2019-2020年辽宁省XX中学分校高一上册期末数学试题(有答案)-名校密卷

2019-2020学年辽宁省大连市高一上学期期末考试数学试卷及答案一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}3B x N x =∈<则A B = （）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3,4C ．{}1,2D ．{}1,2,32．已知命题:1p x ∀>，lg 0x >，则p ⌝为（）A ．1x ∀>，lg 0x ≤B ．1x ∃>，lg 0x >C ．1x ∃≤，lg 0x ≤D ．1x ∃>，lg 0x ≤3．下列幂函数为偶函数的是（）A ．13y x =B ．12y x =C ．23y x =D ．32y x =4．如果12,,,n x x x 的平均数2x =，方差21s =，则1221,21,,21n x x x +++ 的平均数和方差分别为（）A ．5，5B ．5，4C ．4，3D ．4，25．已知向量a ，b满足1a = ，2b = ，3a b += ，则a b -= （）A ．0B ．1C ．2D ．36．根据天气预报，某一天A 城市和B 城市降雨的概率均为0.6，假定这一天两城市是否降雨相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（）A ．0.16B ．0.48C ．0.52D ．0.847．函数()2121x x f x -=+的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．8．关于频率和概率，下列说法正确的是（）①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为23；②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.A ．②④B ．①④C ．①②D ．②③9．已知平面上的非零．．向量a，b，c，下列说法中正确的是（）①若//a b ，//b c ，则//a c ；②若2a b = ，则2a b =± ；③若23x y a b a b +=+，则2x =，3y =；④若//a b，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④10．已知定义在R 上的函数()f x ，下列说法中正确的个数是（）①()()f x f x +-是偶函数；②()()f x f x --是奇函数；③()()f x f x -是偶函数；④()fx 是偶函数；⑤()f x 是偶函数.A ．2B ．3C ．4D ．511．已知函数()xf x e =与函数()g x 的图像关于y x =对称，若()()()g a b g b a =<，则4a b +的取值范围是（）A ．[)4,+∞B ．()4,+∞C ．[)5,+∞D ．()5,+∞12．函数()(11lg 11xf x gx x+=++-，则关于x 的不等式()()212f x f x +-<的解集为（）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知()1,3AB = ，()2,1AC =- ，则CB=________.14．已知ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DF tDE = ，AF xAB y AC =+，则xy 的最大值为________.15．设0a >且1a ≠，函数()2log a f x x ax =-在[]2,3上是减函数，则实数a 的取值范围是________.三、双空题16．现统计出甲、乙两人在8次测验中的数学成绩如下（其中乙的一个成绩被污损）：甲：86，79，82，91，83，89，94，89乙：90，92，x ，80，84，95，94，90已知乙成绩的平均数恰好等于甲成绩的60%分位数，则乙成绩的平均数为________，x 的值为________.四、解答题17．关于x 的不等式1x a -<的解集为A ，关于x 的不等式2320x x -+≤的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．已知正数a ，b ，c ，求证：4a b +，9b c +，1c a +这三个数中，至少有一个不小于4.19．如图，平行四边形ABCD 中，已知2AE EB =，3BF FC =，设AB a = ，AD b =，（1）用向量a 和b 表示向量DE ，AF；（2）若DO xDE = ，AO y AF =，求实数x 和y 的值.20．某电子产品厂商新推出一款产品，邀请了男女各1000名消费者进行试用，并评分（满分为5分），得到了评分的频数分布表如下：男性：评分结果[)0,1[)1,2[)2,3[)3,4[]4,5频数50200350300100女性：评分结果[)0,1[)1,2[)2,3[)3,4[]4,5频数250300150100200（1）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图分别比较男女消费者评分的中位数的相对大小，以及方差的相对大小（其中方差的相对大小给出判断即可，不必说明理由）；（2）现从男女各1000名消费者中，分别按评分运用分层抽样的方法各自抽出20人放在一起，在抽出的40人中，从评分不小于4分的人中任取2人，求这2人性别恰好不同的概率.21．已知函数()()22log 2log 8axf x x =（常数a R ∈）.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≤的解集；（2）当1,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值.22．已知函数()()22xx aR f x x =+∈为偶函数.（1）求实数a 的值；（2）证明()f x 在[)0,+∞上为增函数；（3）若关于x 的方程()()230f x f x λ+-=有两个不等的实根，求实数λ的取值范围.数学试题参考答案1-10ADCBB DAABC 11-12DA13．()3,214．89，8715．11616．()(]0,13,4 17．解：因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集解不等式1x a -<，得11a x a -+<<+，所以{}11A x a x a =-+<<+，解不等式2320x x -+≤，得12x ≤≤，所以{}12B x x =≤≤，因为集合B 是集合A 的真子集，所以1112a a -+<⎧⎨+>⎩，即12a <<。

高一数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）{}2,1,0,1,2A =--{}21B x x =-<≤A. B.C.D.{}2,1--{}2,2-{}0,1{}1,0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据韦恩图确定集合的运算关系为，在根据补集与交集的运算即可得答案. ()R B A ⋂ð【详解】集合，，韦恩图中表示的集合为， {}2,1,0,1,2A =--{}21B x x =-<≤()R B A ⋂ð则或，所以. R {|1B x x =≤-ð1}x >(){}R 2,2B A ⋂=-ð故选：B.2. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） 2log 0.7a =0.21.2b -=0.43c =a b c A. B.C.D.b c a <<b a c <<a c b <<a b c <<【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数与指数函数的性质，并借助中间值即可比较大小. 【详解】由题可知，，，故，，的大小关系为.a<001,1b c <<>a b c a b c <<故选：D3. 甲、乙、丙3位同学每位同学都要从即将开设的3门校本课程中任选一门学习，则他们选择的校本课程各不相同的概率为（ ） A.B.C.D.293882789【答案】A 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】甲，乙，丙3位同学从开设的3门校本课程中任选一门参加的事件数为， 33甲，乙，丙3位同学参加的校本课程各不相同的事件数为， 3216⨯⨯=故所求概率为 36239P ==故选：A4. 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度()c ()t 最快的是（ ）A. B. C. D.[]5,10[]15,20[]25,30[]30,35【答案】B 【解析】【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；【详解】如图分别令、、、、、、所对应的点为5t =10t =15t =20t =25t =30t =35t =,,,,,,,A B C D E F G0,0,0,AB CD EF CD FG CD k k k k k k >>>>>>所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快； []15,20故选：B5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为．已知牛郎星的星等是0.75，织21552111lg lg 22m m E E -=-k m ()1,2k E k =女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（ ） A .B.C. D. 3101031010-3lg1010lg3【答案】B 【解析】【分析】根据题目中所给公式直接计算可得.【详解】因为，所以． 55212211115lg lg lg0.75222E m m E E E -=-==-3210110E E -=故选：B6. 已知向量，，且，则为（ ）()2,0a = ()1,2b =()()()3//2R a b a kb k -+∈2a kb + A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先求出、的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，求出参数的值，最3a b - 2a kb +k 后根据向量模的坐标表示计算可得.【详解】因为，，所以， ()2,0a = ()1,2b =()1,63a b ---= ，()()()222,01,24,2a kb k k k +=+=+又，所以，解得，()()3//2a b a kb -+()1264k k -⨯=-⨯+6k =-所以，则.()22,12a kb +=-- 2a kb +== 故选：A7. 分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件“至少有2枚正面朝上”，则与事件M 相互独立的是M =（ ）A. 3枚硬币都正面朝上B. 有正面朝上的，也有反面朝上的C. 恰好有1枚反面朝上D. 至多有2枚正面朝上【答案】B 【解析】【分析】由已知运用列举法列出样本空间，事件M 、选项A 、B 、C 、D 的事件，再利用古典概率公式和检验事件独立性的概率公式逐一检验可得选项.【详解】解：样本空间为{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正）．（正，反，反），（反，Ω=正，正）（反，正，反）（反，反，正）．（反，反，反）}，而事件{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正），（反，正，正）}，设“有正面朝上的，M =B =也有反面朝上的”，对于A 选项：设事件{（正，正，正）}． A =∴，，， ()4182P M ==()18P A =()18P AM =∴，事件A 与M 不相互独立，故A 不正确；()()()P AM P M P A ≠对于B 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，B =反），（反，反，正）}． ∴，，， ()4182P M ==()6384P B ==()38P BM =∴，事件B 与M 相互独立，故B 正确；()()()P BM P M P B =对于C 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}． C =∴，，， ()4182P M ==()38P C =()38P CM =∴，事件C 与M 不相互独立，故C 不正确；()()()P CM P M P C ≠对于D 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，D =反），（反，反，正），（反，反，反）}． ∴，，， ()4182P M ==()78P D =()38P DM =∴，事件D 与M 不相互独立，故D 不正确； ()()()P DM P M P D ≠故选：B.8. 若，则（ ） 3322x y x y --->-A.B.C.D.ln 0x y ->ln 0x y -<1ln01y x <-+1ln01y x >-+【答案】C 【解析】【分析】构造函数，由其单调性可得，结合选项可得答案.()32x x f x -=-x y >【详解】令，因为为增函数，为减函数，所以为减函数； ()32x x f x -=-2x y =3x y -=()f x 因为，所以，所以. 3322x y x y --->-()()f x f y >x y <由于与1无法确定大小，所以A,B 均不正确； x y -因为，所以，所以，C 正确，D 不正确；11y x -+>1011y x <<-+1ln 01y x <-+故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，则下列不等式中成立的是（ ） 0a b <<A. B.C.D. a b ab +<2ab b <11b b a a +<+11a b b a+<+【答案】AD 【解析】【分析】利用不等式的性质可得正误，利用特值可得C 的正误，利用作差比较法可得D 的正误. 【详解】对于A ，因为，所以，所以，A 正确； 0a b <<0,0ab a b >+<a b ab +<对于B ，因为，所以，B 错误； 0a b <<2ab b >对于C ，当，，C 错误； 2,1a b =-=-11b b a a +>+对于D ，， ()1111a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，，所以，即，D 正确. 0a b <<0ab >0a b -<()110a b ab ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭11a b b a+<+故选：AD.10. 为了解某地区经济情况，对该地区家庭年收入进行抽样调查，将该地区家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：则下列结论正确的是（ ） A. 图中的值是0.16a B. 估计该地区家庭年收入的中位数为7.5万元 C. 估计该地区家庭年收入的平均值不超过7万元D. 估计该地区家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为20% 【答案】BD 【解析】【分析】根据频率分布直方图频率和为1即可求,可结合选项逐一计算中位数,平均值以及所占的比重判断a 得解.【详解】对于A ， 根据频率分布直方图频率和为1,得(0.130.0420.024+0.22)11,0.14a a ⨯+⨯+⨯⨯+⨯==，故A 错误；对于B ，设该地农户家庭年收入的中位数为万元，x 则，即，则中位数是，故B 正确;0.020.040.100.140.20.5++++=7.5x =7.5对于C ，该地农户家庭年收入的平均值为 30.0240.0450.1060.1470.280.290.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，故C 错误；100.1110.04120.02130.02140.027.68+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=对于D ，设该地家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为 ，故D 正确；0.10.040.0230.2++⨯=故选：BD. 11. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ） x 241x k x x x x-=--k A. B. 0C. 1D. 54-【答案】ABD 【解析】【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素0x ≠1x ≠240x x k +-=可分成三种情况，由此可解得所有可能的值.k【详解】由已知方程得：，解得：且；2100x x x -≠⎧⎨-≠⎩0x ≠1x ≠由得：； 241x k xx x x-=--240x x k +-=若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： 241x k x x x x-=--①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 240x x k +-=011640k ∴∆=+=4k =-此时的解为，满足题意；240x x k +-=2x =-②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；240x x k +-=01由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 0400k +⨯-==0k 240x x ∴+=4x =-③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；240x x k +-=10由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 1410k +⨯-=5k =2450x x ∴+-=5x =-综上所述：或或. 4k =-05故选：ABD12. 已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），下列说法正确的是0x ()e 2xf x x =+-e 2.71828= （ ） A. B.C.D.()00,1x ∈()00ln 2x x -=00e0x x --<020e x x ->【答案】ABC 【解析】【分析】根据给定条件确定所在区间，再逐一分析各个选项即可判断作答. 0x 【详解】函数在上单调递增，而，()e 2xf x x =+-R ()00e 210f =-=-<， 12113(e 20222f =+-=->而是方程的零点，则，即，A 正确；0x ()e 2xf x x =+-01(0,)2x ∈()00,1x ∈由得：，整理得：，B 正确；()00f x =002e xx -=00)n(2l x x -=因，且在上单调递增,则有，C 正确; 0102x <<e x y x -=-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭001e 02xx --<<当，，则， D 不正确. 0102x <<021x ->02001xx x -<<故选：ABC .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题：，为假命题，则实数的取值范围是______. p R x ∀∈220x x λ-+≥λ【答案】或λ<-λ>【解析】【分析】利用给定条件为假命题，说明有解，结合二次函数图象可得答案. 220x x λ-+<【详解】因为，为假命题，所以有解， R x ∀∈220x x λ-+≥220x x λ-+<所以，解得或280λ->λ<-λ>故答案为：或λ<-λ>14. 某厂生产A ，B 两种充电电池.现采用分层随机抽样从某天生产的产品中抽取样本，并分别计算所抽取的A ，B 两种产品的样本可充电次数的均值及方差，结果如下：则由20个产品组成的总样本的平均数为______；方差为______. 【答案】 ①. 204 ②. 28【解析】【分析】结合平均数与方差的概念推导即可求解.【详解】设A 产品可充电次数分别为：，A 产品可充电次数平均数为，方差为，B 产品1238,,,a a a a a 21s 可充电次数分别为，B 产品可充电次数平均数为，方差为，则，12312,,,,b b b b b 22s 8182101680ii a==⨯=∑，()()()22222118148s a aa aa a ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦即，，()2221281288232a a a a a a a a ++++-+++= 222128832a a a a +++-= ，2222128328352832a a a a +++=+=同理，，121200122400i i b ==⨯=∑()()()2222212121412s b b b bb b ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦即，()21222211222112248b b b b b b b b +-++++++= ，222121224812480048b b b b =+++=+ 则20个产品组成的总样本的平均数： ， ()()128121211168024002042020x a a a b b b =+++++++=+= 方差为：()()()()()()22222221281212120s a x axa xb x bxb x ⎡⎤=-+-++-+-+-++-=⎢⎥⎣⎦()221228122222221218112120220x x a a a b b b a a a b b b ⎡⎤++-+++++++⎣⎦++++++ ()2222222212811212020a a ab b x b =++-+++++ ()21352832480048202042820=+-⨯=故答案为：204；2815. 实数，满足，则的最小值是______.a b 22431a b b +=22a b +【解析】【分析】根据条件可得，代入，结合基本不等式求解. 42213b a b-=22a b +【详解】因为，所以， 22431a b b +=42213b a b-=所以 22221233b a b b +=+≥=当且仅当时，等号成立； 22a b ==. 16. 函数是定义在上的偶函数，且，若对任意两个不相等的正数，()f x {}R0x x ∈≠∣()11f =-1x 2x ，都有，则不等式的解集为______.()()2112121x f x x f x x x ->-()102f x x +<-【答案】 ()(),11,2∞--⋃【解析】【分析】设，则由可得，即在120x x >>()()2112121x f x x f x x x ->-()()121211f x f x x x ++>()()1f xg x x+=上单调递增，然后得出的奇偶性和取值情况，然后分、、三种情况解()0,∞+()g x 2x >02x <<0x <出不等式即可.【详解】设，则由可得120x x >>()()2112121x f x x f x x x ->-()()211212x f x x f x x x ->-所以，所以 ()()12122111f x f x x x x x ->-()()121211f x f x x x ++>所以可得在上单调递增()()1f x g x x+=()0,∞+因为函数是定义在上的偶函数， ()f x {}R0x x ∈≠∣所以函数是定义在上的奇函数 ()g x {}R0x x ∈≠∣因为，所以，()11f =-()10g =所以当或时，当或时， 10x -<<1x >()0g x >1x <-01x <<()0g x <所以由可得当时，，，此时无解()102f x x +<-2x >()10f x +<()()10f x g x x+=<当时，，，此时.02x <<()10f x +>()()10f x g x x+=>12x <<当时，，，所以0x <()10f x +>()()10f x g x x+=<1x <-综上：不等式的解集为.()102f x x +<-()(),11,2∞--⋃故答案为：.()(),11,2∞--⋃四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数的定义域为集合，集合. ()()2lg 3f x x x=-A 313a B x x a -⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭（1）若，求； 0a =A B ⋃（2）“”是“”的充分不必要条件.求实数的取值范围.x A ∈x B ∈a 【答案】（1） {}13x x -≤<（2）{}23a a ≤≤【解析】【分析】（1）先化简集合然后用并集的定义即可求解；,,A B （2）利用题意可得到 ，然后列出对应不等式即可A B 【小问1详解】由题意集合，{}{}23003A x x x x x =->=<<当时，，0a ={}11B x x =-≤≤所以{}13A B x x ⋃=-≤<【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以 ，x A ∈x B ∈A B 因为，， {}03A x x =<<313a B x x a -⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭所以，解得，30313a a -⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩23a ≤≤所以实数的取值范围是. a {}23a a ≤≤18. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；4535在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. 2334（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率；（2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】（1） 25（2）派甲参赛获胜的概率更大（3） 223300【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可；（2）利用独立事件的乘法公式分别求出甲乙赢的概率，据此即可得出结论；（3）先求出两人都没有赢得比赛，再根据对立事件的概率公式即可得解.【小问1详解】设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，1A =2A =“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，1B =2B =则，，，相互独立，且，，，， 1A 2A 1B 2B ()145P A =()223P A =()135P B =()234P B =设“甲在比赛中恰好赢一轮”C =则； ()()()()121212124112625353155P C P A A A P A A P A =+=+=⨯+⨯==【小问2详解】因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，12A A =12B B =所以， ()()()12124285315P A A P A P A ==⨯=， ()()()12123395420P B B P B P B ==⨯=因为，所以派甲参赛获胜的概率更大； 891520>【小问3详解】设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，D =E =于是“两人中至少有一人赢得比赛”，D E = 由（2）知，， ()()12815P D P A A ==()()12920P E P B B ==所以， ()()87111515P D P D =-=-=， ()()911112020P E P E =-=-=所以. ()()()()7112231111520300P D E P DE P D P E =-=-=-⨯= 19. 已知函数是奇函数. ()321x a f x =-+（1）求的值； a （2）判断在上的单调性，并证明；()f x R （3）求关于的不等式的解集. x ()()2251240f x x f x --+-<【答案】（1）6（2）单调递增，证明见解析 （3） 5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求的值；a （2）判断函数在的定义取值、作差、变形、定号、下结论即可证明单调性； R （3）结合函数的奇偶性与单调性，可将不等式转化为一元二次不等式即可得解集.【小问1详解】由函数是奇函数 ()()3R 21x a f x x =-∈+所以即， ()()f x f x -=-332121x x a a -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭化简可得，解得. 262121x x x a a ⋅+=++6a =【小问2详解】函数在上单调递增，理由如下：()f x R 在上任取两个实数，，设，R 1x 2x 12x x <则 ()()()()()1212211212622666633212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭因为，所以，所以，，，12x x <12022x x <<12220x x -<1210x +>2210x +>所以，即，()()120f x f x -<()()12f x f x <所以在上单调递增.()f x R 【小问3详解】由得， ()()2251240f x x f x --+-<()()225124f x x f x --<--由得，所以 ()()f x f x -=-()()2424f x f x --=-+()()225124f x x f x --<-+又在上单调递增，在恒成立，()f x R 225124x x x --<-+R 即，解得， 22350x x --<512x -<<所以原不等式解集为. 5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭20. 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，ABC A D E BC AB 2DC BD =2BE AE =AD CE P 设，. BC a = BA b =（1）若，试用，和实数表示；EP tEC = a b t BP （2）试用，表示； a b BP（3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线.AC F 5AC AF = B P F 【答案】（1） ()213BP ta t b =+- （2） 1477BP a b =+ （3）证明见解析【解析】【分析】(1)根据向量加减法运算即可;(2)根据向量的数量关系及向量加减法表示;(3)应用向量共线且有公共点证明即可.【小问1详解】由题意，所以， 2233BE BA b == 23EC EB BC a b =+=- ① ()2221333BP BE EP BE tEC b t a b ta t b ⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭ 【小问2详解】设，由，， DP k DA = 1133BD BC a == 13DA DB BA b a =+=- ② ()1111333BP BD DP a k b a k a kb ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭ 由①、②得，， ()()211133ta t b k a kb +-=-+ 所以，解得，所以； ()()113213t k t k ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1747t k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1477BP a b =+ 【小问3详解】由，得，所以， AC a b =- ()1155AF AC a b ==- 1455BF BA AF a b =+=+ 所以，因为与有公共点，所以，，三点共线. 75BF BP = BF BP B B P F 21. 某学习小组在社会实践活动中，通过对某种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（()P x x ()1k P x x=+k 为正常数），该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示： ()Q x x (天) x 510 15 20 25 30 (个)()Q x 55 60 65 70 65 60 已知第10天该商品的日销售收入为72元.（1）求的值；k（2）给出以下二种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中()Q x ax b =+()20Q x a x b =-+选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式； ()Q x x （3）求该商品的日销售收入（，）（单位：元）的最小值.()f x 130x ≤≤*x ∈N 【答案】（1）2（2）(，) ()2070Q x x =--+130x ≤≤*x ∈N （3）64元【解析】【分析】(1)利用日销售收入等于日销售价格乘以日销售量列式计算即得.()P x ()Q x (2)由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减不单调，选择模型②，再从表中任取两组值列式计算即可.(3)利用(2)的信息求出函数的解析式，再分段求出最值即可作答.()f x 【小问1详解】依题意，该商品的日销售收入，因第10天该商品的日销售收入为72元，()()()f x P x Q x =⋅则，即，解得， (10)(10)(10)f P Q =⋅(1)607210k +⨯=2k =所以的值是2.k 【小问2详解】由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，则选择模型， ()20Q x a x b =-+从表中任取两组值，不妨令，解得，即，显然表中(10)1060(20)70Q a b Q b =+=⎧⎨==⎩170a b =-⎧⎨=⎩()2070Q x x =--+其它各组值均满足这个函数，所以该函数的解析式为(，).()2070Q x x =--+130x ≤≤*x ∈N 【小问3详解】由(1)知， ，由(2)知，2()1,130,N P x x x x*=+≤≤∈， ()50,120,N 207090,2030,N x x x Q x x x x x **⎧+≤≤∈=--+=⎨-+<≤∈⎩于是得， 10052,120,N ()()()18088,2030,N x x x x f x P x Q x x x x x **⎧++≤≤∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩当时，在上单调递减，在上单调递增，当120,N x x *≤≤∈100()52f x x x=++[1,10][10,20]10x =时，取得最小值(元)，()f x (10)72f =当时，在上单调递减，当时，取得最小值2030,N x x *<≤∈180()88f x x x=-++(20,30]30x =()f x (元)，(30)64f =显然，则当，时，(元)，7264>130x ≤≤*x ∈N min ()(30)64f x f ==所以该商品的日销售收入的最小值为64元.22. 函数且，函数 . ()3x f x =(2)18f a +=()34ax xg x =-（1）求的解析式；()g x （2）若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围； x ()80xg x m -⋅=[]22-,m （3）设的反函数为，，若对任意()3x f x =()()()()23,[]log p x h x p x p x x λ=-++()21x x ϕλλ=+-的，均存在，满足 ，求实数的取值范围.1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()12h x x ϕ≤λ【答案】（1）()24x x g x =-（2）1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）)5⎡-+∞⎣【解析】【分析】（1）直接根据解得即可；(2)18f a +=32a =（2）含有参数的方程有实数根，分离参数然后求得在上的值域即可； m 222x x m --=-[]22-,（3）将问题转化为恒成立，然后根据参数的取值范围进行分类讨论，先求得()()12max h x x ϕ≤λ()2x ϕ的最大值，然后转化为恒成立问题即可【小问1详解】由，可得：(2)18f a +=2318a +=解得：32a =则有： ()24x xg x =-故的解析式为： ()g x ()24x xg x =-【小问2详解】由，可得： ()80xg x m -⋅=222x x m --=-不妨设2x t -=则有： 221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭又22x -≤≤则有： 144t ≤≤故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为 1t =m 14-4t =m 12故 1124m -≤≤故实数的取值范围为： m 1,124⎡⎤-⎢⎣【小问3详解】的反函数为：()3x f x =()3log p x x =若对任意的，均存在，满足1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()12h x x ϕ≤则只需：恒成立()()12max h x x ϕ≤()()()23[]log h x p x p x x λ=-++不妨设，则设 3log x b =()()21b s b b λ=-++，则 1x ⎤∈⎦122b ≤≤在上可分如下情况讨论：()21x x ϕλλ=+-[]21,1x ∈- 当时，，此时，不满足恒成立 0λ=()1x ϕ=-()2s b b b =-+()()12max h x x ϕ≤②当时，，此时只需：在上恒成立 0λ<()()1max 11x ϕϕλ=-=-()211b b λλ-++≤-122b ≤≤则只需：在上恒成立 ()2110b b λλ++-≥-1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则只需：时，不等式成立 12b =()2110b b λλ++-≥-解得：，与矛盾； 52λ≥0λ<③当时，，此时，只需保证：0λ>()()1max 131x ϕϕλ==-()2131b b λλ-++≤-则只需：在上恒成立 ()21310b b λλ++-≥-1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当时，只需保证：当时，成立 122λ+≤12b λ+=()21310b b λλ++-≥-则有：21050λλ-+≤解得：55λ-≤≤+又，故有： 122λ+≤53λ-≤≤当时，只需保证：当时，成立 122λ+>2b =()21310b b λλ++-≥-此时解得：1λ>-又故有：122λ+>3λ>故当时，0λ>5λ≥-综上所述，解得：实数的取值范围为：λ)5⎡-+∞⎣【点睛】结论：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数 ， ， ，，则有： ()y f x =[],x a b ∈()y g x =[],x c d ∈（1）若 ，， 恒成立， ； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x ≤()()12max min f x g x ≤（2）若 ，， 能成立，[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x ≤()()12max max f x g x ≤。

2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．如图所示，在ABC △中，30BC =，点D 在BC 边上，点E 在线段AD 上，若1162CE CA CB =+u u u r u ur u u r,则BD = （ ）A ．10B ．12C ．15D ．182．已知直线10():ay a l x +-=∈R 是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则=AB （ ） A ．2B ．42C ．210D ．63．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，则点1A 到平面11AB D 的距离是（ ） A ．23B ．43C ．169D ．494．已知向量()13a =r，，向量()3b x r ，=，若向量b r 在向量a r方向上的投影为3-，则实数x 等于（ ） A ．3B ．2C ．2-D ．3-5．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100C ︒，水温(C)y ︒与时间(min)t 近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度(C)y ︒与时间(min)t 近似满足函数的关系式为 101802t a y b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（,a b 为常数）, 通常这种热饮在40C ︒时，口感最佳，某天室温为20C ︒时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为A ．35minB ．30minC ．25minD ．20min6．在△ABC 中，点M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上，且满足AP ＝2PM ，则()PA PB PC +u u u v u u u v n u u u v等于( ) A ．－43B ．－49C ．4 3D ．4 97．已知数列{}n a 满足：12a =，0n a >，()22*14n n a a n N +-=∈，那么使5n a <成立的n 的最大值为（ ） A.4B.5C.24D.258．在ABC ∆中，5cos 25C =,BC=1,AC=5，则AB= A ．42B ．30C ．29D ．259．如图所示，在正四棱锥S ABCD -中，,,E M N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列结论不恒成立的是( ).A ．EP 与SD 异面B ．EP ∥面SBDC ．EP ⊥ACD ．EP BD ∥10．正项等比数列{}n a 中，4532a a ⋅=，则212228log log log a a a +++L 的值（ ） A ．10B ．20C ．36D ．12811．已知在ABC △中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ） A ．14-B ．14C ．23-D ．2312．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．18365+．54185+．90 D ．81 二、填空题13．已知,x y R *∈，则222x y +=，则222257(2)()49501815-+-的最大值为_________． 14．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则圆柱的体积为______．15．已知各顶点都在一个球面上的正方体的棱长为2，则这个球的体积为 .16．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的正三角形，4PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________．三、解答题17．已知数列{}n a 中，12a =，()124,2n n a a n n N n *--+=∈≥.(1)求数列{}n a 的通项公式: (2)设121n n b a =-，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .18．在ABC ∆中，角,,A B C 的对应的边分别为,,a b c ，且sin 3sin A C =. （Ⅰ）若4B π=，求tan A 的值；（Ⅱ）若2tan ABC S b B ∆=，试判断ABC ∆的形状.19．已知函数．（1）求函数在区间上的最小值； （2）若，，求的值；（3）若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围． 20．如图, 在直三棱柱中，，，，，点是的中点．（1）求证：； （2）求证：//平面．21．如图，在平面凸四边形ABCD 中（凸四边形指没有角度数大于180o 的四边形），2,4,5AB BC CD ===.（1）若120B ∠=o ，1cos 5D =，求AD ； （2）已知3AD =，记四边形ABCD 的面积为S . ① 求S 的最大值；② 若对于常数λ，不等式S λ≥恒成立，求实数λ的取值范围.（直接写结果，不需要过程） 22．已知,,A B C 为平面内不共线的三点，表示ABC △的面积 （1）若求； （2）若，，，证明:；（3）若，，，其中，且坐标原点O 恰好为ABC △的重心，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A D C B C A D B AB13．2 14．34π 15． 43π； 16．643π 三、解答题17．(1)22n a n = (2) ()()12121n b n n =-+，21n nT n =+ 18．（Ⅰ）tan (36)A =-+； （Ⅱ）ABC ∆为钝角三角形. 19．（I ）；（II ）；（III ）20．略21．（1）3；（2）①230214λ≤. 22．（1）232）详见解析；（3）33，理由见解析.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题 1．将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则的最小值为（ ） A.B.C. D.2．与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y +++=3．如图，在矩形ABCD 中，AB 4=，2BC =，点P 满足1CP =u u u r ，记a AB AP =⋅u u u r u u u r，b AC AP =⋅u u u r u u u r ，c AD AP =⋅u u u r u u u r，则,,a b c 的大小关系为( )A.a b c >>B.a c b >>C.b a c >>D.b c a >>4．已知,a b 是两条异面直线，//c a ，那么c 与b 的位置关系（ ） A.一定是异面 B.一定是相交 C.不可能平行 D.不可能垂直 5．在下列区间上，方程331x x =-无实数解的是( )A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,26．平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，4AB AD ⋅=-u u u r u u u r ，点M 满足3DM MC =u u u u r u u u u r，则(MA MB ⋅=u u u r u u u r)A ．1B ．1-C ．4D ．4-7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆O 相交于点P .过点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ，点T 的横坐标关于角α的函数记为()f α. 则下列关于函数()f α的说法正确的（ ）A ．()f α的定义域是π{|2π,}2k k αα≠+∈Z B ．()f α的图象的对称中心是π(π,0),2k k +∈ZC ．()f α的单调递增区间是[2π,2ππ],k k k +∈ZD ．()f α对定义域内的α均满足(π)()f f αα-= 8．已知函数2()sin(2)3f x x π=+,则下列结论错误的是( ) A.()f x 的一个周期为π- B.()f x 的图象关于直线56x =-π对称 C.()f x π+的一个零点为6π D.()f x 在区间(0,)3π上单调递减9．若ABC ∆的内角,,A B C 满足643sinA sinB sinC ==，则cos B =（ ） A.154B.34C.31516D.111610．在ABC △中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ） A ．31010 B ．1010 C ．1010- D ．31010- 11．已知1OA =u u u v，3,0OB OA OB =⋅=u u u v u u u v u u u v ，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=o ，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则mn等于（ ）A ．13B ．3C ．3 D ．312．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______． 14．已知,(,)2παβπ∈，且45cos ,sin 513αβ=-=，则tan 2()αβ-=________.15．已知函数()()2ln11f x x x =+-+，()4f a =，则()f a -=________．16．如图所示，已知点()1,1A ，单位圆上半部分上的点B 满足·0OAOB =u u u r u u u r ，则向量OB uuu r的坐标为________．三、解答题17．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，过点A 的三条棱PA 、AB 、AD 两两垂直且相等，E ，F 分别是AC ，PB 的中点．（Ⅰ）证明：EF//平面PCD ；（Ⅱ）求EF 与平面PAC 所成角的大小． 18．已知函数11()(0)f x x a x=->. （1）用函数单调性的定义证明：()f x 在(0,)+∞上是增函数； （2）若()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a 的值.19．化简或求下列各式的值．（1）(2213345333254a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）（lg5）2+lg5•lg20+22451log log +．20．(Ⅰ)计算：1235511()(lg4)lg161lg log 35log 7274-+-++-；(Ⅱ)已知1cos 3α=，求()sin 23sin sin 12παππαα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭的值． 21．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且32cos +3cos =0c b A a C -（）． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a b =，且BC 边上的中线AM 的长为7,求边a 的值． 22．己知直线2x ﹣y ﹣1=0与直线x ﹣2y+1=0交于点P ．（Ⅰ）求过点P 且平行于直线3x+4y ﹣15=0的直线1l 的方程；（结果写成直线方程的一般式） （Ⅱ）求过点P 并且在两坐标轴上截距相等的直线2l 方程（结果写成直线方程的一般式）【参考答案】*** 一、选择题13．()(),20,2-∞-⋃ 14．253tan(2)204αβ-=- 15．2-16．22⎛- ⎝⎭三、解答题17．（Ⅰ）略； （Ⅱ）略. 18．（1）证明略；（2）25. 19．（1）723352a b --；（2）220．(Ⅰ)5；(Ⅱ2)?4-或24- 21．（Ⅰ）6π；（Ⅱ）4. 22．(Ⅰ)3x+4y ﹣7=0；(Ⅱ)x+y ﹣2=0或x ﹣y=0．2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．等边三角形ABC 的边长为1，BC a =r ，CA b =r，AB c =r ，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅r r r r r r 等于（ ） A ．3B ．3-C ．32D ．32-2．在数列{}n a 中，若11a =，212a =，()12211n n n n N a a a *++=+∈，设数列{}n b 满足()21log n nb n N a *=∈，则{}n b 的前n 项和n S 为（ ） A ．21n -B ．22n -C ．121n +-D ．122n +-3．已知圆1C ：22x y a +=关于直线l 对称的圆为圆2C ：222230x y x ay ++-+=，则直线l 的方程为A ．2450x y -+=B ．2450x y ++=C ．2450x y --=D ．2450x y +-=4．若直线l ：y kx =与曲线M ：2y 11(x 3)=+--有两个不同交点，则k 的取值范围是( ) A.13,44⎛⎤⎥⎝⎦B.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.15,29⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．已知0a >，0b >，且21a b ab +=-，则2+a b 的最小值为 A ．526+B ．82C ．5D ．96．定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，且，则不等式的解集为 A ． B ．C ．D ．7．若32x =8，y=log 217，z=（27）-1，则（ ） A.x y z >>B.z x y >>C.y z x >>D.y x z >>8．已知()1f x x =+，当42ππθ<<时，()()sin 2sin 2f f θθ⎡⎤--⎣⎦的值为（ ） A ．2sin θB ．2cos θC ．2sin θ-D ．2cos θ-9．已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，前n 项和为n S ，若对所有的)(*∈N n n ，都有10S S n ≥，则（ ）． A ．0≥n aB ．0109<⋅a aC ．172S S <D ．019≤S10．数列{}n a 中，对于任意,m n N *∈，恒有m n m n a a a +=+，若118a =，则7a 等于( ) A ．712 B ．714 C ．74D ．7811．若函数()xxf x a a -=-(01)a a >≠且在R 上是增函数，那么()log (1)a g x x =+的大致图象是（ ）A. B. C.D.12．已知m ，n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则二、填空题 13．已知函数的图象上两个点的坐标分别为，，则满足条件的一组，的值依次为______，______．14．已知函数f(x)满足当x≥4时；当x<4时f(x)=f(x ＋1)，则f(2＋log 23)=________.15．已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为 ． 16．棱长均为1m 的正三棱柱透明封闭容器盛有3am 水，当侧面11AA B B 水平放置时，液面高为hm （如图1）； 当转动容器至截面1A BC 水平放置时，盛水恰好充满三棱锥1A A BC -（如图2），则a =___；h = _____．三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A -，()1,1B ，()3,1C -.（Ⅰ)求AB u u u r的坐标及||AB uu u r ；（Ⅱ)当实数t 为何值时，()tOC OB AB +u u u r u u u r u u u rP .18．已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //． （1）求直线12,l l 之间的距离；（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程． 19．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()1cos 3sin c A a C +=. （1）求角A 的大小； （2）若7a =，1b =，求ABC ∆的面积.20．已知函数.（1）求的定义域与最小正周期；（2）当时，求值域.21．某公司对营销人员有如下规定：（i ）年销售额x （万元）不大于8时，没有年终奖金；（ⅱ）年销售额x （万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x （万元）不大于64时，年终奖金y （万元）按关系式y ＝log a x+b ，（a ＞0，且a≠1）发放；当年销售额x （万元）不小于64时，年终奖金y （万元）为年销售额x （万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x （万元）的取值范围． 22．已知函数⑴ 求函数的最小正周期和单调增区间； ⑵ 当时,求函数的值域.【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D A B A A D B D D AB二、填空题 13． 14．15．3 16．312 3122- 三、解答题17．（Ⅰ)(2,1)AB =-u u u r ，||5AB =u u u r；（Ⅱ)3t =18．（1）5（2）22x (y 1)5++=． 19．(1) 3A π= (2) 33S =20．（1），；（2）.21．（1）20,08log 3,86415,648x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎩（2）3272x ＜＜22．（1），递增区间为，. （2）2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O 为大圆圆心，线段AB 为小圆直径．△AOB 的三边所围成的区域记为I ，黑色月牙部分记为Ⅱ，两小月牙之和（斜线部分）部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则（）A.123p p p >>B.123p p p =+C.213p p p >>D.123p p p =>2．若0a >，且1a ≠，则“12a =”是“函数()a f x log x x =-有零点”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．在ABC ∆中，已知其面积为22()S a b c =--，则tan A =（ ） A.34B.817C.815D.17194．已知圆C （C 为圆心，且C 在第一象限）经过(0,0)A ，(2,0)B ，且ABC ∆为直角三角形，则圆C 的方程为（ ） A.22(1)(1)4x y -+-= B.22(2)(2)2x y +-= C.22(1)(2)5x y -+-=D.22(1)(1)2x y -+-=5．已知实数a 满足35a =，则函数5()2log 3xf x a x =+-的零点在下列哪个区间内A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)6．已知将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移m 个单位长度(0)m >可得sin2y x =的图象，则正实数m 的最小值为( )A ．76π B ．56π C ．712π D ．512π 7．已知,,l m n 是不同的三条直线，α是平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A.若l m ⊥，l n ⊥，则m n PB.若m α⊥，n α⊥，则m n PC.若m αP ，n αP ，则m n PD.若l m ⊥，l n ⊥，则m n ⊥8．非零向量a r，b r互相垂直，则下面结论正确的是( )A.a b =r rB.a b a b +=-rrrrC.a b a b +=-r r r rD.()()0a b a b +⋅-=r rr r9．下列命题正确的是A ．若,αβ是第一象限角，且αβ<，则sin sin αβ<；B ．函数cos()4y x π=-的单调减区间是32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤---+∈⎢⎥⎣⎦C ．函数tan y x =的最小正周期是2π； D ．函数 sin()2y x π=+ 是偶函数；10．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣11．过两点()4,A y ，()2,3B -的直线的倾斜角为45︒，则y =（ ）．A ．BC ．-1D ．112．已知sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则cos2α的值为（ ）A ．45-B ．35C ．35-D ．45二、填空题13．《九章算术》中记载了弧田(圆弧和其所对弦围成的弓形)的面积公式2S ⨯+⨯=弧田弦矢矢矢，其中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差.已知一块弦长为的弧田按此公式计算所得的面积为292m ⎛⎫+⎪⎝⎭，则该弧田的实际面积为______2m ． 14．已知,x y 为非零实数，()ππ,42θ∈，且同时满足：①sin cos y x θθ=，② 22103x y xy =+，则cos θ的值等于______．15．若直线20ax y +-=与圆22(1)1x y -+=相切，则a =__________．16．下列说法中，正确的序号是_________.① sin y x =的图象与sin()y x =-的图象关于y 轴对称； ② 若sin cos 1αα+=，则*sin cos ()nnn N αα+∈的值为1； ③ 若(0,)2πθ∈, 则cos(sin θ)>sin(cos θ)；④ 把函数cos(2)3y x π=-的图象向左平移3π个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程为6x π=； ⑤ 在钝角ABC ∆中，2C π>，则sin cos A B <；⑥ sin168cos10sin11<<o o o . 三、解答题17．已知函数()()log 12(0a f x x a =-+>，且1)a ≠过点()3,3．()1求实数a 的值；()2解关于x 的不等式()()2221f x f x +<-．18．（1）设直线m 的方程为()120()a x y a a R +++-=∈.若直线m 在两坐标轴上的截距相等，求直线m 的方程；（2）过直线l ：y x =上的点()2,2P 作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程.19．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [)0,0.1 [)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6 [)0.6,0.7频数132 49 26 5日用水量 [)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6频数151310165（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）20．ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知63,cos 2a A B A π===+， (1)求b 的值； (2)求ABC ∆的面积.21．如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记COPa ?，求当α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.22．给定区间I ，集合M 是满足下列性质的函数()f x 的集合：任意x I ∈，(1)2()f x f x +>．（1）已知I R =，()3xf x =，求证： ()f x M ∈；（2）已知(0,1]I =，2()log g x a x =+．若()g x M ∈，求实数a 的取值范围；（3）已知[1,1]I =-，2()5h x x ax a =-++- (a R ∈)，讨论函数()h x 与集合M 的关系． 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C D B D B C D A CA13．1293π- 14．10 15．3416．②③⑤ 三、解答题17．（1）2（2）{|3}.x x >18．(1) 30x y +=或20x y ++=. (2) 220x y -+=或2x =. 19．（1）直方图略；（2）0.48；（3）347.45m . 20．（1）32（2）32221．当6πα=时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为．22．（1）详略；（2）1a <；（3）详略.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．在非直角ABC ∆中，“A B >”是“tan tan A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要2．设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若//,//m n αα，则//m n ； ②若//,//,m αββγα⊥则m γ⊥；③若,//m n αα⊥，则m n ⊥； ④若,αγβγ⊥⊥,则//αβ，其中正确命题的序号是（ ） A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④3．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合U A B ⋂=ð（ ） A.{}2,5B.{}3,6C.{}2,5,6D.{}2,3,5,6,84．以下关于函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的说法中，正确的是( )A ．最小正周期2T π=B ．在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．图象关于直线3x π=对称5．如图给出的是计算1111246102+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，其中判断框中应填入的是（ ）A ．102i >B ．102i ≤C ．100i >D ．100i ≤6．已知0.2a =0.22b =，0.20.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.a b c >>B.b a c >>C.b c a >>D.c b a >>7．已知,(1,)m n ∈+∞，且m n >，若26log log 13m n n m +=，则函数2()mn f x x =的大致图像为（ ）A. B.C. D.8．若函数2()ln(1cos sin )f x m x x =+-+的图像关于原点对称，则m =（ ） A ．0B ．1C ．eD ．1e9．已知函数2()ln(1)1f x x x =+++，则使得()(22)f x f x >-的x 的范围是( )A.2(,2)3B.()1,1,3∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭nC.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D.2(,)(2,)3-∞⋃+∞10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=12．过点(1,-2)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线,切点分别为A 、B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a x =，3b =，60B =o ，若ABC ∆有两解，则x 的取值范围是__________．14．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则A =______；ϕ=______．15．已知两点(1,3)A --,(3,)B a ,以线段AB 为直径的圆经过原点,则该圆的标准方程为____________. 16．若62sin 3c 5os αβ-=-，12cos 3s 5in αβ-=-，则()sin αβ+=___________. 三、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，*1,N 21n n na a a n +=∈+．（1）证明：数列n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设21nn a b n =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使不等式n S ＜k 对一切n *∈N 恒成立的实数k 的范围．18．已知圆M ：221x y +=．（Ⅰ）求过点(1,2)--的圆M 的切线方程；（Ⅱ）设圆M 与x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆M 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别与直线3x =交于C ，D 两点．（ⅰ）当点P 的坐标为(0,1)时，求以CD 为直径的圆的圆心坐标及半径2C ；（ⅱ）当点P 在圆M 上运动时，以CD 为直径的圆2C 被x 轴截得的弦长是否为定值？请说明理由． 19．已知函数()1mf x x x=+-． ()1当4m =时，判断()f x 在[)2,+∞上的单调性并用定义证明；()2若对任意11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()2log 0f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围．20．蚌埠市某中学高三年级从甲（文）、乙（理）两个科组各选出7名学生参加高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是85，乙组学生成绩的中位数是83．（1）求x 和y 的值；（2）计算甲组7位学生成绩的方差2S ；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲组至少有一名学生的概率． 21．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB//CD,,若（1）求证：（2）求三棱锥的体积. 22．设函数()()21x xa t f x a --=（0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数．（Ⅰ）求t 的值；（Ⅱ）若函数()f x 的图象过点312⎛⎫⎪⎝⎭，，是否存在正数m ()1m ≠，使函数()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21log 3，上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A B B C A B A CAB二、填空题 13．(3,23) 14．3π15．22(1)(2)5x y -++= 16．2425三、解答题 17．（1）略，n 121a n =-；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭18．（Ⅰ）10x +=或3450x y --=；（Ⅱ）（ⅰ）圆心为(3,1)，半径3r =；（ⅱ）略 19．（1）略；（2）[)2,+∞20．（1）5x =，3y =；（2）40；（3）710. 21．（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）22．（Ⅰ）t=2，（Ⅱ）不存在．2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．某快递公司在我市的三个门店A ，B ，C 分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A ，B 与门店C 都相距a km ，而门店A 位于门店C 的北偏东50o 方向上，门店B 位于门店C 的北偏西70o 方向上，则门店A ，B 间的距离为（ ） A.a kmB.2a kmC.3a kmD.2a km2．在ABC ∆中，cos cos a A b B =，则ABC ∆的形状为（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形3．若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（ ）A.B.C.D.4．若函数()()sin (0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤局部图象如图所示，则函数()y f x =的解析式为( )A ．3sin 226y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．3sin 226y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．3sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．3sin 223y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 5．如图所示（单位：cm ），直角梯形的左上角剪去四分之一个圆，剩下的阴影部分绕AB 所在直线旋转一周形成的几何体的表面积为（ ）A.260cm πB.264cm πC.268cm πD.272cm π6．某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间t （天）组成有序数对(),t P ，点(),t P 落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q （万股）与时间t （天）的部分数据如下表所示，且Q 与t 满足一次函数关系，第t 天4 10 16 22 Q （万股）36302418那么在这30天中第几天日交易额最大（ ）A.10B.15C.20D.257．已知直线l ：y=kx+2（k ∈R ），圆M ：（x-1）2+y 2=6，圆N ：x 2+（y+1）2=9，则（ ） A ．l 必与圆M 相切，l 不可能与圆N 相交 B ．l 必与圆M 相交，l 不可能与圆N 相切 C ．l 必与圆M 相切，l 不可能与圆N 相切 D ．l 必与圆M 相交，l 不可能与圆N 相离8．设函数f(x)定义在实数集上,f(2x)=f(x)－,且当x ≥1时,f(x)=lnx ,则有（ ）A ．11f()<f(2)<f()32 B ．11f()<f()<f(2)23 C ．11f()<f(2)<f()23 D ．11f(2)<f()<f()239．,,a b c 是非直角三角系ABC 中角,,A B C 的对边，且222sin sin sin sin sin sin 2A B C ab A B C +-=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．410．已知集合{}()(){}2,1,0,1,2,|120M N x x x =--=+-≤，则M N ⋂=（ ） A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}1,0,1,2-11．函数值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．为了得到函数sin(2)6y x π=-的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度 二、填空题13．如图，-辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A 处时测得公路北侧一山顶D 在北偏西45︒的方向上，仰角为α，行驶300米后到达B 处，测得此山顶在北偏西15︒的方向上，仰角为β，若45β=︒，则此山的高度CD =________米，仰角α的正切值为________.14．已知圆222:()0O x y r r +=>，直线2:l mx ny r +=与圆O 相切，点P 坐标为(),m n ，点A 坐标为()3,4，若满足条件2PA =的点P 有两个，则r 的取值范围为_______15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2EF =下四个结论：AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，其中正确结论的序号是______．16．设O 为ABC ∆内一点，且满足关系式2332OA OB OC AB BC CA ++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则::AOB BOC COA S S S ∆∆=V ________.三、解答题17．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（1）求()f x 的最大值及此时的x 的集合； （2）求()f x 的单调增区间； （3）若1()2f α=，求sin(4)6πα-. 18．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .19．已知函数()()sin ,f x A x x R ωφ=+∈（其中0,0,02A πωφ>><<）的周期为π，且图象上的一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭． （1）求()f x 的解析式及单调递增区间； （2）当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．20．设正项等比数列{}4,81,n a a =且23,a a 的等差中项为()1232a a +． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若321log n n b a -=，数列{}n b 的前n 项为n S ，数列{}n c 满足141n n c S =-，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T ． 21．如图为函数的部分图象．求函数解析式； 求函数的单调递增区间；若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围．22．在等比数列{}n a 中，，.试求：（1）1a 和公比q ； （2）前6项的和6S ． 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C B D C B D B A A BB13．3002 31- 14．(3,7) 15．①②③ 16．2:3:1 三、解答题17．（1）2,,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）78 18．（1）a n ＝22n －1.（2）S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2] 19．（1）[,36k k ππππ-+]，k ∈Z ；； （2）[1，2].20．（1）3nn a =；（2）21n nT n =+. 21．（1）；（2）单调递增区间为，；（3）.22．(1)；(2)当q=3时，；当q=-3时，.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC △的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形2．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，12AA =，则该长方体的外接球的表面积为（ ） A.4π B.8πC.16πD.32π3．若5sin 25α=，10sin()10βα-=，且[,]4παπ∈，3[,]2πβπ∈，则αβ+的值是（） A.94πB.74πC.54π或74πD.54π或94π 4．已知向量(cos sin )a θθ=r ，, (3,1)b r =,若//a b r r , 则sin cos θθ=（ ）A ．310-B ．310C ．13D ．35．在平面直角坐标系xOy 中，角的终边与单位圆交于点不在坐标轴上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则面积的最大值为A ．B ．C ．D ．6．函数sin()(0,)y A x A ωϕϕπ=+><在一个周期内的图像如图所示，则此函数的解析式为（ ）A.2sin(2)3y x π=+ B.2sin()23x y π=- C.2sin(2)3y x π=-D.22sin(2)3y x π=+7．口袋中装有三个编号分别为1，2，3的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次。

辽宁省大连市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={﹣1，0}，B={0，1，2}，则A∪B=（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）在空间直角坐标系中，点P（3，﹣2，1）关于轴的对称点坐标为（）A．（3，2，﹣1）B．（﹣3，﹣2，1）C．（﹣3，2，﹣1）D．（3，2，1）3．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ4．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．（2+）π B．4π C．（2+2）πD．6π5．（5分）设f（）=3+3﹣8，用二分法求方程3+3﹣8=0在∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定6．（5分）过点（0，3）且与直线2+y﹣5=0垂直的直线方程为（）A．2+y﹣3=0 B．+2y﹣6=0 C．﹣2y+6=0 D．2﹣y+3=07．（5分）函数y=﹣的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）已知圆：C1：（+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（﹣2）2+（y﹣2）2=1 B．（+2）2+（y+2）2=1 C．（+2）2+（y﹣2）2=1 D．（﹣2）2+（y+2）2=19．（5分）已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC边的长度是（）A． B．C．D．10．（5分）已知a=log23，b=20.5，，则a，b，c从大到小的顺序为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b11．（5分）对于每个实数，设f（）取，y=|﹣2|两个函数中的较小值．若动直线y=m与函数y=f（）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为1、2、3，则1+2+3的取值范围是（）A．（2，）B．（2，）C．（4，）D．（0，）12．（5分）已知两点A（0，0），B（2，2）到直线l的距离分别为1和2，这样的直线l条数为（）A．1条B．2条C．3条D．4条二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13．（5分）已知正四棱锥的底面边长为4cm，高与侧棱夹角为45°，则其斜高长为（cm）．14．（5分）已知圆C：2+y2=9，过点P（3，1）作圆C的切线，则切线方程为．15．（5分）若函数f（）=lg（2+a﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知正三棱柱的棱长均为2，则其外接球体积为．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．（10分）已知函数f（）=．（I）求f（0），f（1）；（II）求f（）值域．18．（12分）△ABC三个顶点坐标为A（0，1），B（0，﹣1），C（﹣2，1）．（I）求AC边中线所在直线方程；（II）求△ABC的外接圆方程．19．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）A1C⊥面AB1D1．20．（12分）如图，有一个正三棱锥的零件，P是侧面ACD上的一点．过点P作一个与棱AB 垂直的截面，怎样画法？并说明理由．21．（12分）已知函数f（）=．（Ⅰ）证明：f（）为奇函数；（Ⅱ）判断f（）单调性并证明；（III）不等式f（﹣t）+f（2﹣t2）≥0对于∈[1，2]恒成立，求实数t的取值范围．22．（12分）平面内有两个定点A（1，0），B（1，﹣2），设点P到A、B的距离分别为d1，d2，且=（ I）求点P的轨迹C的方程；（ II）是否存在过点A的直线l与轨迹C相交于E、F两点，满足（O为坐标原点）．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．辽宁省大连市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={﹣1，0}，B={0，1，2}，则A∪B=（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{1，2} D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：∵A={﹣1，0}，B={0，1，2}，∴A∪B={﹣1，0，1，2}，故选：D．2．（5分）在空间直角坐标系中，点P（3，﹣2，1）关于轴的对称点坐标为（）A．（3，2，﹣1）B．（﹣3，﹣2，1）C．（﹣3，2，﹣1）D．（3，2，1）【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点（，y，）关于轴的对称点的坐标为：（，﹣y，﹣），∴点P（3，﹣2，1）关于轴的对称点的坐标为：（3，2，﹣1）．故选：A3．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ【解答】解：对于A，m⊂β，α⊥β，则m与α的关系有三种，即m∥α、m⊂α或m与α相交，选项A错误；对于B，α∩γ=m，β∩γ=n，若m∥n，则α∥β或α与β相交，选项B错误；对于C，m⊥β，m∥α，则α内存在与m平行的直线与β垂直，则α⊥β，选项C正确；对于D，α⊥γ，α⊥β，则β与γ可能平行，也可能相交，选项D错误．故选：C．4．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．（2+）π B．4π C．（2+2）πD．6π【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个半球与一个圆锥组合而成的几何体，半球的半径为1，故半球面面积为：2π，圆锥的底面半径为1，高为2，故母线长为，故圆锥的侧面积为：π，故组合体的表面积是：（2+）π，故选：A5．（5分）设f（）=3+3﹣8，用二分法求方程3+3﹣8=0在∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定【解答】解析：∵f（1.5）•f（1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选B．6．（5分）过点（0，3）且与直线2+y﹣5=0垂直的直线方程为（）A．2+y﹣3=0 B．+2y﹣6=0 C．﹣2y+6=0 D．2﹣y+3=0【解答】解：设与直线2+y﹣5=0垂直的直线方程为﹣2y+c=0，把点（0，3）代入，得0﹣6+c=0，解得c=6，∴过点（0，3）且与直线2+y﹣5=0垂直的直线方程是﹣2y+6=0．故选C．7．（5分）函数y=﹣的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：令y=f（）=﹣，∵f（﹣）=﹣+=﹣（﹣）=﹣f（），∴y=f（）=﹣为奇函数，∴其图象关于原点成中心对称，故可排除C，D；又=1时，y=1﹣1=0，当＞1时，不妨令=8，y=8﹣8=6＞0，可排除B，故选A．8．（5分）已知圆：C1：（+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（﹣2）2+（y﹣2）2=1 B．（+2）2+（y+2）2=1 C．（+2）2+（y﹣2）2=1 D．（﹣2）2+（y+2）2=1【解答】解：在圆C2上任取一点（，y），则此点关于直线﹣y﹣1=0的对称点（y+1，﹣1）在圆C1：（+1）2+（y﹣1）2=1上，∴有（y+1+1）2+（﹣1﹣1）2=1，即（﹣2）2+（y+2）2=1，∴答案为（﹣2）2+（y+2）2=1．故选：D．9．（5分）已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC边的长度是（）A． B．C．D．【解答】解：由已知作出梯形ABCD是直角梯形，如右图：∵按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′，A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，∴直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=A′D′=2，BC=B′C′=4，AB=2A′B′=2，过D作DE⊥BC，交BC于E，则DE=AB=2，EC=BC﹣AD=4﹣2=2，∴直角梯形DC边的长度为：=2．故选：B．10．（5分）已知a=log3，b=20.5，，则a，b，c从大到小的顺序为（）2A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b3==＜=c，【解答】解：∵a=log2=＞b=20.5，∴c＞a＞b．故选：D．11．（5分）对于每个实数，设f（）取，y=|﹣2|两个函数中的较小值．若动直线y=m与函数y=f（）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为1、2、3，则1+2+3的取值范围是（）A．（2，）B．（2，）C．（4，）D．（0，）【解答】解：由2=|﹣2|，平方得4=2﹣4+4，即2﹣8+4=0，解得=4+2或=4﹣2，设1＜2＜3，作出函数f（）的图象如图：则0＜1＜4﹣2，2与3，关于=2对称，则2+3=4，则1+2+3=1+4，∵0＜1＜4﹣2，∴4＜4+1＜8﹣2，即1+2+3的取值范围为（4，8﹣2 ），故选：C12．（5分）已知两点A（0，0），B（2，2）到直线l的距离分别为1和2，这样的直线l条数为（）A．1条B．2条C．3条D．4条【解答】解：到点A（0，0）距离为1的直线，可看作以A为圆心1为半径的圆的切线，同理到点B（2，2）距离为2的直线，可看作以B为圆心2为半径的圆的切线，故所求直线为两圆的公切线，又|AB|=2，所以2﹣1＜|AB|＜1+2，故两圆相交，公切线有2条，故选：B．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上）13．（5分）已知正四棱锥的底面边长为4cm，高与侧棱夹角为45°，则其斜高长为（cm）．【解答】解：如图所示：∠SBO=45°，OE=2cm，SO=OB=2，∴斜高为SE=﹣，故答案为．14．（5分）已知圆C：2+y2=9，过点P（3，1）作圆C的切线，则切线方程为=3或4+3y﹣15=0 ．【解答】解：圆心坐标为（0，0），半径为3，∵点P（3，1）在圆外，∴若直线斜率不存在，则直线方程为=3，圆心到直线的距离为3，满足相切．若直线斜率存在设为，则直线方程为y﹣1=（﹣3），即﹣y+1﹣3=0，则圆心到直线﹣y+1﹣3=0的距离等于半径1，即d==1，解得=﹣，此时直线方程为4+3y﹣15=0，综上切线方程为=3或4+3y﹣15=0，故答案为：=3或4+3y﹣15=015．（5分）若函数f（）=lg（2+a﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．【解答】解：令t=2+a﹣a﹣1，外函数y=lgt为增函数，要使复合函数f（）=lg（2+a﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，则，解得a＞﹣3．∴实数a的取值范围是：（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．16．（5分）已知正三棱柱的棱长均为2，则其外接球体积为．【解答】解：取三棱柱ABC﹣A′B′C′的两底面中心O，O′，连结OO′，取OO′的中点D，连结BD则BD为三棱柱外接球的半径．∵△ABC是边长为2的正三角形，O是△ABC的中心，∴BO=．又∵OD=1，∴BD=．∴三棱柱外接球的体积V=π×BD3=．故答案为．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．（10分）已知函数f（）=．（I）求f（0），f（1）；（II）求f（）值域．【解答】解：（I） f（0）=1，；（II）这个函数当=0时，函数取得最大值1，当自变量的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并趋向于0，但永远不会等于0，于是可知这个函数的值域为集合．18．（12分）△ABC三个顶点坐标为A（0，1），B（0，﹣1），C（﹣2，1）．（I）求AC边中线所在直线方程；（II）求△ABC的外接圆方程．【解答】解：（ I）由于AC的中点为（﹣1，1），B（0，﹣1），故AC边中线所在直线方程为2+y+1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（ II）（方法一）设△ABC的外接圆方程为2+y2+D+Ey+F=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）则把A，B，C的坐标代入可得，﹣﹣﹣﹣﹣（10分）求得，故要求的圆的方程为2+y2+2﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣（12分）（方法二）因为AC⊥BA，所以△ABC的外接圆是以Rt△ABC的斜边BC为直径的圆，﹣﹣﹣﹣（8分）则圆心坐标为BC中点（﹣1，0），半径为|BC|的一半是，﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以△ABC的外接圆方程是（+1）2+y2=2．﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）A1C⊥面AB1D1．【解答】证明：（1）连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴A1ACC1是平行四边形，∴A1C1∥AC且A1C1=AC，又O1，O分别是A1C1，AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1=AO，∴AOC1O1是平行四边形，∴C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，∴C1O∥面AB1D1；（2）∵CC1⊥面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D!，又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1C，即A1C⊥B1D1，∵A1B⊥AB1，BC⊥AB1，又A1B∩BC=B，AB1⊥平面A1BC，又A1C⊂平面A1BC，∴A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，∴A1C⊥面AB1D120．（12分）如图，有一个正三棱锥的零件，P是侧面ACD上的一点．过点P作一个与棱AB垂直的截面，怎样画法？并说明理由．【解答】解：（方法一）画法：过点P在面ACD内作EF∥CD，交AC于E点，交AD于F点．过E作EG⊥AB，连接FG，平面EFG为所求．﹣﹣﹣﹣（4分）理由：取CD中点M，连接AM，BM．∵A﹣BCD为正三棱锥，∴AC=AD，BC=BD，∴BM⊥CD，AM⊥CD，﹣﹣﹣﹣（6分）AM∩BM=M，AM⊂平面ABM，BM⊂平面ABM，∴CD⊥平面ABM．﹣﹣﹣﹣（8分）∵AB⊂平面ABM，∴CD⊥AB．∵EF∥CD，∴EF⊥AB．﹣﹣﹣﹣（10分）过E作EG⊥AB，连接FG，∵EF∩EG=E．EF⊂面EFG，EG⊂面EFG，∴AB⊥面EFG．﹣﹣﹣﹣（12分）（方法二）画法：过C在平面ABC内M作CE⊥AB，垂足为E．连接DE．过点P作MN∥CD，交AC于M，AD于N．过M作MH∥CE，交AE于H，连接HN，平面HMN为所求．﹣﹣﹣﹣（4分）理由：∵△ABC≌△ABD，∴DE⊥AB．﹣﹣﹣﹣（6分）∵，，∴，∴HN∥DE，﹣﹣﹣﹣（8分）∴AB⊥HN．由画法知，AB⊥HM，∵HM∩HN=H，HM⊂面MNH，HN⊂面MNH，∴AB⊥平面MNH．﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知函数f（）=．（Ⅰ）证明：f（）为奇函数；（Ⅱ）判断f（）单调性并证明；（III）不等式f（﹣t）+f（2﹣t2）≥0对于∈[1，2]恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：对于函数f（）=，其定义域为R，关于原点对称，∵，∴f（）为奇函数．（ II）f（）在R上为增函数．证明：根据题意，，在R内任取1，2，△=2﹣1＞0，则，∵2＞1∴22＞21∴，∵，∴△y＞0．∴f（）在R上为增函数．（ III）根据题意，f（﹣t）+f（2﹣t2）≥0⇔f（﹣t）≥﹣f（2﹣t2），又由f（）为奇函数，∵f（﹣t）≥﹣f（2﹣t2）=f（t2﹣2），又∵f（）在R上为增函数，∴当∈[1，2]时，﹣t≥t2﹣2恒成立，即2+≥t2+t恒成立，而∈[1，2]时，（2+）min=2，则2+≥t2+t恒成立⇔t2+t≤2，解得﹣2≤t≤1，即t的取值范围是[﹣2，1]．22．（12分）平面内有两个定点A（1，0），B（1，﹣2），设点P到A、B的距离分别为d1，d2，且=（ I）求点P的轨迹C的方程；（ II）是否存在过点A的直线l与轨迹C相交于E、F两点，满足（O为坐标原点）．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题12分）（Ⅰ）设P（，y），则，d=，2∵，∴，﹣﹣﹣﹣（2分）整理得：（﹣1）2+（y+4）2=8，∴点P的轨迹C的方程为（﹣1）2+（y+4）2=8．﹣﹣﹣﹣（4分）（ II）存在过点A的直线l，l与轨迹C相交于E，F两点，且使三角形S=．△OEF理由如下：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为=1，直线过圆心，，点O到直线l的距离为1，此时，，所以成立．﹣﹣﹣﹣（6分）②当直线l斜率存在时，设l方程为：y=（﹣1）．点C到l的距离，利用勾股定理，得：．﹣﹣﹣﹣（8分）点O到l的距离，∴，﹣﹣﹣﹣（10分）整理得32=﹣1，无解．所以直线斜率存在时满足题意的直线不存在．综上，存在过点A的直线l：=1，满足题意．﹣﹣﹣﹣（12分）（其它做法相应给分）。

2019-2020学年辽宁省辽南高一（上）期末数学试卷题号一二三总分得分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|lgx<0}，B={y=y2−2y−3≤0}，则下面中阴影部分表示的区间是()A. (0,1)B. (1,3]C. [1,3]D. [−1,0]∪[1,3]2.从一个含有40个个体的总体中抽取一个容量为7的样本，将个体依次随机编号为01，02，…，40，从随机数表的第6行第8列开始，依次向右，到最后一列转下一行最左一列开始，直到取足样本，则获取的第4个样本编号为()．(下面节选了随机数表第6行和第7行)第6行844217563107235506827704744359763063502583921206第7行630163785916955667199810507175128673580744395238．A. 06B. 10C. 25D. 353.“a2>b2”是“lna>lnb”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.设a>0，b>0，给出下列不等式不恒成立的是()A. a2+1>aB. a2+9>6aC. (a+b)(1a +1b)≥4 D. (a+1a)(b+1b)≥45.从集合A={−1,1，2}中随机选取一个数记为a，从集合B等于={−2,1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=ax+b不经过第三象限的概率为()A. 29B. 13C. 49D. 596. 若f(x)=(m −1)x m2−4m+3是幂函数，则( )A. f(x)在定义域上单调递减B. f(x)在定义域上单调递增C. f(x)是奇函数D. f(x)是偶函数7. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、极差分别是( )A. 47，55B. 46，55C. 47，56D. 46，568. 函数f(x)=e |x|−x 2的图象是( )A.B.C.D.9. 已知lga +lgb =1，则lg (a +2b)的最小值为( )A. 1+lg 2B. 12+lg3C. 1+lg3D. 12+32lg210. 函数f(x)=x 3−(12)x 的零点个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个11. 在△ABC 中，若点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 53AB ⃗⃗⃗⃗⃗−23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 12. 设函数若关于x 的方程f(f(x))=m 有5个不同的实数根，则实数m 的取值范围为( )A. [−4,12]B. [−4,12)C. (0,12)∪{−4}D. (0,12]∪{−4}第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知lg2=a ，10b =3，则log 125=______.(用a 、b 表示)14. 已知样本2000个，其频率分布直方图如下，那么在[2,8)之间的有__________个．15. 在△ABC 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，∠BAC =120°，过点A 作AB 的垂线交BC 于点D ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则xy =______． 16. 如果a ，b 满足ab =a +b +3，那么ab 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知p ：x 2−7x +10<0，q ：x 2−4mx +3m 2<0其中m >0．(1)已知m =4，若p ∧q 为真，求x 的取值范围；(2)若￢q 是￢p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18. 计算下列各题：(1)计算：log 5√12545+31+log 32+lg200−lg2(2)已知3a =7b =M ，且2a +1b =2，求M 的值．19. 已知a⃗ =(−3,1)，b ⃗ =(1,−2)，c ⃗ =(1,1)． (1)求a ⃗ 与b ⃗ 的夹角的大小； (2)若c ⃗ //(a ⃗ +k b ⃗ )，求k 的值．20. 甲、乙两人进行五盘三胜制的象棋赛，若甲每盘的胜率为35，乙每盘的胜率为25(和棋不算)，求：(1)比赛以甲比乙为3比0胜出的概率． (2)比赛以甲比乙为3比1胜出的概率． (3)比赛以甲比乙为3比2胜出的概率．21. 已知函数f(x)=−x 2+mx +2(m ∈R)，g(x)=2x ．(1)当m =2时，求f(x)>g(log 2x)的解集；(2)若对任意的x 1∈[−1,1]，存在x 2∈[−1,1]，使不等式f(x 1)≥g(x 2)成立，求实数m的取值范围．22.已知函数f(x)=1，函数y=g(x)为函数y=f(x)的反函数．e x−a(1)求函数y=g(x)的解析式；(2)若方程g(x)=ln[(a−3)x+2a−4]恰有一个实根，求实数a的取值范围；(3)设a>0，若对任意b∈[1,1]，当x1，x2∈[b,b+1]时，满足|g(x1)−g(x2)|≤ln4，4求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：阴影部分表示的集合为(A∪B)∩(∁R(A∩B))，∵A={x|lgx<0}={x|0<x<1}=(0,1)，B={y|y2−2y−3≤0}=[−1,3]，∴A∪B=[−1,3]，A∩B=(0,1)，∴∁R(A∩B)=(−∞,0]∪[1,+∞)，则(A∪B)∩(∁R(A∩B))=[−1,0]∪[1,3]，故选：D．阴影部分表示的集合为(A∪B)∩(∁R(A∩B))，根据集合关系即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，根据图象确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．找到第6行第8列的数开始向右读，依次寻找号码小于500的即可得到结论．【解答】解：找到第6行第8列的数开始向右读，第一个数是63，不成立，第二个数10，成立，第三个数72，不成立，第四个数35，成立，第五个数50，不成立，这样依次读出结果，68，27，70，47，44，35，97，63，06合适的数是27，35，06，其中35前面已经重复舍掉，故第四个数是06．故选：A3.【答案】B【解析】解：若lna >lnb ，则a >b >0，可得a 2>b 2；反之，“a 2>b 2”a ，b 可能为负数，推不出lna >lnb ．∴“a 2>b 2”是“lna >lnb ”的必要不充分条件． 故选：B ．若lna >lnb ，则a >b >0，可得a 2>b 2；反之，“a 2>b 2”a ，b 可能为负数，推不出lna >lnb.即可判断出结论．本题考查了函数的性质、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】 【分析】本题考查作差法比较大小，基本不等式，属于基础题． 运用作差法比较大小，基本不等式，即可得到答案． 【解答】解：因为a 2+1− a =(a −1 2)2+34>0，所以A 正确； 因为a 2+ 9−6a =(a −3)2 ⩾0，所以B 不正确；(a +b )(1a +1b )=2+ba +ab ⩾2+2√ba ×ab =4，当且仅当a =b 时等号成立，C 正确；(a +1a )(b +1b )=ab +1ab +ba +ba ⩾2√ab ·1ab +2√ba ·ab =4，当且仅当ab =1,且a =b 时等号成立，D 正确； 故选B ．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查古典概型的计算，属基础题，采用列举法计数方法计算．【解答】解：直线不经过第三象限，则a ≤0 且b ≥0， 那么(a,b)的情况有(−1,1)，(−1,2)，共2种． 而(a,b)总的情况有9种，所以所求概率为29．【解析】解：若f(x)=(m−1)x m2−4m+3是幂函数，则m−1=1，即m=2，此时m2−4m+3=−1，∴f(x)=1，是奇函数，x故选：C．根据幂函数的定义求出m的值，从而求出函数的表达式，判断即可．本题考查了幂函数的定义，考查函数的性质，是一道基础题．7.【答案】D【解析】解：根据茎叶图中的数据知，×(45+47)=46，该样本数据的中位数为12极差为68−12=56．故选：D．根据茎叶图中的数据，计算该样本数据的中位数和极差的大小．本题考查了利用茎叶图计算数据的中位数和极差的应用问题，是基础题．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，函数图象的作法，属于基础题，由x=0，得f(0)=1，排除A，B，当x>0时，f(x)=e x−x2>0，排除C即可．【解答】解：由f(−x)=f(x)，则f(x)是偶函数，由x=0，得f(0)=1，排除A，B，当x>0时，f(x)=e x−x2>0，排除C，故选D．9.【答案】D本题考查对数与对数运算和利用基本不等式求最值，属于中档题； 由lga +lgb =1=lgab ，lg(a +2b)≥lg2√2ab =lg2+lg √2ab 即可求解； 【解答】解：lga +lgb =1=lgablg(a +2b)≥lg2√2ab =lg2+lg√2ab =32lg2+12lgab =32lg2+12当且仅当a =2b =2√5时取等号； 故选D10.【答案】B【解析】解：如图所示，作出y =x 3与y =(12)x 的图象，两个函数的图象只有一个交点，所以函数只有一个零点． 故选B ．本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．11.【答案】D【解析】 【分析】本题考查向量加减的混合运算，属基础题．由向量的运算法则，结合题意可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ═AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，代入已知化简解：由题意可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ 故选D ．12.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查的是方程根的个数问题，可先换元后再利用排除法求解． 【解答】解：令t =f(x)，由f(f(x))=m ，得f(t)=m ， 若m =0，即f(t)=0， 当t >2时，有，当t ≤2时，有t 2−4=0，解得t =−2或t =2， 函数f(x)图象如图，由图象知y =f(x)与y =−2和y =3及y =2一共有7个交点， 则原方程有7个不同实数根，不符合题意， 所以排除A ，B ， 若m =12， 当t >2时，有，当t ≤2时，有t 2−4=12，解得t =−4， 因为函数y =f(x)与y =−4有两个公共点，与y =2+e −12也有两个公共点，所以原方程y 只有4个不同的实数根，不符合题意，所以排除D ，故选C ．13.【答案】1−a 2a+b 【解析】 【分析】本题考查了指数与对数的互化，对数与对数运算，属于基础题．由题意，可得lg3=b ，进行求解即可．【解答】解：∵10b =3，∴lg3=b ，又lg2=a ，∴log 125=lg5lg12=lg 102lg(3×4)=1−lg2lg3+2lg2=1−a2a+b ．故答案为：1−a 2a+b ． 14.【答案】880【解析】【分析】本题考查频率分布直方图的应用，属于简单题。

辽宁省中学分校高一（上）期末数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，M={|＜0或＞2}，N={|2﹣4+3＜0}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{|0≤＜1} B．{|0≤≤2} C．{|1＜≤2} D．{|＜2}2．（5分）在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于轴的对称点的坐标为（）A．（﹣2，1，﹣4）B．（﹣2，﹣1，﹣4）C．（2，1，﹣4）D．（2，﹣1，4）3．（5分）log52•log425等于（）A．﹣1 B．C．1 D．24．（5分）设有直线m，n和平面α，β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，l∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α5．（5分）如图，将一个正方体的表面展开，直线AB与直线CD在原正方体中的位置关系是（）A．平行B．相交并垂直C．相交且成60°角D．异面6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）（文）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是（）A．B．C．D．28．（5分）若直线3﹣4y+12=0与两坐标轴交点为A、B，则以AB为直径的圆的方程是（）A．2+y2+4﹣3y=0 B．2+y2﹣4﹣3y=0C．2+y2+4﹣3y﹣4=0 D．2+y2﹣4﹣3y+8=09．（5分）已知函数f（）=ln（﹣2）+3，则f（lg2）+f（lg）=（）A．0 B．﹣3 C．3 D．610．（5分）已知f（）是定义在R上的偶函数，f（）在[0，+∞）上是增函数，且f（）=0，则不等式f（）＞0的解集为（）A．（0，）∪（2，+∞）B．（，1）∪（2，+∞）C．（0，）D．（2，+∞）11．（5分）过圆2+y2﹣4=0外一点P（m，n）作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，m，n 应满足的关系式为（）A．（m﹣2）2+n2=4 B．（m+2）2+n2=4 C．（m﹣2）2+n2=8 D．（m+2）2+n2=812．（5分）已知函数f（）=，若关于的方程f（）=有两个不等的实根，则实数的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1） C．（1，+∞）D．（0，1]二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数是幂函数，且在∈（0，+∞）上是减函数，则实数m= ．14．（5分）已知直线l通过直线3+5y﹣4=0和直线6﹣y+3=0的交点，且与直线2+3y+5=0平行，则直线l的方程为．15．（5分）与直线+y﹣2=0和曲线2+y2﹣12﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是．16．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为．三．解答题：本大题共6小题，共70分..解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）记函数的定义域为集合A，函数g（）=lg[（﹣a+1）（﹣a﹣1）]的定义域为集合B．（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）若A∩B=A，求实数a的取值范围．18．（12分）如图，已知某几何体的三视图如下（单位：cm）．（1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（2）求这个几何体的表面积及体积．19．（12分）已知一曲线C是与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离比为的点的轨迹．（1）求曲线C的方程，并指出曲线类型；（2）过（﹣2，2）的直线l与曲线C相交于M，N，且|MN|=2，求直线l的方程．20．（12分）如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．21．（12分）已知函数f（）=2+2﹣．（Ⅰ）试写出这个函数的性质（不少于3条，不必说明理由），并作出图象；（Ⅱ）设函数g（）=4+4﹣﹣af（），求这个函数的最小值．22．（12分）已知△ABC的顶点A（0，1），AB边上的中线CD所在的直线方程为2﹣2y﹣1=0，AC边上的高BH所在直线的方程为y=0．（1）求△ABC的顶点B、C的坐标；（2）若圆M经过不同的三点A、B、P（m，0），且斜率为1的直线与圆M相切于点P，求圆M 的方程．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，M={|＜0或＞2}，N={|2﹣4+3＜0}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{|0≤＜1} B．{|0≤≤2} C．{|1＜≤2} D．{|＜2}【解答】解：阴影部分为∁U M∩N，而N={|2﹣4+3＜0}={|1＜＜3}，∁UM={|0≤≤2}，∴∁UM∩N={|1＜≤2}，故选C．2．（5分）在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于轴的对称点的坐标为（）A．（﹣2，1，﹣4）B．（﹣2，﹣1，﹣4）C．（2，1，﹣4）D．（2，﹣1，4）【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点（，y，）关于轴的对称点的坐标为：（，﹣y，﹣），∴点（﹣2，1，4）关于轴的对称点的坐标为：（﹣2，﹣1，﹣4）．故选B．3．（5分）log52•log425等于（）A．﹣1 B．C．1 D．2【解答】解：原式=•=1，故选：C4．（5分）设有直线m，n和平面α，β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，l∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α【解答】解：由直线m、n，和平面α、β，知：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，故B错误；对于中，若α⊥β，α⊥β，m⊂α，则m⊥β或m∥β或m与β相交，故C错误；对于D，若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m∥α，故D正确．故选：D．（5分）如图，将一个正方体的表面展开，直线AB与直线CD在原正方体中的位置关系是（）5．A．平行B．相交并垂直C．相交且成60°角D．异面【解答】解：将正方体还原后如图，A与C重合，连结BC，则△BDC是等边三角形，∴直线AB与直线CD在原正方体中的位置关系是相交且成60°角．故选：C．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．7．（5分）（文）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是（）A．B．C．D．2【解答】解：∵，∴，设BD1∩AC1=O，则，，∴，故选B8．（5分）若直线3﹣4y+12=0与两坐标轴交点为A、B，则以AB为直径的圆的方程是（）A．2+y2+4﹣3y=0 B．2+y2﹣4﹣3y=0C．2+y2+4﹣3y﹣4=0 D．2+y2﹣4﹣3y+8=0【解答】解：由=0得y=3，由y=0得=﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，3），∴以AB为直径的圆的圆心是（﹣2，），半径r=，以AB为直径的圆的方程是，即2+y2+4﹣3y=0．故选A．9．（5分）已知函数f（）=ln（﹣2）+3，则f（lg2）+f（lg）=（）A．0 B．﹣3 C．3 D．6【解答】解：∵f（）=ln（﹣2）+3，∴f（）+f（﹣）=ln（﹣2）+3+ln（+2）+3=ln[（）•（）+6，=ln1+6=6，∴f（lg2）+f（lg）=f（lg2）+f（﹣lg2）=6．故选：D．10．（5分）已知f（）是定义在R上的偶函数，f（）在[0，+∞）上是增函数，且f（）=0，则不等式f（）＞0的解集为（）A．（0，）∪（2，+∞）B．（，1）∪（2，+∞）C．（0，）D．（2，+∞）【解答】解：方法1：因为函数f（）是定义在R上的偶函数，所以不等式f（）＞0等价为，因为函数f（）在[0，+∞）上是增函数，且f（）=0，所以，即，即或，解得或＞2．方法2：已知f（）是定义在R上的偶函数，f（）在[0，+∞）上是增函数，且f（）=0，所以f（）在（﹣∞，0]上是减函数，且f（﹣）=0．①若，则，此时解得．②若，则，解得＞2．综上不等式f（）＞0的解集为（0，）∪（2，+∞）．故选A．11．（5分）过圆2+y2﹣4=0外一点P（m，n）作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，m，n 应满足的关系式为（）A．（m﹣2）2+n2=4 B．（m+2）2+n2=4 C．（m﹣2）2+n2=8 D．（m+2）2+n2=8【解答】解：把圆的方程化为标准方程：（﹣2）2+y2=4，故圆心坐标为（2，0），半径r=2，根据题意画出图形，如图所示：连接MQ，MN，得到∠MQP=∠MNP=90°，又∠QPN=90°，∴PQMN为矩形，又MQ=MN=2，∴PQMN为边长为2的正方形，则|PM|=2，即（m﹣2）2+n2=8．故选C12．（5分）已知函数f（）=，若关于的方程f（）=有两个不等的实根，则实数的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1） C．（1，+∞）D．（0，1]【解答】解：画出函数f（）=的图象，和直线y=，关于的方程f（）=有两个不等的实根等价于f（）的图象与直线有且只有两个交点．观察得出：（1）＞1，或＜0有且只有1个交点；（2）0＜≤1有且只有2个交点．故实数的取值范围是（0，1]．故选D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数是幂函数，且在∈（0，+∞）上是减函数，则实数m= 2 ．【解答】解：是幂函数∴m2﹣m﹣1=1解得m=2或m=﹣1当m=2时，f（）=﹣3在∈（0，+∞）上是减函数，满足题意．当m=﹣1时，f（）=0在∈（0，+∞）上不是减函数，不满足题意．故答案为：2．14．（5分）已知直线l通过直线3+5y﹣4=0和直线6﹣y+3=0的交点，且与直线2+3y+5=0平行，则直线l的方程为6+9y﹣7=0 ．【解答】解：联立方程，可得解方程组可得∵直线l与直线2+3y+5=0平行，∴可设方程为：2+3y+c=0将代入，可得∴方程为：2+3y=0即6+9y﹣7=0故答案为：6+9y﹣7=015．（5分）与直线+y﹣2=0和曲线2+y2﹣12﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是（﹣2）2+（y﹣2）2=2 ．【解答】解：曲线化为（﹣6）2+（y﹣6）2=18，其圆心到直线+y﹣2=0的距离为．所求的最小圆的圆心在直线y=上，其到直线的距离为，圆心坐标为（2，2）．标准方程为（﹣2）2+（y﹣2）2=2．故答案为：（﹣2）2+（y﹣2）2=2．16．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为8．【解答】解：设AC=a，CC1=b，截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则由（a2+b2）×2=a2+b2，得b2=2a2，又×a2=6，∴a2=8，∴V=×8×4=8．故答案为：8三．解答题：本大题共6小题，共70分..解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）记函数的定义域为集合A，函数g（）=lg[（﹣a+1）（﹣a﹣1）]的定义域为集合B．（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）若A∩B=A，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：A={|1﹣2≥0}={|2≤1}={|≤0}（4分）（Ⅱ）由B={|（﹣a+1）（﹣a﹣1）＞0}={|[﹣（a﹣1）][﹣（a+1）]＞0}（6分）∵a﹣1＜a+1∴B={|＜a﹣1或＞a+1（8分）∵A⊆B，∴a﹣1＞0，∴a＞1（12分）18．（12分）如图，已知某几何体的三视图如下（单位：cm）．（1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（2）求这个几何体的表面积及体积．【解答】解：（1）这个几何体的直观图如图所示．（2）这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q﹣A1D1P的组合体．由PA1=PD1=，A1D1=AD=2，可得PA1⊥PD1．故所求几何体的表面积S=5×22+2×2×1+2××2=22+4（cm2），所求几何体的体积V=23+×（）2×2=10（cm3）．19．（12分）已知一曲线C是与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离比为的点的轨迹．（1）求曲线C的方程，并指出曲线类型；（2）过（﹣2，2）的直线l与曲线C相交于M，N，且|MN|=2，求直线l的方程．【解答】解：（1）设M（，y）是曲线上任意的一点，点M在曲线上的条件是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由两点间距离公式，上式用坐标表示为，整理得：2+y2+2﹣3=0，（+1）2+y2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）曲线C是以（﹣1，0）为圆心，以2为半径的圆．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）当直线l斜率不存在时，，∴=﹣2﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2=（+2），即﹣y+2+2=0，设圆心到此直线的距离为，∴，所以直线l的方程：，直线l的方程：∴=﹣2或3+4y﹣2=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．【解答】证明：（1）∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴BF⊥AE，BF⊥CE，∵EB=BC，∴F是CE的中点，又∵AD⊥平面ABE，AD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ABE，∵平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB∴BC⊥平面ABE，从而BC⊥AE，且BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE；（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，∴CN=CE．∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE．同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，∴平面MGN∥平面ADE．又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE．故N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．21．（12分）已知函数f（）=2+2﹣．（Ⅰ）试写出这个函数的性质（不少于3条，不必说明理由），并作出图象；（Ⅱ）设函数g（）=4+4﹣﹣af（），求这个函数的最小值．【解答】解：（Ⅰ）偶函数；定义域R；值域{y|y≥2}；单调递增区间：（0，+∞），单调递减区间：（﹣∞，0）等﹣﹣﹣﹣﹣（4分）图象如图：．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）设2+2﹣=t（t≥2），则4+4﹣=t2﹣2，设（t）=t2﹣2﹣at=t2﹣at﹣2，=（2）=2﹣2a；时，（t）min时．所以， 时，g（）=2﹣2a；min时．﹣﹣﹣﹣（12分）22．（12分）已知△ABC的顶点A（0，1），AB边上的中线CD所在的直线方程为2﹣2y﹣1=0，AC边上的高BH所在直线的方程为y=0．（1）求△ABC的顶点B、C的坐标；（2）若圆M经过不同的三点A、B、P（m，0），且斜率为1的直线与圆M相切于点P，求圆M 的方程．【解答】解：（1）AC边上的高BH所在直线的方程为y=0，所以直线AC的方程为：=0，又直线CD的方程为：2﹣2y﹣1=0，联立得解得，所以，设B（b，0），则AB的中点，代入方程2﹣2y﹣1=0，解得b=2，所以B（2，0）；（2）由A（0，1），B（2，0）可得，圆M的弦AB的中垂线方程为4﹣2y﹣3=0，注意到BP也是圆M的弦，所以，圆心在直线上，设圆心M坐标为，因为圆心M在直线4﹣2y﹣3=0上，所以2m﹣2n+1=0①，=﹣1，又因为斜率为1的直线与圆M相切于点P，所以MP即，整理得m﹣2n﹣2=0②，由①②解得m=﹣3，，所以，圆心，半径，则所求圆方程为+=，化简得2+y2++5y﹣6=0．。

2019-2020学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若全集{1U =，2，3，4，5，6}，{1M =，3，4}，{2N =，3，4}，则集合()UM N 等于( ) A ．{1，2，3}B ．{2，6}C ．{1，6}D ．{5，6}2．（5分）已知向量(2,1)a =，(4,2)b =--．则(a b += ) A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)-3．（5分）函数()(2)x f x =在区间[1，2]上的最大值是( ) A ．22B ．2C ．2D ．224．（5分）在考察某中学的学生身高时，采用分层抽样的方法，得到了男生身高的平均数为170，女生身高的平均数为165，现知道抽取的样本中，男生有20人，女生有15人，则可估计该校学生的身高平均数为( )（结果精确到0.1) A ．170.0B ．165.0C ．167.5D ．167.95．（5分）计算2(2)205lg lg lg +⨯的结果是( ) A ．1B ．2C ．2lgD ．5lg6．（5分）下列图象中，x 为自变量，y 为函数的选项是( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）对于任意实数x 、y ，则“0x y +=”是“220x y +=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（5分）已知函数3()2f x ax bx =++，a ，b R ∈，且(1)0f -=，则f （1）(= ) A ．2-B ．2C ．4D ．4-9．（5分）若21()2a -=，12log 2b =，122c -=，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．（5分）设函数3log y x =与3y x =-的图象的交点为0(x ，0)y ，则0x 所在的区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)11．（5分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为( ) A ．827B ．6481C ．49 D ．8912．（5分）点M 是ABC ∆的边BC 的中点，N 在线段AM 上，且(,)AN xAB y AC x y R =+∈，若12x y +=，则NBC ∆的面积与ABC ∆面积的比值是( ) A ．14B ．13C ．12D ．23二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上， 13．（5分）已知||3a =，||4b =，求||a b -的取值范围 ．14．（5分）设:p x R ∀∈，20x x a ++，若p 是真命题，则实数a 的取值范围是 ． 15．（5分）函数1()221f x x =++的单调递减区间是 ． 16．（5分）某校为了普及“一带一路“知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为 ，80%分位数是 ．三、解答题：共70分．解答应按求写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～22题为必考题，每个试题考生都必须作答，17．已知集合{|(1)(5)0}A x x x =--<，集合2{|2B x a x a =<<-，}a R ∈．（1）求R A ； （2）若AB ，求a 的取值范围．18．已知(1,2)a =，(3,2)b =-． （1）求证：a ，b 不共线；（2）若34(1)(2)a b m a n b +=-+-，求实数m ，n 的值： （3）若ka b +与2a b -平行，求实数k 的值．19．设函数()log (3)log (3)a a f x x x =++-，(0,1)a a >≠，f （1）3=． （1）求a 的值及()f x 的定义城； （2）判断()f x 的奇偶性，并给出证明； （3）求函数()f x 在[1，2]上的值域．20．为了选派学生参加高校的“创新科学营”，某校对本校1000名学生进行选拔性测试，分为笔试和面试两个环节，笔试环节得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩由高到低排序，位于前15%的学生获得参加面试的资格，其他学生则被淘汰． （1）若小艾同学笔试得了112分，问小艾是否有资格参加面试；（2）根据频率分布直方图，估算这1000名学生笔试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若面试方案为：每人从5道面试题中任意抽出3道题回答，若答对其中2道或2道以上，则可参加“创新科学营“，否则被淘汰．已知李飞同学笔试已经通过，且面试中只会5道面试题中的3道，求李飞能参加“创新科学营“的概率．21．已知二次函数2()(f x x mx m =+为整数）且关于x 的方程()10f x -=在区间1(2-，3)内有两个不同的实根． （1）求m 的值；（2）若()10f x a -+在[0x ∈，3]上恒成立，求实数a 的取值范围．22．某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输．若该公司预计从第1年到第n 年(*)n N ∈花在该台运输车上的维护费用总计为2(5)n n +万元，该车每年运输收入为25万元．（1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值） （2）若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出． 哪一种方案较为合算？请说明理由．2019-2020学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若全集{1U =，2，3，4，5，6}，{1M =，3，4}，{2N =，3，4}，则集合()UM N 等于( ) A ．{1，2，3}B ．{2，6}C ．{1，6}D ．{5，6}【解答】解：{1U =，2，3，4，5，6}，{1M =，3，4}，{2N =，3，4}， {1M N ∴=，2，3，4}， (){5UMN ∴=，6}．故选：D ．2．（5分）已知向量(2,1)a =，(4,2)b =--．则(a b += ) A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)-【解答】解：向量(2,1)a =，(4,2)b =--； 则(2,1)a b +=--． 故选：A ．3．（5分）函数()x f x =在区间[1，2]上的最大值是( )A B C ．2 D ．【解答】解：函数()x f x =在区间[1，2]上单调递增，∴函数()x f x =在区间[1，2]上的最大值是f （2）2=，故选：C ．4．（5分）在考察某中学的学生身高时，采用分层抽样的方法，得到了男生身高的平均数为170，女生身高的平均数为165，现知道抽取的样本中，男生有20人，女生有15人，则可估计该校学生的身高平均数为( )（结果精确到0.1) A ．170.0B ．165.0C ．167.5D ．167.9【解答】解：2017016515167.92015⨯+⨯≈+，于是可估计该校学生的身高平均数为167.9， 故选：D ．5．（5分）计算2(2)205lg lg lg +⨯的结果是( ) A ．1B ．2C ．2lgD ．5lg【解答】解：因为22(2)205(2)(12)(12)1lg lg lg lg lg lg +⨯=++-=， 故选：A ．6．（5分）下列图象中，x 为自变量，y 为函数的选项是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由一个自变量的值只能对应一个函数值，可知只有选项B 符合题意， 故选：B ．7．（5分）对于任意实数x 、y ，则“0x y +=”是“220x y +=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：2200x y x y +=⇔==，0x y x y +=⇔=-． ∴ “0x y +=”是“220x y +=”的不要不充分条件．故选：B ．8．（5分）已知函数3()2f x ax bx =++，a ，b R ∈，且(1)0f -=，则f （1）(= ) A ．2-B ．2C ．4D ．4-【解答】解：因为33()()224f x f x ax bx ax bx -+=--++++= 所以(1)f f -+（1）0f =+（1）4=， 所以f （1）4=． 故选：C ．9．（5分）若21()2a -=，12log 2b =，122c -=，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>【解答】解：21()42a -==，12log 21b ==-，12222c -==，a cb ∴>>，故选：B ．10．（5分）设函数3log y x =与3y x =-的图象的交点为0(x ，0)y ，则0x 所在的区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【解答】解：方程3log 3x x =-+的解，根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在(1,3)， 因3()log 3m x x x =+-在(1,2)上不满足m （1）m （2）0<， 方程3log 30x x +-= 的解所在的区间是(2,3)， 即则0x 所在的区间是(2,3)， 故选：C ．11．（5分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为( ) A ．827B ．6481C ．49 D ．89【解答】解：甲以3:1的比分获胜，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜， 因此所求概率为：133218()3327P C ==． 故选：A ．12．（5分）点M 是ABC ∆的边BC 的中点，N 在线段AM 上，且(,)AN xAB y AC x y R =+∈，若12x y +=，则NBC ∆的面积与ABC ∆面积的比值是( ) A ．14B ．13C ．12D ．23【解答】解：如图， 设AN k AM =， ∴k AM xAB y AC =+， ∴x y AM AB AC k k =+，且1122AM AB AC =+， ∴121212x y x k y k ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得12k =，N ∴为AM 的中点， ∴12NBC ABC S S ∆∆=， NBC ∴∆的面积与ABC ∆面积的比值是12． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上， 13．（5分）已知||3a =，||4b =，求||a b -的取值范围 [1，7] ． 【解答】解：由向量的模的不等式可得，||||||||||||a b a b a b --+，即有1||7a b -，当a ，b 反向共线时，取得最大值7， 当a ，b 同向共线时，取得最小值1． 即有所求取值范围是[1，7]． 故答案为：[1，7]．14．（5分）设:p x R ∀∈，20x x a ++，若p 是真命题，则实数a 的取值范围是 1[4，)+∞ ．【解答】解：若:p x R ∀∈，20x x a ++，是真命题，则△140a =-，解得14a ； 故a 的取值范围是：14a； 故答案为：1[4，)+∞．15．（5分）函数1()221f x x =++的单调递减区间是 1(,)2-∞-，1(,)2-+∞ ．【解答】解：112()221212f x x x =+=+++可由12y x =的图象向左平移12个单位，向上平移2个单位，结合反比例函数的性质可得，()f x 的单调递减区间1(,)2-∞-，1(,)2-+∞．故答案为：1(,)2-∞-，1(,)2-+∞16．（5分）某校为了普及“一带一路“知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为 7 ，80%分位数是 ．【解答】解：由题意知，数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的极差是1037-=；所以数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的80%分位数是898.52+=． 故答案为：7，8.5．三、解答题：共70分．解答应按求写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～22题为必考题，每个试题考生都必须作答，17．已知集合{|(1)(5)0}A x x x =--<，集合2{|2B x a x a =<<-，}a R ∈． （1）求R A ； （2）若AB ，求a 的取值范围．【解答】解：（1）{|15}A x x =<<，{|1R A x x ∴=或5}x ；（2）A B ，∴2125a a ⎧⎨-⎩，解得7a -，a ∴的取值范围为(,-∞．18．已知(1,2)a =，(3,2)b =-． （1）求证：a ，b 不共线；（2）若34(1)(2)a b m a n b +=-+-，求实数m ，n 的值： （3）若ka b +与2a b -平行，求实数k 的值．【解答】解：（1）证明：根据题意，(1,2)a =，(3,2)b =-， 有122(3)⨯≠⨯-，故a ，b 不共线；（2）根据题意，若34(1)(2)a b m a n b +=-+-，且a ，b 不共线； 则有1324m n -=⎧⎨-=⎩，解可得42m n =⎧⎨=-⎩；（3）根据题意，若ka b +与2a b -平行，设()(2)ka b t a b +=-， 即2ka b ta tb +=-，则有12k t t=⎧⎨=-⎩，则12k =-；故12k =-． 19．设函数()log (3)log (3)a a f x x x =++-，(0,1)a a >≠，f （1）3=．（1）求a 的值及()f x 的定义城；（2）判断()f x 的奇偶性，并给出证明；（3）求函数()f x 在[1，2]上的值域．【解答】解：（1）因为2()log (3)log (3)(9)a a a f x x x log x =++-=-，由题意f （1）log 83a ==，故2a =，由3030x x +>⎧⎨->⎩可得33x -<<， 故函数的定义域(3,3)-；（2）因为2()log (9)()a f x x f x -=-=，即函数()f x 为偶函数，（3）12x ，所以2598x -，当1a >时，函数的值域[log 5a ，log 8]a ，当01a <<时，函数的值域[log 8a ，log 5]a ．20．为了选派学生参加高校的“创新科学营”，某校对本校1000名学生进行选拔性测试，分为笔试和面试两个环节，笔试环节得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩由高到低排序，位于前15%的学生获得参加面试的资格，其他学生则被淘汰．（1）若小艾同学笔试得了112分，问小艾是否有资格参加面试；（2）根据频率分布直方图，估算这1000名学生笔试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若面试方案为：每人从5道面试题中任意抽出3道题回答，若答对其中2道或2道以上，则可参加“创新科学营“，否则被淘汰．已知李飞同学笔试已经通过，且面试中只会5道面试题中的3道，求李飞能参加“创新科学营“的概率．【解答】解：（1）由图可知，位于区间[130，150]的人数为10000.00302060⨯⨯=， 位于区间[110，130)的人数为10000.00452075⨯⨯=，∴成绩大于110分的人数为135100015%150<⨯=，∴小艾有资格参加面试；（2）由图可知，这1000名学生笔试的平均成绩约为(400.0065600.0140800.01701000.00501200.00451400.0030)2078.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；（3）由题意可得所求概率为32133235710C C C P C +==． 21．已知二次函数2()(f x x mx m =+为整数）且关于x 的方程()10f x -=在区间1(2-，3)内有两个不同的实根．（1）求m 的值；（2）若()10f x a -+在[0x ∈，3]上恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，2()f x x mx =+，则()10f x -=即210x mx +-=，设2()1g x x mx =+-，若方程()10f x -=在区间1(2-，3)内有两个不同的实根，则()g x 在区间1(2-，3)上有两个零点， 必有21()02(3)0132240g g m m ⎧->⎪⎪>⎪⎨⎪-<-<⎪⎪+>⎩，解可得：8332m -<<-， 又由m 为整数，故2m =-；（2）若()10f x a -+在[0x ∈，3]上恒成立，即()1f x a +在[0x ∈，3]上恒成立， 又由2()2f x x x =-，则有2221(1)x x x a -+=-在[0x ∈，3]上恒成立，又由2(1)y x =-在[0，3]上的最小值为0，则有0a ，故a 的取值范围为(-∞，0]．22．某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输．若该公司预计从第1年到第n 年(*)n N ∈花在该台运输车上的维护费用总计为2(5)n n +万元，该车每年运输收入为25万元．（1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）（2）若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．哪一种方案较为合算？请说明理由．【解答】解：（1）22549(5)0n n n --+，即220490n n -+， 解得10511051n +3n ∴．∴该车运输3年开始盈利．（2）该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，22549(5)4920()6n n n n n n --+=-+． 当且仅当7n =时，取等号，∴方案①最后的利润为：25719(4935)1789⨯--++=（万)．②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．2222549(5)2049(10)51y n n n n n n =--+=-+-=--+，10n ∴=时，利润最大，∴方案②的利润为51859+=（万)，∴方案①较为合算．。

辽宁省XX中学分校高一（上）期末数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，M={x|x＜0或x＞2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|0≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}2．（5分）在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣2，1，﹣4） B．（﹣2，﹣1，﹣4）C．（2，1，﹣4）D．（2，﹣1，4）3．（5分）log52•log425等于（）A．﹣1 B．C．1 D．24．（5分）设有直线m，n和平面α，β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，l∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α5．（5分）如图，将一个正方体的表面展开，直线AB与直线CD在原来正方体中的位置关系是（）A．平行B．相交并垂直C．相交且成60°角D．异面6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）（文）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是（）A．B．C．D．28．（5分）若直线3x﹣4y+12=0与两坐标轴交点为A、B，则以AB为直径的圆的方程是（）A．x2+y2+4x﹣3y=0 B．x2+y2﹣4x﹣3y=0C．x2+y2+4x﹣3y﹣4=0 D．x2+y2﹣4x﹣3y+8=09．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣2x）+3，则f（lg2）+f（lg）=（）A．0 B．﹣3 C．3 D．610．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（）=0，则不等式f（）＞0的解集为（）A．（0，）∪（2，+∞）B．（，1）∪（2，+∞）C．（0，）D．（2，+∞）11．（5分）过圆x2+y2﹣4x=0外一点P（m，n）作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，m，n 应满足的关系式为（）A．（m﹣2）2+n2=4 B．（m+2）2+n2=4 C．（m﹣2）2+n2=8 D．（m+2）2+n2=812．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（0，1]二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=．14．（5分）已知直线l通过直线3x+5y﹣4=0和直线6x﹣y+3=0的交点，且与直线2x+3y+5=0平行，则直线l的方程为．15．（5分）与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是．16．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为．三．解答题：本大题共6小题，共70分..解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）记函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg[（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）]的定义域为集合B．（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）若A∩B=A，求实数a的取值范围．18．（12分）如图，已知某几何体的三视图如下（单位：cm）．（1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（2）求这个几何体的表面积及体积．19．（12分）已知一曲线C是与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离比为的点的轨迹．（1）求曲线C的方程，并指出曲线类型；（2）过（﹣2，2）的直线l与曲线C相交于M，N，且|MN|=2，求直线l的方程．20．（12分）如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．21．（12分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．（Ⅰ）试写出这个函数的性质（不少于3条，不必说明理由），并作出图象；（Ⅱ）设函数g（x）=4x+4﹣x﹣af（x），求这个函数的最小值．22．（12分）已知△ABC的顶点A（0，1），AB边上的中线CD所在的直线方程为2x﹣2y﹣1=0，AC边上的高BH所在直线的方程为y=0．（1）求△ABC的顶点B、C的坐标；（2）若圆M经过不同的三点A、B、P（m，0），且斜率为1的直线与圆M相切于点P，求圆M的方程．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，M={x|x＜0或x＞2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|0≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}【解答】解：阴影部分为∁U M∩N，而N={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，∁U M={x|0≤x≤2}，∴∁U M∩N={x|1＜x≤2}，故选C．2．（5分）在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣2，1，﹣4） B．（﹣2，﹣1，﹣4）C．（2，1，﹣4）D．（2，﹣1，4）【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，﹣y，﹣z），∴点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为：（﹣2，﹣1，﹣4）．故选B．3．（5分）log52•log425等于（）A．﹣1 B．C．1 D．2【解答】解：原式=•=1，故选：C4．（5分）设有直线m，n和平面α，β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，l∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α【解答】解：由直线m、n，和平面α、β，知：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，故B错误；对于中，若α⊥β，α⊥β，m⊂α，则m⊥β或m∥β或m与β相交，故C错误；对于D，若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m∥α，故D正确．故选：D．5．（5分）如图，将一个正方体的表面展开，直线AB与直线CD在原来正方体中的位置关系是（）A．平行B．相交并垂直C．相交且成60°角D．异面【解答】解：将正方体还原后如图，A与C重合，连结BC，则△BDC是等边三角形，∴直线AB与直线CD在原来正方体中的位置关系是相交且成60°角．故选：C．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．7．（5分）（文）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是（）A．B．C．D．2【解答】解：∵，∴，设BD1∩AC1=O，则，，∴，故选B8．（5分）若直线3x﹣4y+12=0与两坐标轴交点为A、B，则以AB为直径的圆的方程是（）A．x2+y2+4x﹣3y=0 B．x2+y2﹣4x﹣3y=0C．x2+y2+4x﹣3y﹣4=0 D．x2+y2﹣4x﹣3y+8=0【解答】解：由x=0得y=3，由y=0得x=﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，3），∴以AB为直径的圆的圆心是（﹣2，），半径r=，以AB为直径的圆的方程是，即x2+y2+4x﹣3y=0．故选A．9．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣2x）+3，则f（lg2）+f（lg）=（）A．0 B．﹣3 C．3 D．6【解答】解：∵f（x）=ln（﹣2x）+3，∴f（x）+f（﹣x）=ln（﹣2x）+3+ln（+2x）+3=ln[（）•（）+6，=ln1+6=6，∴f（lg2）+f（lg）=f（lg2）+f（﹣lg2）=6．故选：D．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（）=0，则不等式f（）＞0的解集为（）A．（0，）∪（2，+∞）B．（，1）∪（2，+∞）C．（0，）D．（2，+∞）【解答】解：方法1：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以不等式f（）＞0等价为，因为函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（）=0，所以，即，即或，解得或x＞2．方法2：已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（）=0，所以f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且f（﹣）=0．①若，则，此时解得．②若，则，解得x＞2．综上不等式f（）＞0的解集为（0，）∪（2，+∞）．故选A．11．（5分）过圆x2+y2﹣4x=0外一点P（m，n）作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，m，n 应满足的关系式为（）A．（m﹣2）2+n2=4 B．（m+2）2+n2=4 C．（m﹣2）2+n2=8 D．（m+2）2+n2=8【解答】解：把圆的方程化为标准方程：（x﹣2）2+y2=4，故圆心坐标为（2，0），半径r=2，根据题意画出图形，如图所示：连接MQ，MN，得到∠MQP=∠MNP=90°，又∠QPN=90°，∴PQMN为矩形，又MQ=MN=2，∴PQMN为边长为2的正方形，则|PM|=2，即（m﹣2）2+n2=8．故选C12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（0，1]【解答】解：画出函数f（x）=的图象，和直线y=k，关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根等价于f（x）的图象与直线有且只有两个交点．观察得出：（1）k＞1，或k＜0有且只有1个交点；（2）0＜k≤1有且只有2个交点．故实数k的取值范围是（0，1]．故选D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=2．【解答】解：是幂函数∴m2﹣m﹣1=1解得m=2或m=﹣1当m=2时，f（x）=x﹣3在x∈（0，+∞）上是减函数，满足题意．当m=﹣1时，f（x）=x0在x∈（0，+∞）上不是减函数，不满足题意．故答案为：2．14．（5分）已知直线l通过直线3x+5y﹣4=0和直线6x﹣y+3=0的交点，且与直线2x+3y+5=0平行，则直线l的方程为6x+9y﹣7=0．【解答】解：联立方程，可得解方程组可得∵直线l与直线2x+3y+5=0平行，∴可设方程为：2x+3y+c=0将代入，可得∴方程为：2x+3y=0即6x+9y﹣7=0故答案为：6x+9y﹣7=015．（5分）与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．【解答】解：曲线化为（x﹣6）2+（y﹣6）2=18，其圆心到直线x+y﹣2=0的距离为．所求的最小圆的圆心在直线y=x上，其到直线的距离为，圆心坐标为（2，2）．标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．16．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为68．【解答】解：设AC=a，CC1=b，截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则由（a2+b2）×2=a2+b2，得b2=2a2，又×a2=6，∴a2=8，∴V=×8×4=8．故答案为：8三．解答题：本大题共6小题，共70分..解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）记函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg[（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）]的定义域为集合B．（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）若A∩B=A，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：A={x|1﹣2x≥0}={x|2x≤1}={x|x≤0}（4分）（Ⅱ）由B={x|（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）＞0}={x|[x﹣（a﹣1）][x﹣（a+1）]＞0}（6分）∵a﹣1＜a+1∴B={x|x＜a﹣1或x＞a+1（8分）∵A⊆B，∴a﹣1＞0，∴a＞1（12分）18．（12分）如图，已知某几何体的三视图如下（单位：cm）．（1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（2）求这个几何体的表面积及体积．【解答】解：（1）这个几何体的直观图如图所示．（2）这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q﹣A1D1P的组合体．由PA1=PD1=，A1D1=AD=2，可得PA1⊥PD1．故所求几何体的表面积S=5×22+2×2×1+2××2=22+4（cm2），所求几何体的体积V=23+×（）2×2=10（cm3）．19．（12分）已知一曲线C是与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离比为的点的轨迹．（1）求曲线C的方程，并指出曲线类型；（2）过（﹣2，2）的直线l与曲线C相交于M，N，且|MN|=2，求直线l的方程．【解答】解：（1）设M（x，y）是曲线上任意的一点，点M在曲线上的条件是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由两点间距离公式，上式用坐标表示为，整理得：x2+y2+2x﹣3=0，（x+1）2+y2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）曲线C是以（﹣1，0）为圆心，以2为半径的圆．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）当直线l斜率不存在时，，∴x=﹣2﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2=k（x+2），即kx﹣y+2k+2=0，设圆心到此直线的距离为，∴，所以直线l的方程：，直线l的方程：∴x=﹣2或3x+4y﹣2=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．【解答】证明：（1）∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴BF⊥AE，BF⊥CE，∵EB=BC，∴F是CE的中点，又∵AD⊥平面ABE，AD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ABE，∵平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB∴BC⊥平面ABE，从而BC⊥AE，且BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE；（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，∴CN=CE．∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE．同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，∴平面MGN∥平面ADE．又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE．故N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．21．（12分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．（Ⅰ）试写出这个函数的性质（不少于3条，不必说明理由），并作出图象；（Ⅱ）设函数g（x）=4x+4﹣x﹣af（x），求这个函数的最小值．【解答】解：（Ⅰ）偶函数；定义域R；值域{y|y≥2}；单调递增区间：（0，+∞），单调递减区间：（﹣∞，0）等﹣﹣﹣﹣﹣（4分）图象如图：．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）设2x+2﹣x=t（t≥2），则4x+4﹣x=t2﹣2，设k（t）=t2﹣2﹣at=t2﹣at﹣2，•时，k（t）min=k（2）=2﹣2a；‚时．所以，•时，g（x）min=2﹣2a；‚时．﹣﹣﹣﹣（12分）22．（12分）已知△ABC的顶点A（0，1），AB边上的中线CD所在的直线方程为2x﹣2y﹣1=0，AC边上的高BH所在直线的方程为y=0．（1）求△ABC的顶点B、C的坐标；（2）若圆M经过不同的三点A、B、P（m，0），且斜率为1的直线与圆M相切于点P，求圆M的方程．【解答】解：（1）AC边上的高BH所在直线的方程为y=0，所以直线AC的方程为：x=0，又直线CD的方程为：2x﹣2y﹣1=0，联立得解得，所以，设B（b，0），则AB的中点，代入方程2x﹣2y﹣1=0，解得b=2，所以B（2，0）；（2）由A（0，1），B（2，0）可得，圆M的弦AB的中垂线方程为4x﹣2y﹣3=0，注意到BP也是圆M的弦，所以，圆心在直线上，设圆心M坐标为，因为圆心M在直线4x﹣2y﹣3=0上，所以2m﹣2n+1=0①，又因为斜率为1的直线与圆M相切于点P，所以k MP=﹣1，即，整理得m﹣2n﹣2=0②，由①②解得m=﹣3，，所以，圆心，半径，则所求圆方程为+=，化简得x2+y2+x+5y﹣6=0．。

2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题 1．函数sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个单调增区间是（ ） A ．[],0π-B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πC ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知向量(1,1)a =r ，(2,)b x =r ，若a b +r r 与42b a -r r平行，则实数x 的值为（）A ．2-B ．0C ．1D ．23．已知变量x ，y 满足约束条件1,0,20,x x y x y ≥-⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则2z x y =-取最大值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则1AA 与平面11AB C 所成的角为（ ）A.6π B.4π C.3π D.2π 5．设{}n a 为等比数列，给出四个数列：①{}2n a ，②{}2n a ，③{}2na ，④{}2log||n a .其中一定为等比数列的是（ ） A.①③ B.②④ C.②③ D.①②6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝10，则结合a 的值解三角形有两解的为( ) A ．a ＝8B ．a ＝9C ．a ＝10D ．a ＝117．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ） A ．7B ．3C ．-1D ．18．函数()2f x x x =+在区间[]1,1-上的最小值是( )A ．14-B ．0C ．14D ．29．如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠=o ，A D ，分别是BF CE ，上的点，AD BC ∥，且22AB DE BC AF ===（如图①）.将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE BF CE，，（如图②）.在折起的过程中，下列说法中错误的个数是（ ）①AC P 平面BEF ；②B C E F ，，，四点不可能共面；③若EF CF ⊥，则平面ADEF ⊥平面ABCD ； ④平面BCE 与平面BEF 可能垂直. A ．0B ．1C ．2D ．310．一个几何体的三视图如图（图中尺寸单位：m ），则该几何体的体积和表面积分别为（ ）A ．32,3m m ππ B ．323,44m m ππ C ．32,4m m ππD ．323,34m m ππ11．在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C =，则ABC ∆的形状是（ ） A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形12．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若223,sin 23sin a b bc C B -==，则角A 为（ ） A ．30o B ．60oC ．120oD ．150o二、填空题 13．已知0xy >，则9x y y x+的最小值为_______． 14．如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABC ，则此图形中有________个直角三角形．15．设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)12πα+的值为______.16．4cos50tan40-=o o ______． 三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n nb a =，n T 为数列位{}n b 的前n 项和，求n T ； （3）在（2）的条件下，是否存在自然数m ，使得244n m mT -<<对一切*n N ∈恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.18．如图，某小区有一块半径为4米的半圆形空地，开发商计划在该空地上征地建一个矩形的花坛ABCD 和一个等腰三角形的水池EDC ，其中O 为圆心，,A B 在圆的直径上，,,C D E 在半圆周上.（1）设BOC θ∠=，征地面积为()f θ，求()f θ的表达式，并写出定义域；（2）当θ满足()()16sin g f θθθ=+取得最大值时，建造效果最美观.试求()g θ的最大值，以及相应角θ的值.19．袋子中放有大小和形状相同而颜色互不相同的小球若干个, 其中标号为0的小球1个, 标号为1的小球1个, 标号为2的小球2个, 从袋子中不放回地随机抽取2个小球, 记第一次取出的小球标号为a ,第二次取出的小球标号为b .(1) 记事件A 表示“2a b +=”, 求事件A 的概率；(2) 在区间[]0,2内任取2个实数,x y , 记()2a b -的最大值为M ,求事件“22x y M +<”的概率.20．已知圆心为C 的圆经过点(0,2)A 和(1,1)B ，且圆心C 在直线l ：50x y ++=上． （1）求圆C 的标准方程；（2）若(,)P x y 是圆C 上的动点，求34x y -的最大值与最小值． 21．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A π≠，sin 26cos sin b A A B =.（1）求a 的值； （2）若3A π=，求ABC ∆周长的取值范围.22．（改编）已知正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22nn n a a S +=；在数列{}n b 中，111, 332n n nb b b b +==-（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设21n nn na b c b =-，数列{}n c 的前n 项和为n T . 若对任意n *∈N ，存在实数,λμ，使n T λμ≤<恒成立，求μλ-的最小值；（3）记数列{}n b 的前n 项和为n R ，证明：34n R <. 【参考答案】*** 一、选择题13．6 14．4 15．5016三、解答题 17．（1）23n na =（2）3231443n n n T +=-⋅（3）3m = 18．(1) ()fθ()16cos sin cos ,0,2πθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭(2) 最大值为8+ ，此时4πθ=19．）（1）13；（2）4π. 20．(1) 22(3)(2)25x y +++=；(2) 最小值为26-，最大值为24． 21．（1）3；（2）(]6,9. 22．（1）11231n n b -=⋅+（2）54（3）略2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是( ) A.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1[,2]2D.1[,1]22．二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制。

2019-2020学年辽宁省辽阳市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{|12}M x x =-<<，{|210}N x x =-<-≤，则M N =I （ ） A ．{|12}x x << B ．{|12}x x <„ C ．{|23}x x <<D ．3{|}1x x -≤<【答案】B【解析】化简集合N ，根据交集的定义，结合数轴，即可求解 【详解】因为{|12}M x x =-<<，{|13}N x x =<„， 所以{|12}M N x x ⋂=<„. 故选:B. 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2．已知:5p x =-，2:2150q x x +-=，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】求出方程22150x x +-=的解，再根据充分必要条件的定义，即可得出结论. 【详解】因为(3)(x 5)0x -+=，所以3x =或5x =-.由5x =-可以推出(3)(x 5)0x -+=；反之，不不成立. 故选:A . 【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题. 3．函数()12xf x x=-的零点所在区间为 （ ） A ．1(0,)3B ．11(,)32C ．1(,1)2D ．(1,2)【答案】C【解析】令函数f （x ）＝0得到12xx =，转化为两个简单函数g （x ）＝2x ，h （x ）1x=，最后在同一坐标系中画出g （x ），h （x ）的图象，进而可得答案． 【详解】 令()12xf x x=-=0， 可得12xx=， 再令g （x ）＝2x ，1x xｈ＝，在同一坐标系中画出g （x ），h （x ）的图象， 可知g （x ）与h （x ）的交点在（12，1）， 从而函数f （x ）的零点在（12，1）， 故选Ｃ．【点睛】本题主要考查函数零点所在区间的求法．考查数形结合思想是中档题． 4．若幂函数()222()22m mf x m m x -=+-在(0,)+∞上为减函数，则m =（ ） A ．3- B ．1-C ．1D ．3【答案】C【解析】根据幂函数的定义可得2221m m +-=，求出m 的值，然后验证()f x 在(0,)+∞上是否为减函数，即220m m -<是否成立，即可求解.【详解】由已知2221m m +-=，解得3m =-或1m =.当3m =-时，15()f x x =在(0,)+∞上为增函数，不符合题意； 当1m =时，15()f x x =在(0,)+∞上为减函数，符合题意. 故选:C 【点睛】本题考查幂函数的定义，及其性质，属于基础题. 5．已知a b c <<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22ac bc < B ．32a b c <<C ．ab ac <D ．11a cb c>-- 【答案】D【解析】利用特殊值或不等式的性质对每一个选项分析判断得解. 【详解】对于选项A ，由于可能有2c =0，故A 错误；对于选项B ，若3,4b c ==，则2b c >，所以B 错误； 对于选项C ，虽有b c <，但a 的正负不确定，故C 错误； 对于选项D ，由于a b c <<，所以0a c b c -<-<，所以11a cb c>--. 故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查不等式性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则（ ）A ．甲得分的平均数比乙的大B ．乙的成绩更稳定C ．甲得分的中位数比乙的大D ．甲的成绩更稳定【答案】B【解析】根据图形中的数据，可求出甲乙的平均数，中位数，分析数据的离散程度，确定方差大小，即可求解. 【详解】甲、乙得分的平均数均为13，中位数均为13， 甲得分的方差明显比乙大. 故选:B 【点睛】本题考查数据的处理以及数据的分析，属于基础题. 7．已知5log 2a =，0.9log 1.1b =，0.92c =，则（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】利用指数函数和对数函数函数的单调性，将,a b 与0,1比大小，c 与1比大小，即可求出结论. 【详解】因为550log 2log 51a <=<=，0,9log 1.10b =<，0.90221c =>=，所以b a c <<.故选:B. 【点睛】本题考查指对数函数的单调性应用，运用单调性比较数的大小，要注意与特殊的第三数比大小，属于基础题.8．为了检验某厂生产的取暖器是否合格，先从500台取暖器中取50台进行检验，用随机数表抽取样本，将500台取暖器编号为001，002，…，500.下图提供了随机数表第7行至第9行的数据：82 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54若从表中第7行第4列开始向右依次读取3个数据，则抽出第4台取暖器的编号为 A ．217B ．206C ．245D ．212【解析】从第7行第4列开始向右依次读取3个数据，重复的去掉后可得. 【详解】由题意，根据简单的随机抽样的方法，利用随机数表从第7行的第4列开始向右读取，依次为217，157，245，217，206，由于217重复，所以第4台取暖器的编号为206．选B. 【点睛】本题考查随机数表，属于基础题.9．函数()3()2ln ||f x x x x =+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】可判断()f x 为奇函数，图像关于原点对称，排除,A B 选项，再判断当0x >时，函数值的正负，即可求得结论. 【详解】因为()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的奇函数，所以排除A ，B ； 当01x <<时，()0f x <；当1x >时，()0f x >，排除D . 故选:C . 【点睛】本题考查函数图像的识别，考查函数的对称性和函数值符号判断，属于基础题. 10．已知函数245()33f x x ax =-++，若()0f x …在[1,1]-上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[1,1]-D ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】()0f x …在[1,1]-上恒成立，则抛物线在[1,1]-间的部分都在x 轴上方或在x 轴上，只需最低点，即区间的两个端点满足即可，可得(1)0,(1)0f f -≥≥，求解即可得出结论.因为()0f x …在[1,1]-上恒成立， 所以45(1)0,3345(1)0,33f a f a ⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=--+⎪⎩……解得1133a -剟. 故选:A. 【点睛】本题考查不等式在给定区间恒成立，转为为二次函数图像特征，考查数形结合思想，属于基础题.11．在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，满足4BE EA =u u u r u u u r，3AF FD=u u u r u u u r ，连接EF 交AC 于点M ，若23AM AB AC λμ=-u u u u r u u u r u u u r ，则1952λμ-=（ ） A ．32-B ．1C ．12D ．3-【答案】C【解析】由AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，23AM AB AC λμ=-u u u u r u u u r u u u r ，将AM u u u u r用向量,AB AD u u u r u u u r 表示，再由4,3BE EA AF FD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，把向量AM u u u u r用向量,AE AF u u u r u u u r 表示，根据E ，F ，M 三点共线的关系式特征，即可求得结论. 【详解】因为AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r，所以2323()(23)3AM AB AC AB AB AD AB AD λμλμλμμ=-=-+=--u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .因为4,3BE EA AF FD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以5(23)4AM AE AF λμμ=--u u u u r u u u r u u u r. 因为E ，F ，M 三点共线，所以5(23)41,10191λμμλμ--=-=， 所以191522λμ-=. 故选:C. 【点睛】本题考查向量的线性表示和向量基本定理，考查三点共线的向量结构特征，属于中档题.12．已知函数()()f x g x ，的图象分别如图1，2所示，方程()()()()1f g x g f x ＝，＝－1，1(())2g g x =-的实根个数分别为a 、b 、c ，则（ ）A ．a b c +=B ．b c a ＋＝C ．b a c ＝D ．ab c ＝【答案】A【解析】结合函数图像可知方程根的个数，根据个数确定a,b,c 的值，即可求解. 【详解】由方程(())1f g x =，可得()(10)g x m m =-<<. 此方程有4个实根，所以方程(())1f g x =有4个实根，则4a =； 由方程(())1g f x =-，可得()1f x =或()1f x =-. 所以方程(())1g f x =-有2个实根，则2b =，由方程1(())2g g x =-，可得113()12g x x x ⎛⎫=-<<- ⎪⎝⎭或()22()10g x x x =-<<或33()(01)g x x x =<<或443()12g x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，这4个方程的实根的个数分别为0，4，2，0. 则6c =. 故a b c +=， 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数与方程的关系，方程的根的个数即为函数图象交点的个数，数形结合，属于难题.二、填空题13．若x ＞0，则()149f x x x=+的最小值为_____． 【答案】43【解析】直接利用基本不等式求函数的最小值. 【详解】 ∵x ＞0，∴4x 19x +≥43=（当且仅当4x 19x =即x 16=时，取“＝”号）， ∴当x 16=时，f （x ）最小值为43．故答案为：43【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），事件A 为“正面朝上的点数为3”，事件B 为“正面朝上的点数为偶数”，则()P A B +=________. 【答案】23【解析】分别求出事件,A B 发生的概率，再根据事件A 与事件B 互斥，由互斥事件概率关系，即可求解. 【详解】由题意可得1()6P A =，1()2P B =，事件A 与事件B 互斥， 则2()()()3P A B P A P B +=+=. 故答案为:23. 【点睛】本题考查互斥事件并事件发生的概率，解题的关键判断出事件间的关系，属于基础题. 15．已知向量(,6),(4,3)a m b =-=-，若//a b ，则||a =_______. 【答案】10【解析】根据平行向量坐标的关系，求出m ，再由模长的坐标公式，即可求解. 【详解】因为//a b ，所以324m =，即8m =，所以||10a ==.故答案为:10. 【点睛】本题考查向量的坐标表示，涉及到平行向量、模长的坐标关系式，属于基础题.16．设函数2()log )f x x =-，若对任意的(1,)x ∈-+∞，不等式(ln )(24)0f x a f x -++<恒成立，则a 的取值范围是_______.【答案】(0,]e【解析】先证明函数()f x 为奇函数，根据)1x x =，结合对数运算法则可得2()log )f x x =-，根据复合函数的单调性，可判断2()log )f x x =-+在[0,)+∞上为减函数，再结合奇偶性和()f x 在0x =处连续，可得()f x 在R 上为减函数，于是(ln )(24)0f x a f x -++<等价转化为(ln )(24)f x a f x -<--，得ln 24x a x ->--，即对任意的(1,)x ∈-+∞，ln 34a x <+， 从而有ln 1a „，即可求解. 【详解】因为122()log )log )()f x x x f x -=+==-， 所以()f x 为奇函数，且定义域为R .又因为函数()g x x =在[0,)+∞上为增函数所以2()log )f x x =-在[0,)+∞上为减函数， 从而()f x 在R 上为减函数.于是(ln )(24)0f x a f x -++<等价于(ln )(24)(24)f x a f x f x -<-+=--，所以ln 24x a x ->--，即ln 34a x <+.因为(1,)x ∈-+∞，所以341x +>，所以ln 1a „， 解得0a e <„. 故答案为:(0,]e .【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性和单调性，将不等式等价转化，化归为函数的单调性和奇偶性是解题的难点，属于较难题.三、解答题 17．设集合{}2|3100,{|221,},{|33}A x x x B x a x a a R C x x =--<=-≤≤+∈=-<<.（1）全集U =R ，求()U C A C I ； （2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(3,2]--；（2）(,2)-∞.【解析】（1）求出集合A ，再按集合运算法则计算；（2）A B A ⋃=说明B A ⊆，由集合的包含关系列出a 的不等关系可求解，注意讨论B 为空集的情形。

辽宁省辽阳市2019-2020学年高一上学期期末检测高一数学一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(★)已知集合M={x|-1<x<2},N={x|-2<1-x≤0},则M∩N= ()A.{x|1<x<2}B.{x|1≤x<2}C.{x|2<x<3}D.{x|-1≤x<3}考向集合的运算答案 B分析化简集合N,根据交集的定义直接求出M∩N即可.解析因为M={x|-1<x<2},N={x|-2<1-x≤0}={x|1≤x<3},所以M∩N={x|1≤x<2}.故选:B.点评本题考查集合运算中的交集运算,熟练掌握集合的基础知识是解答好该类集合题目的关键.2.(★)已知p:x=-5,q:x2+2x-15=0,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考向充分条件与必要条件的判断解一元二次方程答案 A分析先通过解一元二次方程对条件进行化简,然后利用充分性和必要性的定义来判断即可.解析因为x2+2x-15=(x-3)(x+5)=0,所以x=3或x=-5.由x=-5可以推出(x-3)(x+5)=0;反之,不成立.故选:A.点评 本题主要考查充分必要条件的判断,如果P ⇒Q 且Q ⇒P ,则P 是Q 的充分不必要条件,Q 是P 的必要不充分条件,通俗地说:“小范围可以推出大范围,反之则不成立.” 3.(★★)函数f (x )=2x -1x 的零点所在区间为 ( ) A.0,13 B.13,12C.12,1 D.(1,2)考向 函数零点的概念 二分法的应用 答案 C分析 方法一:首先分析函数在定义域上的单调性,然后根据零点存在性定理可判断出该函数零点所在的区间;方法二:令函数f (x )=0得到2x =1x ,转化为两个简单基本函数g (x )=2x ,h (x )=1x ,然后在同一坐标系中画出g (x ),h (x )的图象,进而可得答案. 解析 方法一:因为函数f (x )=2x -1x 在(0,+∞)上为增函数, 所以,函数f (x )=2x -1x 在(0,+∞)上至多有一个零点, 因为f (13)=213-3=√23-3<0,f (12)=212-2=√2-2<0,f (1)=21-1>0, 所以由零点存在性定理可知,在区间12,1内函数f (x )=2x-1x 存在一个零点. 方法二:令f (x )=2x -1x =0,可得2x =1x , 再令g (x )=2x ,h (x )=1x ,在同一坐标系中画出g (x ),h (x )的图象, 可知g (x )图象与h (x )图象的交点横坐标在12,1内,从而函数f (x )的零点在12,1内,故选C .点评本题主要考查函数零点的存在性定理的应用:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根;也可以将求函数零点问题转化为求两个函数图象的交点问题,一般转化的原则是将已知函数转化为两个基本初等函数,考查数形结合思想.4.(★★)若幂函数f(x)=(m2+2m-2)x m2-2m在(0,+∞)上为减函数,则m= ()A.-3B.-1C.1D.3考向幂函数的图象和性质答案 C分析根据幂函数的定义可得m2+2m-2=1,求出m的值,然后验证f(x)在(0,+∞)上是否为减函数,即m2-2m<0是否成立,即可求解.解析由已知m2+2m-2=1,解得m=-3或m=1.当m=-3时,f(x)=x15在(0,+∞)上为增函数,不符合题意;当m=1时,f(x)=x-1在(0,+∞)上为减函数,符合题意.故选:C.点评本题主要考查幂函数的定义和幂函数的性质,熟练掌握常用基本初等函数的一般表达式是正确解题的关键.5.(★★)已知a<b<c,则下列不等式一定成立的是()A.ac2<bc2B.a3<b2<cC.ab<acD.1a-c >1 b-c考向不等式性质的应用答案 D分析通过取特殊值举反例或利用不等式的基本性质,逐一分析每个选项即可得出结论.解析对于选项A,当c=0时,ac2=bc2,故错误;对于选项B,若b=3,c=4,则b2>c,故错误;对于选项C,虽有b<c,但a的正负不确定,故错误;对于选项D,由于a<b<c,所以a-c<b-c<0,所以1a-c >1b-c,故正确.故选D.点评判断不等式是否成立,主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简便、准确,如果认为一个命题正确,一定要有简单证明,如果认为一个命题错误,最好能举出反例或者能证明一定不成立,以培养思维的严谨性.6.(★★)甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则()A.甲得分的平均数比乙的大B.乙的成绩更稳定C.甲得分的中位数比乙的大D.甲的成绩更稳定考向均值和方差的计算答案 B分析根据图形中的数据,可求出甲乙的平均数、中位数,分析数据的离散程度,确定方差大小,然后对选项进行判断即可.解析根据平均数的计算公式得,甲、乙得分的平均数均为13,中位数均为13,根据五次某项测试成绩结果可以看出,甲的五次某项测试成绩比较分散,而乙五次某项测试成绩比较集中,由方差计算公式可知,甲得分的方差明显比乙大,所以乙的成绩更稳定,或者直接由图得乙的成绩更稳定.点评本题主要考查了方差、平均数的概念,准确理解这些概念并熟记这些公式,掌握数据的处理以及数据的分析.7.(★★)已知a=log52,b=log0.91.1,c=20.9,则()A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a考向指数函数的图象和性质对数函数的图象和性质答案 B分析根据指数函数、对数函数的性质,分别判断a,b,c的取值范围即可得结果.解析由对数函数的图象和性质知,因为0<a=log52<log55=1,b=log0.91.1<log0.91=0,由指数函数的图象和性质知,c=20.9>20=1,所以b<a<c.故选:B.点评本题考查函数值大小比较,解题的关键是利用指数函数、对数函数的性质.对于底数不同、指数不同,真数不同的指数、对数值的大小比较,不便于直接利用单调性,则可以借助中间量比如“1”“0”或者“-1”等来进行大小比较, 渗透了直观想象和数学运算的核心素养.8.(★)为了检验某厂生产的取暖器是否合格,先从500台取暖器中取50台进行检验,用随机数表抽取样本,将500台取暖器编号为001,002,…,500.下图提供了随机数表第7行至第9行的数据:82421753315724550688770474476721763350258392120676 63016378591695566719981050717512867358074439523879 33211234297864560782524207443815510013429966027954若从表中第7行第4列开始向右依次读取3个数据,则抽出第4台取暖器的编号为() A.217 B.206 C.245 D.212考向随机数表抽样答案 B分析根据随机数表抽样方法,从第7行第4列开始向右依次读取3个数据,重复的去掉后可得.解析由题意,根据简单随机抽样的方法,利用随机数表从第7行的第4列开始向右读取,依次为217,157,245,217,206,由于217重复,所以第4台取暖器的编号为206.点评 本题考查简单随机抽样方法中的随机数表,要准确理解和掌握这种方法. 9.(★★)函数f (x )=(x 3+2x )ln|x |的部分图象大致为 ( )考向 函数的概念 函数性质的应用 答案 C分析 先求得函数的定义域,然后判断出函数为奇函数,图象关于原点对称,排除A,B 选项,再用特殊值排除不正确选项,从而确定正确选项.解析 因为函数f (x )=(x 3+2x )ln|x |,则函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f (-x )=[(-x )3+2(-x )]ln|-x |=-(x 3+2x )ln|x |=-f (x ),所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除A 和B,当0<x <1时,f (x )<0,当x >1时,f (x )>0,排除D,只有C 选项适合,所以C 正确. 故选C .点评 本题考查函数的图象与性质,可以利用具有奇偶性的函数图象的性质,还可以代入特殊点进行判断,考查推理论证能力.10.(★★)已知函数f (x )=-43x 2+ax +53,若f (x )≥0在[-1,1]上恒成立,则a 的取值范围是( )A.-13,13 B.-1,-13 C.[-1,1] D.-1,13考向 函数的概念 函数的性质 答案 A分析 根据二次函数的图象和性质可得,函数f (x )=-43x 2+ax +53的图象开口向下,f (x )≥0在[-1,1]上恒成立,则抛物线在[-1,1]间的部分都在x 轴上方或在x 轴上,只需最低点,即区间的两个端点满足即可,可得f (-1)≥0,f (1)≥0,求解即可得出结论.解析 根据二次函数的图象和性质可得,函数f (x )=-43x 2+ax +53的图象开口向下, 因为f (x )≥0在[-1,1]上恒成立, 所以{f(1)=-43+a +53≥0,f(-1)=-43-a +53≥0,解得-13≤a ≤13. 故选:A .点评 不等式在给定区间内恒成立,转为为二次函数图象特征,合理利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键,本题着重考查了分析问题、解决问题的能力,以及数形结合思想. 11.(★★★)在平行四边形ABCD 中,点E ,F 分别在边AB ,AD 上,满足BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,连接EF 交AC 于点M ,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ -3μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则5λ-192μ= ( )A.-32B.1C.12 D.-3考向 平面向量的线性运算 平面向量基本定理 答案 C分析 由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ -3μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,将AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示,再由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,把向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF⃗⃗⃗⃗⃗ 表示,根据E ,F ,M 三点共线的关系式特征,即可求得结论. 解析 因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ -3μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ -3μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(2λ-3μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -3μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ .又因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AF⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5(2λ-3μ)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -4μAF⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为E ,F ,M 三点共线,所以5(2λ-3μ)-4μ=1,10λ-19μ=1, 所以5λ-192μ=12. 故选C .点评 本题考查向量的线性运算和向量基本定理的应用,考查三点共线的向量结构特征:①直线的向量式参数方程,A ,P ,B 三点共线⇔OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-t )OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为平面内任一点,t ∈R);②OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB⃗⃗⃗⃗⃗ +μOC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ为实数),若A ,B ,C ,三点共线,则λ+μ=1,注意体会并掌握. 12.(★★★)已知函数f (x ),g (x )的图象分别如图1,2所示,方程f (g (x ))=1,g (f (x ))=-1,g (g (x ))=-12的实根个数分别为a ,b ,c ,则 ( )A.a +b =cB.b +c =aC.a b =cD.ab =c考向 函数的概念 函数与方程的应用 答案 A分析 结合函数图象可知方程根的个数,根据方程根的个数确定a ,b ,c 的值,即可求解. 解析 由方程f (g (x ))=1,可得g (x )=m (-1<m <0). 此方程有4个实根,所以方程f (g (x ))=1有4个实根,则a =4. 由方程g (f (x ))=-1,可得f (x )=1或f (x )=-1. 所以方程g (f (x ))=-1有2个实根,则b =2.由方程g (g (x ))=-12,可得g (x )=x 1-32<x 1<-1或g (x )=x 2(-1<x 2<0)或g (x )=x 3(0<x 3<1)或g (x )=x 41<x 4<32,这4个方程的实根的个数分别为0,4,2,0. 所以方程g (g (x ))=-12有6个实根,则c =6. 故a +b =c , 故选:A .点评 本题主要考查了函数概念的应用以及函数与方程的关系,把求方程的根的个数问题转化为研究函数图象交点的个数问题,体现了数形结合的思想方法,通过数形结合增强了解题的直观性,降低了试题的难度,可以培养学生直观想象的核心素养. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.(★★)若x >0,则f (x )=4x +19x 的最小值为 . 考向 基本不等式的应用 答案 43分析 根据题意,直接利用基本不等式求函数的最小值即可.解析 ∵x >0,∴f (x )=4x +19x ≥2√4x ·19x =43当且仅当4x =19x 即x =16时,取“=”号, ∴当x =16时,f (x )最小值为43. 故答案为43.点评 本题考查利用基本不等式求最值,在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中①“正”(即条件要求中字母为正数)、②“定”(不等式的另一边必须为定值)、③“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.14.(★★)抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6),事件A 为“正面朝上的点数为3”,事件B 为“正面朝上的点数为偶数”,则P (A +B )= . 考向 古典概型 答案 23分析 根据古典概型的概率公式,分别求出事件A ,B 发生的概率,再根据事件A 与事件B 互斥,由互斥事件概率公式,即可求解.解析 根据古典概型的概率公式可得P (A )=16,P (B )=12,因为事件A 与事件B 互斥,所以P (A +B )=P (A )+P (B )=23. 故答案为:23.点评本题主要考查古典概型的概率公式以及互斥事件发生的概率公式,对于古典概型,任何事件的概率为P(A)=A包含的基本事件的个数,解题的关键是判断出事件间的关系,正确运用所学公基本事件的总数式.15.(★★)已知向量a=(m,-6),b=(-4,3),若a∥b,则|a|=.考向平面向量的坐标运算答案10分析根据平面向量平行的坐标表示,求出m的值,再由模长的坐标公式,即可求解.解析因为a∥b,所以3m=24,即m=8,所以|a|=√64+36=10.故答案为:10.点评本题主要考查向量的坐标运算,涉及平行向量、模长的坐标运算公式,一定要熟记这些公式.16.(★★★)设函数f(x)=log2(2x),若对任意的x∈(-1,+∞),不等式f(x-ln a)+f(2x+4)<0恒成立,则a的取值范围是.考向函数的奇偶性对数的运算性质函数的单调性答案(0,e]分析先证明函数f(x)为奇函数,根据(2-x)(2+x)=1,结合对数运算法则可得f(x)=-log(√1+x2+x),根据复合函数的单调性,可判断f(x)=-log2(√1+x2+x)在[0,+∞)上2为减函数,再结合奇偶性和f(x)在x=0处连续,可得f(x)在R上为减函数,利用函数f(x)的奇偶性、单调性脱去“f”,于是f(x-ln a)+f(2x+4)<0等价转化为f(x-ln a)<f(-2x-4),得x-ln a>-2x-4,即对任意的x∈(-1,+∞),ln a<3x+4恒成立, 从而有ln a≤1,即可求解.解析由题可知,函数f(x)定义域为R,又因为f(-x)=log2(2x)=log2(2-x)-1=-f(x),所以f(x)为奇函数,且f(x)=-log2(√1+x2+x).又因为函数g(x)=√1+x2+x在[0,+∞)上为增函数,所以f(x)=-log2(√1+x2+x)在[0,+∞)上为减函数,又因为函数f(x)定义域为R,从而f(x)在R上为减函数.于是f(x-ln a)+f(2x+4)<0等价于f(x-ln a)<-f(2x+4)=f(-2x-4),等价于x-ln a>-2x-4,即ln a<3x+4,所以ln a<3x+4对任意的x∈(-1,+∞)恒成立.因为x∈(-1,+∞),所以3x+4>1,所以ln a≤1,解得0<a≤e.故答案为:(0,e].点评本题主要考查利用函数的奇偶性、单调性脱去“f”得到关于x的不等式,转化为不等式恒成立问题,不等式在某个区间上恒成立(或存在性成立)问题的转化方法:首先是“参变分离”,化为(1)f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a;存在x使f(x)≥a成立(或者是f(x)≥a有解)⇔f(x)max ≥a;(2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b;存在x使f(x)≤b成立(或者是f(x)≤b有解)⇔f(x)min ≤b.体现了数学运算和逻辑推理的核心素养.三、解答题(本大题共6道小题,共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.)17.(★★)设集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|2-a≤x≤2a+1,a∈R},C={x|-3<x<3}.(1)全集U=R,求(∁U A)∩C;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.考向集合的运算一元二次不等式的解法分析(1)通过解一元二次不等式化简集合A,求出A的补集,再根据交集的定义运算即可; (2)由A∪B=A得到B⊆A,由集合的包含关系列出关于a的不等式组可求解,注意讨论B为空集的情形.解析(1)∵x2-3x-10<0,∴(x-5)(x+2)<0,解得-2<x<5.∴A={x|-2<x<5},∴∁U A=(-∞,-2]∪[5,+∞).∴(∁U A)∩C=(-3,-2].(2)∵A∪B=A,∴B⊆A.当B=⌀时,2-a>2a+1,∴a<13.当B≠⌀时,依题意得{2−a≤2a+1,2a+1<5,2−a>−2,解得13≤a<2,综上所述,a的取值范围是(-∞,2).点评 本题考查集合的交集、并集、补集的运算,将题设条件转化为含参数的不等式,体现了转化与化归的数学思想方法,解题过程中,注意对空集的讨论,这也是易错点. 18.(★★)在直角坐标系中,O 为坐标原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,b ). (1)若A ,B ,C 三点共线,求a ,b 的关系; (2)若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求点C 的坐标. 考向 平面向量的坐标运算分析 (1)根据平面向量的坐标运算,求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标,再由共线向量的坐标关系,即可得出a ,b 关系;(2)根据向量相等的坐标关系,得到关于a ,b 的方程组,求解,即可得出结论. 解析 由题意知,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1)-(3,1)=(-1,-2), AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,b )-(3,1)=(a -3,b -1). (1)因为A ,B ,C 三点共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以-(b -1)-(-2)×(a -3)=0, 所以b =2a -5. (2)因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(a -3,b -1)=-3(-1,-2)=(3,6), 所以{a -3=3,b -1=6,解得{a =6,b =7,所以点C 的坐标为(6,7).点评 本题考查向量的坐标运算,涉及共线向量和相等向量的坐标关系,要熟记这些公式. 19.(★★)为了了解学生的学习情况,一次测试中,科任老师从本班中抽取了n 个学生的成绩(满分100分,且抽取的学生成绩均在[40,100]内)进行统计分析.按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图和频数分布表.频数分布表 [40,50) x [50,60) 4 [60,70) 10 [70,80) 12 [80,90) 8 [90,100]4(1)求n ,a ,x 的值;(2)在选取的样本中,从低于60分的学生中随机抽取两名学生,试问这两名学生在同一组的概率是多少?考向 频率分布直方图 古典概型分析 (1)根据频数和频率的关系,求出样本容量n ,由频数分布表求出[50,60)的频率,即可求出a ,再由样本容量n ,求出x ;(2)[40,50),[50,60)两组中的学生人数分别为2,4,将6人按组编号,列出从6人中抽取2人的所有基本事件,确定满足条件的基本事件的个数,由古典概型的概率公式,即可求解. 解析 (1)由题意知,样本容量n =100.025×10=40,a =440×10=0.01, 又x +4+10+12+8+4=40,解得x =2.(2)由频数分布表可知[40,50),[50,60)两组中的学生人数分别为2,4, 将[40,50)组中的学生标记为A ,B ,[50,60)组中的学生标记为a ,b ,c ,d. 在这两组中的学生中随机抽2名学生有如下情形:(A ,B ),(A ,a ),(A ,b ),(A ,c ),(A ,d ),(B ,a ),(B ,b ),(B ,c ),(B ,d ),(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(b ,c ),(b ,d ),(c ,d ),共有15个基本事件.其中两名学生在同一组的情形:(A ,B ),(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(b ,c ),(b ,d ),(c ,d ),共有7个基本事件..即这两名学生在同一组的概率为715点评本题考查频率分布直方图、频数分布表的相关知识及古典概型的概率问题,需要注意频率分布直方图的纵坐标为频率/组距,这也是易错点.20.(★★)已知函数f(x)=ln(2x2+ax+3).(1)若f(x)是定义在R上的偶函数,求a的值及f(x)的值域;(2)若f(x)在区间[-3,1]上是减函数,求a的取值范围.考向函数的奇偶性对数函数的性质分析(1)根据偶函数的定义,求出a=0,得f(x)=ln(2x2+3),验证定义域是否关于原点对称,求出真数的范围,再由对数函数的单调性,即可求出值域;(2)u(x)=2x2+ax+3,g(u)=ln u,由复合函数单调性的规律可得,u(x)=2x2+ax+3在[-3,1]上是减函数,且u(x)>0在[-3,1]上恒成立,根据二次函数的单调性,得出参数a的不等式,即可求解.解析(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),又f(x)=ln(2x2+ax+3),所以ln(2x2+ax+3)=ln(2x2-ax+3),故a=0,此时,f(x)=ln(2x2+3),定义域为R,符合题意.令t=2x2+3,则t≥3,所以ln t≥ln3,故f(x)的值域为[ln3,+∞).(2)设u(x)=2x2+ax+3,g(u)=ln u.因为f(x)在[-3,1]上是减函数,g(u)=ln u在(0,+∞)上是增函数,所以u(x)=2x2+ax+3在[-3,1]上是减函数,且u(x)>0在[-3,1]上恒成立,≥1且u(x)min=u(1)=5+a>0,故-a4解得-5<a≤-4,即a∈(-5,-4].点评本题考查函数的性质,涉及函数的奇偶性、单调性、值域,研究函数的性质要注意定义域,要掌握复合函数单调性“同增异减”的规律.21.(★★)某工艺公司要对某种工艺品深加工,已知每个工艺品进价为20元,每个工艺品的加工费为n元,销售单价为x元.根据市场调查,需有n∈[3,6],x∈[26,32],x∈N,同时日销售量m(单位:个)与10-x成正比.当每个工艺品的销售单价为29元时,日销售量为1000个.(1)写出日销售利润y (单位:元)与x 的函数关系式;(2)当每个工艺品的加工费用为5元时,要使该公司的日销售利润为100万元,试确定销售单价x 的值.(提示:函数y =10x -26与y =x -25的图象在[26,32]上有且只有一个公共点) 考向 函数的应用 指数幂的运算分析 (1)由日销售量m (单位:个)与10-x 成正比,设m =k ·10-x ,x ∈[26,32],根据条件求出k =1032,再由y =m (x -20-n ),即可求出函数关系式;(2)当n =5时,结合(1)中的函数关系可得x -25=10x -26,观察可得x =26是方程的解,再由条件可知方程在[26,32]上有且只有一个解,即可求得结论. 解析 (1)设m =k ·10-x =k10x ,x ∈[26,32], 当x =29时,m =1000,则k =1032, 所以m =103210x =1032-x ,x ∈[26,32],所以y =m (x -20-n )=(x -20-n )1032-x ,x ∈[26,32],x ∈N . (2)当n =5时,y =(x -25)1032-x =100×104=106, 整理得x -25=10x -26.因为函数y =10x -26与y =x -25的图象在[26,32]上有且只有一个公共点,且当x =26时,等式成立, 所以x =26是方程x -25=10x -26唯一的根, 所以销售单价为26元.点评 本题考查函数的应用问题,利用待定系数法求函数解析式,需要掌握常用基本初等函数的一般表达式;考查函数与方程的关系,要注意解方程的特殊方法的应用. 22.(★★★)已知函数f (x )=(t 2-2t -2)e x -1e x 是定义域为R 的奇函数. (1)求t 的值,并写出f (x )的解析式; (2)判断f (x )在R 上的单调性,并用定义证明;(3)若函数g (x )=e 2x +1e 2x -2kf (x )在[0,+∞)上的最小值为-2,求k 的值. 考向 函数的单调性 函数的奇偶性 指数幂的运算性质分析 (1)f (x )是定义域为R 的奇函数,利用奇函数的必要条件f (0)=0,求出t 的值,进而求出f (x ),验证f (x )是否为奇函数;(2)可判断f (x )在R 上为增函数,用函数单调性的定义加以证明即可;(3)由g(x)=e2x+1e2x -2k e x-1e x=e x-1e x2-2k e x-1e x+2,换元令u=f(x)=e x-1e x,x≥0,则h(u)=u2-2ku+2,由(2)得u≥f(0)=0,根据条件转化为h(u)在u∈[0,+∞)上的最小值为-2,对二次函数h(u)配方,求出对称轴,分类讨论求出最小值,即可求解.解析(1)因为f(x)=(t2-2t-2)e x-1e x是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=t2-2t-3=0,解得t=3或t=-1,当t=3或t=-1时,可得f(x)=e x-1e x,此时满足f(-x)=-f(x),所以t=3或t=-1,f(x)=e x-1e.(2)f(x)在R上单调递增.证明如下:设任意的x1,x2∈R,x1<x2,则f(x1)-f(x2)=e x1-1e x1-e x2+1e x2=(e x1-e x2)1+1e x1·e x2.因为x1<x2,所以0<e x1<e x2,所以e x1-e x2<0,1+1e x1·e x2>0,可得f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)在R上单调递增.(3)由(1)可知g(x)=e2x+1e2x -2k e x-1e x=e x-1e x2-2k e x-1e x+2,令u=f(x)=e x-1e x,则h(u)=u2-2ku+2,因为f(x)是增函数,且x≥0,所以u≥f(0)=0.因为g(x)=e2x+1e-2kf(x)在x∈[0,+∞)上的最小值为-2,所以h(u)在u∈[0,+∞)上的最小值为-2.因为h(u)=u2-2ku+2=(u-k)2+2-k2,所以当k≥0时,h(u)min=h(k)=2-k2=-2,解得k=2或k=-2(舍去);当k<0时,h(u)min=h(0)=k2+2-k2=2≠-2,不合题意,舍去.综上可知,k=2.点评本题考查利用函数的奇偶性求参数的值,需要注意的是定义在R上的奇函数,f(0)=0是函数为奇函数的必要条件,求得的参数需要经过验证;本题还考查应用单调性定义证明函数的单调性,考查复合函数的最值问题,使用换元方法,需要注意换元的等价性,通过换元将问题化归为二次函数的最值问题,再分类讨论,体现了转化与化归、分类讨论的数学思想.。