最新高中数学 第三章 直线与方程 3.1.1 倾斜角与斜率学案(含解析)

山东省沂水县高中数学第三章直线与方程3.1.1 倾斜角与斜率学案（含解析）新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山东省沂水县高中数学第三章直线与方程3.1.1 倾斜角与斜率学案（含解析）新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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3．1。

1 倾斜角与斜率学习目标1。

理解直线的斜率和倾斜角的概念；2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性；3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．知识点一直线的倾斜角思考1 在平面直角坐标系中,只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？答案不能．思考2 在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？答案不同．1．倾斜角的定义（1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．（2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角．知识点二直线的斜率与倾斜角的关系思考1 在日常生活中，我们常用“升高量前进量”表示“坡度”，图(1）(2)中的坡度相同吗?答案不同，因为错误!≠错误!.思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？答案存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中,坡度＝tan β.1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示,即k＝tan_α。

倾斜角与斜率（教课方案）一、内容及其分析1、内容：直线的倾斜角与斜率的观点及斜率公式。

2、分析：本课是高中分析几何内容的开始。

分析几何是以平面直角坐标系为桥梁，将几何问题代数化，经过代数运算来研究几何图形性质的方法。

由于直线是最基本的几何图形，所以要实现几何问题代数化应先从直线下手，而直线的倾斜角和斜率是刻画直线倾斜程度的几何因素与代数表示，是将直线用代数形式表示的基础。

经过该内容的学习，帮助学生初步认识平面直角坐标系内几何要素代数化的过程，初步浸透分析几何的基本思想和基本研究方法。

本课有着开启全章，确立基础，浸透方法的作用。

直线的斜率是后续内容睁开的主线，不论是成立直线的方程，仍是研究两条直线的地点关系，以及议论直线与圆锥曲线的地点关系，直线的斜率都有重要作用。

所以，正确理解斜率观点，娴熟掌握斜率公式是学好本章的要点。

二、目标及其分析1、目标：理解直线的倾斜角和斜率观点，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

2、分析：①在平面直角坐标系中察看详细图形，在研究描绘直线的倾斜程度的几何因素的过程中，抽象出直线倾斜角的观点，明确倾斜角的取值范围；②以平时生活中表示倾斜面的“坡度”问题，引出直线斜率的观点，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，明确倾斜角和斜率之间的关系。

直线上两点计算直线斜率的公③在研究直线的斜率与直线上两点坐标关系的过程中，掌握已知式，能依据斜率的计算公式，求直线的斜率。

④经过经历用代数方法刻画直线斜率的过程，帮助学生认识分析几何的“坐标法”思想和基本研究方法，进一步领会“数形联合”的思想方法。

三、教课识题诊疗在欧氏几何的学习中，学生已经知道两点能够确立一条直线，而已知一点和什么条件能确立直线，以及如何来刻画这个条件，对学生来说有点困难，所以在教课过程中能够指引学生先察看经过同一点的不一样直线的差异，从中形成倾斜角的观点；本课的教课难点是：直线的斜率与它的倾斜角间的关系。

高中数学第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 直线的倾斜角与斜率教学设计新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 直线的倾斜角与斜率教学设计新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.1.1 倾斜角与斜率一、内容及其解析“直线的倾斜角与斜率"是人教版数学必修2第三章第一节的内容,是高中解析几何内容的开始。

这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。

其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法，理解它的关键是在平面直角坐标系中直线向上的方向与X 轴正方向所成的角和角的正切值.之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础.通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。

直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系,以及讨论直线与二次曲线的位置关系,直线的斜率都发挥着重要作用。

二、目标及其解析目标定位：1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念。

2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率3、掌握过两点的直线的斜率公式.目标解析：1、正确理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以X 轴为基准，直线与X 轴相交时，X 轴正方向与直线向上的方向的角；理解斜率概念是指直线的斜率就是直线倾斜角的正切值。

对应学生用书P57知识点一直线的倾斜角高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A 版必修2081921871．给出下列命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l 的倾斜角，且sinα＝22，则α＝45°． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误． ④中α＝0°时sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．2．已知直线l 过点(m ，1)，(m ＋1，1－tanα)，则( ) A ．α一定是直线l 的倾斜角 B ．α一定不是直线l 的倾斜角 C ．180°－α不一定是直线l 的倾斜角 D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角 答案 C解析 设θ为直线l 的倾斜角，则tanθ＝1－tanα－1m ＋1－m ＝－tanα．当α＝0°时，tanθ＝0，此时θ＝0°；当α＝30°时，tanθ＝－33，此时θ＝150°．比较各选项可知选C ．知识点二直线的斜率3．下列叙述不正确的是( )A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应C．与y轴垂直的直线的斜率为0D．与x轴垂直的直线的斜率不存在答案 B解析每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率；垂直于y 轴的直线的倾斜角为0°，其斜率为0；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在，故A，C，D正确．4．如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列选项中正确的是( )A．k3>k1>k2B．k1－k2＞0C．k1·k2＜0D．k3＞k2＞k1答案 D解析由图可知，k1＜0，k2＜0，k3＞0，且k2＞k1，故选D．知识点三斜率公式的应用①A(－2，0)，B(－5，3)；②A(3，2)，B(5，2)；③A(3，－1)，B(3，3)；(2)已知直线l过点A(2，1)，B(m，3)，求直线l的斜率及倾斜角的范围．解(1)①∵A(－2，0)，B(－5，3)，∴k AB＝3－0－5－－2＝3－3＝－1，直线AB的倾斜角为135°．②∵A(3，2)，B(5，2)，∴k AB ＝2－25－3＝0．直线AB 的倾斜角为0°．③∵A(3，－1)，B(3，3)；∴直线AB 的倾斜角为90°，斜率不存在． (2)设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α， 当m ＝2时，A(2，1)，B(2，3)．直线AB 的倾斜角为90°，斜率k 不存在； 当m ＞2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＞0，此时，直线l 的倾斜角为锐角，即α∈(0°，90°)； 当m ＜2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＜0，此时，直线l 的倾斜角为钝角，即α∈(90°，180°)．知识点四三点共线问题6．若A(a ，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则a ＋b ＝________．答案 －12解析 由题意得b ＋22＝2a ＋2，ab ＋2(a ＋b)＝0，1a ＋1b ＝－12．对应学生用书P58一、选择题1．已知直线l 的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是( ) A ．0°≤β＜180° B．15°＜β＜180° C ．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195° 答案 D解析 因为直线l 的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°＜180°，即15°≤β＜2．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3 答案 B解析 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0．故选B ．3．若直线l 的斜率为k ，且二次函数y ＝x 2－2kx ＋1的图象与x 轴没有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0°，90°) B．(135°，180°)C ．[0°，45°)∪(135°，180°) D．[0°，180°) 答案 C解析 由抛物线y ＝x 2－2kx ＋1与x 轴没有交点，得(－2k)2－4＜0，解得－1<k<1，所以直线l 的倾斜角的取值范围是[0°，45°)∪(135°，180°)，故选C ．4．如果直线l 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 设A(a ，b)是直线l 上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b ＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA′＝b ＋2－b a －2－a＝－1．故选B ．5．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足( )A ．k≥34或k≤－4B ．k≥34或k≤－14C ．－4≤k≤34D ．34≤k≤4答案 A解析 如图所示，过点P 作直线PC⊥x 轴交线段AB 于点C ，作出直线PA ，PB ．①直线l 与线段AB 的交点在线段AC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率的范围是k≤k PA ．②直线l 与线段AB 的交点在线段BC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率的范围是因为k PA ＝－3－12－1＝－4，k PB ＝－2－1－3－1＝34，所以直线l 的斜率k 满足k≥34或k≤－4．二、填空题6．已知M(2m ，m ＋1)，N(m －2，1)，则当m ＝________时，直线MN 的倾斜角为直角． 答案 －2解析 由题意得，直线MN 的倾斜角为直角，则2m ＝m －2，解得m ＝－2．7．已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．答案 (1，－5)解析 设P 点坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5，即P 点坐标为(1，－5)．8．若经过点P(1－a ，1)和Q(2a ，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13解析 ∵直线PQ 的斜率k ＝3－12a －1－a ＝23a －1，且直线的倾斜角为钝角，∴23a －1<0，解得a<13．三、解答题9．已知点A(1，2)，在坐标轴上有一点P ，使得直线PA 的倾斜角为60 °，求点P 的坐标．解 ①当点P 在x 轴上时，设点P(a ，0)． ∵A(1，2)，∴k PA ＝0－2a －1＝－2a －1．又直线PA 的倾斜角为60 °， ∴－2a －1＝3，解得a ＝1－233， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0．②当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)． 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0，2－3)．综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0或(0，2－3)．10．已知实数x ，y 满足关系式x ＋2y ＝6，当1≤x≤3且x≠2时，求y －1x －2的取值范围．解y －1x －2的几何意义是过M(x ，y)，N(2，1)两点的直线的斜率．因为点M 在y ＝3－12x 的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB ，其中A1，52，B3，32．由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是－∞，－32∪12，＋∞．。

“直线的倾斜角和斜率”教案设计一、内容和内容解析内容:直线倾斜角与斜率的概念,斜率公式。

内容解析:本课是人教版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时,是高中解析几何内容的开始。

直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一,是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示,是用坐标法研究直线性质的基础。

本课不仅要理解两个概念、得到一个公式,更要了解几何问题代数化的过程,渗透解析几何的基本思想方法。

本课有着开启全章,奠定基调,渗透方法的作用。

倾斜角从几何角度描述了直线的倾斜程度。

课本结合具体图形,在探索确定直线位置的几何要素中给出倾斜角概念。

斜率从代数角度描述了直线的倾斜程度。

课本借助“坡度”引出斜率概念。

定义给出了直线的斜率与倾斜角的关系,沟通了刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示的关系。

直线可由两点来确定,坐标平面内的点由其坐标确定,因此直线的斜率就可以用直线上两点的坐标来表示,这就是经过两点直线的斜率公式。

“坐标法”与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。

教学重点:斜率概念及公式。

二.目标和目标解析目标:理解直线的倾斜角和斜率的概念,并能结合三角函数掌握它们之间的关系；掌握过两点的直线的斜率公式。

目标解析:1.在平面直角坐标系中,结合具体的图形,探索确定直线位置的几何要素,引出直线的倾斜角概念。

结合动画演示,明确倾斜角的取值范围。

2.借助坡度概念引出斜率概念,让学生体验数形结合思想和转化思想的意义和价值,发展学生对变量数学的认识。

3.能根据斜率的概念,掌握倾斜角和斜率之间的关系,并能根据斜率的两个计算公式,求出直线的斜率。

4.初步了解坐标平面内的图形是如何进行量化和代数化的,了解“坐标法”。

三.教学问题诊断分析1.两点确定一条直线是学生知道的。

但如何认识直角坐标系这一“参照系”下确定直线的几何要素,对学生来说有点困难。

所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的直线之间的不同点,再类比实际生活中描述航线的实际例子,从而发现需要增加的量,以及如何描述这个量,最后形成倾斜角的概念。

第三章直线与方程本章教材分析直线与方程是平面解析几何初步的第一章，用坐标法研究平面上最简单的图形——直线.本章首先在平面直角坐标系中，介绍直线的倾斜角、斜率等概念；然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等；通过直线的方程，研究直线间的位置关系:平行和垂直，以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.解析几何研究问题的主要方法是坐标法，它是解析几何中最基本的研究方法.坐标法的基本特点是，首先用代数语言(坐标及其方程)描述几何元素及其关系，将几何问题代数化；解决代数问题，得到结果；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题.本章自始至终贯穿数形结合的思想.在图形的研究过程中，注意代数方法的使用；在代数方法的使用过程中，加强与图形的联系.直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习做好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.只有学好本章才能为第四章的圆与方程做好准备和铺垫.教学中一定要注重由浅及深的学习规律，多采用变式教学，同时渗透常用的数学思想方法(数形结合、分类讨论、类比、推广、特殊化、化归等)，体现由特殊到一般的研究方法，化难为易、化抽象为具体，深入浅出的引导学生自己发现规律，大胆质疑、积极思考、合作探究、激发他们学习的兴趣，教师合理诱导并且及时鼓励，使同学们能愉快的、轻松的学习，并且提高他们应用所学知识解决问题(尤其是实际问题)的能力，真正体现出“在用中学，在学中用，为用而学，学而能用”，这一点也正符合新课标的要求和精神.本章教学时间约9课时，具体分配如下(仅供参考)：《3.1.1倾斜角与斜率》教学案1一、教材分析直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究.对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧.本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要.二、教学目标1．知识与技能(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.(2)理解直线倾斜角的唯一性.(3)理解直线斜率的存在性.(4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.2．过程与方法引导帮助学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题(代数问题)进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法.3．情感、态度与价值观(1)通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.三、教学重点与难点教学重点:直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式.教学难点:斜率公式的推导.四、课时安排1课时五、教学设计(一)导入新课思路1.如图1所示，在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率.图1思路2.我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线.那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？这些直线有什么联系和区别呢？教师引入课题：倾斜角与斜率.(二)推进新课、新知探究、提出问题①怎样描述直线的倾斜程度呢？②图2中标出的直线的倾斜角α对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？图2③直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？⑤正切函数的定义域是什么？⑥任何直线都有斜率么？⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率呢？如：已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是多少？活动:①与交角有关.当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了.②考虑正方向.③动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度.规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0°，所以倾斜角的范围是0°≤α＜180°.④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα.⑤教师介绍正切函数的相关知识.⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x 轴的直线没有斜率. (倾斜角是90°的直线没有斜率)⑦已知直线l 上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线l 与x 轴不垂直，如何求直线l 的斜率？教学时可与教材上的方法一样推出.讨论结果:①用倾斜角.②都不对.与定义中的x 轴正方向、直线向上方向相违背.③直线的倾斜角能是0°，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角. ④有，常用的有坡度比. ⑤90°的正切值不存在. ⑥倾斜角是90°的直线没有斜率.⑦过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率公式k =1212x x y y --.(三)应用示例思路1例1 已知A (3，2)，B (-4，1)，C (0，-1)，求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.活动:引导学生明确已知两点坐标，由斜率公式代入即可求得k 的值； 而当k =tanα＜0时，倾斜角α是钝角； 而当k =tanα＞0时，倾斜角α是锐角； 而当k =tanα=0时，倾斜角α是0°. 解:直线AB 的斜率k 1=71＞0，所以它的倾斜角α是锐角； 直线BC 的斜率k 2=-0.5＜0，所以它的倾斜角α是钝角； 直线CA 的斜率k 3=1＞0，所以它的倾斜角α是锐角. 变式训练已知A (1，33)，B (0，23)，求直线AB 的斜率及倾斜角. 解:k AB =3013233=--，∵直线倾斜角的取值范围是0°—180°， ∴直线AB 的倾斜角为60°.例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线a ，b ，c ，l .活动:要画出经过原点的直线a ，只要再找出a 上的另外一点M .而M 的坐标可以根据直线a 的斜率确定.解:设直线a 上的另外一点M 的坐标为(x ，y )，根据斜率公式有：1=--x y ，所以x =y . 可令x =1，则y =1，于是点M 的坐标为(1，1).此时过原点和点M (1，1)，可作直线a . 同理，可作直线b ，c ，l . 变式训练1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率： (1)α=0°；(2)α=60°；(3)α=90°. 活动:指导学生根据定义直接求解. 解：(1)∵tan 0°=0，∴倾斜角为0°的直线斜率为0.(2)∵tan 60°=3，∴倾斜角为60°的直线斜率为3. (3)∵tan 90°不存在，∴倾斜角为90°的直线斜率不存在. 点评：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.2.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的( ) A .任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B .直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C .平行于x 轴的直线的倾斜角是0或π；两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等D .直线斜率的范围是(－∞，＋∞) 答案：D思路2例1 求经过点A (-2，0)，B (-5，3)的直线的斜率和倾斜角. 解：k AB =)2(503----=1，即tanα=-1，又∵0°≤α＜180°， ∴α=135°.∴该直线的斜率是-1，倾斜角是135°.点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角. 变式训练求过下列两点的直线的斜率k 及倾斜角α. (1)P 1(-2，3)，P 2(-2，8)；(2)P 1(5，-2)，P 2(-2，-2).解：(1)∵P 1P 2与x 轴垂直，∴直线斜率不存在，倾斜角α=90°. (2)k =tanα=52)2(2-----=0，∴直线斜率为0，倾斜角α=0°.例2 已知三点A 、B 、C ，且直线AB 、AC 的斜率相同，求证:这三点在同一条直线上. 证明：由直线的斜率相同，可知直线AB 的倾斜角与AC 的倾斜角相等，而两直线过公共点A ，所以直线AB 与AC 重合，因此A 、B 、C 三点共线.点评：此题反映了斜率公式的应用，即若有共同点的两直线斜率相同，则可以判断三点共线.变式训练1.若三点A (2，3)，B (3，2)，C (21，m )共线，求实数m 的值. 解：k AB =2332--=-1，k AC =2213--m ，∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB =k AC .∴2213--m =-1.∴m =29.2.若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则a 1+b1的值等于_____________. 答案：21例3 已知三角形的顶点A (0，5)，B (1，-2)，C (-6，m )，BC 的中点为D ，当AD 斜率为1时，求m 的值及|AD |的长.分析：应用斜率公式、中点坐标公式、两点间距离公式. 解：D 点的坐标为(-25，22-m )， ∴k AD =025522----m =1.∴m =7.∴D 点坐标为(-25，25).∴|AD |=225)255()25(22=-+. 变式训练过点P (－1，－1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段A 的中心，求直线l 的斜率和倾斜角.答案：k =-1，倾斜角为43π. (四)知能训练课本本节练习1、2、3、4.(五)拓展提升已知点A (-2，3)，B (3，2)，过点P (0，-2)的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.分析：利用数形结合同时注意直线斜率不存在的特殊情形. 答案：(-∞，34)∪(-25，+∞).(六)课堂小结通过本节学习，要求大家： (1)掌握已知直线的倾斜角求斜率； (2)直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围； (3)直线斜率的概念；(4)已知直线的倾斜角(或斜率)，求直线的斜率(或倾斜角)的方法. (七)作业习题3.1 A 组3、4、5.。

3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计一、教学目标（1）知识与技能：正确理解直线倾斜角和斜率的概念。

理解直线倾斜角的唯一性。

理解直线斜率的存在性。

斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。

（2）过程与方法：经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想和数形结合思想。

（3）情感态度与价值观：通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于实际生活，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。

二、教学重点与难点重点：直线倾斜角和斜率的概念及斜率与倾斜角的关系。

难点：倾斜角与斜率的关系的探究。

三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。

即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。

四、教学过程（一）创设情境，揭示课题北盘江大桥由云贵两省合作共建，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，相当于200层楼高——这也是世界最高的桥梁：大桥主桥采用主跨720m 钢桁架梁斜拉桥方案，为目前世界最大跨径的钢桁架梁斜拉桥。

于2016年12月29日通车，云南宣威城区至贵州六盘水的车程将从此前的5个小时左右，缩短为1个多小时。

桥梁上斜拉钢丝与桥面形成了之间具有不同的倾斜程度，这就是我们这节课所要研究的内容。

（二）新课探究，形成新知（1）动动手，画出满足条件的直线 1）在平面直角坐标系中画一条直线 2）在平面直角坐标系中画一条过原点的直线3）在平面直角坐标系中画一条与x 轴正方向所成的角为30°的直线4）在平面直角坐标系中画一条过原点且与x 轴正方向所成的角为 30°的直线（2）动动脑，回答下列问题1）在平面直角坐标系中，怎样确定一条直线的位置呢？ 2）在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件： 1.两点可以确定一条直线2. 已知直线上一点和这条直线的方向 （3）直线的方向——倾斜角的概念形成问题：在如图的平面直角坐标系中，以哪个角刻画倾斜程度？倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。

高中数学第三章直线与方程3-1-1倾斜角与斜率学案含解析新人教A版必修2[提出问题]在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1：直线l的位置能够确定吗？提示：不能．问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？提示：无数条．问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？提示：倾斜程度不同．[导入新知]1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BP x.2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.3．倾斜角与直线形状的关系对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度．(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.[提出问题]日常生活中，常用坡度(坡度＝)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度＞.问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以．问题2：上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？提示：可以．问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？提示：与倾斜角的正切值相等．[导入新知]1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α.2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线。

第三章 3.1.1 直线倾斜角与斜率【学习目标】1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题.【学习重点】理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式【知识链接】在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?日常生活中，我们用什么来反映倾斜程度呢？那么怎样反映直线的倾斜程度呢？【基础知识】在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准， x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.直线倾斜角α的取值范围是[)︒︒1800，直线的斜率等于其倾斜角α的正切值，即αtan=k.它反映了直线的倾斜程度.倾斜角是90°的直线没有斜率.当α______时，k>0；当α______时，k=0；当α______时，k<0；当α______时，k不存在给定两点()(),,,,,21222111xxyxPyxP≠过这两点的斜率公式为_________.斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时颠倒。

【例题讲解】例1.如图，已知()()()114,23--，，，，CBA，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．变式迁移1.已知△ABC的三个顶点为A(1,1)，B(－1，－1)，C(2＋3，－2－3)，求三角形的三边所在直线的斜率及倾斜角．解：边AB所在直线的斜率k AB＝－1－1－1－1＝1，倾斜角为45°；边AC所在直线的斜率k AC＝－2－3－12＋3－1＝－3－31＋3＝－3，倾斜角为120°；边BC所在直线的斜率k BC＝－2－3＋12＋3＋1＝－1－33＋3＝－33，倾斜角为150°.【达标检测】1.下列哪些说法是正确的（ E F ）(多选)A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率B 、直线的倾斜角越大，斜率也越大C 、平行于x 轴的直线的倾斜角是0°或180°D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等F 、直线斜率的范围是R2. 下列说法正确的是(B )A ．平面直角坐标系内的任意一条直线都有倾斜角和斜率B ．直线倾斜角的范围是0°≤α<180°C ．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αD ．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α解析：倾斜角为90°的直线斜率不存在，故A ，C 错误；直线的斜率可以用π＋kα求出，但是直线倾斜角的范围是0°≤α<180°，故D 错误．3.下列两点确定的直线的斜率不存在的是( D )A ．(4,2)，(－4,1) B ．(0,3)，(3,0)C ．(3，－1)，(2，－1)D ．(－2,2)，(－2,5)4．过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的倾斜角为45°，则m 的值为( A )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4解析：由题意得k ＝tan45°＝1＝4－m m －－2，解得m ＝1. 5．若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角为( D )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°解析：如图，直线l 有两种情况，故l 的倾斜角为60°或120°.6．直线l 过(m ，n )，(n ，m )两点，其中m ≠n ，mn ≠0，则(D )A ．l 与x 轴垂直B ．l 与y 轴垂直C ．l 过原点和一、三象限D ．l 的倾斜角为135°7.若右图中直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( D )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 27．已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，实数a 的值为2或29________． 8.如下图直线l 1的倾斜角是150°，l 2⊥l 1，垂足为B .l 1，l 2与x 轴分别相交于点C ，A ，l 3平分∠BAC ，则l 3的斜率为_____．（33） 9．已知点A (－1,2)、B (2,1)，直线y ＋3＝k (x －1)与线段AB 有交点，则k 的取值范围是________．解析：已知直线过定点(1，－3)，求出所求直线刚好过点A 和点B 的两种临界状态，再判定范围．答案：(－∞，－2.5]∪[4，＋∞)10.直线l 沿y 轴正方向平移a 个单位(a ≠0)，再沿x 轴的负方向平移(a ＋1)个单位(a ≠－1)，结果恰好与原直线l 重合，则直线l 的斜率为________．－aa ＋1解析：设P (x ，y )是l 上任一点，按规则移动P 点后，得到点Q (x －a －1，y ＋a )．由于直线l 移动前后重合，则Q 也在l 上，所以直线l 的斜率k ＝y ＋a －y x －a －1－x ＝－a a ＋1. 11．(13分)已知直线l 过点A (1,2)，B (m,3)，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围．解：设l 的斜率为k ，倾斜角为α，当m ＝1时，斜率k 不存在，α＝90°，当m ≠1时，k ＝3－2m －1＝1m －1， 当m >1时，k ＝1m －1>0，此时α为锐角，0°<α<90°， 当m <1时，k ＝1m －1<0，此时α为钝角，90°<α<180°. 所以α∈(0°，180°)，k ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)13．已知直线l 过点P (－1,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率k 的取值范围．解： 如图，k P A ＝2－(－3)－1－(－2)＝5，k PB ＝2－0－1－3＝－12，当直线l 从直线P A 转到与y 轴平行的直线PC 位置时(转动时以点P 为定点)，直线l 的斜率从5开始趋向于正无穷，即k ∈[5，＋∞)；【问题与收获】教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

第三章直线与方程直的斜角和斜率教课目 :知与技术(1)正确理解直的斜角和斜率的观点．(2)理解直的斜角的独一性 .(3)理解直的斜率的存在性 .(4)斜率公式的推程，掌握两点的直的斜率公式．感情度与价(1)通直的斜角观点的引入学和直斜角与斜率关系的揭露，培育学生察、探究能力，运用数学言表达能力，数学沟通与价能力．(2)通斜率观点的成立和斜率公式的推，帮助学生一步理解数形合思想，培育学生立一的点，培育学生形成的科学度和求的数学精神．要点与点 :直的斜角、斜率的观点和公式.教课器具：算机教课方法：启、引、.教课程：（一）直的斜角的观点我知道 ,两点有且只有(确立)一条直.那么,一点P的直l的地点能确立 ? 如 , 一点 P 能够作无数多条直 a,b,c, ⋯易 , 答案能否认的 . 些直有什么系呢 ?Ya bcO P X(1) 它都点P. (2)它的‘ 斜程度’不一样.怎描绘种‘ 斜程度’的不一样?引入直的斜角的观点:当直 l 与 x 订交 ,取x作基准, x正向与直α叫做直l 的斜角 . 特地 , 当直 l 与 x 平行或重合．．．l向上方向之所成的角,定α = 0 ° .问 : 倾斜角α的取值范围是什么 ? 0 °≤α＜ 180° . 当直线l 与 x 轴垂直时 , α = 90 ° .由于平面直角坐标系内的每一条直线都有确立的倾斜程度 ,引入直线的倾斜角以后,我们就能够用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.Ya b cO X如图 ,直线a∥ b∥ c,那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是必定的. 因此一个倾斜角α不可以确立一条直线.确立平面直角坐标系内的一条直线地点的几何因素:一个点P和一个倾斜角α.．．．．．．．．．．．( 二) 直线的斜率 :一条直线的倾斜角α ( α≠ 90° ) 的正切值叫做这条直线的斜率 , 斜率常用小写字母 k 表示,也就是k = tanα⑴当直线l 与 x 轴平行或重合时,α=0° , k = tan0°=0;⑵当直线l 与 x 轴垂直时 ,α= 90°, k不存在.由此可知 ,一条直线l 的倾斜角α必定存在, 可是斜率k 不必定存在 .比如 ,α =45°时, k = tan45° = 1;α =135°时 , k = tan135° = tan(180°－45° ) = - tan45° = - 1.学习了斜率以后,我们又能够用斜率来表示直线的倾斜程度.( 三)直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠ x2 ,怎样用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率 ?可用计算机作动画演示 : 直线 P1P2的四种状况 , 并指引学生怎样作协助线 , 共同达成斜率公式的推导 .( 略 )斜率公式 :关于上边的斜率公式要注意下边四点：(1)当 x1=x2 时，公式右侧无心义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90 ° , 直线与 x 轴垂直；(2)k与 P1、P2 的次序没关 , 即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后序次能够同时交换 , 但分子与分母不可以互换 ;(3)斜率 k 能够不经过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4)当 y1=y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角α =0°，直线与x轴平行或重合 .(5)求直线的倾斜角能够由直线上两点的坐标先求斜率而获得．( 四)例题:例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0,-1),求直线AB, BC, CA的斜率,斜角是钝角仍是锐角.( 用计算机作直线,图略)剖析 :已知两点坐标,并且x1≠ x2,由斜率公式代入即可求得k 的值 ;而当 k = tanα<0时,倾斜角α是钝角;而当 k = tanα>0时,倾斜角α是锐角;而当 k = tanα=0时,倾斜角α是0° .并判断它们的倾略解 :直线AB的斜率k1=1/7>0,因此它的倾斜角α是锐角;直线 BC的斜率 k2=-0.5<0,因此它的倾斜角α是钝角;直线 CA的斜率 k3=1>0,因此它的倾斜角α是锐角.例 2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2,及-3的直线 a, b, c, l.剖析 : 要画出经过原点的直线a,只需再找出 a 上的此外一点M. 而 M的坐标能够依据直线 a 的斜率确立 ;或许k=tanα =1是特别值,因此也能够以原点为角的极点,x轴的正半轴为角的一边,在x轴的上方作45°的角 ,再把所作的这一边反向延伸成直线即可.略解 :设直线a上的此外一点M的坐标为 (x,y),依据斜率公式有1=(y－ 0) ／ (x － 0)可令x = 1,因此 x = y则 y = 1,于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点( (M(1,1),可作直线 a.同理 ,可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程五)练习:P91 1. 2. 3. 4.六)小结:)(1)直线的倾斜角和斜率的观点．(2)直线的斜率公式 .(七 ) 课后作业 : P94习题 3.1 1. 3.(八) 板书设计 :。

3.1.1直线的倾斜角和斜率学案学习目标:1.理解直线的倾斜角和斜率的概念．2.掌握过两点的直线的斜率公式． 一、新知探究（一）探究直线的倾斜角确定直线位置的几何要素：_________________倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，__________与________________之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角。

规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，倾斜角为_____。

倾斜角的范围：__________________ (二)探究直线的斜率:斜率的定义：一条直线的倾斜角α的_____值叫做这 条直线的斜率,即课堂练习1：当倾斜角α=30o，45o，60o，120o，135o，150o时，这些直线的斜率分别等于多少？[提示:ααtan )180tan(-=-︒]思考：直线的倾斜角与斜率的关系一般地，已知直线上的两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），且直线P 1P 2与x 轴不垂直，即前进量升高量坡度（比）=升高)90(tan ≠=ααkx 1≠x 2，怎么求直线P 1P 2的斜率k=______________（1）当直线平行于x 轴，或与x 轴重合时，上述公式还适用吗？ （2）当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述公式还适用吗？（3）已知直线上两点),(),,(2211b a B b a A ，运用上述公式计算直线AB 的斜率时，与A 、B 的顺序有关吗？ 二、典例:例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.例 2 在平面直角坐标系中,4321,,,l l l l .（1）三、课堂小结：１．直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角． ２．直线倾斜角的取值范围：３．直线斜率的定义：４．已知直线上两个点，则直线斜率的计算公式：四、基础作业：P89习题3.1 A 组：3，4，5．提升作业： 1、判断正误①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α。

高一数学《3.1.1 倾斜角与斜率》学案一、学习目标1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；2、理解直线的倾斜角和斜率的概念；3、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

二、问题与例题1、导入新课在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节课我们先来探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方法把这些几何要素表示出来.2、新课教学（1）直线的倾斜角问题1：对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些因素确定呢？一点能确定一条直线吗？问题2：过一点可以作无数条直线，这些直线区别在哪里呢？问题3：怎样描述直线的倾斜程度？问题4：根据倾斜角的定义，你认为倾斜角的取值范围是什么？问题5：任何一条直线都有倾斜角吗？已知直线的倾斜角能确定一条直线吗？（2）直线的斜率问题6：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？问题7：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？问题8：给定两点111(,)p x y ，222(,)p x y ，且12x x ，如何求直线1p ，2p 的斜率k ？问题9：当直线1p 2p 与x 轴平行或重合时，上述式子还成立吗，为什么？当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述公式还适用吗，为什么？已知直线上两点12(,)A a a ，12(,)B b b ，运用上述公式计算直线A B 的斜率时，与A ，B 两点坐标的顺序有关吗？（3）倾斜角与斜率的关系问题10：从上面的讨论，你能归纳倾斜角与斜率的关系吗？3、例题例1 已知A (3，2)，B (–4，1)，C (0，–1)，求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角。

变式练习：（1）把题中的B 点坐标改为(-4，2)，此时直线AB 的斜率和倾斜角分别是什么？（2）把B 点坐标改为(3，1)，此时直线AB 的斜率和倾斜角分别是什么？例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–3的直线12l l 和.变式练习：(1)在平面直角坐标系中，画出经过点(-2,3)且斜率为0的直线m.(2)在平面直角坐标系中，画出经过点(-2,3)且斜率不存在的直线n.4、课堂小结（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？它们之间有什么关系？（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？（3）从倾斜角(形)能刻画直线的倾斜程度，到斜率(数)也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？三、目标检测1.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率： （1）30α=。

3.1.1 倾斜角与斜率知识导图学法指导1.倾斜角和斜率都是表示直线方向的几何量，它们分别从“形”和“数”两方面反映直线的倾斜程度．2．求直线斜率的方法有：定义法、公式法等．3．用正切函数(k＝tanα)的图象来掌握倾斜角和斜率之间的关系并熟记．4．由两点坐标计算直线的斜率，为求直线的方程奠定基础．高考导航1.已知直线的倾斜角(斜率)，求直线的斜率(倾斜角)的问题，一般以选择题、填空题的形式出现，分值5分．2．过两点的直线的斜率公式是高考的高频考点，常与其他知识相结合，各种题型均有出现，分值4～6分.知识点一直线的倾斜角1．直线l的倾斜角的概念一个前提：直线l与x轴相交；一个基准：取x轴作为基准；两个方向：x轴正方向与直线l向上方向．2．倾斜角的范围当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为[0°，180°)．1.倾斜角定义中含有三个条件：①x轴正方向；②直线向上的方向；③小于180 °的非负角．2．平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．知识点二直线的斜率1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率．2．记法：斜率常用k表示，即k＝tan_α.3．斜率与倾斜角的对应关系.图示倾斜角α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率0k>0不存在k<04.公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k＝21x2－x1.直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90 °时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．( )(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.( )(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanα.( )(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．[2019·山东省枣庄市校级月考]给出下列结论：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0,1)；⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝22，则α＝45°.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误．④中当α＝0°时，sin α＝0，故④错误，⑤中α有可能为135°，故⑤错误．答案：A3．已知直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为( ) A.33B. 3 C ．1 D.22解析：由题意可知，直线l 的斜率k ＝tan30°＝33. 答案：A4．[2019·泰州校级月考]经过点(0,2)和点(3,0)的直线的斜率为( ) A.23 B.32 C ．－23 D ．－32解析：斜率k ＝0－23－0＝－23.答案：C类型一 求直线的倾斜角例1 求图中各直线的倾斜角．【解析】 (1)如图(1)，可知∠OAB 为直线l 1的倾斜角．易知∠ABO ＝30°，∴∠OAB ＝60°，即直线l1的倾斜角为60°.(2)如图(2)，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB ＝135°，即直线l2的倾斜角为135°.(3)如图(3)，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC ＝150°，即直线l3的倾斜角为150°.求直线的倾斜角，关键是依据平面几何知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的定义及倾斜角的范围．方法归纳根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图；然后根据定义找直线向上的方向与x轴的正方向的夹角，即为直线的倾斜角．画图时一般要分情况讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论时的分类主要有0°、锐角、直角和钝角四类．跟踪训练1 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α.如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )A．α＋45° B．α－135°C．135°－α D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°解析：根据题意，画出图形，如图所示．A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过图形可知：当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°，故选D.答案：D条件中未指明α的范围，画出图形考虑到倾斜角的范围，对α分类讨论．类型二 直线的斜率例2 (1)已知两条直线的倾斜角分别为60°，135°，求这两条直线的斜率； (2)已知A (3,2)，B (－4,1)，C (0，－1)，求直线AB ，BC ，AC 的斜率； (3)求经过两点A (2,3)，B (m,4)的直线的斜率．【解析】 (1)直线的斜率分别为k 1＝tan60°＝3，k 2＝tan135°＝－1； (2)直线AB 的斜率k AB ＝1－2－4－3＝17；直线BC 的斜率k BC ＝－1－10－－4＝－24＝－12；直线AC 的斜率k AC ＝2－－13－0＝33＝1.(3)当m ＝2时，直线AB 的斜率不存在；当m ≠2时，直线AB 的斜率为k AB ＝4－3m －2＝1m －2.1．利用k ＝tan α求斜率．2．当x 1≠x 2时，利用k ＝y 2－y 1x 2－x 1求斜率．方法归纳(1)求直线的斜率通常有两种方法：一是已知直线的倾斜角α(α≠90°)时，可利用斜率的定义，即k ＝tan α求得；二是已知直线所经过的两点的坐标时，可利用过两点的直线的斜率公式计算求得．(2)使用斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1求斜率时，要注意其前提条件是x 1≠x 2，若x 1＝x 2，即两点的横坐标相等时，直线斜率不存在．(3)利用斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，如果两点的横坐标中含有参数，则应讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率．,跟踪训练2 已知坐标平面内△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1,1)，B (1,1)，C (1，－1)，求直线AB ，BC ，AC 的斜率．解析：k AB ＝1－11－－1＝0，k AC ＝－1－11－－1＝－1.∵B ，C 两点的横坐标相等，∴直线BC 的斜率不存在．已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等．类型三 直线的倾斜角、斜率的综合应用例3 已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直接l 过点P (3,3)且与线段MN 相交，试求l 的斜率k 的取值范围．【解析】 过点P 且与线段MN 相交的直线，必在PM 与PN 之间(含直线PM 、PN )． 因为k PN ＝3－－23－－3＝56，k PM ＝3－－33－2＝6，且在过P 点且与线段MN 相交的直线中，不含垂直于x 轴的直线，所以直线l 的斜率k 的取值范围为56≤k ≤6.利用斜率公式找到临界条件，建立等量关系式，然后确定斜率k 的取值范围． 方法归纳已知直线的倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，要注意对倾斜角按锐角和钝角两种情况分别进行分析求解；已知斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时，应对斜率分正值和负值两种情况分别进行分析求解．跟踪训练3 已知经过两点A (5，m )和B (m,8)的直线的斜率大于1，求实数m 的取值范围．解析：由题意得8－m m －5>1，∴8－mm －5－1>0，∴8－m －m ＋5m －5>0，即2m －13m －5<0，∴5<m <132.故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫5，132.直接依据斜率公式建立不等式，然后求解不等式，即可得到所求的结果.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知直线过点A (0,4)和点B (1,2)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－2C ．2D ．不存在解析：由题意可得AB 的斜率为k ＝2－41－0＝－2.答案：B2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( ) A ．(4,1)与(－4，－1) B ．(0,1)与(1,0) C ．(1,4)与(－1,4) D ．(－4,1)与(－4，－1)解析：选项A ，B ，C ，D 中，只有D 选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x 轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．答案：D3．[2019·孝感检测]已知直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．0°≤α＜90°B ．90°≤α＜180°C ．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°解析：直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.答案：C4．直线l 的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l 的斜率为( ) A ．1 B. 3 C.233D ．－ 3 解析：∵tan α＝33，0°≤α<180°， ∴α＝30°，∴2α＝60°， ∴k ＝tan2α＝ 3.故选B. 答案：B5．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4解析：∵k MN ＝m －4－2－m＝1，∴m ＝1.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分) 6．若直线l 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，33，则该直线的倾斜角α的取值范围是________．解析：当0≤k <33时，因为tan0°＝0，tan30°＝33，所以0°≤α<30°. 答案：[0°，30°)7．已知A (2，－3)，B (4,3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，m 2三点在同一条直线上，则实数m 的值为________．解析：因为A 、B 、C 三点在同一条直线上，所以有k AB ＝k AC ，即3－－34－2＝m2－－35－2，解得m ＝12.答案：128．若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．解析：k PQ ＝－1b －00－1a＝ab <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫π2，π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π三、解答题(每小题10分，共20分)9．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A (2,3)，B (4,5)； (2)C (－2,3)，D (2，－1)； (3)P (－3,1)，Q (－3,10)．解析：(1)存在．直线AB 的斜率k AB ＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.(2) 存在．直线CD 的斜率k CD ＝－1－32－－2＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角α＝90°.10．如图，直线l 2的倾斜角α2＝120°，直线l 1的倾斜角为α1，直线l 1⊥l 2，求直线l 1的斜率．解析：由平面几何知识可得α2＝α1＋90°， 所以α1＝α2－90°＝120°－90°＝30°， 所以直线l 1的斜率为k ＝tan30°＝33. [能力提升](20分钟，40分)11．给出下列说法：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α＜180°；②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：显然①②③正确，④错误． 答案：C12．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围为________．解析：因为直线的倾斜角为钝角，所以1－a ≠3，即a ≠－2.且1＋a －2a1－a －3<0，整理得a －1a ＋2<0，①当a ＋2>0时，a －1<0. 解得－2<a <1.②当a ＋2<0时，a －1>0，此时无解． 综上可得－2<a <1. 答案：(－2,1)13．已知直线l 的倾斜角α的取值范围为45°≤α≤135°，求直线l 的斜率的取值范围．解析：当α＝90°时，l 的斜率不存在； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k . 当45°≤α＜90°时，k ＝tan α∈[1，＋∞)； 当90°＜α≤135°时，k ＝tan α∈(－∞，－1]． ∴斜率k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．14．求证：A (1，－1)，B (－2，－7)，C (0，－3)三点共线． 解析：∵A (1，－1)，B (－2，－7)，C (0，－3)， ∴k AB ＝－7－－1－2－1＝2，k AC ＝－3－－10－1＝2.∴k AB ＝k AC .∵直线AB 与直线AC 的斜率相同且过同一点A ， ∴直线AB 与直线AC 为同一直线． 故A ，B ，C 三点共线.。

§3.1.1倾斜角与斜率学习目标：1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．2.理解直线的倾斜角的唯一性.3.理解直线的斜率的存在性.4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式． 学习重点：直线的倾斜角、斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程。

学习难点: 直线的倾斜角与斜率之间的关系. 一、自主探究：探究（一）直线的倾斜角请同学们在右下平面直角坐标系中过原点O 任作一直线，并与其他同学所作直线相比较，思考:1不同的直线其倾斜角一定不相同吗？（阅读82页上）2已知直线的倾斜角能确定直线的位置吗？3确定直线位置的要素有______________________ 探究(二)直线的斜率:思考2:初中学过的“坡度（比）”是什么含义？它与这条直线的倾斜角之间有什么关系？它能否表示直线的倾斜程度？ 坡度（比）= ，斜率k=__________，右边两图哪个 坡度（比）较大 ，思考3：:当倾斜角α=0o ，30o ，45o ，60o时，这条直线的斜率分别等于 。

思考4：:当α是锐角时，有tan （180o -α）=－tan α. 那么当倾斜角α=120o ，135o ，150o时，这条直线的斜率分别等于 。

试一试 判断正误： ①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α， （ ） ②任一条直线都有倾斜角，也都有斜率， ( ) ③因为平行于y 轴的直线的斜率不存在，所以平行于y 轴的直线的倾斜角不存在， ( ) ④两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等， ( )探究(三)由直线上两点的坐标计算直线的斜率 思考7:一般地，已知直线上的两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），且直线P 1P 2与x 轴不垂直，即x 1≠x 2，直线P 1P 2的斜率是多少？ （观察课本84页图）思考8：课本85页思考一 思考9：课本85页思考二练一练：求经过下列两点直线的斜率。

1、 A （2，1），B （3，1），k= 。

高一数学《3.1 直线的倾斜角和斜率》学案 年级： 186 班次： 姓名： 学号： 学科长签名：一、学习目标（1）掌握倾斜角的概念思考题1：例1：下列三个图中所指的角是不是直线的倾斜角？2．理解倾斜角与斜率之间的关系思考题2：求过点()()()R m m N M ∈-2,11,0 的直线的倾斜角的范围.3．会求任意直线的斜率思考题3：求过下列两点的直线的斜率k(1)A(a,b)、B(ma,mb)(m≠1,a≠0);(2)P(2,1)、Q(m,2).二、问题与例题/思考/讨论/探究问题1 如图4，在平面直角坐标系内，你认为直线l 的位置由哪些条件确定？问题2 在直角坐标系中，任何一条直线都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来表示这个倾斜程度呢？问题3 依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？问题4 任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？问题5 确定了点P 1和角α后，P 2点位置的改变不会影响直线的位置，也即角α的大小不会改变，这种变化规律类似我们已学过的什么内容？问题6 是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？可以用斜率表示直线的倾斜程度吗？问题7 两点确定一条直线，就是说，任给直线上两点P1(x1,y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2），那么这条直线唯一确定（如图9、10所示），进而它的倾斜角与斜率也就确定了，这说明直线的斜率与这两点的坐标有内在联系．那么这种联系是什么呢？问题8：当直线与坐标轴平行或重合时（如图11、图12所示）,上述结论还成立吗?例题：例1：画出过点A(1,0) 倾斜角为300的直线L,将其绕A点逆时针旋转800所得直线m的倾斜角_____ 绕A点顺时针旋转400所得直线n的倾斜角_______绕A点逆时针旋转1600所得直线a的倾斜角_______例2：如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。