数学新高考第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相

A T＝012πω f＝1T＝

02ω2π 03ωx＋φ 04φ

2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示：

x 050－φω 06π2－φω 07π－φω 083π2－φω 092π－φω

ωx＋φ 100 11π2 12π 133π2 142π

y＝

Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

3．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤

1．对函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，φ≠0，b≠0)，其图象的基本变换

有：

(1)振幅变换(纵向伸缩变换)：是由A的变化引起的，A>1时伸长，A<1时缩短．

(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的，ω>1时缩短，ω<1时伸长．

(3)相位变换(横向平移变换)：是由φ引起的，φ>0时左移，φ<0时右移．

(4)上下平移(纵向平移变换)：是由b引起的，b>0时上移，b<0时下移．

可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换．

2．当相应变换的函数名不同时，先利用诱导公式将函数名化一致，再利用相应的变换得到结论．

3．由y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，φ≠0，b≠0)的图象得到y＝sinx的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到．

1．函数y＝2sin2x＋π4的振幅、频率和初相分别为( )

A．2，1π，π4 B．2，12π，π4

C．2，1π，π8 D．2，12π，－π8

答案 A

解析 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin2x＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4.故选A.

2．为了得到函数y＝sin2x－π3的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上的所有点( )

A．向左平移π3个单位长度 B．向右平移π3个单位长度

C．向左平移π6个单位长度 D．向右平移π6个单位长度

答案 D

解析 ∵y＝sin2x－π3＝sin2x－π6，∴只需将函数y＝sin2x图象上的所有点向右平移π6个单位长度即可得到函数y＝sin2x－π3的图象．故选D.

3．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是( )

答案 A

解析 令x＝0得y＝sin－π3＝－32，排除B，D.

由x＝－π3时，y＝0，x＝π6时，y＝0，排除C.故选A.

4．将f(x)＝cosx图象上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则gπ2＝( )

A．－1 B．－22

C.22 D．1

答案 C

解析 由题意得g(x)＝cos12x，

故gπ2＝cosπ4＝22.

5.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω>0，－π2

A．2，－π3

B．2，－π6

C．4，－π6

D．4，π3

答案 A

解析 由图可知，34T＝5π12＋π3＝3π4，所以T＝π，ω＝2πT＝2.因为点5π12，2在图象上，所以2×5π12＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－π3＋2kπ，k∈Z.又－π2

6．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝________.

答案 32

解析 由已知得T4＝π3，∴T＝4π3，∴ω＝2πT＝32.

考向一 “五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象

例1 用五点法作出y＝2sin2x＋π3在－π3，2π3上的图象．

解 2·－π3＋π3＝－π3，2·2π3＋π3＝5π3，

令2x＋π3＝0，得x＝－π6.

令2x＋π3＝π2，得x＝π12.

令2x＋π3＝π，得x＝π3.

令2x＋π3＝3π2，得x＝7π12.

列表如下：

2x＋π3 －π3 0 π2 π 3π2 5π3

x －π3

－π6

π12 π3 7π12

2π3

y －3 0 2 0 －2 －3

描点作图．

用“五点法”作正、余弦型函数图象的步骤

(1)将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式．

(2)确定周期．

(3)确定一个周期内函数图象的最高点和最低点．

(4)选出一个周期内与x轴的三个交点．

(5)列表．

(6)描点．

1.用“五点法”画出函数y＝3sinx2＋cosx2的图象．

解 ∵函数y＝3sinx2＋cosx2＝232sinx2＋12cosx2＝2sinx2cosπ6＋cosx2sinπ6＝2sinx2＋π6，

列表如下：

x2＋π6 0 π2 π 3π2 2π

x －π3 2π3 5π3 8π3 11π3

y 0 2 0 －2

0

描点、连线作图如下：

将函数y＝3sinx2＋cosx2，x∈－π3，11π3的图象不断向左、向右平移(每次移动4π个单位长度)，即得函数在R上的图象．

考向二 三角函数的图象变换

例2 (多选)(2020·青岛市高三上学期期末)要得到y＝cos2x的图象C1，只要将y＝sin2x＋π3的图象C2怎样变化得到( )

A．将y＝sin2x＋π3的图象C2沿x轴向左平移π12个单位

B．将y＝sin2x＋π3的图象C2沿x轴向右平移11π12个单位

C．先作C2关于x轴对称的图象C3，再将图象C3沿x轴向右平移5π12个单位

D．先作C2关于x轴对称的图象C3，再将图象C3沿x轴向左平移π12个单位

答案 ABC

解析

对于A，将y＝sin2x＋π3的图象C2沿x轴向左平移π12个单位，可得y＝sin2x＋π12＋π3＝sin2x＋π2＝cos2x的图象C1，故A正确；对于B，将y＝sin2x＋π3的图象C2沿x轴向右平移11π12个单位也可得到y＝sin2x－11π12＋π3＝sin2x－3π2＝cos2x的图象C1，故B正确；对于C，先作C2关于x轴对称的图象，

得到y＝－sin2x＋π3的图象C3，再将图象C3沿x轴向右平移5π12个单位，得到y＝－sin2x－5π12＋π3＝－sin2x－π2＝cos2x的图象C1，故C正确；对于D，先作C2关于x轴对称的图象，得到y＝－sin2x＋π3的图象C3，再将图象C3沿x轴向左平移π12个单位，得到y＝－sin2x＋π12＋π3＝－sin2x＋π2＝－cos2x的图象，故D不正确．故选ABC.

关于y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象由y＝sinx的图象的变换，先将y＝sinx的图象向左(向右)平移|φ|个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(01)或缩短(0

2.将函数y＝cosx－π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是( )

A．x＝π4 B．x＝π6

C．x＝π D．x＝π2

答案 D

解析 y＝cosx－π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y＝cos12x－π3y＝cos12x＋π6－π3，即y＝cos12x－π4.由余弦函数的性质知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当x＝π2时，y＝cos12×π2－π4＝1.故选D.

考向三 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

例3 (多选)(2020·新高考卷Ⅰ)下图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则

sin(ωx＋φ)＝( )

A．sinx＋π3

B．sinπ3－2x

C．cos2x＋π6 D．cos5π6－2x

答案 BC

解析 由函数图象可知T2＝2π3－π6＝π2，所以T＝π，则|ω|＝2πT＝2ππ＝2，所以ω＝±2，当ω＝2时，由函数图象过点π6，0，2π3，0，且f(0)>0，得φ＝2π3＋2kπ，k∈Z，所以y＝sin2x＋2π3＝sinπ3－2x，同理，当ω＝－2时，φ＝π3－2kπ，k∈Z，所以y＝sin－2x＋π3＝cos2x＋π6.故选BC.

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的解析式的步骤

(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.

(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝2πT.

(3)求φ的常用方法

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象上的最高点或最低点代入；

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．

3.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|