安培环路定理
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B 0nI
c
得：长直载流螺线管内的磁场：
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外 部磁场为零。
例题 已知I 、R，电流沿轴向、在截面上均匀分 布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。
解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 磁场分布——轴对称
r
O
I
R
dS1
dB2
dB
dB1
l
0I
2πr 0I
L
dl
dl
r
2πr
dl
L
L
B dl 0 I
取闭合回路 L 为圆形回 路（ L与 I 成右螺旋）
（闭合环路半径不同时，结果一样。）
I
B
若取回路绕向为逆时针时，
dl
L
则：
0I L B d l 2 π r 0 ( I )
［一段不闭合的载流导线产生的磁场，以 及电流随时间变化时，不适用］
(5) 安培环路定理反映磁场的性质—— 磁场是非保守场，是有涡旋的场。
安培环路定理的例证： 考虑闭合回路在与导线垂直的平面内。
载流长直导线的B μ 0 I 磁感应强度为： 2πr
I
B
o
L
B dl
L
I1
（ I 1 I 2） 0
思考：
1） B 是否与回路 L 外电流(如I3)有关？ 2）若 B d l 0 ，是否回路 L 上各处 B 0 ？
L
此时是否回路 L 内必无电流穿过？
闭合回路包围电流的判断： 方法：以闭合回路为边界任意做一曲面， 电流穿过曲面就算被环线包围。 s
2
L
s1
安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度，要求磁场具 有一定的特点（即有特定的对称性） 。 利用安培环路定理求磁感应强度的关键：根据磁场 分布的对称性，选取合适的闭合环路。 选取安培环路的原则：
(1)环路要经过所要考察的场点。
(3)要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向与环路方向 0 I 一致，目的是将: L B d l 0 I 写成 B d l 或 B 的方向在环路上某些部位与环路方向垂直: B dl , cos 0 ， B d l 0， B d l 0 I
B
I
沿闭合回路的环流为：
a
d
b
B
B dl
源自文库
l
c
d
b a
c d a B d l B d l B d l B d l B ab
b
B ab
l
B d l 0 n a bI
静电场： E 静 d l 0 L 稳恒磁场： B d l ?
L
保守场／无旋场
§10.4 安培环路定理
(Ampé Circulation Theorem) re’s 1. 定理表述 对真空中的稳恒磁场，磁感应强度 B 沿任 一闭合路径的线积分，等于 μ 0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和。 数学表达式：
o
R
dl
L
L
与 I 成左螺旋
[闭合回路不是圆形时, …] [闭合回路不在平面内而是
一般闭合曲线时，证明略]
讨论： 安培环路定理
L
B dl 0 Ii
L内
I1 I1
L
I2 I 3
L
B d l 0 ( I1 I1 I1 I 2 )
P
dS 2
电流及其产生的磁场具有轴对称分布. 方向?
作积分回路如图，
则 B 沿该闭合回路的环流为： B dl B dl 2 rB
L L
r>R时
I
R
根据安培环路定理：
L
B dl 0 I
B
r
得：
B
μ0 I
2 r π
如图示，对
作一安培回路如图，
d
B
c
L
B d l B 2 l 0 jl
B
0 j
2
a
B
l
b
方向如图所示。 结论 在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均 匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
同轴电缆的内导体圆柱半
径为R1，外导体圆筒内外半径
分别为R2、R3，电缆载有电流I （双向），求磁场的分布。
解：视为无限多平行长 直线电流的磁场之和。 分析：场点p的对称性 做 po 垂线，取对称的 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。
dB dB '
p
dB ' '
dl '
o
dl ' '
无数对称元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的 各点B的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
课堂练习
R3
B
R1
0I
2 R1
2
R2
r
r R1
I
R1 r R 2
2 2
B
B
0I
2 r
2
I
r
0 I ( R3 r )
2 r ( R 3 R 2 )
2
r R2
r R3
B 0
电场、磁场中典型结论的比较
电荷均匀分布 长直线 长 直 圆 柱 面 长 直 圆 柱 体
2. 物理含义： 磁场是有旋场 (非保守场)
3. 明确几点 (1) 电流有正负规定（电流方向与环路方向满 足右手螺旋关系时电流为正）。
(2)
B 是指环路上场点的磁感应强度，但它是
环内外所有电流共同产生的总场强。 (3) B 沿闭合环路的路径积分值（环流）—不 是场强本身，—跟电流从何处穿过该环路 所围成的曲面以及环路之外的电流无关。 (4) 环路定理仅适用于闭合稳恒电流的磁场。
L
B dl 0 Ii
L内
安培环路定理
L
B dl 0 Ii 0
L内
(积分形式)
S以 L为 边
J dS
I
L
注意
电流 I 正负的规定 ： I 与 L 环路方向 成右螺旋时，I 为正；反之为负。
附：[真空中]安培环路定理的微分形式 B 0J
B 0
安培环路定理(稳恒电流情形): H dl Ii
L L内
H J
H
B
0
M
M lim
V内
磁 矩 pm V
对线性各向同性 磁介质:
H B
V 0
0r
例题 一载流螺绕环，匝数为 N ，内径为 R1 ， 外径为 R2 ，通有电流 I ，求管内磁感应强度。
垂直部分 平行部分
(2)环路的长度便于计算；
4. 安培环路定理的应用举例 例题 长直密绕螺线管，单位长度上电流匝 数为 n ，求螺线管内的磁感应强度分布。
解：1 ) 对称性分析：螺线管内磁感线平行于 轴线，且在同一条磁感线上各点的 B 大小相 等， 外部磁感强度趋于零 ，即 B 0 。
选择安培环路如图：
r
o
R1
R2
解 1） 对称性分析：电流分布 有轴对称性，故 B 分布亦然。 2）选回路：取同心圆安培环路。
r
o
R1
R2
B dl
l
B dl 2 π rB
l
l
根据安培环路定理： 线圈内：
B
0NI
2πr
B dl 0 N I
Amperian loop
则B
rR
处
I
作积分回路如图，
R
I
B dl
沿该闭合回路的环流为：
L
L
B d l 2 rB
r
根据安培环路定理：
L
B dl 0 I
0 I
R
2
2
r
2
0I 2 R
B
得： B
0 I
2 R
r
r
o
R
例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）处处均匀，大小为 j 。
E
电流均匀分布
B
2 0 r
0 I
2r
内
外 内 外
E 0
E
B 0
2 0 r
B
0 I
2r
E
2 0 R
2
r
B
0 I
2 R
2
r
E
2 0 r
B
0 I
2r
有磁介质时的 高斯定理和安培环路定理
高斯定理:
S
B dS 0
(不均匀)
线圈外：
［方向（与电流关系）？]
B dl 0
B 0
l
B
B
0NI
2 r
r
o
R1
R2
o
R1
R2
r
若 R1、 R 2 R 2 R1
n N 2 R1
则:
B μ 0 nI
当 2 R d （管截面直径）时，螺绕环内可视为均 匀场 。
c
得：长直载流螺线管内的磁场：
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外 部磁场为零。
例题 已知I 、R，电流沿轴向、在截面上均匀分 布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。
解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 磁场分布——轴对称
r
O
I
R
dS1
dB2
dB
dB1
l
0I
2πr 0I
L
dl
dl
r
2πr
dl
L
L
B dl 0 I
取闭合回路 L 为圆形回 路（ L与 I 成右螺旋）
（闭合环路半径不同时，结果一样。）
I
B
若取回路绕向为逆时针时，
dl
L
则：
0I L B d l 2 π r 0 ( I )
［一段不闭合的载流导线产生的磁场，以 及电流随时间变化时，不适用］
(5) 安培环路定理反映磁场的性质—— 磁场是非保守场，是有涡旋的场。
安培环路定理的例证： 考虑闭合回路在与导线垂直的平面内。
载流长直导线的B μ 0 I 磁感应强度为： 2πr
I
B
o
L
B dl
L
I1
（ I 1 I 2） 0
思考：
1） B 是否与回路 L 外电流(如I3)有关？ 2）若 B d l 0 ，是否回路 L 上各处 B 0 ？
L
此时是否回路 L 内必无电流穿过？
闭合回路包围电流的判断： 方法：以闭合回路为边界任意做一曲面， 电流穿过曲面就算被环线包围。 s
2
L
s1
安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种 方法。但利用安培环路定理求磁感应强度，要求磁场具 有一定的特点（即有特定的对称性） 。 利用安培环路定理求磁感应强度的关键：根据磁场 分布的对称性，选取合适的闭合环路。 选取安培环路的原则：
(1)环路要经过所要考察的场点。
(3)要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向与环路方向 0 I 一致，目的是将: L B d l 0 I 写成 B d l 或 B 的方向在环路上某些部位与环路方向垂直: B dl , cos 0 ， B d l 0， B d l 0 I
B
I
沿闭合回路的环流为：
a
d
b
B
B dl
源自文库
l
c
d
b a
c d a B d l B d l B d l B d l B ab
b
B ab
l
B d l 0 n a bI
静电场： E 静 d l 0 L 稳恒磁场： B d l ?
L
保守场／无旋场
§10.4 安培环路定理
(Ampé Circulation Theorem) re’s 1. 定理表述 对真空中的稳恒磁场，磁感应强度 B 沿任 一闭合路径的线积分，等于 μ 0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和。 数学表达式：
o
R
dl
L
L
与 I 成左螺旋
[闭合回路不是圆形时, …] [闭合回路不在平面内而是
一般闭合曲线时，证明略]
讨论： 安培环路定理
L
B dl 0 Ii
L内
I1 I1
L
I2 I 3
L
B d l 0 ( I1 I1 I1 I 2 )
P
dS 2
电流及其产生的磁场具有轴对称分布. 方向?
作积分回路如图，
则 B 沿该闭合回路的环流为： B dl B dl 2 rB
L L
r>R时
I
R
根据安培环路定理：
L
B dl 0 I
B
r
得：
B
μ0 I
2 r π
如图示，对
作一安培回路如图，
d
B
c
L
B d l B 2 l 0 jl
B
0 j
2
a
B
l
b
方向如图所示。 结论 在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均 匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
同轴电缆的内导体圆柱半
径为R1，外导体圆筒内外半径
分别为R2、R3，电缆载有电流I （双向），求磁场的分布。
解：视为无限多平行长 直线电流的磁场之和。 分析：场点p的对称性 做 po 垂线，取对称的 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。
dB dB '
p
dB ' '
dl '
o
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无数对称元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的 各点B的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
课堂练习
R3
B
R1
0I
2 R1
2
R2
r
r R1
I
R1 r R 2
2 2
B
B
0I
2 r
2
I
r
0 I ( R3 r )
2 r ( R 3 R 2 )
2
r R2
r R3
B 0
电场、磁场中典型结论的比较
电荷均匀分布 长直线 长 直 圆 柱 面 长 直 圆 柱 体
2. 物理含义： 磁场是有旋场 (非保守场)
3. 明确几点 (1) 电流有正负规定（电流方向与环路方向满 足右手螺旋关系时电流为正）。
(2)
B 是指环路上场点的磁感应强度，但它是
环内外所有电流共同产生的总场强。 (3) B 沿闭合环路的路径积分值（环流）—不 是场强本身，—跟电流从何处穿过该环路 所围成的曲面以及环路之外的电流无关。 (4) 环路定理仅适用于闭合稳恒电流的磁场。
L
B dl 0 Ii
L内
安培环路定理
L
B dl 0 Ii 0
L内
(积分形式)
S以 L为 边
J dS
I
L
注意
电流 I 正负的规定 ： I 与 L 环路方向 成右螺旋时，I 为正；反之为负。
附：[真空中]安培环路定理的微分形式 B 0J
B 0
安培环路定理(稳恒电流情形): H dl Ii
L L内
H J
H
B
0
M
M lim
V内
磁 矩 pm V
对线性各向同性 磁介质:
H B
V 0
0r
例题 一载流螺绕环，匝数为 N ，内径为 R1 ， 外径为 R2 ，通有电流 I ，求管内磁感应强度。
垂直部分 平行部分
(2)环路的长度便于计算；
4. 安培环路定理的应用举例 例题 长直密绕螺线管，单位长度上电流匝 数为 n ，求螺线管内的磁感应强度分布。
解：1 ) 对称性分析：螺线管内磁感线平行于 轴线，且在同一条磁感线上各点的 B 大小相 等， 外部磁感强度趋于零 ，即 B 0 。
选择安培环路如图：
r
o
R1
R2
解 1） 对称性分析：电流分布 有轴对称性，故 B 分布亦然。 2）选回路：取同心圆安培环路。
r
o
R1
R2
B dl
l
B dl 2 π rB
l
l
根据安培环路定理： 线圈内：
B
0NI
2πr
B dl 0 N I
Amperian loop
则B
rR
处
I
作积分回路如图，
R
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B dl
沿该闭合回路的环流为：
L
L
B d l 2 rB
r
根据安培环路定理：
L
B dl 0 I
0 I
R
2
2
r
2
0I 2 R
B
得： B
0 I
2 R
r
r
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R
例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）处处均匀，大小为 j 。
E
电流均匀分布
B
2 0 r
0 I
2r
内
外 内 外
E 0
E
B 0
2 0 r
B
0 I
2r
E
2 0 R
2
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B
0 I
2 R
2
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2 0 r
B
0 I
2r
有磁介质时的 高斯定理和安培环路定理
高斯定理:
S
B dS 0
(不均匀)
线圈外：
［方向（与电流关系）？]
B dl 0
B 0
l
B
B
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2 r
r
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R1
R2
o
R1
R2
r
若 R1、 R 2 R 2 R1
n N 2 R1
则:
B μ 0 nI
当 2 R d （管截面直径）时，螺绕环内可视为均 匀场 。