二次函数知识点总结和典型例题

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专业技术 知识共享 二次函数知识点总结及典型例题

一、二次函数的概念和图像

1、二次函数的概念

一般地，如果)0,,(2acbacbxaxy是常数，，那么y叫做x 的二次函数。

)0,,(2acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法---五点法：

二、二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：)0,,(2acbacbxaxy是常数，

（2）顶点式：)0,,()(2akhakhxay是常数，

（3）当抛物线cbxaxy2与x轴有交点时，即对应二次好方程02cbxax有实根1x和2x存在时，根据二次三项式的分解因式))((212xxxxacbxax，二次函数cbxaxy2可转化为两根式))((21xxxxay。如果没有交点，则不能这样表示。

三、抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线

abx2，故：①0b时，对称轴为y轴所在直线；②0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置. WORD格式 可编辑

专业技术 知识共享 当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）：

①0c，抛物线经过原点; ②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0ab.

四、二次函数的性质

1、二次函数的性质

函数 二次函数

)0,,(2acbacbxaxy是常数，

图像 a>0 a<0

y

0 x

y

0 x

性质 （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；

（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是

（ab2，abac442）；

（3）在对称轴的左侧，即当xab2时，y随x的增大而增大，简记左减右增；

（4）抛物线有最低点，当x=ab2时，

y有最小值，abacy442最小值 （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；

（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是

（ab2，abac442）；

（3）在对称轴的左侧，即当x

而增大；在对称轴的右侧，即当x>ab2时，y随x

的增大而减小，简记左增右减；

（4）抛物线有最高点，当x=ab2时，

y有最大值，abacy442最大值 WORD格式 可编辑

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五、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的ac4b2，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

当>0时，图像与x轴有两个交点；

当=0时，图像与x轴有一个交点；

当<0时，图像与x轴没有交点。

补充： 函数平移规律：左加右减、上加下减

六、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx2时，abacy442最值。

如果自变量的取值范围是21xxx，那么，首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内，若在此范围内，则当x=ab2时，abacy442最值；

若不在此范围内，则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性，

如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当2xx时，cbxaxy222最大，当1xx时，cbxaxy121最小；

如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，cbxaxy222最小。

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典型例题

1. 已知函数22113513xxyxx≤＞，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

2. 如图为抛物线2yaxbxc的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是 （ ）

A．a＋b=－1 B． a－b=－1 C． b<2a D． ac<0

3. 二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则反比例函数ayx与一次函数ybxc在同一坐标系中的大致图象是（ ）.

4. 如图，已知二次函数cbxxy2的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是 ．

5. 在平面直角坐标系中，将抛物线223yxx绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）．

A．2(1)2yx B．2(1)4yx

C．2(1)2yx D．2(1)4yx

6. 已知二次函数cbxaxy2的图像如图，其对称轴1x，给出下列结果xy O11（1,-2） cbxxy2-1 WORD格式 可编辑

专业技术 知识共享 ①acb42②0abc③02ba④0cba⑤0cba，则正确的结论是（ ）

A ①②③④ B ②④⑤ C ②③④ D ①④⑤

7．抛物线2yaxbxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x … －2 －1 0 1 2 …

y … 0 4 6 6 4 …

从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）

①抛物线与x轴的一个交点为（3,0）； ②函数2yaxbxc的最大值为6；

③抛物线的对称轴是12x； ④在对称轴左侧，y随x增大而增大．

8. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA．

(1)求△OAB的面积；

(2)若抛物线22yxxc经过点A．

①求c的值；

②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）．

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9．已知二次函数y=14 x 2+ 32 x的图像如图．

（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；

（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；

（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．

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10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB＝10，以AB为直径的⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC.CD是⊙O′的切线，AD⊥CD于点D，tan∠CAD＝21，抛物线cbxaxy2过A，B，C三点.

（1）求证：∠CAD＝∠CAB；

（2）①求抛物线的解析式；

②判定抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；

（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形.若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.

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11. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD= 90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1，0），B( -1，2)，D( 3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N．

（1）求抛物线的解析式

（2）抛物线上是否存在点P．使得PA= PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由。

（3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q在什么位置时有QEQC最大？并求出最大值。

A B C

D O E N M

x y

图