二次根式知识点总结复习整理

二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。

不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。

如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。

如25 可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。

其中a≥0是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。

要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。

二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。

（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。

二次根式知识点总结王亚平1.二次根式的概念二次根式的定义：形如"（a-0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，a才有意义.2. 二次根式的性质1. 非负性：心心-。

）是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2 （掐）2 =a（a H0）注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a乂a）2（a - 0）—:a(a^0)v a = a = *I—a(a<0)3.注意：（1）字母不一定是正数. （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式:(1)最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号.2、同类二次根式(可合并根式)：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算分母有理化1. 分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用y「a=a来确定，如：a与' a,a b与，a b, a-b与心-b 等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a.b 与 a - - b , a • b 与• a —, a x b.、y与a_x-b、y分别互为有理化因式。

3. 分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1. 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

、ab = . a .. b(a _0, b _ 0)2 .二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

二次根式知识点归纳二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在中学阶段学习的数学知识之一、学好二次根式的知识，不仅可以提高我们的数学实力，还能够帮助我们更好地理解和应用数学。

下面是对二次根式的知识点进行归纳总结。

一、二次根式的定义与性质1.二次根式的定义：如果一个数x的平方等于一个有理数a，那么称x是a的二次根，记作√a=x。

其中，a是被开方数，x是二次根。

2.二次根式的性质：二次根式具有以下基本性质：-非负性：对于所有的a≥0，√a≥0。

-唯一性：对于任意一个正数a，二次根√a是唯一确定的。

-传递性：对于任意的a≥0和b≥0，如果√a=√b，那么a=b。

-加减性：对于任意的a≥0和b≥0，有√a±√b=√(a±b)。

-乘除性：对于任意的a≥0和b≥0，有√(a×b)=√a×√b，√(a/b)=√a/√b（其中，b不为零）。

二、二次根式的化简1.因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用乘除性质化简。

2.合并同类项法：将二次根式中相同的根号项合并，然后根据加减性质化简。

三、二次根式的比较大小1.当被开方数相同时，二次根式相等，即√a=√b，当且仅当a=b。

2.当被开方数不同时，可以通过平方的方式来比较大小。

即对于a≥b≥0，有√a≥√b。

四、二次根式的运算1.加减运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的加减运算。

-加法：√a+√b=√(a+b)。

-减法：√a-√b=√(a-b)（需要满足a≥b）。

2.乘法运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的乘法运算。

-乘法：√a×√b=√(a×b)。

3.除法运算：对于任意的a≥0和b>0，可以进行二次根式的除法运算。

-除法：√a/√b=√(a/b)（需要满足b≠0）。

五、二次根式的应用二次根式在实际问题中的应用非常广泛1.几何问题：二次根式可以用来表示长度、面积、体积等物理量，例如计算一个正方形的对角线长度、一个圆的半径等等。

二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.假设，那么.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化简，再运算，3．二次根式的混杂运算(1) 明确运算的序次，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2) 整式、分式中的运算律、运算法那么及乘法公式在二次根式的混杂运算中也同样适用.一. 利用二次根式的双重非负性来解题〔a0 〔a≥0〕，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。

〕1.〕。

A、3；B、x ；C、x21；D、x1以下各式中必然是二次根式的是〔2．等式(x 1)2＝1－ x 成立的条件是 _____________ ．3．当 x____________ 时，二次根式2x 3 有意义．4.x 取何值时，以下各式在实数范围内有意义。

〔 1〕〔 2〕1〔3〕5x 2 x1x4〔 4〕假设x( x1)x x1，那么 x 的取值范围是〔 5〕假设x3x3，那么 x 的取值范围是。

x1x16.假设3m 1 有意义，那么m能取的最小整数值是；假设 20m 是一个正整数，那么正整数m的最小值是________．7.当 x 为何整数时，10x11有最小整数值，这个最小整数值为。

8. 假设2004 a a2005a ，那么a2004 2=_____________；假设y x33x 4 ，那么x y9．设 m、n 满足n m299m22mn =。

m 3，那么10. 假设三角形的三边a、 b、 c 满足a24a 4 b 3 =0，那么第三边c的取值范围是11. 假设|4x8 |x y m0 ，且 y 0 时，那么〔〕 A 、0m1 B 、m2C、m 2 D、 m 2利用二次根式的性质2a(a b)(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题二． a =|a|=0(a0)a(a0)1.x33x2＝－x x 3 ，那么〔〕 A.x≤0 B. x≤－ 3Ｃ. x≥－ 3 D.－ 3≤x≤ 02.． a<b，化简二次根式 a 3b 的正确结果是〔〕A．a ab B ．a ab C． a ab D ．a ab3.假设化简 | 1-x |-28x16 的结果为2x-5 那么〔〕 A 、 x 为任意实数B、1≤ x≤ 4C、 x≥1 D 、x≤ 4 x4. a， b， c 为三角形的三边，那么(a b c)2(b c a) 2(b c a) 2=5.当 -3<x<5 时，化简26921025 =。

二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。

其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。

性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a 3、4、 反过来:56、最简二次根式：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2，算术平方根为2；②4=2，二次根式即是算术平方根9、二次根式化运算及化简：①先化成最简 ②合并同类项二次根式中考试题精选一.选择题：1.【05宜昌】化简20的结果是 （ ）.A. 25B.52C. .D.54 2.【05南京】9的算术平方根是 （ ）.A.-3B.3C.± 3D.813.【05南通】已知2x <, ）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（ ）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x 6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（ ）.A.B. C. D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（ ）.A. 甲的解法正确，乙的解法不正确B. 甲的解法不正确，乙的解法正确C. 甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确8.【05杭州】设22a b c ===,则,,a b c 的大小关系是: （ ）. (A)a b c >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >> 9.【05丰台】4的平方根是（ ）. A. 8B. 2C. ±2D. ±210.【05北京】下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）. A.24B.12C.32D.1811.【05南平】下列各组数中，相等的是（ ）.A.(-1)3和1B.(-1)2和-1C.|-1|和-1 和112.【05宁德】下列计算正确的是（ ）.A 、x 2·x 3＝x 6B 、(2a 3)2＝4a 6C 、(a －1)2＝a 2－1D 、 4 ＝±213.【05毕节―a 的正整数a 的值有( ).A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14.【05黄岗】已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）.A ．3B ．– 3C ．1D ．– 115.【05湘潭】下列算式中，你认为错误的是 ( ). A ．aa b ++b a b+=1 B ．1÷b a×a b=1 C +1 D ．21()a b +·22a b a b--=1a b+二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+= ．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b, 那么a , b 的值分别是 。

二次根式总结归纳一、二次根式的定义及性质1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的根式，其中a为一个非负实数。

2. 二次根式的化简二次根式可以进行化简，满足以下规则： - √a⋅√b=√ab，其中a≥0，b≥0。

- √a√b =√ab，其中a≥0，b>0。

3. 二次根式的运算二次根式可以进行加、减、乘、除等基本运算。

- 加法：√a+√b无法化简，保留原样。

- 减法：√a−√b无法化简，保留原样。

- 乘法：(√a)(√b)=√ab。

-除法：√a√b =√ab，其中b≠0。

二、二次根式的应用1. 二次根式的几何意义二次根式在几何学中有着重要的应用，特别是在求解面积和边长时。

- 面积应用：当我们需要计算一些形状的面积时，经常会遇到二次根式。

例如，矩形的对角线长度可以表示为√a2+b2，其中a和b分别是矩形的两个边长。

- 边长应用：在某些情况下，已知一个图形的面积，需要求解该图形某一个边的长度。

二次根式的运算可以帮助我们求解这些问题。

例如，等边三角形的边长可以表示为√√3，其中S是等边三角形的面积。

2. 二次根式的化简与证明二次根式的化简和证明是数学中的重要内容，常见的方法包括有理化分母、提取公因式等。

- 有理化分母：当二次根式出现在分母中时，为了简化运算，可以通过有理化分母的方法消除分母中的二次根式。

例如，√2可以通过乘以√2√2来有理化分母得到√22。

- 提取公因式：当一个二次根式等于另一个二次根式的倍数时，可以通过提取公因式的方式进行化简。

例如，√24可以化简为2√6，因为√6是√24的公因式。

三、二次根式的解法1. 二次根式的简单求解对于形如x 2=a 的二次根式方程，可以通过平方根的性质求解，得到x =±√a 。

例如，对于方程x 2=16，其解为x =±4。

2. 二次根式的复杂求解对于形如x 2+bx +c =0的二次根式方程，可以通过求解二次根式的不同情况来得到解。

第16章 二次根式知识点梳理一、二次根式的相关概念1.平方根：如果一个数和平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，其中正的平方根a 叫做a 的算术平方根。

2．二次根式： 形如a ()0a ≥的式子叫做＿＿＿＿＿；3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式称为＿＿＿．4.最简二次根式：满足两个条件：①被开方数的因数是＿＿＿，因式是＿＿＿；②被开方数中不含能开得尽方的＿＿＿或＿＿＿＿．特别提示：二次根式a 有意义的条件是＿＿＿＿．二、二次根式的性质1.（1）三个非负性：①0(0)a ；　≥②2(0)a a =；≥0≥a a =≥0(为任意实数）．2.四个性质： ①2(0)a a =；≥0≥a =＝a （a ≥0）或-a(a ＜0)③0,0)a b =≥≥；0,0)a b=＞≥．三、二次根式的运算：（1）二次根式的加减运算与整式的加减运算类似，只需对同类二次根式进行合并；（2）二次根式的乘除法：0,)b a =≥≥0,0)a b =＞≥ 特别提示：二次根式运算的结果应化为最简二次根式．四、思想方法：（一）数形结合的思想：“数”可以准确刻画量的特征，“形”能直观反映状态特点，数学上常用数形结合的方法来描述物体某些特征．（二）分类讨论思想：分类的思想是初中数学的重要思想，当被研究的问题包含多种情况时，不能一概而论，必须按可能出现的每种情况分别讨论，得出各种情况下相应结论，然后根据情况合并，作出严密的结论，这种处理问题的思维方法称为分类的思想．（三）特殊到一般的思想：各种特殊情形往往包含着一般性的规律，我们常常通过研究特殊情形时问题的答案或解法，然后猜想．归纳出一般性的规律，并把这个规律运用到一般情形。

二次根式知识点复习二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。

在数学中，√a叫做a的平方根。

一、基本知识点1.开方运算：开方就是求一个数的平方根的运算，开方运算的结果可以是正数、负数或零。

如果b^2=a，那么√a=b。

2.平方根的性质：（1）非负性质：对于非负实数a，√a≥0。

（2）唯一性质：一个非负实数的平方根是唯一的。

（3）分段性质：对于非负实数a和b，如果a≥b，则√a≥√b。

（4）乘法性质：对于非负实数a和b，√(a×b)=√a×√b。

3.平方根的化简：（1）平方根的化简法则：对于一个正整数a，如果存在正整数b，使得a=b^2，则√a=b。

（2）因式分解法则：如果一个正整数a可以分解成几个不同的素数的积，那么√a可以化为这些素数的乘积的积的平方根。

二、运算法则1.加减法运算：（1）只有当二次根式的根号里的数字部分相同才能相加或相减。

（2）将相同的根号里的数字部分加或减，系数部分保持不变。

（3）化简结果时，可根据需要将结果合并化简。

2.乘法运算：（1）二次根式相乘，根号里面的数字相乘，系数也相乘。

（2）系数和根号右下角的数字不能再进行化简，即不能再进行平方根的运算。

（3）化简结果时，可根据需要将结果合并化简。

3.除法运算：（1）二次根式相除，根号里面的数字相除，系数也相除。

（2）系数和根号右下角的数字不能再进行化简，即不能再进行平方根的运算。

（3）化简结果时，可根据需要将结果合并化简。

4.乘方运算：（1）二次根式进行乘方运算时，指数乘方，根号里面的数字也乘方，系数不变。

（2）在进行乘方运算后，如果结果可以进行根号运算，则进行根号运算并化简。

三、实际运用1.二次根式的应用：（1）二次根式经常在几何图形的计算中出现，如计算正方形、长方形的对角线、圆的周长和面积等。

（2）二次根式还可以用来表示距离、速度、力等物理量。

2.二次根式的化简：（1）二次根式的化简可以简化计算过程，提高计算效率。

二次根式数学知识点(8篇)二次根式数学知识点1知识点一：二次根式的概念形如a(a0)的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a0是a为二次根式的前提条件，如5，(x2+1)，(x-1)(x1)等是二次根式，而(-2)，(-x2-7)等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，a没有意义。

知识点三：二次根式a(a0)的非负性a(a0)表示a的算术平方根，也就是说，a(a0)是一个非负数，即0(a0)。

注：因为二次根式a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数(a0)的算术平方根是非负数，即0(a0)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若a+b=0，则a=0,b=0;若a+|b|=0，则a=0,b=0;若a+b2=0，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式(a)的性质(a)2=a(a0)文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式(a)2=a(a0)是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若a0，则a=(a)2，如：2=(2)2，1/2=(1/2)2.知识点五：二次根式的性质a2=|a|文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即a2=|a|=a(a若a是负数，则等于a的相反数-a,即a2=|a|=-a(a﹤0);2、a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，a2一定有意义;3、化简a2时，先将它化成|a|，再根据绝对值的意义来进行化简。

二次根式知识点总结一、定义二次根式是指形如 $a\sqrt{x}$ 的数，其中 $a$ 为实数，$x\geq 0$ 为非负实数。

二、化简方法1.去掉根号下的完全平方因式。

如$\sqrt{16x^2}=4x\sqrt{x}$。

2.去掉根号下的分数。

如$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$。

3.化简分数。

如$\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{\sqrt {2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{8}}{8}$。

4.乘法公式。

如 $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$。

5.加法公式。

如 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 不能化简，但可以化简 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$，即 $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

6.配方法。

（1）平方配方法：如 $a+b\sqrt{c}$ 和$d+e\sqrt{c}$ 相乘，则$(a+b\sqrt{c})(d+e\sqrt{c})=(ad+2be\sqrt{c}+ce\sqrt{c} )$。

（2）凑平方法：如 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$，则$a+b+2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$。

三、运算方法1.加减法。

只有当两个二次根式的根号下相同时才能进行加减法，如 $3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}$。

2.乘法。

二次根式的乘法可以直接使用乘法公式进行计算。

3.除法。

二次根式的除法不能直接计算，需要使用有理化分母的方法。

具体做法是，将被除二次根式的分母有理化，使其变为整数，然后分子和分母同除以变形后分母的根号下的值。

四、解二次根式的应用1.求两个数之间的距离。

2.计算房屋面积和体积。

3.计算几何形体的周长和面积。

4.解某些数学问题的过程中。

二次根式知识点总结
一、二次根式的定义
二次根式是指形如 $\sqrt{a}$ 的无理数或代数式，其中 $a$ 是一个
非完全平方数，即 $a$ 不能表示为某个正整数的平方。

二、简化二次根式
1. 将二次根式 $\sqrt{a}$ 化简为 $\sqrt{b}$ 的形式，其中
$b$ 是 $a$ 的正因子；
2. 对于 $\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$，可通过有理化分母的方法化为
$\frac{\sqrt{c}\pm\sqrt{d}}{e}$ 的形式，其中 $c$、$d$、$e$ 均
为整数。

三、二次根式的运算
1. 二次根式加减法：将同类项合并，并对结果进行简化；
2. 二次根式乘法：利用分配律，将每一项分别与另一个二次根式相乘，并化简结果；
3. 二次根式除法：将除数、被除数都乘以分母的共轭复数，化为分母
为整数的形式后进行约分。

四、二次根式的应用
1. 应用勾股定理求直角三角形的一条边；
2. 当面积或体积为二次根式时，可通过二次根式的运算得到结果。

五、注意事项
1. 化简二次根式时，应将完全平方因子提出；
2. 二次根式运算时，不同二次根式之间不能进行加减法；
3. 对于 $\sqrt{a}$，$a$ 不能为负数。

二次根式知识点1. 二次根式的定义二次根式指的是形如√a的数，其中a为非负实数。

a被称为被开方数，√a被称为二次根式，也可以叫做平方根。

2. 二次根式的基本性质① 非负性：二次根式必须为非负实数。

② 同根式的加减法：同一指数的二次根式可以进行加减法运算，结果等于指数不变时各自运算后相加减。

③ 同根式的乘法：同一指数的二次根式可以进行乘法运算，结果等于指数不变时各自运算后相乘。

④ 同底数的指数运算：同一被开方数的不同指数的二次根式，可以进行指数运算，结果等于底数相同时指数相加或相减后的二次根式。

⑤ 合并同类项：不同被开方数的二次根式不能进行加减运算，必须化为同一被开方数才能进行操作。

3. 二次根式的化简① 化简含有平方数的二次根式例如：√36 = √（6²）= 6② 化简含有分数的二次根式例如：√（1/4）= 1/√4= 1/2③ 化简含有根号的二次根式例如：√（128）= √（2*64）= 8√2④ 去除被开方数中的平方因子例如：√（80）= √（16*5）= 4√54. 二次根式的应用由于二次根式代表着平方根，所以在一些实际问题中，经常出现二次根式的应用。

例1：计算正方形对角线的长度设正方形边长为a，则对角线长度d = √（a²+a²）=a√2例2：炮弹落地问题假设炮弹以初速度v以角度α斜抛，落地时的水平距离为x，求炮弹所需的最小速度v。

根据物理学上的知识，可以得到：x = v²sin2α/g其中g为重力加速度，有g = 9.8m/s²，化简可得：v = √（gx/ sin2α）在实际问题中，二次根式的应用还有很多，比如在建筑设计中计算楼梯踏步和踏板的长度，计算圆周率的近似值等等。

5. 二次根式的拓展除了√a这种形式的二次根式外，还可以拓展为含有多个根号的形式。

例如：√（a±√b）化简时，可以拆分成两个二次根式相加或相减的形式：当加号为正号时，可拆分为：√（a+√b）+√（a-√b）当减号为负号时，可拆分为：√（a-√b）-√（a+√b）在拓展的形式中，二次根式的化简变得更为复杂，需要运用其他方法进行化简。

二次根式知识点总结1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的数式，其中a是一个非负实数。

在二次根式中，a被称为被开方数，√a被称为二次根号。

二次根式可以是完全平方数，也可以是非完全平方数。

2. 二次根式的化简化简二次根式的目的是将其写成最简形式。

对于完全平方数，化简的过程比较简单，只需要将√a的值直接提取出来即可。

而对于非完全平方数，需要用到分解质因数的方法来化简。

比如对于√18，可以分解质因数得到√(2×3×3)，然后将成对的质因数提取出来得到3√2。

3. 二次根式的运算（1）二次根式的加减法二次根式的加减法遵循着类似项相加的原则。

即对于同一次幂的二次根式，可以进行加减运算。

比如√8 + √32，可以将8和32分解质因数得到√(2×2×2) + √(2×2×2×2×2)，然后将相同的项加在一起得到2√2 + 4√2，再进行合并得到6√2。

（2）二次根式的乘法二次根式的乘法用到了平方根的性质，即√a×√b=√(a×b)。

对于二次根式的乘法，可以直接将被开方数相乘再提取出来即可。

比如(√5 + √3)×(√5 - √3)，可以将其展开得到√5×√5 - √5×√3 +√3×√5 - √3×√3，再合并得到5 - 3=2。

（3）二次根式的除法二次根式的除法也用到了平方根的性质，即√a/√b=√(a/b)。

对于二次根式的除法，可以直接将被开方数相除再提取出来即可。

比如(√12 + √3)/(√3)，可以将其展开得到√12/√3 + √3/√3，再化简得到2√3 + 1。

4. 二次根式的化简与支配数在二次根式的运算中，有时候会出现需要化简的情况。

这就需要用到支配数的概念。

支配数是指对于一个二次根式，可以找到一个更小的数，使得原二次根式是这个数的倍数。

比如对于√75，可以找到√25×3，这里25就是√75的支配数。

2019人教版八年级数学下册第十六章二次根式二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子称为二次根式，其中a为被开方数，√为根号符号。

2.二次根式的双重非负性：对于任何实数a，有√a≥0，且（√a）²=a。

3.二次根式的有理化：将二次根式的分母中含有根号的有理数化为分母中不含根号的有理数。

4.积的算术平方根的性质：√(ab)=√a×√b（a≥0，b≥0）。

5.商的算术平方根的性质：√(a/b)=（√a）/（√b）（b>0）。

6.若a≥0，则√a²=a。

知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算：1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。

2) 注意每一步运算的算理。

3) 乘法公式的推广：（a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²。

2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。

3.二次根式的混合运算：1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。

2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。

例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。

A、3；B、x；C、x²+1；D、x-12.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

1）√(2x-1)；（2）√(x+4)/(2x+1)；（3）1/(x+1)；（4）√(3-x)+1；（5）3-x+√(1/x)；（6）2x-1.7）若x(x-1)=1，则x的取值范围是（）。

8）若(x+3)/(x-3)=(x+3)/(x+3)，则x的取值范围是。

3.若3m-1有意义，则m能取的最小整数值是；若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________。

初二数学二次根式知识点归纳一、二次根式的概念二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

根号下的数字a称为被开方数，√a称为二次根式的基数。

二、二次根式的化简化简二次根式是指将二次根式写成最简形式的过程。

化简的基本原则是将被开方数a的因数分解，并利用数的乘法法则和开方的运算性质进行合理的变形。

1. 同底合并当两个二次根式的基数相同时，可以将它们合并为一个二次根式，并进行化简。

2. 分解因数当被开方数a是一个完全平方数时，可以将其分解因数，再进行化简。

例如，√16可以分解为√(4×4)，再利用根号的运算性质进行合并得到4。

3. 有理化分母当二次根式的分母中含有二次根式时，为了方便计算和比较，需要对分母进行有理化处理。

有理化分母的基本原则是将分母中的二次根式去掉，即将其乘以一个合适的形式为√a的因式。

三、二次根式的运算二次根式可以进行加减、乘除等运算。

在进行二次根式的运算时，需要注意以下几点：1. 加减运算当二次根式的基数和被开方数相同时，可以直接进行加减运算，并保持根号下的数字不变。

2. 乘除运算二次根式的乘法和除法运算可以通过化简和合并同类项的方式进行。

在乘法运算中，可以将二次根式的被开方数相乘，并将基数相乘；在除法运算中，可以将二次根式的被开方数相除，并将基数相除。

四、二次根式的应用二次根式在实际问题中有着广泛的应用。

以下是二次根式常见的应用场景：1. 长方形的对角线当已知长方形的长和宽时，可以利用勾股定理和二次根式的概念求出长方形的对角线长度。

2. 面积和体积在计算面积和体积时，常常会遇到含有二次根式的公式，如三角形的面积公式、球的体积公式等。

3. 几何图形的边长和面积比较通过比较含有二次根式的几何图形的边长和面积，可以判断它们的大小关系。

五、二次根式的性质二次根式有一些重要的性质，掌握这些性质有助于更好地理解和应用二次根式。

1. 非负性二次根式的基数必须是非负实数，即根号下的数字不能为负数。

九年级数学二次根式知识点一、二次根式1. 定义：二次根式是形如√a的表达式，其中a是非负实数。

2. 运算规则：(1) 乘法规则：√a * √b = √(a * b)(2) 除法规则：√a / √b = √(a / b)，其中b不能为0(3) 幂运算规则：(√a)^n = (√a)^(n / 2)，其中n为偶数，a为非负实数3. 合并同类项：(1) 如果二次根式的底数相同，则可以合并为一个根号，即√a ±√a = ±2√a(2) 如果二次根式的根次相同，则可以合并为同一个根次的根号，即√a^n ±√a^n = ±2√a^n(3) 如果二次根式的底数和根次都相同，则可以合并为同一个根号，即√a^n * √a^n = a^n，(√a^n) / (√a^n) = 1二、二次根式的化简1. 因式分解法：将二次根式的底数a分解为素数的乘积，然后利用乘法规则、除法规则和合并同类项的规则将二次根式化简为最简形式。

2. 有理化分母法：利用有理化分母公式将二次根式的分母有理化。

(1) a + √b有理化分母：a + √b = (a + √b) * (a - √b) / (a - √b)(2) a - √b有理化分母：a - √b = (a - √b) * (a + √b) / (a + √b)(3) 1 / (a + √b)有理化分母：1 / (a + √b) = (a - √b) / (a^2 - b)(4) 1 / (a - √b)有理化分母：1 / (a - √b) = (a + √b) / (a^2 - b)三、二次根式的运算1. 加减运算：将二次根式化为最简形式，然后合并同类项。

2. 乘法运算：将二次根式的底数和根次分别相乘。

3. 除法运算：将二次根式的底数和根次分别相除。

4. 化简运算：利用因式分解法或有理化分母法将二次根式化简为最简形式。

四、二次根式的应用二次根式在实际问题中具有广泛的应用，例如计算物体的体积、面积等。

初中数学二次根式知识点总结一、二次根式的定义和性质1.二次根式：形如√a（其中a≥0）的数叫做二次根式，其中a叫做被开方数。

2.平方数：一些数的平方的结果叫做平方数，如1、4、9等。

平方数的平方根是有理数。

3.二次根式化简：将二次根式中含有相同因式的项合并，并将二次根式的指数化简为最简整数。

4.二次根式的乘除法：二次根式的乘除法可以通过对被开方数和指数进行运算和化简来进行。

二、二次根式的运算1.二次根式的加减法：a)加法：将两个二次根式的被开方数相加，并将其指数化简。

b)减法：将两个二次根式的被开方数相减，并将其指数化简。

2.二次根式的乘法：a)二次根式的乘法使用分配律，将被开方数和指数分别相乘，并将结果进行化简。

b)若二次根式与实数相乘，则可将实数与二次根式的被开方数相乘，并将指数进行化简。

3.二次根式的除法：a)二次根式的除法可以通过将分子和分母的被开方数相除，并将指数进行化简来进行。

b)若二次根式除以实数，可以将实数除以二次根式的被开方数，并将指数进行化简。

三、二次根式的化简1.二次根式化简的基本方法：a)将被开方数分解成素数的乘积。

b)将二次根式的指数约分为最简整数。

c)将二次根式的含有相同因式的项合并。

2.平方根的化简：a)平方根下的分数：将分子和分母分别进行开方，然后化简。

b)分数的平方根：将分子和分母分别进行开方，然后化简。

c)同解式的平方根：可以适用平方根的基本性质将二次根式进行化简。

四、二次根式的应用1.几何意义：二次根式可以表示一些图形的边长或斜边的长度。

a)两点间的距离：利用两点间的距离公式可以将二次根式化简为实数。

b)直角三角形的斜边：利用勾股定理可以将二次根式化简为实数。

2.分数的运算：在分数运算中，往往会出现二次根式，需要将二次根式进行化简并进行运算。

3.实际问题的应用：解决实际问题时，需利用已知条件建立方程，通过方程的求解，将二次根式进行化简。

综上所述，初中数学二次根式是重要的基础知识点，掌握二次根式的运算和化简方法，了解二次根式的几何意义和实际应用，在解决问题中能熟练运用二次根式的相关知识，将有助于提高数学解题能力。

二次根式知识点汇总1、定义：一般的，式子a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式（即a的算术平方根）。

其中“”叫做二次根号，二次根号下的a叫做被开方数。

注意：（1）二次根式必须满足的条件：①含有二次根号“”；②被开方数a 必须是非负数即a ≥0（二次根式有意义的条件）。

二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≥0时a有意义；二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，a 没有意义。

（2）数的平方根与二次根式的区别：a ±为a 的平方根，二次根式a 为a 的算术平方根。

如4的平方根为24±=±，4的算术平方根为24=。

（3）a （a ≥0）是一个非负数，即a ≥02、性质：→逆用可进行二次根式的乘法运算→逆用可进行二次根式的除法运算3、最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

②如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出。

4、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 判断同类二次根式的方法：(1)首先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同。

(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。

合并同类二次根式的方法：（与合并同类项类似）合并同类二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律，合并同类二次根式，只把它们的系数相加，根指数和被开方数都不变，不是同类二次根式的不能合并。

如：33)412(34332-=-+=-+5、二次根式的乘除法（1）乘法： 二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。