经济数学基础讲义第7章多元函数微分学

第七章多元函数积分学一、考试要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示法；会建立简单应用问题中的函数关系；会求函数的定义域、值域及表达式.2.理解函数的儿种特性：有界性、单调性、奇偶性与周期性.3.理解复合函数、反函数、分段函数及隐函数的概念，会求一•些简单函数的反函数；能将初等函数分解为一些基本初等函数的复合.4.熟悉基木初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念.5.理解数列极限与函数极限（包括左右极限）的定义及它们的性质.6.掌握极限的四则运算，会丿IJ极限的复合运算法则求极限；掌握夹逼定理与单调有界定理，并会利用它们求极限.7.掌握两个重要极限及其应用.8.理解无穷小、无穷大的概念.，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限.9.理解函数连续性的概念（含左极限、右连续），会判断间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解区间上连续函数的性质定理（有界性、最人值和最小值定理、介值定理）并会应用这些性质.二、内容结构第七章多元函数积分学§7.1二重积分（甲）内容要点•、在直角坐标系屮化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题模型I：设有界闭区域D = {(x,y)\a <x<h, ^,(x) < y < ^2(x)} '其中(p、(x), © (兀)在S，甸上连续，/(x，A)在D上连续，则, h <Pi (x) Q兀,yW = y)clxdy = p/x \f(x,y)dyD D a (P\{x)模型II:设有•界闭区域其中叭(y),® (刃在［c,d］上连续，/(x,y)在D上连续…d ©(y)JJ7(x，y)dxdy = Jdy J f(x,y)dx则JJ7(x,y)dcr =D D c ©(y)关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II,把二重积分化为累次积分从而进行计算, 对于比较复杂的区域D如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模型II中关于D的要求，那么就需要把D分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II 屮关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和, 而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。

《数学分析》多元函数微分学数学分析是数学中的一个重要分支，它主要研究的是函数的变化规律。

在数学分析中，多元函数微分学是一个重要的内容，它研究的是多元函数在其中一点的微分性质。

本文将介绍多元函数微分学的基本概念和定理，以及一些相关的应用。

一、多元函数的定义在数学中，多元函数是指定义在多维空间中的函数。

通常情况下，多元函数可以用一个或多个自变量来描述，例如二元函数可以写成f(x,y)，三元函数可以写成f(x,y,z)等。

多元函数在数学分析中有着重要的应用，因此多元函数微分学也是数学分析的重要内容之一二、偏导数的定义在多元函数微分学中，偏导数是一个重要的概念。

偏导数表示函数在其中一个方向上的变化率，可以通过对函数的自变量进行偏微分来得到。

偏导数的定义如下：对于一个具有多个自变量的函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其在点(a₁,a₂, ..., an)处关于第i个自变量的偏导数定义为：∂f/∂xi = lim(h→0) [f(a₁, ..., ai+h, ..., an) - f(a₁, ...,ai, ..., an)] / h其中偏导数表示在变量xi方向上的变化率，可以通过对xi进行微小改变来计算函数f的变化量。

三、偏导数的性质偏导数具有一些性质，其中最重要的是混合偏导数的性质。

对于一个具有多个自变量的函数f，它的混合偏导数可以通过对其各个自变量的偏导数进行求导得到。

混合偏导数的性质如下：∂/∂x(∂f/∂y)=∂/∂y(∂f/∂x)这个性质表明对于一个函数f，其混合偏导数与求导的顺序无关，这为我们在实际应用中提供了便利。

四、多元函数的微分多元函数的微分是多元函数微分学中的一个重要内容。

对于一个具有多个自变量的函数f，其在其中一点处的微分可以表示为：df = ∂f/∂x₁dx₁ + ∂f/∂x₂dx₂ + ... + ∂f/∂xn dxn其中dx₁, dx₂, ..., dxn表示自变量的微小变化量。

第七章 多元函数微分学一、内容分析与教学建议（一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方 面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。

在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。

（二） 多元函数、极限、连续先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。

在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。

（三） 偏导数与全微分1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。

2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[]ρyy x z x y x z z y x y x ∆+∆-∆→∆→∆),(),(lim 0是否为0。

3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。

（四） 复合函数求偏导1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ϕ=，)(x v ϕ=从中让学生理解口诀的含义。

2、通过例题说明各种公式，具体方法及符号正确运用；3、通过教材中典型例题，细致讲解复合函数高阶偏导数的求法，这是个难点，并注意① 求导时，注意分析函数的各种关系；② 讲透符号1f '，12f ''等之涵义。

多元函数微分学导论多元函数微分学是微积分学中的一个重要分支，研究的对象是多元函数的微分、导数和微分方程等问题。

在实际问题中，往往需要研究多个变量之间的关系，而多元函数微分学正是为了解决这类问题而产生的。

本文将介绍多元函数微分学的基本概念、性质和应用，帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。

一、多元函数的定义与性质在多元函数微分学中，我们首先需要了解多元函数的定义。

多元函数是指自变量不止一个的函数，通常表示为$z=f(x,y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。

多元函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

对于多元函数，我们可以讨论其连续性、可微性和偏导数等性质。

多元函数在某点处连续，意味着函数在该点附近的取值变化不会很大；可微性则表示函数在该点处存在切平面，可以用线性逼近函数的变化；偏导数是多元函数对某一个自变量的导数，可以帮助我们研究函数在某个方向上的变化率。

二、多元函数的微分与导数在多元函数微分学中，微分和导数是两个重要的概念。

多元函数的微分是指函数在某一点附近的线性逼近，可以用微分形式表示为$dz=\frac{\partial z}{\partial x} d x+\frac{\partialz}{\partial y} d y$，其中$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$分别是函数$f(x,y)$对$x$和$y$的偏导数。

而多元函数的导数则是函数在某一点处的变化率，可以用梯度表示为$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$，表示函数在该点处沿着变化最快的方向。

梯度的方向即为函数在该点处的最大增加方向，梯度的模长即为函数在该点处的最大增加率。

三、多元函数的微分方程与应用多元函数微分学在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。

第4章 多元函数微分学4.2.1 二元函数的概念多元函数与一元函数类似，学习时应注意比较．一元函数是含有一个自变量的函数：)(x f y =。

多元函数是含有多个自变量的函数，例如： 二元函数：),(y x f z =，三元函数：),,(z y x f u =等等．例1 如果圆锥体底半径为r ,高为h ，则其体积v它是二元函数.其中，r 和h 是自变量，v 是因变量（函数）.定义域：{}0,0),(>>=h r h r D . 例2黑白电视：在t 时刻屏幕上坐标为),(y x 处的灰度z 为：),,(t y x z z =，它是三元函数. 例3在一个有火炉的房间里，在t 时刻，点),,(z y x 处的温度u 是t z y x ,,,的函数： ),,,(t z y x u u =，称为温度分布函数，它是四元函数．例4 求函数222y x a z --=的定义域．解：0222≥--y x a ，定义域为{}222),(a y x y x D ≤+= 例5 求yy x z )ln(+=的定义域． 解：由所给函数，对数真数为正，又分母根式为正，有⎩⎨⎧>+>00y x y {}0,0),(>+>=y x y y x D4.3 ——4.4偏导数二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处关于x 的偏导数xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000（注意到：y 取值不变，恒为0y ） 记作：),(00y x x z ∂∂或),(00y x f x '.类似地，关于y 的偏导数： y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 00000例如：y x z 3sin 2=y x y x f yz y 3cos 3),(2='=∂∂ 33cos 3)0,1()0,1(2)0,1(=='=∂∂y x f y z y求偏导数，包括两个偏导数，一个是对x 求偏导，一个是对y 求偏导.对x 求偏导时，应把y 看作常数.这样z 就变为了一元函数，于是就可以用一元函数的微分法求导数了.对y 求偏导也类似.注意：一元函数)(x f y =在0x 处可导，则在0x 处连续.多元函数),(y x f z =在),(00y x 可导和在),(00y x 连续，二者不能互推.全微分),(y x f z =称y y z x x z y y z x x z z d d d ∂∂+∂∂=∆∂∂+∆∂∂=为函数),(y x f z =在点),(y x 处的全微分.例1: 求y x y x f z 3sin ),(2==在点)0,1(处关于x 的偏导数.解： 将y 看作常数，y x xz 3sin 2=∂∂，03sin 2)0,1()0,1(==∂∂y x x z 例2: 求xy y x z +=2在点)1,1(-处的全微分. 解： 112)2()1,1(2)1,1(-=+-=-=∂∂--x y xy x z ，2)1()1,1(2)1,1(=+=∂∂--x x y z 因此，y x z d 2d d +-=4.5 复合函数与隐函数微分法复合函数求导法设),(v u f z =，而),(y x u u =，),(y x v v =，则xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂， y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂例1: )sin(e y x z xy +=.解法1：（利用复合求导公式）设xy u =，y x v +=，则v z u sin e =xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1)cos e ()sin e (⋅+⋅=v y v u u )cos(e )sin(e y x y x y xy xy +++= v z u sin e =，xy u =，y x v +=yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1)cos e ()sin e (⋅+⋅=v x v u u )cos(e )sin(e y x y x x xy xy +++= 解法2：（直接求）xy x y x x x z xyxy ∂+∂++∂∂=∂∂))(sin(e )sin()e ()cos(e )sin(e y x y x y xy xy +++= 同理，=∂∂yz )cos(e )sin(e y x y x x xy xy +++ 例2:),(y x xy f z +=，求yz x z ∂∂∂∂,． 解:设y x v xy u +==,,则),(v u f z =，x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1⋅'+⋅'=v u f y f v u f f y '+'= yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1⋅'+⋅'=v u f x f v u f f x '+'= 例3 ),(2xy x f z =，求解: 设2,xy v x u ==,则),(v u f z =，xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂21y f f v u ⋅'+⋅'= v u f y f '+'=2v f xy '=2例4 )sin ,3(2x x f z =，求dxdz ． 注意：f 是二元函数：),(v u f ， x v x u sin ,32==而z 是关于v u ,的二元函数，最终是关于x 的一元函数．xv v z x u u z x z d d d d d d ∂∂+∂∂=x f x f v u cos 6⋅'+⋅'= 例5 )(32y x f z =，求yz x z ∂∂∂∂,．注意：f 是一元函数，而z 是关于y x ,的二元函数．32),(y x u u f z ==，32xy f xu f x z ⋅'=∂∂⋅'=∂∂，223y x f y u f y z ⋅'=∂∂⋅'=∂∂ 例6 方程)0(0),(222≥=-+=y a y x y x F 其图形为上半圆周，相应的函数为22)(x a x y y -==。

第七章 多元函数的微分法前五章我们介绍了一元函数的极限,连续,导数和微分等基本概念.现在我们将把这些基本概念推广到依赖多个自变量的函数,即多元函数.本章主要讨论含两个自变量的函数即二元函数的情况.§7.1 多元函数的基本概念一、二元函数及其图形在自然现象中常遇到依赖于两个变量的函数关系，举例如下：例1 任意三角形的面积S 与底x 高y 有下列关系: S=)0,0(21>>y x xy底与高可以独立取值，是两个独立的变量(称为自变量)。

在它们的变化范围内，当的值取定后，三角形的面积就有一个确定的值与之对应。

例2 从物理学中知道，理想气体的体积V 与绝对温度T 、压强P 之间有下列关系: ),0,0(是常数R P T P RTV >>=T ,P 可以独立取值，是两个独立的变量，在它们的变化范围内，当T ,P 的值取定后，体积V 就有一个确定的值与之对应。

以上两个例子的具体意义虽然不同，但却具有一个共同的特征，抽去它们的共性，就得到二元函数的定义如下：定义1 设有三个变量x 、y 、z ，若对于变量x 、y 在各自变化范围内独立取定的每一组值，变量z 按照一定的规律，总有一个确定的值与之对应，则z 称为x 、y 的二元函数，记作z ＝f （x ，y ）。

称x 、y 为自变量，z 为因变量。

自变量的变化范围称为函数的定义域。

当自变量x 、y 分别取值x 0、y 0时，因变量z 的对应值z 0称为函数z ＝f （x ，y ）的当x =x 0， y =y 0时的函数值，记作z 0= f （x 0、y 0）。

类似地，可以定义三元函数以及三元以上的函数。

二元以及二元以上的函数都称为多元函数。

注意:二元函数的定义域通常是由一条或几条曲线所围成的平面区域，围成区域的曲线叫做该区域的边界。

不包括边界的区域叫做开区域，连同边界在内的区域叫做闭区域。

如果区域可延伸到无限远，称这区域是无界的。