高中数学第三章 3.1.2空间向量的数乘运算学案含解析新人教A版选修2_1
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3.1.2 空间向量的数乘运算
内 容 标 准 学 科 素 养
1.掌握空间向量数乘运算的定义及运算律．
2.理解向量共线、向量共面的定义．
3.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面. 提升逻辑推理
发展直观想象
授课提示：对应学生用书第54页
[基础认识]
知识点一 空间向量的数乘运算
预习教材P86－87，思考并完成以下问题
平面向量的数乘运算是什么？满足哪些运算律？
提示：(1)实数λ和向量a的乘积仍是一个向量．
(2)|λa|＝|λ||a|.
(3)λa的方向．
当λ>0时，λa的方向与a方向相同；
当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．
(4)数乘运算的运算律
λ(μa)＝(λμ)a；
λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识梳理 空间向量的数乘运算
(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
(2)向量a与λa的关系
λ的范围 方向关系 模的关系
λ>0 方向相同
λa的模是a的模的|λ|倍 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
λ<0 方向相反
(3)空间向量的数乘运算律
若λ，μ是实数，a，b是空间向量，则有 ①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；(λ＋μ)a＝λa＋μa；
②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
知识点二 共线向量与共面向量
思考并完成以下问题
(1)在学习平面向量时，共线向量是怎样定义的？如何规定0与任何向量的关系？
提示：方向相同或相反的两向量称为共线向量；0与任何向量是共线向量．
(2)对空间任意两个向量a与b，如果a＝λb，a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，a＝λb?
提示：类似于平面向量共线的充要条件，对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb(b≠0)．
(3)对空间任意两个不共线的向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb?
提示：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
知识梳理 共线向量与共面向量
共线(平行)向量 共面向量
定义 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一平面的向量叫做共面向量
充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb 若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
推论 如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP→＝OA→＋ta①，其中a叫做直线l的方向向量，如图所示．
若在l上取AB→＝a，则①式可化为OP→＝OA→＋tAB→
如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任意一点O来说，有OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→
[自我检测]
1．已知空间四边形ABCD，M，G分别是BC，CD的中点，连接AM，AG，MG，则AB→＋12(BD→＋BC→)等于( )
A.AG→ B.CG→
C.BC→ D.12BC→
答案：A
2．满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是( )
A.AB→＋BC→＝AC→ B.AB→－BC→＝AC→
C.AB→＝BC→ D．|AB→|＝|BC→|
答案：C
3．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是( )
A．共面向量
B．共线向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面的向量
答案：A
授课提示：对应学生用书第55页
探究一 空间向量的数乘运算
[教材P89练习2]如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，点E，F分别是上底面A′C′和侧面CD′的中心．求下列各式中x，y的值：
(1)AC′→＝x(AB→＋BC→＋CC′→)；
(2)AE→＝AA′→＋xAB→＋yAD→； (3)AF→＝AD→＋xAB→＋yAA′→.
解析：(1)在正方体中，AC′→＝AB→＋BC→＋CC′→，
∴x＝1.
(2)AE→＝AA′→＋12A′C′＝AA′→＋12AC→＝AA′→＋12(AB→＋AD→)
∴x＝y＝12.
(3)AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋12DC′→＝AD→＋12(DD′→＋DC→)
＝AD→＋12AA′→＋12AB→，
∴x＝y＝12.
[例1] 已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外的一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值．
(1)OQ→＝PQ→＋xPC→＋yPA→；
(2)PA→＝xPO→＋yPQ→＋PD→.
[解析] (1)如图所示，OQ→＝PQ→＋OP→，由向量加法的平行四边形法则可得PO→＝12(PC→＋PA→)，
∴OP→＝－12PC→－12PA→，
∴OQ→＝PQ→＋OP→
＝PQ→－12PC→－12PA→.
∴x＝－12，y＝－12.
(2)∵PA→＝PD→＋DA→＝PD→＋2QO→
＝PD→＋2(PO→－PQ→)＝PD→＋2PO→－2PQ→.
∴x＝2，y＝－2.
方法技巧 1.对向量进行分解或对向量表达式进行化简时，要准确运用空间向量加法、减法的运算法则，要熟悉数乘向量运算的几何意义，同时还要注意将相关向量向选定的向量进行转化．
2．在△ABC中，若D为BC边的中点，则AD→＝12(AB→＋AC→)，这一结论可视为向量形式的中点公式，应用非常广泛，应熟练掌握．
跟踪探究
1.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：A1O→－12AB→－12AD→；
(2)设E是棱DD1上的点，且DE→＝23DD1→，若EO→＝xAB→＋yAD→＋zAA1→，试求实数x，y，z的值．
解析：(1)A1O→－12(AB→＋AD→)
＝A1O→－AO→＝A1A→.
(2)EO→＝AO→－AE→＝12(AB→＋AD→)－AD→－23AA1→
＝12AB→－12AD→－23AA1→，
所以x＝12，y＝－12，z＝－23.
探究二 空间共线向量定理及其应用
[教材P99习题3.1B组2题改编]如图，已知空间四边形OABC中，OA＝OB，CA＝CB，点E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵E，F，G，H分别为OA，OB，BC，CA的中点，
∴OE→＝12OA→，OF→＝12OB→，CG→＝12CB→，CH→＝12CA→.
∵AB→＝OB→－OA→＝2OF→－2OE→
＝2(OF→－OE→)＝2EF→，
∴AB∥EF，且|AB→|＝2|EF→|.
同理HG∥AB，且|AB→|＝2|HG→|， ∴四边形EFGH是平行四边形．
[例2] 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且A1E→＝2ED1→，点F在对角线A1C上，且A1F→＝23FC→.求证：E，F，B三点共线．
[证明]
设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c.
因为A1E→＝2ED1→，A1F→＝23FC→，
所以A1E→＝23A1D1→，A1F→＝25A1C→，
所以A1E→＝23AD→＝23b，A1F→＝25(AC→－AA1→)＝25(AB→＋AD→－AA1→)＝25a＋25b－25c.
所以EF→＝A1F→－A1E→＝25a－415b－25c＝25a－23b－c.
又EB→＝EA1→＋A1A→＋AB→＝－23b－c＋a＝a－23b－c，
所以EF→＝25EB→.
因为EF→与EB→有公共点E，所以E，F，B三点共线．
方法技巧 1.本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．
2．判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
跟踪探究 2.如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断CE→与MN→是否共线．
解析：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
∴MN→＝MA→＋AF→＋FN→＝12CA→＋AF→＋12FB→.
又MN→＝MC→＋CE→＋EB→＋BN→
＝－12CA→＋CE→－AF→－12FB→， ∴2MN→＝12CA→＋AF→＋12FB→－12CA→＋CE→－AF→－12FB→＝CE→，即CE→＝2MN→.∴CE→与MN→共线．
探究三 空间共面向量定理及其应用
[阅读教材P88例1]如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使OEOA＝OFOB＝OGOC＝OHOD＝k，求证：E，F，G，H四点共面．
题型：空间四点共面的判定
方法步骤：(1)由数乘运算表示出向量OE→，OF→，OG→，OH→.
(2)由向量减法运算得出EG→.
(3)由AB→、AC→、AD→的关系得出EG→、EF→、EH→的关系，从而判定E，F，G，H四点共面．
[例3] 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足OM→＝12OA→＋13OB→＋16OC→.
(1)判断MA→，MB→，MC→三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
[解析] (1)因为OM→＝12OA→＋13OB→＋16OC→，
所以6OM→＝3OA→＋2OB→＋OC→，
所以3OA→－3OM→＝(2OM→－2OB→)＋(OM→－OC→)，
因此3MA→＝2BM→＋CM→＝－2MB→－MC→.
故向量MA→，MB→，MC→共面．
(2)由(1)知向量MA→，MB→，MC→共面，三个向量又有公共点M，故M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．
方法技巧 1.证明空间三个向量共面，常用如下方法：
(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a，b，c共面；
(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
2．对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
