二次函数知识点总结及相关典型题目

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二次函数知识点总结及相关典型题目

一．基础知识

1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数2axy的性质

（1）抛物线2axy的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

（2）函数2axy的图像与a的符号关系.

①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2axy）（0a.

3.二次函数 cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

4.二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，

其中abackabh4422，.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，

对称轴是直线abx2.

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

9.抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线

abx2，故：①0b时，对称轴为y轴；②0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.

当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）：

①0c，抛物线经过原点; ②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0ab.

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标

2axy

当0a时

开口向上

当0a时

开口向下 0x（y轴） （0,0）

kaxy2 0x（y轴） (0, k)

2hxay hx (h,0)

khxay2 hx (h,k)

cbxaxy2

abx2 (abacab4422，)

11．a,b,c, b2-4ac,a+b+c,a-b+c等符号的确定

12．二次函数值恒正或恒负的条件：

恒正的条件：a＜0且0；恒负的条件：a＞0且0。

13．抛物线的平移规律：①在顶点式的基础上---“左加右减，上加下减”。

②在一般式的基础上---

14．两抛物线关于坐标轴对称的条件：

抛物线khxay2关于x轴对称的解析式：

抛物线khxay2关于x轴对称的解析式：

15.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.

16．二次函数的最值问题

(1)公式法:y=ax2+bx+c中,当a>0时,x=___________,y最小=___________;当a<0时,x=___________,

y最大=___________.

(2)配方法:y=a(x-h)2+k,若a>0,当x=___________,y最小=___________;若a<0,当x=___________,

y最大=___________.

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y

x 1 O

－1

O 17.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0, c).

（2）与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).

（3）抛物线与x轴的交点

二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；

③没有交点0抛物线与x轴相离.

（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.

（5）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组 cbxaxynkxy2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，，，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故

acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121

二．典型题目

一、选择题

1．抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点的个数有( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

2．二次函数y=(x-1)2+2的最小值是( )

A.-2 B.2 C.-1 D.1

3．用配方法将二次函数y=3x2-4x-2写成形如y=a(x+m)2+n的形式,则m,n的值分别是( )

A.m=32,n=310 B.m=-32,n=-310 C.m=2,n=6 D.m=2,n=-2

4．关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5．抛物线1)2(212xy可由抛物线221xy（ ）而得到。

A．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位；

B．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位；

C．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位；

D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位。

6．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如右上图所示，给出以下结论：① a+b+c<0；②a-b+c<0；③b+2a<0；④abc>0；⑤042acb其中所有正确结论的序号是（ ）

A．②③④ B．②③⑤ C．①④⑤ D．①②③

7．①(0);ykxkk为常数，② (,0);ykxbkbk为常数，

③ (0);kykkx为常数，④ 2(0);yaxaa为常数，

其中，函数y的值随着x值得增大而减少的是（ ）

A．① B、② C、③ D、④

8．已知抛物线2yxbxc的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．0c；

B．若y＝0，则2yxbxc与x轴的交点是（－1，0），（3，0）；

C．y随x的增大而减小的自变量x的范围是：x＞1；

D．若y0，则x的取值范围是：x＜－1或 x＞3

9．小明、小亮、小梅、小花四人共同探讨代数式x2－4x+5的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找其值为1时的x的值，小亮负责找其值为0时的x的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ）

A．小明认为只有当x=2时，x2－4x+5的值为1

B．小亮认为找不到实数x，使x2－4x+5的值为0

C．小梅发现x2－4x+5的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值

D．小花发现当x取大于2的实数时，x2－4x+5的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值

10.抛物线)2(22mmxxy的顶点坐标在第三象限，则m的值为（ ）

A．21mm或 B．10mm或 C．01m D．1m ．

11．已知二次函数y=3(x-1)2+k的图象上有A(2,y1)、B(2,y2)、C(-5,y3)三个点,则y1、y2、y3的大小关系为( )

A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1

12．由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:“已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点(1,0)……求证:这个二次函数的图象关于直线x=2对称.”根据现有信息,题中的二次函数图象不具有的性质是( )

A.过点(3,0) B.顶点为(2,-2)

C.在x轴上截得的线段长是2 D.与y轴的交点是(0,3)

13．如图函数y=ax2-bx+c的图象过点(-1,0),

则bacacbcba的值是 ( )

A.-3 B.3 C.-1 D.1