函数选填压轴题（含一次函数、二次函数、反比例函数等综合问题）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略 【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）一次函数、二次函数、反比例函数在中考选择题、填空题考场中是热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分.1．从考点频率看，一次函数、二次函数、反比例函数图象和性质是高频考点、必考点，所以必须提高对函数图象和性质理解和掌握的能力.2．从题型角度看，以选择题、填空题最后一题为主，分值3分左右，着实不少！易错点一 反比例函数求K 值未考虑图象所在的象限【例1】（2024·湖南长沙·三模）如图，点M 是反比例函数(0)ky x x=<图像上的一点，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，点P 在y 轴上．若MNP △的面积是3，则k = ．【答案】6−【分析】本题考查反比例函数k 值的几何意义，连接OM ，根据平行线间的距离处处相等，得到2MONMPNkSS==，结合双曲线过第二象限，求出k 值即可．【详解】解：连接OM ，∵MN x ⊥， ∴MN OP ∥， ∴3MONMPNSS==，∵点M 是反比例函数(0)ky x x =<图像上的一点，∴32k =， ∴6k =，∵双曲线过第二象限， ∴6k =−； 故答案为：6−．【例2】 （2024·安徽合肥·一模）如图，已知反比例函数ky x=（0k ＜）的图象经过Rt OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若AOC 的面积为9，则k 的值为 ．【答案】6−【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质，设2,2AB a OB b ==，则()2,2A b a −，()2,C b m −，结合图象经过Rt OAB 斜边OA 的中点D ，得到(),D b a −，根据点D ，点C 都在ky x =图象上，得到2k bm ba =−=−，得到2a m =，继而得到13222AC AB CB a a a =−=−=，结合AOC 的面积为9，得到132922a b ⨯⨯=，计算得6ab =，解答即可．【详解】设2,2AB a OB b ==，则()2,2A b a −，()2,C b m −，∵图象经过Rt OAB 斜边OA 的中点D ， ∴(),D b a −，∵点D ，点C 都在ky x =图象上，∴2k bm ba =−=−， ∴2a m =，∴13222AC AB CB a a a=−=−=， ∵AOC 的面积为9， ∴132922a b ⨯⨯=，∴6ab =， ∴6k ba =−=−． 故答案为：6−．【例3】 （2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，Rt ABC △的边AC x ∥轴，90,BAC BC ∠=︒的延长线过原点O ，且2BC OC =，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A ，若Rt ABC △的面积是2，则k 的值为 ．【答案】3【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．延长BA 交x 轴于点D ，证明BAC BDO ∽△△，求得相似比为23，利用相似比求得Rt DBO △的面积，利用等高的两个三角形求得Rt DAO △的面积，再利用比例系数k 的几何意义求解即可．【详解】解：延长BA 交x 轴于点D ，连接OA ，∵AC 平行于x 轴，90BAC ∠=︒， ∴BD x ⊥轴，∴BAC BDO ∽△△， ∵2BC OC =， ∴23BC BA BO BD ==， ∵Rt ABC △的面积是2，∴Rt DBO △的面积是229232⎛⎫÷= ⎪⎝⎭，Rt DAO △的面积是193322⨯=， ∴3232k =⨯=，故答案为：3．易错点二 一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题【例1】 （2024·安徽合肥·一模）已知反比例函数ky x=的图象与一次函数y x b =−+的图象如图所示，则函数2y x bx k =++的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，先根据一次函数、反比例函数的图象得到k b 、的符号，进而由k b 、判断出抛物线与y 轴的交点位置、对称轴位置，又结合10a =>可知抛物线开口向上，据此即可求解，掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由反比例函数的图象可得，0k >，由一次函数图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上可得，0b >， ∵0k >，∴二次函数与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， ∵抛物线的对称轴b x 02=−<，∴抛物线的对称轴位于y 轴的左侧， 又∵10a =>， ∴抛物线开口向上， 故选：A ．【例2】 （2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过(0,6)A 的一次函数1y 的图象与经过(0,2)B 的一次函数2y 的图象相交于点C ．若点C 的纵坐标为3，则函数12y y y =⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题主要考查了函数图象判别，求一次函数解析式，解题的关键是设点()(),30C c c <，一次函数1y 的解析式为116y k x =+，一次函数2y 的解析式为222y k x =+，求出136y x c =−+，212y x c =+，然后再求出2122312y y x c =−+，最后进行判断即可．【详解】解：设点()(),30C c c <，一次函数1y 的解析式为116y k x =+，一次函数2y 的解析式为222y k x =+，把(),3C c 分别代入两个函数解析式得： 136ck =+，232ck =+，解得：13k c =−，21k c =，∴136y x c =−+，212y x c =+，∴21223136212y y x x x c c c ⎛⎫⎛⎫=−++=−+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∵230c −<， ∴2122312y y x c =−+的图象为开口向下，顶点为()0,12的抛物线， 所以C 选项符合题意． 故选：C ．【例3】 （2024·安徽芜湖·一模）已知反比例函数()0ky k x=≠在第二象限内的图像与一次函数y ax b =+的图像如图所示，则函数21y ax bx k =−−+的图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，依据题意，由一次函数y ax b =+的图象经过第一、二、三象限，且与y 轴交于正半轴，则00a b ，，反比例函数()0ky k x =≠的图象经过第二、四象限，则0k <，从而函数21y ax bx k =−−+的图象开口向下，对称轴为直线0102bx k a −=−−+，，从而排除A 、D ，C ，故可得解．【详解】解：∵一次函数y ax b =+的图象经过第一、二、三象限，且与y 轴交于正半轴，则00a b ，，反比例函数()0ky k x =≠的图象经过第二、四象限，则0k <，∴函数21y ax bx k =−−+的图象开口向下，对称轴为直线01022b b x k a a −=−=−+，．∴综上，可得B 正确． 故选：B ．易错点三 根据二次函数的图象讨论各系数a ,b ,c 有关式子正误【例1】 （2024·四川达州·模拟预测）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，其对称轴为直线12x =−，且经过点(2,0)−，下列结论：①0abc <； ②0a b −=； ③点11(,)x y 和22(,)x y 在抛物线上，当1212x x >≥−时，12y y >；④不等式20ax bx c ++≥的解集是2x ≤−或32x ≥；⑤一元二次方程20cx bx a ++=的两根分别为112x =−，21x =．其中错误的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线对称轴为直线2bx a =−可判断①，由抛物线与x 轴的交点个数可判断②，由抛物线开口方向，对称轴及抛物线与y 轴交点位置可判断③，由抛物线经过(2,0)及抛物线的对称性可判断④，由根与系数关系可判断⑤．【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，0a ∴>，抛物线对称轴为直线122b x a =-=-，0a b ∴=>，0a b ∴−=，故②正确；抛物线和y 轴交点在负半轴，0c ∴<， <0abc ∴，∴①正确；当1212x x >≥−时，两点都在对称石侧．图象部分．y 随x 增大而增大，12y y ∴>，∴③正确；不等式20ax bx c ++≥，抛物线在x 轴上方时，x 取值范围，而抛物线和x 轴交点为(2,0)−和(1,0)，∴解集是2x ≤−或1x ≥； ∴④错误．20ax bx c ++=的两个根11x =，22x =−，∴121ba −=−=−，()122ac =⨯−=−，0a b c ++= 12b c ∴−=，2ac =−，20cx bx a ∴++=的两个根1x =，2x =，∴⑤错误．故选：B ．【例2】 （2024·湖南永州·一模）如图，抛物线2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于()2,0A −、()6,0B 两点，与y 轴相交于点C ，以下结论：①240b ac −>；②0abc >；③当0y >时，26x −<<；④0a b c ++<．正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】本题考查二次函数的开口，对称轴，与x 轴交点个数，自变量取值范围等知识．可借用数形结合的方法．【详解】①：图象与x 轴有两个交点∴240b ac −>∴①正确；②：图象开口向上0a ∴>对称轴b x 02a =−>0b ∴<图象与y 轴的交点在y 轴负半轴0c ∴< 0abc ∴>∴②正确；③：由图象可知，当0y <时，26x −<< ∴③不正确；④：由图象知，当1x =时，0y a b c =++< ∴④正确．故选：B ．【例3】 （2024·陕西榆林·一模）在平面直角坐标系中，二次函数2(y ax bx c a b c =++、、为常数，且0)a ≠的图象如图所示，其对称轴为直线2x =，有以下结论：①0,0a b >>；②16430a b c ++>；③240ac b −<；④a 2b c 0−+> ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解答关键是根据抛物线的位置确定待定字母的取值范围．根据二次函数的图象的位置，确定a 、b 、c 的符号，通过对称轴，与x 轴交点的位置确定各个选项的正确与错误即可．【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴0a >，∵对称轴在y 轴的右侧， ∴a 、b 异号，∴0b <，故①错误， ∵对称轴为对称轴为直线22b x a ==−，，∴4b a =−，∵抛物线与y 轴交于正半轴， ∴0c >，∴16431616330a b c a a c c ++=−+=>， 故②正确；∵抛物线与x 轴交于两点，∴20ax bx c ++=有两个不相等的实数根， ∴240b ac −>， ∴240ac b −<，故③正确； ∵4b a =−，∴289a b c a a c a c −+=++=+ ∵0a >，0c >， ∴90a c +>， ∴a 2b c 0−+>， 故④正确；所以正确的个数有3个， 故答案为：C【例4】 （2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线=1x −，部分图象如图所示，给出下面4个结论：①24b ac >；②1230a b c −>；③82a c b +>；④若点()10.5,y −，()22,y −在抛物线()20y ax bx c a =++≠上，则12y y <．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据二次函数与一元二次方程的关系，即可判断①结论；根据二次函数系数与图象的关系，即可判断②结论；由抛物线图象可知，当1x =时，0y =，即可判断③结论；根据二次函数的增减性，即可判断④结论． 【详解】解：由图象可知，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点，240b ac ∴−>，24b ac ∴>，①结论正确；抛物线开口向上，对称轴为直线=1x −，且与y 轴交点在负半轴， 0a ∴>，12ba −=−，0c <，20b a ∴=>，110a a −∴=>，20b >，30<c ，1230a b c −∴<，②结论错误；由函数图象可知，当1x =时，0y a b c =++=，3c a b a ∴=−−=−，828340a c b a a a a ∴+−=−−=>，82a c b ∴+>，③结论正确；∴抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线=1x −，∴点()10.5,y −离对称轴近，点()22,y −离对称轴远，12y y ∴<，④结论正确，∴正确的结论有3个，故选：C ．题型一 反比例函数与特殊四边形【例1】（2024·山西大同·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的两边OA OC 、分别在x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数k y x=的图象与AB 相交于点M ，与BC 相交于点N ，若点B 的坐标为()4,2,MON 的面积是154，则k 的值为 ．【答案】2【分析】本题主要考查了反比例函数的k 的值，求出点M 的坐标为44k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点N 的坐标为,22k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据154MONOCNOAMBMNOABC SS SSS=−−−=矩形进行计算即可．【详解】解：四边形OABC 是矩形，AB OC ∴=，OA BC =，∵B 点的坐标为()4,2,∴2,4AB OC BC AO ====，则点M 的坐标为44k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点N 的坐标为,22k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴MON OCN OAM BMNOABC SS SSS=−−−矩形11115842222244k k k k ⎛⎫⎛⎫=−−−−⨯−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得，2k = 故答案为：2．1．（2024·安徽合肥·一模）如图，菱形ABCD 的顶点B 在y 轴的正半轴上，C 在x 轴的正半轴上，A ，D 在第一象限，BD x ∥轴，反比例函数()0ky k x=≠的图象经过面积为2的菱形ABCD 的中心E ，交AB 于点F ．（1）k 的值为 ． （2）BFAB的值为 ．【答案】 1【分析】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质． （1）由菱形的性质，得到BEC 的面积是12，而矩形BOCE 的面积是1，即可得到k 的值；（2）设点E 的坐标为1a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，分别求得点A ，B 的坐标，再利用待定系数法求得直线AB 的解析式，联立求得点F 【详解】解：（1）四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BE DE =，AE CE =，BEC ∴的面积14=⨯菱形ABCD 的面积11242=⨯=，∵BE OC ∥，BO OC ⊥， ∴四边形BOCE 是矩形， ∴矩形BOCE 的面积12212BEC =⨯=⨯=的面积，k ∴的值是1．故答案为：1；（2）由（1）得反比例函数的解析式为1y x =，设点E 的坐标为1a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，直线AB 的解析式为y mx n =+，则设点B 的坐标为10a ⎛⎫⎪⎝⎭，，设点A 的坐标为2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴21am n a n a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得211m a n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AB 的解析式为211y x a a=+， 联立2111y x a a y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得x =（负值已舍），∴2B ABFa ==，2．（2024·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数44y x =−+的图像分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点．正方形ABCD 的顶点C ，D 在第一象限，且顶点D 在反比例函数()0ky k x=≠的图像上．（1）AOB 的面积为 ；（2）若正方形ABCD 向左平移n 个单位长度后，顶点C 恰好落在反比例函数的图像上，则k n += ． 【答案】 2 8【分析】（1）首先求得点AB 、的坐标，可得1OA =，4OB =，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）过点C 作CE y ⊥轴于点E ，交反比例函数图像于点F ，过点D 作DG x ⊥轴于点G ，证明OAB EBC △≌△，≌OAB GDA △△，进而确定点C D F 、、的坐标，然后求得k n 、的值，即可获得答案．【详解】解：（1）对于一次函数44y x =−+， 令0y =，则有440x −+=，解得1x =，即(1,0)A ， 令0x =，则4y =，即(0,4)B ， ∴1OA =，4OB =， ∴1211422AOBSOA OB ⋅=⨯⨯==；（2）如图，过点C 作CE y ⊥轴于点E ，交反比例函数图像于点F ，过点D 作DG x ⊥轴于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB BC CD DA ===，90ABC DAB ∠=∠=︒， ∴90CBE ABO ∠+∠=︒， ∵CE y ⊥轴，OA OB ⊥， ∴90ABO BAO ∠+∠=︒， ∴CBE BAO ∠=∠，在OAB 和EBC 中，90CEB BOA CBE BAO BC AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(AAS)OAB EBC ≌， ∴1BE OA ==，4CE OB ==， ∴415OE OB BE =+=+=，即(4,5)C ， 同理可得(AAS)OAB GDA ≌， ∴4AG OB ==，1DG OA ==， ∴5OG OA AG =+=，即(5,1)D ， 将点(5,1)D 代入反比例函数()0ky k x =≠，可得15k=，解得5k =，即该反比例函数解析式为5y x =，∵CE y ⊥轴， ∴点F 的纵坐标为5，∴点F 的横坐标为1，即(1,5)F ，∵将正方形ABCD 向左平移n 个单位长度后，顶点C 恰好落在反比例函数的图像上，即此时点C F 、重合，∴点C 移动了413−=个单位长度，即3n =， ∴538k n +=+=． 故答案为：（1）2；（2）8．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、反比例函数的应用、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题关键．题型二 一次函数与反比例函数【例1】（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =+与双曲线4y x=交于点A 、点B ，将直线AB 向下平移b 个单位后双曲线交于点C 、点D ，M 是第二象限内一点，连接MA 、MB ，若以M 为位似中心的MCD △与MAB △位似，位似比为32，则b 的值为 ．【答案】9【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理．由题意可得AB =，设直线DE 的解析式为2y x m =+，点()11,2C x x m +，()22,2D x x m +，根据两点间距离公式求得=92，进而得到()212128144x x x x +−=，由点C D ，恰好都落在反比例函数图象上得到42x m x +=，即2240x mx +−=，由根和系数的关系得()2814224b ⎛⎫−−⨯−= ⎪⎝⎭，求出m 的值，据此即可求解．【详解】解：联立224y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得22x y =−⎧⎨=−⎩或14x y =⎧⎨=⎩， ∴点()2,2B−−，()1,4A ，∴AB ==∵MCD △与MAB △位似，相似比为32， ∴32CD AB =，∴CD =，∵将直线AB 向下平移b 个单位， ∴设直线CD 的解析式为2y x m =+，点()11,2C x x m +，()22,2D x x m +，=92=，∴()212128144x x x x +−=，∵点C D ，恰好都落在反比例函数图象上， ∴CD 与反比例函数的交点方程为42x m x +=，即2240x mx +−=，由根与系数的关系得，()2814224b ⎛⎫−−⨯−=⎪⎝⎭， 解得7m =−或7(不合，舍去)， 令0x =，则2022y =⨯+=，∴直线22y x =+和2y x m =+与y 的交点分别为()02，和()07−，，∴()279b =−−=，故答案为：9．【例2】（2024·安徽池州·一模）如图，已知直线3:34l y x =−+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ．请解决下列问题：（1）线段AB 的长为 ；（2）若菱形BCDE 的边BC x ∥轴，另一边BE 在直线l 上，且点B 是AE 的中点，点D 在反比例函数()00ky k x x=≠<，的图象上，则k = ．【答案】 5 54−【分析】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，菱形的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）分别求出直线3:34l y x =−+y 轴交于点()0,3B ，与x 轴交于点()4,0A ，从而得出4OA =，3OB =，再由勾股定理计算即可得出答案；（2）延长DE 交y 轴于点F ，由菱形的性质得出5BC CD DE EB ====，证明()AAS BEF BAO ≌，即可得出点D 的坐标，代入反比例函数解析式即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意，得当0x =时，3y =， ∴直线3:34l y x =−+与y 轴交于点()0,3B ．当0y =时，4x =，∴直线3:34l y x =−+与x 轴交于点()4,0A ，4∴=OA ，3OB =．在Rt AOB △中，5AB ==， 故答案为：5；（2）如图，延长DE 交y 轴于点F ．，点B 是AE 的中点，5AB BE ∴==．四边形BCDE 是菱形，5BC CD DE EB ∴====．DE x ∥轴，90EFB AOB ∴∠=∠=︒，EBF ABO ∠=∠，()AAS BEF BAO ∴≌，4EF OA ∴==，3BF OB ==，9DF DE EF ∴=+=，336OF =+=，()9,6D ∴−．点()9,6D −在反比例函数()0ky k x =≠的图象上，9654k ∴=−⨯=−，故答案为：54−．1．（2024·新疆·一模）已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与双曲线my x=相交于点C ，D ，且点D 的坐标为()1,6．如图，当点A 落在x 轴负半轴时，过点C 作x 轴的垂线垂足为E ，过点D 作y 轴的垂线，垂足为F ，连接EF ．当2CDAB=时，则点C 的坐标为 ．【答案】()3,2−−【分析】先证明EFC 的面积和EFD △的面积相等； 证明四边形DFEA 与四边形FBCE 都是平行四边形，故可得出CE BF =，FDB EAC ∠=∠，再由全等三角形的判定定理得出DFB AEC ≌，故AC BD =，设2CD k =，AB k =，12DB AC k ==， 可得12DB AB =，再证明DFB AOB ∽△△，可算出2OA =，4OB =，进一步可得答案．【详解】解：如图，连接CF ，ED ，CO ，∵y kx b =+于my x =相交于点C ，D ，且点D 的坐标为()1,6．∴6m =，即反比例为6y x =，设(),C a b ，则6ab =，∵1632EFCEOCS S ==⨯=，而11632EFDS=⨯⨯=，∴EFCEFDSS=；∵两三角形同底， ∴两三角形的高相同， ∴EF CD ∥，∵DF AE ∥，BF CE ∥，∴四边形DFEA 与四边形FBCE 都是平行四边形， FDB BAO ∠=∠， ∴CE BF =， ∵BAO EAC ∠=∠， ∴FDB EAC ∠=∠， ∵90BFD CEA ∠=∠=︒，∴DFB AEC ≌， ∴AC BD =， ∵2CDAB =，设2CD k =，AB k =，12DB AC k ==，∴12DB AB =， ∵DF AO ∥， ∴DFB AOB ∽△△， ∴12DF DB BF AO AB BO ===， ∵1DF =， ∴2OA =， ∵6OF =， ∴4OB =， ∴()2,0A −，()0,4B ，∴直线AB 的解析式为24y x =+，联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得246y x y x ⎧⎪⎨⎪=+⎩= ，解得：32x y =−⎧⎨=−⎩， 16x y ⎧⎨⎩== ， ∴()3,2C −−．故答案为：()3,2−−【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及待定系数法求函数解析式，同底等高的三角形的面积、相似三角形的性质，题目综合性较强．题型三 几何图形中动点之函数问题【例1】（2024·河南信阳·一模）如图1，已知ABCD Y 的边长AB为30B ∠=︒，AE BC ⊥于点E ．现将ABE 沿BC 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，运动的ABE 与ABCD Y 重叠部分的面积S与运动时间t 的函数图象如图2，则当t 为9时，S 的值是（ ）A B ．C D ．【答案】C【分析】本题考查的是动点函数图象问题、平行四边形的性质、勾股定理及含30度角的性质，熟练掌握以上知识点，弄清楚不同时段，图象和图形的对应关系，是解题的关键．根据题意得出AE =6BE =，结合函数图象确定12BC =，当运动时间6t >时，为二次函数，且在6t =时达到最大值，对称轴为6t =，二次函数与坐标轴的另一个交点为()0,0，然后确定二次函数解析式，代入求解即可．【详解】解：∵AB 为30B ∠=︒，AE BC ⊥于点E ．∴AE =∴6BE ==，由运动的ABE 与ABCD Y 重叠部分的面积S 与运动时间t 的函数图象得： 当运动到6时，重叠部分的面积一直不变， ∴6CE =， ∴12BC =，由函数图象得：当运动时间6t >时，为二次函数，且在6t =时达到最大值，对称轴为直线6t =， ∴二次函数与坐标轴的另一个交点为()0,0，设二次函数的解析式为()12(6)S at t t =−>，将点(代入得：a =，∴()12(6)S t t =−>，当t 为9时，S =．故选：C ．【例2】（2024·河南濮阳·一模）如图1，在矩形ABCD 中，2,BC AB M =为AD 的中点，N 是线段BD 上的一动点．设,DN x MN AN y =+=，图2是y 关于x 的函数图象，其中Q 是图象上的最低点，则a 的值为（ ）A ．7B ．8CD 【答案】D【分析】由图象右端点的横坐标为BD =5AB =，10AD =，5AM MD ==，作点M 关于BD 的对称点E ，连接AE 交BD 于N ，连接ME 交BD 于O ，连接DE ，得y AN MN AE =+=，根据两点之间，线段最短，得到此时y 最小，最小值为AE 的长度，通过证明MOD BAD ∽，求出OM =2ME OM ==E 作EF AD ⊥于F ，利用勾股定理求出2MF =，4EF =，7AF AM MF =+=，从而求得AE 的长度，即可求解．【详解】解：∵图象右端点的横坐标为 ∴BD =∵矩形ABCD 中， ∴90BAD ∠=︒，AD BC =∴222AB AD BD +=∵2BC AB = ∴()(2222AB AB +=∴5AB = ∴10AD =∵M 为AD 的中点， ∴5AM MD ==作点M 关于BD 的对称点E ，连接AE 交BD 于N ，连接ME 交BD 于O ，连接DE ，如图，∴MN NE =，5DE DM ==， ∴y AN MN AE =+=，根据两点之间，线段最短，得此时y 最小， ∵点M 关于BD 的对称点E ， ∴BD 垂直平分ME ，∵MDO ADB ∠=∠，90BAD MOD ∠=∠=︒， ∴MOD BAD ∽，∴OM MD AB BD =，即5OM =∴OM∴2ME OM == 过点E 作EF AD ⊥于F ，由勾股定理，得22222ME MF EF DE DF −==−，∵DF DM MF =−，∴(()222255MF MF −=−−，解得：2MF =，∴4EF =，527AF AM MF =+=+=，∴AE∵Q 是图象上的最低点， ∴a 是y 的最小值，∴a 故选：D ．【点睛】本题考查几何动点函数图象问题，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握利用轴对称求最短距离问题是解题的关键．1．（2024·河南周口·一模）如图1，矩形ABCD 中，点E 为AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿折线AD DC −匀速运动，到达点C 时停止运动，连接AP 、PE ，设AP 为x ，PE 为y ，且y 关于x 的函数图象如图2所示，则AP 的最大值为（ ）AB ．5C D ．【答案】B【分析】本题考查动点问题与函数图象，矩形的性质，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键．在函数图象中找到当0x =时，2y =，得出2y PE AE ===，进而得到4AB =，再利用图象的拐点得出3AD =，由图象知P 到达C 时得最长，由勾股定理即可求出其值．【详解】解：由图知，当0x =时，2y =，即当P 在A 点时2y PE AE ===， 点E 为AB 的中点，， ∴24AB AE ==，当P 在AD 上运动时，PE 慢慢增大，P 到D 点时，从图中的拐点可知，此时y PE DE ===∴3AD =，当P 在DC 上运动时，PE 先减小再增大，直到P 到达C 点时，此时AP AC =4DC AB ==，∴5AP =，故选：B ．2．（2024·安徽合肥·一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =．AB 与矩形DEFG 的一边EF 都在直线l 上，其中4AB =、1DE =、3EF =，且点B 位于点E 处．将ABC 沿直线，向右平移，直到点A 与点E 重合为止．记点B 平移的距离为x ，ABC 与矩形DEFG 重叠区域面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先根据CB 经过点D 和CA 经过点D 时计算出1x =和3x =，再分01x ≤≤，13x <≤和34x <≤三种情况讨论，画出图形，利用面积公式解答即可． 【详解】解：当BC 经过点D 时，如图所示：ABC 为等腰直角三角形， 45DBE ∴∠=︒，1DE =，90DEB ∠=︒，11tan 451DE EB ∴===︒；当AC 经过点D 时，如图所示：45A ∠=︒，1DE =，1AE ∴=，413EB AB AE ∴=−=−=；①当01x ≤≤时，如图所示：此时EB x =，45HBE ∠=︒，tan 45HE EB x ∴=︒⋅=，2111222y EB HE x x x ∴=⋅=⋅=；②当13x <≤时，如图所示：过M 作MN AB ⊥于N ， 此时，1MN =，45MBN ∠=︒，1BN ∴=，EB x =，1EN EB NB x ∴=−=−，四边形DENM 是矩形，1DM EN x ∴==−，111()(1)1222y DM EB DE x x x ∴=+⋅=−+⨯=−；③当34x <≤时，如图所示：此时1IR =，45IBR ∠=︒ 1BR ∴=，EB x =，1ER DI x ∴==−，4AE AB EB x =−=−，45B ∠=︒，tan454TE AE x ∴=⋅︒=−，1DE =，1(4)3DT DE TE x x ∴=−=−−=−， DG AB ∥，45DKT ∴∠=︒，33tan 451DT x DK x −∴===−︒，()22ΔΔ1111111(3)45222IRB DTK DERI y S S S x x x x ∴=+−=⨯−+⨯⨯−⨯−=−+−四边形．故选：D ． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解三角形等知识，关键是画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行运算．3．（2024·河南平顶山·一模）如图1，在ABC 中，60ABC ∠=︒．动点P 从点A 出发沿折线A →B →C 匀速运动至点C 后停止．设点P 的运动路程为x ，线段AP 的长度为y ，图2是y 随x 变化的关系图像，其中M 为曲线DE 的最低点，则ABC 的面积为（ ）A ．BC ．D 【答案】C【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短．作AD BC ⊥，当动点P 运动到点D 时，线段AP 的长度最短，此时AB BD +P 运动到点C 时，运动结束，此时3AC =，根据直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：作AD BC ⊥，垂足为D ，当动点P 运动到点D 时，线段AP 的长度最短，此时点P 运动的路程为AB BD +=当动点P 运动到点C 时，运动结束，线段AP 的长度就是AC 的长度，此时AC =，∵60ABC ∠=︒， ∴30BAD ∠=︒，∴2AB BD =，∴3AB BD BD +==∴BD =，AB =，∴2AD ==，在Rt △ABD 中，AC =，∴CD =，∴BC BD CD =+=∴ABC 的面积为11222BC AD ⨯=⨯=故选：C ．题型四 二次函数与其他函数综合问题【例1】（2024·安徽宿州·一模）如图，已知抛物线242y ax ax =−+−（a 是常数且0a >）和线段MN ，点M 和点N 的坐标分别为()()0,4,5,4．（1）抛物线的对称轴为直线x = ；（2）当1a =时，将抛物线向上平移()0k k >个单位长度后与线段MN 仅有一个交点，则k 的取值范围是 ． 【答案】 2 2k =或611k <≤【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，利用数形结合的数学思想作出图形，根据图形进行求解是解决问题的关键．（1）由题意可知抛物线的对称轴为直线()422ax a =−=⨯−，即可求解；（2）由题意可知，当1a =时，将抛物线向上平移()0k k >个单位长度后抛物线为()224222y x x x k=−+−=−−++，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段MN 上，当抛物线经过点()5,4N 时，求出对应k 的值，结合图形即可求解．【详解】解：（1）∵242y ax ax =−+−，∴抛物线的对称轴为直线()422ax a =−=⨯−，故答案为：2； （2）当1a =时，()224222y x x x =−+−=−−+，将抛物线向上平移()0k k >个单位长度后抛物线为()222y x k=−−++，当抛物线顶点恰好平移到线段MN 上，此时，24k +=，可得2k =； 当抛物线经过点()0,4M 时，此时()20224k −−++=，可得6k =，此时()0,4M 关于对称轴2x =对称的点()4,4M '，在线段MN 上，不符合题意；当抛物线经过点()5,4N 时，此时()25224k −−++=，可得11k =，此时()5,4N 关于对称轴2x =对称的点()1,4N '−，不在线段MN 上，符合题意；结合图形可知，平移后的抛物线与线段MN 仅有一个交点时，2k =或611k <≤； 故答案为：2k =或611k <≤．1．（2024·安徽合肥·一模）我们定义：如果一个函数图象上存在纵坐标是横坐标6倍的点，则把该函数称为“行知函数”，该点称为“行知点”，例如：“行知函数”20y x =+，其“行知点”为()424，． （1）直接写出函数24y x=图象上的“行知点”是 ； （2）若二次函数()()21332y a x a x a =−+++的图象上只有一个“行知点”，则a 的值为 ． 【答案】 ()212，或()212−−， 3−【分析】本题考查二次函数的综合应用，理解新定义，将新定义与所学二次函数，一元二次方程的知识相结合，熟练掌握跟与系数关系是解题关键．（1）根据题目所给“行知点”的定义，列出方程求解即可；（2）根据题目所给“行知点”的定义，列出方程，根据只有一个“行知点”得出该方程只有一个实数根，再根据一元二次方程根的判别式，即可解答．【详解】解：（1）根据题意可得：246x x =，整理得：24x =， 解得：122,2x x ==−，经检验，122,2x x ==−是原分式方程的解；∴函数24y x =图象上的“行知点”是)212，或()212−−，； 故答案为：()212，或()212−−，．（2）∵二次函数()()21332y a x a x a =−+++的图象上只有一个“行知点”， ∴方程()()216332x a x a x a =−+++有两个相等的实数根，且30a −≠，整理得：()()213302a x a x a −+−+=，∴()()2134302a a a −−⨯⨯−=，解得：123,3x x ==−， 综上：a 的值为3−．故答案为：3−．2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线234y x x =−−与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D 在抛物线上，且与点C 关于抛物线对称轴对称，则点D 坐标为 ，连接OD ，DB ，点P 在抛物线第四象限内不与B ，C 两点重合．过点P 作y 轴的垂线与线段BC 交于点E ，以PE 为边作Rt PEF △，使90PEF ∠=︒，点F 在点E 的下方，且274EF =，点F 恰好落在射线BD 上，再将PEF !绕点E 旋转得到P EF ''△ （点P 的对应点为点P '，点F 的对应点为点F '），当P E '与OD 垂直时，点P '的横坐标为 ．【答案】()3,4− 6320或720 【分析】（1）由234y x x =−−得(0,4)C −，对称轴为直线32x =，由D 与C 关于对称轴对称，得(3,4)D −．（2）延长EP '交x 轴于R ，延长FE 交x 轴于N ，过D 作DM x ⊥轴，过P '作P K x '⊥轴．先求直线BC 解析式为4y x =−，再求直线BD 解析式为416y x =−．设(,4)E t t −，(,416)F t t −，由274EF =计算得7(4E ，9)4−，7(4F ，9)．证明OMD ENR △∽△，得3RN =，154ER =．由平行相似得EP NK ER NR '=，75NK =，再计算即可．【详解】解：（1）由234y x x =−−得(0,4)C −，(4,0)B ，∴对称轴为直线32x =， D 与C 关于对称轴对称，(3,4)D ∴−，故答案为：()3,4−．（2）延长EP '交x 轴于R ，延长FE 交x 轴于N ，过D 作DM x ⊥轴，过P '作P K x '⊥轴．如图：设直线BC 解析式为y mx n =+，∴404m n n +=⎧⎨=−⎩，1m ∴=，n =−4，4y x ∴=−，设直线BD 解析式为y ax b =+，∴4034a b a b +=⎧⎨+=−⎩，4a ∴=，16b =−，416y x ∴=−． E 在直线BC 上，∴设(,4)E t t −，(,416)F t t ∴−，27(4)(416)1234EF t t t ∴=−−−=−=， 74t ∴=． 7(4E ∴，9)4−，7(4F ，9)−．29344x x −−=−， 71(22x x ∴==−不在第四象限，舍去）．7(2P ∴，4)−．设直线OD 解析式为y hx =，(3,4)D −，43h ∴−=，43h ∴=−，43y x ∴=−． 94EN ∴=，4DM =，3OM =，EP OD '⊥，90MOD NRE ∴∠+∠=︒，90MOD MDO ∠+∠=︒，NRE MDO ∴∠=∠，90ENR DMO ∠=∠=︒，OMD ENR ∴△∽△， ∴EN RN ER OM DM OD ==， ∴94345RN ER==， 3RN ∴=，154ER =．P K EN '∥， ∴EP NK ER NR '=，75NK ∴=， 7(4N ，0)，77(45K ∴−，0)或77(45+，0)，7(20K ∴，0)或63(20，0)， P '∴的横坐标为：720或6320．故答案为：(3,4)−，720或6320．【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等等，掌握抛物线解析式的求法，以及相似的运用，是解题关键．。
