二次函数知识点总结和题型总结(1)

二次函数知识点总结和题型总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地,形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函

数,叫做二次函数。

这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式

2. 二次函数2yaxbxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

⑵ abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

例题:

例1、已知函数y=(m－1)xm2 +1+5x－3是二次函数,求m的值。

练习、若函数y=（m2+2m－7）x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围

为 .

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式:2yax的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.

2. 2yaxc的性质：

上加下减。

3. 2yaxh的性质：

左加右减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 00， y轴 0x时，y随x的增大而增大;0x时，y随x的增大而减小；0x时,y有最小值0．

0a 向下 00， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时,y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 0c， y轴 0x时，y随x的增大而增大;0x时，y随x的增大而减小;0x时，y有最小值c．

0a 向下 0c， y轴 0x时，y随x的增大而减小;0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 0h， X=h xh时,y随x的增大而增大；xh时，4。 2yaxhk的性质:

二次函数的对称轴、顶点、最值

(技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k;如果解析式为一般式y=ax2+bx+c则最值为4ac-b24a ）

1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为 。

2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1,3），则b＝ ,c＝ .

3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D。第四象限

4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0），则抛物线顶点到坐标原点的距离为（ )

A。13 B.10 C.15 D.14 y随x的增大而减小;xh时,y有最小值0．

0a 向下 0h， X=h xh时,y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a 向上 hk， X=h xh时,y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．

0a 向下 hk， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k． 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ）

A.开口向上,对称轴是y轴 B.开口向下,对称轴是y轴

C.开口向下,对称轴平行于y轴 D.开口向上,对称轴平行于y轴

6．已知二次函数y=mx2+（m－1）x+m－1有最小值为0,则m＝ 。

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤:

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；

⑵ 保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：

2。 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移,负左移；k值正上移,负下移"．

概括成八个字“左加右减，上加下减"．

方法二：

⑴cbxaxy2沿y轴平移：向上(下）平移m个单位，cbxaxy2变成 向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2mcbxaxy2（或mcbxaxy2)

⑵cbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移m个单位,cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）

函数y=ax2+bx+c的图象和性质例题：

1．抛物线y=x2+4x+9的对称轴是 。

2．抛物线y=2x2－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。

3．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

（1）y=错误!x2－2x+1 ； （2）y=－3x2+8x－2； (3）y=－错误!x2+x－4

4、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位,所得

图象的解析式是y=x2－3x+5，试求b、c的值。

5、把抛物线y=－2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,

问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

四、二次函数2yaxhk与2yaxbxc的比较

从解析式上看，2yaxhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,即22424bacbyaxaa,其中2424bacbhkaa，． 五、二次函数2yaxbxc图象的画法

五点绘图法:利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()yaxhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10x，，20x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点。

六、二次函数2yaxbxc的性质

1。 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．

当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y有最小值244acba．

2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时,y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba．

例题：函数y=a（x－h）2的图象与性质

1．填表：

抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标

223xy

2321xy

2．试说明函数y=错误!（x－3)2 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增

减性、最值）。

3．二次函数y=a（x－h）2的图象如图:已知a = 错误!，OA＝OC，试求该抛物线的解

析式。

二次函数的增减性

1.二次函数y=3x2－6x+5，当x〉1时，y随x的增大而 ;当x〈1时，y

随x的增大而 ；当x=1时,函数有最 值是 .

2.已知函数y=4x2－mx+5，当x〉 －2时，y随x的增大而增大;当x〈 －2时，y

随x的增大而减少；则x＝1时,y的值为 。

3.已知二次函数y=x2－（m+1）x+1,当x≥1时,y随x的增大而增大，则m的取值范围是 。

4.已知二次函数y=－12 x2+3x+错误!的图象上有三点A（x1,y1)，B（x2,y2)，C（x3，y3)且3〈x1〈x2〈x3，则y1,y2，y3的大小关系为 。

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：2yaxbxc（a，b,c为常数，0a）；

2。 顶点式：2()yaxhk(a，h,k为常数，0a）；

3。 两根式：12()()yaxxxx(0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标)。

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1。 二次项系数a

二次函数2yaxbxc中,a作为二次项系数，显然0a．

⑴ 当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大;

⑵ 当0a时,抛物线开口向下，a的值越小，开口越小,反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．

2。 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．

⑴ 在0a的前提下,

当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧;

当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；

当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧．

⑵ 在0a的前提下,结论刚好与上述相反，即 当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；

当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；

当0b时，02ba,即抛物线对称轴在y轴的左侧．

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

ab的符号的判定：对称轴abx2在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就是“左同右异"

总结：

3。 常数项c

⑴ 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

⑶ 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．

总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置．

总之，只要abc，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

例题：函数的图象特征与a、b、c的关系

1。已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示,则a、b、c的符号为（ ）

A.a>0,b>0，c〉0 B。a〉0，b>0，c=0

C。a>0,b〈0，c=0 D。a>0，b〈0,c〈0