2018石室二模 四川省成都市石室中学高2018届高三下学期二诊模拟考试数学理试卷+Word版含答案

2018届四川省成都市高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。

第Ⅰ卷（选择题，第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设集合{}11P x x =-<，{}12Q x x =-<<，则PQ =（ ）A ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,2-C ．()1,2D ．()0,2 【答案】 D【解析】集合{}{}1102P x x x x =-<=<<，所以()0,2P Q =，故选D.考点：集合的基本运算.2．已知向量()()()2,1,3,4,,2k ===a b c .若()3-a b c ，则实数k 的值为（ ） A ．8- B ．6- C ．1- D ．6 【答案】 B【解析】由题意得()33,1-=-a b ，所以60,6k k +==-.故选B. 考点：1、平面向量坐标运算；2、平面向量共线的坐标表示． 3．若复数z 满足()31i 12i z +=-，则z 等于（ ）A 2B ．32C ．2D ．12【答案】 A【解析】由31i 12i z +=-，得312i 1i2z -===+.故选A.考点：复数的模及其运算．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4520,10S a ==，则16a =（ ）A ．32-B ．12C ．16D ．32 【答案】 D【解析】由41514620,410S a d a a d =+==+=，解得2d =，所以1651132a a d =+=.故选D. 考点：等差数列基本运算.5．已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，则m β⊥ B ．若,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥ C ．若,m m αβ⊄⊥，则m α D ．若,m m n αβ=⊥，则n α⊥【答案】 C【解析】若m α⊂，可能mβ，所以A 不正确；若,m n αβ⊂⊂，则m 与n 平行或相交，所以B 不正确；因为αβ⊥，m β⊥，所以m α或m α⊂，又m α⊄，所以C 正确；对于D 选项缺少条件n β⊂，所以D 不正确.故选C.考点：点、线、面的平行和垂直关系.6．若6x⎛-⎝的展开式中含32x 项的系数为160，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．D ．- 【答案】 B【解析】展开式通项为()3662166rr r rrrr a T C xa C x --+⎛=-=- ⎝，令33622r -=，得3r =，所以()333620160a C a -=-=，所以2a =-.故选B.考点：二项式定理.7．已知函数()()s in 0,0,2f x A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，的部分图象如图所示．现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A．()2s in 24gx x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2s in 24g x x 3π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2co s 2g x x =D ．()2s in 24g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】 D【解析】由图象可知2A =，534884T πππ=-=，T ∴=π，2ω=，代入点5,28π⎛⎫-⎪⎝⎭得5s in 14ϕπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，4ϕπ∴=，()2s in 24fx x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()2s in 244g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选D. 考点：1、三角函数的图象；2、三角函数图象的变换.8．若x 2x ≤≤223x x+≤≤”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】 B【解析】由223x x+≤≤，解得12x ≤≤，所以“2x ≤≤”是“223x x+≤≤” 必要不充分条件.故选B.考点：1、充分条件与必要条件；2、简单的分式不等式的解法. 9．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A 3B ．C D ．24π【答案】 C【解析】由阳马的定义和正视图和侧视图该几何体的直观图如图所示，其中1,2P A A D A B ===，以A 为原点，A B 为x 轴，A D 为y轴，A P 为z轴建立空间直角坐标系，则可设球心O 的坐标为11,,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点()0,0,1P ， 由A O O P =得()221111144xx ++=++-，解得12x =，所以球的半径2R =，所以体积为343V Rπ==.故选C.考点：1、三视图；2、空间几何体的体积.10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（ ）A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n > 【答案】 D【解析】该程序框图的功能为求2462n S n =++++，所以()156n S n n =+=，所以7n =，所以则判断框中的条件可以是6?n >.故选D. 考点：1、算法与程序框图；2、等差数列求和. 11．已知函数()()1ln 0,0e m f x n x m n x=-->≤≤在区间[]1,e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ） A ．2e 2e,1e e 12+⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦ B ．2e ,1e 12⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦ C ．2,1e 1⎡⎤⎢⎥+⎣⎦ D ．e 1,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 【答案】 A【解析】由题意知()f x 在区间[]1,e 上为减函数，所以()()10,e 0f f ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩所以10,10e m m n -≥⎧⎪⎨--≤⎪⎩，所以1,e e 0,0e ,m m n n ≥⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩所表示的可行区域（如图）是四边形A B C D ，其中()1,0A ，()e,0B ，()2e e ,e C +，()1,e D ，21n m ++表示点(),m n 与点()1,2P --连线的斜率， 又2e 2e e 1P C k +=++，e 12P D k =+，所以2e 22e 1e e 112n m ++≤≤++++.故选A.考点：1、函数的零点；2、线性规划. 12．已知双曲线C ：()222210,0x y a b ab-=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点，若点,A B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点，当12A P PB =时，A O B △的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．329B ．169C ．89D ．49【答案】 A【解析】双曲线C 渐近线方程为by x a =±，可设11,b A x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,b B x x a ⎛⎫-⎪⎝⎭，()120,0x x >>. 因为122112121211222A O B b b b S x y x y x x x x x x b aaa=-=+==△，所以122x x a =，因为12A P P B =，所以点P 的坐标为()121222,33b x x x x a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()()222121222222199x x bx x aa b+--=，化简得21289x x a =，所以2169a a =，所以169a =，所以双曲线C 的实轴长为329.故选A.考点：双曲线方程及其性质.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.请将答案填在题后横线上.13．已知132a =，2312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()2lo g a b = .【答案】 13-【解析】因为2112133333122222a b --⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭，所以()13221lo g lo g 23a b -==-.考点：指数与对数的运算.14．如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 . 【答案】 24【解析】由条形图可得喜欢篮球运动的女生有100名，喜欢篮球运动的男生有300名，所以抽取的男生人数为332244⨯=人.考点：1、统计图表；2、分层抽样.15．已知抛物线C ：()220y p x p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且P F x ⊥轴.若以A F 为直径的圆截直线A P 所得的弦长为2，则实数p 的值为 .【答案】 【解析】由题意可得,02pF ⎛⎫⎪⎝⎭，,02p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,2p P P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，所以A F P F p ==， 所以A F P △是等腰直角三角形，所以A F 为直径的圆截直线A P 22A F ==，p =考点：抛物线的性质.16．已知数列{}n a 共16项，且181,4a a ==.记关于x 的函数()()32213n n n xf x a x a x =-+-，*n ∈N .若()1115n x a n +=≤≤是函数()n f x 的极值点，且曲线()8y f x =在点()()1616,a f a 处的切线的斜率为15，则满足条件的数列{}n a 的个数为 . 【答案】 1176【解析】由题意可得()()()()222111n n n n n f x x a x a x a x a '=-+-=-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以11n n a a +=+或11n n a a +=-，所以11n n a a +-=.又()28815f x x x '=-+，所以2161681515a a -+=，所以160a =或168a =.①当160a =时，由()()()812132873a a a a a a a a -=-+-++-=，得()*117,i i a a i i +-≤≤∈N的值有2个为1-，5个为1；由()()()1689810916154a a a a a a a a -=-+-++-=-，得()*1815,i i a a i i +-≤≤∈N的值有个6为1-，2个为1，所以此时数列{}n a 的个数为2278588C C =.①当168a =时，由()()()812132873a a a a a a a a -=-+-++-=，得()*117,i i a a i i +-≤≤∈N的值有2个为1-，5个为1；由()()()1689810916154a a a a a a a a -=-+-++-=，得()*1815,i i a a i i +-≤≤∈N的值有个2为1-，6个为1，所以此时数列{}n a 的个数为2278588C C =.综上，数列{}n a 的个数为222278781176C C C C +=.考点：1、数列的概念；2、函数的极值；3、排列组合.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数()21inc o sc o s2222x x x f x =-+.（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若A B C △的内角,,A B C ，所对的边分别为,,a b c ，()12f A =，a =sin 2sin B C =，求c.【答案】（I ）()252,233k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ；（Ⅱ）1c =【解析】考点：1、三角函数的性质；2、正余弦定理.18．（本小题满分12分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的22⨯列联表如下：（I）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（Ⅱ）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑券.用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元券，获得2元的概率分别是11,25，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：()()()()()22n a d b ca b c d a c b dK-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（I）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系；（Ⅱ）1.8元【解析】考点：1、独立性检验；2、独立事件概率公式；3、随机变量的分布列与数学期望.19．（本小题满分12分）如图，D是A C的中点，四边形B D E F是菱形，平面B D E F⊥平面A B C，60∠=，A B B CF B D⊥，==A B B C（I）若点M是线段B F的中点，证明：B F⊥平面A M C；（Ⅱ）求平面A E F与平面B C F所成的锐二面角的余弦值.1【答案】（I）详见解析；（Ⅱ）7【解析】考点：1、空间直线与平面垂直关系；2、面面角的向量求法. 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b ab+=>>的左右焦点分别为12,F F ，左顶点为A ，离心率为2，点B是椭圆上的动点，1A B F △2.（I ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设经过点1F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,M N ，线段M N 的中垂线为l '. 若直线l '与直线l 相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求P Q M N的最小值.【答案】（I ）2212xy+=；（Ⅱ）2【解析】考点：1、椭圆的标准方程及其性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、基本不等式. 21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x x a x =++，a ∈R .（I ）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）当*n ∈N 时，证明：22231ln 2lnln2421n n n n nn +<+++<++.【答案】（I ）[)1,-+∞；（Ⅱ）详见解析. 【解析】考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题；3、导数与不等式的证明；4、放缩法.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为o s 2s in x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，()0,απ.在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为s in 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.（I ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段P Q 的中点，求点M 到直线l 的距离的最大值.【答案】（I ）100x y --=，()2210124xyy +=>；（Ⅱ）【解析】考点：极坐标与参数方程. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()211f x x x =++-. （Ⅰ）解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）记函数()f x 的最小值为m .若,,a b c 均为正实数，且122a b c m ++=，求222a b c ++的最小值.【答案】（I ）(][),11,-∞-+∞；（Ⅱ）37【解析】考点：1、绝对值不等式解法；2、柯西不等式.。

成都市2018届高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则为（ ）A ．B ．C ．D ． 2. 已知复数，则在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 已知函数的定义域为，为常数.若：对，都有；：是函数的最小值，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点：1.常用逻辑用语；2.充分条件与必要条件.4. 如果为各项都大于零的等差数列，公差，则（ ） A ． B ． C. D ．5. 已知，则等于（ ） A ．． D6. 已知集合，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（ ） A ．6 B ．32 C.33 D ．347. 设，则对任意实数，若，则（ ） A ． B ． C.{}30 103x A x B x x x ⎧+⎫=≤=-≥⎨⎬-⎩⎭，A B []1 3，[)1 3，[)3 -∞，(]3 3-，11z i i=++z ()f x R M p x R ∀∈()f x M ≥q M ()f x p q 128 a a a ，，…，0d ≠1845a a a a >1845a a a a <1845a a a a +<+1845a a a a =24cos 0352παπα⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，sin sin 3παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭43333343{}{}{}5 1 2 1 3 4A B C ===，，，，，()()322log 1f x x x x =+++ a b ，0a b +≥()()0f a f b +≤()()0f a f b +≥()()0f a f b -≤D ．8. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如下表所示：3 若根据表中数据得出关于的线性回归方程为，则表中的值为（ ） A ． B ． C. D ．9. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为，则函数的单调递增区间（ ）A ．B ． C. D ． 10. 已知，，则函数在区间上为增函数的概率是（ ） A ．B ． C. D ． 11. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的等于（ ）()()0f a f b -≥x y y x 0.70.35y x =+a 3 3.15 3.5 4.52sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭14()f x ()f x ()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，()511 1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，()57 2424k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，()719 2424k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，{}0 1 2a ∈，，{}1 1 3 5b ∈-，，，()22f x ax bx =-()1 +∞，512131416N m n ()mod N n m =()102mod 4=nA ．B ．21 C.22 D ．2312. 设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是（ ）A ．B ． C. D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在二项式的展开式中，若常数项为-10，则 ． 14.在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9，10，11，1，那么这组数据的方差可能的最大值是 ．15.如图，抛物线的一条弦经过焦点，取线段的中点，延长至点，使，过点，作轴的垂线，垂足分别为，则的最小值为 ．20()()31x f x e x ax a =--+1a <0x ()00f x ≤a 23 4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23 4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，2 1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2 1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，25(ax +a =2s24y x =AB F OB D OA C OA AC =C D y ,E G EG16.在数列中，，（，），则数列的前项和．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，在平面四边形中，已知，，，在边上取点，使得，连接，若，.（1）求的值； （2）求的长.18. 某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示： 特征量第1次 第2次 第3次 第4次 第5次555 559 551 563 552601605597599598（1）从5次特征量的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600的概率； （2）求特征量关于的线性回归方程；并预测当特征量为570时特征量的值.{}n a 11a =2121n n n a a n -=-2n ≥*n N ∈2{}n a n n n T =ABCD 2A π∠=23B π∠=6AB =AB E 1BE =,EC ED 23CED π∠=EC=sin BCE ∠CD x y y y x x y（附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，）19. 如图，已知梯形与所在平面垂直，，，，，，，连接.（1）若为边上一点，，求证：平面； （2）求二面角的余弦值.20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆（），圆（），若圆的一条切线与椭圆相交于两点. （1）当，时，若点都在坐标轴的正半轴上，求椭圆的方程； （2）若以为直径的圆经过坐标原点，探究之间的等量关系，并说明理由.21. 已知函数，其中.（1）若在上存在极值点，求的取值范围；（2）设，，若存在最大值，记为，则当时，是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑a y bx =-CDEF ADE ∆,AD DE CD DE ⊥⊥////AB CD EF 28AE DE ==3AB =9EF =12CD =,BC BF G AD 13DG DA =//EG BCF E BF C --xOy 2222:1x y E a b+=0a b >>222:O x y r+=0r b <<O :l y kx m =+E ,A B 12k =-1r =,A B E AB O ,,a b r 1()ln f x a x x x=-+0a >()f x (2,)+∞a 1(0,1)x ∈2(1,)x ∈+∞21()()f x f x -()M a 1a e e≤+()M a请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点，且点的极坐标为，其中.（1）求的值；（2）若射线与直线相交于点，求的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数. （1）求不等式的解集；（2）若为正实数，且，求的最小值.xOy C 2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩αl 2132x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t O x O C AA )θ(,)2πθπ∈θOA l B AB ()43f x x x =---3()02f x +≥,,p q r 111432p q r++=32p q r ++成都市2018届高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）试卷答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合，则为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B考点：1.不等式的解法；2.集合的运算. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A 【解析】{}30 103x A x B x x x ⎧+⎫=≤=-≥⎨⎬-⎩⎭，A B []1 3，[)1 3，[)3 -∞，(]3 3-，11z i i=++z试题分析：,该复数对应的点为，在第一象限，故选A.考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.3. 已知函数的定义域为，为常数.若：对，都有；：是函数的最小值，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：：对，都有是函数的最小值, 是函数的最小值对，都有,所以是的必要不充分条件，故选B. 考点：1.常用逻辑用语；2.充分条件与必要条件.4. 如果为各项都大于零的等差数列，公差，则（ ） A ． B ． C. D ． 【答案】B考点：等差数列的性质.5. 已知，则等于（ ） A ．．D【答案】A 【解析】11111(1)(1)22i z i i ii i i -=+=+=+++-11(,)22Z ()f x R M p x R ∀∈()f x M ≥q M ()f x p q x R ∀∈()f x M ≥/⇒M ()f x M ()f x ⇒x R ∀∈()f x M ≥p q 128 a a a ，，…，0d ≠1845a a a a >1845a a a a <1845a a a a +<+1845a a a a =24cos 0352παπα⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，sin sin 3παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭试题分析：因为，所以，故选A. 考点：三角恒等变换与诱导公式.6. 已知集合，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（ ） A ．6 B ．32 C.33 D ．34 【答案】A 【解析】试题分析：不考虑限定条件确定的不同点的个数为，但集合，中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为：个,故选A.考点：1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列与组合.7. 设，则对任意实数，若，则（ ） A ． B ． C. D ． 【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性.24cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭111sin sin sin sin cos sin 3222πααααααα⎛⎫⎫++=++=+ ⎪⎪⎝⎭⎭22333πππααπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦{}{}{}5 1 2 1 3 4A B C ===，，，，，11323336C C A =B C 36333-=()()322log 1f x x x x =+++ a b ，0a b +≥()()0f a f b +≤()()0f a f b +≥()()0f a f b -≤()()0f a f b -≥8. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如下表所示：3 若根据表中数据得出关于的线性回归方程为，则表中的值为（ ） A ． B ． C. D ． 【答案】D 【解析】试题分析：，由回归方程：，解之得,故选D. 考点：线性回归.9. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为，则函数的单调递增区间（ ）A ．B ． C. D ． 【答案】A. 【解析】试题分析：函数的周期，所以，函数的图象向右平移后所得函数的解析式为，由得函数的单调递增区间为,故选A. 考点：1.图象的平移变换；2.三角函数的图象与性质.x y y x 0.70.35y x =+a 3 3.15 3.5 4.5a y bx =- 2.53434560.350.70.744a y x ++++++=-=-⨯4.5a =2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭14()f x ()f x ()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，()511 1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，()57 2424k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，()719 2424k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭T π=44T π=2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4π()2sin 2()2sin(2)463f x x x πππ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈()f x ()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，10. 已知，，则函数在区间上为增函数的概率是（ ）A ．B ． C. D ． 【答案】B考点：1.一次函数与二次函数的性质；2.古典概型.【名师点睛】本题考查一次函数与二次函数的性质、古典概型，属中档题；求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，常用方法有列举法、树状图法、列表法等，所求事件包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率.11. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的等于（ ）{}0 1 2a ∈，，{}1 1 3 5b ∈-，，，()22f x ax bx =-()1 +∞，512131416N m n ()mod N n m =()102mod 4=nA ．B ．21 C.22 D ．23【答案】C考点：程序框图.【名师点睛】本题考查程序框图，属中档题；识别运行算法流程图和完善流程图是高考的热点．解答这一类问题，第一，要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行流程图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景．12. 设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是（ ）A ．B ． C. D ． 【答案】D【解析】20()()31x f x e x ax a =--+1a <0x ()00f x ≤a 23 4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23 4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，2 1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2 1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，试题分析：设，，则，∴，，单调递减；，，单调递增，所以处取得最小值，所以，，直线恒过定点且斜率为，所以，∴而，∴的取值范围 考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数与方程、不等式.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值，函数与方程、不等式，属难题；导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，主要考查证明不等式、不等式恒成立或不等式恒成立求参数范围等问题，证明不等式可通过构造两个函数的差函数，证明差函数恒大于（或小于）证明，利用导数解决不等式恒成立问题时，首先要构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性、最值，进而得到相应的含参不等式，求出范围即可.二、填空题13. -2 14. 32.8 15. 4 16.三、解答题17.解：（1）在中，据正弦定理，有. ∵，，， ∴. （2）由平面几何知识，可知，在中，∵，，()()31x g x e x =-()h x ax a=-()()'32xg x e x =+2 3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，()'0g x <()g x 2 3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()'0g x >()g x 23x =-233e --()()010g a h =-<-=()()1120g h e -=>()h x ax a =-()1 0，a ()()111420e g h a ----=-+≥2e a ≥1a <a 12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，0021n n +BEC ∆sin sin BE CE BCE B=∠23B π∠=1BE =CE =sin sin 14BE B BCE CE •∠===DEA BCE ∠=∠Rt AED ∆2A π∠=5AE =∴. ∴在中，据余弦定理，有∴18.解：（1）记“至少有一个大于600”为事件.∴. （2），. ∴∵，∴线性回归方程为.当时，∴当时，特征量的估计值为.19.解：（1）如图，作，交于点，连接，作，交于，交于.∵，,cos 14DEA ∠===cos EA ED DEA ===∠CED ∆22212cos 7282()492CD CE DE CE DE CED =+-••∠=+--=7CD =A 23257()110C P A C =-=5555595515635525565x ++++==600y =222221135(5)(3)7(1)(4)(2)300.3(1)3(5)7(4)100b -⨯+⨯+-⨯-+⨯-+-⨯-===-++-++-6000.3556433.2a y bx =-=-⨯=0.3433.2y x =+570x =0.3570433.2604.2y =⨯+=570x =y 604.2//GM CD BC M MF //BH AD GM N DC H //EF CD //GM EF∴，.∵，∴. ∴.∴.∴. ∴四边形为平行四边形，∴.又平面，平面四边形，∴平面.（2）∵平面平面，，平面，∴平面.以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系.∴.∴，,设平面的法向量.由，得. 取，得.3GN AB ==9HC =////AB GM DC 23NM BM AG HC BC AD ===6NM =9GM GN NM =+=GM //=EF GMFE //GE MF MF ⊂BCF GE ⊄//GEBCF ADE ⊥CDEF AD DE ⊥AD ⊂ADE AD ⊥CDEF D DC x DE y DA z xyzD (0,4,0),(9,4,0),(12,0,0),(3,0,EF C B (9,0,0)EF=(3,4,EB =-EBF 1111(,,)n x y z =1100n EF n EB ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩111190340x x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩1y =1(0,3,1)n =同理，，.设平面的法向量.由，得. 取，得.∴. ∵二面角为钝二面角，∴二面角的余弦值为. 20.解：（1）∵直线与.由，，解得∵点都在坐标轴正半轴上，∴∴切线与坐标轴的交点为，. ∴，. ∴椭圆的方程是. （2）设，∵以为直径的圆经过点，∴，即.(3,4,0)FC=-(6,4,FB =--BCF 2222(,,)n x y z =2200n FC n FB ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩22222340640x y x y -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩24x =2n =121212cos ,n n n n n n •====E BF C --E BF C --26-l O r =12k =-1r =m =,A B 1:2l y x =-+l a =2b =E 224155x y +=11(,)A x y 22(,)B x y AB O 0OA OB •=12120x x y y +=∵点在直线上，∴. ∴ （*）由消去，得. 即显然 ∴由一元二次方程根与系数的关系，得 代入（*）式，得. 整理，得.又由（1），有.消去，得 ∴ ∴满足等量关系. 21.解：（1），. 由题意，得，在上有根（不为重根）.即在上有解. ,A B l 1122y kx m y kx m =+⎧⎨=+⎩221212(1)()0k x x mk x x m ++++=2222220y kx m b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩y 22222222(2)0b x a k x kmx m a b +++-=222222222()2()0b a k x kma x a m a b +++-=0∆>2122222222122222kma x x b a k a m a bx x b a k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩2222222222222222222222a m a m k a b a b k k m a m b a k m b a k+--++++22222222()0m a b a b a b k +--=222(1)m k r =+2m 2222222(1)()(1)k r a b a b k ++=+222111a b r +=,,a b r 222111a b r +=2'221(1)()1a x ax f x x x x --+=--=(0,)x ∈+∞210x ax -+=(2,)x ∈+∞1a x x=+(2,)x ∈+∞由在上单调递增，得. 检验：当时，在上存在极值点. ∴. （2）若，∵在上满足， ∴在上单调递减，∴.∴不存在最大值.则.∴方程有两个不相等的正实数根，令其为，且不妨设 则.在上单调递减，在上调递增，在上单调递减，对，有；对，有，∴.∴ . 将，代入上式，消去得 ∵，∴，. 1y x x =+(2,)x ∈+∞15(,)2x x +∈+∞52a >()f x (2,)x ∈+∞5(,)2a ∈+∞02a <≤2'2(1)()x ax f x x --+=(0,)+∞'()0f x ≤()f x (0,)+∞21()()0f x f x -<21()()f x f x -2a >210x ax -+=,m n 01m n <<<1m n a mn +=⎧⎨=⎩()f x (0,)m (,)m n (,)n +∞1(0,1)x ∀∈1()()f x f m ≥2(1,)x ∀∈+∞2()()f x f n ≤21max [()()]()()f x f x f n f m -=-11()()()(ln )(ln )M a f n f m a n n a m m n m=-=-+--+11ln ()()n a m n m n m=+-+-1a m n n n =+=+1m n=,a m 21111()()ln 2()2[()ln ()]M a n n n n n n n n n n=++-=++-12a e e <≤+11n e n e+≤+1n >据在上单调递增，得. 设，.，. ∴，即在上单调递增.∴ ∴存在最大值为. 22.解： （1）曲线的普通方程为，曲线的极坐标方程为. 化简，得. 由，得∵，∴. （2）射线的极坐标方程为， 直线的普通方程为. ∴直线的极坐标方程为.联立，解得. 1y x x=+(1,)x ∈+∞(1,]n e∈11()2()ln 2()h x x x xx x =++-(1,]x e ∈'22211111()2(1)ln 2()2(1)2(1)ln h x x x x x x x x x =-++++--=-(1,]x e ∈'()0h x >()h x (1,]e max 114[()]()2()2()h x h e e e e e e==++-=()M a 4eC 22(2)4x y +-=C 22(cos )(sin 2)4ρθρθ+-=4sin ρθ=ρ=sin θ=(,)2πθπ∈23πθ=OA 23πθ=l 0x +-=l cos sin 0ρθθ+-=23cos sin 0πθρθθ⎧=⎪⎨⎪-=⎩ρ=∴.23.解： （1） 根据绝对值的几何意义，得表示点到，两点距离之和.接下来找出到距离之和为4的点.将点向左移动个单位到点，这时有； 同理，将点向右移动个单位到点，这时有. ∴，即的解集为. （2）令，由柯西不等式，得即 ∵ ∴. 上述不等式当且仅当，即，，时，取等号. ∴的最小值为. B A AB ρρ=-==333()40222f x x x +=-+--≥3322x x ++-(,0)x 3(,0)2A -3(,0)2B ,A B A 121(2,0)A -114A A A B +=B 121(2,0)B 114B A B B +=33422x x ++-≤3()02f x +≥[2,2]-1a =2a 3a =2222222123123123123111111[()()()]()()a a a a a a a a a a a a ++•++≥•+•+•111()(32)932p q r p q r++++≥111432p q r++=9324p q r ++≥1114323p q r +==14p =38q =34r =32p q r ++94。

四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测数学试题（理）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则PQ =（ ）A ．1(1,)2- B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(0,2) 2.已知向量(2,1)a =，(3,4)b =，(,2)c k =.若(3)//a b c -，则实数的值为（ ） A ．8- B ．6- C ．1- D ． 3.若复数满足3(1i)12i z +=-，则z 等于（ ）A B ．32 C ．2D ．124.设等差数列{}n a 的前项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（ ） A ．32- B ．12 C ．16 D ．325.已知m ，是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，则m β⊥ B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊄，m β⊥，则//m α D ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥6.若6(x的展开式中含32x 项的系数为160，则实数的值为（ ）A ．B ．2-C ．D ．- 7.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,0,)2A ωϕ>><的部分图象如图所示.现将函数()f x 图象上的所有点向右平移π4个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．π()2sin(2)4g x x =+ B ．3π()2sin(2)4g x x =+ C ．()2cos 2g x x = D ．π()2sin(2)4g x x =-8.若为实数，则“2x ≤≤223x x +≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A B ． C D ．24π 10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（ ） A ．7?n ≤ B ．7?n > C ．6?n ≤ D ．6?n > 11.已知函数()1ln mf x n x x=--(0,0e)m n >≤≤在区间[1,e]内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ） A ．2e +2e [,+1]e +e +12 B ．2e[,+1]e +12 C ．2[,1]e +1 D ．e[1,+1]212.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点.当12AP PB =时，AOB ∆的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．329 B ．169 C ．89 D ．49二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知132a =，231()2b =，则2log ()ab = ．14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 ．15.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线与轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为，则实数p 的值为 ． 16.已知数列{}n a 共16项，且11a =，84a =.记关于的函数321()3n n f x x a x =-2(1)n a x +-，*N n ∈.若1(115)n x a n +=≤≤是函数()n f x 的极值点，且曲线8()y f x =在点16816(,())a f a 处的切线的斜率为15.则满足条件的数列{}n a 的个数为 ．三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()cos 22x x f x =21cos 22x -+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1()2f A =，a =sin 2sin B C =，求c .18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.19.如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，AB BC ⊥，AB BC ==（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； （2）求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A B 是椭圆上的动点，1ABF ∆的面积的最大值为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点1F 的直线与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .若直线'l 与直线相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQ MN的最小值.21.已知函数()ln 1f x x x ax =++，R a ∈.（1）当时0x >，若关于的不等式()0f x ≥恒成立，求的取值范围； （2）当*N n ∈时，证明：223ln 2ln 242n n <++21ln 1n nn n ++⋅⋅⋅+<+.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，(0,π)α∈.在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为π)4，直线的极坐标方程为πsin()04ρθ-+=.（1）求直线的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点.求点M 到直线的距离的最大值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =++-. （1）解不等式()3f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若，，均为正实数，且122a b c m ++=，求222a b c ++的最小值.【参考答案】一、选择题1-5: DBADC 6-10: BDBCD 11-12：AA 二、填空题13. 13-14. 24 15. 16. 1176 三、解答题17.解：（1）1()cos 22f x x x =-πsin()6x =-.由ππ2π26k x +≤-3π2π2k ≤+，Z k ∈，得2π2π3k x +≤5π2π3k ≤+，Z k ∈. ∴函数()f x 的单调递减区间为2π5π[2π,2π]33k k ++，Z k ∈. （2）∵π1()sin()62f A A =-=，(0,π)A ∈，∴π3A =.∵sin 2sin B C =，∴由正弦定理sin sin b cB C=，得2b c =.又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，a =22213442c c c =+-⨯.解得1c =.18.解：（1）由22⨯列联表的数据，有2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2200(30001200)1406070130-=⨯⨯⨯ 220018146713⨯=⨯⨯⨯54008.4810.828637=≈<. 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.（2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为310.X 的所有可能取值分别为0,1，2，3，4， ∵239(0)()10100P X ===，12(1)C P X ==13321010⨯=， 12(2)C P X ==213137()5102100⨯+=，12(3)C P X ==111255⨯=， 211(4)()525P X ===，∴X 的分布列为：X 的数学期望为1210100EX =⨯+⨯34 1.8525+⨯+⨯=（元）.19.解：（1）连接MD ，FD .∵四边形BDEF 为菱形，且60FBD ∠=，∴DBF ∆为等边三角形. ∵M 为BF 的中点，∴DM BF ⊥.∵AB BC ⊥，AB BC ==D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥. ∵平面BDEF平面ABC BD =，平面ABC ⊥平面BDEF ，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面BDEF .又BF ⊂平面BDEF ，∴AC BF ⊥. 由DM BF⊥，AC BF ⊥，DMAC D =，∴BF ⊥平面AMC .（2）设线段EF 的中点为N ，连接DN .易证DN ⊥平面ABC .以D 为坐标原点，DB ，DC ，DN 所在直线分别为轴，y 轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.则(0,1,0)A -，1(2E -，1(2F ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C .∴1(2AE =-，(1,0,0)EF =，1(2BF =-，(1,1,0)BC =-. 设平面AEF ，平面BCF 的法向量分别为111(,,)m x y z =，222(,,)n x y z =.由0AE m EF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1111102102x y z x ⎧-+=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩.解得11y z =.取12z =-，∴(0,3,2)m =-.又由00BC n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩222201022x y x z -+=⎧⎪⇒⎨-+=⎪⎩解得22y =. 取21z =，∴(3,3,1)n =.∵cos ,m n <>m n m n⋅=17==.∴平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值为17.20.解：（1）由已知，有2c a =，即222a c =. ∵222a b c =+，∴b c =.设B 点的纵坐标为00(0)y y ≠. 则101()2ABF S a c y ∆=-⋅1()2a cb ≤-12=，即)1b b -. ∴1b =，a =∴椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）由题意知直线的斜率不为，故设直线：1x my =-. 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)P P P x y ，(2,)Q Q y .联立22221x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去，得22(2)210m y my +--=.此时28(1)0m ∆=+>.∴12222m y y m +=+，12212y y m =-+.由弦长公式，得MN =12y y -=整理，得2212mMN m +=+.又12222P y y m y m +==+，∴1P P x my =-222m -=+.∴2P PQ =-22262m m +=+.∴2PQ =22=22=≥，=1m =±时等号成立.∴当1m =±，即直线的斜率为1±时，PQMN 取得最小值.21.解：（1）由()0f x ≥，得ln 10x x ax ++≥(0)x >. 整理，得1ln a x x -≤+恒成立，即min 1(ln )a x x-≤+. 令1()ln F x x x =+.则22111'()x F x x x x -=-=. ∴函数()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ∴函数1()ln F x x x=+的最小值为(1)1F =.∴1a -≤，即1a ≥-. ∴的取值范围是[1,)-+∞.（2）∵24n n +为数列1(1)(2)n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前项和，1n n +为数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前项和. ∴只需证明211ln (1)(2)n n n n +<++1(1)n n <+即可. 由（1），当1a =-时，有ln 10x x x -+≥，即1ln x x x ≥-. 令11n x n +=>，即得1ln 11n n n n +>-+11n =+. ∴2211ln ()1n n n +>+1(1)(2)n n >++1112n n =-++. 现证明211ln (1)n n n n +<+，即==(*) 现证明12ln (1)x x x x<->. 构造函数1()2ln G x x x x =--(1)x ≥， 则212'()1G x x x =+-22210x x x -+=≥. ∴函数()G x 在[1,)-+∞上是增函数，即()(1)0G x G ≥=.∴当1x >时，有()0G x >，即12ln x x x<-成立.令x =(*)式成立. 综上，得211ln (1)(2)n n n n +<++1(1)n n <+. 对数列1(1)(2)n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭，21ln n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭，1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭分别求前项和， 得223ln 2ln 242n n <++21ln 1n n n n ++⋅⋅⋅+<+. 22.解：（1）∵直线的极坐标方程为πsin()04ρθ-+=，即sin cos 100ρθρθ-+=. 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线的直角坐标方程为100x y --=.将曲线C的参数方程2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去参数α，得曲线C 的普通方程为221(0)124x y y +=>. （2）设,2sin )Q αα(0π)α<<.点P的极坐标π)4化为直角坐标为(4,4).则2,sin 2)M αα++. ∴点M到直线的距离d==≤当πsin()13α-=，即5π6α=时，等号成立. ∴点M到直线的距离的最大值为23.解：（1）()211f x x x =++-13,212,123,1x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩. ∴()3f x ≥等价于1233x x ⎧≤-⎪⎨⎪-≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪+≥⎩或133x x ≥⎧⎨≥⎩.解得1x ≤-或1x ≥. ∴原不等式的解集为(,1][1,)-∞-+∞.（2）由（1），可知当12x =-时，()f x 取最小值32，即32m =. ∴13222a b c ++=. 由柯西不等式，有2222221()[()12]2a b c ++++21(2)2a b c ≥++. ∴22237a b c ++≥. 当且仅当22c a b ==，即17a =，27b =，47c =时，等号成立. ∴222a b c ++的最小值为37.。

四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测理数试题数学（理工类）本试卷分选择题和非选择题两部分，第I卷（选择题）第1至2页，第II卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名，考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦拭干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上做答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，只将答题卡交回。

第I卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 设复数i=3（i为虚数单位）在复平面中对应点A，z+将OA绕原点O逆时针旋转0°得到OB，则点B在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2. 执行如图的程序框图，若输入的x 值为7，则输出的x 的值为 （A ）41（B ）3log 2 （C ）2 （D ）33. ()101-x 的展开式中第6项系的系数是（A ）510C - （B ）510C （C ）610C - （D ）610C4. 在平面直角坐标系xoy 中，P 为不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≤01021y x y x y 所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为（A ）2 （B ）31 （C ）21 （D ）15. 已知βα,是两个不同的平面，则“平面//α平面β”成立的一个充分条件是（A ）存在一条直线l ，βα//,l l ⊂ （B ）存在一个平面γ，βγαγ⊥⊥,（C ）存在一条直线βα⊥⊥l l l ,, （D ）存在一个平面βγαγγ⊥,//,6. 设命题()；000000cos cos --cos ,,:βαβαβα+∈∃R p 命题,,:R y x q ∈∀且ππk x +≠2，Z k k y ∈+≠,2ππ，若y x ＞,则y x tan tan ＞，则下列命题中真命题是（A ）q p ∧ （B ）()q p ⌝∧ （C ）()q p ∧⌝ （D ）()()q p ⌝∧⌝7. 已知P 是圆()1122=+-y x 上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ，若d OP =，则函数()θf d =的大致图像是8. 已知过定点()0,2的直线与抛物线y x =2相交于()()2211,,,y x B y x A 两点.若21,x x 是方程0cos sin 2=-+ααx x 的两个不相等实数根，则αtan 的值是（A ）21 （B ）21- （C ）2 （D ）-29. 某市环保部门准备对分布在该市的H G F E D C B A ,,,,,,,等8个不同检测点的环境监测设备进行监测维护.要求在一周内的星期一至星期五检测维修完所有监测点的设备，且每天至少去一个监测点进行检测维护，其中B A ,两个监测点分别安排在星期一和星期二，E D C ,,三个监测点必须安排在同一天，F 监测点不能安排在星期五，则不同的安排方法种数为（A ）36 （B ）40 （C ）48 （D ）6010. 已知定义在[)+∞,0上的函数()x f ，当[]1,0∈x 时，;2142)(--=x x f 当1＞x 时，()()a R a x af x f ,,1∈-=为常数.下列有关函数()x f 的描述：①当2=a 时，423=⎪⎭⎫⎝⎛f ； ②当，＜1a 函数()x f 的值域为[]2,2-； ③当0＞a 时，不等式()212-≤x ax f 在区间[)+∞,0上恒成立；④当01-＜＜a 时，函数()x f 的图像与直线()*-∈=N n a y n 12在[]n ，0内的交点个数为()211nn -+-.其中描述正确的个数有 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

四川省成都市石室中学2018届高三下学期二诊模拟考试数学试卷（文科）C. D.【答案】A.....................2. 已知全集那么集合C. D.【答案】C3. 的最小值是C. D.【答案】C【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,B. C.【答案】A．5.【答案】CC.【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.6. ，则此四棱锥最长的侧棱长为【答案】C7.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A为充分条件.故为不必要条件.综上所述,为充分不必要条件,故选A.8. 已知函数的图象关于直线【答案】D,.即故选D.9. ,率为C. D.【答案】D代入双曲线方程得10. 已知函数，将2倍，再向左个单位后得到函数上随机取一个数B.【答案】D,依题意可知,且所以函数上满足,故概率为【点睛】本小题主要考查三角函数的化简,考查二倍角公式和辅助角公式,考查三角函数图像变换,考查直线型的几何概型的求解方法.题目给定一个含有三角函数的解析式,首先考虑将,,再根据函数的值,由此求得概率.11. ,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t,则称函数为“t函数”.下列函数中为“2函数”的是A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】B【解析】对于①同时为零,.对于②不符合.排除含有①②的选项,故选【点睛】本小题主要考查对于新定义的概念的理解,考查函数导数的求解公式,考查导数与切线的对应关系,还考查了函数值的大小.对于新定义题目的求解,主要通过理解新定义中蕴含的新的数学知识,故将题目所给函数求导后,利用导数和的大小来确定选项.12. 已知向量，若，则【答案】C；因为的最大值与最小值之和为，选C.13. 从某小学随机抽取名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).,一项活动,_____【解析】三组的比值为故.14. 已知数列的各项都为正数，前1的等差数列，且的首项为,15. 已知四面体ABCD的所有棱长都为,O是该四面体内一点,且点O到平面ABC、平面ACD、___.【解析】该几何体为正四面体所以四,故.【点睛】本小题主要考查正四面体体积的计算,考查利用分割法求几何体的体积,考查了方程的思想,考查了利用基本不等式求解和的最小值的方法.首先根据题目的已知条件判断出四面,由于正四面体的棱长给出,所以可以计算出正四面体的体积,根据等体积,再利用基本不等式求得最小值.且在第一象限，垂直该抛物线的准线于点物线的焦点, 若四边形,则该圆的方程为【解析】依题意,由于所以圆心在,.所以的横坐标为设圆心为两点的距离相等,且半径的平方为故所求圆的方程为.17. 如图，分别是锐角的三个内角的对边，，（1（214.【答案】（12【解析】【试题分析】(1)利用正弦定理将已知的边转化为角,化简求得再利用三角形内.(2)利用正弦定理和三角形的面积公式列方程组,可求得,.【试题解析】（1）由题知由所以）由正弦定理，解得18. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了70辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：（1）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损6000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商店内有7辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选2辆，求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次性购进70辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值(结果用分数表示).【答案】【解析】试题分析：（1）利用等可能事件概率计算公式，能求出一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的概率；（2）①由统计数据可知，该销售商店内的六辆该品牌车龄已满三年的二手车有两辆事故车，利用列举法求出从六辆车中随机挑选两辆车的基本事件总和其中两辆车恰好有一辆事故车包含的基本事件个数，由此能求出该顾客在店内随机挑选的两辆车恰好有一辆事故车的概率，②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，由此能求出一辆车盈利的平均值.试题解析：(1)一辆普通6(2)①由统计数据可知，该销售商店内的6辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车，设为b1，b2,4辆非事故车，设为a1，a2，a3，a4.从6辆车中随机挑选2辆车的情况有(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)，共15种．其中2辆车恰好有一辆为事故车的情况有(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，共8种，所以该顾客在店内随机挑选2辆车，这2②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80元)．点睛：本题考查概率的求法及应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式、列举法的合理运用；在列举过程中要做到不重不漏，最好按照某种规律进行列举.19. ，（1）证明：（2.【答案】（1）证明见解析 (2)【解析】【试题分析】(1)根据四边形,即求得几何体的体积.【试题解析】（1）由ABC D是菱形，则AB=BC，又E是BC中点，，20. 已知椭圆相切,为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为1,若.【答案】（1（2【解析】【试题分析】(1)根据切线过上顶点和右顶点得出切线的方程,利用圆心到直线的距离等于半径列出一个等式,.(2)设出直线程,联立直线方程和椭圆方程,写出韦达定理,,联立方程组可求得直线的方程,并求得三角形的面积.【试题解析】（1，所以椭圆（2）设直线为，，可得又因为，可得，解得21.（1（2【答案】证明见解析【解析】【试题分析】(1)利用二的最小值,.(2)求得阶导数和阶导数,将论函数的单调区间,化简由此证得【试题解析】(1)由题，在单增，，，时, 知: 在单调递增,不合题意.此时知道：在单减，单增，单减, 且易知又【点睛】本小题主要考查函数的导数与单调性,考查利用导数证明不等式.还考查了恒成立问题的求解方法. 确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.22. 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,，过点数）与曲线.(1)写出曲线;(2).【答案】(1)直线l【解析】【试题分析】(1)可求得其直角坐标方程.利用加减可求得直线的直角坐标方程.(2)将直线的参数方程代入抛物线的方程,化简后写出韦达定理,利用直线参数的几何意义,结合.【试题解析】(1)由=整理得=,∴曲线的直角坐标方程为=,直线的普通方程为=(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程=中,得,设两点对应的参数分别为,则有==,∵=,∴=即=∴=即,解得或者(舍去),∴的值为123. 选修4-5：不等式选讲（1（2【答案】（1）（2【解析】【试题分析】(1)将原不等式化为利用零点分段法去绝对值,将函数转化为分段函数来求解得不等式的解集.(2)利用零点分段法去绝对值,,.【试题解析】（1）不等式．当，，解之得；当时，，解之得；当时，，无解．综上，不等式的解集为（2）令，则当时，．欲使不等式恒成立，只需，即．又因为，所以，即．．。

2018年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，B={x||x|≤2}，则A∪B=（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[0，2]D．[0，4]2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣l，0）C．（0，1）D．（1，2）3．复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．24．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A． B．C．D．5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）A．[﹣，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]6．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，118），[118，118），[118，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A．10 B．12 C．20 D．407．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种B．24种C．18种D．9种8．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形9．已知函数f（x）=，则不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣，1）C．（0，2）D．（﹣，log32）10．已知抛物线y=x2的焦点为F，经过y轴正半轴上一点N作直线l与抛物线交于A，B两点，且=2（O为坐标原点），点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为（）A．3 B．C．2D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于______．12．的展开式中，x2项的系数为______．（用数字作答）13．已知实数x，y满足，则x2+y2﹣2x的取值范围是______．14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为______15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：①∀x＞0，不等式f（x）＜2x恒成立；②∃k∈R，使方程f（x）=k有四个不相等的实数根；③函数f（x）的图象存在无数个对称中心；④若数列{a n}为等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π．其中的正确命题有______．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc．（I）求角A的大小；（Ⅱ）求bsinC的最大值．17．已知数列{a n}满足a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n，（n≥2，n∈N*）．﹣1（I）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n．证明：S n＜2．18．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，=．（I）证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．21．设函数f（x）=lnx．（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）若关于x的不等式mf（x）≥在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），试比较f（tana）与﹣cos2a的大小，并说明理由．2018年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，B={x||x|≤2}，则A∪B=（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[0，2]D．[0，4]【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|y=}={x|4x﹣x2≥0}={x|0≤x≤4}，B={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，则A∪B={x|﹣2≤x≤4}，故选：B．2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣l，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（﹣1），f（0），f（1），f（2）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（﹣1）=2﹣1+1﹣2=﹣＜0，f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，f（2）=4＞0，故有f（0）•f（1）＜0，由零点的存在性定理可知：函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在的区间是（0，1）故选：C．3．复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的化数形式的乘除运算法则求解．【解答】解：∵z=====1+2i，∴复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是2．故选：D．4．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A． B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】几何体为椎体与柱体的组合体，分四种情况进行判断．【解答】解：由主视图和侧视图可知几何体为椎体与柱体的组合体，（1）若几何体为圆柱与圆锥的组合体，则俯视图为A，（2）若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为B，（3）若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为C，（4）若几何体为圆柱与棱锥的组合体，则俯视图为故选：D．5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）A．[﹣，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，则y=cos（2x+），即g（x）=cos（2x+），由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，当k=0时，单调递减区间为[﹣，]，故选：D．6．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，118），[118，118），[118，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A．10 B．12 C．20 D．40【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出得分数低于112分的频率，从而求出高三（1）班总人数，再求出分数不低于120分的频率，由此能求出分数不低于120分的人数．【解答】解：由频率分布直方图得分数低于112分的频率为：（0.01+0.18+0.18）×4=0.36，∵分数低于112分的有18人，∴高三（1）班总人数为：n==50，∵分数不低于120分的频率为：（0.18+0.18）×4=0.2，∴分数不低于120分的人数为：50×0.2=10人．故选：A．7．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种B．24种C．18种D．9种【考点】计数原理的应用．【分析】根据红包的性质进行分类，若甲乙抢的是一个2和一个3元的，若两个和2元或两个3元，根据分类计数原理可得．【解答】解：若甲乙抢的是一个2和一个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A32=12种，若甲乙抢的是两个和2元或两个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C32=6种，根据分类计数原理可得，共有12+6=18种，故选：C．8．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形【考点】棱锥的结构特征．【分析】A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，可得AE⊥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得AE⊥EF，即可判断出正误．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，即可判断出正误；C．当EF∥平面ABC时，可得EF∥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得：BC⊥AE，EF⊥AE，即可判断出正误；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误．【解答】解：A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴AE⊥BC，可得：AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，∴△AEF﹣定为直角三角形，正确．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，因此不正确；C．当EF∥平面ABC时，平面PBC∩ABC=BC，可得EF∥BC，∵PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，因此EF⊥AE，则△AEF﹣定为直角三角形，正确；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∴AE ⊥EF，因此△AEF﹣定为直角三角形，正确．故选：B．9．已知函数f（x）=，则不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣，1）C．（0，2）D．（﹣，log32）【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，讨论f（x）的符号，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：由3x+1=0得x=﹣，当x＜﹣时，3x+1＜0，则由f（f（x））＜4f（x）+1得f（3x+1））＜4（3x+1）+1，即3（3x+1）+1＜12x+4+1，即9x+4＜12x+5，得x＞﹣，此时不等式无解，当x≥﹣时，当x≥0时，f（x）=3x≥1，则由f（f（x））＜4f（x）+1得＜4•3x+1，设t=3x，则不等式等价为3t＜4t+1，设g（t）=3t﹣4t﹣1，则g（0）=0，g（2）=9﹣8﹣1=0，即g（t）＜0的解为0＜t＜2，即0＜3x＜2，得0≤x＜log32，当﹣≤x＜0时，f（x）=3x+1≥0，则f（f（x））=33x+1，则由f（f（x））＜4f（x）+1得33x+1＜4（3x+1）+1，设t=3x+1，则不等式等价为3t＜4t+1，设g（t）=3t﹣4t﹣1，则g（0）=0，g（2）=9﹣8﹣1=0，即g（t）＜0的解为0＜t＜2，即0＜3x+1＜2，即﹣1＜3x＜1，得﹣＜x＜，此时﹣＜x＜0，综上所述，﹣＜x＜log32．即不等式的解集为（﹣，log32），故选：D10．已知抛物线y=x2的焦点为F，经过y轴正半轴上一点N作直线l与抛物线交于A，B两点，且=2（O为坐标原点），点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为（）A．3 B．C．2D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设直线AB方程为y=kx+b（b＞0），联立y=x2求解利用=2，求出b，可得直线AB方程为y=kx+2，设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离，利用四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=（OA•d1+AB•d2），可得S关于k的函数，利用导数知识即可求解．【解答】解：不妨设位于第一象限的交点为A（x1，y1）、第二象限的交点为B（x2，y2），则x1＞0，x2＜0．OA的直线方程为y=x=x1x，F点的坐标为（0，）．设直线AB方程为y=kx+b（b＞0），联立y=x2求解，有x2﹣kx﹣b=0∴x1+x2=k，x1x2=﹣b，∴y1y2=b2，∵=2，∴x1x2+y1y2=﹣b+b2=2∵b＞0，∴b=2∴△=k2+8，x1=（k+）①；线段AB=②．设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离．∵C是F关于OA的对称点，∴C到OA的距离=d1．∴四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=（OA•d1+AB•d2）．根据点到直线距离公式，d1=③，d2=④．又线段OA=⑤，∴将①～⑤代入S，有S=（k+17）．由S对k求导，令导函数=0，可得1+=0，解得k=﹣时，S最小，其值为3．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线=1的右焦点为（3，0），求出|a|，再利用双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线=1的右焦点为（3，0），∴a2+5=9，∴|a|=2，∵c=3，∴双曲线的离心率等于．故答案为：．12．的展开式中，x2项的系数为﹣20．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．【解答】解：在的展开式中，它的通项公式为T r+1=•x5﹣r•（﹣1）r，令5﹣r=2，求得r=3，可得x2项的系数为﹣=﹣20，故答案为：﹣20．13．已知实数x，y满足，则x2+y2﹣2x的取值范围是[﹣1，19] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，而（x﹣1）2+y2的几何意义表示平面区域内的点与（1，0）的点距离的平方，求出（x﹣1）2+y2的范围，从而求出x2+y2﹣2x的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得A（3，4），x2+y2﹣2x=（x﹣1）2+y2﹣1，而（x﹣1）2+y2的几何意义表示平面区域内的点与（1，0）的点距离的平方，0≤（x﹣1）2+y2≤20，∴﹣1≤（x﹣1）2+y2≤19，故答案为：[﹣1，19]．14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=•tan•tan…tan的值．由于：S=•tan•tan…tan tan=•tan•tan…cot•cot=tan=．故答案为：．15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：①∀x＞0，不等式f（x）＜2x恒成立；②∃k∈R，使方程f（x）=k有四个不相等的实数根；③函数f（x）的图象存在无数个对称中心；④若数列{a n}为等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π．其中的正确命题有③④．（写出所有正确命题的序号）【考点】函数的图象．【分析】①用特殊值的方法即可；②③根据函数图象判断；④可用反代的方法判断成立．【解答】解：①当x=时，显然f（x）＞2x，故错误；②根据函的图象易知，方程f（x）=k最多有三个不相等的实数根，故错误；③根据函数的图象易知函数f（x）的图象存在无数个对称中心，故正确；④f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，∴a l+a2+a3=3π，sina l+sina2+sina3=0，解得a2=π，故正确．故答案为：③④．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc．（I）求角A的大小；（Ⅱ）求bsinC的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由余弦定理可得：cosA===，即可得出．（II）由正弦定理可得：可得b=，可得bsinC=2sinBsin=+，根据B∈即可得出．【解答】解：（I）由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）由正弦定理可得：，可得b=，bsinC=•sinC=2sinBsin=2sinB=sin2B+=+，∵B∈，∴∈．∴∈．∴bsinC∈．17．已知数列{a n}满足a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n，（n≥2，n∈N*）．﹣1（I）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n．证明：S n＜2．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）依题意，可得a n=••…×××a1=，再验证n=1时是否符合该式即可得到答案，（Ⅱ）先裂项求和，再放缩法证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n，﹣1∴=，∴=，…，==，==，∴a n=••…×××a1=，又n=1时a1=1，满足上式，∴数列{a n}的通项公式a n=，（Ⅱ）∵a n==2（﹣），∴S n=a1+a2+…+a n=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）＜2，问题得以证明．18．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，由此能求出该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，则P1+P2==，即中奖的概率为，∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，P（X=0）=，P（X=50）==，P（X=100）==，P（X=150）==，P（X=200）==，X∴EX==55（元）．19．如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，=．（I）证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）建立空间直角坐标系，利用向量关系求出F的坐标，根据线面平行的判定定理即可证明证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（I）如图，连接AB1，交A1E于F，连接MF，∵E为BB1的中点，∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设AA1=h，则A（0，0，0），C1（0，1，h），A1（0，0，h），E（2，0，），M（0，，0），B1（2，0，h），设F（x，0，z），则∥，∥，∵=（x，0，z），=（2，0，h），∴①∵=（x，0，z﹣h），=（2，0，﹣），∴=②，由①②得z=h，x=，或F作FT⊥AB，则==，则∴AF=AB1，∵=．∴MF∥CB1，∵MF⊂平面平面A1EM，CB1⊄平面A1EM，∴CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）设平面C1A1E的法向量为=（x，y，z），平面MA1E的法向量为=（x，y，z），则，则，令z=1，则x=，y=0，则=（，0，1），由得，令z=1，则x=，y=，即=（，，1）|cos＜，＞|==，得h2=2，即h=，则AA1的长度为．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）求得抛物线的焦点，可得c=1，设P为（，m），由椭圆的焦半径公式可得，|PF1|=a+•=，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=++1，解方程可得a=2，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），代入抛物线的方程，由判别式为0，可得kb=1，再由椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，以及基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：（I）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），可得椭圆的c=1，设P为（，m），由椭圆的焦半径公式可得，|PF1|=a+•=，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=++1，解得a=2，b==，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），代入抛物线的方程，可得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0，由相切的条件可得，△=（2kb﹣4）2﹣4k2b2=0，化简可得kb=1，由y=kx+和椭圆方程3x2+4y2=12，可得（3+4k2）x2+8x+﹣12=0，由64﹣4（3+4k2）（﹣12）＞0，可得k＞，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，即有中点坐标为（﹣，），设N（0，n），由=﹣，可得n=﹣，由y=kx+，设y=0，则x=﹣，M（﹣，0），可得直线MN的斜率为k MN==﹣=﹣≥﹣=﹣．当且仅当k=＞时，取得最小值﹣．21．设函数f（x）=lnx．（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）若关于x的不等式mf（x）≥在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），试比较f（tana）与﹣cos2a的大小，并说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求导数，确定函数的单调性，即可求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）mf（x）≥可化为mlnx﹣≥0，构造函数，得出m（x+1）2﹣2x≥0在[1，x0]上恒成立，即可求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），证明＜，分类讨论，即可比较f（tana）与﹣cos2a的大小．【解答】解：（I）函数g（x）=x﹣1﹣f（x）=x﹣1﹣lnx，g′（x）=（x＞0），∴g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，g（x）的极小值为0；（Ⅱ）mf（x）≥可化为mlnx﹣≥0，令h（x）=mlnx﹣（x≥1），则h′（x）=，∵h（1）=0，∴∃x0＞1，h（x）在[1，x0]上单调递增，∴m（x+1）2﹣2x≥0在[1，x0]上恒成立，∴m≥；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知x＞1，＞．∵0＜x＜1，∴＞1∴＞，∴＜，令x=t2，可得t＞1，lnt＞，0＜t＜1，lnt＜，∵f（tana）=lntana，﹣cos2a=，∴0＜a＜，0＜tana＜1，f（tana）＜﹣cos2aa=，tana﹣1，f（tana）=﹣cos2a，＜a＜，tana＞1，f（tana）＞﹣cos2a．2018年9月20日。

成都石室中学高2018届二诊模拟考试数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 1.已知复数21iz i=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．1i - B ．1i + C ．i D ．i -2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，12a =，533a a =，则3a =（ ） A ．-2 B ．0 C ．3 D ．63.已知向量(1,2)a =-，(3,)b m =，m R ∈，则“6m =-”是“//()a a b +”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件4.设函数2()log f x x =，在区间(0,5)上随机取一个数x ，则()2f x <的概率为（ ） A ．15 B ．25 C.35 D ．455.一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A ．203 B ．403C.20 D ．40 6.已知,x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若目标函数3z x y =+的最大值为8，则k =（ ）A ．-16B ．-6 C.83-D ．6 7.定义运算*a b 为执行如图所示的程序框图输出的S值，则1(lg9lg2)294100*(log 8log -•的值为（ ）A ．1316 B ．92C.4 D ．6 8.如图，在正四棱锥S ABCD -中，,,E M N 分别是,,BC CD SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP AC ⊥；②//EP BD ；③//EP 面SBD ；④EP ⊥面SAC .其中恒成立的为（ ）A ．①③B ．③④ C. ①② D ．②③④ 9.若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，则实数a =（ ） A ．-2 B ．12C. 1 D ．210.已知ABC ∆是边长为EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则ME FM •的最大值为（ ）A ．3B ．4 C.5 D ．611.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，,A B是圆222()4x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（ ）A D12.若对,m n R ∀∈，有()()()3g m n g m g n +=+-，求2()()1f xg x x =++的最大值与最小值之和是（ ）A ．4B ．6 C.8 D ．10二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合{|(3)0}A x x x =->，集合{|22}x B y y ==+，则A B =∩ ． 14.已知角α的始边是x 轴非负半轴．其终边经过点34(,)55P --，则tan α的值为 ．15.在直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在唯一一点M ，使||2||MA MO =，则圆心C 的非零横坐标是 ．16.数列{}n a 满足132a >，211n n n a a a +=-+，且2017112i ia ==∑，则201814a a -的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间（单位：分钟），从高一年级新生中随机抽取100名新生按上学所需时间分组：第1组(0,10]，第2组(10,20]，第3组(20,30]，第4组(30,40]，第5组(40,50]，得到的频率分布直方图如图所示.（1）根据图中数据求a 的值；（2）若从第3，4,5组中用分层抽样的方法抽取6名新生参与交通安全问卷调查，应从第3,4,5组各抽取多少名新生？（3）在（2）条件下，该校决定从这6名新生中随机抽取2名新生参加交通安全宣传活动，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.18. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30B ∠=°，ABC ∆的面积为32. （1）当,,a b c 成等差数列时，求b ； （2）求AC 边上的中线BD 的最小值.19. 如图，四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =.（1）求棱锥C ADE -的体积； （2）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（3）在线段DE 上是否存在一点F ，使//AF 平面BCE ？若存在，求出EFED的值；若不存在，说明理由.20. 已知两点(2,0)A -，(2,0)B ，动点P 与,A B 两点连线的斜率PA PB k k ，满足14PA PB k k =-•.（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）H 是曲线E 与y 轴正半轴的交点，曲线E 上是否存在两点,M N ，使得HMN ∆是以H 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.21. 已知2()(12)xf x e x mx m =++-，其中m R ∈. （1）当1m =时，求函数()y f x =单调递增区间；（2）求证：对任意m R ∈，函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线恒过定点； （3）是否存在实数m 的值，使得()y f x =在(,)-∞+∞上有最大值或最小值，若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.22.直角坐标系中曲线C 的参数方程为4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）经过点(0,1)M 作直线l 交曲线C 于,A B 两点（A 在B 上方），且满足||2||BM AM =，求直线l 的方程.二诊模拟文科答案一、选择题1-5:AAADB 6-10:BAACA 11、12：CB 二、填空题13. {|23}x x << 14.43 15. 125 16.32- 三、解答题17.解：（1）因为(0.0050.010.030.035)101a ++++⨯=， 所以0.02a =. （2）依题意可知，第3组的人数为0.310030⨯=， 第4组的人数为0.210020⨯=， 第5组的人数为0.110010⨯=. 所以3、4、5组人数共有60.所以利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名新生，分层抽样的抽样比为616010=. 所以在第3组抽取的人数为130330⨯=人， 在第4组抽取的人数为120210⨯=人， 在第5组抽取的人数为110110⨯=人. （3）记第3组的3名新生为123,,A A A ，第4组的2名新生为12,B B ，第5组的1名新生为1C ，则从6名新生中抽取2名新生，共有：12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，11(,)A C ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，21(,)A C ，31(,)A B ，32(,)A B ，31(,)A C ，12(,)B B ，11(,)B C ，21(,)B C ，共有15种.其中第4组的2名新生12,B B 至少有一名新生被抽中的有：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，11(,)B C ，21(,)B C 共9种，则第4组至少有一名新生被抽中的概率为93155P ==. 18.解：（1）由条件2a c b +=，6ac =，而222b ac =+=2()(2a c ac +-246(2b =-.即236(2b =，解得1b =（2）∵2BA BC BD +=，∴||(BA BD ==2BA BC BA BC++•=≥==.当a c ==19.解：（1）在Rt ADE ∆中，AE =CD ⊥平面ADE ，所以棱锥C ADE -的体积为13C ADE ADE V S CD -∆=•132AE DECD ==•••（2）证明：因为CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥.又因为AE DE ⊥，CD DE D =∩，所以AE ⊥平面CDE ，又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE .（3）结论：在DE 线段上存在一点F ，且13EF ED =，使//AF 平面BCE . 设F 为线段DE 上一点，且13EF ED =，过点F 作//FM CD 交CE 于M ，则13FM CD =.因为CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，所以//CD AB .又因为3CD AB =，所以MF AB =，//FM AB ，所以四边形ABMF 是平行四边形，则//AF BM ．又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE . 20.解：（1）设点P 的坐标为(,)(2)x y x ≠±，则02PA y k x -=+，02PB y k x -=- ，依题意14PA PBk k =-•，所以1224y y x x =-+-•，化简得2214x y +=，所以动点P 的轨迹E 的方程为221(2)4x y x +=≠±. （2）设能构成等腰直角HMN ∆，其中H 为(0,1)，由题意可知，直角边HM ，HN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设HM 所在直线的方程为1y kx =+，（不妨设0k >），则HN 所在直线的方程为11y x k=-+. 联立方程22144y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 整理得22(14)80k x kx ++=，解得2814M kx k=-+. 将2814M kx k =-+代入1y kx =+可得228114M k y k -=++，故点M 的坐标为22288(,1)1414k k M k k--+++.所以||HM ==.同理可得H =，由||||HM HN =，得22(4)14k k k +=+，所以324410k k k -+-=，整理得2(1)(31)0k k k --+=，解得1k =或32k ±=当HM 斜率1k =时，HN 斜率-1；当HM 斜率32k =HN 斜率32-；当HM 斜率k =HN . 综上所述，符合条件的三角形有3个.21.解：（1）当1m =时，2()(1)xf x e x x =+-，2'()(3)xf x e x x =+. 令()0f x >，得0x >或3x <-.∴函数()y f x =的单调递增区间为(,3)-∞-，(0,)+∞.（2）2'()[(2)(1)]x f x e x m x m =+++-，(0)1f m =-，'(0)12f m =-.∴函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为(12)(1)(0)y m m x --=--. 即(1)210m x y m -++-=.方程(1)210m x y m -++-=可化为(2)(1)0m x x y +--+=，当2010x x y +=⎧⎨-+=⎩即21x y =-⎧⎨=-⎩时，对任意m R ∈，(1)210m x y m -++-=恒成立.∴函数()y f x =的图象在(0,(0))f 点处的切线方程(1)210m x y m -++-=经过定点(2,1)--.（3）2'()[(2)(1)]x f x e x m x m =+++-.令2112y x mx m =++-，22(2)(1)y x m x m =+++-，2214(12)84m m m m ∆=--=+-，222(2)4(1)8m m m m ∆=+--=+.①当20∆≤即80m -≤≤时，2(2)(1)0y x m x m =+++-≥， ∴2'()[(2)(1)]0xf x e x m x m =+++-≥， ∴()y f x =在(,)-∞+∞上单调递增，∴()y f x =在(,)-∞+∞上不存在最大值和最小值.②当20∆>即8m <-或0m >时，设方程2(2)(1)0x m x m +++-=的两根为12,x x .'()()f x f x ，随x 的变化情况如下表：当x →-∞时，()0f x >，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞.∴要使()y f x =在(,)-∞+∞上有最大值或最小值，只需满足2()0f x ≤即10y ≤有解.∴2214(12)840m m m m ∆=--=+-≥，解得4m ≤--4m ≥-+综上可得，4m ≤--4m ≥-+22.解：（1）由题意：曲线C 的直角坐标方程为：221169x y +=. （2）设直线l 的参数方程为cos 1sin x t y =∂⎧⎨=+∂⎩（∂为参数）代入曲线C 的方程有：22(7sin 9)32sin 1280t t ∂++∂-=，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则212t t =-，则121232sin 97sin t t t ∂+=-=-+∂，21212128297sin t t t =-=-+∂•， ∴2sin 1∂=，∴直线l 的方程为：0x =.。

石室中学高2018届高考适应性考试（二）数学参考答案（文科）一、选择题二、填空题13. 1； 14. 3+ 15. 6π； 16. 1-三、解答题17. 解：（1）由*21（）=-∈n n S a n N ，可得1121S a =-，…………………….1分∴1121a a =-，∴11a =.又2221S a =-，∴12221a a a +=-，∴22a =.…………………….2分 ∵数列{}n a 是等比数列，∴公比212a q a ==，…………………….4分 ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.…………………….6分（2）由（1）知，lg (1)lg2n n b a n ==-，…………………….8分∴数列{}n n b a +的前n 项和1122()()()n n n T b a b a b a =++++++n-1=(0+1)+(lg2+2)++[(n-1)lg2+2]1[lg22lg2(1)lg2](122)n n -=+++-++++ ＝(1)lg 2212n n n -+-…………………….12分18. 解：（1）根据题意完成下面的列联表：…………………….2分根据列联表中的数据，得到()22502012108 3.46 2.70630202822⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯K ，………….5分 所以有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；…………………….6分 （2）设步行数在30016000中的男性的编号为1，2，女性的编号为,,a b c .选取三位的所有情况为：()()()()()()()()()()1,2,,1,2,,1,2,c ,1,,,1,,,1,,,2,,,2,,,2,,,,,a b a b a c b c a b a c b c a b c 共有10种情形，…………………….9分符合条件的情况有：()()()1,2,,1,2,,1,2,a b c 共3种情形. …………………….11分故所求概率为310.…………………….12分 19. （1）证明：由已知得AD DE ⊥，DC DE ⊥，,AD CD ⊂平面ABCD ，且AD CD D =，所以DE ⊥平面ABCD .…………………….3分 又BC ⊂平面ABCD ，所以BC ED ⊥.又因为//ED FC ，所以FC BC ⊥，即FCB ∆为直角三角形. …………………….5分 （2）解：连结AC ，AF ，ABCDEF A CDEF F ACB V V V --=+.…………………….6分过A 作AG CD ⊥交CD 于G ，又因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE AG ⊥，且CD DE D =，所以AG ⊥平面CDEF ， 则AG 是四棱锥A CDEF -的高. …………………….7分因为四边形ABCD 是底角为60的等腰梯形，1AD DE ==，所以AG =2AB =，136A CDEF CDEF V AG S -=⋅=.…………………….9分因为DE ⊥平面ABCD ，//FC DE ，所以FC ⊥平面ABCD ， 则FC 是三棱锥F ACB -的高.136F ACB ACB V FC S -∆=⋅=.…………………….11分3ABCDEF A CDEF F ACB V V V --=+=…………………….12分20．解：（1）在椭圆C ：2214x y +=中，2a =，1b =，所以c ==故椭圆C 的焦距为2c =c e a ==3分 （2）设00(,)P x y （00x >，00y >），则220014x y +=，故220014x y =-．所以2222220003||||||14TP OP OT x y x =-=+-=，所以0||2TP x =，01||||24OTPS OT TP x ∆=⋅=．…………………….6分又(0,0)O ，F ，故0012OFP S OF y y ∆=⋅=．…………………….8分因此00()2OFP OTPOFPT x S S S y ∆∆=+=+四边形==10分由220014x y +=，得1≤，即001x y ⋅≤，所以OFPT S =四边形，…………………….11分当且仅当2200142x y ==，即0x =02y =时等号成立. ……………….12分 21. 解：（1）因为()'x m f x n e=-+，让你以()'0f n m =-，即3n m -=-.又因为()0f m =，所以切点坐标为()0,m ，因为切点在直线32y x =-+上，所以2m =，1n =-.…………………….3分（2）因为()x m f x x e =+，所以()'1x x xm e m f x e e -=-+=. 当0m ≤时，()'0f x >，所以函数()f x 在(],1-∞上单调递增，令00x a =<，此时()00a mf x a e=+<，符合题意；…………………….5分 当0m >时，令()'0f x =，则ln x m =，则函数()f x 在(),ln m -∞上单调递减，在()ln ,m +∞上单调递增. …………………….7分①当ln 1m <，即0m e <<时，则函数()f x 在(),ln m -∞上单调递减，在(]ln ,1m 上单调递增，()()min ln ln 10f x f m m ==+<，解得10m e<<.…………………….9分②当ln 1m ≥，即m e ≥时，函数()f x 在区间(],1-∞上单调递减，则函数()f x 在区间(],1-∞上的最小值为()110mf e=+<，解得m e <-，无解. …………………….11分 综上，1m e <，即实数m 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.…………………….12分22.解：（1）直线l ：06sin 2cos 32=+-m θρθρ，曲线：1C θρsin 2m =； …………………….5分（2）2,ρρ==A B23ρρ=-==A B AB m 0>m 54∴=m …………………….10分23.解:(1)对(), ()|x R f x x x a x x a a ∀∈=++≥-+= 当且仅当()0x x a +≤时取等号，故原条件等价于21a a ≥-,即21a a ≥-或()211a a a ≤--⇒≤, 故实数a 的取值范围是(],1-∞. …………………….5分 (2)由210a x x a -≥++≥,可知210a -≥, 所以12a ≥’ 故-0a <. 故()2,,02,0x a x a f x a a x x a x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩,的图象如图所示，由图可知222152(3)212a b a a b a a b =⎧--=-⎧⎪⇒⎨⎨++=-=-⎩⎪⎩…………………….10分。

2018届四川省成都市高三第二次诊断性模拟检测数学（理）试题（解析版）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】故选D.2. 已知向量，，.若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题，故选B.3. 若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.4. 设等差数列的前项和为.若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】又.可得，则故选D.5. 已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】C【解析】由题设，则A. 若，则，错误；B. 若，，则错误；D. 若，，当时不能得到，错误.故选C.6. 若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】二项式的展开式的通项为令，解得，，解得故选B.7. 已知函数的部分图象如图所示.现将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可知的振幅，周期则，由，，解得：，将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则故选D.【点睛】本题考查求函数的解析式，函数的坐标变换，考查数形结合思想，属于基础题．8. 若为实数，则“”是“”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式可得，是的真子集，故“”是“”成立的必要不充分条件.故选B.9. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，该几何体为四棱锥．底面为矩形，其中底面．...........................则该阳马的外接球的直径为∴该阳马的外接球的体积=故选C.10. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，当时．此时有，算法结束，所以判断框中的条件应填，这样才能保证进行7次求和．故选D．【点睛】本题考查了程序框图中的直到型循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．11. 已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意在区间内有唯一实数解令，解得，∴函数在区间[1，e]上单调递增，则，则的取值范围为.故选A.12. 已知双曲线：右支上的一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点.若点，分别位于第一，四象限，为坐标原点.当时，的面积为，则双曲线的实轴长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】可设的面积为由题意可得，解得由，可得即为代入双曲线的方程，可得解得故选A.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13. 已知，，则__________．【答案】【解析】由题即答案为.14. 如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的男生人数为__________．【答案】24【解析】由等高条形图可知，500名女同学中喜欢篮球运动的频率为，即女同学中喜欢篮球运动的由100人，500名男同学中喜欢篮球运动的频率为，即男同学中喜欢篮球运动的由300人.故从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的男生人数为即答案为24人.15. 已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为__________．【答案】【解析】由题，直线圆心到直线的距离为由题意以为直径的圆截直线所得的弦长为，则即答案为，16. 已知数列共项，且，.记关于的函数，.若是函数的极值点，且曲线在点处的切线的斜率为.则满足条件的数列的个数为__________．【答案】1176【解析】由题，，是函数的极值点，即又故这七项中必有2项取1,5项取-1，，即中方法，又曲线在点处的切线的斜率为.，即或，（或-4），故这八项中必有2项取-1,6项取1，（这八项中必有6项取-1,2项取1），故满足条件的数列共有（或中方法，所以方法总数为个即答案为1176.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.【答案】（1），.（2）.【解析】试题分析：（1化简可得.由，了求其单调递减区间；（2）由，可得，由正弦定理可得，最后由余弦定理可得.试题解析;（1）.由，，得，.∴函数的单调递减区间为，.（2）∵，，∴.∵，∴由正弦定理，得.又由余弦定理，，得.解得.18. 近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是，，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：，其中.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意求得的值，然后即可确定结论；（2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可．试题解析（1）由列联表的数据，有.因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.（2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为.的所有可能取值分别为，，，，.∵，，，，，∴的分布列为：的数学期望为（元）.19. 如图，是的中点，四边形是菱形，平面平面，，，.（1）若点是线段的中点，证明：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接，. .由四边形为菱形，可证.由平面平面，可证平面.即可证明平面；2）设线段的中点为，连接.易证平面.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.求出相应点及向量的坐标，求得平面，平面的法向量，.。

2018年四川省成都市石室中学高考数学二诊试卷（理科）(J)副标题一、选择题（本大题共12小题，共12.0分）1.i是虚数单位，则复数6i1−i的虚部为()A. 3B. −3C. 3iD. −4i【答案】A【解析】解：∵6i1−i =6i(1+i)(1−i)(1+i)=6i(1+i)2=−3+3i，∴复数6i1−i的虚部为3．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.已知全集U=R，集合A={x|x−3<0}，B={x|2x>14}.那么集合A∩∁U B等于( )A. {x|−2≤x≤3}B. {x|−2<x<3}C. {x|x≤−2}D. {x|x<3}【答案】C【解析】解：A={x|x−3<0}={x|x<3}，B={x|2x>14}={x|x>−2}．则∁U B={x|x≤−2}，则A∩∁U B={x|x≤−2}，故选：C．求出集合A，B的等价条件，结合集合交集，补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．3.若x，y满足约束条件{x≥0x+2y≥32x+y≤6，则z=x+y的最小值是()A. −3B. 6C. 32D. 3【答案】C【解析】解：由约束条件{x ≥0x +2y ≥32x +y ≤6作出可行域如图，A(0,32)，化目标函数z =x +y 为y =−x +z ，由图可知，当直线y =−x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小， z 有最小值为32．故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．4. 若sin(π−α)=13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )A. −4√29B. −2√29C. 2√29D. 4√29【答案】A【解析】解：∵sin(π−α)=13， ∴sinα=13， 又∵π2≤α≤π，∴cosα=−√1−sin 2α=−2√23， ∴sin2α=2sinαcosα=2×13×(−2√23)=−4√29．故选：A ．由已知利用诱导公式可求sinα，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而利用二倍角正弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A. 2B. 32C. 53D. 85【答案】C【解析】解：第一次执行循环体后，k=1，S=2，不满足退出循环的条件；，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，k=2，S=32，满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，k=3，S=53故输出S值为5，3故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为()A. 2√3B. √11C. √13D. √10【答案】C【解析】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为√2的正方形，高为h ．则13×(√2)2×ℎ=2，解得ℎ=3∴此四棱锥最长的侧棱长PC =√32+22=√13． 故选：C ．由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面是边长为√2的正方形，高为ℎ.利用体积计算公式、勾股定理即可得出．本题考查了三视图的有关知识、四棱锥的体积计算公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 等比数列{a n }中，a 2>0则“a 2<a 5“是“a 3<a 5“的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2>0，∴a 1q >0．则“a 2<a 5“，可得：a 1q <a 1q 4，化为：1<q 3，解得q >1，因此a 1>0． ∴a 3−a 5=a 1q 2(1−q 2)<0，可得a 3<a 5，反之不成立，例如取a 1=q =−12． 因此“a 2<a 5“是“a 3<a 5“的充分不必要条件． 故选：A ．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2>0，可得a 1q >0.由“a 2<a 5“，利用通项公式可得：q >1，因此a 1>0.作差a 3−a 5=a 1q 2(1−q 2)，即可判断出结论．本题考查了等比数列的通项公式及其性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 已知函数f(x)对任意x ∈R 都有f(x +4)−f(x)=2f(2)，若y =f(x −1)的图象关于直线x =1对称，则f(2)=( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 0 【答案】D【解析】解：若y =f(x −1)的图象关于直线x =1对称，则y =f(x)的图象关于直线x =0对称，即关于y 轴对称，则f(x)是偶函数， 令x =−2，则由f(x +4)−f(x)=2f(2)， 得f(−2+4)−f(−2)=2f(2)， 即f(2)−f(2)=2f(2)=0， 则f(2)=0， 故选：D ．根据条件结合函数的对称性判断函数的奇偶性，然后令x =−2进行求解即可． 本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键．9. 已知A ，B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，∠B =2π3，若(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则E 的离心率为( )A. √5−1B. √3+1C. √3−12 D. √3+12【答案】D【解析】解：由(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，得|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0，即|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，即BA =BC ，则△ABC是一个角为2π3的等腰三角形，由题意知C点在双曲线右支上，则AB=BC=2c，AC=2√3c，∵AC−BC=2a，∴2√3c−2c=2a，即(√3−1)c=a，则离心率e=ca =(√3−1)c=√3+12，故选：D．由向量数量积的关系得出BA=BC，根据有一个角为2π3的等腰三角形求出AC的长，再利用双曲线的定义建立a与c的关系式，继而解出离心率．本题主要考查双曲线离心率的计算，结合向量数量积的关系判断三角形的性质是解决本题的关键．10.已知函数f(x)=2√3sinx⋅cosx−2cos2x+1，将f(x)图象的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π2个单位后得到函数g(x)，在区间[0,π]上随机取一个数x，则g(x)≥1的概率为()A. 13B. 14C. 15D. 12【答案】D【解析】解：f(x)=2√3sinx⋅cosx−2cos2x+1=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)．将f(x)图象的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π2个单位后得到函数g(x)=2sin(x+π3)，∵x∈[0,π]，∴x+π3∈[π3,4π3]，由2sin(x+π3)≥1，得sin(x+π3)≥12，则x+π3∈[π3,5π6]，∴x∈[0,π2].由测度比为长度比，可得在区间[0,π]上随机取一个数x，则g(x)≥1的概率为π2−0π−0=12．故选：D．由已知求得g(x)，求出满足g(x)≥1的x的范围，再由测度比是长度比得答案．本题考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质，考查几何概型概率的求法，是中档题．11.若函数y=f(x)的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t，则称函数y=f(x)为“t函数”.下列函数中为“2函数”的个数有()①y=x−x3②y=x+e x③y=xlnx④y=x+cosxA. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4个【答案】B【解析】解：①函数的导数y′=1−3x2，由、1−3x12+1−3x22=2，得3x12+3x22=0，得x1=x2=0矛盾，不是“2函数”；②y=x+e x的导数为y′=1+e x，可得函数图象上在这两点处的切线的斜率之和大于2，不是“2函数”；③y′=lnx+x⋅1x=lnx+1，由lnx1+1+lnx2+1=2，lnx1lnx2=0，即lnx1x2=0，得x1x2=1，只要x1≠x2即可，则是“2函数”；④y=x+cosx的导数为y′=1−sinx，若1−sinx1+1−sinx2=2，即sinx1=−sinx2，此时有无数多个解，是“2函数”；故③④是“2函数”；故选：B．对题中的四个函数，分别求出导数，可得切线的斜率，求和设为2，解方程即可得到是“2函数”的函数．本题考查导数的几何意义，求出函数的导数，解导数方程是解决本题的关键．12.已知向量α⃗，β⃗，γ⃗ 满足|α⃗|=1，α⃗⊥(α⃗−2β⃗)，(α⃗−γ⃗ )⊥(β⃗−γ⃗ )，若|β⃗|=√172，|γ⃗ |的最大值和最小值分别为m，n，则m+n等于()A. 32B. 2 C. 52D. √152【答案】C【解析】解：向量α⃗，β⃗，γ⃗ 满足|α⃗|=1，α⃗⊥(α⃗−2β⃗)，∴α⃗⋅(α⃗−2β⃗)=α⃗2−2α⃗⋅β⃗=1−2α⃗⋅β⃗=0，∴α⃗⋅β⃗=12；把α⃗放入平面直角坐标系，使α⃗起点与坐标原点重合，方向与x轴正方向一致，则α⃗=(1,0)；设β⃗=(x1,y1)，则α⃗⋅β⃗=x1=12，且|β⃗|=√x12+y12=√14+y12=√172，∴y1=±2，不妨取β⃗=(12,2)；设γ⃗ =(x,y)，则α⃗−γ⃗ =(1−x,−y)，β⃗−γ⃗ =(12−x,2−y)，由题意(α⃗−γ⃗ )⋅(β⃗−γ⃗ )=0，∴(1−x)(12−x)−y(2−y)=0，化简得，x2+y2−32x−2y+12=0，即(x−34)2+(y−1)2=1716，则点(x,y)表示圆心在(34,1)，半径为√174的圆上的点，如图所示，则|γ⃗ |=√x 2+y 2的最大值为m =|OC|+r =√(34)2+12+√174=54+√174， 最小值为n =|OC|−r =√(34)2+12−√174=54−√174； ∴m +n =52．故选：C ．把α⃗ 放入平面直角坐标系中，使α⃗ 起点与坐标原点重合，方向与x 轴正方向一致，得α⃗ =(1,0)；设β⃗ =(x 1,y 1)，求出β⃗ 的坐标表示，再设γ⃗ =(x,y)，利用坐标表示(α⃗ −γ⃗ )⋅(β⃗ −γ⃗ )=0，求出点(x,y)表示的几何图形，利用数形结合求出|γ⃗ |=√x 2+y 2的最大值m 和最小值n ，求和即可．本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了数形结合的解法方法，是较难的题目．二、填空题（本大题共4小题，共4.0分）13. 若(x −1x )n 的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为______． 【答案】−20【解析】解：∵(x −1x )n 的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，∴C n 2=C n 4，∴n =6， ∴(x −1x )n =(x −1x )6，它的展开式的通项公式为T r+1=C 6r ⋅(−1)r ⋅x 6−2r ，令6−2r =0，求得r =3，可得展开式中的常数项为−C 63=−20， 故答案为：−20．由题意利用二项式系数的性质求得n =6，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求得r 的值，可得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14. 已知数列{a n }的各项都为正数，前n 项和为S n ，若{log 2a n }是公差为1的等差数列，且S 5=62，则a 2=______ 【答案】4【解析】解：{log 2a n }是公差为1的等差数列，∴n ≥2，log 2a n −log 2a n−1=1，可得a n a n−1=2．∴数列{a n }是等比数列，公比为2．∵S 5=62，a 1(25−1)2−1=62，解得a 1=2．则a 2=2×2=4． 故答案为：4．由{log 2a n }是公差为1的等差数列，可得n ≥2，log 2a n −log 2a n−1=1，可得a na n−1=2.可得数列{a n }是等比数列，公比为2.再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式与求和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 已知四面体ABCD 的所有棱长都为√6，O 是该四面体内一点，且点O 到平面ABC 、平面ACD 、平面ABD 、平面BCD 的距离分别为13，x ，16和y ，则1x +12y 的最小值是______． 【答案】3+2√223【解析】解：棱长为√6的正四面体的体积为V =√212⋅(√6)3=√3，每个面的面积为12×12×sin60∘=√34，由等体积法可得V =V O−ABC +V O−ACD +V O−ABD +V O−BCD =13×√34×(13+x +16+y)=√3， 得x +y =232，所以，1x +12y =1⋅(1x +12y )=223(x +y)(1x +12y )=223(32+x2y +yx ) ≥223(32+2√x2y ⋅yx )=3+2√223，当且仅当{x +y =232x2y=y xx >0,y >0，即当{x =23(2−√2)2y =23(√2−1)2时，等号成立，因此，1x +12y 的最小值是3+2√223， 故答案为：3+2√223． 先计算出正四面体的体积为√3，利用等体积法得到x +y =232，由此得到223(x +y)=1，并在代数式1x +12y 乘以1=223(x +y)，展开后利用基本不等式可求出最值．本题考察等体积法求三棱锥的体积以及利用基本不等式求最值，问题的关键就是利用等体积法求出一个等式，然后对代数式进行合理变形，属于中等题．16. M 为抛物线y 2=4x 上一点，且在第一象限，过点M 作MN 垂直该抛物线的准线于点N ，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，若四边形OFMN 的四个顶点在同一个圆上，则该圆的方程为______ 【答案】(x −12)2+(y −5√24)2=278【解析】解：抛物线y 2=4x 的焦点F(1,0)，准线方程为x =−1， 设M(m,n)，可得N(−1,n)，(n >0)，由四边形OFMN 的四个顶点在同一个圆上， 可得∠NMF +∠NOF =180∘， 即有k MF +k ON =0， 即为nm−1+n−1=0， 即n(1m−1−1)=0， 则1m−1−1=0，得m =2，则n 2=4×2=8，则n =√8=2√2， 则M(2,2√2)，N(−1,2√2)， 则MN 的中点横坐标为2−12=12， 即圆心C 的横坐标为12， 设C(12,b)， 则R =|OC|=|CM|，即√(12)2+b 2=√(2−12)2+(2√2−b)2，平方得14+b 2=94+8−4√2b +b 2， 得4√2b =10，得b =4√2=5√24， 即C(12,5√24)， R =|OC|=(12)(5√24)=√14+5016=√5416=√278，则圆的标准方程为(x −12)2+(y −5√24)2=278，故答案为：(x −12)2+(y −5√24)2=278．求得抛物线的焦点和准线方程，设M(m,n)，可得N(−1,n)，由四边形OFMN 的四个顶点在同一个圆上，可得∠NMF +∠NOF =180∘，即有k MF +k ON =0，运用直线的斜率公式，求得M ，N 的坐标，然后求出圆心坐标和半径即可求出圆的标准方程． 本题主要考查圆的标准方程的求解，结合双曲线的性质以及直线的斜率公式求出圆心和半径是解决本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共7.0分）17. 如图，a ，b ，c 分别是锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，bsinA +acosB =√2a ，sin∠BAC =45． (1)求sinC 的值；(2)若点D 在边BC 上且BD =3CD ，△ABC 的面积为14，求AD 的长度．【答案】解：(1)由题知sinBsinA +sinAcosB =√2sinA ， 则sinB +cosB =√2，sin(B +π4)=1，因B 为锐角， 所以B =π4……………………(3分)， 由sin∠BAC =45,得cos∠BAC =35，所以sinC =sin(∠B +∠BAC)=sinBcos∠BAC +cosBsin∠BAC =7√210…………………….(6分) (2)由正弦定理BCAB=sin∠BAC sinC=4√27又12BC ⋅AB ⋅sinB =14，BC ⋅AB =28√2……………….(8分)解得AB =7,BC =4√2……………………(9分)所以BD =3√2，由余弦定理，AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BD ⋅cosB ， 解得AD =5…………………………(12分)【解析】(1)利用两角和与差的三角函数转化求出B 的大小，利用两角和的正弦函数求解C 的正弦函数值即可．(2)利用正弦定理求出BD ，然后利用余弦定理求解AD 即可． 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．18. 2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科，每个考生，英语，语文，数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考，物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等． (1)求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；(2)已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目，若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.75，所选的自然科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.8，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立，用随机变量X 表示他所选的三个科目中考试成绩获A 等的科目数，求X 的分布列和数学期望．【答案】解：(1)记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，则P(M)=1−C 33C 63=1−120=1920．(2)随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3．∵P(X =0)=14×(15)2=1100；P(X =1)=34×(15)2+14×C 21×15×45=11100；P(X =2)=14×(45)2+34×C 21×15×45=40100=25；P(X =3)=34×(45)2=48100=1225； 所以X 的分布列为：P11001110025 1225所以．E(X)=1×11100+2×25+3×1225=235100=4720．【解析】(1)记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，利用古典概率计算公式、相互对立事件的概率计算公式即可得出．(2)随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3.利用互斥、相互独立的事件概率计算公式即可得出．本题考查了古典概率、相互对立事件的概率计算公式、互斥、相互独立的事件概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19. 如图，在多面体ABCDEF 中，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面垂直，点M 为AE 的中点． (1)求证：BM//平面EFC(2)若DE =AB ，求直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值．【答案】(1)证明：连结AC ，交BD 于点N ，∴N 为AC 的中点，∴MN//EC ． ∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ， ∴MN//平面EFC ．∵BF ，DE 都垂直底面ABCD ，∴BF//DE ．∵BF =DE ，∴BDEF 为平行四边形，∴BD//EF ．∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ， ∴BD//平面EFC ．又∵MN ∩BD =N ，∴平面BDM//平面EFC ． ∵BM ⊂平面BDM ，∴BM//平面EFC ．(2)由题知面BDEF ⊥面ABCD ，而BD ⊥ED ，面BDEF ∩面ABCD =DB ，DE ⊂面BDEF 所以DE ⊥面ABCD ，以DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD =1，则B(1,1，0)，M(12,0,12)，E(0,0，1)，F(1,1，1)，C(0,1，0)，．MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1,−12)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,12)，设设平面BDM 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z) 由{n ⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +y −12z =0n⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +12z =0，可取x =−1，y =1，z =1．所以面BDM 的法向量为n⃗ =(−1,1,1) 又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，则cos〈n ⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√63， 所以直线AE 与面BDM 所成角的正弦值为√63.…………(12分)【解析】(1)连结AC ，交BD 于点N ，推导出MN//EC ，从而MN//平面EFC.推导出BDEF为平行四边形，则BD//EF.从而BD//平面EFC.由此能证明平面BDM//平面EFC ． (2)由DA ，DC ，DE 两两垂直，建立空间直角坐标系D −xyz.利用向量法能求出直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，过椭圆上顶点和右顶点的直线与圆O ：x 2+y 2=127相切，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率大于0的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点(A 在x 轴上方)，交x 轴正半轴于P点，若PB⃗⃗⃗⃗⃗ +3PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，求△AOB 面积的最大值以及此时直线l 的方程． 【答案】解：(1)设切线为bx +ay −ab =0，则√a 2+b 2=√127又因为e =12=√1−b 2a 2，解得a 2=4，b 2=3，所以椭圆C 的方程x 24+y 23=1．(2)设直线l 为x =my +n(m >0,n >0)，联立{x =my +nx 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2+6mny +3n 2−12=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， ∴y 1+y 2=−6mn3m 2+4，①y 1y 2=3n 2−123m +4，②由△>0，可得3m 2−n 2+4>0．又因为PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得−3y 1=y 2③ 由①③解得y 1=3mn3m 2+4,y 2=−9mn3m 2+4， 代入②−27m 2n 2(3m 2+4)2=3n 2−123m 2+4，整理得n 2=3m 2+43m 2+1．S △AOB =12n ⋅(y 1−y 2)=6mn 23m 2+4=6m 3m 2+1=63m+1m≤√3，当且仅当3m =1m ,即m =√33,n =√102时，满足△>0，所以△AOB 面积的最大值为√3，此时直线l 的方程为x =√33y +√102．【解析】(1)设切线为bx +ay −ab =0，则√a 2+b 2=√127，又因为e =12=√1−b 2a2，联立解出即可得出．(2)设直线l 为x =my +n(m >0,n >0)，与椭圆方程联立化为：(3m 2+4)y 2+6mny +3n 2−12=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由△>0，又因为PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PA⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得−3y 1=y 2，结合根与系数的关系可得m ，n 的关系.利用三角形的面积计算公式及其基本不等式的性质即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、方程与不等式的解法、向量坐标运算性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21. 已知a ∈R ，f(x)=(ax −1)lnx ．(1)若f(x)≤x 2−lnx −x 在[2,+∞)恒成立，求a 的取值范围；(2)若f(x)有两个极值点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，求a 的范围并证明f(x 1)>4． 【答案】解：(1)由题：axlnx −lnx ≤x 2−lnx −x 得：a ≤x−1lnx……(2分)设ℎ(x)=x−1lnx (x ≥2)，ℎ′(x)=lnx−1+1x(lnx)2设：u(x)=lnx −1+1x ， ∵u′(x)=1x −1x 2=x−1x 2≥0 (x ≥1)，∴u(x)在[1,+∞)单增，∴u(x)≥u(1)=1>0，0(x \geqslant1)…………………………(4'/>分)∴ℎ(x)在[1,+∞)单增，∴ℎmin (x)=ℎ(2)=1ln2， ∴a ≤1ln2……………………………………(6分) (2)证明：f′(x)=alnx +a −1x ，f″(x)=ax+1x 2(x >0)，①若a ≥0时，知：在(0,+∞)单调递增，不合题…②若a <0时，知：在(0,−1a )单调递增，在(−1a ,+∞)单调递减只需要f′(−1a )=aln(−1a )+2a >0∴−1a <e −2∴a <−e 2………………….(9分) 此时知道：f(x)在(0,x 1)单减，(x 1,x 2)单增，(x 2,+∞)单减， 且易知：0<x 1<−1a <x 2又由f′(x 1)=0⇒alnx 1+a −1x 1=0∴lnx 1=1ax 1−1，∴f(x 1)=(ax 1−1)lnx 1=(ax 1−1)(1ax 1−1)=2−ax 1−1ax 1又−1<ax 1<0，∴f(x 1)>4…………………………………………………(12分) 【解析】(1)由题：axlnx −lnx ≤x 2−lnx −x 得：a ≤x−1lnx…，设ℎ(x)=x−1lnx (x ≥2)，ℎ′(x)=lnx−1+1x(lnx)2，设u(x)=lnx −1+1x ，求出导函数，u′(x)=1x −1x =x−1x ≥0 (x ≥1)，判断导函数的符号，判断函数的单调性求解函数的最小值，然后推出结果． (2)求出f′(x)=alnx +a −1x ，f″(x)=ax+1x 2(x >0)，通过①若a ≥0时，②若a <0时，利用函数的单调性，以及函数的值的范围，推出f(x 1)>4．本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及函数的单调性，二次求导的运算，考查转化思想以及计算能力．22. 选修4−4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2acosθ(a >0)，过点P(−2,−4)的直线l 的参数方程为{x =−2+√22ty =−4+√22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点． (Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (Ⅱ)若|PA|⋅|PB|=|AB|2，求a 的值．【答案】解：(I)由ρsin 2θ=2acosθ(a >0)得ρ2sin 2θ=2aρcosθ(a >0) ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=2ax(a >0)…(2分) 直线l 的普通方程为y =x −2…(4分)(II)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2=2ax 中， 得t 2−2√2(4+a)t +8(4+a)=0 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2则有t 1+t 2=2√2(4+a)，t 1t 2=8(4+a)…(6分)∵|PA|⋅|PB|=|AB|2∴|t 1t 2|=(t 1−t 2)2，即(t 1+t 2)2=5t 1t 2…(8分)∴[2√2(4+a)]2=40(4+a)化简得，a 2+3a −4=0解之得：a =1或a =−4(舍去) ∴a 的值为1…(10分)【解析】(Ⅰ)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数t 即可得到直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)将直线L 的参数方程，代入曲线C 的方程，利用参数的几何意义即可得出|PA|⋅|PB|，从而建立关于a 的方程，求解即可．熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线L 的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．23. 已知函数f(x)=|3x +2|．(1)解不等式f(x)<4−|x −1|(2)若a >0且|x −a|−f(x)≤4恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(1)函数f(x)=|3x +2|，∴不等式f(x)<4−|x −1|化为|3x +2|+|x −1|<4，当x <−32时，不等式化为−3x −2−x +1<4，解得−54<x <−23； 当−23≤x ≤1时，3x +2−x +1<4，解得−23≤x <12； 当x >1时，3x +2+x −1<4，无解；综上，不等式的解集为(−54,12)；…………………(5分) (2)令g(x)=|x −a|−f(a)，则g(x)=|x −a|−|3x +2|={2x +2+a,x <−23−4x −2+a,−23≤x ≤a −2x −2−a,x >a；当x =−23时，g(x)取得最大值为g(x)max =23+a ； 欲使不等式g(x)≤4恒成立，只需23+a ≤4，解得a ≤103；又因为a >0，所以0<a ≤103，即a 的取值范围是(0,103].………………………(10分)【解析】(1)利用分类讨论法去掉绝对值，求出对应不等式的解集； (2)构造函数g(x)=|x −a|−f(a)，求得g(x)的最大值， 把不等式恒成立转化，从而求出a 的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。

四川省成都市石室中学(高中部)2018年高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是（）A．{x|x＜﹣3或x＞﹣2} B．{x|x＜﹣或x＞﹣}C．{x|﹣＜x＜﹣} D．{x|﹣3＜x＜﹣2}参考答案：C【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值，再代入不等式bx2﹣5x+a＞0求解集即可．【解答】解：不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，∴方程ax2+5x+b=0的实数根为2和3，∴，解得a=﹣1，b=﹣6；∴不等式bx2﹣5x+a＞0为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，即6x2+5x+1＜0，解得﹣＜x＜﹣；∴不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是{x|﹣＜x＜﹣}．故选：C．2. 登上一个四级的台阶（可以一步上一级、二级、三级或四级），在所有行走方式中恰有一步是两级的概率（）A． B． C． D．参考答案：B3. 点P（x，y）是曲线是参数）上任意一点，则的最大值为（）A．1 B．2 C． D．参考答案：D略4. 已知关于x，y的二元一次线性方程组的增广矩阵为，记，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是( )A．B．两两平行C．D．方向都相同参考答案：B【考点】二元一次方程组的矩阵形式；充要条件．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例，由此即可得到结论．【解答】解：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例∵，∴两两平行故选B．【点评】本题考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，考查向量知识，属于基础题．5. 可表示为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据排列数的定义可得出答案。

四川省成都市2018届高三第二次诊断性检测数学试题（文）第Ⅰ卷一、选择题1. 设集合，，则（）A. B. C. D.2. 已知向量，，.若，则实数的值为（）A. B. C. D.3. 若复数满足，则等于（）A. B. C. D.4. 设等差数列的前项和为.若，，则（）A. B. C. D.5. 已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则6. 在平面直角坐标系中，经过点且离心率为的双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.7. 已知函数的部分图象如图所示.现将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为（）A. B.C. D.8. 若为实数，则“”是“”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A. B. C. D.10. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件可以是（）A. B. C. D.11. 已知数列满足：当且时，有.则数列的前项的和为（）A. B. C. D.12. 已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题13. 已知，，则__________．14. 如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的男生人数为__________．15. 已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为__________．16. 已知函数，则不等式的解集为__________．三、解答题17. 已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.18. 近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送骑行券.用户可以将骑行券用于骑行付费，也可以通过转赠给好友.某用户共获得了张骑行券，其中只有张是一元券.现该用户从这张骑行券中随机选取张转赠给好友，求选取的张中至少有张是一元券的概率.参考数据：参考公式：，其中.19. 如图，是的中点，四边形是菱形，平面平面，，，.（1）若点是线段的中点，证明：平面；（2）求六面体的体积.20. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线：与椭圆相交于不同的两点，，是线段的中点.若经过点的直线与直线垂直于点，求的取值范围.21. 已知函数，.（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明：.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为.（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（2）若是曲线上的动点，为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.23. 已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最小值为，若，，均为正实数，且，求的最小值.【参考答案】第Ⅰ卷一、选择题1. 【答案】D【解析】故选D.2. 【答案】B【解析】由题，故选B.3. 【答案】A【解析】.故选A.4. 【答案】D【解析】又.可得，则故选D.5. 【答案】C【解析】由题设，则A. 若，则，错误；B. 若，，则错误；D. 若，，当时不能得到，错误.故选C.6. 【答案】B【解析】由，得，当焦点在x轴时，设双曲线方程为，代入，得，解得，当焦点在y轴时，设双曲线方程为，代入，得，无解。

四川省成都石室中学高2018级“二诊”模拟考试数学试题（理科）第I 卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．复数31ii ++等于A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -2．已知2{|4}M x x =≤，2{|1}1N x x =≥-，则MN =A ．{|12}x x <≤B ．{|21}x x -≤≤C ．{|12}x x ≤≤D ．{|2}x x <3．函数2()ln f x x x =-的零点所在的大致区间是A ．（1，2）B ．（e ，3）C ．（2，e ）D ．(e,+∞)4．对于平面α和两条不同的直线m,n ，下列命题中真命题是 A ．若,m n 与α所成的角相等，则//m n B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//,n α则//m nD ．若,m n αα⊥⊥，则//m n5．已知,a b 是不相等的正数，若11lim 2n n n n x a b a b ++→∞-=+，则b 的取值范围是A ．02b <≤B ．02b <<C ．2b ≥D ．2b >6．函数cos()sin()23y x x ππ=++-具有性质A6x π=对称B ．最大值为1，图像关于直线6x π=对称C,06π）对称D ．最大值为1，图像关与(,0)6π对称7．若等比数列{}n a 的前n 项和为313n S a +++，则常数a 的值等于A ．13-B ．1-C ．13D ．3-8．已知函数()f x 在R 上可导，且2()2'(2)f x x x f =+，则(1)f -与(1)f 的大小关系为A ．(1)(1)f f -=B ．(1)(1)f f ->C ．(1)(1)f f -<D ．不确定9．在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC ∆、ACD ∆、ADB ∆的面积分别为、、，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为AπB．C．D．10．若双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，线段1F 2F 被抛物线22y bx =的焦点分成7：5的两段，则此双曲线的离心率为A ．98B．37C．4D．1011．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(,)a m n =与向量(1,1)b =-的夹角为θ，则(0,]2πθ∈的概率是A ．512B ．12C ．712D ．5612．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2bx a =-对称。

石室中学高2018级高考模拟数学试题一、选择题1．i i ⋅-2)1(等于（ ）A i 22-B i 22+C 2-D 2 2．522)1()524(+⋅--x x x 展开式中，含4x 的项的系数是（ ） A 30- B 20- C 20 D 303．已知R b a ∈,，集合{}0,,1,a N a b M =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=，映射x x f →:表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则=+b a （ ）A 1-B 0C 1D 1±4．已知)2cos()(),2sin()(ππ-=+=x x g x x f ，则下列结论中正确的是（ ）A 函数)()(x g x f y ⋅=的周期为π2B 函数)()(x g x f y =的最大值为4C 将)(x f 的图象向左平移2π后，得到)(x g 的图象 D 将)(x f 的图象向右平移2π后，得到)(x g 的图象5．如图三棱锥ABC P -中，=⊥⊥PA BC AB ABC PA ，，平面21==BC AB ，则三棱锥ABC P -的外接球表面积为（ ）A π4B π3C π2D π6．已知双曲线的中心在原点，离心率为3，若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则已知双曲线与抛物线x y 42=的交点到抛物线焦点的距离为（ ） A 6 B 4 C21 D 217．不等式)(031222R x x a x ∈>++-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A 22<a B 22≤a C 3<a D 3≤a8．有两个同心圆，在外圆周上有不重合的8个点，在内圆周上有不重合的4点，又这12个点确定的直线最少有（ ）条A 70B 66C 46D 389．一个正整数表如下（表中下一行的数的个数是上一行数的个数的2倍），则第8行中的第5个数是（ ） 1 A 68 B 132 2 3 C 133 D 260 4 5 6 7………………………… 10．函数1)2lg()(-+=x x x f 的图象与x 轴的交点个数有（ ） A 3个 B 2个 C 1个 D 0个 11．已知函数)(x f y =的定义域是]1,1[-其图象如图所示，则不等式21)(11≤≤--x f 解集是（ ）A ]21,1[-B ]21,2[-C ]1,21[)0,2[ -D ]1,21[)0,1[ -12．已知R t t t P ∈),,(点M 是圆41)1(:221=-+y x O 上的动点，点N 是圆:2O41)2(22=+-y x 上的动点，则PM PN -的最大值是（ ）A 2B 1C 5D 15-二、填空题 13．=-+→xx x 11lim； 14．变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤++00402y y x y x ，则22y x +的最小值为 ；15．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->---+=)1(1)1(13124)(2x a x x x x x f 在点1=x 处连续，则=a ；16．如图：设平面ααβα⊥⊥=CD AB EF ,, ，垂足为D B ,，若增加一个条件，就能推出EF BD ⊥，现有BD AC AC AC 与所成的角相等，，与)3()2(,)1(βαβ⊥在β内的射影在同一条直线上，EF AC //)4(，那么上述几个条件中能成为增加条件的是；（填你认为正确的所有序号）高2018级高考数学模拟试题姓名班级总分二、填空题13．；14。

四川成都石室中学18-19高三2月抽考试卷--数学（文）数学〔文〕【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1、某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，那么从图中可以看出被处罚的汽车大约有( )、A 、30辆B 、40辆C 、60辆D 、80辆2、直线01)10ax y a x y -=-+-=与直线(平行，那么a =〔 〕 A 、0 B 、1C 、21D 、21-3、3(0,)sin ,)254ππααα∈=-且=〔 〕A 、15B 、15-C 、75D 、75-4、点E 是正四面体ABCD 的棱AD 的中点，那么异面直线BE 与AC 所成的角的余弦值为〔 〕 ABCD 、565、设等差数列{}na 的前n 项和为n S ,假设111a =-,376a a +=-,那么当n S 取最小值时,n 等于〔 〕 A 、6B 、7C 、8D 、9是〔〕A.假设AC 与BD 共面，那么AD 与BC 共面B.假设AC 与BD 是异面直线，那么AD 与BC 是异面直线C.假设AB=AC,DB=DC,那么AD ⊥BCD.假设AB=AC ，DB=DC,那么AD=BC7、某单位员工按年龄分为A ，B ，C 三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是,451那么该单位员工总数为〔〕A 、110B 、100C 、90D 、808、某程序框图如右图所示，那么该程序运行后输出的a 的值为() A 、-1B 、0C 、1D 、29.某零件的正〔主〕视图与侧〔左〕视图均是如下图的图形〔实线组成半径为2cm 的半圆，虚线是等腰三角形的两腰〕，俯视图是一个半径为2cm 的圆〔包括圆心〕，那么该零件的体积是〔〕 A 、4π33cm B 、8π33cmC 、4π3cmD 、20π33cm10、四面体的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，记其中最大的面积为S ，那么SS i i 341∑=的取值范围是()A.]231(, B.]231[, C.(3432,]D.[3432,]【二】填空题：本大题共5小题，每题5分，总分值25分. 11、圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为. 12.递增的等比数列{}na 中,28373,2,a a a a +=⋅=那么1310a a =.13.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，那么三棱锥P ABC -的主视图与左视图的面积的比值为________.14、在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，3BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为__________.15、空间三条直线中，任何两条不共面，且两两互相垂直，直线与这三条直线所成的角都为α，那么αtan =.【三】解答题：本大题共6小题，总分值75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.〔本小题总分值12分〕空气质量指数PM2.5(单位：μg/m 3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：某市2018年3月8日—4月7日(30天)对空气质量指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得到如下条形图：PDC BA1A 1D 1B 1C 左视主视〔Ⅰ〕估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；(Ⅱ)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率。

成都石室中学18-19高二下学期“零诊”-数学（理）四川省成都石室中学2018—2018学年度下学期“零诊”模拟考试高二数学理试题第I 卷(选择题，共50分〕【一】选择题:〔在每题给出的四个选项中，有且只有一项为哪一项符合题目要求的.本大题共10小题，每题5分，共50分) 1.假设集合{|2}-==x M y y ，{|==P y y ，那么MP =(A)}1|{>y y (B)}1|{≥y y(C)}0|{>y y(D)}0|{≥y y2.向量a ()2,1+=m ，b ()1,-=m，且a //b ，那么b 等于 320 (D)325 3． 不等式112>-x 的解集为 〔A 〕}{3x x > 〔B 〕}{13x x << 〔C 〕}{3x x < 〔D 〕}{31x x x <>或〔A 〕假设两个平面分别通过两条平行直线，那么这两个平面平行 〔B 〕假设平面γβγα⊥⊥,，那么平面βα⊥ 〔C 〕平行四边形的平面投影可能是正方形〔D 〕假设一条直线上的两个点到平面α的距离相等，那么这条直线平行于平面α 5、阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 （A ）3 〔B 〕11〔C 〕38 〔D 〕1236.将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，所得图像的函数解析式是 〔A 〕sin(2)10y x π=-〔B 〕sin(2)5y x π=-〔C 〕1sin()210y x π=-〔D 〕1sin()220y x π=-7.设x ,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则〔A 〕有最小值2，最大值3〔B 〕有最小值2，无最大值〔C 〕有最大值3，无最小值〔D 〕既无最小值，也无最大值8.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ，假设P 为其上一点，且122PF PF =，那么双曲线离心率的取值范围是 〔A 〕(1,3)〔B 〕[3,)+∞〔C 〕(3,)+∞〔D 〕(1,3]9.关于函数)(x f y =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列n 满足1，且对任意，点1+n n 都在函数的图象上，那么201320124321x x x x x x ++++++ 的值为〔A 〕9394〔B 〕9380〔C 〕9396〔D 〕940010.函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.假设在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，那么实数a 的取值范围是〔A〕22(,)53(B))54,32((C))2,32((D))2,1(第II 卷(非选择题，共100分〕 【二】填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分) 11.抛物线24x y =的准线方程是.12.函数()ϕω+=x x f sin )(〔ω>0,20πϕ<<〕的图象如右图所示，那么ϕ=.13.如右图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，那么那个多面体最长的一条棱的长为____. 14.数列{}n a 满足22211211,n n a a a a a +===+++n 记S ，假设2130n n t S S +-≤对任意*n N ∈恒成立，那么正整数t 的最小值为.15.方程1169x x y y +=-的曲线即为函数()y f x =的图像，关于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点；③函数()y f x =的值域是R ；④假设函数()g x 和()f x 的图像关于原点对称，那么函数()y g x =的图像确实是方程1169y y x x +=确定的曲线.其中所有正确的命题序号是.【三】解答题(本大题共6小题,共75分.解承诺写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题总分值12分〕ABC △中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且552cos =A ，10103cos =B 、 〔Ⅰ〕求()B A +cos 的值；〔Ⅱ〕设10=a ，求ABC △的面积、 17.(本小题总分值12分〕 梯形ACPD 中，,,ADCP PD AD CB AD ⊥⊥，4DAC π∠=，PC =AC 2=，如图①；现将其沿BC 折成如图②的几何体，使得AD =.〔Ⅰ〕求直线BP 与平面PAC 所成角的正弦值； 〔Ⅱ〕求二面角C PA B --的余弦值.18.(本小题总分值12分〕以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树的棵数；乙组有一个数据模糊，用X 表示.〔Ⅰ〕假设8x =，求乙组同学植树的棵数的平均数；〔Ⅱ〕假设9x =，分别从甲、乙两组中各随机录取一名学生，求这两名学生植树总棵数为19的概率；〔Ⅲ〕甲组中有两名同学约定一同去植树，且在车站彼此等候10分钟，超过10分钟，那么各自到植树地点再会面.一个同学在7点到8点之间到达车站，另一个同学在7点半与8点之间到达车站，求他们在车站会面的概率.19.〔此题总分值12分〕椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为21,F F ,.以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线0x y -=相切、(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)假设斜率为)0(≠k k 的直线l 与x 轴、椭圆C 顺次相交于点,,A M N 〔A 点在椭圆右顶点的右侧〕，且A MF F NF 212∠=∠.求证：直线l 过定点〔2，0〕.20.〔此题总分值13分〕设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S =-、数列{}n b 满足12b =，128n n n b b a +-=、 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕证明：数列{}2nn b 为等差数列，并求{}n b 的通项公式； 〔Ⅲ〕设数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在常数λ，使得不等式098X 111099乙组甲组图②A DPCB图① P C B AD16(1)16n n n T T λ+--<+-*()n N ∈恒成立？假设存在，求出λ的取值范围；假设不存在，请说明理由、21.〔此题总分值14分〕 函数)1(ln )(+=x x x f . 〔Ⅰ〕求函数)(x f 的最小值；〔Ⅱ〕设)(x F =2()()ax f x a R '+∈，讨论函数)(x F 的单调性；〔Ⅲ〕假如在公共定义域D 上的函数()f x ,)(),(21x f x f 满足12()()()f x f x f x <<，那么就称()f x 为)()(21x f x f 、的“可控函数”.函数2211()ln ln (21)2f x x x a x x a x =--++，32()f x x x a =++，假设在区间),1(+∞上，函数)(x f 是)()(21x f x f 、的“可控函数”，求实数的取范围.参考答案1-10CABCBCBDAA 11-15116y =-3π①②③ 16.解：〔Ⅰ〕∵C B A ,,为ABC ∆的内角，且，552cos =A ，10103cos =B ∴555521cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=A A1010101031cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=B B ………………………………………4分 ∴()B A +cos 10105510103552⨯-⨯=22=………………………………6分 〔Ⅱ〕由〔I 〕知，45=+B A∴135=C ………………………………………7分 ∵10=a ，由正弦定理BbA a sin sin =得555101010sin sin =⨯=⨯=A Ba b ……………………………………11分∴ABC S ∆252251021sin 21=⨯⨯⨯==C ab ……………………………………12分 17.解：〔Ⅰ〕由题意，PC=AC=2,AB ∴==2BD ，在ABD ∆中，∵222AB DB AD +=，∴BD BA ⊥，∴BD BA BC 、、两两垂直，分别以BC BA BD 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系B xyz -〔如图〕.(0,0,0),AB C P 设平面PAC 的法向量为(,,)x y z =n0000CA x y z CP ⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩n n ，取=n 设直线BP 与平面PAC 成的角为θ那么2sin 2BP BP θ===⨯n n直线BP 与平面PAC 成的角为6(2,2,2),(2,0,0).AP BC =-=〔Ⅱ〕设平面PAB 的法向量为(,,)x y z =m (0,2,0),(2,AB AP =-=0,0,0,.0.20.y AB x AP z ⎧⎧=⎧⋅==⎪⎪⎪∴∴∴⎨⎨=⎪⋅=-+=⎪⎩⎩m m 令1,z =-∴=-m 由〔Ⅰ〕知平面PAC 的法向量为令(1,1,0)=n .cos ,⋅∴<>===m n m n m n由图知二面角C PA B --为锐角， ∴二面角C PA B --18.〔1〕435……4分 〔2〕41……8分 〔3〕3964……12分19.解：〔I〕由题意知2c e a ==，因此22222212ca b e a a -===、即222a b =.又因为1b ==，因此22a =，21b =、故椭圆C 的方程为1222=+y x .--------------------------5分〔II 〕由题意,设直线l 的方程为)0(≠+=k m kx y ，).,(),,(2211y x N y x M()().02241222,22222=-+++⎩⎨⎧=++=m kmx x k y x m kx y 得由()(),022124162222>-+-=∆m k m k 得.1222+<k m那么有124221+-=+k kmx x ，12222221+-=k m x x .---------------------7分因为A MF F NF 212∠=∠,且902≠∠A MF ，因此()1,0F ,0222又=+NF MF k k --------------------8分0112211=-+-x y x y ，即0112211=-++-+x mkx x m kx . 化简得：()().0222121=-+-+m x x k m x kx将124221+-=+k km x x ，12222221+-=k m x x代入上式得k m 2-=〔满足△0>〕.直线l 的方程为k kx y 2-=，即直线过定点〔2，0〕.----------------------12分20.解：〔Ⅰ〕当1n =时111211a S ==-=；当2n ≥时111(21)(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=，因为11a =适合通项公式12n n a -=、 因此12n n a -=*()n N ∈、…………3分 〔Ⅱ〕因为128n n n b b a +-=，因此2122n n n b b ++-=，即11222n nn nb b ++-=、 因此{}2n n b 是首项为112b =1，公差为2的等差数列、 因此12(1)212n nb n n =+-=-， 因此(21)2n n b n =-⋅、……………………6分 〔Ⅲ〕存在常数λ使得不等式16(1)16nn n T T λ+--<+-*()n N ∈恒成立、因为1231123252(23)2(21)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅①因此2n T =23-111232(25)2+(23)2(21)2n n n n n n +⋅+⋅++-⋅-⋅+-⋅②由①-②得34112222(21)2n n n T n ++-=++++--⋅，化简得1(23)26n n T n +=-⋅+、因为1216(23)2236(21)242n n n n T n n T n n +++--⋅-==--⋅-=12242n --11221n =--，…………8分〔1〕当n 为奇数时，16(1)16n n T T λ+--<+-，因此1616n n T T λ+->---，即31221n λ>-+-、因此当n =1时，31221n -+-的最大值为12-，因此只需12λ>-；…………10分〔2〕当n 为偶数时，1616n n T T λ+-<+-，因此31221n λ<--， 因此当n =2时，31221n --的最小值为76，因此只需76λ<；…………12分由〔1〕〔2〕可知存在1726λ-<<，使得不等式16(1)16n nn T T λ+--<+-*()n N ∈…13分 21.解：〔1〕2221`()12(0),`()0,11(0,)`()0;(,)`()0f x nx x f x x e x f x x f x e e=+>==''∈<∈+∞>令得当时，当时， (2)分min 22221111()(11)x f x n e e e e∴==+=-当时，……………4分 〔2〕)0(12212)(),0(21)(2〉+=+='>++=x xax x ax x F x nx ax x F ……5分①当0≥a 时，恒有()0F x '>，F 〔x 〕在),0(+∞上是增函数； ②当0<a 时，;21,0122,0)(;210,0122,0)(ax ax x F ax ax x F -><+<'-<<>+>'解得得令解得得令 ………………8分综上，当0≥a 时，F 〔x 〕在),0(+∞上是增函数；当0<a 时，F 〔x 〕在)21,0(a -上单调递增，在),21(+∞-a上单调递减 ……9分 〔3〕在区间),1(+∞上，函数12()()()f x f x f x 是、的“可控函数”， 那么)()()(21x f x f x f << 令2112()()()210(1,)2p x f x f x x ax a nx x =-=-+-<∈+∞对恒成立 2222()20,11()1()(1)20,24a x ax a p x x a x xp x p x p a a -+-'=-+-=〈+∞∴<=-+≤∴≤又因为在（，）上是减函数，…………11分再由32()()ln 0(1,)f x f x x x a x x x x -=++-->∈+∞对恒成立 因此3ln (1,)a x x x x >-∈+∞对恒成立令3()ln h x x x x =-，那么max (),(1,)a h x x >∈+∞ 对()h x 求导，得2()ln 13h x x x '=+- 又[]1()60h x x x''=-<在(1,)+∞上恒成立 ………………………12分因此()h x '在(1,)+∞上为减函数，那么()(1)20h x h ''<=-<因此，()h x 在(1,)+∞上为减函数，因此max ()(1)1h x h ==-，即1a ≥- 综上可知，函数12()()()f x f x f x 是、的“可控函数”，实数a 的取值范围是[1(1,4⎤-⎥⎦.……14分。