点S,渐近线方稈：y 二士、行x ・过点“4与渐近^y = <2x 平行•的自线方程为：y = <272 x + —2丿即 y = \l2x +1• 一厲x~~~" 1 V 二一. • 2所求平行四边形的面积为s =: OA \ y 产¥解方程组'得 y=、'2x + l（3）设直线P0的方程是丁 =后+ 6・肉頁线PQb 己知圆相切, 即/二F+］（車）・设P （环必）、则丿2kbx } +x. = -一r• 2_k-l-於x.x,二 ----- -又”力二（匕+b ）（也+6）,所以高考（2012）数学（文〉答冬 第4贞（共4页）OP ・OQ = XR +y =(1 + /)衲2 + 肋(X| +兀2)+6‘ (1 + &：)(-1-戸)| 2M +护二一1 +於-疋2-Q J-Q + = ~2-，23. ［解］⑴数列{a n }为:2,3,4,5,1； 2,345,2； 2,3,4,5,3；2,3,4,5,4； 2,3,4,5,5.(2)因为b k =max{a p a 2,•••,«*} . 6如 二max{q 卫勺卫八|} • 所以2®....... 6分 因为畋+也.严C,如+也=C,所以-碍=侏.2_4*»0,即> a k .……8分 因此，b k -a k .... 10分 (3)对^ = 1,2,•••,25,%_3 = d(% - 3)J + (4* - 3)；a tk-i - - 2)* + (4^ - 2)；。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海文)数 学一、填空题1．计算：3－i1＋i ＝________(i 为虚数单位)．2．若集合A ＝{x ||2x －1>0}，B ＝{x |x |<1}，则A ∩B ＝________.3．函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2－1 cos x 的最小正周期是________．4．若d ＝(2,1)是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为________．6．方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．7．有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则lim n →∞(V 1＋V 2＋…＋V n )＝________.8．在(x －1x )6的二项展开式中，常数项等于________．9．已知y ＝f (x )是奇函数．若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________.10．满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是________．11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．12．在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足的取值范围是________．13．已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)、B (12，1)、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．14．已知f (x )＝11＋x .各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f (a n )．若a 2 010＝a 2 012，则a 20＋a 11的值是________．二、选择题15．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1 D ．b ＝2，c ＝－116．对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件17．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定18．若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．16B ．72C ．86D ．100三、解答题 19.如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)．20．已知f (x )＝lg(x ＋1)．(1)若0<f (1－2x )－f (x )<1，求x 的取值范围；(2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的反函数．21.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y ＝1249x 2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2－y 2＝1.(1)设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点．若|MF |＝22，求点M 的坐标；(2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； (3)设斜率为k (|k |<2)的直线l 交C 于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .23．对于项数为m 的有穷数列{a n }，记b k ＝max{a 1，a 2，…，a k }(k ＝1,2，…，m )，即b k 为a 1，a 2，…，a k 中的最大值，并称数列{b n }是{a n }的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{a n }的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a n }；(2)设{b n }是{a n }的控制数列，满足a k ＋b m －k ＋1＝C (C 为常数，k ＝1,2，…，m )．求证：b k＝a k (k ＝1,2，…，m )；(3)设m ＝100，常数a ∈(12，1)．若a n ＝an 2－(－1)n (n ＋1)2n ，{b n }是{a n }的控制数列，求(b 1－a 1)＋(b 2－a 2)＋…＋(b 100－a 100)．答案一、填空题1．解析：3－i 1＋i ＝(3－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－4i2＝1－2i.答案：1－2i2．解析：∵A ＝{x |x >12}，B ＝{x |－1<x <1}，∴A ∩B ＝{x |12<x <1}＝(12，1)，故答案为(12，1)．答案：(12，1)3．解析：∵f (x )＝sin x cos x ＋2＝12sin 2x ＋2，∴T ＝π，故答案为π.答案：π4．解析：因为直线l 的斜率k ＝12，所以直线l 的倾斜角为arctan 12.答案：arctan 125．解析：由题可知该圆柱是底面半径为1，高为2的圆柱，所以该圆柱的表面积S ＝2π＋4π＝6π.答案：6π6．解析：原方程可化为(2x )2－2(2x )－3＝0，解得2x ＝3或2x ＝－1， ∵2x >0，∴2x ＝3，∴x ＝log 23.故答案为log 23. 答案：log 237．解析：由条件可得正方体的体积组成以1为首项、18为公比的等比数列，所以原式＝11－18＝87. 答案：878．解析：T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1)r (1x )r ＝C r 6(－1)r x 6－2r，令6－2r ＝0，得r ＝3，得所求常数项等于C 36(－1)3＝－20.答案：－209．解析：由题可知f (x )＝g (x )－2是奇函数，故f (－1)＝g (－1)－2＝－f (1)＝－(g (1)－2)，∴g (－1)＝4－g (1)＝3.答案：3 10．解析：由题意知约束条件表示的可行域为如图所示的菱形区域，所以当x ＝2，y ＝0时，目标函数z ＝y －x 取得最小值－2.答案：－211．解析：因为每人都从三个项目中选择两个，有(C 23)3种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有C 23C 13C 12个，故所求概率为C 23C 13C 12(C 23)3＝23.答案：2312．答案：[1,4]13．解析：由题知y ＝f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x <12，2－2x ，12≤x ≤1，∴y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧2x 2，0≤x <12，2x －2x 2，12≤x ≤1，∴函数y ＝xf (x )的图像与x 轴围成的图形的面积＝答案：1414．解析：由题知a n ＋2＝11＋a n ，又a 2 010＝a 2 012＝11＋a 2 010，∴a 22 010＋a 2 010＝1，又a n >0，∴a 2 010＝5－12，又a 2 010＝11＋a 2 008＝5－12，∴a 2 008＝5－12，同理可得 a 2 006＝…＝a 20＝5－12， 又a 1＝1，∴a 3＝12，a 5＝11＋a 3＝23，a 7＝11＋a 5＝35，a 9＝11＋a 7＝58，a 11＝11＋a 9＝813，∴a 20＋a 11＝5－12＋813＝135＋326. 答案：135＋326二、选择题15．解析：由题意可得(1＋2i)2＋b (1＋2i)＋c ＝0⇒－1＋b ＋c ＋(22＋2b )i ＝0，所以⎩⎨⎧－1＋b ＋c ＝022＋2b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝3. 答案：B16．解析：因为当m <0，n <0时，方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线不是椭圆，但当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时，m >0，n >0，mn >0.答案：B17．解析：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状．由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，所以∠C 是钝角，故△ABC 是钝角三角形．答案：C18．解析：因为f (x )＝sin πx7的最小正周期T ＝14，又sin π7>0，sin 2π7>0，…，sin 6π7>0，sin 7π7＝0，所以在S 1，S 2，…，S 14中有12个是正数，故在S 1，S 2，…，S 100中有7×12＋2＝86个是正数．答案：C 三、解答题 19.解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ×P A ＝13×23×2＝433.(2)取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2， cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34，所以∠ADE ＝arccos 34.因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是arccos 34.20．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－2x >0，x ＋1>0，得－1<x <1.由0<lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2xx ＋1<1得 1<2－2xx ＋1<10. 因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10， －23<x <13. 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－23<x <13，得－23<x <13.(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg (3－x )． 由单调性可得y ∈[0，lg 2]．因为x ＝3－10y ，所以所求反函数是y ＝3－10x ， x ∈[0，lg 2]．21.解：(1)t ＝0.5时，P 的横坐标x P ＝7t ＝72，代入抛物线方程y ＝1249x 2，得P 的纵坐标y P＝3.由|AP |＝9492，得救援船速度的大小为949海里/时． 由tan ∠OAP ＝730，得∠OAP ＝arctan 730，故救援船速度的方向为北偏东arctan 730弧度．(2)设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t,12t 2)． 由v t ＝(7t )2＋(12t 2＋12)2， 整理得v 2＝144(t 2＋1t2)＋337.因为t 2＋1t 2≥2，当且仅当t ＝1时等号成立，所以v 2≥144×2＋337＝252，即v ≥25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船． 22．解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F (－62，0)．设M (x ，y )，则|MF |2＝(x ＋62)2＋y 2＝(3x ＋22)2， 由M 点是右支上一点，知x ≥22，所以|MF |＝3x ＋22＝22，得x ＝62.所以M (62，±2)． (2)左顶点A (－22，0)，渐近线方程：y ＝±2x . 过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2(x ＋22)， 即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所求平行四边形的面积为S ＝|OA |·|y |＝24. (3)设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b .因直线PQ 与已知圆相切，故|b |k 2＋1＝1，即b 2＝k 2＋1(*)．(12分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，2x 2－y 2＝1，得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2kb2－k 2，x 1x 2＝－1－b22－k2，又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝(1＋k 2)(－1－b 2)2－k 2＋2k 2b 22－k 2＋b 2＝－1＋b 2－k 22－k 2.由(*)知，＝0，所以OP ⊥OQ .23．解：(1)数列{a n }为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5. (2)因为b k ＝max{a 1，a 2，…，a k }，b k ＋1＝max{a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1}， 所以b k ＋1≥b k .因为a k ＋b m －k ＋1＝C ，a k ＋1＋b m －k ＝C ， 所以a k ＋1－a k ＝b m －k ＋1－b m －k ≥0，即a k ＋1≥a k . 因此，b k ＝a k .(3)对k ＝1,2，…，25， a 4k －3＝a (4k －3)2＋(4k －3)； a 4k －2＝a (4k －2)2＋(4k －2)； a 4k －1＝a (4k －1)2－(4k －1)； a 4k ＝a (4k )2－(4k )． 比较大小，可得a 4k －2>a 4k －3.因为12<a <1，所以a 4k －1－a 4k －2＝(a －1)(8k －3)<0，即a 4k －2>a 4k －1；a 4k －a 4k －2＝2(2a －1)(4k －1)>0，即a 4k >a 4k －2. 又a 4k ＋1>a 4k ，从而b 4k －3＝a 4k －3，b 4k －2＝a 4k －2，b 4k －1＝a 4k －2，b 4k ＝a 4k . 因此(b 1－a 1)＋(b 2－a 2)＋…＋(b 100－a 100) ＝(a 2－a 3)＋(a 6－a 7)＋…＋(a 98－a 99)。

2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）3、函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -=二、选择题（本大题共有4题，满分20分）17、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定 18、若2sin sin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A 、16B 、72C 、86D 、100 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知()lg(1)f x x =+（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）【试卷总评】本试卷遵循考纲的要求，保持了近几年的命题风格，注重基础检测，深化能力立意，突出思维考查。

试卷覆盖了高中数学的主干内容，在题型、题量、难度等方面保持了相对稳定，重视对数学思想方法的考查，着重考查了思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新意识，体现了“多考点想，少考点算”的命题理念。

试题能较好地检测考生的数学素养和进入高等学校继续学习的潜能，有利于高校选拔新生，有利于中学实施素质教育，有利于向新课程高考过渡。

2012年上海高考数学（文科）试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii +-13= （i 为虚数单位）.2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A = .3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 .4．若)1,2(=n 是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该诉表面积为 . 6．方程03241=--+x x 的解是 .7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .8．在6)1(xx -的二项展开式中，常数项等于 .9．已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .，则=-)1(g . 10．满足约束条件2||2||≤+y x 的目标函数x y z -=的最小值是 . 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 12．在知形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上=，则AN AM ⋅的取值范围是 .13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,1)，C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 . 14．已知xx f +=11)(.各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ，)(2n n a f a =+.若20122010a a =，则1120a a +的值是 . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）（A ）3,2==c b . （B ）1,2-==c b . （C ）1,2-=-=c b .（D ）3,2=-=c b .16．对于常数m 、n ，“0>mn ”是“方程122=+ny mx 的曲线是椭圆”的 （ ）（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件.（D ）既不充分也不必要条件.17．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是 （ ）（A ）钝角三角形. （B ）直角三角形. （C ）锐角三角形. （D ）不能确定.18．若)(sinsinsin 7727*∈+++=N n S n n πππ ，则在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ）（A ）16.（B ）72. （C ）86. （D ）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =2π，AB=2，AC=23，PA=2.求：（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三 角函数值表示）.（6分）20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（822．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y x C .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF |=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的 面积；（5分）PA CD（3）设斜率为)2|(|<k k 的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分）23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,max{21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分） （2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）. 求证：k k a b =（k =1,2,…,m ）；（6分）（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若n an a n n n 2)1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .2012年上海高考数学（文科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii +-13= 1-2i （i 为虚数单位）.2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A =)1,(21. 3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 π .4．若)1,2(=n 是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为21arctan （结果用反三角函数值表示）.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该诉表面积为 6π . 6．方程03241=--+x x的解是3log 2.7．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 78 .8．在6)1(xx -的二项展开式中，常数项等于 -20 .9．已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .，则=-)1(g 3 . 10．满足约束条件2||2||≤+y x 的目标函数x y z -=的最小值是 -2 .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是32（结果用最简分数表示）. 12．在知形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上=，则AN AM ⋅的取值范围是 [1, 4] .13．已知函数)(x f y =的图像是折5线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,1)，C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为41 . 14．已知xx f +=11)(.各项均为正数的数列}{n a 满足11=a ，)(2n n a f a =+.若20122010a a =，则1120a a +的值是263513+.二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ D ）（A ）3,2==c b . （B ）1,2-==c b . （C ）1,2-=-=c b .（D ）3,2=-=c b . 16．对于常数m 、n ，“0>mn ”是“方程122=+ny mx 的曲线是椭圆”的 （ B ）（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件.（D ）既不充分也不必要条件.17．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是 （ A ） （A ）钝角三角形. （B ）直角三角形. （C ）锐角三角形. （D ）不能确定.18．若)(sinsinsin7727*∈+++=N n S n n πππ ，则在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ C ）（A ）16. （B ）72. （C ）86. （D ）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =2π，AB=2，AC=23，PA=2.求：（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三 角函数值表示）.（6分） [解]（1）3232221=⨯⨯=∆ABC S ， 2分三棱锥P -ABC 的体积为3343131232=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC . 6分PA CDPADE（2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与AD 所成的角. 8分在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2， 4322222222cos ==∠⨯⨯-+ADE ，所以∠ADE =43arccos.因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos. 12分20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x xx x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分 （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为y x 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程4912y =中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=tt v .……10分因为2212≥+tt ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y x C .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF |=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的 面积；（5分） （3）设斜率为)2|(|<k k 的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分） [解]（1）双曲线1:2212=-y C x，左焦点)0,(26-F .设),(y x M ，则22222262)3()(||+=++=x y x MF ， ……2分由M 是右支上一点，知22≥x ，所以223||22=+=x MF ，得26=x .所以)2,(26±M . ……5分 （2）左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……8分所求平行四边形的面积为42||||==y OA S . ……10分（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故11||2=+k b ，即122+=k b (*). 由⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k .设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==+----22221212221k bk kbx x x x . ))((2121b kx b kx y y ++=，所以2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x OQ OP ++++=+=⋅22222222221222)1)(1(kk b kb k kb k --+-----+=+.由(*)知0=⋅OQ OP ，所以OP ⊥OQ . ……16分23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,max{21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分） （2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）. 求证：k k a b =（k =1,2,…,m ）；（6分）（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若n an a n n n 2)1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .[解]（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分 （2）因为},,,max{21k k a a a b =，},,,,max{1211++=k k k a a a a b ， 所以k k b b ≥+1. ……6分 因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1. ……8分 因此，k k a b =. ……10分（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ；)14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=.比较大小，可得3424-->k k a a . ……12分因为121<<a ，所以0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ； 0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a . 又k k a a 414>+，从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=. ……15分因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+--- =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+---=∑=---2511424)(k k k a a =∑=--251)38()1(k k a =)1(2525a -. ……18分。

2012上海高考数学试题（文科）答案与解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】设直线的倾斜角为α，则21arctan ,21tan ==αα. 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 . 【答案】π6【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的表面积为：πππππ624222=+=+=r rl S 圆柱表.【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题. 6.方程14230xx +--=的解是 .【答案】3log 2 【解析】根据方程03241=--+x x，化简得0322)2(2=-⋅-x x ，令()20x t t =>，则原方程可化为0322=--t t ，解得 3=t 或()舍1-=t ，即3log ,322==x x.所以原方程的解为3log 2 .【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++= .【答案】78 【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V Λ . 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.8.在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 .【答案】20-【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C ()20T x x=-=- . 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.9.已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= . 【答案】3【解析】因为函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-，即,1)1(,1)1(,2)1()1(-==+=f g f g 所以，又3212)1()1(,1)1()1(=+=+-=-=-=-f g f f .【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 . 【答案】2-【解析】根据题意得到0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩或0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩或0,0,22;x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≤⎩或0,0,2 2.x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥-⎩其可行域为平行四边形ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成z x y +=，z 的最小值就是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z .【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中. 11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 【答案】32 【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32 . 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BC CD=u u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AM AN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是【答案】[]4,1【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==AD AB ，所以 (0,0),(2,0),(2,1)(0,1).A B C D 设)20(),1,(),,2(≤≤x x N b M ，根据题意，22x b -=，所以2(,1),(2,).2xAN x AM →→-== 所以123+=•→→x AN AM ()20≤≤x ，所以41231≤+≤x ， 即→→≤•≤41AN AM .【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13.已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为 . 【答案】41 【解析】根据题意，得到12,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩p ，从而得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤≤==121,22210,2)(22x x x x x x xf y π所以围成的面积为41)22(2121221=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为41 .【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14.已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 . 【答案】265133+ 【解析】据题x x f +=11)(，并且)(2n n a f a =+，得到n n a a +=+112，11=a ，213=a ，20122010a a =，得到2010201011a a =+，解得2152010-=a （负值舍去）.依次往前推得到 2651331120+=+a a . 【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件)(2n n a f a =+是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.若1i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c == B.2,1b c ==- C.2,1b c =-=- D.2,3b c =-= 【答案】 D【解析】根据实系数方程的根的特点知1-也是该方程的另一个根，所以b i i -==-++22121，即2-=b ，c i i ==+-3)21)(21(，故答案选择D.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩所以，由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn >，因而必要.所以答案选择B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数n m ,的取值情况.属于中档题.17.在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A ．钝角三角形 B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】 A【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A R a ===代入得到222a b c +<， 由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 18.若2sinsin...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．16 B.72 C.86 D.100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2π，2AB =，23AC =，2PA =，求： （1）三棱锥P ABC -的体积；（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）. 【答案与解析】【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知()lg(1)f x x =+.（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数. 【答案与解析】【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？ 【答案与解析】【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y -=.（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若22MF =M 的坐标； （2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为k （2k ）的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP ⊥OQ .【答案与解析】【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5.（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a ；（2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =）；（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-.【答案与解析】【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。

1.计算：设i 为虚数单位，则31ii-=+ . 2. （文）若集合{}|210A x x =->，{}||1B x x =<，则A B = .3. （文）函数2()1sinx f x cosx=-的最小正周期是 .4. （文）若(2d =，1)是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 .5. （文）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，则该圆柱的表面积为 .6.（文）方程14230xx +--=的解是 .7.（文）有一列正方体，其棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为1V ，2V ，⋅⋅⋅，n V ，⋅⋅⋅，则12()n n lim V V V →∞++⋅⋅⋅+= .8.（文）在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 .9.（文）已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= ..10. （文）满足约束条件||2||2x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 .11. 三位同学参加跳远、跳高、铅球项目的比赛. 若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是.12. （文）在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是 . 13. （文）已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0A ，0)、1(2B ，1)、(1C ，0)， 那么函数()(01)y xf x x =≤≤的图像与x 轴围成的图形的面积为 .14. （文）已知函数1()1f x x=+. 各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，且2()n n a f a +=. 如果 20102012a a =，那么2011a a +的值是 .15.若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2b =，3c =B ．2b =，1c =-C ．2b =-，1c =-D ．2b =-，3c=16. 对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mxny +=的曲线是椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17. （文）在ABC 中，若222sin A sin B sin C +<，则ABC 的形状是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定18. （文）若2()777nn S sinsinsin n N πππ*=++⋅⋅⋅+∈，则在1S ，2S ，3S ，⋅⋅⋅，100S 中， 正数的个数是 A ．16 B ．72C ．86D ．10019. （文）如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点. 已知2AB =，AC =，2BAC π∠=，2PA =.①求三棱锥P ABC -的体积；②求异面直线BC 与AD 所成的角的大小.20. 已知函数()(1)f x lg x =+.①若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；②如果()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =，求函数()y g x =(12)x ≤≤的反函数.21. 海事救援船对一艘失事船只进行定位：以失事船只的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，且以1海里为单位长度. 则救援船只恰好在失事船只正南方向12海里A 处，如图所示. 现假设：失事船只的移动路径可视为抛物线21249y x =，定位后救援船只立即沿直线匀速前往救援，且救援船只出发t 小时后，失事船只所在位置的横坐标为7t .①当0.5t=时，写出失事船只所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船只速度的大小和方向；②问救援船只的时速至少是多少海里才能追上失事船只？22. （文）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C xy -=.①设F 是C 的左焦点，M 是C右支上一点，若||MF=M 的坐标；②过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；③设斜率为(k k <<的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥.23. （文）对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{1k b max a =，2a ，⋅⋅⋅，}(1k a k =，2，⋅⋅⋅，)m ， 即k b 为1a ，2a ，⋅⋅⋅，k a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5.①若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a ；②设{}n b 是{}n a 的控制数列，且满足1k m k a b C -++=，其中C 为常数，1k =，2，⋅⋅⋅，m ，求证：(1k k b a k ==，2，⋅⋅⋅，)m ；③设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122100100()()()b a b a b a -+-+⋅⋅⋅+-.。