高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1(
- 格式：doc
- 大小：490.50 KB
- 文档页数：11
2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1
1 2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1的全部内容。
2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1
2 3。1.3 空间向量的数量积运算
1。掌握空间向量的夹角与长度的概念。
2。掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.(重点）
3.能用向量的数量积解决立体几何问题。（难点）
[基础·初探］
教材整理1 空间向量的夹角
阅读教材P90第1~3自然段内容，完成下列问题.
1。夹角的定义
图3。1。14
已知两个非零向量a,b，在空间任取一点O,作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB叫做向量a,b的夹角，记作
2。夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π］。特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝________时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝π2时，两向量________，记作________.
【答案】 π 垂直 a⊥b
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1)〈a，b>与（a，b）都表示直角坐标系下的点.（ ）
（2）在△ABC中，〈错误!，错误!>＝∠B。（ ）
(3）在正方体ABCD。A′B′C′D′中,错误!与错误!的夹角为45°.( ） 2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1
3 【答案】 (1）× (2)× （3)√
教材整理2 空间向量的数量积及其性质
阅读教材P90第4自然段～“思考”以上部分内容，完成下列问题。
1。已知两个非零向量a，b，则________叫做a，b的数量积,记作________。规定：零向量与任何向量的数量积为________,即0·a＝________。
【答案】 ｜a|｜b｜cos〈a，b〉 a·b 0 0
2.空间向量数量积满足下列运算律:
（1）（λa)·b＝λ(a·b)；
(2）交换律：a·b＝b·a;
（3）分配律：a·(b＋c)＝________。
【答案】 a·b＋a·c
3.空间向量数量积的性质：
两个向量数量积的性质 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0
若a与b同向，则a·b＝｜a｜·|b|；
若反向，则a·b＝－|a|·｜b｜。
特别地:a·a＝|a|2或|a|＝错误!.
若θ为a，b的夹角,则cos θ＝错误!
｜a·b|≤|a|·|b|
下列式子中正确的是( ）
A。｜a|a＝a2 B.（a·b)2＝a2b2
C.a(a·b)＝b·a2 D.|a·b｜≤｜a||b|
【解析】 根据数量积的定义知，A，B,C均不正确.故选D。
【答案】 D
[小组合作型］
空间向量数量积的运2018版高中数学
第三章
空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1
4 算
如图31.15所示,在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：
图3.115
（1）错误!·错误!;
（2）错误!·错误!;
（3)错误!·错误!.
【精彩点拨】 第（1)、(2）两问利用错误!＝错误!错误!进行转化求解;
第(3)问利用错误!＝错误!－错误!进行转化求解.
【自主解答】 （1）错误!·错误!＝错误!错误!·错误!
＝错误!｜错误!|｜错误!|cos
＝12cos 60°＝错误!。
(2)错误!·错误!＝错误!错误!·错误!＝错误!|错误!｜2＝错误!.
（3)错误!·错误!＝错误!·（错误!－错误!)
＝错误!·错误!－错误!·错误!
＝｜AB，→｜|错误!|cos〈错误!,错误!>－|错误!|｜错误!｜cos〈错误!，错误!〉＝cos 60°－cos 60°＝0。
在几何体中求空间向量的数量积的步骤
1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式。
2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.
3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模。
4代入公式a·b＝｜a||b|cos求解.
[再练一题] 2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1
5 1。已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则错误!·错误!＝________。
【解析】 错误!·错误!＝错误!·错误!错误!
＝错误!错误!·错误!＋错误!错误!·错误!＝错误!a2cos 60°＝错误!a2.
【答案】 错误!a2
利用数量积证明空间的垂直关系
已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA,BC的中点，G是MN的中点，求证:OG⊥BC.
【精彩点拨】 (1）你能用错误!，错误!,错误!分别表示向量错误!与错误!吗?
(2)如何用向量证明错误!⊥错误!?
【自主解答】 连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，
则|a|＝｜b|＝|c｜.
又错误!＝错误!(错误!＋错误!）
＝错误!错误!
＝错误!(a＋b＋c），错误!＝c－b。
∴错误!·错误!＝错误!（a＋b＋c)·（c－b)
＝错误!（a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c）
＝14(｜a|2·cos θ－|a｜2·cos θ－|a|2＋|a|2）＝0.
∴错误!⊥错误!，即OG⊥BC。
用向量法证明垂直关系的步骤
1把几何问题转化为向量问题。
2用已知向量表示所证向量。，
3结合数量积公式和运算律证明数量积为0. 2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1
6 4将向量问题回归到几何问题.
［再练一题]
2。如图3。1.16，已知正方体ABCD.A′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O,连接AO，求证：
图31。16
（1)AO⊥CD′；
（2)AC′⊥平面B′CD′.
【证明】 (1）因为错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!（错误!＋错误!），
因为错误!＝错误!－错误!，
所以错误!·错误!＝错误!（错误!＋错误!＋2错误!)·（错误!－错误!）＝错误!(错误!·错误!－错误!·错误!＋错误!·错误!－错误!·错误!＋2错误!·错误!－2错误!·错误!）＝错误!(｜错误!｜2－｜DC，→｜2）＝0,所以错误!⊥错误!,故AO⊥CD′.
（2）因为错误!·错误!＝(错误!＋错误!＋错误!）·（错误!＋错误!)
＝错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!，
可知错误!·错误!＝0，错误!·错误!＝0，
错误!·错误!＝0，错误!·错误!＝｜错误!｜2,
错误!·错误!＝－｜错误!｜2，错误!·错误!＝0，
所以AC′→·错误!＝|错误!|2－｜错误!|2＝0，
所以错误!⊥错误!，所以AC′⊥B′C。
同理可证，AC′⊥B′D′.
又B′C，B′D′⊂平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，所以AC′⊥平面B′CD′.
利用数量积求夹角
如图3.1.17，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求错误!1与错误!夹角的大小。 2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1
7
图3.1。17
【精彩点拨】 (1)怎样用向量错误!，错误!，错误!1表示向量错误!1与错误!？
（2）求两向量的夹角公式是怎样的？
【自主解答】 不妨设正方体的棱长为1，
错误!1·错误!＝（错误!＋错误!1)·(错误!＋错误!）
＝（错误!＋错误!1)·（错误!＋错误!)
＝错误!·错误!＋错误!2＋错误!1·错误!＋错误!1·错误!
＝0＋错误!2＋0＋0＝错误!2＝1，
又∵｜BC，→1｜＝错误!，｜错误!|＝错误!，
∴cos 〈错误!，错误!〉＝错误!＝错误!＝错误!。
∵0°≤
∴〈错误!1，错误!〉＝60°。
∴错误!1与错误!夹角的大小为60 °.
1.由于向量的夹角的取值范围为［0,π］,而异面直线所成的角的取值范围为错误!,因此利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度之间的关系.当〈a，b〉∈ 错误!时,它们相等;而当〈a,b>∈ 错误!时，它们互补.
2。利用数量积求异面直线所成角θ的余弦值的步骤：
（1)取向量；
（2)求向量夹角余弦cos 〈a,b〉；
(3)定结果cos θ＝｜cos
［再练一题］
3.如图3。1.18，已知直三棱柱ABC.A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D,E分别为AB，BB′的中点.
