高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算学案新人教A版选修2-1(2021年

（浙江专版）2018-2019高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1

1 / 161 （浙江专版）2018-2019高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1

编辑整理：

尊敬的读者朋友们：

这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2018-2019高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为（浙江专版）2018-2019高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1的全部内容。

（浙江专版）2018-2019高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1

2 / 162 3.1。3 空间向量的数量积运算

学习目标 1。了解空间向量夹角的概念及表示方法。2。掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律。3.掌握两个向量的数量积在判断向量共线与垂直中的应用．

知识点一 空间向量的夹角

思考 〈a，b〉与

答案 〈a，b〉与相等．

梳理 (1）如图所示,已知两个非零向量a，b,在空间任取一点O,作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．

（2)a，b为非零向量，〈a，b>＝〈b，a>，a与b的夹角的范围是［0，π]，其中当〈a，b>＝0时，a与b方向相同；当＝错误!时，a与b互相垂直．反之，若a∥b，则〈a，b>＝0或π；若a⊥b,则〈a，b>＝错误!。

知识点二 数量积的概念及运算律

1．已知两个非零向量a,b，则|a|｜b｜cos〈a，b>叫做a,b的数

量积，记作a·b，即a·b＝|a｜|b|cos

2．空间向量数量积的性质

(1)a⊥b⇔a·b＝0。

（2)|a|2＝a·a,|a｜＝a·a。

(3）cos〈a，b〉＝错误!。

3．空间向量数量积的运算律

（1）（λa）·b＝λ（a·b)．

(2)a·b＝b·a(交换律）．

(3）a·（b＋c)＝a·b＋a·c(分配律）． （浙江专版）2018-2019高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1

3 / 163 特别提醒:不满足结合律（a·b)·c＝a·（b·c）．

(1)对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(×）

（2）对于向量a，b,c，有（a·b)·c＝a·(b·c)．（×）

（3）若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a|｜b｜。（√）

(4）对任意向量a,b，满足｜a·b｜≤|a||b｜.(√）

类型一 数量积的计算

例1 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是AB，AD的中点,求：

（1）错误!·错误!；

(2)错误!·错误!;

(3)错误!·错误!；

（4)错误!·错误!.

考点 空间向量数量积的概念及性质

题点 用定义求数量积

解 （1)错误!·错误!＝错误!错误!·错误!

＝错误!|错误!||错误!｜·cos〈错误!，错误!〉

＝错误!cos 60°＝错误!。

（2）错误!·错误!＝错误!错误!·错误!＝错误!|错误!|2＝错误!.

(3)错误!·错误!＝错误!错误!·错误!

＝错误!｜错误!|·｜错误!｜cos〈错误!，错误!>

＝错误!cos 120°＝－错误!.

（4）错误!·错误!＝错误!·(错误!－错误!)

＝错误!·错误!－错误!·错误!

＝|错误!|｜错误!｜cos〈错误!,错误!〉－|错误!||错误!｜cos

＝cos 60°－cos 60°＝0。

反思与感悟 （1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算． （浙江专版）2018-2019高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1

4 / 164 （2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．

跟踪训练1 已知长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝AA1＝2，AD＝4,E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算:

(1)错误!·错误!；(2）错误!·错误!;(3）错误!·错误!。

考点 空间向量数量积的概念及性质

题点 用定义求数量积

解 如图，设错误!＝a，错误!＝b,

错误!＝c,则｜a|＝｜c｜＝2，｜b|＝4，

a·b＝b·c＝c·a＝0.

（1）错误!·错误!

＝b·错误!＝|b｜2＝42＝16。

（2）错误!·错误!＝错误!·（a＋c)＝｜c｜2－｜a｜2

＝22－22＝0。

(3)错误!·错误!＝错误!·错误!

＝错误!（－a＋b＋c)·错误!＝－错误!|a|2＋错误!|b|2＝2。

类型二 利用数量积证明垂直问题

例2 (1)已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD,AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系

为_______．（填“平行”或“垂直”)

考点 空间向量数量积的应用

题点 数量积的综合应用

答案 垂直

解析 ∵错误!·错误!＝(错误!＋错误!)·(错误!－错误!）

＝错误!·错误!＋错误!·错误!－错误!2－错误!·错误!

＝错误!·（错误!－错误!－错误!)＝错误!·错误!＝0，

∴AD与BC垂直．

(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O（浙江专版）2018-2019高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1

5 / 165 ⊥平面GBD.

考点 空间向量数量积的应用

题点 数量积的综合应用

证明 设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，

则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝｜c｜。

∵错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!(错误!＋错误!）

＝c＋错误!a＋错误!b，

错误!＝错误!－错误!＝b－a，

OG，→＝错误!＋错误!＝错误!（错误!＋错误!)＋错误!错误!

＝12a＋12b－错误!c

∴错误!·错误!＝错误!·(b－a）

＝c·b－c·a＋错误!a·b－错误!a2＋错误!b2－错误!b·a

＝错误!（b2－a2）

＝错误!（|b｜2－|a｜2）＝0。

于是错误!⊥错误!，即A1O⊥BD。

同理可证错误!⊥错误!，即A1O⊥OG。

又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面CBD，

∴A1O⊥平面GBD。

反思与感悟 (1)证明线线垂直的方法

证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．

（2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法

先用向量a，b，c表示向量m,n，再判断向量m，n的数量积是否为0.

跟踪训练2 如图，在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证:OA⊥BC.

考点 空间向量数量积的应用

题点 数量积的综合应用

证明 因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，

所以△OAC≌△OAB, （浙江专版）2018-2019高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修2-1

6 / 166 所以∠AOC＝∠AOB。

又错误!·错误!＝错误!·(错误!－错误!）＝错误!·错误!－错误!·错误!

＝|错误!｜·|错误!｜cos∠AOC－｜错误!｜·｜错误!｜cos∠AOB＝0,

所以错误!⊥错误!，即OA⊥BC.

类型三 利用数量积解决空间角或距离问题

命题角度1 解决角度问题

例3 在空间四边形OABC中，连接AC,OB，OA＝8，AB＝6,AC＝4，BC＝5,∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量错误!与错误!所成角的余弦值．

考点 空间向量数量积的应用

题点 利用数量积求角

解 ∵错误!＝错误!－错误!,

∴错误!·错误!＝错误!·错误!－错误!·错误!

＝|错误!||错误!|·cos〈错误!,错误!>－｜错误!｜｜错误!|·cos〈错误!，错误!〉

＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16错误!，

∴cos〈错误!,错误!〉＝错误!

＝错误!＝错误!。

反思与感悟 求两个空间向量a，b夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cos〈a，b〉＝错误!，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题．

跟踪训练3 如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．

考点 空间向量数量积的应用

题点 利用数量积求解

解 不妨设正方体的棱长为1，

设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c,

则｜a｜＝｜b｜＝|c｜＝1，

a·b＝b·c＝c·a＝0,

错误!＝a－c，错误!＝a＋b。

∴错误!·错误!＝(a－c)·(a＋b)