上海市中考数学真题汇编 方程与不等式

第1页无锡新领航教育2002年-2011年上海市中考数学试题分类解析汇编专题3：方程（组）和不等式（组）一、选择题1.（上海市2003年3分）已知0<b <a ，那么下列不等式组中无解的是【 】（A ）⎩⎨⎧<>b x ax （B ）⎩⎨⎧-<->b x ax （C ）⎩⎨⎧-<>b x ax （D ）⎩⎨⎧<->b x ax【答案】A ，C 。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】画出数轴，利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。

A 中：x 正好处于a 、b 之外，符合“大大小小解不了”的原则，所以无解；B 中：x 正好处于－a 、－b 之间，并且是大于－a ，小于－b ，符合“大小小大取中间”的原则，所以有解；C 中：x 正好处于a 、－b 之外，符合“大大小小无解了”的原则，所以无解；D 中：x 正好处于—a 、b 之间，并且是小于b ，大于－a ，符合“大小小大取中间”的原则，所以有解。

故选A ，C 。

2.（上海市2006年4分）在下列方程中，有实数根的是【 】（A ）2310x x ++= （B ）411x +=- （C ）2230x x ++= （D ）111xx x =--【答案】A 。

【考点】一元二次方程根的判别式，算术平方根，解分式方程。

【分析】A 、△=9-4=5＞0，方程有实数根；B 、算术平方根不能为负数，故错误；C 、△=4-12=-8＜0，方程无实数根；D 、化简分式方程后，求得=1x ，检验后，为增根，故原分式方程无解。

故选A 。

3.（上海市2008年4分）如果2x =是方程112x a +=-的根，那么a 的值是【 】 A．0 B ．2 C ．2- D ．6-。

专题06 方程与不等式之解答题一．解答题（共19小题）1．（2018•上海）解不等式组：＞，并把解集在数轴上表示出来．2．（2019•上海）解方程：13．（2019•奉贤区二模）E﹣learning即为在线学习，是一种新型的学习方式．某网站提供了A、B两种在线学习的收费方式．A种：在线学习10小时（包括10小时）以内，收取费用5元，超过10小时时，在收取5元的基础上，超过部分每小时收费0.6元（不足1小时按1小时计）；B种：每月的收费金额y（元）与在线学习时间是x（时）之间的函数关系如图所示．（1）按照B种方式收费，当x≥5时，求y关于x的函数关系式．（2）如果小明三月份在这个网站在线学习，他按照A种方式支付了20元，那么在线学习的时间最多是多少小时？如果该月他按照B种方式付费，那么他需要多付多少元？4．（2019•杨浦区二模）已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，．，求a、b的值．5．（2019•青浦区二模）解方程组：6．（2019•静安区二模）解方程组：7．（2019•虹口区二模）解方程组：8．（2019•奉贤区二模）解方程组：9．（2019•徐汇区二模）解方程组：．10．（2019•崇明区二模）解方程组11．（2019•松江区二模）解方程组：．12．（2019•嘉定区二模）解方程：．13．（2019•宝山区二模）解方程：14．（2019•金山区二模）解方程：1．15．（2019•普陀区二模）解方程：．16．（2019•黄浦区二模）解分式方程：．17．（2019•浦东新区二模）解不等式组：＜，并写出这个不等式组的自然数解．18．（2019•长宁区二模）解不等式组：＞，，并把解集在数轴上表示出来．19．（2019•闵行区二模）解不等式组：＞并把解集在数轴上表示出来．。

2008-2011年上海市中考试题汇编——方程与不等式（组）【2008】2．如果2x =是方程112x a +=-的根，那么a 的值是（ ）A ．0B ．2C ．2-D ．6-7．不等式30x -<的解集是 ．9．用换元法解分式方程21221x xx x --=-时，如果设21x y x -=，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是 ．10．方程32x -=的根是 ．20．（本题满分10分） 解方程：2654111x x x x x ++=--+【2009】2．不等式组1021x x +>⎧⎨-<⎩，的解集是（ ） A ．1x >- B ．3x <C ．13x -<<D ．31x -<< 3．用换元法解分式方程13101x xx x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ）A ．230y y +-=B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --= 8．方程11x -=的根是 ．9．如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ．20．（本题满分10分）解方程组：21220y x x xy -=⎧⎨--=⎩，①.②【2010】3.已知一元二次方程 x 2+ x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ ）A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定10.不等式 3 x ─ 2 ＞ 0 的解集是____________.11.方程 x + 6 = x 的根是____________.20.解方程：x x ─ 1 ─ 2 x ─ 2x─ 1 = 0 【2011】2．如果a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是（ ）．(A) a ＋c ＞b ＋c ； (B) c －a ＞c －b ； (C) ac ＞bc ； (D) abc c >9．如果关于x 的方程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等实数根，那么m ＝______．14．某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．20．（本题满分10分）解方程组：222,230.x y x xy y -=⎧⎨--=⎩。

不等式(组)1. （2018·某某江汉·3分）若关于x的一元一次不等式组的解集是x ＞3，则m的取值X围是（）A．m＞4 B．m≥4 C．m＜4 D．m≤4【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集和已知得出关于m的不等式，再求出解集即可．【解答】解：，∵解不等式①得：x＞3，解不等式②得：x＞m﹣1，又∵关于x的一元一次不等式组的解集是x＞3，∴m﹣1≤3，解得：m≤4，故选：D．2.（2018·某某省某某·3分）关于x的不等式﹣1＜x≤a有3个正整数解，则a的取值X 围是．解：∵不等式﹣1＜x≤a有3个正整数解，∴这3个整数解为1.2.3，则3≤a＜4．故答案为：3≤a＜4．3．（2018·某某省某某市）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2，在数轴上表示为．故选B．4. （2018•呼和浩特•3分）若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，则实数m的取值X围是（）A．m＜﹣1 B．m≥﹣5 C．m＜﹣4 D．m≤﹣4解：∵满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，∴m＜，∴m≤﹣4故选：D．5．（2018·某某某某·3分）不等式3x﹣6≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：3x﹣6≥0，3x≥6，x≥2，在数轴上表示为，故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键．1．（2018·某某省某某市）（3.00分）不等式组的解集是﹣2≤x＜2 ．【分析】先求出两个不等式的解集，再求不等式组的公共解．【解答】解：解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，解不等式3x+6≥0，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜2，故答案为：﹣2≤x＜2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．2．（2018·某某省某某市）不等式组的解集是0＜x≤8．【解答】解：∵解不等式①得：x≤8，解不等式②得：x＞0，∴不等式组的解集为0＜x≤8．故答案为：0＜x≤8．3. （2018•呼和浩特•3分）若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x ﹣5＞0成立，则a的取值X围是．解：∵解不等式①得：x＞﹣2a，解不等式②得：x＞﹣a+2，又∵不等式x﹣5＞0的解集是x＞5，∴﹣2a≥5或﹣a+2≥5，解得：a≤﹣2.5或a≤﹣6，经检验a≤﹣2.5不符合，故答案为：a≤﹣6．1. （2018·某某贺州·8分）某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B 型自行车，其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元．（1）求A.B两种型号的自行车单价分别是多少元？（2）后来由于该经销商资金紧X，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行年的总数不变，那么至多能购进B型车多少辆？【解答】解：（1）设A型自行车的单价为x元/辆，B型自行车的单价为y元/辆，根据题意得：，解得：．答：A型自行车的单价为260元/辆，B型自行车的单价为1500元/辆．（2）设购进B型自行车m辆，则购进A型自行车（130﹣m）辆，根据题意得：260（130﹣m）+1500m≤58600，解得：m≤20．答：至多能购进B型车20辆．2. （2018·某某某某·8分）解不等式组，并求出它的整数解，再化简代数式•（﹣），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值．【分析】先解不等式组求得x的整数解，再根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，最后选取使分式有意义的x的值代入计算可得．【解答】解：解不等式3x﹣6≤x，得：x≤3，解不等式＜，得：x＞0，则不等式组的解集为0＜x≤3，所以不等式组的整数解为1.2.3，原式=•[﹣]=•=，∵x≠±3.1，∴x=2，则原式=1．【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组的解法，正确进行分式的混合运算是解题关键．3.（2018·某某荆州·5分）求不等式组的整数解.【解答】解：解不等式①，得：x≥﹣1，解不等式②，得：x＜1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜1，∴不等式组的整数解为﹣1.0.4.（2018·某某省某某）某某市出租车的收费标准是：起步价5元（即行驶距离不超过2千米都需付5元车费），超过2千米以后，每增加1千米，加收1.8元（不足1千米按1千米计）．某同学从家乘出租车到学校，付了车费24.8元．求该同学的家到学校的距离在什么X围？解：设该同学的家到学校的距离是x千米，依题意：24．8﹣1.8＜5+1.8（x﹣2）≤24.8，解得：12＜x≤13．故该同学的家到学校的距离在大于12小于等于13的X围．5.（2018·某某省某某·8分）（列方程（组）及不等式解应用题）水是人类生命之源．为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策．若居民每户每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费（现行居民生活用水水价=基本水价+污水处理费）；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%，每立方米污水处理费不变．甲用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46.3元．（注：污水处理的立方数=实际生活用水的立方数）（1）求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？（2）如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水多少立方米？【分析】（1）设每立方米的基本水价是x元，每立方米的污水处理费是y元，然后根据等量关系即可列出方程求出答案．（2）设该用户7月份可用水t立方米（t＞10），根据题意列出不等式即可求出答案．【解答】解：（1）设每立方米的基本水价是x元，每立方米的污水处理费是y元解得：答：每立方米的基本水价是2.45元，每立方米的污水处理费是1元．（2）设该用户7月份可用水t立方米（t＞10）10×2.45+（t﹣10）×4.9+t≤64解得：t≤15答：如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水15立方米【点评】本题考查学生的应用能力，解题的关键是根据题意列出方程和不等式，本题属于中等题型．6.（2018·某某省·8分）某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题，带领大家致富．经过调查研究，他们决定利用当地生产的甲乙两种原料开发A，B两种商品，为科学决策，他们试生产A.B两种商品100千克进行深入研究，已知现有甲种原料293千克，乙种原料314千克，生产1千克A商品，1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如下表所示．甲种原料（单位：千克）乙种原料（单位：千克）生产成本（单位：元）3 2 120A商品200B商品设生产A种商品x千克，生产A.B两种商品共100千克的总成本为y元，根据上述信息，解答下列问题：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式），并直接写出x的取值X围；（2）x取何值时，总成本y最小？【分析】（1）根据题意表示出两种商品需要的成本，再利用表格中数据得出不等式组进而得出答案；（2）利用一次函数增减性进而得出答案．【解答】解：（1）由题意可得：y=120x+200（100﹣x）=﹣80x+20000，，解得：72≤x≤86；（2）∵y=﹣80x+20000，∴y随x的增大而减小，∴x=86时，y最小，则y=﹣80×86+20000=13120（元）．【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式的应用，正确利用表格获得正确信息是解题关键．7.（2018·某某省某某·8分）解不等式组：【分析】根据不等式组的解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案．【解答】解：解不等式①，得x＜4，解不等式②，得x＞3，不等式①，不等式②的解集在数轴上表示，如图，原不等式组的解集为3＜x＜4．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式组的解集的表示方法是解题关键．8．(2018·某某省某某市) 某爱心企业在政府的支持下投入资金，准备修建一批室外简易的足球场和篮球场，供市民免费使用，修建1个足球场和1个篮球场共需8.5万元，修建2个足球场和4个篮球场共需27万元．（1）求修建一个足球场和一个篮球场各需多少万元？（2）该企业预计修建这样的足球场和篮球场共20个，投入资金不超过90万元，求至少可以修建多少个足球场？【解答】解：（1）设修建一个足球场x万元，一个篮球场y万元，根据题意可得：，解得：，答：修建一个足球场和一个篮球场各需3.5万元，5万元；（2）设足球场y个，则篮球场（20﹣y）个，根据题意可得：3．5y+5（20﹣y）≤90，解得：y，答：至少可以修建6个足球场．9．（2018·某某省某某市）在运动会前夕，育红中学都会购买篮球、足球作为奖品．若购买10个篮球和15个足球共花费3000元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元．（1）求购买一个篮球，一个足球各需多少元？（2）今年学校计划购买这种篮球和足球共10个，恰逢商场在搞促销活动，篮球打九折，足球打八五折，若此次购买两种球的总费用不超过1050元，则最多可购买多少个篮球？【解答】解：（1）设购买一个篮球需x元，购买一个足球需y元，根据题意可得：，解得：，答：购买一个篮球，一个足球各需150元，100元；（2）设购买a个篮球，根据题意可得：0.9×150a+0.85×100（10﹣a）≤1050，解得：a≤4，答；最多可购买4个篮球．10．（2018·某某省某某市）（12.00分）为落实“美丽某某”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据总费用=甲队每天所需费用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过145万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，根据题意得：﹣=3，解得：x=40，经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，∴x=×40=60．答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据题意得：7m+5×≤145，解得：m≥10．答：至少安排甲队工作10天．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．11. （2018•某某•9分）解不等式组：解：．∵解不等式①得：x＞0，解不等式②得：x＜6，∴不等式组的解集为0＜x＜6．12. （2018•某某•3分）已知点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，则a的取值X围是（）A．a＜﹣3 B．﹣3＜a＜1 C．a＞﹣3 D．a＞1【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可．【解答】解：∵点P（1﹣a，2a+6）在第四象限，∴，解得a＜﹣3．故选：A．【点评】本题考查了点的坐标，一元一次不等式组的解法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．13．（2018·某某某某·9分）解不等式组：解：∵解不等式①得：x≤﹣1，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集为x≤﹣1．14. （2018·某某某某·10分）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．甲种客车乙种客车载客量/（人/辆）30 42租金/（元/辆）300 400学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为辆；（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．【答案】（1）老师有16名，学生有284名；（2）8；（3）共有3种租车方案，最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．【解析】【分析】（1）设老师有x名，学生有y名，根据等量关系：若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，列出二元一次方程组，解出即可；（2）由（1）中得出的教师人数可以确定出最多需要几辆汽车，再根据总人数以及汽车最多的是42座的可以确定出汽车总数不能小于=（取整为8）辆，由此即可求出；（3）设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆，由题意得出400x+300（8﹣x）≤3100，得出x取值X围，分析得出即可．【详解】（1）设老师有x名，学生有y名，依题意，列方程组为，解得：，答：老师有16名，学生有284名；（2）∵每辆客车上至少要有2名老师，∴汽车总数不能大于8辆；又要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于=（取整为8）辆，word综合起来可知汽车总数为8辆，故答案为：8；（3）设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆，∵车总费用不超过3100元，∴400x+300（8﹣x）≤3100，解得：x≤7，为使300名师生都有座，∴42x+30（8﹣x）≥300，解得：x≥5，∴5≤x≤7（x为整数），∴共有3种租车方案：方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为2900元；方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为3000元；方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为3100元；故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组是解题的关键.15.（2018·某某某某·8分）解方程组和不等式组：（2）【分析】（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：（2），解不等式①得：x≥3；解不等式②得：x≥﹣1，所以不等式组的解集为：x≥3．16.（2018·某某某某·5分）（2）解不等式组：【解答】解：（2）解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2，解不等式x+1≤4（x﹣2），得：x≥3，则不等式组的解集为x≥3．11 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2019－2021年上海市数学中考题分类汇编——解答题一、解答题1．（上海市2021年中考数学真题）计算：&#ξΦ020;1129|12-+-2．（上海市2021年中考数学真题）解方程组：22340x y x y +=⎧⎨-=⎩3．（上海市2021年中考数学真题）已知在ABD △中，,8,4AC BD BC CD ⊥==，4cos 5ABC ∠=，BF 为AD 边上的中线．（1）求AC 的长；（2）求tan FBD ∠的值．4．（上海市2021年中考数学真题）现在5G 手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G 手机，三个月生产情况如下图．（1）求三月份共生产了多少部手机?（2）5G 手机速度很快，比4G 下载速度每秒多95MB ，下载一部1000MB 的电影，5G 比4G 要快190秒，求5G 手机的下载速度．5．（上海市2021年中考数学真题）已知：在圆O 内，弦AD 与弦BC 交于点,,,G AD CB M N =分别是CB 和AD 的中点，联结,MN OG ．（1）求证：OG MN ⊥；（2）联结,,AC AM CN ，当//CN OG 时，求证：四边形ACNM 为矩形．6．（上海市2021年中考数学真题）已知抛物线2(0)y ax c a =+≠过点(3,0),(1,4)P Q ．（1）求抛物线的解析式； （2）点A 在直线PQ 上且在第一象限内，过A 作AB x ⊥轴于B ，以AB 为斜边在其左侧作等腰直角ABC ． ①若A 与Q 重合，求C 到抛物线对称轴的距离；①若C 落在抛物线上，求C 的坐标．7．（上海市2021年中考数学真题）如图，在梯形ABCD 中，//,90,,AD BC ABC AD CD O ∠=︒=是对角线AC 的中点，联结BO 并延长交边CD 或边AD 于E ．（1）当点E 在边CD 上时，①求证：DAC OBC ∽；①若BE CD ⊥，求AD BC的值； （2）若2,3DE OE ==，求CD 的长．8．（上海市2020年中考数学试题）计算：1327(12)﹣2+|3． 9．（上海市2020年中考数学试题）解不等式组：1076713x x x x >+⎧⎪+⎨-<⎪⎩10．（上海市2020年中考数学试题）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，①DAB =90°，AB =8，CD =5，BC（1）求梯形ABCD 的面积；（2）联结BD ，求①DBC 的正切值．11．（上海市2020年中考数学试题）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．12．（上海市2020年中考数学试题）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，BE =DF ，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．（1）求证：①BEC ①①BCH ；（2）如果BE 2=AB •AE ，求证：AG =DF ．13．（上海市2020年中考数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，直线y =﹣12x +5与x 轴、y 轴分别交于点A 、B (如图)．抛物线y =ax 2+bx (a ≠0)经过点A ．（1）求线段AB 的长；（2）如果抛物线y =ax 2+bx 经过线段AB 上的另一点C ，且BC （3）如果抛物线y =ax 2+bx 的顶点D 位于①AOB 内，求a 的取值范围．14．（上海市2020年中考数学试题）如图，①ABC 中，AB =AC ，①O 是①ABC 的外接圆，BO 的延长交边AC 于点D ．（1）求证：①BAC =2①ABD ；（2）当①BCD 是等腰三角形时，求①BCD 的大小；（3）当AD =2，CD =3时，求边BC 的长．15．（上海市20192318- 16．（上海市2019年中考数学试题）解分式方程：228122-=--x x x x． 17．（上海市2019年中考数学试题）在平面直角坐标系xoy 中（如图），已知一次函数的图像平行于直线12y x =，且经过点A （2，3），与x 轴交于点B ． （1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C 在y 轴上，当AC ＝BC 时，求点C 的坐标．18．（上海市2019年中考数学试题）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE 落在AD E '的位置（如图2所示），已知90AD =厘米，30DE =厘米，40EC =厘米．（1）求点D 到BC 的距离；（2）求E 、E '两点的距离．19．（上海市2019年中考数学试题）已知：如图，AB 、AC 是①O 的两条弦，且AB ＝AC ，D 是AO 延长线上一点，联结BD 并延长交①O 于点E ，联结CD 并延长交①O 于点F.（1）求证：BD ＝CD ：（2）如果AB 2＝AO·AD ，求证：四边形ABDC 是菱形.20．（上海市2019年中考数学试题）在平面直角坐标系xOy 中(如图)，已知抛物线y ＝x 2－2x ，其顶点为A ．(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”①试求抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”的坐标；①平移抛物线y ＝x 2－2x ，使所得新抛物线的顶点B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式.21．（上海市2019年中考数学试题）如图1，AD 、BD 分别是ABC 的内角①BAC 、①ABC 的平分线，过点A 作AE①AD ，交BD 的延长线于点E ．（1）求证：12E C ∠=∠； （2）如图2，如果AE=AB ，且BD ：DE=2：3，求BC ：AB 的值；（3）如果①ABC 是锐角，且ABC 与ADE 相似，求①ABC 的度数，并直接写出ADE ABC SS 的值．参考答案：1．2【分析】根据分指数运算法则，绝对值化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式以及同类项即可．【详解】 解：1129|12-+-(112-⨯=31=2．【点睛】本题考查实数混合运算，分指数运算法则，绝对值符号化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式与同类项，掌握实数混合运算法则与运算顺序，分指数运算法则，绝对值符号化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式与同类项是解题关键．2．21x y =⎧⎨=⎩和63x y =⎧⎨=-⎩ 【分析】由第一个方程得到3x y =-，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出y ，再回代第一个方程中即可求出x ．【详解】解：由题意：223(1)40(2)x y x y +=⎧⎨-=⎩， 由方程(1)得到：3x y =-，再代入方程(2)中：得到：22(3)40y y ，进一步整理为：32y y 或32y y ， 解得11y =，23y =-，再回代方程(1)中，解得对应的12x =，26x =，故方程组的解为：21x y =⎧⎨=⎩和63x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了代入消元法解方程及一元二次方程的解法，熟练掌握代入消元法，运算过程中细心即可． 3．（1）6AC =；（2）310 【分析】（1）在Rt ①ABC 中，利用三角函数即可求出AB ，故可得到AC 的长；（2）过点F 作FG ①BD ，利用中位线的性质得到FG ，CG ，再根据正切的定义即可求解．【详解】（1）①AC BD ⊥，4cos 5ABC ∠=①cos 45ABC BC AB ∠== ①AB =10①AC 6；（2）过点F 作FG ①BD ，①BF 为AD 边上的中线．①F 是AD 中点①FG ①BD ，AC BD ⊥①//FG AC①FG 是①ACD 的中位线①FG =1=2AC 3 CG=1=22CD ①在Rt ①BFG 中，tan FBD ∠=338210FG BG ==+．【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．4．（1）36万部；（2）100MB /秒【分析】（1）根据扇形统计图求出3月份的百分比，再利用80万×3月份的百分比求出三月份共生产的手机数； （2）设5G 手机的下载速度为x MB /秒，则4G 下载速度为()95x -MB /秒，根据下载一部1000MB 的电影，5G 比4G 要快190秒列方程求解．【详解】（1）3月份的百分比=130%25%45%--=三月份共生产的手机数=8045%=36⨯（万部）答：三月份共生产了36万部手机．（2）设5G 手机的下载速度为x MB /秒，则4G 下载速度为()95x -MB /秒， 由题意可知：1000100019095x x-=- 解得：100x =检验：当100x =时，()950x x ⋅-≠①100x =是原分式方程的解．答：5G 手机的下载速度为100MB /秒．【点睛】本题考查实际问题与分式方程．求解分式方程时，需要检验最简公分母是否为0．5．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连结,OM ON ，由M 、N 分别是CB 和AD 的中点，可得OM ①BC ，ON ①AD ，由AB CD =，可得OM ON =，可证()Rt EOP Rt FOP HL ∆∆≌，MG NG MGO NGO =∠=∠，，根据等腰三角形三线合一性质OG MN ⊥; （2）设OG 交MN 于E ，由Rt EOP Rt FOP ∆∆≌，可得MG NG =，可得CMN ANM ∠=∠，1122CM CB AD AN ===，可证CMN ANM ≌可得AM CN =，由CN∥OG ，可得90AMN CNM ∠=∠=︒，由+=180AMN CNM ∠∠︒可得AM∥CN ，可证ACNM 是平行四边形，再由90AMN∠=︒可证四边形ACNM是矩形．【详解】证明：（1）连结,OM ON ，①M 、N 分别是CB 和AD 的中点，①OM ，ON 为弦心距，①OM ①BC ，ON ①AD ， 90GMO GNO ∴∠=∠=︒， 在O 中，AB CD =， OM ON ∴=，在Rt △OMG 和Rt △ONG 中， OM ONOG OG =⎧⎨=⎩， ()Rt GOM Rt GON HL ∴∆∆≌， ①MG NG MGO NGO =∠=∠，， OG MN ∴⊥;（2）设OG 交MN 于E ， ()Rt GOM Rt GON HL ∆∆≌， ①MG NG =，①GMN GNM ∠=∠，即CMN ANM ∠=∠， 1122CM CB AD AN ===，在①CMN 和①ANM 中 CM ANCMN ANM MN NM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， CMN ANM ∴≌，,AM CN AMN CNM ∴=∠=∠， ①CN∥OG，90CNM GEM ∴∠=∠=︒，90AMN CNM ∴∠=∠=︒，+90+90=180AMN CNM ∴∠∠=︒︒︒，①AM∥CN ，ACNM ∴是平行四边形，90AMN ∠=︒，①四边形ACNM 是矩形．【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键．6．（1）21922y x =-+；（2）①1；①点C 的坐标是52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】(1)将(3,0)(1,4)P Q 、两点分别代入2y ax c =+，得90,4,a c a c +=⎧⎨+=⎩,解方程组即可; （2）①根据AB =4,斜边上的高为2,Q 的横坐标为1,计算点C 的横坐标为-1,即到y 轴的距离为1；①根据直线PQ 的解析式，设点A （m ，-2m +6）,三角形ABC 是等腰直角三角形，用含有m 的代数式表示点C 的坐标，代入抛物线解析式求解即可.【详解】解：（1）将(3,0)(1,4)P Q 、两点分别代入2y ax c =+，得90,4,a c a c +=⎧⎨+=⎩ 解得19,22a c =-=． 所以抛物线的解析式是21922y x =-+． （2）①如图2，抛物线的对称轴是y 轴，当点A 与点(1,4)Q 重合时，4AB =，作CH AB ⊥于H ．①ABC 是等腰直角三角形，①CBH 和CAH 也是等腰直角三角形，①2CH AH BH ===，①点C 到抛物线的对称轴的距离等于1．①如图3，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，由(3,0)(1,4)P Q 、，得30,4,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2,6,k b =-⎧⎨=⎩ ①直线PQ 的解析式为26y x =-+，设(,26)A m m -+，①26AB m =-+，所以3CH BH AH m ===-+．所以3,(3)23C C y m x m m m =-+=--+-=-．将点(23,3)C m m --+代入21922y x =-+， 得2193(23)22m m -+=--+． 整理，得22730m m -+=．因式分解，得(21)(3)0m m --=． 解得12m =，或3m =（与点P 重合，舍去）． 当12m =时，1523132,3322m m -=-=--+=-+=． 所以点C 的坐标是52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．7．（1）①见解析；①23；（2）13【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，DAC DCA OBC OCB ∠=∠=∠=∠，由此可得DAC OBC ∽；①若BE CD ⊥，那么在Rt BCE 中，由234∠=∠=∠．可得23430∠=∠=∠=︒，作DH BC ⊥于H ．设2AD CD m ==，那么2BH AD m ==．根据30所对直角边是斜边的一半可知CH m =，由此可得AD BC 的值． （2）①当点E 在AD 上时，可得四边形ABCE 是矩形，设AD CD x ==，在Rt ACE 和Rt DCE 中，根据22CE CE =，列方程22226(2)2x x --=-求解即可．①当点E 在CD 上时，设AD CD x ==，由DAC OBC ∽，得DC AC OC BC =，所以2x OC m BC =，所以2OC x BC m =；由EOC ECB ∽得EO EC OC EC EB CB ==，所以3223x OC x m CB-==-+，解出x 的值即可． 【详解】（1）①由AD CD =，得12∠=∠．由//AD BC ，得13∠=∠． 因为BO 是Rt ABC △斜边上的中线，所以OB OC =．所以34∠=∠．所以1234∠=∠=∠=∠．所以DAC OBC ∽．①若BE CD ⊥，那么在Rt BCE 中，由234∠=∠=∠．可得23430∠=∠=∠=︒．作DH BC ⊥于H ．设2AD CD m ==，那么2BH AD m ==．在Rt DCH △中，60,2DCH DC m ∠=︒=，所以CH m =．所以3BC BH CH m =+=． 所以2233AD m BC m ==． （2）①如图5，当点E 在AD 上时，由//,AD BC O 是AC 的中点，可得OB OE =，所以四边形ABCE 是平行四边形．又因为90ABC ∠=︒，所以四边形ABCE 是矩形，设AD CD x ==，已知2DE =，所以2AE x ．已知3OE =，所以6AC =．在Rt ACE 和Rt DCE 中，根据22CE CE =，列方程22226(2)2x x --=-．解得1x =+1x = 舍去负值）．①如图6，当点E 在CD 上时，设AD CD x ==，已知2DE =，所以2CE x =-．设OB OC m ==，已知3OE =，那么3EB m =+．一方面，由DAC OBC ∽，得DC AC OC BC =，所以2x OC m BC =，所以2OC x BC m=， 另一方面，由24BEC ∠=∠∠，是公共角，得EOC ECB ∽． 所以EO EC OC EC EB CB ==，所以3223x OC x m CB-==-+． 等量代换，得32232x x x m m -==-+．由322x x m =-，得226x x m -=． 将226x x m -=代入3223x x m -=-+，整理，得26100x x --=．解得3x =3x =．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键．8．0．【分析】利用分数的指数幂的意义，分母有理化，负指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可．【详解】原式=133(3)+2﹣4+32﹣4+3=0．【点睛】本题考查了分数指数幂的运算，负指数幂的运算，绝对值的意义以及分母有理化运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．9．2＜x＜5．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．【详解】解：由题意知：1076713①②>+⎧⎪⎨+-<⎪⎩x xxx，解不等式①，移项得：3x＞6，系数化为1得：x>2，解不等式①，去分母得：3x-3＜x+7．移项得：2x<10，系数化为1得：x<5，①原不等式组的解集是2＜x＜5．故答案为：2＜x＜5．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．10．（1）39；（2）12．【分析】(1)过C作CE①AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD=CE，AE=CD=5，根据勾股定理得到6CE，即可求出梯形的面积；(2) 过C作CH①BD于H，根据相似三角形的性质得到CH CDAD BD=，根据勾股定理得到10，6即可求解．【详解】解：(1)过C作CE①AB于E，如下图所示：①AB//DC，①DAB=90°，①①D=90°，①①A=①D=①AEC=90°，①四边形ADCE是矩形，①AD=CE，AE=CD=5，①BE=AB﹣AE=3．①BC①CE，①梯形ABCD的面积=12×(5+8)×6=39，故答案为：39．(2)过C作CH①BD于H，如下图所示：①CD//AB，①①CDB=①ABD．①①CHD=①A=90°，①①CDH①①DBA，①CH CD AD BD=，①BD，①5610CH=，①CH=3，①BH，①①DBC的正切值=CHBH=36=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．11．（1）504万元；（2）20%．【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．【详解】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)，故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350(1+x)2=504，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】(1)先证明①CDF①①CBE，进而得到①DCF=①BCE，再由菱形对边CD//BH，得到①H=①DCF，进而①BCE=①H 即可求解．(2)由BE2=AB•AE，得到BEAB=AEEB，再利用AG//BC，平行线分线段成比例定理得到BEAB=AGBC，再结合已知条件即可求解．【详解】解：(1)①四边形ABCD是菱形，①CD=CB，①D=①B，CD//AB．①DF=BE，①①CDF①△CBE(SAS)，①①DCF=①BCE．①CD//BH，①①H=①DCF，①①BCE=①H．且①B=①B，①①BEC①①BCH．(2)①BE2=AB•AE，①BEAB=AEEB，①AG//BC，①AEBE=AGBC，①BEAB=AGBC，①DF=BE，BC=AB，①BE=AG=DF，即AG=DF．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．（1）（2）y=﹣14x2+52x；（3）﹣110＜a＜0．【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；（2）设点C（m，-12m+5），则|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，-25a），即可得出结论．【详解】（1）针对于直线y=﹣12x+5，令x=0，y=5，①B(0，5)，令y=0，则﹣12x+5=0，①x=10，①A(10，0)，①AB（2）设点C(m，﹣12m+5)．①B(0，5)，①BC|m|．①BC|m①m=±2．①点C在线段AB上，①m=2，①C(2，4)，将点A(10，0)，C(2，4)代入抛物线y=ax2+bx(a≠0)中，得100100 424a ba b+=⎧⎨+=⎩，①1452ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，①抛物线y=﹣14x2+52x；（3）①点A(10，0)在抛物线y=ax2+bx中，得100a+10b=0，①b=﹣10a，①抛物线的解析式为y=ax2﹣10ax=a(x﹣5)2﹣25a，①抛物线的顶点D坐标为(5，﹣25a)，将x=5代入y=﹣12x+5中，得y=﹣12×5+5=52，①顶点D位于①AOB内，①0＜﹣25a＜52，①﹣110＜a＜0．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键．14．（1）证明见解析；（2）①BCD的值为67.5°或72°；（3【分析】(1)连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．(2)分三种情形：①若BD=CB，则①C=①BDC=①ABD+①BAC=3①ABD．①若CD=CB，则①CBD=①CDB=3①ABD．①若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．(3) 如图3中，作AE//BC交BD的延长线于E．则23==AE ADBC DC，进而得到34==AO AEOH BH，设OB=OA=4a，OH=3a，根据BH2=AB2-AH2=OB2-OH2，构建方程求出a即可解决问题．【详解】解：(1)连接OA，如下图1所示：①AB=AC，①AB=AC，①OA①BC，①①BAO=①CAO．①OA=OB，①①ABD=①BAO，①①BAC=2①ABD．(2)如图2中，延长AO交BC于H．①若BD=CB，则①C=①BDC=①ABD+①BAC=3①ABD．①AB=AC，①①ABC=①C，①①DBC=2①ABD．①①DBC+①C+①BDC=180°，①8①ABD=180°，①①C=3①ABD=67.5°．①若CD=CB，则①CBD=①CDB=3①ABD，①①C=4①ABD．①①DBC+①C+①CDB=180°，①10①ABD=180°，①①BCD=4①ABD=72°．①若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述：①C的值为67.5°或72°．(3)如图3中，过A点作AE//BC交BD的延长线于E．则AEBC=ADDC=23，且BC=2BH，①AOOH=AEBH=43，设OB=OA=4a，OH=3a．则在Rt①ABH和Rt①OBH中，①BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2，①25 - 49a2=16a2﹣9a2，①a2=25 56，①BH①BC=2BH．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．15．-3．【分析】首先进行二次根式的化简、去绝对值符号以及二次根式的乘法，然后再合并同类二次根式即可．【详解】2318124-=-3．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．16．x＝－4.【分析】首先去分母，化为整式方程，然后合并同类项，把未知数的系数化为1，最后检验求得的结果是否使原分式有意义，即可得到答案．【详解】去分母得2x2－8＝x2－2x，移项、整理得x2＋2x－8＝0，解得：x1＝2，x2＝－4．经检验：x＝2是增根，舍去；x＝－4是原方程的根．①原方程的根是x＝－4．【点睛】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法；注意解分式方程要检验，避免产生增根．17．（1）122y x=+；（2）点C的坐标是（0，12-）【分析】（1）设一次函数解析式为y＝kx＋b（k＝0），把A坐标代入即可解答（2）先求出点B坐标，设点C的坐标为（0，y），由AC＝BC利用勾股定理求出y即可解答【详解】（1）设一次函数解析式为y＝kx＋b（k＝0）.一次函数的图像平行于直线12y x=，①12k=又①一次函数的图像经过点A（2，3），①1322b=⨯+，解得b＝2.所以，所求一次函数的解析式是122y x=+（2）由y＝122x+，令y＝0，得号122x+＝0，解得x＝－4.①一次函数的图像与x轴的交点为B（－4，0）.①点C在y轴上，.设点C的坐标为（0，y）.由AC＝BC y＝1 2 -经检验：y＝12-是原方程的根.①点C的坐标是（0，12 -）【点睛】此题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于利用勾股定理进行计算18．（1）点D′到BC的距离为（）厘米；（2）E、E′两点的距离是【分析】（1）过点D′作D′H①BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′=AD=90厘米，①DAD′=60°，利用矩形的性质可得出①AFD′=①BHD′=90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH=DC=DE+CE及D′H=D′F+FH可求出点D′到BC的距离；（2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′=AE，①EAE′=60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′=AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′=AE 可得出E、E′两点的距离．【详解】解：（1）过点D′作D′H①BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′=AD=90厘米，①DAD′=60°．①四边形ABCD是矩形，①AD①BC，①①AFD′=①BHD′=90°．在Rt△AD′F中，又①CE=40厘米，DE=30厘米，①FH=DC=DE+CE=70厘米，①D′H=D′F+FH=（）厘米．答：点D′到BC的距离为（）厘米．（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′=AE，①EAE′=60°，①①AEE′是等边三角形，①EE′=AE．①四边形ABCD是矩形，①①ADE=90°．在Rt△ADE中，AD=90厘米，DE=30厘米，①AE=厘米．答：E、E′两点的距离是【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度．19．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）连接BC，根据垂直平分线的性质即可解答（2）连接OB，先求出①ABO①①ADB，再利用相似的性质，求出四边形ABDC的四边相等，即可解答【详解】（1）连接BC，在①O中，①AB＝AC，①①ABC为等腰三角形又①AD经过圆心O，①AD垂直平分BC①BD＝CD.（2）连接OB.①AB2＝AO·AD，AB AD AO AB又①①BAO＝①DAB，①①ABO①①ADB①①OBA ＝①BDA ①OA ＝OB ， ①①OBA ＝①OAB. ①①OAB ＝①BDA ①AB ＝BD.又①AB ＝AC ，BD ＝CD ， ①AB ＝AC ＝BD ＝CD. ①四边形ABDC 是菱形. 【点睛】此题考查垂直平分线的性质，三角形相似的判定与性质，菱形的判定，解题关键在于作辅助线20．(l)抛物线y ＝x 2－2x 的开口向上，顶点A 的坐标是(1，－1)，抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的；(2)①(0，0)、(3，3)； ①新抛物线的表达式是y ＝(x ＋1)2－1. 【分析】 （1）10a =>，故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为()1,1-；（2）①设抛物线“不动点”坐标为(),t t ，则22t t t =-，即可求解；①新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点(),B m m ，则新抛物线的对称轴为：x m =，与x 轴的交点(),0C m ，四边形OABC 是梯形，则直线x m =在y轴左侧，而点()1,1A -，点(),B m m ，则1m =-，即可求解. 【详解】 (l)10a =>，抛物线y ＝x 2－2x 的开口向上，顶点A 的坐标是(1，－1)，抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的. (2)①设抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”坐标为(t ，t). 则t ＝t 2－2t ，解得t 1＝0，t 2＝3.所以，抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”的坐标是(0，0)、(3，3). ①①新抛物线的顶点B 是其“不动点”，①设点B 的坐标为(m ，m) ①新抛物线的对称轴为直线x ＝m ，与x 轴的交点为C(m ，0) ①四边形OABC 是梯形， ①直线x ＝m 在y 轴左侧. ①BC 与OA 不平行①OC①AB.又①点A 的坐标为(1，一1)，点B 的坐标为(m ，m)，∴m ＝－1.①新抛物线是由抛物线y ＝x 2－2x 向左平移2个单位得到的， ①新抛物线的表达式是y ＝(x ＋1)2－1. 【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可. 21．（1）详见解析；（2）43；（3）①ABC=30°或者①ABC=45°，2ADE ABCS S =2ADE ABCSS=【分析】(1)先根据题意证明12BAD BAC ∠=∠以及12ABD ABC ∠=∠，再适当变形即可得到答案；(2)先根据角平分线的性质和直线平行的性质证明①BAF①①CAF ，再根据全等三角形的性质得到BF=CF ，再根据BD ：DE=2：3，计算即可得到答案；(3)根据①ABC 与①ADE 相似，①DAE=90°，因此①ABC 中必有一个内角为90°，再根据①ABC 是锐角，得到①ABC≠90°，再分情况讨论即可得到答案； 【详解】（1）证明：如图1中，①AE①AD ，①①DAE=90°，①E=90°-①ADE ， ①AD 平分①BAC ， ①12BAD BAC ∠=∠ ，同理可得：12ABD ABC ∠=∠ ，①180ADE BAD DBA BAC ABC C ∠=∠+∠∠+∠=︒-∠，， 11()9022ADE ABC BAC C ∠=∠+∠=︒-∠ ，11909022E C C ∠=︒-︒-∠=∠（）．（2）解：延长AD 交BC 于点F ．①AD 是①BAC 的平分线， ①①BAD=①CAD ， ①AB=AE ， ①①ABE=①E ， BE 平分①ABC ， ①①ABE=①EBC ， ①①E=①CBE ， ①AE①BC ，①①AFB=①EAD=90°，BF BDAE DE= ①①AFB=①AFC=90°， 在①BAF 和①CAF 中，BAD CAD AD ADAFB AFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①①BAF①①CAF(ASA)，①BF=CF （全等三角形对应边相等）， ①BD ：DE=2：3 ①23BF BD AE DE ==， ①43BC BF CF AE AE +==； (3) ①①ABC 与①ADE 相似，①DAE=90°， ①①ABC 中必有一个内角为90° ①①ABC 是锐角，①①ABC≠90°．①当①BAC=①DAE=90°时， ①12E C ∠=∠（由(1)知）， ①①ABC+①C=90°， ①①ABC=30°， ①此时2ADE ABCS S=-①当①C=①DAE=90°时，1452E C ==︒∠∠，①①EDA=45°，①①ABC 与①ADE 相似， ①①ABC=45°，此时2ADE ABCS S=综上，①ABC=30°或者①ABC=45°，2ADE ABCS S=-2ADE ABCS S=【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

上海中考数学题目2023
上海中考数学题目2023指的是在2023年上海市中考中，数学科目的考试题目。

这些题目通常由上海市教育考试院组织专家进行编制，旨在测试学生在初中阶段数学学科的知识和技能掌握情况。

具体的题目示例如下：
1.题目：若 x1，x2 是方程 x^2 - 6x + 5 = 0 的两个根，则 x1^2 + x2^2 =
( )
A. 34
B. 26
C. 10
D. 5
2.题目：若关于 x 的一元二次方程 x^2 - 4x + m - 1 = 0 有两个不相等的实
数根，则 m 的取值范围为 ___．
3.题目：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 1，BC = √3，则 sinA + cosA =
___．
A. √3
B. 1/2
C. 2
D. √3/2
总结：上海中考数学题目2023指的是在2023年上海市中考中，数学科目的考试题目。

这些题目旨在测试学生在初中阶段数学学科的知识和技能掌握情况。

通过做题、理解和掌握数学概念和方法，学生可以提高自己的数学水平，并为未来的学习和职业生涯打下坚实的基础。

专题02方程与不等式（39题）一．选择题（共4小题）1．（2023•浦东新区二模）一元二次方程的根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根2．（2023•静安区二模）某种型号油电混合动力汽车计划从甲地开往乙地，如果纯用电行驶，则电费为25元，如果纯燃油行驶，则燃油费为75元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．如果设每行驶1千米纯用电的费用为x元，那么下列方程正确的是（）A．B．C．D．．3．（2023•嘉定区二模）下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．x2+1＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣bx+1＝0（b为常数）D．x2﹣bx﹣1＝0（b为常数）4．（2023•松江区二模）下列方程中，有实数根的是（）A．x2+2x+1＝0B．x2+x+1＝0C．+1＝0D．二．填空题（共22小题）5．（2023•徐汇区二模）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．6．（2023•静安区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，那么c的取值范围为．7．（2023•金山区二模）已知关于x的方程x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值等于．8．（2023•崇明区二模）不等式组的解集是．9．（2023•金山区二模）不等式组的解集是．10．（2023•闵行区二模）已知关于x的方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值为．11．（2023•嘉定区二模）如果方程，那么x＝．12．（2023•松江区二模）不等式组的解集是．13．（2023•黄浦区二模）已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0无实数根，那么k的取值范围是．14．（2023•金山区二模）方程的解是．15．（2023•闵行区二模）方程＝x的根是．16．（2023•杨浦区二模）方程的解是．17．（2023•静安区二模）方程＝x的解是．18．（2023•浦东新区二模）方程的根是x＝．19．（2023•崇明区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根，那么m的取值范围是．20．（2023•徐汇区二模）方程组的解是．21．（2023•宝山区二模）如果关于x的方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，那么k＝．22．（2023•浦东新区二模）不等式组的解集是．23．（2023•虹口区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是．24．（2023•静安区二模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有人．25．（2023•虹口区二模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为．26．（2023•闵行区二模）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为．三．解答题（共13小题）27．（2023•嘉定区二模）解方程组：．28．（2023•闵行区二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．29．（2023•松江区二模）解方程组：．30．（2023•浦东新区二模）解方程：﹣＝131．（2023•金山区二模）解方程组：．32．（2023•徐汇区二模）求不等式组的整数解．33．（2023•宝山区二模）解方程组：．34．（2023•黄浦区二模）解方程组：．35．（2023•杨浦区二模）解不等式组并求出它的正整数解．36．（2023•崇明区二模）解方程组：．37．（2023•虹口区二模）某商店以20元/千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图中线段AB所示．（1）求y与x的函数表达式；（2）要使每天的销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？38．（2023•黄浦区二模）小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下：优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）；优惠活动二：所有商品打八折．（两种优惠活动不能同享）（1）如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明；（2）如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？39．（2023•嘉定区二模）A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米．（1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值；（2）如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由．专题02方程与不等式（39题）一．选择题（共4小题）1．（2023•浦东新区二模）一元二次方程的根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】先计算Δ＝b2﹣4ac＝（2）2﹣4×1×（﹣1），得到Δ＞0，然后根据△的意义进行判断即可．【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（2）2﹣4×1×（﹣1）＝12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．2．（2023•静安区二模）某种型号油电混合动力汽车计划从甲地开往乙地，如果纯用电行驶，则电费为25元，如果纯燃油行驶，则燃油费为75元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．如果设每行驶1千米纯用电的费用为x元，那么下列方程正确的是（）A．B．C．D．．【分析】根据每行驶1千米纯燃油费用与纯用电费用间的关系，可得出每行驶1千米纯燃油的费用为（x+0.6）元，利用行驶路程＝总费用÷每行驶1千米所需费用，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元，且每行驶1千米纯用电的费用为x元，∴每行驶1千米纯燃油的费用为（x+0.6）元．根据题意得：＝．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．3．（2023•嘉定区二模）下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．x2+1＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣bx+1＝0（b为常数）D．x2﹣bx﹣1＝0（b为常数）【分析】先计算4个方程的根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况，从而可对各选项进行判断．【解答】解：A．Δ＝02﹣4×1＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以A选项不符合题意；B．Δ＝（﹣1）2﹣4×1＝﹣3＜0，则方程没有实数解，所以B选项不符合题意；C．Δ＝b2﹣4×1＝b2﹣4，当b＝0时，Δ＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以C选项不符合题意；D．Δ＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0时，则方程有两个不相等的实数解，所以CD项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．4．（2023•松江区二模）下列方程中，有实数根的是（）A．x2+2x+1＝0B．x2+x+1＝0C．+1＝0D．【分析】利用根的判别式判断A、B，利用二次根式的性质判断C，利用解分式方程判断D．【解答】解：方程x2+2x+1＝0的根的判别式Δ＝3＞0，故选项A中方程有实数根；方程x2+x+1＝0的根的判别式Δ＝﹣3＜0，故选项B中方程无实数根；∵≥0，∴选项C中方程无实数根；方程＝无解，故选项D中方程无实数根；故选：A．【点评】本题主要考查了无理方程、分式方程、一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式、无理方程及分式方程的解法是解决本题的关键．二．填空题（共22小题）5．（2023•徐汇区二模）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是m＞﹣1．【分析】根据“关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可．【解答】解：根据题意得：Δ＝4+4m＞0，解得：m＞﹣1，故答案为：m＞﹣1．【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．6．（2023•静安区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，那么c的取值范围为c ＜．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4c＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4c＞0，解得c＜，即c的取值范围为c＜．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．7．（2023•金山区二模）已知关于x的方程x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值等于．【分析】根据根的判别式的意义得到32﹣4m＝0，然后解方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝32﹣4m＝0，解得m＝．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．8．（2023•崇明区二模）不等式组的解集是1≤x＜3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由x﹣1≥0得：x≥1，由2x﹣3＜x得：x＜3，则不等式组的解集为1≤x＜3，故答案为：1≤x＜3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9．（2023•金山区二模）不等式组的解集是﹣2≤x＜1．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由3x﹣2＜x得：x＜1，由≤x+1得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，故答案为：﹣2≤x＜1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10．（2023•闵行区二模）已知关于x的方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值为4．【分析】由题意得，Δ＝42﹣4m＝0，计算求解即可．【解答】解：由题意得，Δ＝42﹣4m＝0，解得m＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ＝0．11．（2023•嘉定区二模）如果方程，那么x＝2．【分析】先移项得到＝1+x，再把方程两边平方得到x+7＝（1+x）2，接着解一元二次方程，然后进行检验确定原方程的解．【解答】解：﹣x＝1，移项，得＝1+x，两边平方，得x+7＝（1+x）2，整理得x2+x﹣6＝0，解得x1＝2，x2＝﹣3，检验：当x＝2时，方程左边＝﹣2＝1＝右边，则x＝2为原方程的解；当x＝﹣3时，方程左边＝﹣（﹣3）＝5≠右边，则x＝﹣3不是原方程的解；所以原方程的解为x＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了解无理方程：解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程，应注意验根．12．（2023•松江区二模）不等式组的解集是﹣3＜x＜2．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＞﹣3，由②得：x＜2，则不等式组的解集为：﹣3＜x＜2．故答案为：﹣3＜x＜2．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．13．（2023•黄浦区二模）已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0无实数根，那么k的取值范围是k＞．【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac＜0列出关于k的不等式，通过解不等式即可求得k的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k＝0无实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＜0，即（﹣3）2﹣4×1×k＜0，解得k＞．故答案为：k＞．【点评】本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程根与判别式Δ＝b2﹣4ac的关系是解题的关键．14．（2023•金山区二模）方程的解是﹣1．【分析】先把分式方程化为整式方程，求出x的值，再把x的值代入公分母进行检验即可．【解答】解：原方程可化为：﹣＝0，去分母得，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1，当x＝1时，x﹣1＝0，故x＝1是原分式方程的增根，当x＝﹣1时，x﹣1＝﹣2，故x＝﹣1是原分式方程的根．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是解分式方程，解答此类题目时要先把分式方程化为整式方程，在解得未知数的值时一定要验根．15．（2023•闵行区二模）方程＝x的根是x＝2．【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2＝x2，解此一元二次方程得到x1＝2，x2＝﹣1，把它们分别代入原方程得到x2＝﹣1是原方程的增根，由此得到原方程的根为x＝2．【解答】解：方程两边平方得，x+2＝x2，解方程x2﹣x﹣2＝0得x1＝2，x2＝﹣1，经检验x2＝﹣1是原方程的增根，所以原方程的根为x＝2．故答案为：x＝2．【点评】本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．16．（2023•杨浦区二模）方程的解是x＝0．【分析】把方程两边平方去根号后求解．【解答】解：两边平方得：x＝x2，解方程的：x1＝0，x2＝1，检验：当x1＝0时，方程的左边＝右边＝0，∴x＝0为原方程的根当x2＝1时，原方程不成立，故舍去．故答案为：x＝0．【点评】本题主要考查解无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．注意，最后把解得的x的值代入原方程进行检验．17．（2023•静安区二模）方程＝x的解是x＝1．【分析】本题要先平方化简后才能求出x的值．【解答】解：＝x，两边都平方得x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，∴x＝1．【点评】本题要先平方化简后，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．才能求出x的值．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．18．（2023•浦东新区二模）方程的根是x＝11．【分析】先把方程两边平方得到一元一次方程，再解一元一次方程，然后进行检验确定原方程的解．【解答】解：＝3，两边平方，得x﹣2＝9，解得x＝11，检验：当x＝11时，左边＝＝3＝右边，则x＝11是原方程的解，所以原方程的解为x＝11．故答案为：11．【点评】本题考查了无理方程：解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程，应注意验根．19．（2023•崇明区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根，那么m的取值范围是m≥﹣1．【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）≥0，解得m≥﹣1，即m的取值范围是m≥﹣1．故答案为：m≥﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．20．（2023•徐汇区二模）方程组的解是，．【分析】由①得出（x﹣y）（x﹣2y）＝0，求出x﹣y＝0或x﹣2y＝0③，由③和②组成两个二元一次方程组，求出两方程组的解即可．【解答】解：，由①得：（x﹣y）（x﹣2y）＝0，x﹣y＝0或x﹣2y＝0③，由③和②组成两个二元一次方程组：，，解得：，，所以原方程组的解是，．故答案为：，．【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．21．（2023•宝山区二模）如果关于x的方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，那么k＝﹣1．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣k）＝0，解得：k＝﹣1，∴k的值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．22．（2023•浦东新区二模）不等式组的解集是x＞4．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x＞6，得：x＞3，解不等式x﹣2＞2，得：x＞4，则不等式组的解集为x＞4，故答案为：x＞4．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．23．（2023•虹口区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是k≤4．【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：根据题意得：Δ＝16﹣4k≥0，解得：k≤4．故答案为：k≤4．【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．24．（2023•静安区二模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有25人．【分析】设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意得：，解得：，即大和尚有25人，故答案为：25．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．25．（2023•虹口区二模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为．【分析】根据题意可知：x株需要6210文，（x﹣1）株的运费＝一株椽的价钱，从而可以列出相应的方程．【解答】解：设这批椽的数量为x株，由题意可得：，故答案为：．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．26．（2023•闵行区二模）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为．【分析】设清酒x斗，醑酒y斗，根据“拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设清酒x斗，醑酒y斗，依题意得：，故答案为：．【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组、数字常识等知识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．三．解答题（共13小题）27．（2023•嘉定区二模）解方程组：．【分析】先用完全平方公式把方程②左边因式分解，得（x﹣y）2＝4，从而推得x﹣y＝±2，再分类讨论，即可求解．【解答】解：由②得（x﹣y）2＝4，∴x﹣y＝±2，当x﹣y＝2时，得x＝2+y④，把④代入①得2+y﹣3y＝5，∴﹣2y＝3，∴y＝﹣，把y＝﹣代入④得x＝2﹣＝，∴是原方程组的一个解，当x﹣y＝﹣2时．得x＝y﹣2⑤，把⑤代入①得（y﹣2）﹣3y＝5，∴﹣2y＝7，∴y＝，把y＝代入⑤得x＝﹣2＝∴是原方程组的一个解，所以原方程组的解为：，．【点评】本题考查了二次二元方程组，关键是将二元二次方程组转化为二元一次方程组．28．（2023•闵行区二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别解两个不等式得到x≥﹣3和x＜1，则利用大小小大中间找确定不等式组的解集为﹣3≤x＜1，然后利用数轴表示其解集．【解答】解：，解①得x≥﹣3，解②得x＜1，所以不等式组的解集为﹣3≤x＜1，用数轴表示为：【点评】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．29．（2023•松江区二模）解方程组：．【分析】先变形②得出x+y＝2，x+y＝﹣2，作出两个方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：由方程②得：（x+y）2＝4，x+y＝2，x+y＝﹣2，即组成方程组或，解这两个方程组得：或，即原方程组的解为：或．【点评】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．30．（2023•浦东新区二模）解方程：﹣＝1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，解得：x＝2或x＝﹣4，经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．31．（2023•金山区二模）解方程组：．【分析】由②得出（x﹣y）2＝4，求出x﹣y＝±2③，由③和①组成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：，由②，得（x﹣y）2＝4，x﹣y＝±2③，由③和①组成两个二元一次方程组：，，解得：，，所以方程组的解是，．【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．32．（2023•徐汇区二模）求不等式组的整数解．【分析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，从而得到不等式组的解集，即可得出答案．【解答】解：，解不等式①得：x＜8，解不等式②得x≥，∴不等式组的解集为≤x＜8，则不等式组整数解有2、3、4、5、6、6、7．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．33．（2023•宝山区二模）解方程组：．【分析】由②得出y＝2x﹣5③，把③代入①得出4x2﹣（2x﹣5）2＝15，求出x，再把x＝2代入③求出y即可．【解答】解：，由②得：y＝2x﹣5③，把③代入①，得4x2﹣（2x﹣5）2＝15，解得：x＝2，把x＝2代入③，得y＝﹣1，所以方程组的解是．【点评】本题考查了解高次方程组，能把方程组转化成4x2﹣（2x﹣5）2＝15是解此题的关键．34．（2023•黄浦区二模）解方程组：．【分析】变形方程组中的②，用含y的代数式表示x，代入①得关于y的一元二次方程，先解一元二次方程求出y，再代入③求出x．【解答】解：由②，得x＝y+1③，把③代入①，得（y+1）2﹣2y2﹣y＝﹣1，整理，得y2﹣y﹣2＝0，解这个方程，得y1＝2，y2＝﹣1．把y1＝2，y2＝﹣1代入③，得x1＝3，x2＝0．∴原方程组的解为，．【点评】本题考查了解方程组，掌握一元二次方程和方程组的解法是解决本题的关键．35．（2023•杨浦区二模）解不等式组并求出它的正整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．【解答】解：解不等式①得：x≤，解不等式②得：x＞，所以不等式组的解集为＜x≤，则不等式组的正整数解为1，2，3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．36．（2023•崇明区二模）解方程组：．【分析】由②得出（x+2y）（x﹣y）＝0，求出x+2y＝0或x﹣y＝0③，由③和①组成两个二元一次方程组，，求出方程组的解即可．【解答】解：，由②，得（x+2y）（x﹣y）＝0，x+2y＝0或x﹣y＝0③，由③和①组成方程组，，解得：，，所以原方程组的解是，．【点评】本题考查了解高次方程组和解二元一次方程组，能把解高次方程组转化成解二元一次方程组是解此题的关键．37．（2023•虹口区二模）某商店以20元/千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图中线段AB所示．（1）求y与x的函数表达式；（2）要使每天的销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？【分析】（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出y与x的函数表达式；（2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将（20，60），（80，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y与x的函数表达式为为y＝﹣x+80．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣x+80）＝800，整理得：x2﹣100x+2400＝0，解得：x1＝40，x2＝60．答：销售单价应定为每千克40元或60元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．38．（2023•黄浦区二模）小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下：优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）；优惠活动二：所有商品打八折．（两种优惠活动不能同享）（1）如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明；（2）如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？【分析】（1）根据购买衣服及鞋子的原价，结合商场给出的两种促销活动，可分别求出选择两种促销活动需支付的费用，比较后可得出结论；（2）当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于400元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二，设裤子的价格为x元，则选择优惠活动一需支付（600+0.5x）元，选择优惠活动二需支付0.8（600+x）元，根据选择优惠活动二更省钱，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：（1）选择优惠活动一需支付费用为600+500×0.5＝850（元）；选择优惠活动二需支付费用为（600+500）×0.8＝880（元）．∵850＜880，∴她选择优惠活动一会更划算；（2）当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于400元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二，理由如下：设裤子的价格为x元，则选择优惠活动一需支付（600+0.5x）元，选择优惠活动二需支付0.8（600+x）元，根据题意得：600+0.5x＞0.8（600+x），解得：x＜400，∴当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于400元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．39．（2023•嘉定区二模）A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米．（1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值；（2）如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由．【分析】（1）根据列车提速前所用的时间﹣提速后所用的时间可得到t的值；。

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题01 数与式、方程与不等式一、单选题1．（2021·上海静安区·九年级一模）如果0a ≠，那么下列计算正确的是（ ）A ．0()0a =-B ．0()1a -=-C ．01a -=D ．01a =--2．（2021·上海静安区·九年级一模）下列多项式中，是完全平方式的为（ ）A ．214x x -+B ．21124x x++C ．21144x x +-D ．21144x x -+ 二、填空题3．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知12x y =，那么+-x y x y的值为_______________． 4．（2021·上海静安区·九年级一模）32的相反数是____． 5．（2021·上海松江区·九年级一模）计算sin30cot 60︒⋅︒=____．6．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知点Р是线段AB 上一点，且2BP AP AB =⋅，如果2AP =厘米，那么BP =________________ （厘米）．7．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，ABC 中，AB=10，BC=12，AC=8，点D 是边BC 上一点，且BD ：CD=2：1，联结AD ，过AD 中点M 的直线将ABC 分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC 、AC 相交于点E 、F ，那么线段BE 的长为______．8．（20212x -的根为____．9．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱筐长为x 米，可列出方程为________________________．10．（2021·上海宝山区·九年级一模）某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为0)x x >（，12月份的产值为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是______． 三、解答题11．（2021·上海闵行区·九年级一模）计算：24sin 452cos 60cot 30tan 601︒︒︒︒-+-12．（2021·上海静安区·九年级一模）已知线段x 、y 满足2x y x x y y +=-，求x y的值．13．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．2021年上海市16区中考数学一模汇编专题01 数与式、方程与不等式一、单选题1．（2021·上海静安区·九年级一模）如果0a ≠，那么下列计算正确的是（ ）A ．0()0a =-B ．0()1a -=-C ．01a -=D ．01a =--【答案】D【分析】利用零指数幂的定义分别得出结果即可求解【详解】A 选项0()a =1-，故错误，B 选项0()a =1-，故错误C 选项01a -=-，故错误，D 选项01a -=-，故正确，故选：D【点睛】熟记任何非零次幂的零次幂等于1是解决本题的关键2．（2021·上海静安区·九年级一模）下列多项式中，是完全平方式的为（ ）A ．214x x -+B ．21124x x++C ．21144x x +-D ．21144x x -+ 【答案】A【分析】利用配方法分别转化为完全平方式的形式即可求解．【详解】A 选项214x x -+=212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故正确，B 选项21124x x++=213416x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，故错误 C 选项21144x x +-=216516256x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故错误，D 选项21144x x -+=216316256x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故错误 故选：A【点睛】本题考查配方法的运用，熟练添加常数项，即一次项系数一半的平方是解决问题的关键，添加之后要注意再减去添加的常数项，进行等价转化．二、填空题3．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知12x y =，那么+-x y x y的值为_______________． 【答案】3-【分析】根据已知得到2y x =，代入所求式子中计算即可． 【详解】解：∵12x y =，∴ 2y x =，∴2332x y x x x x y x x x ++===----：故答案为：-3． 【点睛】本题考查了求分式的值，利用已知得到2y x =后再整体代入是解题的关键．4．（2021·上海静安区·九年级一模）32的相反数是____． 【答案】32- 【分析】只有符号不同的两个数叫互为相反数，根据定义解答． 【详解】32的相反数是32-，故答案为：32-． 【点睛】此题考查互为相反数的定义，掌握定义是解题的关键．5．（2021·上海松江区·九年级一模）计算sin30cot 60︒⋅︒=____．【分析】先代入特殊角的三角函数值，然后再进行计算即可．【详解】1sin 30cot 60=236︒⋅︒=⨯，故答案为：6． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、实数乘法运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．6．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知点Р是线段AB 上一点，且2BP AP AB =⋅，如果2AP =厘米，那么BP =________________ （厘米）．【答案】1+【分析】设BP x =厘米，得2AB x =+厘米，根据题意得()222x x =⨯+，通过求解方程，即可得到答案． 【详解】设BP x =厘米，根据题意得：2AB AP BP x =+=+厘米∵2BP AP AB =⋅，∴()222x x =⨯+ ，∴1x =±10-，故舍去；∴15x ，即1BP =1+．【点睛】本题考查了一元二次方程、二次根式、线段的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解．7．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，ABC 中，AB=10，BC=12，AC=8，点D 是边BC 上一点，且BD ：CD=2：1，联结AD ，过AD 中点M 的直线将ABC 分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC 、AC 相交于点E 、F ，那么线段BE 的长为______．【答案】2【分析】如图，过A 作//AN BC 交EF 于N ，设,,BE a AF b == 由三角形的周长关系可得：5,a b +=再证明：,ANM DEM ∽利用相似三角形的性质求解8,AN a =-再证明：,ANF CEF ∽可得：10432,b a ab +-=再解方程组可得答案．【详解】解：如图，过A 作//AN BC 交EF 于N ，设,,BE a AF b ==()1,2AB BE AF AB BC AC ∴++=++ ()1101012815,2a b ∴++=++= 5,a b ∴+=:2:112BD CD BC ==，，84BD CD ∴==，， 8,DE a ∴=- M 为AD 的中点，,AM MD ∴= //AN BC ，,ANM DEM ∴∽ 1AN AM DE DM ∴==， 8,AN a ∴=- //AN BC ，,ANF CEF ∴∽ ,AN AF CE CF ∴= 即：8,848a b a b -=-+- ∴ 10432,b a ab +-= 510432a b b a ab +=⎧∴⎨+-=⎩解得：23a b =⎧⎨=⎩或94a b =⎧⎨=-⎩，经检验：94a b =⎧⎨=-⎩不合题意，舍去， 2.BE ∴= 故答案为：2.【点睛】本题考查的是三角形的相似的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．8．（20212x =-的根为____．【答案】x 1=【分析】方程两边同时平方，得到一个一元二次方程，解出x 的值，再进行检验即可得出结果．【详解】解：方程两边同时平方得：()2322x x -=-，∴2210x x -+=，即()210x -=，∴x 1=x 2=1，经检验，x=1是原方程的根，故答案为：x=1．【点睛】本题考查了无理方程求解，先平方得到一元二次方程求解再验证根，掌握基本概念和解法是解题的关键．9．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱筐长为x 米，可列出方程为________________________．【答案】()17324x x -=【分析】垂直于墙的一段篱筐长为x 米，共有三段垂直于墙的篱笆，所以垂直于墙的篱笆总长度为3x ，又因为篱笆总长为17米(恰好用完)，所以大长方形花圃的长为()173x -米，最后根据长方形的面积公式即可求解．【详解】解：由题意可得：()17324x x -=．故答案为：()17324x x -=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是注意大长方形花圃的宽有三段都是篱笆．10．（2021·上海宝山区·九年级一模）某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为0)x x >（，12月份的产值为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是______． 【答案】()21001y x =+； 【分析】根据：现有量=原有量×(1+增长率)n,即可列方程求解． 【详解】依题意得：()21001y x =+，故答案为：()21001y x =+【点睛】考查了一元二次方程的应用，可直接套公式：原有量×(1+增长率)n =现有量，n 表示增长的次数． 三、解答题11．（2021·上海闵行区·九年级一模）计算：24sin 452cos 60cot 30tan 601︒︒︒︒-+-【答案】2【分析】分别把特殊角的三角函数值代入，再分别计算，结合分母有理化，合并化简即可解题．【详解】解：原式14122⨯=⨯1= 2=．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．12．（2021·上海静安区·九年级一模）已知线段x 、y 满足2x y x x y y +=-，求x y的值．． 【分析】利用比例性质化比例式化为整式，再移项两边同除以y 2，化为22310x x y y --=，然后解一元二次方程，即可求解．【详解】解：222xy y x xy +=-，2230x xy y --=．∵0y ≠，∴22310x x y y --=，∴x y = ∵x 、y表示线段，∴负值不符合题意，∴x y = 【点睛】本题考查比例的性质、解一元二次方程，利用整体换元的思想方法解方程是解答的关键，注意x 、y 的非负性．13．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）-4、8-3． 【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+， 再证明AFE BDE 由AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+得到与x 的关系； （3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，AD =AB ∴==142ADB S DB AC ∴=⋅=，12ADB S AB DH =⋅，DH ∴=AH ==1tan 3DH DAB AH ∴∠==； （2）过E 作EH ⊥CB 于H∵EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒，∴ACD EHD ．∴AC EH CD DH = 即44EH x x EH =--．∴()444x EH x -=+ ．∵EH ⊥CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，∴)44x EB x -==+ ，AB =∴)44x AE x -=+，∵EF AD ⊥，90C ∠=︒，∴AFG ADC ∠=∠ ．∵EDB ADC ∠=∠，∴AFG EDB ∠=∠．∵45FAE B ∠=∠=︒，∴AFE BDE ． ∴AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+．整理得，()2402y x x =-+<≤； （3）在Rt △MDB 中，DB=4-x,所以).x - 在Rt △ADM 中，AM=AB 一MB=)(4).22x x -=+ 所以tan ∠DAB=44DM x AM x-=⋅+按照点F 的位置，分两种情况讨论△CDF 与△AGE 相似: ①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x.如图，如果∠FDC=∠DAB ，由tan ∠FDC=tan ∠DAB,得44y x x x-=⋅+ 结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0.解得-4 或-4 （舍去）,如果∠CFD=∠DAB ，由tan ∠CFD=tan ∠DAB ，得4.4x x y x-=+ 结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+②点F 在线段AC的延长线上，此时y=2x-4如图如果∠FDC=∠DAB,由44y xx x-=+结合y=2x-4，整理，得23160.x-=解得或3-（舍去）如果∠CFD=∠DAB,44x xy x-=+与y=2x-4，整理，得238160.x x-+=此方程无解.综上，CD的值为、8-或3．【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．。

上海市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类一．实数的运算（共2小题）1．（2023•上海）计算：+﹣（）﹣2+|﹣3|．2．（2021•上海）计算：9+|1﹣|﹣2﹣1×．二．分数指数幂（共1小题）3．（2022•上海）计算：|﹣|﹣+﹣．三．高次方程（共1小题）4．（2021•上海）解方程组：．四．解一元一次不等式组（共2小题）5．（2022•上海）解关于x的不等式组：．6．（2023•上海）解不等式组：．五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）7．（2022•上海）一个一次函数的截距为﹣1，且经过点A（2，3）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值．六．二次函数图象与几何变换（共1小题）8．（2023•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点B．（1）求点A，B的坐标；（2）求b，c的值；（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．七．圆的综合题（共1小题）9．（2021•上海）如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，且相交于点P，其中E、F为AB、CD 中点．（1）证明：OP⊥EF；（2）连接AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为矩形．八．扇形统计图（共1小题）10．（2021•上海）现在5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G手机，三个月生产情况如图．（1）求三月份生产了多少部手机？（2）5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G手机的下载速度．上海市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类参考答案与试题解析一．实数的运算（共2小题）1．（2023•上海）计算：+﹣（）﹣2+|﹣3|．【答案】﹣6．【解答】解：原式＝2+﹣9+3﹣＝2+﹣2﹣9+3﹣＝﹣6．2．（2021•上海）计算：9+|1﹣|﹣2﹣1×．【答案】2．【解答】解：+|1﹣|﹣2﹣1×＝3＝2＝2．二．分数指数幂（共1小题）3．（2022•上海）计算：|﹣|﹣+﹣．【答案】1．【解答】解：|﹣|﹣+﹣＝＝＝1﹣．三．高次方程（共1小题）4．（2021•上海）解方程组：．【答案】．【解答】解：，由①得：y＝3﹣x，把y＝3﹣x代入②，得：x2﹣4（3﹣x）2＝0，化简得：（x﹣2）（x﹣6）＝0，解得：x1＝2，x2＝6．把x1＝2，x2＝6依次代入y＝3﹣x得：y1＝1，y2＝﹣3，∴原方程组的解为．四．解一元一次不等式组（共2小题）5．（2022•上海）解关于x的不等式组：．【答案】不等式组的解集为：﹣2＜x＜﹣1．【解答】解：，由①得，3x﹣x＞﹣4，2x＞﹣4，解得x＞﹣2，由②得，4+x＞3x+6，x﹣3x＞6﹣4，﹣2x＞2，解得x＜﹣1，所以不等式组的解集为：﹣2＜x＜﹣1．6．（2023•上海）解不等式组：．【答案】3＜x＜．【解答】解：，解不等式①，得x＞3，解不等式②，得x＜，所以不等式组的解集是3＜x＜．五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）7．（2022•上海）一个一次函数的截距为﹣1，且经过点A（2，3）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值．【答案】（1）y＝2x﹣1；（2）．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx﹣1，∴2k﹣1＝3，解得：k＝2，一次函数的解析式为：y＝2x﹣1．（2）∵点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，∴B（6，1），∴C（6，3），∴△ABC是直角三角形，且BC＝2，AC＝4，根据勾股定理得：AB＝2，∴cos∠ABC＝＝＝．六．二次函数图象与几何变换（共1小题）8．（2023•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点B．（1）求点A，B的坐标；（2）求b，c的值；（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．【答案】（1）A（﹣8，0）；（2），c＝6；（3）抛物线N的函数解析式为：或．【解答】解：（1）在中，令x＝0得：y＝6，∴B（0，6），令y＝0得：x＝﹣8，∴A（﹣8，0）；（2）设，设抛物线的解析式为：，∵抛物线M经过点B，∴将B（0，6）代入得：，∵m≠0，∴，即，将代入y＝a（x﹣m）2+3m+6，整理得：，∴，c＝6；（3）如图：∵CD∥x轴，点P在x轴上，∴设P（p，0），，∵点C，B分别平移至点P，D，∴点B，点C向下平移的距离相同，∴，解得：m＝﹣4，由（2）知，∴，∴抛物线N的函数解析式为：，将B（0，6）代入可得：，∴抛物线N的函数解析式为：或．七．圆的综合题（共1小题）9．（2021•上海）如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，且相交于点P，其中E、F为AB、CD 中点．（1）证明：OP⊥EF；（2）连接AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为矩形．【答案】（1）（2）证明见解析部分．【解答】（1）证明：连接OP，EF，OE，OF，OB＝OD．∵AE＝EB，CF＝FD，AB＝CD，∴OE⊥AB，OF⊥CD，BE＝DF，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∵OB＝OD，∴Rt△OEB≌Rt△OFD（HL），∴OE＝OF，∵∠OEP＝∠OFP＝90°，OP＝OP，∴Rt△OPE≌Rt△OPF（HL），∴PE＝PF，∵OE＝OF，∴OP⊥EF．（2）证明：连接AC，设EF交OP于J．∵AB＝CD，AE＝EB，CF＝DF，∴AE＝CF，BE＝DF，∵PE＝PF，∴PA＝PC，∵PE＝PF，OE＝OF，∴OP垂直平分线段EF，∴EJ＝JF，∵OP∥AF，∴EP＝PA，∴PC＝PF，PA＝PE，∴四边形AFEC是平行四边形，∵EA＝CF，∴四边形AFEC是矩形．八．扇形统计图（共1小题）10．（2021•上海）现在5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G手机，三个月生产情况如图．（1）求三月份生产了多少部手机？（2）5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G 比4G要快190秒，求5G手机的下载速度．【答案】（1）三月份生产了36万部手机；（2）5G手机的下载速度是每秒100MB．【解答】解：（1）80×（1﹣30%﹣25%）＝36（万部），答：三月份生产了36万部手机；（2）设5G手机的下载速度是每秒xMB．则4G手机的下载速度是每秒（x﹣95）MB．+190＝，解得：x1＝100，x2＝﹣5（不合题意，舍去），经检验，x1＝100是原方程的解，答：5G手机的下载速度是每秒100MB．。