九年级数学选择、填空压轴题训练(含答案)

九年级数学综合训练一、选择题（本大题共9 小题，共27.0 分）1.如图，在平面直角坐标系中2 条直线为l1：y=-3x+3，l2：y=-3x+9，直线l1交x 轴于点A，交y 轴于点B，直线l2交x 轴于点D，过点B 作x 轴的平行线交l2于点C，点A、E 关于y 轴对称，抛物线y=ax2+bx+c 过E、B、C 三点，下列判断中：①a-b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1 对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S 四边形ABCD=5，其中正确的个数有（）A. 5B. 4C. 3D. 22.如图，10 个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如，表示a1=a2+a3，则a1的最小值为（）A.32B.36C.38D.403.如图，直线y= ��x -6 分别交x 轴，y 轴于A，B，M 是反比例函数y=�（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x 轴交AB 于C，MD⊥MC 交AB 于D，AC•BD=43，则k 的值为（）A. ‒ 3B. ‒ 4C. ‒ 5D. ‒ 64.在平面直角坐标系xOy 中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C 的坐标为（1，0），顶点A 的坐标为（0，2），顶点B 恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x 轴正方向平移，当顶点A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C 的对应点C′的坐标为（）(3,0) (2,0) (5,0) (3,0)A. 2B.C. 2D.5.如图，在矩形ABCD 中，AB＜BC，E 为CD 边的中点，将△ADE 绕点E 顺时针旋转180°，点D 的对应点为C，点A 的对应点为F，过点E 作ME⊥AF 交BC 于点M，连接AM、BD 交于点N，现有下列结论：35 ①AM =AD +MC ；②AM =DE +BM ；③DE 2=AD •CM ；④点 N 为△ABM 的外心． 其中正确的个数为（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个6. 规定：如果关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx +c =0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的 2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：①方程 x 2+2x -8=0 是倍根方程；②若关于 x 的方程 x 2+ax +2=0 是倍根方程，则 a =±3；③若关于 x 的方程 ax 2-6ax +c =0（a ≠0）是倍根方程，则抛物线 y =ax 2-6ax +c 与 x 轴的公共点的坐标是 （2，0）和（4，0）； 4 ④若点（m ，n ）在反比例函数 y =x 的图象上，则关于 x 的方程 mx 2+5x +n =0 是倍根方程． 上述结论中正确的有（ ）A. ①②B. ③④C. ②③D. ②④7. 如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等，∠DAB =60°，AB =DE ，则下列结论成立的个数是（） ①AB ∥DE ；②EF ∥AD ∥BC ；③AF =CD ；④四边形 ACDF 是平行四边形；⑤六边形 ABCDEF 既是中心对称图形，又是轴对称图形．A. 2B. 3C. 4D. 58. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 79. 如图，矩形 ABCD 中，AE ⊥BD 于点 E ，CF 平分∠BCD ，交 EA 的延长线于点 F ，且 BC =4，CD =2，给出下列结论：①∠BAE =∠CAD ；4②∠DBC =30°；③AE =5 5；④AF =2 ，其中正确结论的个数有（ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个二、填空题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）10.如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=30°，以直角边AB 为直径作半圆交AC 于点D，以AD 为边作等边△ADE，延长ED 交BC 于点F，BC=2 3，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）11.如图，在6×6 的网格内填入1 至6 的数字后，使每行、每列、每个小粗线宫中的数字不重复，则a×c=．12.如图，正方形ABCD 中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG 分别交AE，AF 于M，N．下列结论：4 �M 3 1①AF⊥BG；②BN=3NF；③M G=8；④S 四边形CGNF=2S 四边形ANGD．其中正确的结论的序号是．13.已知：如图，在△AOB 中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB 绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB 的交点D 恰好为AB 的中点，则线段B1D= cm．14.如图，边长为4 的正六边形ABCDEF 的中心与坐标原点O 重合，AF∥x 轴，将正六边形ABCDEF 绕原点O 顺时针旋转n 次，每次旋转60°．当n=2017 时，顶点A 的坐标为．15.如图，在Rt△ABC 中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON 上滑动，下列结论：①若C、O 两点关于AB 对称，则OA=2 3；②C、O 两点距离的最大值为4；③若AB 平分CO，则AB⊥CO；�④斜边AB 的中点D 运动路径的长为2；其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）．16.如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N（3，0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN 最小，则点P 的坐标为．17.在一条笔直的公路上有A、B、C 三地，C 地位于A、B 两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C 地，乙车从B 地沿这条公路匀速驶向A 地，在甲车出发至甲车到达C 地的过程中，甲、乙两车各自与C 地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h 时，两车相遇；②乙车出发1.5h 时，两车相距170km；③乙车出5发27h 时，两车相遇；④甲车到达C 地时，两车相距40km．其中正确的是（填写所有正确结论的序号）．�18.如图，在平面直角坐标系中，OA=AB，∠OAB=90°，反比例函数y=x（x＞0）的图象经过A，B 两点．若点A 的坐标为（n，1），则k 的值为．19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A（-1，1），B（0，-2），C（1，0），点P（0，2）绕点A 旋转180°得到点P1，点P1绕点B 旋转180°得到点P2，点P2绕点C 旋转180°得到点P3，点P3绕点A 旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵直线l1：y=-3x+3 交x 轴于点A，交y 轴于点B，∴A（1，0），B（0，3），∵点A、E 关于y 轴对称，∴E（-1，0）．∵直线l2：y=-3x+9 交x 轴于点D，过点B 作x 轴的平行线交l2 于点C，∴D（3，0），C 点纵坐标与B 点纵坐标相同都是3，把y=3 代入y=-3x+9，得3=-3x+9，解得x=2，∴C（2，3）．∵抛物线y=ax2+bx+c 过E、B、C 三点，∴，解得，∴y=-x2+2x+3．①∵抛物线y=ax2+bx+c 过E（-1，0），∴a-b+c=0，故①正确；②∵a=-1，b=2，c=3，∴2a+b+c=-2+2+3=3≠5，故②错误；③∵抛物线过B（0，3），C（2，3）两点，∴对称轴是直线x=1，∴抛物线关于直线x=1 对称，故③正确；④∵b=2，c=3，抛物线过C（2，3）点，∴抛物线过点（b，c），故④正确；⑤∵直线l1∥l2，即AB∥CD，又BC∥AD，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴S 四边形ABCD=BC•OB=2×3=6≠5，故⑤错误．综上可知，正确的结论有3个．故选：C．根据直线l1的解析式求出A（1，0），B（0，3），根据关于y 轴对称的两点坐标特征求出E（- 1，0）．根据平行于x 轴的直线上任意两点纵坐标相同得出C 点纵坐标与B 点纵坐标相同都是3，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出C（2，3）．利用待定系数法求出抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，进而判断各选项即可．本题考查了抛物线与x 轴的交点，一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，关于y 轴对称的两点坐标特征，平行于x 轴的直线上任意两点坐标特征，待定系数法求抛物线的解析式，平行四边形的判定及面积公式，综合性较强，求出抛物线的解析式是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：∵a1=a2+a3=a4+a5+a5+a6=a7+a8+a8+a9+a8+a9+a9+a10=a7+3（a8+a9）+a10，∴要使a1 取得最小值，则a8+a9 应尽可能的小，取a8=2、a9=4，∵a5=a8+a9=6，则a7、a10 中不能有6，若a7=8、a10=10，则a4=10=a10，不符合题意，舍去；若a7=10、a10=8，则a4=12、a6=4+8=12，不符合题意，舍去；若a7=10、a10=12，则a4=10+2=12、a6=4+12=16、a2=12+6=18、a3=6+16=22、a1=18+22=40，符合题意；综上，a1的最小值为40，故选：D．由a1=a7+3（a8+a9）+a10 知要使a1 取得最小值，则a8+a9 应尽可能的小，取a8=2、a9=4，根据a5=a8+a9=6，则a7、a10 中不能有6，据此对于a7、a8，分别取8、10、12 检验可得，从而得出答案．本题主要考查数字的变化类，根据题目要求得出a1取得最小值的切入点是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：过点D 作DE⊥y 轴于点E，过点C 作CF⊥x 轴于点F，令x=0 代入y= x-6，∴y=-6，∴B（0，-6），∴OB=6，令y=0 代入y= x-6，∴x=2 ，∴（2 ，0），∴OA=2 ，∴勾股定理可知：AB=4 ，∴sin∠OAB= = ，cos∠OAB= =设M（x，y），∴CF=-y，ED=x，∴sin∠OAB= ，∴AC=- y，∵cos∠OAB=cos∠EDB= ，∴BD=2x，∵AC•BD=4，∴- y×2x=4 ，∴xy=-3，∵M 在反比例函数的图象上，∴k=xy=-3，故选（A）过点D 作DE⊥y 轴于点E，过点C 作CF⊥x 轴于点F，然后求出OA 与OB 的长度，即可求出∠OAB 的正弦值与余弦值，再设M（x，y），从而可表示出BD 与AC 的长度，根据AC•BD=4列出即可求出k 的值．本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是根据∠OAB 的锐角三角函数值求出BD、AC，本题属于中等题型．4.【答案】C【解析】解：过点B 作BD⊥x 轴于点D，∵∠ACO+∠BCD=90°，∠OAC+∠ACO=90°，∴∠OAC=∠BCD，在△ACO 与△BCD 中，∴△ACO➴△BCD（AAS）∴OC=BD，OA=CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD=3，BD=1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为y= ，将B（3，1）代入y= ，∴k=3，∴y= ，∴把y=2 代入y= ，∴x= ，当顶点A 恰好落在该双曲线上时，此时点A 移动了个单位长度，∴C 也移动了个单位长度，此时点C 的对应点C′的坐标为（，0）故选：C．过点B 作BD⊥x 轴于点D，易证△ACO➴△BCD（AAS），从而可求出B 的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与 A 的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出 C 的对应点．本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．5.【答案】B【解析】解：∵E 为CD 边的中点，∴DE=CE，又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，∴△ADE➴△FCE，∴AD=CF，AE=FE，又∵ME⊥AF，∴ME 垂直平分AF，∴AM=MF=MC+CF，∴AM=MC+AD，故①正确；如图，延长CB 至G，使得∠BAG=∠DAE，由AM=MF，AD∥BF，可得∠DAE=∠F=∠EAM，可设∠BAG=∠DAE=∠EAM=α，∠BAM=β，则∠AED=∠EAB=∠GAM=α+β，由∠BAG=∠DAE，∠ABG=∠ADE=90°，可得△ABG∽△ADE，∴∠G=∠AED=α+β，∴∠G=∠GAM，∴AM=GM=BG+BM，由△ABG∽△ADE，可得= ，而AB＜BC=AD，∴BG＜DE，∴BG+BM＜DE+BM，即AM＜DE+BM，∴AM=DE+BM 不成立，故②错误；∵ME⊥FF，EC⊥MF，∴EC2=CM×CF，又∵EC=DE，AD=CF，∴DE2=AD•CM，故③正确；∵∠ABM=90°，∴AM 是△ABM 的❧➓圆的直径，∵BM＜AD，∴当BM∥AD 时，= ＜1，∴N 不是AM 的中点，∴点N 不是△ABM 的❧心，故④错误．综上所述，正确的结论有2 个，故选：B．根据全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得出AM=MC+AD；根据△ABG∽△ ADE，且AB＜BC，即可得出BG＜DE，再根据AM=GM=BG+BM，即可得出AM=DE+BM 不成立；根据ME⊥FF，EC⊥MF，运用射影定理即可得出EC2=CM×CF，据此可得DE2=AD•CM 成立；根据N 不是AM 的中点，可得点N 不是△ABM 的❧心．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等以及相似三角形的对应边成比例进行推导，解题时注意：三角形❧➓圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的❧心，故❧心到三角形三个顶点的距离相等．6.【答案】C【解析】解：①由x2-2x-8=0，得（x-4）（x+2）=0，解得x1=4，x2=-2，∵x1≠2x2，或x2≠2x1，1 1 ∴方程 x 2-2x-8=0 不是倍根方程． 故①错误；②关于 x 的方程 x 2+ax+2=0 是倍根方程，∴设 x 2=2x 1，∴x 1•x 2=2x 2=2，∴x 1=±1，当 x 1=1 时 ，x 2=2，当 x 1=-1 时 ，x 2=-2，∴x 1+x 2=-a=±3，∴a=±3，故②正确；③关于 x 的方程 ax 2-6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，∴x 2=2x 1，∵抛物线 y=ax 2-6ax+c 的对称轴是直线 x=3，∴抛物线 y=ax 2-6ax+c 与 x 轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故③正确；④∵点（m ，n ）在反比例函数 y= 的图象上，∴mn=4，解 mx 2+5x+n=0 得 x 1=- ，x 2=- ，∴x 2=4x 1，∴关于 x 的方程 mx 2+5x+n=0 不是倍根方程；故选：C ．①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②设 x 2=2x 1，得到 x 1•x 2=2x 2=2，得到当 x 1=1 时，x 2=2，当 x 1=-1 时，x 2=-2，于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④若点（m，n）在反比例函数y= 的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0 即可得到正确的结论；本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：∵六边形ABCDEF 的内角都相等，∴∠EFA=∠FED=∠FAB=∠ABC=120°，∵∠DAB=60°，∴∠DAF=60°，∴∠EFA+∠DAF=180°，∠DAB+∠ABC=180°，∴AD∥EF∥CB，故②正确，∴∠FED+∠EDA=180°，∴∠EDA=∠ADC=60°，∴∠EDA=∠DAB，∴AB∥DE，故①正确，∵∠FAD=∠EDA，∠CDA=∠BAD，EF∥AD∥BC，∴四边形EFAD，四边形BCDA 是等腰梯形，∴AF=DE，AB=CD，∵AB=DE，∴AF=CD，故③正确，连➓CF 与AD 交于点O，连➓DF、AC、AE、DB、BE．∵∠CDA=∠DAF，∴AF∥CD，AF=CD，∴四边形AFDC 是平行四边形，故④正确，同法可证四边形AEDB 是平行四边形，∴AD 与CF，AD 与BE 互相平分，∴OF=OC，OE=OB，OA=OD，∴六边形ABCDEF 既是中心对称图形，故⑤正确，故选D．根据六边形ABCDEF 的内角都相等，∠DAB=60°，平行线的判定，平行四边形的判定，中心对称图形的定义一一判断即可．本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的判定和性质、轴对称图形、中心对称图形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8.【答案】D【解析】解：如图：故选：D．①以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D，△BCD 就是等腰三角形；②以A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点E，△ACE 就是等腰三角形；③以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AC 于点F，△BCF 就是等腰三角形；④以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点K，△BCK 就是等腰三角形；⑤作AB 的垂直平分线交AC 于G，则△AGB 是等腰三角形；➅作BC 的垂直平分线交AB 于I，则△BCI 和△ACI 是等腰三角形．本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．9.【答案】C【解析】解：在矩形ABCD 中，∵∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠ADB，∵∠CAD=∠ADB，∴∠BAE=∠CAD，故①正确；∵BC=4，CD=2，∴tan∠DBC= = ，∴∠DBC≠30°，故②错误；∵BD= =2 ，∵AB=CD=2，AD=BC=4，∵△ABE∽△DBA，∴，即，∴AE= ；故③正确；∵CF 平分∠BCD，∴∠BCF=45°，∴∠ACF=45°-∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BAE=∠ACB，∴∠EAC=90°-2∠ACB，∴∠EAC=2∠ACF，∵∠EAC=∠ACF+∠F，∴∠ACF=∠F，∴AF=AC，∵AC=BD=2 ，∴AF=2 ，故④正确；故选C．根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，等量代换得到∠BAE=∠CAD，故①正确；根据三角函数的定义得到tan∠DBC= = ，于是得到∠DBC≠30°，故②错误；由勾股定理得到BD==2 ，根据相似三角形的性质得到AE= ；故③正确；根据角平分线的定义得到∠BCF=45°，求得∠ACF=45°-∠ACB，推出∠EAC=2∠ACF，根据❧角的性质得到∠EAC=∠ACF+∠F，得到∠ACF=∠F，根据等腰三角形的判定得到AF=AC，于是得到AF=2 ，故④正确．本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的❧角的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．10.【答案】3【解析】3 3-2π解：如图所示：设半圆的圆心为O，连➓DO，过D 作DG⊥AB 于点G，过D 作DN⊥CB 于点N，∵在Rt△ABC 中，∠BAC=30°，∴∠ACB=60°，∠ABC=90°，∵以AD 为边作等边△ADE，∴∠EAD=60°，∴∠EAB=60°+30°=90°，可得：AE∥BC，则△ADE∽△CDF，∴△CDF 是等边三角形，∵在Rt△ABC 中，∠BAC=30°，BC=2 ，∴AC=4 ，AB=6，∠DOG=60°，则AO=BO=3，故DG=DO•sin60°=，则AD=3 ，DC=AC-AD= ，故DN=DC•sin60°=×= ，则S 阴影=S△ABC-S△AOD-S 扇形DOB-S△DCF= ×2 ×6- ×3×- - × ×=3 - π．故答案为：3 - π．根据题意结合等边三角形的性质分别得出AB，AC，AD，DC 的长，进而利用S 阴影=S△ABC-S△AOD-S 扇形DOB-S△DCF 求出答案．此题主要考查了扇形面积求法以及等边三角形的性质和锐角三角函数关系等知识，正确分割图形是解题关键．11.【答案】2【解析】解：对各个小宫格编号如下：先看己：已经有了数字3、5、6，缺少1、2、4；观察发现：4 不能在第四列，2 不能在第五列，而2 不能在第六列；所以2 只能在第六行第四列，即a=2；则b 和c 有一个是1，有一个是4，不确定，如下：观察上图发现：第四列已经有数字2、3、4、6，缺少1 和5，由于5 不能在第二行，所以5 在第四行，那么1 在第二行；如下：再看乙部分：已经有了数字1、2、3，缺少数字4、5、6，观察上图发现：5 不能在第六列，所以5在第五列的第一行；4 和6 在第六列的第一行和第二行，不确定，分两种情况：①当4 在第一行时，6 在第二行；那么第二行第二列就是4，如下：再看甲部分：已经有了数字1、3、4、5，缺少数字2、6，观察上图发现：2 不能在第三列，所以2 在第二列，则6 在第三列的第一行，如下：观察上图可知：第三列少1 和4，4 不能在第三行，所以4 在第五行，则1 在第三行，如下：观察上图可知：第五行缺少1 和2，1 不能在第1 列，所以1 在第五列，则2 在第一列，即c=1，所以b=4，如下：观察上图可知：第六列缺少1 和2，1 不能在第三行，则在第四行，所以2 在第三行，如下：再看戊部分：已经有了数字2、3、4、5，缺少数字1、6，观察上图发现：1 不能在第一列，所以1 在第二列，则6 在第一列，如下：观察上图可知：第一列缺少3 和4，4 不能在第三行，所以4 在第四行，则3 在第三行，如下：观察上图可知：第二列缺少5 和6，5 不能在第四行，所以5 在第三行，则6 在第四行，如下：观察上图可知：第三行第五列少6，第四行第五列少3，如下：所以，a=2，c=1，ac=2；②当6 在第一行，4 在第二行时，那么第二行第二列就是6，如下：再看甲部分：已经有了数字1、3、5、6，缺少数字2、4，观察上图发现：2 不能在第三列，所以2 在第2 列，4 在第三列，如下：观察上图可知：第三列缺少数字1 和6，6 不能在第五行，所以6 在第三行，则1 在第五行，所以c=4，b=1，如下：观察上图可知：第五列缺少数字3 和6，6 不能在第三行，所以6 在第四行，则3 在第三行，如下：观察上图可知：第六列缺少数字1 和2，2 不能在第四行，所以2 在第三行，则1 在第四行，如下：观察上图可知：第三行缺少数字1 和5，1 和5 都不能在第一列，所以此种情况不成立；综上所述：a=2，c=1，a×c=2；故答案为：2．粗线把这个数独分成了6 块，为了便于解答，对各部分进行编号：甲、乙、丙、丁、戊、己，先从各部分中数字最多的己出发，找出其各个小方格里面的数，再根据每行、每列、每小宫格都不出现重复的数字进行推算．本题是六阶数独，比较复杂，关键是找出突破口，先推算出一个区域或者一行、一列，再逐步的进行推算．12.【答案】①③【解析】解：①∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=CD，∵BE=EF=FC，CG=2GD，∴BF=CG，∵在△ABF 和△BCG 中，，∴△ABF➴△BCG，∴∠BAF=∠CBG，∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF⊥BG；①正确；②∵在△BNF 和△BCG 中，，∴△BNF∽△BCG，∴ = = ，∴BN= NF；②错误；③作EH⊥AF，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，AF= = ，∵S△ABF= AF•BN=AB•BF，∴BN= ，NF= BN= ，∴AN=AF-NF= ，∵E 是BF 中点，∴EH 是△BFN 的中位线，∴EH= ，NH= ，BN∥EH，∴AH= ， = ，解得：MN= ，∴BM=BN-MN= ，MG=BG-BM= ，∴ = ；③正确；④连➓AG，FG，根据③中结论，则NG=BG-BN= ，∵S 四边形CGNF=S△CFG+S△GNF= CG•CF+NF•NG=1+= ，S 四边形ANGD=S△ANG+S△ADG= AN•GN+AD•DG= + = ，∴S 四边形CGNF≠S 四边形ANGD，④错误；故答案为①③．①易证△ABF➴△BCG，即可解题；②易证△BNF∽△BCG，即可求得的值，即可解题；③作EH⊥AF，令AB=3，即可求得MN，BM 的值，即可解题；④连➓AG，FG，根据③中结论即可求得S 四边形CGNF 和S 四边形ANGD，即可解题．本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边成比例的性质，本题中令AB=3 求得AN，BN，NG，NF 的值是解题的关键．13.【答案】1.5【解析】解：∵在△AOB 中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，∴AB= =5cm，∵点D 为AB 的中点，∴OD= AB=2.5cm．∵将△AOB 绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1 处，∴OB1=OB=4cm，∴B1D=OB1-OD=1.5cm．故答案为1.5．先在直角△AOB 中利用勾股定理求出AB= =5cm，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD= AB=2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB1=OB=4cm，那么B1D=OB1-OD=1.5cm．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理．14.【答案】（2，2 3）【解析】解：2017×60°÷360°=336…1，即与正六边形ABCDEF 绕原点O 顺时针旋转1 次时点A 的坐标是一样的．当点A 按顺时针旋转60°时，与原F 点重合．连➓OF，过点F 作FH⊥x 轴，垂足为H；由已知EF=4，∠FOE=60°（正六边形的性质），∴△OEF 是等边三角形，∴OF=EF=4，∴F（2，2 ），即旋转2017 后点A 的坐标是（2，2 ），故答案是：（2，2 ）．将正六边形ABCDEF 绕原点O 顺时针旋转2017 次时，点A 所在的位置就是原F 点所在的位置．此题主要考查了正六边形的性质，坐标与图形的性质-旋转．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．15.【答案】①②③【解析】解：在Rt△ABC 中，∵BC=2，∠BAC=30°，∴AB=4，AC= =2 ，①若C、O 两点关于AB 对称，如图1，∴AB 是OC 的垂直平分线，则OA=AC=2 ；所以①正确；②如图1，取AB 的中点为E，连➓OE、CE，∵∠AOB=∠ACB=90°，∴OE=CE= AB=2，当OC 经过点E 时，OC 最大，则C、O 两点距离的最大值为4；所以②正确；③如图2，同理取AB 的中点E，则OE=CE，∵AB 平分CO，∴OF=CF，∴AB⊥OC，所以③正确；④如图3，斜边AB 的中点D 运动路径是：以O 为圆心，以2 为半径的圆周的，则：=π．所以④不正确；综上所述，本题正确的有：①②③；故答案为：①②③．①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AC 和AB，由对称的性质可知：AB 是OC 的垂直平分线，所以OA=AC；②当OC 经过AB 的中点E 时，OC 最大，则C、O 两点距离的最大值为4；③如图2，根据等腰三角形三线合一可知：AB⊥OC；④如图3，半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可．本题是三角形的综合题，考查了直角三角形30°的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是本题的关键，难度适中．3 316.【答案】（2， 2 ）【解析】解：作N 关于OA 的对称点N′，连➓N′M 交OA 于P，则此时，PM+PN 最小，∵OA 垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M 是ON 的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（3，0），∴ON=3，∵点M 是ON 的中点，∴OM=1.5，∴PM= ，∴P（，）．故答案为：（，）．作N 关于OA 的对称点N′，连➓N′M 交OA 于P，则此时，PM+PN 最小，由作图得到ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，求得△NON′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到结论．本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P 的位置．17.【答案】②③④【解析】解：①观察函数图象可知，当t=2 时，两函数图象相交，∵C 地位于A、B 两地之间，∴交点代表了两车离C 地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误；②甲车的速度为240÷4=60（km/h），乙车的速度为200÷（3.5-1）=80（km/h），∵（240+200-60-170）÷（60+80）=1.5（h），∴乙车出发1.5h 时，两车相距170km，结论②正确；③∵（240+200-60）÷（60+80）=2 （h），∴乙车出发2 h 时，两车相遇，结论③正确；④∵80×（4-3.5）=40（km），∴甲车到达C 地时，两车相距40km，结论④正确．综上所述，正确的结论有：②③④．故答案为：②③④．①观察函数图象可知，当t=2 时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论①错误；②根据速度=路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间=路程÷速度和可求出乙车出发1.5h 时，两车相距170km，结论②正确；③根据时间=路程÷速度和可求出乙车出发2 h 时，两车相遇，结论③正确；④结合函数图象可知当甲到C 地时，乙车离开C 地0.5 小时，根据路程=速度×时间，即可得出结论④正确．综上即可得出结论．本题考查了一次函数的应用，根据函数图象逐一分析四条结论的正误是解题的关键．18.【答案】【解析】5 ‒ 1 2解：作AE⊥x 轴于E，BF⊥x 轴于F，过B 点作BC⊥y 轴于C，交AE 于G，如图所示：则AG⊥BC，∵∠OAB=90°，∴∠OAE+∠BAG=90°，∵∠OAE+∠AOE=90°，∴∠AOE=∠GAB ，在△AOE 和△BAG 中，，∴△AOE ➴△BAG （AAS ），∴OE=AG ，AE=BG ，∵点 A （n ，1），∴AG=OE=n ，BG=AE=1，∴B （n+1，1-n ），∴k=n×1=（n+1）（1-n ），整理得：n 2+n-1=0，解得：n= ∴n=，（负值舍去）， ∴k=故答案为： ；．作 AE ⊥x 轴于 E ，BF ⊥x 轴于 F ，过 B 点作 BC ⊥y 轴于 C ，交 AE 于 G ，则 AG ⊥BC ，先求得△ AOE ➴△BAG ，得出 AG=OE=n ，BG=AE=1，从而求得 B （n+1，1-n ），根据 k=n×1=（n+1）（1-n ）得出方程，解方程即可．本题考查了全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征，证明三角形全等是解决问题的关键．19.【答案】（-2，0）【解析】解：如图所示，P 1（-2，0），P 2（2，-4），P 3（0，4），P 4（-2，-2），P 5（2，-2），P 6（0，2），发现 6 次一个循环，∵2017÷6=336…1，∴点 P 2017 的坐标与 P 1 的坐标相同，即 P 2017（-2，0），故答案为（-2，0）．画出P1～P6，寻找规律后即可解决问题．本题考查坐标与图形的性质、点的坐标等知识，解题的关键是循环探究问题的方法，属于中考常考题型．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

中考数学---几何选择填空压轴题精选1一．选择题：1．如下图1，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（）①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE•HB．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2、如上图2，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3．如上图3，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S▭DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（）A.①③ B.②④ C.①④ D.②③4．如下图1，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（）A.B. C. D.5、如上图2，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6．Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下图1，下列结论：①（BE+CF）=BC；②S△AEF ≤S△ABC；③S四边形AEDF=AD•EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个7．如上图2，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD =S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正确的结论有（）A.①④⑤B.①②④C.③④⑤D.②③④8．如上图3，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE 交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥DE；③2OH+DH=BD；④BG=DG；⑤．其中正确的结论是（）A.①②③B.①②④C.①②⑤D.②④⑤9．如下图1，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④10．正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如上图2所示，点G在线段DK上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK的面积为（）A. 10B. 12C. 14D. 16二．填空题1．如下图1，观察图中菱形的个数：图1中有1个菱形，图2中有5个菱形，图3中有14个菱形， 图4中有30个菱形…，则第6个图中菱形的个数是 个．2.如下图2，在△ABC 中，∠A=α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1； ∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； …；∠A 2011BC 与∠A 2011CD 的平分线相交于点A 2012，得∠A 2012，则∠A 2012= ．3．如下图1，已知Rt △ABC 中，AC=3，BC=4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，C 1A 2，…，则CA 1= ，= ．4、如上图2，点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n 在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3，…，B n ﹣1在射线OB 上， 且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥…∥A n ﹣1B n ﹣1，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3∥…∥A n B n ﹣1，△A 1A 2B 1，△A 2A 3B 2，…，△A n ﹣1A n B n ﹣1为阴影三角形，若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1、4，则△A 1A 2B 1的面为 ； 面积小于2011的阴影三角形共有 个． 5、如下图1，已知点A 1（a ，1）在直线l ：上，以点A 1为圆心，以为半径画弧，交x 轴于点B 1、B 2，过点B 2作A 1B 1的平行线交直线l 于点A 2，在x 轴上取一点B 3，使得A 2B 3=A 2B 2，再过点B 3作A 2B 2的平行线交直线l 于点A 3，在x 轴上取一点B 4，使得A 3B 4=A 3B 3，按此规律继续作下去， 则①a= ；②△A 4B 4B 5的面积是 ．6、如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，M是AE上一点，F、G分别是AB、CM的中点，且∠BAE=∠MCE，∠MBE=45°，则给出以下五个结论：①AB=CM；②A E⊥BC；③∠BMC=90°；④EF=EG；⑤△BMC是等腰直角三角形．上述结论中始终正确的序号有．7、如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60度．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为．8、如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，那么线段AD与AB的比等于．9．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD =15cm2，S△BQC=25cm2，则阴影部分的面积为cm2．中考数学---几何选择填空压轴题精选1答案一．选择题：1、解：作EJ⊥BD于J，连接EF①∵BE平分∠DBC ∴EC=EJ，∴△DJE≌△ECF ∴DE=FE∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE==22.5°∴∠EHF=180°﹣67.5°﹣22.5°=90°∵DH=HF，OH是△DBF的中位线∴OH∥BF ∴OH=BF②∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，∵CE=CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF，∴∠EBC=∠CDF=22.5°，∴∠BFH=90°﹣∠CDF=90°﹣22.5°=67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，∴OH是CD的垂直平分线，∴DH=CH，∴∠CDF=∠DCH=22.5°，∴∠HCF=90°﹣∠DCH=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠CHF=180°﹣∠HCF﹣∠BFH=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，故②正确；③∵OH是△BFD的中位线，∴DG=CG=BC，GH=CF，∵CE=CF，∴GH=CF=CE∵CE＜CG=BC，∴GH＜BC，故此结论不成立；④∵∠DBE=45°，BE是∠DBF的平分线，∴∠DBH=22.5°，由②知∠HBC=∠CDF=22.5°，∴∠DBH=∠CDF，∵∠BHD=∠BHD，∴△DHE∽△BHD，∴=∴DH=HE•HB，故④成立；所以①②④正确．故选C．（第5题图）2、解：根据BE=AE，∠GBE=∠CAE，∠BEG=∠CEA可判定①△BEG≌△AEC；用反证法证明②∠GAC≠∠GCA，假设∠GAC=∠GCA，则有△AGC为等腰三角形，F为AC的中点，又BF⊥AC，可证得AB=BC，与题设不符；由①知△BEG≌△AEC 所以GE=CE 连接ED、四边形ABED为平行四边形，∵∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，∴∠GED=∠CED=45°，∴△GED≌△CED，∴DG=DC；④设AG为X，则易求出GE=EC=2﹣X 因此，S△AGC =SAEC﹣SGEC=﹣+x=﹣（x2﹣2x）=﹣（x2﹣2x+1﹣1）=﹣（x﹣1）2+，当X取1时，面积最大，所以AG等于1，所以G是AE中点，故G为AE中点时，GF最长，故此时△AGC的面积有最大值．故正确的个数有3个．故选C．3、解：∵DF=BD，∴∠DFB=∠DBF，∵AD∥BC，DE=BC，∴∠DEC=∠DBC=45°，∴∠DEC=2∠EFB，∴∠EFB=22.5°，∠CGB=∠CBG=22.5°，∴CG=BC=DE，∵DE=DC，∴∠DEG=∠DCE，∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°，∠DGE=180°﹣（∠BGD+∠EGF）=180°﹣（∠BGD+∠BGC），=180°﹣（180°﹣∠DCG）÷2=180°﹣（180°﹣45°）÷2=112.5°，∴∠GHC=∠DGE，∴△CHG≌△EGD，∴∠EDG=∠CGB=∠CBF，∴∠GDH=∠GHD，∴S△CDG =S▭DHGE．故选D．4、解：∵矩形ABCD的对角线互相平分，面积为5，∴平行四边形ABC1O1的面积为，∵平行四边形ABC1O1的对角线互相平分，∴平行四边形ABC2O2的面积为×=，…，依此类推，平行四边形ABC2009O2009的面积为．故选B．5、解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，∴PM=BC，PN=BC，∴PM=PN，正确；②在△ABM与△ACN中，∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，∴△ABM∽△ACN，∴，正确；③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠ABM=∠ACN=30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形，正确；（见上图）④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，∴BN=CN，∵P为BC边的中点，∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形；∴BN=PB=PC，正确．故选D．6、解：∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，∵∠MDN=90°，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF．在△AED与△CFD中，∵，∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE=CF，在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB==BD=BC．故①正确；设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a﹣x．∵S△AEF =AE•AF=x（a﹣x）=﹣（x﹣a）2+a2，∴当x=a时，S△AEF有最大值a2，又∵S△ABC =×a2=a2，∴S△AEF≤S△ABC．故②正确；EF2=AE2+AF2=x2+（a﹣x）2=2（x﹣a）2+a2，∴当x=a时，EF2取得最小值a2，∴EF≥a（等号当且仅当x=a时成立），而AD=a，∴EF≥AD．故④错误；由①的证明知△AED≌△CFD，∴S四边形AEDF =S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=AD2，∵EF≥AD，∴AD•EF≥AD2，∴AD•EF＞S四边形AEDF故③错误；当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．故⑤正确．综上所述，正确的有：①②⑤，共3个．故选C．7、解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=∠ADO=45°，由折叠的性质可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，故①正确．∵tan∠AED=，由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，∴AE=EF＜BE，∴AE＜AB，∴tan∠AED=＞2，故②错误．∵∠AOB=90°，∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD ＞S△OGD，故③错误．∵∠EFD=∠AOF=90°，∴EF∥AC，∴∠FEG=∠AGE，∵∠AGE=∠FGE，∴∠FEG=∠FGE，∴EF=GF，∵AE=EF，∴AE=GF，故④正确．∵AE=EF=GF，AG=GF，∴AE=EF=GF=AG，∴四边形AEFG是菱形，∴∠OGF=∠OAB=45°，∴EF=GF=OG，∴BE=EF=×OG=2OG．故⑤正确．∴其中正确结论的序号是：①④⑤．故选：A．8、解：①由∠ABC=90°，△BEC为等边三角形，△ABE为等腰三角形，∠AEB+∠BEC+∠CEH=180°，可求得∠CEH=45°，此结论正确；②由△EGD≌△DFE，EF=GD，再由△HDE为等腰三角形，∠DEH=30°，得出△HGF为等腰三角形，∠HFG=30°，可求得GF∥DE，此结论正确；③由图可知2（OH+HD）=2OD=BD，所以2OH+DH=BD此结论不正确；④如图，过点G作GM⊥CD垂足为M，GN⊥BC垂足为N，设GM=x，则GN=x，进一步利用勾股定理求得GD=x，BG=x，得出BG=GD，此结论不正确；⑤由图可知△BCE和△BCG同底不等高，它们的面积比即是两个三角形的高之比，由④可知△BCE的高为（x+x）和△BCG的高为x，因此S△BCE ：S△BCG=（x+x）：x=，此结论正确；故正确的结论有①②⑤．故选C．9、解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB=∠CDF=45°．∵AD=CD，DF=DF，∴△ADF≌△CDF．∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．∵∠ALH+∠LAF=90°，∴∠LHC+∠DAF=90°．∵∠ECF=∠DAF，∴∠FHC=∠FCH，∴FH=FC．∴FH=AF．（上图2）（2）∵FH⊥AE，FH=AF，∴∠HAE=45°．（3）连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，（上图3）∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，∴∠AFO=∠GHF．∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，∴△AOF≌△FGH．∴OA=GF．∵BD=2OA，∴BD=2FG．（4）延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，根据△MEC≌△CIM，（见下图2）可得：CE=IM，同理，可得：AL=HE，∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．∴△CEH的周长为8，为定值．故（1）（2）（3）（4）结论都正确．故选D．10、解：如下图1，连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，在梯形GDBE中，S△DGE =S△GEB（同底等高的两三角形面积相等），同理S△GKE=S△GFE．∴S阴影=S△DGE+S△GKE=S△GEB+S△GEF=S正方形GBEF=4×4=16 故选D．二．填空题：1、解：观察图形，发现规律：图1中有1个菱形，图2中有1+22=5个菱形，图3中有5+32=14个菱形，图4中有14+42=30个菱形，则第5个图中菱形的个数是30+52=55，第6个图中菱形的个数是55+62=91个．故答案为91．2、解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，根据三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACD，∠A1+∠A1BC=∠A1CD，∴∠A1+∠A1BC=∠A1+∠ABC=（∠A+∠ABC），整理得，∠A1=∠A=，同理可得，∠A2=∠A1=×=，…，∠A2012=．故答案为：．3、解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB=，又因为CA1⊥AB，∴AB•CA1=AC•BC，即CA1===．∵C4A5⊥AB，∴△BA5C4∽△BCA，∴，∴==．所以应填和．4、解：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，∴==，==，又∵A1B1∥A2B2∥A3B3，∴===，==，∴OA1=A1A2，B1B2=B2B3继而可得出规律：A1A2=A2A3=A3A4…；B1B2=B2B3=B3B4…又△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，∴S△A1B1A2=，S△A2B2A3=2，继而可推出S△A3B3A4=8，S△A4B4A5=32，S△A5B5A6=128，S△A6B6A7=512，S△A7B7A8=2048，故可得小于2011的阴影三角形的有：△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，△A4B4A5，△A5B5A6，△A6B6A7，共6个．故答案是：；6．5、解：如图所示：①将点A1（a，1）代入直线1中，可得，所以a=．②△A1B1B2的面积为：S==；因为△OA1B1∽△OA2B2，所以2A1B1=A2B2，又因为两线段平行，可知△A1B1B2∽△A2B2B3，所以△A2B2B3的面积为S1=4S；以此类推，△A4B4B5的面积等于64S=．6、解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，∴AE⊥BC，即②正确．∵∠MBE=45°，∴BE=ME．在△ABE与△CME中，∵∠BAE=∠MCE，∠AEB=∠CEM=90°，BE=ME，∴△ABE≌△CME，∴AB=CM，即①正确．∵∠MCE=∠BAE=90°﹣∠ABE＜90°﹣∠MBE=45°，∴∠MCE+∠MBC＜90°，∴∠BMC＞90°，即③⑤错误．∵∠AEB=∠CEM=90°，F、G分别是AB、CM的中点，∴EF=AB，EG=CM．又∵AB=CM，∴EF=EG，即④正确．故正确的是①②④．7、解：连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．AC⊥DB，∵∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形，∴DB=AD=1，∴BM=，∴AM==，∴AC=，同理可得AC1=AC=（）2，AC2=AC1=3=（）3，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1故答案为（）n﹣1．8、解：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=90°，∴∠HEF=90°，（见上图3）同理四边形EFGH的其它内角都是90°，∴四边形EFGH是矩形．∴EH=FG（矩形的对边相等）；又∵∠1+∠4=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠5（等量代换），同理∠5=∠7=∠8，∴∠1=∠8，∴Rt△AHE≌Rt△CFG，∴AH=CF=FN，又∵HD=HN，∴AD=HF，在Rt△HEF中，EH=3，EF=4，根据勾股定理得HF=，∴HF=5，又∵HE•EF=HF•EM，∴EM=，又∵AE=EM=EB（折叠后A、B都落在M点上），∴AB=2EM=，∴AD：AB=5：=．故答案为：．9、解：如图，连接EF；∵△ADF与△DEF同底等高，∴S△ADF =S△DEF即S△ADF﹣S△DPF=S△DEF﹣S△DPF，即S△APD =S△EPF=15cm2，同理可得S△BQC=S△EFQ=25cm2，∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ=15+25=40cm2．故答案为40．。

2020年中考数学选择填空压轴题汇编：最值问题1.（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC ＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC 的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为2 2 ．【解答】解：如图，连接BE，BD．由题意BD2，∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，∴BE MN＝2，∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为22．故答案为22．2.（2020•玉林）把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（）A．﹣4 B．0 C．2 D．6【解答】解：∵把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y ＝﹣a（x﹣1）2+4a，∴原二次函数的顶点为（1，﹣4a），∴原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，∵（m﹣1）a+b+c≤0，∴（m﹣1）a﹣2a﹣3a≤0，∵a＞0，∴m﹣1﹣2﹣3≤0，即m≤6，∴m的最大值为6，故选：D．3.（2020•河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′2，的长l，∴阴影部分周长的最小值为2．故答案为：．4.（2020•鄂州）如图，已知直线y x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为2．【解答】解：如图，在直线y x+4上，x＝0时，y＝4，当y＝0时，x，∴OB＝4，OA，∴tan∠OBA，∴∠OBA＝30°，由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，∴PQ，由于OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，∴OP OB＝2，此时PQ，BP2，∴OQ OP，即∠OPQ＝30°，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，∴EP BP，∴BE3，∴OE＝4﹣3＝1，∵OE OP，∴∠OPE＝30°，∴∠EPM＝30°+30°＝60°，即∠EMP＝30°，∴PM＝2EP＝2．故答案为：2．5.（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2B．2C．6D．3【解答】解：设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD，∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，（PM+PN），如图1中，作点M关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）P′M+P′N的最小值＝P′N+P′M＝P′N+P′Q＝NQ2，∴AC+BD的最小值为2．故选：B．6.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为2 ．【解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD＝4，OE＝3，∴DE5，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴，∴，∴MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，最小值5×（1）＝2，故答案为2．7.（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为99 ．【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，∵CM⊥AB，CM过O，∴AM＝BM（垂径定理），∴AC＝BC，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM AB3，∴OA3，∴CM＝OC+OM＝33，∴S△ABC AB•CM6×（33）＝99．故答案为：99．8.（2020•扬州）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为9．【解答】解：作CH⊥AB于点H，∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，∴CH＝4，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF∥CG，∴△EOD∽△GOC，∴，∵DF DE，∴，∴，∴，∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，∴CH＝EO，∴EO＝4，∴GO＝5，∴EG的最小值是，故答案为：9．9.（2020•聊城）如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为4+2．【解答】解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，∴AC∥x轴，∴∠BAC＝45°，∵CA＝CB，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠C＝90°，∵B（3，3）∴C（3，1），∴AC＝BC＝2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，∴AE2，∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2，故答案为：4+2．10.（2020•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A． 1 B．C．2 1 D．2【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝21，∴OM CD，即OM的最大值为；故选：B．11.（2020•乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）A．B．C．﹣2 D．【解答】解：点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ BP最大，而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，解得：m2，∴k＝m（﹣m），故选：A．12.（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为15 ．【解答】解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB10，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5，∴A′H AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．13.（2020•新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为 6 ．【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH，AA'＝2，∠C＝30°，∴Rt△CDE中，DE CD，即2DE＝CD，∵A与A'关于BC对称，∴AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'23，∴AD+DE的最小值为3，即2AD+CD的最小值为6，故答案为：6．。

2020年中考数学压轴题每日一练（4.18）一、选择题1．如图，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE、BE，若S△ABE＝7，则k的值为（）A．﹣12 B．﹣10 C．﹣9 D．﹣62．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE ＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．则线段OF长的最小值（）A．2B．+2 C．2﹣2 D．5二、填空题3．如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，E、F为边AC、BC上的两个动点，且CF＝AE，连接BE、AF，则BE+AF的最小值为．4．如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP等于cm．三、解答题5．如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB 和BC上移动，记P A＝x，点D到直线P A的距离为y，且y关于x的函数图象大致如图：（1）a＝，b＝；（2）求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）当△PCD的面积是△ABP的面积的时，求y的值．6．如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A，B（3，0），交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+P A的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【分析】设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），由AB＝BC，推出B（，），根据点B在y＝上，推出•＝k，可得mn＝3k，连接EC，OA．因为AB＝BC，推出S△AEC＝2•S△AEB＝14，根据S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，构建方程即可解决问题；【解答】解：设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），∵AB＝BC，∴B（，），∵点B在y＝上，∴•＝k，∴k+mn＝4k，∴mn＝3k，连接EC，OA．∵AB＝BC，∴S△AEC＝2•S△AEB＝14，∵S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，∴14＝•（﹣m）•+•n•（﹣m）﹣•（﹣m）•n，∴14＝﹣k﹣+，∴k＝﹣12．故选：A．2．【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝5，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．【解答】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，∴OC＝，∴OD＝，∴OM＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥．故选：D．二、填空题3．如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，E、F为边AC、BC上的两个动点，且CF＝AE，连接BE、AF，则BE+AF的最小值为．【分析】如图，作点C关于直线AB的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH＝AD，连接EH，BH，DE．想办法证明AF＝DE＝EH，BE+AF的最小值转化为EH+EB 的最小值．【解答】解：如图，作点C关于直线AB的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH＝AD，连接EH，BH，DE．∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵C，D关于AB对称，∴DA＝DB，∠DAB＝∠CAB＝45°，∠ABD＝∠ABC＝45°，∴∠CAD＝∠CBD＝∠ADC＝∠C＝90°，∴四边形ACBD是矩形，∵CA＝CB，∴四边形ACBD是正方形，∵CF＝AE，CA＝DA，∠C＝∠EAD＝90°，∴△ACF≌△DAE（SAS），∴AF＝DE，∴AF+BE＝ED+EB，∵CA垂直平分线段DH，∴ED＝EH，∴AF+BE＝EB+EH，∵EB+EH≥BH，∴AF+BE的最小值为线段BH的长，BH＝＝，∴AF+BE的最小值为，故答案为．4．如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP等于2或1cm．【分析】根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD＝DC＝PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ ＝30°，再由PN与DC平行，得到∠PF A＝∠DEA＝60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．【解答】解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC＝PN，在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AD＝3cm，∴tan30°＝，即DE＝cm，根据勾股定理得：AE＝2cm，∵M为AE的中点，∴AM＝AE＝cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），∴DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，∵PN∥DC，∴∠PF A＝∠DEA＝60°，∴∠PMF＝90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP＝30°，cos30°＝，∴AP＝＝＝2cm；由对称性得到AP′＝DP＝AD﹣AP＝3﹣2＝1cm，综上，AP等于1cm或2cm．故答案为：1或2．三、解答题5．如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB 和BC上移动，记P A＝x，点D到直线P A的距离为y，且y关于x的函数图象大致如图：（1）a＝3，b＝4；（2）求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）当△PCD的面积是△ABP的面积的时，求y的值．【分析】（1）根据函数的图象，即可得出a、b的值；（2）分点P在线段AB上跟点P在线段BC上讨论，依据相似三角形的性质，即可得出y与x之间的关系；（3）由等高三角形的面积比等于底边长之比，可得出BP的长，根据勾股定理得出x的值，代入到（2）中的关系式中即可求出y的值．【解答】解：（1）当点P在线段AB上时，D到AB的距离为AD，由函数图象可看出，AD＝4，即BC＝b＝4，当点P运动到线段BC上时，D到AB的距离出现变化，由函数图象可看出，AB＝3＝a．故答案为：3；4．（2）①当点P在线段AB上时，有0≤AP≤AB，即0≤x≤3，此时y＝4．②当点P在线段BC上时，连接AC，过点D作DE⊥AP于点E，如图，由勾股定理可得：AC＝＝5．∵此时P点过B点向C点运动，∴AB＜AP≤AC，即3＜x≤5．∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠APB，又∵∠ABP＝∠DEA＝90°，∴△DAE∽△APB，∴＝，即＝，∴y＝．综合①②得：y＝．（3）∵△PCD的面积是△ABP的面积的，且两三角形等高，∴BP＝3PC，∵BP+PC＝BC＝4，∴BP＝3，由勾股定理可得：x＝＝3，将x＝3代入，得y＝＝2．故当△PCD的面积是△ABP的面积的时，y的值为2．6．如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A，B（3，0），交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+P A的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据点B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A的坐标，由点B，C的坐标可得出直线BC的解析式，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3），由两地之间线段最短可得出当A，P，O′共线时，PO+P A取最小值，由点O′，A的坐标可求出该最小值，由点A，O′的坐标，利用待定系数法可求出直线AO′的解析式，联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标；（3）由点B，C，D的坐标可得出BC，BD，CD的长，由CD2+BC2＝BD2可得出∠BCD＝90°，由点A，C的坐标可得出OA，OC的长度，进而可得出＝，结合∠AOC＝∠DCB＝90°可得出△AOC∽△DCB，进而可得出点Q与点O重合时△AQC∽△DCB；连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q，则△ACQ∽△AOC∽△DCB，由相似三角形的性质可求出AQ的长度，进而可得出点Q的坐标．综上，此题得解．【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3）．∵O与O′关于直线BC对称，∴PO＝PO′，∴PO+P A的最小值＝PO′+P A＝AO′＝＝5．设直线AO′的解析式为y＝kx+m，将A（﹣1，0），Q′（3，3）代入y＝kx+m，得：，解得：，∴直线AO′的解析式为y＝x+．联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，得：，解得：，∴点P的坐标为（，）．（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点D的坐标为（1，4）．又∵点C的坐标为（0，3），点B的坐标为（3，0），∴CD＝＝，BC＝＝3，BD＝＝2，∴CD2+BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°．∵点A的坐标（﹣1，0），点C的坐标为（0，3），∴OA＝1，OC＝3，∴＝＝．又∵∠AOC＝∠DCB＝90°，∴△AOC∽△DCB，∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．如图2，连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽DCB，∴＝，即＝，∴AQ＝10，∴点Q的坐标为（9，0）．综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似．。

2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4第1题第2题2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标（0,3），点B坐标（4,0），将点O沿直线34y x b=-+对折，点O恰好落在∠OAB的平分线上的O’处，则b的值为（）A.12B.65C.98D.1516二、填空题3．如图，在Rt△ABC中BC＝AC＝4，D是斜边AB上的一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D垂直于Rt△ABC的直角边时，AD的长为．第3题第4题4.如图，在正方形ABCD中，AB=4，以B为圆心，BA长为半径画弧，点M为弧上一点，MN ⊥CD 于N ，连接CM ，则CM －MN 的最大值为 ． 三、解答题5.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC 为直径， ⌒ BD ＝ ⌒AD ，DE ⊥BC ，垂足为E ． （1）求证：CD 平分∠ACE ；（2）判断直线ED 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （3）若CE =2，AC ＝8，阴影部分的面积为 ．6．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＜0，a 、b 、c 为常数）与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点，A （﹣6，0），C （1，0），B （0，）．（1）求该抛物线的函数关系式与直线AB 的函数关系式；（2）已知点M （m ，0）是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l ，分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点，当m 为何值时，△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE 恰妤是以DE 为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M ′，将OM ′绕原点O 顺时针旋转得到ON （旋转角在0°到90°之间）；i ：探究：线段OB 上是否存在定点P （P 不与O 、B 重合），无论ON 如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P 点坐标：若不存在，请说明理由；ii ：试求出此旋转过程中，（NA +NB ）的最小值．EO CBA【答案与解析】一、选择题1．A2．D二、填空题3．【分析】由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AB＝4，∠B＝∠A′CB＝45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD＝x，根据折叠的性质得到∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD ＝x，推出A′C⊥AB，求得BH＝BC＝2，DH＝A′D＝x，然后列方程即可得到结果，②如图2，当A′D∥AC，根据折叠的性质得到AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD ＝∠A′CD，根据平行线的性质得到∠A′DC＝∠ACD，于是得到∠A′DC＝∠A′CD，推出A′D＝A′C，于是得到AD＝AC＝2．【解答】解：Rt△ABC中，BC＝AC＝4，∴AB＝4，∠B＝∠A′CB＝45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD＝x，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，∴∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD＝x，∵∠B ＝45°， ∴A ′C ⊥AB ， ∴BH ＝BC ＝2，DH ＝A ′D ＝x ，∴x +x +2＝4，∴x ＝4﹣4， ∴AD ＝4﹣4；②如图2，当A ′D ∥AC ，∵把△ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A ′处， ∴AD ＝A ′D ，AC ＝A ′C ，∠ACD ＝∠A ′CD ， ∵∠A ′DC ＝∠ACD ， ∴∠A ′DC ＝∠A ′CD ， ∴A ′D ＝A ′C ， ∴AD ＝AC ＝4， 综上所述：AD 的长为：4﹣4或4．4. 2 三、解答题 5、（1）,BD AD BAD ACD =∴=∠∠°+180ABCD O BAD BCD ∴=四边形内接于圆，∠∠°+180BCD DCE =又∠∠,DCE BAD ∴=∠∠ACD DCE ∴=∠∠即CD 平分∠ACE（2）直线ED 与⊙O 相切。

第1讲选择压轴题专练--代数证明巩固训练1．有依次排列的3个正整数：x ，y ，z ，且y z x >>，现规定：对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得的差写在这两个数之间，可产生一个新数串：x ，()y x -，y ，()z y -，z ，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后可产生又一个新数串，……，继续依次操作下去．下列说法：①第一次操作后，所有数之和为：2z y +．②第二次同样操作后的数串是：x ，()2y x -，()y x -，x ，y ，()2z y -，()z y -，y ，z ．③第n 次同样操作后，所有数之和为：()x y z n z x +++-．其中正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．32．有依次排列的3个整式：,6,3x x x +-，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串．例如：,6,6,9,3x x x +--，我们称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推．通过实际操作，得出以下结论：①整式串2为：,6,6,,6,15,9,6,3x x x x x x x -+---+-；②整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和大3；③整式串5共67个整式；④整式串2022的所有整式的和为36063x -；上述四个结论正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4第2讲填空压轴题专练--材料阅读（新定义）知识储备：有理数的混合运算，绝对值的意义、列代数式、整式的加减、二元一次方程组的应用、不等式组的整数解、实数的运算、不定方程的应用、乘法公式、因式分解的运用、数的整除、分类讨论思想等——代数综合题型，考察代数综合能力！类型一：整除1、如果一个三位数m 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“互异数”．将“互异数”m 的个位数字去掉，得到一个两位数m '，将其与m 的个位数字的差记为()F m ，将m 的十位数字与个位数字的差记为()G m ．已知一个三位正整数()20512m x y =++（其中x 、y 都是整数，且19,19x y ≤≤≤≤）是“互异数”，()()F m G m 为整数且能被13整除，则满足条件的“互异数”m 的最大值___________．2、把一个四位数N 的各个数位上的数字(均不为零)之和记为()G N ，把N 的千位数字与百位数字的乘积记为()P N ，十位数字与个位数字的乘积记为()Q N ，称()()()G N P N Q N -为N 的“乐育天下值”．(1)8253的“乐育天下值”为______；(2)若N 的千位与个位数字之和能被8整除，且()15G N =，N 的“乐育天下值”为3，则满足条件的N 的最大值是______．3．材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为3，则称这个三位数为“尚美数”，例如：234，因为2433+-=，所以234是“尚美数”；材料二：若t abc =(19a ≤≤，09b ≤≤，09c ≤≤，且a ，b ，c 均为整数)，记()2F t a c =-．已知12t yz =，2t myn =是两个不同的“尚美数(18y ≤≤，19z ≤≤，19m n ≤<≤且y ，z ，m ，n 均为整数)，且()()1224F t F t n ++能被13整除，则1t 的值为______．类型二：特殊数型1、如果一个四位自然数t 的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为1，那么称t 为“九一数”．把t 的千位数字的2倍与个位数字的和记为()P t ，百位数字的2倍与十位数字的和记为()Q t ，令()()()2P t G t Q t =，当()G t 为整数时，则称t 为“整九一数”．若2000100010010M a b c d =++++（其中14a ≤≤，19b ≤≤，19c ≤≤，19d ≤≤且a 、b 、c 、d 均为整数）是“整九一数”，则满足条件的M 的最大值为______．2．对于一个各数位数字均不为零的四位自然数m ，若千位与百位数字之和等于十位与个数位数字之和，则称m 为“一致数”．设一个“一致数”m abcd =满足8a ≤且1d =，将m 的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数m '，并记()101m m F m '+=；一个两位数102N a b =+，将N 的各个数位数字之和记为()G N ；当2()()43F m G N a k --=+（k 为整数）时，则所有满足条件的“一致数”m 中，满足()G N 为偶数时，k 的值为______，m 的值为______．3、一个各位数字都不为0的四位正整数m ，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m 为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”m '，并规定()11m m F m '-=．若已知数m 为“双胞蛋数”，设m 的千位数字为a ，百位数字为b ，且a b ¹，若()54F m 是一个完全平方数，则a b -=__________，满足条件的m 的最小值为__________．4、若一个四位正整数abcd 满足：a c b d +=+，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是______；若一个“交替数”m 满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m 的最大值为______．类型三：给定等量关系（方程）1、对任意一个四位数m ，如果m 各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位的和等于十位与百位的和，那么称这个数为“镜面数”，将一个“镜面数”个位与千位两个数位对调后得到一个新的四位数1m ，将它的十位与百位两个数位对调后得到另一个新四位数2m ，记F （m ）＝121111m m +．例如1234m =，对调个位与千位上的数字得到14321=m ，对调十位与百位上的数字得到21324m =，这两个四位数的和为12432113245555+=+=m m ，所以()1255551234511111111+===m m F ，若s ，t 都是“镜面数”，其中100010032,150010s x y t e f=++=++（19,19,1919,,,,x y e ，f x y e f ≤≤≤≤≤≤≤≤都是正整数），规定：()=（）F S K F t ，当()()19F s F t +=时，k 的最大值为k =________．.2、对于任意一个四位数m ，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m 为“天平数”，记()F m 为m 的各个数位上的数字之和．例如：1432m =，1432+=+ ，1432∴是“天平数”，()1432143210F =+++=；6397m =，6397+≠+ ，6397∴不是“天平数”．求出()5234F ______；已知M ，N 均为“天平数”，其中1000100320M x b y =+++，（19x ≤≤，06b ≤≤，09y ≤≤，x ，b ，y 是整数），200010010N a b c d =+++，（14a ≤≤，06b ≤≤，09c ≤≤，09d ≤≤，a ，b ，c ，d 是整数），若()()264F M F N ⋅=，求出满足条件的M 的最大值______．类型四：构造（转化思想）1、若一个两位数N 满足N ab a b =++，其中a 、b 均为正整数，则称N 为好数，那么最大的好数是________；若a 、b 同时还满足3ab a b=+或4，则称N 为绝对好数，那么绝对好数的个数为________．第3讲解答压轴题专练--几何证明【高频考点一】中点证明【高频考点二】线段关系猜想与证明及系数构造1、（BZ ）在Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，点D 是边AB 的中点，连接CD ，点E 在边BC 上，且AE CD ⊥交CD 于点F ．（1）如图1，当60ACB ∠=︒时，若CD =AF 的长；（2）如图2，当45ACB ∠=︒时，连接BF ，求证：CD DF AF +=；（3）如图3，当75ACB ∠=︒时，直接写出FA CF 的值．2、（YZ ）在ABC 和ADE V 中，90BAC ADE ∠=∠=︒，AB AC =，DE DA =，且AB AD >．（1）如图1，当点D 在线段AB 上时，连接EC ，若AC =，3AE =，求线段EC 的长；（2）如图2，将图1中ADE V 绕着点A 逆时针旋转，使点D 在ABC 的内部，连接BD ，CD ．线段AE ，BD 相交于点F ，当DCB DAC ∠=∠时，求证：BF DF =；线段关系猜想与证明3、（BSBS）在平行四边形ABCD中，AC＝BC，BE⊥AC分别交直线AC、AD于点E、F．点G是BC上一点，连接EG，过点G作GQ⊥AB分别交BF、AB于点P、Q．（1）如图1，若AB＝AC，BE＝3，求AF的长度．（2）如图2，若PG＝2BQ，请探究EG、BG、CG的数量关系，并说明理由．【实战演练】1．（NK ）如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，点F 是线段BE 上一点，连接AF ，点G 是线段AB 上一点，连接EG ，交AF 于点N ．（1）如图1，若45B ∠=︒，AB =，求ABE 的面积；（2）如图2，点H 是线段AF 的中点，连接EH ，若B BEH AEG ∠=∠=∠，求证：CD BF BG =+；2.（BS ）ABC 中，AB AC =，D 为BC 上一点．（1）如图1，若30C ∠=︒，2AB AD CD ⊥=，，求BC ．（2）如图2，点E 为ABC 外一点，且满足BD CE =，连接AE ，点F 为AC 上一点，连接BF 交AD 于点M ，若180CBF AEC ACE ACB ∠=∠∠+∠=︒，，求证：AM DM =．3.（BZ ）如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D ，E 分别为BC 上两动点，BD CE =．（1）如图1，若EH AD ⊥于H 交AB 于K ，求证：AE EK =；（2）如图2，若EF AD ∥交AC 于F ，GF AG ⊥，AG GF =，求证：AD EF +=；第4讲解答压轴题专练--几何最值瓜豆原理（主从联动）最值问题【模型总结】运动轨迹为直线问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？模型总结条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量．结论：①主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；②主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；【例题精讲】【例1】.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．变式训练【变式1-1】．如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°，当点P在线段BC上运动时，画出点Q的运动轨迹．【变式1-2】．如图，等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝6，点M是BC边上的高AD所在直线上的点，以BM为边作等边△BMN，连接DN，则DN的最小值为．【变式1-3】．如图，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），动点P在线段AB 上，点P、C、M按逆时针顺序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，当点P从点A运动到点B时，则点M运动的路径长为．【例2】．如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．B．1C．2D．变式训练【变式2-1】．如图，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为斜边向上作等腰Rt△BDE，连接AE，则AE的最小值为（）A．1B．C．2D．2【变式2-2】．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（）A．0.5B．2.5C．D．1【变式2-3】．如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为4，O为AB的中点，P为AC 边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C 时，点M所经过的路线长为．【实战演练】1．（BZ ）如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D ，E 分别为BC 上两动点，BD CE =．（1）如图1，若EH AD ⊥于H 交AB 于K ，求证：AE EK =；（2）如图2，若EF AD ∥交AC 于F ，GF AG ⊥，AG GF =，求证：AD EF +=；（3）如图3，若4AB =，将AE 绕点E 顺时针旋转90︒得EM ，N 为BM 中点，当1AN+AM 2取得最小值时，请直接写出ACD 的面积．2.（BS ）ABC 中，AB AC =，D 为BC 上一点．（1）如图1，若30C ∠=︒，2AB AD CD ⊥=，，求BC ．（2）如图2，点E 为ABC 外一点，且满足BD CE =，连接AE ，点F 为AC 上一点，连接BF 交AD 于点M ，若180CBF AEC ACE ACB ∠=∠∠+∠=︒，，求证：AM DM =．（3）如图3，当AB =+，60BAC ∠=︒且D 为BC 中点时，E 为射线AD 上一动点，连接CE ，以CE 为边作等边CEF △，连接BF ．EF 交BC 于点M ，当满足BF BM =时，N 为FM 上一点，且1FN 2=，作NH CM ∥交CF 于点H ，将CFM △绕点C 顺时针旋转()0360αα︒≤<得CF M '' ，N 、H 的对应点分别为N H ''、，直接写出整个旋转过程中ABH ' 面积的最小值．3.（NK ）如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，点F 是线段BE 上一点，连接AF ，点G 是线段AB 上一点，连接EG ，交AF 于点N ．（1）如图1，若45B ∠=︒，AB =，求ABE 的面积；（2）如图2，点H 是线段AF 的中点，连接EH ，若B BEH AEG ∠=∠=∠，求证：CD BF BG =+；（3）如图3，若=60B ∠︒，AG BF =，24BE EC ==，4ANG EAF ∠=∠，将ANG绕着点A 旋转，得到''AN G ．连接'N D ．点O 是线段'N D 的中点，连接CO ．请直接写出线段CO 长度的最小值.。

中考数学专题辅导 第一讲 填空选择压轴题选讲真题再现：1．（2022年苏州第12题）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时．列了如下表格：根据表格上的信息同答问题：该=次函数2y ax bx c =++在x =3时，y= ．2．（2022年苏州第18题）如图．AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD=BD ，∠C=70°． 现给出以下四个结论：①∠A=45°； ②AC=AB ：③AE BE =； ④CE ·AB=2BD 2．其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④3．（江苏省2022年第8题）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； 第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）A ．第10个数；B ．第11个数；C ．第12个数；D ．第13个数4．（江苏省2022年第18题）如图，已知EF 是梯形ABCD 的中位线，DEF △的面积为24cm ，则梯形ABCD 的面积为cm 2．5．（202X 年苏州第10题）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是（ ）A ．2B ．1C ．222- D ．22- 6．（202X 年苏州第18题）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为()230，、(0，2)， P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P 的坐标为．7．（2022年苏州第10题）如图，已知A 点坐标为（5，0），直线(0)y x b b =+>与y 轴交于点B ，连接AB ，∠a =75°，则b 的值为（ ）A ．3B ．533C ．4 D ．5348．（2022年苏州第18题）如图，已知点A 的坐标为（3，3），AB ⊥x 轴，垂足为B ，连接OA ，反比例函数k y x =（k>0）的图象与线段OA 、AB 分别交于点C 、D ．若AB ＝3BD ，以点C 为圆心，CA 的54倍的长为半径作圆，则该圆与x 轴的位置关系是（填“相离”、“相切”或“相交”）．9．（2022年苏州第10题）已知在平面直角坐标系中放置了 5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3在x 轴上．若正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，则点A 3到x 轴的距离是（ ）A ．3318+B ． 3118+C ． 336+D ． 316+10．（2022年苏州第17题）如图，已知第一象限内的图象是反比例函数1y x =图象的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数2y x=-图象的一个分支，在x 轴上方有一条平行于x 轴的直线l 与它们分别交于点A、B，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D．若四边形ACDB的周长为8且AB<AC，则点A的坐标是．（第10题）11．如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D 的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD的面积S(单位：cm2)与点P移动的时间t(单位：s)的函数关系如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了秒(结果保留根号）．12．（2021年•苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则P A+PC的最小值为（）A．；B．；C．；D．2；（第12题）（第13题）13．（2021年•苏州）如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为．（结果保留π）14．（2021年•苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为．（第14题）（第15题）15．（2021年•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若=，则=用含k的代数式表示）．16．（2021年•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．4km；B．2km ；C．2km；D．（+1）km（第16题）（第17题）17．（2021年•苏州）如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标（2，），底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A ′O ′B ′，点A 的对应点A ′在x 轴上，则点O ′的坐标为（ ）A ． （，）B ． （，）C ． （，）D ． （，4） 18．（2021年•苏州）如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8．若∠BPC =∠BAC ，则tan ∠BPC =．（第18题）（第19题） 19．（2021年•苏州）如图，在矩形ABCD 中，=，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边AD 于点E ．若AE •ED =，则矩形ABCD 的面积为． 20．（2021年•苏州）如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连接P A ．设P A =x ，PB =y ，则（x ﹣y ）的最大值是．（第20题）模拟训练：1．（青云中学2021年中考模拟）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝2，点E 是DC 中点，AF 平分∠EAB ，FH ⊥AD 交AE 于点G ，则GH 的长为（ ） A.512 B.512 C.514 D.5142．（青云中学2021年中考模拟）已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0），OB ＝54，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为（ ） A.1(1,)2 B.42(,)33 C.63(,)55 D.105(,)773．（青云中学2021年中考模拟）如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AC ⊥AB ，∠ABC ＝30°，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点F ，则AOAF ＝．4．（青云中学2021年中考模拟）如图，一次函数与反比例函数的图像交于A （1，12）和B （6，2）两点，点P 是线段AB 上一动点(不与点A 和B 重合)，过P 点分别作x 、y 轴的垂线PC 、PD 交反比例函数图像于点M 、N ，则四边形PMON 面积的最大值是．5．（无锡市滨湖区2021年）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、B 在双曲线y ＝k x ( x ＞0)上，BC 与x 轴交于点D ．若点A 的坐标为（2，4），则点D 的坐标为（）A ．（322，0）B ．（215，0） C ．（968，0） D ．（548，0） 6．（无锡市滨湖区2021年）如图，在⊙O 中直径AB=8，弦AC=CD=2，则BD 长为（ ） A ．7 B ．6 C ．53 D ．51597．如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为（5，0），顶点D 在 ⊙O 上运 动，则正方形面积最大时，正方形与⊙O 重叠部分的面积是.8．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，点E 从C 点出发向终点B 运动，速度为1cm/秒，运动时间为t 秒，作EF ∥AB ，点P 是点C 关于FE 的对称点，连接AP ，当△AFP 恰好是直角三角形时，t 的值为____________．（第7题）9．（南通启东市2021年）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，∠BOC =60°，顶点C 的坐标为(m , 33)，反比例函数k y x的图像与菱形对角线AO 交于D 点，连接BD ，当BD ⊥x 轴时，k 的值是（ ）．A ．63；B ．－63；C ．123；D ．－123（第9题）（第10题）10．（南通启东市2021年）如图，在RT △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 为边BC 的中点，点M 为边AB 上的一动点，点N 为边AC 上的一动点，且∠MDN ＝90°，则cos ∠DMN 为（ ）． A. 105； B. 55； C. 35； D. 4511．（南通启东市2021年）如图，长方形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE ＝OD ，则AP 值为．12．（南通启东市2021年）已知点P 的坐标为（m －1,m 2－2m －3）,则点P 到直线y ＝－5的最小值为．（第11题）13．（2021年苏州市平江）如图，在等边△ABC 中，AB ＝10，BD ＝4，BE ＝2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是．14．（2021年苏州模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90º，∠A ＝30º，BC ＝2，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后，得到△EDC ，此时，点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A . 30，2B .60，2C . 60，32D . 60，315．（2021年苏州模拟）如图，以O 为圆心的圆与直线y ＝－x +3交于A 、B 两点，若△OAB 恰为等边三角形，则弧AB 的长度为（）A ．23πB ．πC ． 23πD ．13π 16．（2021•苏州模拟）如图，□ABCD 顶点A ，B 坐标分别是A （-1，0），B （0，-2），顶点C ，D 在双曲线y ＝kx上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则k ＝_____． （第16题）（第17题）17．（2021年苏州模拟）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，3）．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1…，按这样的规律进行下去，第4个正方形的边长为___．18.（吴江区2021年）如图，在半径为5的⊙O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且4AB CD ==，则OP 的长为( )A. 1B.2C. 2D. 22(第14题) 15题） AB x y O19. （吴江区2021年）如图，A 、B 、C 是反比例函数(0)k y k x=<图象上三点，作直线l ，使A 、B 、C 到直线l 的距离之比为3:1:1，则满足条件的直线l 共有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条（第18题）（第19题）20．（蔡老师预测2022年）如图，将正六边形ABCDEF 放入平面直角坐标系后，若点A 、B 、E 的坐标分别为 （a ，b ）、（3，1）、（－a ，b ），则点D 的坐标为（ ）A ．（1，3）B ．（3，－1）C ．（－1，－3）D ．（－3，1）21．（蔡老师预测2022年）二次函数y ＝a (x －b )2＋c （a ＜0）的图像经过点（1，1）和（3，3），则b 的取值范围是．22．（蔡老师预测2022年）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，P 为△ABC 内一个动点，∠PAB ＝∠PBC ，则CP 的最小值为．23. （苏州市区2021年） 在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的两条直角边OA 、OB 分别在x 轴和y 轴上，OA =3，OB =4.把△AOB 绕点A 顺时针旋转120°，得到△ADC .边OB 上的一点M 旋转后的对应点为'M ，当DM AM +'取得最小值时，点M 的坐标为（ ）A.)5330(，B.)430(，C. )530(， D.)30(， 24．（苏州市区2021年）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =4.点P 是△ABC 内的一点，连接PC ，以PC 为直角边在PC 的右上方作等腰直角三角形PCD .连接AD ，若AD ∥BC ，且四边形ABCD 的面积为12，则BP 的长为．25．（太仓市2021年）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标系原点，A (3，0)，B (3，1)，C (0，1)，将O AB ∆沿直线OB 折叠，使得点A 落在点D 处，OD 与BC 交于点E ，则OD 所在直线的解析式为 （ ）A ．45y x =B ．54y x =C ．34y x =D ．43y x =26．（太仓市2022年）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，且a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，有以下四个命题，①x =1是二次方程ax 2＋bx ＋c=0的一个实数根；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下；③二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的左侧；④不等式4a +2b +c >0一定成立．则一定正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④27．（太仓市2021年）已知△ABC 中，AB=4，AC=3，当∠B 取得最大值时，BC 的长度为．28．（相城区2021年）如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标为(2,4)A -，(4,2)B ，直线2y kx =-与线段AB 有交点，则k 的值不可能是（ ）A 5- B.2- C. 3 D. 529．（相城区2021年）若,()m n m n <是关于x 的方程()()310x a x b --=的两根，且a b <，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ）A.m a b n <<<B.a m n b <<<C.a m b n <<<D. m a n b <<<（第28题）（第30题）30．（相城区2021年）如图，在平面直角坐标系中，过点(3,2)M -分别作x 轴、y 轴的垂线与反比例函数4y x=的图象交于A ，B 两点，则四边形MAOB 的面积为. 31．（相城区2021年）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，Q 为边CD 上一动点，线段PQ 的垂直平分线分别交边AD 、BC 于点M 、N ，顺次连接P 、M 、Q 、N ，则四边形PMQN 的面积的最大值.（第31题） 32．（高新区2021年）如图1，在平行四边形ABCD 中，点P 从起点B 出发，沿BC ，CD 逆时针方向向终点D 匀速运动．设点P 所走过的路程为x ，则线段AP ，AD 与平行四边形的边所围成的图形面积为y ，表示y 与x 的函数关系的图像大致如图2，则AB 边上的高是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 33．（高新区2021年）如图，菱形ABCD 放置在直线l 上(AB 与直线l 重合)，AB ＝4，∠DAB ＝60°，将菱形ABCD 沿直线l 向右无滑动地在直线l 上滚动，从点A 离开出发点到点A 第一次落在直线l 上为止，点A 运动经过的路径总长度为( )A 163πB ．163π；C ．4433ππD ．8833ππ 第32题图 O 图2 xy 5 11 24 B图1 A C34．（高新区2021年）如图，已知点A 是双曲线1y x=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线k y x=(k ＜0)上运动，则k 的值是． 35．（高新区2021年）如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上的一个动点(不与B 、D 重合)，连结AP ，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为H ，连结DH ，若正方形的边长为4，则线段DH 长度的最小值是．36．（高新区2021年）如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形OABC 的顶点A ，B 的坐标分别为(6，0)，(7，3)，将平行四边形OABC 绕点O 逆时针方向旋转得到平行四边形OA′B′C′，当点C′落在BC 的延长线上时，线段OA ′交BC 于点E ，则线段C′E 的长度为．（第37题）37.（2021年常熟）如图，在四边形ABCD 中，90,60ADC BAD ∠=︒∠=︒，对角线AC 平分BAD ∠，且4AB AC ==，点E 、F 分别是AC 、BC 的中点，连接DE 、EF 、DF ，则DF 的长为.38. （2021年常熟）如图，在ABC ∆中，90,8,6ACB BC AC ∠=︒==，以点C 为圆心，4为半径的圆上有一个动点D .连接AD 、BD 、CD ，则12BD AD +的最小值是. 39．（2021年吴中）如图，二次函数213222y x x =--+象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点(,)D m n 是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA 的面积的最大值是。

根据考试大纲，填空压轴题仍将以探究规律类型题为主要考察方向。

题型一：数字规律【例1】一组按一定规律排列的式子：－，，－，，…，（0a ≠）,则第n 个式子是 （n为正整数）．【答案】【例2】按一定规律排列的一列数依次为：,916,79,54,31 ……，按此规律排列下去，这列数中的第5个数是 ，第n 个数是 ．【答案】1125,122+n n【例3】一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第n 个整数为____ （n 为正整数）.【答案】67；32+n （n 为正整数）【例4】将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第一列第9行的数为 ，再结合第一行的偶数列的数的规律，判断2011所在的位置是第 行第 列.【答案】81;第45行第15列2a 52a 83a 114a 31(1)n na n --例题精讲填空题压轴题【例5】某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽.发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a ）第n 年 1 2 3 4 5 … 老芽率 a a 2a 3a 5a … 新芽率 0 a a 2a 3a … 总芽率a2 a3a5a8a…照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为 .【解析】由规律可以看出，从第3年开始，老芽率、新芽率，总芽率都分别是前两年之和，因此，第8年的老芽为21，总芽为34，因此答案为2134． 【解析】2134题型二：多边形上存在的点数【例6】如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．【解析】此类型题首先要找到边数的特点，然后找每条边上点的数目，第n 个图形是2n +边形，而且每个边上有n 个点。

【答案】(2)n n +或22n n +或2(1)1n +-【例7】用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n 个“口”字需用棋子___________【答案】4n【例8】用“O”摆出如图所示的图案，若按照同样的方式构造图案，则第10个图案需要 个“O”．① ② ③ ④ 【答案】181第2个“口”第1个“口” 第3个“口”第n 个“口”………………第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形题型三：藏头露尾型【例9】如下图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．【解析】此类问题重点要找到“头是谁”“尾是谁”，①13+；②132+⨯；③133+⨯，……第n 个31n + 【答案】31n +【例10】搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管．图1 图2 图3【答案】83．题型四：成倍数变化型【例11】如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与ABC ∆的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．【解析】注意每一次变化所变化的倍数 【答案】81；11(2)2n n - 【例12】如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，．．．．．．依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________； 所作的第n 个四边形的周长为_________________．【答案】2,24()2n【例13】如图，在ABC ∆中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，则1______A ∠=．1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠，……，2009A BC ∠的平分线与2009A CD ∠的平分线交于点2010A ，得2010A ∠，则2010A ∠= ．【答案】2α,20102α(1)(2)(3)……A 2A 1DC A【例14】如图，小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形1111A B C D ，正方形1111A B C D 的面积为 ； 再把正方形1111A B C D 的各边延长一倍得到正方形2222A B C D ， 如此进行下去，正方形n n n n D C B A 的面积为 ． （用含有n 的式子表示，n 为正整数）【答案】5，n5【例15】把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法……一直到第n 次挖去后剩下的三角形有 个．第一次 第二次 第三次 第四次【答案】3n题型五：相似与探究规律【例16】已知ABC AB AC m ∆==中，，72ABC ∠=︒，1BB 平分ABC ∠交AC 于1B ，过1B 作12B B //BC交AB 于2B ，作23B B 平分21AB B ∠，交AC 于3B ，过3B 作34//B B BC ，交AB 于4B ……依次进行下去，则910B B 线段的长度用含有m 的代数式可以表示为 .【答案】m 6215⎪⎪⎭⎫⎝⎛-【例17】如图，矩形纸片ABCD 中，6,10AB BC ==.第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与BD交于点1O ；设1O D 的中点为1D ，第二次将纸片折叠使 点B 与点1D 重合，折痕与BD 交于点2O ；设21O D 的中点 为2D ，第三次将纸片折叠使点B 与点2D 重合，折痕与BD 交于点3O ，… .按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与BD 交于点n O ，则1BO = ，n BO = ．第一次折叠 第二次折叠 第三次折叠【答案】2；12332n n -- B AD C 1O 1O 2O 1D 1D 2D 1O 2O 3O B AD C B ADCBA DC【例18】如图，直线x y 33=，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线 交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于 点3A ，…，按此做法进行下去，点4A 的坐标为（ ， ）； 点n A （ ， ）．【答案】（938，0）（1)332(-n ，0） 【例19】如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA ，再以等腰直角三角形1ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB ，……，如此作下去，若1OA OB ==，则第n 个等腰直角三角形的面积n S = ________（n 为正整数）.【解析】由题干可知：123124 (222)S S S ===，，可知22n n S -=【答案】22n -【例20】如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设211B D C ∆的面积为1S ，322B D C ∆的面积为2S ，…，1n n n B D C +∆的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用含n 的式子表示）．【答案】233,31nn + 【例21】如图，P 为ABC ∆的边BC 上的任意一点，设BC a =，当1B 、1C 分别为AB 、AC 的中点时，1112B C a =，当2B 、2C 分别为1BB 、1CC 的中点时，2234B C a =，当3B 、3C 分别为2BB 、2CC 的中点时，3378B C a =，当4B 、4C 分别为3BB 、3CC 的中点时，441516B C a =当5B 、5C 分别为4BB 、4CC 的中点时，55_____B C =当n B 、n C 分别为1n BB -、1n CC -的中点时，则n n B C = ；设ABC ∆中BC 边上的高为h ，则n n PB C ∆的面积为______(用含a 、h 的式子表示)．【答案】a 3231,a n n 212-, ah n n 12212+-D 4D 3D 2D 1C 5C 4C 3C 2C 1B 5B 4B 3B 2B 1A……B 2B 1A 1BOAC 3B 3B 2C 2C 1B 1CBA【例22】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB a =，CD b =，E 为边AD 上的任意一点，EF AB ∥，且EF 交BC 于点F ．若E 为边AD 上的中点，则______EF =（用含有a ，b 的式子表示）；若E 为边AD 上距点A 最近的n 等分点（2n ≥，且n 为整数），则______EF =（用含有n ，a ，b 的式子表示）．【答案】2a b +；(1)b n an+-【例23】已知在ABC ∆中，BC a =.如图1，点1B 、1C 分别是AB 、AC 的中点，则线段11B C 的长是_______； 如图2，点1B 、2B ,1C 、2C 分别是AB 、AC 的三等分点，则线段1122B C B C +的值是__________；如图3, 点12......、、、n B B B ，12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的(1)n +等分点，则线段1122n n B C B C B C ++⋅⋅⋅+的值是 ______.【答案】1,2a a ,12na 【例24】已知：如图，在Rt ABC ∆中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥于点1E ，连接1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，连接2BE ，交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点4D 、5D 、…n D ， 分别记11BD E ∆、22BD E ∆、33BD E ∆、…n n BD E ∆的面积 为1S 、2S 、3S …n S ．设ABC ∆的面积是1,则1______S =， ______n S =（用含n 的代数式表示）.【答案】14，21(1)n +题型六：折叠与探究规律【例25】如图，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．设2AB =，当12CE CD =时，则________AMBN=． 若1CE CD n =（n 为整数），则_______AM BN=．（用含n 的式子表示） 【答案】15；1)1(22+-n n【例26】如图，正方形ABCD ，E 为AB 上的动点，（E 不与A 、B 重合）连接DE ，作DE 的中垂线，交图3图2图12n-1B 2C 2A BCB 1C 1C 1B 1CBA FE D CBANMFEDCBAB321AD 于点F ．⑴若E 为AB 中点，则______DFAE= ⑵若E 为AB 的n 等分点(靠近点A )，则________DFAE= 【答案】251,42n n+题型七：其他类型【例27】图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角,每条边都相等.如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形,其面积为8+3中线段AB 的长为 .图1 图2 图31+【例28】如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,,,n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出=-23S S ；并猜想得到1n n S S --=()2n ≥【答案】1)41(2,32---n ππ【例29】如图，图①是一块边长为1，周长记为1P 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的21）后，得图③，④，…，记第)3(≥n n 块纸板的周长为n P ，则=-34P P ；1--n n P P = ．P 3P 2P 1【答案】81,121-⎪⎭⎫⎝⎛n【例30】已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．当8n =时，共向外作出了 个小等边三角形；当n k =时，共向外作出了 个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是 （用含k 的式子表示）．【答案】18； 【例31】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(10)，，点D 的坐标为(02)，．延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C …按这样 的规律进行下去，第3个正方形的面积为________；第n 个正方形的面积为___________（用含n 的代数式表示）．【答案】4235）（,22235-⎪⎭⎫ ⎝⎛n【例32】如图所示，111()P x y ，、222()P x y ，，……()n n n P x y ，在函数4y x=(0x >)的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆…1n n n P A A -∆都是等腰三角形，斜边1OA 、12A A …1n n A A -，都在x 轴上， 则1_____y =，12______n y y y ++⋅⋅⋅+=【答案】2 , 2n【例33】如图所示，直线1+=x y 与y 轴交于点1A ，以1OA 为边作正方形111OA B C ，然后延长11C B 与直线1+=x y 交于点2A ，得到第一个梯形112AOC A ；再以12C A 为边作正方形1222C A B C ，同样延长22C B 与直线1+=x y 交于点3A 得到第二个梯形2123A C C A ；，再以23C A 为边作正方形2333C A B C ，延长33C B ，得到第三个梯形；……则第2个梯形2123A C C A 的面积是 ；第n （n 是正整数）个梯形的面积是 （用含n 的式子表示）．3(-2)k 23(2)k s k-n =3n =5……n =4① ② ③ ④C 2B 2A 2C 1B 1A 1DC B AO yx【答案】6；2n 2223-⨯或1n 423-⨯【例34】在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形ABCD 的四个顶点坐标分别是(80)-，，(04)，，(80)，，(04)-，，则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形n n n n A B C D 的四个顶点坐标分别为(20)-，n ， (0)，n ，(20)，n ，(0)-，n （n 为正整数）， 则菱形n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的 个数为_________（用含有n 的式子表示）．【答案】单位格点个数为48，单位格点个数为n n 442-【例35】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形1111A B C D 、2222A B C D 、3333A B C D 每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形10101010A B C D 四条边上的整点共有 个．【答案】80【例36】对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于n A ，n B 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；112220112011A B A B A B +++的值为 ．【答案】()20122011,11+n nyxOD 1D 2D 3C 1C 2C 3B 1B 2B 3A 3A 2A 1123-1-2-3-3-2-1321-8-448ODC BAyx。

2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．B．C．D．第1题第2题2．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（3，0），若在直线y＝﹣x+m上存在点P满足∠APB＝60°，则m的取值范围是（）A．≤m≤B．﹣﹣5≤m≤+5C．﹣2≤m≤+2D．﹣﹣2≤m≤+2二、填空题18．如图，点G是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点G作EF∥AB交AD于E，交BC 于F，若EG＝5，BF＝2，则图中阴影部分的面积为．第3题第4题24．如图为二次函数y＝ax2+bx+c图象，直线y＝t（t＞0）与抛物线交于A，B两点，A，B 两点横坐标分别为m，n．根据函数图象信息有下列结论：①abc＞0；②若对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，则a≥1；③m+n＝1；④m＜﹣1；⑤当t为定值时，若a变大，则线段AB变长．其中，正确的结论有（写出所有正确结论的序号）三、解答题5．如图，已知点A（1，0），B（0，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，设E为AD的中点．（1）若F为CD上一动点，求出当△DEF与△COD相似时点F的坐标；（2）过E作x轴的垂线l，在直线l上是否存在一点Q，使∠CQO＝∠CDO？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标．【答案与解析】一、选择题1．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再分别对每一项进行判断即可．【解答】A．∵EF∥AB，∴＝，故本选项正确，B．∵DE∥BC，∴＝，∵EF∥AB，∴DE＝BF，∴＝，∴＝，故本选项正确，C．∵EF∥AB，∴＝，∵CF≠DE，∴≠，故本选项错误，D．∵EF∥AB，∴＝，∴＝，故本选项正确，故选：C．2．【分析】作等边三角形ABE，然后作外接圆，求得直线y＝﹣x+m与外接圆相切时的m的值，即可求得m的取值范围．【解答】解：如图，作等边三角形ABE，∵A（﹣3，0），B（3，0），∴OA＝OB＝3，∴E在y轴上，当E在AB上方时，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y＝﹣x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P1重合时m的值最大，当P与P1重合时，连接QP1，则QP1⊥直线y＝﹣x+m，∵OA＝3，∴OE＝3，设⊙Q的半径为x，则x2＝32+（3﹣x）2，解得x＝2，∴EQ＝AQ＝PQ＝2，∴OQ＝，由直线y＝﹣x+m可知OD＝OC＝m，∴DQ＝m﹣，CD＝m，∵∠ODC＝∠P1DQ，∠COD＝∠QP1D，∴△QP1D∽△COD，∴＝，即＝，解得m＝+2，当E在AB下方时，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y＝﹣x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P2重合时m的值最小，当P与P2重合时，同理证得m＝﹣﹣2，∴m的取值范围是﹣﹣2≤m≤+2，故选：D．二、填空题3．【分析】由矩形的性质可证明S矩形AEGM＝S矩形CFGN＝2×5＝10，即可求解．【解答】解：作GM⊥AB于M，延长MG交CD于N．则有四边形AEGM，四边形DEGN，四边形CFGN，四边形BMGF都是矩形，∴AE＝BF＝2，S△ADB＝S△DBC，S△BGM＝S△BGF，S△DEG＝S△DNG，∴S矩形AEGM＝S矩形CFGN＝2×5＝10，∴S阴＝S矩形CFGN＝5，故答案为：5．4．【分析】由图象分别求出a＞0，c＝﹣2，b＝﹣a＜0，则函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2，则对称轴x＝，由开口向上的函数的图象开口与a的关系可得：当a变大，函数y＝ax2﹣ax﹣2的开口变小，依据这个性质判断m的取值情况．【解答】解：由图象可知，a＞0，c＝﹣2，∵对称轴x＝﹣＝，∴b＝﹣a＜0，∴abc＞0；∴①正确；A、B两点关于x＝对称，∴m+n＝1，∴③正确；a＞0时，当a变大，函数y＝ax2﹣ax﹣2的开口变小，则AB的距离变小，∴⑤不正确；若m＜﹣1，n＞2，由图象可知n＞1，∴④不正确；当a＝1时，对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，当a＞1时，函数开口变小，则有m＞﹣1的时候，∴②不正确；故答案①③．三、解答题5．【分析】（1）当△DEF∽△COD时，＝，DF＝DE cos∠CDO＝，据此求出EF的长度和点F的坐标即可；（2）首先以CD为直径作圆，设其圆心为P，交直线a于点Q、Q′，连接PQ，P Q′，由圆周角定理，可得∠CQO＝∠CQ′O＝∠CDO，在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD＝，则PQ＝CD＝；然后求出点P的坐标是多少；设Q（﹣1，a），则（）2+（a﹣）2＝，据此求出a的值是多少，进而求出Q点坐标是多少即可．【解答】解：（1）∵A（1，0），B（0，3），∴OA＝1，OB＝3，∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，∴OC＝1，OD＝3，∴C（0，1），D（﹣3，0），如图1，当△DEF∽△COD时，＝∴EF＝，∴F（﹣1，）；当△DEF∽△COD时，DF＝DE cos∠CDO＝，作FK⊥OD于K，则FK＝DF sin∠CDO＝，DK＝DF cos∠CDO＝，∴F（﹣，）；（2）如图2，以CD为直径作圆，设其圆心为P，交直线a于点Q、Q′，连接PQ，P Q′，由圆周角定理，可得∠CQO＝∠CQ′O＝∠CDO，在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD＝，则PQ＝CD＝，又∵P为CD中点，P（﹣，），设Q（﹣1，a），则（）2+（a﹣）2＝，解得a＝2或﹣1，∴Q（﹣1，2）或（﹣1，﹣1）．6．【分析】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）作PF∥BO交AB于点F，证△PFD∽△OBD，得比例线段，则PF取最大值时，求得的最大值；（3）（i）点F在y轴上时，P在第一象限或第二象限，如图2，3，过点P作PH⊥x轴于H，根据正方形的性质可证明△CPH≌△FCO，根据全等三角形对应边相等可得PH＝CO＝2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii）点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，同理可证得△EPS≌△CPK，可得PS＝PK，则P点的横纵坐标互为相反数，可求出P点坐标；点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，可得PN＝PM，则P点的横纵坐标相等，可求出P点坐标．由此即可解决问题．【解答】解：（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0，∴A（﹣4，0），B（0，4），把A，B两点的坐标代入解析式得，，解得，，∴抛物线的解析式为；（2）如图1，作PF∥BO交AB于点F，∴△PFD∽△OBD，∴，∵OB为定值，∴当PF取最大值时，有最大值，设P（x，），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），∴PF＝＝，∵且对称轴是直线x＝﹣2，∴当x＝﹣2时，PF有最大值，此时PF＝2，；（3）∵点C（2，0），∴CO＝2，（i）如图2，点F在y轴上时，若P在第二象限，过点P作PH⊥x轴于H，在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，∴∠HPC＝∠OCF，在△CPH和△FCO中，，∴△CPH≌△FCO（AAS），∴PH＝CO＝2，∴点P的纵坐标为2，∴，解得，，x＝﹣1+（舍去）．∴，如图3，点F在y轴上时，若P在第一象限，同理可得点P的纵坐标为2，此时P2点坐标为（﹣1+，2）（ii）如图4，点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，同理可证得△EPS≌△CPK，∴PS＝PK，∴P点的横纵坐标互为相反数，∴，解得x＝2（舍去），x＝﹣2，∴，如图5，点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，∴PN＝PM，∴P点的横纵坐标相等，∴，解得，（舍去），∴，综合以上可得P点坐标为，，．。

2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：一次函数一．选择题（共10小题）1．如图，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（）A．（4，2）B．（2，4）C．（，3）D．（2+2，2）2．如图，△ABC顶点坐标分别为A（1，0）、B（4，0）、C（1，4），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（）A．4B．8C．D．163．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．则过B、C两点直线的解析式为（）A．y＝x+3B．y＝x+3C．y＝x+3D．y＝x+34．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行．直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点E，F．将菱形ABCD沿x轴向左平移k个单位，当点C落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），k的值可能是（）A．2B．3C．4D．55．如图，点B，C分别在直线y＝2x和直线y＝kx上，A，D是x轴上两点，若四边形ABCD 是长方形，且AB：AD＝1：2，则k的值是（）A．B．C．D．6．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为t秒．当S△BCD＝时，t的值为（）A．2或2+3B．2或2+3C．3或3+5D．3或3+57．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（）A．y＝x+B．y＝x+C．y＝x+D．y＝x+8．如图，点M（﹣3，4），点P从O点出发，沿射线OM方向1个单位/秒匀速运动，运动的过程中以P为对称中心，O为一个顶点作正方形OABC，当正方形面积为128时，点A 坐标是（）A．（，）B．（，11）C．（2，2）D．（，）9．如图，直线AB：y＝﹣x+9交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点C（﹣1，0），D为y 轴上一动点，把线段BD绕B点逆时针旋转120°得到线段BE，连接CE，CD，则当CE 长度最小时，线段CD的长为（）A．B．C．2D．510．如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x＝﹣5与x轴交于点D，直线y＝﹣x﹣与x轴及直线x＝﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB．①C（﹣13，0），E（﹣5，﹣3）；②直线AB的解析式为：y＝x+5；③设面积的和S＝S△CDE+S四边形ABDO，则S＝32；④在求面积的和S＝S△CDE+S四边形ABDO时，琪琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，即S＝S△CDE+S四边形ABDO ＝S△AOC”．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共10小题）11．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为．12．如图，点M是直线y＝2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标．13．如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在y轴的正半轴上，且OC＝3．在直线AB上有一点P，若满足∠CPB＞∠ACB，则点P横坐标x的取值范围是．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y ＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝．15．如图，平面直角坐标系中，已知点P（2，2），C为y轴正半轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP交于点A，且BD＝4AD，直线CD与直线OP交于点Q，则点Q的坐标为．16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），连结AB，点P是线段AB上的一个动点（包括两端点），直线y＝﹣x上有一动点Q，连结OP，PQ，已知△OPQ的面积为，则点Q的坐标为．17．如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（3，4），点P为x轴上的一点，若点B关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上，则点P的坐标为．18．平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与x轴和y轴分别交于B、C两点，与直线x＝4交于点D，直线x＝4与x轴交于点A，点M（3，0），点E为直线x＝4上一动点，点F 为直线y＝﹣x﹣1上一动点，ME+EF最小值为，此时点F的坐标为．19．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，以PC为边做等腰直角三角形PCD，∠CPD＝90°，PC＝PD，过点D作线段AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则Q点的坐标是．20．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函数表达式是y＝2x+4，若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x 轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是．三．解答题（共10小题）21．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）请直接写出直线l的表达式；（2）求出△ABC的面积；（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0）点，B（0，b），且a、b满足a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0，点P在直线AB的左侧，且∠APB＝45°．（1）求a、b的值；（2）若点P在x轴上，求点P的坐标；（3）若△ABP为直角三角形，求点P的坐标．23．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y1＝x 交于点C．（1）当直线AB解析式为y2＝﹣x+10时，如图1．①求点C的坐标；②根据图象求出当x满足什么条件时﹣x+10＜x．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为9，且OA＝6．P，Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值：若不存在，说明理由．24．如图1，已知直线y＝2x+4与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证BE＝DE；（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，a）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图（a），直线l1：y＝kx+b经过点A、B，OA＝OB＝3，直线12：y＝x﹣2交y轴于点C，且与直线l1交于点D，连接OD．（1）求直线11的表达式；（2）求△OCD的面积；（3）如图（b），点P是直线11上的一动点；连接CP交线段OD于点E，当△COE与△DEP的面积相等时，求点P的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8与x轴和y轴分别交于点B和点C，与直线OA相交于点A（3，4）．（1）求点B和点C的坐标；（2）求△OAC的面积；（3）在线段OA或射线AC上是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由；（4）若点N是线段OC上一点，若将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在x轴负半轴上的点D处，求BN所在直线的函数关系式．27．如图，直线y＝kx+b与x轴，y轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（﹣2，0），且2OA＝OB．（1）求直线AB解析式；（2）如图，将△AOB向右平移6个单位长度，得到△A1O1B1，求线段OB1的长；（3）求（2）中△AOB扫过的面积．28．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A和B的融合点．例如：M（﹣1，8），N（4，﹣2），则点T（1，2）是点M和N的融合点．如图，已知点D（3，0），点E是直线y ＝x+2上任意一点，点T（x，y）是点D和E的融合点．（1）若点E的纵坐标是6，则点T的坐标为；（2）求点T（x，y）的纵坐标y与横坐标x的函数关系式：（3）若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．29．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标（6，0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连结CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；（3）如图2，连结OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．30．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB ＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：在y＝﹣x+2中令x＝0，解得：y＝2；令y＝0，解得：x＝2．则OA＝2，OB＝2．∴在直角△ABO中，AB＝＝4，∠BAO＝30°，又∵∠BAB′＝60°，∴∠OAB′＝90°，∴B′的坐标是（2，4）．故选：B．2．【解答】解：如图所示，当△ABC向右平移到△DEF位置时，四边形BCFE为平行四边形，C点与F点重合，此时C在直线y＝2x﹣6上，∵C（1，4），∴FD＝CA＝4，将y＝4代入y＝2x﹣6中得：x＝5，即OD＝5，∵A（1，0），即OA＝1，∴AD＝CF＝OD﹣OA＝5﹣1＝4，则线段BC扫过的面积S＝S平行四边形BCFE＝CF•FD＝16．故选：D．3．【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+3中，令x＝0得：y＝3；令y＝0，解得x＝4，∴B的坐标是（0，3），A的坐标是（4，0）．如图，作CD⊥x轴于点D．∵∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAD＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠BAO．在△ABO与△CAD中，，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．则C的坐标是（7，4）．设直线BC的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得，∴直线BC的解析式是y＝x+3．故选：A．4．【解答】解：连接AC，BD，交于点Q，过C作y轴垂线，交y轴于点M，交直线EF于点N，如图所示，∵菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行，∴CQ＝AQ＝1，CM＝2，即AC＝2AQ＝2，∴C（2，2），当C与M重合时，k＝CM＝2；当C与N重合时，把y＝2代入y＝x+4中得：x＝﹣2，即k＝CN＝CM+MN＝4，∴当点C落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），k的范围为2＜k＜4，则k的值可能是3，故选：B．5．【解答】解：设长方形的AB边的长为a，则BC边的长度为2a，B点的纵坐标是a，把点B的纵坐标代入直线y＝2x的解析式得：x＝，则点B的坐标为（，a），点C的坐标为（+2a，a），把点C的坐标代入y＝kx中得，a＝k（+2a），解得：k＝．故选：B．6．【解答】解：根据题意得：∠BAC＝90°，∴∠CAO+∠BAE＝90°，∵BE⊥x轴，∴∠AEB＝90°＝∠AOC，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠CAO＝∠ABE．∴△CAO∽△ABE．∴＝，∵M是AC的中点，AB＝AM，∴CA＝2AB，∴＝，∴BE＝t，AE＝2．分两种情况：①当0＜t＜8时，如图1所示：S＝CD•BD＝（2+t）（4﹣）＝解得：t1＝t2＝3．②当t＞8时，如图2所示，S＝CD•BD＝（2+t）（﹣4）＝．解得：t1＝3+5，t2＝3﹣5（不合题意，舍去）．综上所述：当t＝3或3+5时，S＝；故选：D．7．【解答】解：直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC ⊥OC于C，∵正方形的边长为1，∴OB＝3，∵经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴三角形ABP面积是8÷2+1＝5，∴BP•AB＝5，∴AB＝2.5，∴OA＝3﹣2.5＝0.5，由此可知直线l经过（0，0.5），（4，3）设直线方程为y＝kx+b，则，解得．∴直线l解析式为y＝x+．故选：A．8．【解答】解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，设直线OM的解析式为y＝kx，直线AC的解析式为y＝k′x+b，∵点M（﹣3，4），∴4＝﹣3k，∴k＝﹣，∵四边形ABCO是正方形，∴直线AC⊥直线OM，∴k′为，∵四边形ABCO是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠AOD+∠COE＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°∴∠COE＝∠OAD，在△COE和△OAD中，∴△COE≌△OAD（AAS），∴CE＝OD，OE＝AD，设A（a，b），则C（﹣b，a），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∴解得m＝，∴＝，整理得，b＝7a，∵正方形面积为128，∴OA2＝128，在RT△AOD中，AD2+OD2＝OA2，即（7a）2+a2＝128，解得，a＝，∴b＝7a＝7×＝，∴A（，），故选：D．9．【解答】解：如图，设D（0，m）．由题意：B（5，0）．在BD的下方作等边三角形△BDQ，延长DQ到M，使得QM＝DQ，连接BM，DE，DE 交BQ于点N，作MH⊥x轴于H．∵△BDQ是等边三角形，∴∠DQB＝∠DBQ＝60°，∵QM＝BQ，∴∠QMB＝∠QBM，∵∠DQB＝∠QMB+∠BQM，∴∠QMB＝∠QBM＝30°，∴∠DBM＝90°，∴BM＝BD，∵∠DBO+∠ODB＝90°，∠DBO+∠MBH＝90°，∴∠MBH＝∠BDO，∵∠DOB＝∠MHB＝90°，∴△DOB∽△BHM，∴＝＝＝，∵OD＝m，OB＝5，∴BH＝m，MH＝5，∴M（5﹣m，﹣5），∵MQ＝DQ，∴Q（，），∵∠DBE＝120°，∴∠DBN＝∠EBN＝60°，∴DE⊥BQ，DN＝NE，QN＝BN，∴N（，），E（，），∴CE2＝（）2+（）2＝m2﹣6m+91，∴当m＝﹣＝3时，CE的值最小，此时D（0，3），∴CD＝＝2，故选：C．10．【解答】解：∵在直线y＝﹣x﹣中，令y＝0，则有0＝﹣x﹣，∴x＝﹣13，∴C（﹣13，0），令x＝﹣5，则有y＝﹣×（﹣5）﹣＝﹣3，∴E（﹣5，﹣3），故①正确；∵点B，E关于x轴对称，∴B（﹣5，3），∵A（0，5），∴设直线AB的解析式为y＝kx+5，∴﹣5k+5＝3，∴k＝，∴直线AB的解析式为y＝x+5．故②错误；由①知，E（﹣5，﹣3），∴DE＝3，∵C（﹣13，0），∴CD＝﹣5﹣（﹣13）＝8，∴S△CDE＝CD×DE＝12，由题意知，OA＝5，OD＝5，BD＝3，∴S四边形ABDO＝（BD+OA）×OD＝20，∴S＝S△CDE+S四边形ABDO＝12+20＝32，故③正确；④由③知，S＝32，在△AOC中，OA＝5，OC＝13，∴S△AOC＝OA×OC＝32.5，∴S△CDE+S四边形ABDO＝12+20≠S△AOC．故④错误．综上所述，正确的结论有2个．故选：B．二．填空题（共10小题）11．【解答】解：当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE，∵∠EAB＝∠ABO，∴AE∥OB，∵A（0，8），∴E点纵坐标为8，又E点在直线y＝x+4上，把y＝8代入可求得x＝4，∴E点坐标为（4，8）；当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，设E点坐标为（a，a+4），设直线AE的解析式为y＝kx+b，把A、E坐标代入可得，解得，∴直线AE的解析式为y＝x+8，令y＝0可得x+8＝0，解得x＝，∴C点坐标为（，0），∴AC2＝OC2+OA2，即AC2＝（）2+82，∵B（4，0），∴BC2＝（4﹣）2＝（）2﹣+16，∵∠EAB＝∠ABO，∴AC＝BC，∴AC2＝BC2，即（）2+82＝（）2﹣+16，解得a＝﹣12，则a+4＝﹣8，∴E点坐标为（﹣12，﹣8）．方法二：设C（m，0），∵∠ACB＝∠CBA，∴AC＝BC，∴（4﹣m）2＝m2+82，解得m＝﹣6，∴直线AE的解析式为y＝x+8，由，解得．∴E（﹣12，﹣8）．综上可知，E点坐标为（4，8）或（﹣12，﹣8）．故答案为：（4，8）或（﹣12，﹣8）．12．【解答】解：当M运动到（﹣1，1）时，ON＝1，MN＝1，∵MN⊥x轴，所以由ON＝MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合条件的两个P点；又∵当M运动到第三象限时，要MN＝MP，且PM⊥MN，设点M（x，2x+3），则有﹣x＝﹣（2x+3），解得x＝﹣3，所以点P坐标为（0，﹣3）．如若MN为斜边时，则∠ONP＝45°，所以ON＝OP，设点M（x，2x+3），则有﹣x＝﹣（2x+3），化简得﹣2x＝﹣2x﹣3，这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点；又∵当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P＝M′P，∠M′N′P＝45°，设点M′（x，2x+3），则OP＝ON′，而OP＝M′N′，∴有﹣x＝（2x+3），解得x＝﹣，这时点P的坐标为（0，）．综上，符合条件的点P坐标是（0，0），（0，），（0，﹣3），（0，1）．故答案为：（0，0），（0，1），（0，），（0，﹣3）．13．【解答】解：如图所示：过点P1作P1E⊥x轴于点E，∵一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在y轴的正半轴上，且OC＝3，∴AO＝BO＝1，则BC＝2，AC＝，AB＝，当∠CP1B＝∠ACB时，又∵∠CAB＝∠CAP1，∴△CAB∽△P1AC，∴＝，则＝，解得：AP1＝5，则AE＝P1E＝5，故P1（﹣4，5），当∠CPB＞∠ACB时，则点P横坐标x满足：﹣4＜x，同理可得：当∠CP2B＝∠ACB时，又∵∠ABC＝∠P2BC，∴△CAB∽△P2CB，∴＝，则＝，解得：BP2＝2，可得P2（2，﹣1），故当∠CPB＞∠ACB时，则点P横坐标x满足：2＞x，综上所述：﹣4＜x＜2且x≠0．故答案为：﹣4＜x＜2且x≠0．14．【解答】解：∵直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分∴直线必经过正方形的中心∵点B的坐标为（4，4）∴中心为（2，2），代入直线中得：2＝2m﹣2，m＝215．【解答】解：过点P作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F．∵AB⊥OB，∴∠OBF＝∠EOB＝∠FEO＝90°，∴四边形EOBF是矩形，∵P（2，2），∴OE＝PE＝BF＝2，∵∠CPD＝90°，∴∠CPE+∠DPF＝90°，∠ECP+∠CPE＝90°，∴∠ECP＝∠DPF，在△CPE和△PDF中，，∴△CPE≌△PDF（AAS），∴DF＝PE＝2，∴BD＝BF+DF＝4，∵BD＝4AD，∴AD＝1，AB＝OB＝5，∴CE＝PF＝3，∴D（5，4），C（0，5），设直线CD的解析式为y＝kx+b则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+5，由解得，∴点Q的坐标为（，）．故答案为（，）．16．【解答】解：方法一：∵点Q在直线y＝﹣x上，∴设点Q的坐标为（m，﹣m）．∵点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），∴△AOB为等腰直角三角形，点O（0，0）到AB的距离h＝OA＝．设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵点A（0，2），点B（2，0）在直线AB上，∴有，解得．即直线AB的解析式为y＝﹣x+2，∵直线y＝﹣x+2与y＝﹣x平行，∴点P到底OQ的距离为（平行线间距离处处相等）．∵△OPQ的面积S△OPQ＝OQ•h＝OQ＝，∴OQ＝2．由两点间的距离公式可知OQ＝＝2，解得：m＝±，∴点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．故答案为：（，﹣）或（﹣，）．方法二：当P点与A重合时，则△OPQ底OP为2，∵△OPQ的面积为，∴△OPQ的高为，即点Q的横坐标为﹣，∵点Q在直线y＝﹣x上，∴点Q的坐标为（﹣，）；当P点与B重合时，同理可求出点Q的坐标为（，﹣）．综上即可得出点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．17．【解答】方法一：解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把A（0，2），B（3，4）代入得：，解得：k＝，b＝2，∴直线AB的解析式为：y＝x+2；∵点B与B′关于直线AP对称，设B′坐标为（a，0）∴线段BB′的中点坐标为（，2）∵线段BB′的中点在直线AP上，且A点坐标为（0，2）∴A点为线段BB′的中点，即A、B、B′三点共线∴AP⊥AB，∴设直线AP的解析式为：y＝﹣x+c，把点A（0，2）代入得：c＝2，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x+2，当y＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝，∴点P的坐标为：（）；故答案为：（）．方法二：解：如图，连接AB、AB′∵A（0，2），B（3，4）∴AB＝＝∵点B与B′关于直线AP对称∴AB′＝AB＝，在Rt△AOB′中，B′O＝＝3∴B′点坐标为（﹣3，0）设直线BB′方程为y＝kx+b将B（3，4），B′（﹣3，0）代入得：，解得k＝，b＝2∴直线BB′的解析式为：y＝x+2，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x+2，当y AP＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝，∴点P的坐标为：（）；故答案为：（）．18．【解答】解：①如图，作M点关于直线x＝4的对称点M′，然后作M′F⊥直线y＝﹣x﹣1于F，交直线x ＝4于E，此时ME+EF有最小值，最小值为M′F；∵y＝﹣x﹣1与x轴和y轴分别交于B、C两点，令x＝0，可得y＝﹣1，令y＝0，可得x＝﹣2，∴B（﹣2，0），C（0，﹣1），∴OB＝2，OC＝1，∴BC＝＝，∵M（3，0），∴M′（5，0），∴BM′＝5+2＝7，∵M′F⊥直线BC，∴∠BFM′＝90°＝∠BOC，∵∠OBC＝∠FBM′∴△BOC∽△BFM′，∴，即，解得：M′F＝，∴ME+EF的最小值为；②∵直线M′F与直线y＝﹣x﹣1互相垂直，∴直线M′F与直线y＝﹣x﹣1的k互为负倒数，∴设直线M′F的关系式为：y＝2x+b，将M′（5，0），代入y＝2x+b，可得：b＝﹣10，∴直线M′F的关系式为：y＝2x﹣10，将直线y＝2x﹣10与直线y＝﹣x﹣1联立方程组得：，解得：，∴点F的坐标为（，﹣）．故答案为：；（，﹣）．19．【解答】解：解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，∴∠MCP＝∠DPN，∵P（1，1），∴OM＝BN＝1，PM＝1，在△MCP和△NPD中，∴△MCP≌△NPD（AAS），∴DN＝PM，PN＝CM，∵BD＝2AD，∴设AD＝a，BD＝2a，∵P（1，1），∴BN＝2a﹣1，则2a﹣1＝1，∴a＝1，即BD＝2．∵直线y＝x，∴AB＝OB＝3，∴点D（3，2）∴PC＝PD＝＝＝，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝＝＝2，则C的坐标是（0，3），设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入得：k＝﹣，即直线CD的解析式是y＝﹣x+3，∴组成方程组解得：∴点Q（，），故答案为：（，）．20．【解答】解：当x＝0时，y＝2x+4＝4，∴A（0，4）；当y＝2x+4＝0时，x＝﹣2，∴C（﹣2，0）．∴OA＝4，OC＝2，∴AC＝＝2．如图所示．过点B作BD⊥x轴于点D．∵∠ACO+∠ACB+∠BCD＝180°，∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACB＝90°，∴∠CAO＝∠BCD．在△AOC和△CDB中，，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴CD＝AO＝4，DB＝OC＝2，OD＝OC+CD＝6，∴点B的坐标为（﹣6，2）．如图所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB，∵∠AOC＝90°，AC＝2，∴OE＝CE＝AC＝，∵BC⊥AC，BC＝2，∴BE＝＝5，若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝5+．若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝5+，∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为5+，故答案为：5+．三．解答题（共10小题）21．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线l的表达式为：；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13∵△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC＝AB2＝；（3）连接BP，PO，P A，则：①若点P在第一象限时，如图1：∵S△ABO＝3，S△APO＝a，S△BOP＝1，∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝，即，解得；②若点P在第四象限时，如图2：∵S△ABO＝3，S△APO＝﹣a，S△BOP＝1，∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝，即，解得a＝﹣3；故：当△ABC与△ABP面积相等时，实数a的值为或﹣3．22．【解答】解：（1）∵a2﹣4a+4+|2a+b|＝0，∴（a﹣2）2+|2a+b|＝0，∴a＝2，b＝4．（2）由（1）知，b＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4．∵点P在直线AB的左侧，且在x轴上，∠APB＝45°∴OP＝OB＝4，∴B（4，0）．（3）由（1）知a＝﹣2，b＝4，∴A（2，0），B（0，4）∴OA＝2，OB＝4，∵△ABP是直角三角形，且∠APB＝45°，∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，如图，①当∠ABP＝90°时，∵∠BAP＝45°，∴∠APB＝∠BAP＝45°．∴AB＝PB．过点P作PC⊥OB于C，∴∠BPC+∠CBP＝90°，∵∠CBP+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BPC．在△AOB和△BCP中，∠AOB＝∠BCP＝90°，∠ABO＝∠BPC，AB＝PB，∴△AOB≌△BCP（AAS）．∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2．∴OC＝OB﹣BC＝2．∴P（﹣4，2）．②当∠BAP＝90°时，过点P'作P'D⊥OA于D，同①的方法得，△ADP'≌△BOA（AAS）．∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4．∴OD＝AD﹣OA＝2．∴P'（﹣2，2））．即：满足条件的点P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）．23．【解答】解：（1）①由題意，，解得：，所以C（4，4）．②观察图象可知x＞4时，直线AB位于直线OC的下方，即x＞4时，﹣x+10＜x．（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连结MQ，∵ON平分∠AOC，∴∠AOQ＝∠COQ，又OQ＝OQ．∴△POQ≌△MOQ（SAS），∴PQ＝MQ，∴AQ+PQ＝AQ+MQ，当A、Q、M在同一直銭上，且AM⊥OC吋，AQ+MQ最小，即AQ+PQ存在最小値；∴AB⊥ON，∴∠AEO＝∠CEO，∴△AEO≌△CEO（ASA），∴OC＝OA＝6，∵△OAC的面积为9，∴OC•AM＝9，∴AM＝3，∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．24．【解答】解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OBA+∠QBC＝90°，∴∠OAB＝∠QBC，又∵AB＝BC，∠AOB＝∠Q＝90°，∴△ABO≌△BCQ（AAS），∴BQ＝AO＝4，OQ＝BQ+BO＝6，CQ＝OB＝2，∴C（﹣6，2），由A（0，4），C（﹣6，2）可知，直线AC：y＝x+4；（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC＝AD，AB⊥CB，∴BC＝BD，∴△BCH≌△BDF（AAS），∴BF＝BH＝4，∴OF＝OB＝2，∴DG＝OB，∴△BOE≌△DGE（AAS），∴BE＝DE；（3）如图3，直线BC：y＝﹣x﹣1，P（﹣，k）是线段BC上一点，∴P（﹣，），由y＝x+4知M（﹣12，0），∴BM＝10，则S△BCM＝10．设点N（n，0），则BN＝|n+2|，假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，则BN•y C＝×10，n＝或﹣，故点N的坐标为：（，0）或（﹣，0）．25．【解答】解：（1）OA＝OB＝3，则点A、B的坐标分别为：（3，0）、（0，3），将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线11的表达式为：y＝﹣x+3…①；（2）联立l1、l2的表达式得：，解得：，故点D（2，1）；△OCD的面积＝×OA•y D＝3×1＝；（3）△COE与△DEP的面积相等，则S△CDO＝S△CDE+S△OCE＝S△PED+S△CED＝S△PCD，则点P、O到CD的距离相等，故OP所在的直线与CD平行，则直线OP的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：x＝，则点P（，）．26．【解答】解：（1）设y＝0，则x＝6；设点x＝0，则y＝6，故点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，8）；（2）S△OAC＝×CO×x A＝×8×3＝12；（3）存在点M使S△OMC＝S△OAC，设M的坐标为（x，y）；OA的解析式是y＝mx，则3m＝4，解得：，则直线OA的解析式是：，∵当S△OMC＝S△OAC时，即，又∵OC＝8，∴，当M在线段OA上时，x＞0，所以时，y＝1，则M的坐标是；当M在射线上时，则y＝7，则M的坐标是；则y＝9，则M的坐标是，综上所述：M的坐标是：或或；（4）在Rt△OBC中，∠COB＝90°，OB＝6，OC＝8，∴，∵△BCN沿直线BN折叠后，所得三角形为△BDN，∴CN＝DN，BD＝BC＝10，∴OD＝4在Rt△ODN中，设ON＝x，则DN＝8﹣x，∴42+x2＝（8﹣x）2∴x＝3，故点N（0，3），设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0）代入A（6，0），N（0，3）得：，解得，∴直线AM的解析式为．27．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），∴OA＝2，∵OB＝2OA＝4，∴B（0，4），把A（﹣2，0）和B（0，4）代入y＝kx+b中得：，解得：，∴直线AB解析式为：y＝2x+4；（2）∵∠AOB＝90°，∴∠AO1B1＝90°，由平移得：OO1＝6，O1B1＝OB＝4，由勾股定理得：OB1＝＝2，即线段OB1的长是2；（3）△AOB扫过的面积＝+4×6＝28．28．【解答】解：（1）∵点E是直线y＝x+2上一点，点E的纵坐标是6，∴x+2＝6，解得，x＝4，∴点E的坐标是（4，6），∵点T（x，y）是点D和E的融合点，∴x＝＝，y＝＝2，∴点T的坐标为（，2），故答案为：（，2）；（2）设点E的坐标为（a，a+2），∵点T（x，y）是点D和E的融合点，∴x＝，y＝，解得，a＝3x﹣3，a＝3y﹣2，∴3x﹣3＝3y﹣2，整理得，y＝x﹣；（3）设点E的坐标为（a，a+2），则点T的坐标为（，），当∠THD＝90°时，点E与点T的横坐标相同，∴＝a，解得，a＝，此时点E的坐标为（，），当∠TDH＝90°时，点T与点D的横坐标相同，∴＝3，解得，a＝6，此时点E的坐标为（6，8），当∠DTH＝90°时，该情况不存在，综上所述，当△DTH为直角三角形时，点E的坐标为（，）或（6，8）．29．【解答】解：（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：，∴，把x＝3代入，得y＝4，∴C（3，4）；（2）作CF⊥x轴于点F，EG⊥x轴于点G，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∠CDE＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠EDG＝∠DEG，且∠CFD＝∠DGE＝90°，∴△CDF≌△DEG（AAS）∴CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，∴OG＝4+m，∴E（4+m，m﹣3）；（3）点E（4+m，m﹣3），则点E在直线l：y＝x﹣7上，设：直线l交y轴于点H（0，﹣7），过点O作直线l的对称点O′，∵直线l的倾斜角为45°，则HO′∥x轴，则点O′（7，﹣7），连接CO′交直线l于点E′，则点E′为所求点，OC是常数，△OCE周长＝OC+CE+OE＝OC+OE′+CE′＝OC+CE′+O′E′＝OC+CO′为最小，由点C、O′的坐标得，直线CO′的表达式为：y＝﹣x+联立，解得：，故：．30．【解答】解：（1）y＝k1x+6，当x＝0时，y＝6，∴OB＝6，∵OB＝OA，∴OA＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，k1＝，∴直线l1的解析式为：y＝x+6；（2）如图1，过C作CH⊥x轴于H，∵C（，1），∴OH＝，CH＝1，Rt△ABO中，AB＝＝4，∴AB＝2OA，∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝30°，∴EH＝，∴OE＝OH+EH＝2，∴E（2，0），把E（2，0）和C（，1）代入y＝k2x+b中得：，解得：，∴直线l2：y＝﹣x+2，∴F（0，2）即BF＝6﹣2＝4，则，解得，∴D（﹣，3），∴S△BCD＝BF（x C﹣x D）＝＝4；（3）分四种情况：①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，∵△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，∴∠MDQ＝∠CQN，∴△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，﹣m+1），∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，即﹣m+1＝m+6+，m＝＝1﹣2，∴Q（0，2）；②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m+1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，即m+6﹣＝﹣m﹣1，m＝5﹣4，∴Q（6﹣4，0）；③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m﹣1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6﹣＝﹣m+1，m＝﹣4﹣5，∴Q（﹣4﹣6，0）；④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，m+1），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6+＝﹣m﹣1，m＝﹣2﹣1，∴Q（0，﹣2）；综上，存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）．。

2020年中考数学压轴题每日一练（4.17）一、选择题1．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（）A．S1＝S2+S3B．S2＝S3C．S3＞S2＞S1D．S1S2＜S32第1题第2题2．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，已知AB＝4，AD＝2，△GEF与△AEF关于直线EF成轴对称．当点F沿AD边从点A运动到点D时，点G的运动路径长为（）A．2B．4πC．2πD．二、填空题3．如图，ABCDE是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为．第3题第4题4．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为．三、解答题5．已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，以CE、BC为边作平行四边形CEFB，连CD、CF．（1）如图1，当E、D分别在AC和AB上时，求证：CD＝CF；（2）如图2，△ADE绕点A旋转一定角度，判断（1）中CD与CF的数量关系是否依然成立，并加以证明；（3）如图3，AE＝，AB＝，将△ADE绕A点旋转一周，当四边形CEFB为菱形时，直接写出CF的长．6．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠BAO＝，且线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8＝0的根．（1）求直线AB的函数表达式．（2）点E在y轴负半轴上，直线EC⊥AB，交线段AB于点C，交x轴于点D，S△DOE ＝16．点F是直线CE上一点，分别过点E，F作x轴和y轴的平行线交于点G，将△EFG 沿EF折叠，使点G的对应点落在坐标轴上，求点F的坐标．（3）在（2）的条件下，点M是DO的中点，点N，P，Q在直线BD或y轴上，是否存在点P，使四边形MNPQ是矩形？若存在，请画出示意图并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S3＝S2，即可得到结论．【解答】解：∵点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，AD⊥y轴，BE，CF垂直x轴于点E、F，∴S1＝k，S△BOE＝S△COF＝k，∵S△BOE﹣S OME＝S△CDF﹣S△OME，∴S3＝S2，故选：B．2．【分析】由轴对称性质可知，GE＝AE＝2是定长，故点G的运动路径为以E为圆心、AE 长为半径的圆弧上，圆弧的最大角度即点F到达中点D时，∠AEG的度数．利用AD、AE的长可求tan∠AED的值，求得∠AED并进而求得∠AEG为特殊角．再代入弧长公式即求出点G的运动路径长．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，E是AB的中点∴AE＝AB＝2∵△GEF与△AEF关于直线EF成轴对称∴GE＝AE＝2，∠GEF＝∠AEF∴G在以E为圆心，AE长为半径的圆弧上运动如图，当点F与点D重合时，AD＝∴tan∠AED＝∴∠AED＝60°∴∠AEG＝2∠AED＝120°∴G运动路径长为：2π×2×＝故选：D．二、填空题3．【分析】直接利用圆环面积求法进而得出答案．【解答】解：正五边形的内切圆与外接圆所围圆环的面积为：π（OA2﹣OH2）＝π×AH2＝．故答案为：．4．【分析】由轴对称的性质可知AM＝AD，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．【解答】解：如图所示：连接AM．∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝＝＝．∵点D与点M关于AE对称，∴AM＝AD＝1．∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝﹣1，故答案为：﹣1．三、解答题5．【分析】（1）连接FD．证明△ADC≌△EDF（SAS）推出△DFC为等腰直角三角形即可解决问题．（2）成立．连接FD，证明△ADC≌△EDF（SAS）推出△DFC为等腰直角三角形即可解决问题．（3）分两种情形分别画出图形，利用（2）中结论求出CD即可解决问题．【解答】（1）证明：连接FD，∵AD＝ED，∠ADE＝90°，∴∠DAC＝∠AED＝45°，∵四边形BCEF是平行四边形，∠BCE＝90°，∴四边形BCEF是矩形，∴∠CEF＝∠AEF＝90°，BC＝EF＝AC，∴∠DEF＝45°，∴∠A＝∠DEF，∴△ADC≌△EDF（SAS），∴DC＝DF，∠DCA＝∠DFE，∴∠FDC＝∠FEC＝90°，从而△DFC为等腰直角三角形，∴CD＝CF．（2）解：成立．理由：连接FD，∵AD⊥DE，EF⊥AC，∴∠DAC＝∠DEF，又AD＝ED，AC＝EF，∴△ADC≌△EDF（SAS），∴DC＝DF，∠ADC＝∠EDF，即∠ADE+∠EDC＝∠FDC+∠EDC，∴∠FDC＝∠ADE＝90°∴△DFC为等腰直角三角形，∴CD＝CF．（3）解：如图3﹣1中，设AE与CD的交点为M，∵CE＝CA，DE＝DA，∴CD垂直平分AE，∴＝，DM＝，∴CD＝DM+CM＝3，∵CF＝CD∴CF＝6．如图3﹣2中，设AE与CD的交点为M，同法可得CD＝CM﹣DM＝﹣＝2，∴CF＝CD＝4，综上所述，满足条件的CF的值为6或4．6．【分析】（1）解方程求出OB，解直角三角形求出OA，可得A（﹣8，0），B（0，4），再利用待定系数法即可解决问题．（2）如图1中，设G的对应点为H，过点H作y轴的平行线IR，分别过E，F作x轴平行线与IR交于点I，R．可证△FHI∽△HER，推出＝＝＝2，设ER＝m，则IH＝2m，可得F（m﹣16，2m），再利用待定系数法即可解决问题．（3）分三种种情形分别求解：①如图3﹣1，当四边形MNPQ是矩形时．②如图3﹣2，当四边形MNPQ是矩形时，点N与原点重合．③如图3﹣3，当四边形MNPQ是矩形时．【解答】解：（1）∵线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8＝0的根，∴OB＝4，又tan∠BAO＝＝，∴OA＝8，∴A（﹣8，0）．B（0，4），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，解得∴直线AB：y＝x+4．（2）如图1中，设G的对应点为H，过点H作y轴的平行线IR，分别过E，F作x轴平行线与IR交于点I，R．∵直线EC⊥AB，S△DOE＝16，∴OD＝4，OE＝8，可得直线DE：y＝﹣2x﹣8，∵∠GFE＝∠DEO，∴GE：GF＝EH：HF＝1：2∵∠FHE＝∠I＝∠R＝90°，可证△FHI∽△HER，∴＝＝＝2，设ER＝m，则IH＝2m，∴F（m﹣16，2m），把点F坐标代入y＝﹣2x﹣8，得到：2m＝﹣2（m﹣16）﹣8，∴m＝6，∴F（﹣10，12）．（3）如图3﹣1，当四边形MNPQ是矩形时，∵OD＝OB＝4，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴∠PNB＝∠ONM＝45°，∴OM＝DM＝ON＝2，∴BN＝2，PB＝PN＝，∴P（﹣1，3）．如图3﹣2，当四边形MNPQ是矩形时，点N与原点重合，易证△DMQ是等腰直角三角形，OP＝MQ＝DM＝2，∴P（0，2）．如图3﹣3，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交BD于R，则R（﹣1，3），∴P（0，6）．如图3﹣4中，当QN是对角线时，P（2，6）．。

几何综合-填空选择压轴题41、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为．2、如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．√6cm C．2.5cm D．√5cm3、定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形．若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推……△An﹣1Bn﹣1Cn﹣1经γ（n，180°）变换后得△AnBnCn，则点A1的坐标是，点A2018的坐标是．4、我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A．20 B．24 C．994D．5325、如图，直线y=﹣√33x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D 是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为．6、小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为49√3cm2，则该圆的半径为cm．27、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是．8、如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）A．√15 B．2√5 C．2√15 D．89、如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE 的值是（）A．√24 B．14C．13D．√2310、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．32B．43C．53D．8511、如图，在正方形ABCD中，AD=2√3，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为．12、如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（）A．9+25√34 B．9+25√32C．18+25√3 D．18+25√3213、如图，点O 是▱ABCD 的对称中心，AD ＞AB ，E 、F 是AB 边上的点，且EF=12AB ；G 、H 是BC 边上的点，且GH=13BC ，若S 1，S 2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则S 1与S 2之间的等量关系是 ．14、如图，已知∠POQ=30°，点A 、B 在射线OQ 上（点A 在点O 、B 之间），半径长为2的⊙A 与直线OP 相切，半径长为3的⊙B 与⊙A 相交，那么OB 的取值范围是（ ）A ．5＜OB ＜9 B ．4＜OB ＜9C ．3＜OB ＜7D ．2＜OB ＜715、如图，在矩形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交CD 于点E ．若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC 的长为 ．16、如图，在菱形ABCD中，tanA=43，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，BNCN的值为．17、如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）A．32B．2 C．52D．318、如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=14AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则S△ADGS△BGH的值为（）A．12B．23C．34D．119、如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2√3）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为．20、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为．21、如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r 1：r2= ．22、对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为（）A．7 B．6 C．5 D．423、如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．（结果保留根号）24、如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=√3x于点B 1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则A2019B2018̂的长是．25、如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP 的长为．26、如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为．27、如图，在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，点D为边AB的中点，连结CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′∥AB，则CE′＝．。

1、 《求长度》 （答案）1、（容易）如图1的矩形ABCD 中，有一点E 在AD 上，今以BE 为折线将A 点往右折，如图2所示，再作过A 点且与CD 垂直的直线，交CD 于F 点，如图3所示，若AB= 36，BC=13，∠BEA=60°，则图3中AF 的长度为 4【解】作AH ⊥BC 于H2、（难）如图，矩形ABCD 与菱形EFGH 的对角线均交于点O ，且EG ∥BC ，将矩形折叠，使点C 与点O 重合，折痕MN 恰好过点G 若AB=6，EF=2，∠H=120°，则DN 的长为36-【解】长EG 交DC 于P 点，连接GC 、FH ；如图所示： 则CP=DP=21CD=26，△GCP 为直角三角形，∵四边形EFGH 是菱形，∠EHG=120°，∴GH=EF=2，∠OHG=60°，EG ⊥FH ，∴OG=GH•sin60°=2×23=3，由折叠的性质得：CG=OG=3，OM=CM ，∠MOG=∠MCG ，∴PG==26，∵OG ∥CM ，∴∠MOG+∠OMC=180°，∴∠MCG+∠OMC=180°，∴OM ∥CG ，∴四边形OGCM 为平行四边形，∵OM=CM ，∴四边形OGCM 为菱形，∴CM=OG=3，根据题意得：PG 是梯形MCDN 的中位线，∴DN+CM=2PG=6，∴DN=36-3、（中等）如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC=7，则MN 的长度为25【解】△BNA ≅△BNE∴BA=BE ，∴△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，∴点N 是AE 中点，点M 是AD 中点（三线合一），∴MN 是△ADE 的中位线， ∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，∴DE=BE+CD-BC=5，∴MN=21DE=25．4、（难度）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处（不与B 、D 重合），折痕为EF ，若DG=2，BG=6，则BE 的长为______2.8【解】作EH ⊥BD ，设BE=x在Rt △EHG 中，EG 2=EH 2+GH 2，即(8－x )2=(23x )2+(6－21x )2，解得，x =2.8，即BE=2.8， 故答案为：2.85、如图，▱ABCD 中，AB=7，BC=3，连接AC ，分别以点A 和点C 为圆心，大于21AC 的长为半径作弧， 两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交CD 于点E ，连接AE ，则△AED 的周长是_____ 10．6、（容易）如图，ABCD 的对角线相交于点O ，且AD CD ，过点O 作OM AC ，交AD 于点M ．如果CDM 的周长为8，那么ABCD 的周长是_ 16【解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，∵OM ⊥AC ，∴AM=CM ，∵△CDM 的周长为8， ∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=8，∴平行四边形ABCD 的周长是：2×8=16.7、（中等）如图，正方形ABCD 的边长为12，点E 在边AB 上，BE=8，过点E 作EF ∥BC ，分别交BD 、CD 于G 、F 两点．若点P 、Q 分别为DG 、CE 的中点，则PQ 的长为_____ 1328、（难度）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=OB ，点E 、点F 分别是OA 、OD 的中点，连接EF ，∠CEF=45°，EM ⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，FN=，则线段BC 的长为_____249、（难度）如图，平行四边形ABCD 中，AM ⊥BC 于M ，AN ⊥CD 于N ，已知AB ＝10，BM ＝6，MC ＝3，则MN 的长为___________5734【方法】将目标量置入直角三角形中10、（容易）如上图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，当△AEF 的周长最小时，则DF 的长为 4【解】以CD 为对称轴作对称变换11、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 、DE ，将△DEC 沿线段DE 翻折，点C 恰好落在线段AE 上的点F 处．若AB ＝6，BE : EC ＝4 : 1，则线段DE 的长为 ____102_______．【方法】AD = AE=10；勾股定理12、如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是 [5【解】连接EF 交AC 于O ，∵四边形EGFH 是菱形，∴EF ⊥AC ，OE =OF ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠D =90°，AB ∥CD ，∴∠ACD =∠CAB ， 在△CFO 与△AOE 中，，∴△CFO ≌△AOE ，∴AO =CO ，A BDCM NAE BDC F∵AC ==4，∴AO =21AC =2，∵∠CAB =∠CAB ，∠AOE =∠B =90°，∴△AOE ∽△ABC ，∴，∴，∴AE =5．13、（难度）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝2．点E 是BC 边上的一个动点，连接AE ，过点D 作DF ⊥AE 于点F ．当△CDF 是等腰三角形时，BE 的长为 1、2、22-【解】①CF ＝CD 时，过点C 作CM ⊥DF ，垂足为点M ，则CM ∥AE ，DM ＝MF ，延长CM 交AD 于点G ，∴AG ＝GD ＝1，∴CE ＝1， ∵CG ∥AE ，AD ∥BC ，∴四边形AGCE 是平行四边形，∴CE ＝AG ＝1，∴BE ＝1 ∴当BE ＝1时，△CDF 是等腰三角形；②DF ＝DC 时，则DC ＝DF ＝2，∵DF ⊥AE ，AD ＝2，∴∠DAE ＝45°，则BE ＝2， ∴当BE ＝2时，△CDF 是等腰三角形；③FD ＝FC 时，则点F 在CD 的垂直平分线上，故F 为AE 中点． ∵AB ＝2，BE ＝x ，∴AE ＝，AF ＝，∵△ADF ∽△EAB ，∴＝，，x 2﹣4x +2＝0，解得：x ＝2±2，∴当BE ＝22-时，△CDF 是等腰三角形．综上，当BE ＝1、2、22-时，△CDF 是等腰三角形．14、如图，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB=60度．连接对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACC 1D 1，使∠D 1AC=60°；连接AC 1，再以AC 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2，使∠D 2AC 1=60°；…，按此规律所作的第n 个菱形的边长为 1)3(-n ．解：连接DB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB ．AC ⊥DB ， ∵∠DAB=60°，∴△ADB 是等边三角形，∴DB=AD=1，∴BM=21， ∴AM==23，∴AC=3，同理AC 1=3AC=（3）2，AC 2=3AC 1=33=（3）3， 按此规律所作的第n 个菱形的边长为1)3(-n15、如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果AB=4，AO=26，那么AC 的长等于 16 ．【解】如图，过O 点作OG 垂直AC ，G 点是垂足．∵∠BAC=∠BOC=90°，∴ABCO 四点共圆，∴∠OAG=∠OBC=45° ∴△AGO 是等腰直角三角形，∴2AG 2=2GO 2=AO 2=2)26(=72， ∴OG=AG=6，∵∠BAH=∠OGH=90°，∠AHB=∠OHG ，∴△ABH ∽△GOH ，∴AB/OG=AH/（AG ﹣AH ），∵AB=4，OG=AG=6，∴AH=2.4 在直角△OHC 中，∵HG=AG ﹣AH=6﹣2.4=3.6，OG 又是斜边HC 上的高， ∴OG 2=HG×GC ，而OG=6，GH=3.6，∴GC=10．∴AC=AG+GC=6+10=16． 故AC 边的长是16．16、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=2，BC=5，E 为DC 中点，tanC=34．则AE 的长度为265【解】过点E 作BC 的垂线交BC 于点F ，交AD 的延长线于点M ， 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是DC 的中点，∴∠M=∠MFC ，DE=CE ；在△MDE 和△FCE 中，∠M=∠MFC ，∠DEM=∠CEF ，DE=CE ；∴△MDE ≌△FCE ，∴EF=ME ，DM=CF ． ∵AD=2，BC=5，∴DM=CF=23， 在Rt △FCE 中，tanC=CFEF =34，∴EF=ME=2，在Rt △AME 中，AE=265)232(222=++ 17、如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 边于E ，EF ⊥AE 交CD 边于F ，延长BA 到点G ，使AG = CF ，连接GF ．若BC = 7，DF = 3，tan ∠AEB =3 ，则GF 的长为 23【解】连接AC ，羊场AE 与DC 延长线交于一点H18、（容易）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = 3，BC=4，连结BD ，∠BAD 的平分线交BD 于 点E ，且AE ∥CD ，则AD 的长为1DG ABCDEMABC DEF【解】构造平行四边形。

2020中考数学填空题-压轴题专练（30道） 1．（2020·广东省初三一模）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过点（12，0）和（m ，y ），对称轴为直线x ＝﹣1，下列5个结论：其中正确的结论为_____．（注：只填写正确结论的序号）①abc ＞0；①a +2b +4c ＝0；①2a ﹣b ＞0；①3b +2c ＞0；①a ﹣b ≥m （am ﹣b ）2．（2020·南昌二中高新校区初三期中）给出下列命题及函数y=x ，y=x 2和y=1x 的图象．（如图所示） ①如果1a ＞a ＞a 2，那么0＜a ＜1； ①如果a 2＞a ＞1a，那么a ＞1； ①如果a ＞a 2＞1a ，那么﹣1＜a ＜0； ①如果a 2＞1a＞a ，那么a ＜﹣1， 则正确的是_____（填序号）3．（2020·重庆西南大学附中初三期末）已知二次函数()2223y m x mx m =-++-的图象与x 轴有两个交点()()12,0,,0x x ，则下列说法正确的有：_________________．(填序号)①该二次函数的图象一定过定点()1,5--；①若该函数图象开口向下，则m 的取值范围为：6 25m <<；①当2,m >且12x ≤≤时，y 的最大值为45m -；①当2,m >且该函数图象与x 轴两交点的横坐标12,x x 满足1232,10x x -<<--<<时，m 的取值范围为：21114m <<． 4．（2019·广东省金山中学初三月考）我们定义一种新函数：形如2y ax bx c =++（0a ≠，且240b a ->）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x 2-2x -3|223y x x =--的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为()1,0-，()3,0和()0,3；①图象具有对称性，对称轴是直线1x =；①当11x -≤≤或3x ≥时，函数值y 随x 值的增大而增大；①当1x =-或3x =时，函数的最小值是0；①当1x =时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是______.5．（2020·浙江省初三期末）如图，抛物线21322y x x =--的图象与坐标轴交于点A 、B 、D ，顶点为E ，以AB 为直径画半圆交y 轴的正半轴于点C ，圆心为M ，P 是半圆AB 上的一动点，连接EP ，N 是PE 的中点，当P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点N 运动的路径长是__________．6．（2020·长沙市长郡双语实验中学初三开学考试）如图，抛物线21322y x x =--的图象与坐标轴交于点A ，B ，D ，顶点为E ，以AB 为直径画半圆交y 正半轴交于点C ，圆心为M ，P 是半圆上的一动点，连接EP ．①点E 在①M 的内部；①CD 的长为32；①若P 与C 重合，则①DPE ＝15°；①在P 的运动过程中，若AP，则PE N 是PE 的中点，当P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点N 运动的路径长是2π．其中结论正确的是______________7．（2020·全国初二课时练习）如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点（点M 不与B ，C 重合），过点C 作CN 垂直DM 交AB 于点N ，连结OM ，ON ，MN .下列五个结论：①CNB DMC ∆≅∆；①ON OM =；①ON OM ⊥；①若2AB =，则OMN S ∆的最小值是1；①222AN CM MN +=.其中正确结论是_________.（只填序号）8．（2020·安徽省初三其他）如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD 、BE 、CE ，线段AD 分别与BE和CE 相交于点M 、N ，给出下列结论：①①AME=108°，①AN 2=AM•AD ；①MN=3①S ①EBC 1，其中正确的结论是_________（把你认为正确结论的序号都填上）．9．（2019·黑龙江省初三二模）如图，在ABC ∆中，D 在边BC 上，点E F 、在边AC 上，,, 75, 60AF BD AE DE ADF CDE ︒︒==∠=∠=，连接AD， ,6,BF AD DF ==则线段BF 的长为__________10．（2020·青海省初三其他）如图，在Rt①AOB 中，①AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝4，①O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作①O 的一条切线PC （点C 为切点），则线段PC 长的最小值为_____．11．（2019·四川省初三二模）如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，在ABC ∆内一点P ，已知123∠=∠=∠，将BCP ∆以直线PC 为对称轴翻折，使点B 与点D 重合，PD 与AB 交于点E ，连结AD ，将APD ∆的面积记为1S ，将BPE ∆的面积记为2S ，则21SS 的值为___________．12．（2020·山东省济南山大名师培训学校初三月考）如图，边长一定的正方形ABCD ，Q 是CD 上一动点，AQ 交BD 于点M ，过M 作MN①AQ 交BC 于N 点，作NP①BD 于点P ，连接NQ ，下列结论：①AM=MN ；①MP=12BD ；①BN+DQ=NQ ；①AB BN BM+为定值．其中一定成立的是_______． 13．（2020·山东省初三月考）如图，在矩形ABCD 中，3AD =.将A ∠向内翻折，点A 落在BC 上，记为A '，折痕为DE .若将B Ð沿EA '向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B '，则AB =______．14．（2020·山东省初二期中）如图，在□ABCD 中，AB =10，BC =5，BN 平分①ABC 交CD 于点N ，交AD 的延长线于点M ，则下列结论：①DM =5；①线段BM 、CD 互相平分；①BD ①AM ；①①BCN 是等边三角形；①AN ①BM ，其中正确的有______________（填序号）．15．（2018·南京玄武外国语学校初二期中）如图，已知等腰①ABC 中，AB =AC ，①BAC =120°，AD ①BC 于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP =OC ，下面的结论：①①APO +①DCO =30°；①①OPC 是等边三角形：①AC =DO +AP ；①S ①ABC =S 四形形AOCP ．其中正确的是_______．（填序号）16．（2020·广东省初三其他）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别是线段AB 、AD 上的动点（不与端点重合），且AE ＝DF ，BF 与DE 相交于点G ．给出如下几个结论：①①AED ①①DFB ；①①BGE大小会发生变化；①CG 平分①BGD ；①若AF ＝2DF ，则BG ＝6GF ；2BCDG S 四边形⑤．其中正确的结论有_____（填序号）．17．（2020·陕西省初三其他）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，①ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，将①AOD 沿y 轴翻折，使点A 落在x 轴上的点E 处，点B 恰好为OE 的中点，DE 与BC 交于点F ．若y =kx（k ≠0）图象经过点C ，且S ①BEF ＝1，则k 的值为________．18．（2018·南京玄武外国语学校初二期中）在Rt①ABC 中，①ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将①AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____.19．（2020·江苏省初三期中）如图，已知点A 是第一象限内的一个定点，若点P 是以O 为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP ，以AP 为边向AP 右侧作等边三角形APB ．当点P 在①O 上运动一周时，点B 运动的路径长是_________．20．（2019·河北省初三二模）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，4AC =，点P 是线段AB 上一动点．将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转，得到11A B C ∆．点E 是1A C 上一点，且12A E =，则PE 长度的最小值为_________，最大值为_________．21．（2020·哈尔滨德强学校初三一模）如图，Q 为正方形ABCD 外一点，连接BQ ，过点D 作DQ ①BQ ，垂足为Q ，G 、K 分别为AB 、BC 上的点，连接AK 、DG ，分别交BQ 于F 、E ，AK ①DG ，垂足为点H ，AF＝5，DH ＝8，F 为BQ 中点，M 为对角线BD 的中点，连接HM 并延长交正方形于点N ，则HN 的长为_____．22．（2019·山东省初三二模）如图，ABCD 、CEFG 是正方形，E 在 CD 上，直线 BE 、DG 交于 H ，且HE•HB＝4﹣，BD、AF 交于M，当 E 在线段CD（不与C、D 重合）上运动时，下列四个结论：①BE①GD；①AF、GD 所夹的锐角为45°；①GD＝AM；①若BE 平分①DBC，则正方形ABCD的面积为4，其中结论正确的是____（填序号）．23．（2020·北京清华附中初三月考）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE①EF．有下列结论：①①BAE＝30°；①射线FE是①AFC的角平分线；①AE2＝AD•AF；①AF＝AB+CF．其中正确结论为是______．（填写所有正确结论的序号）24．（2020·济南育英中学初三一模）如图，正方形ABCD的边长为1，AC、BD是对角线，将①DCB绕着点D顺时针旋转45°得到①DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四；①①AFG＝135°；①BC+FG．其中正确的结论是边形AEGF是菱形；①①HED的面积是1﹣2_____．（填入正确的序号）25．（2020·安徽省初三学业考试）如图，在Rt①ABC中，①C=90°，AC=10，BC=15，点D，E，P分别是边AC，AB；BC上的点，且AD=4，AE=4EB．若PDE是等腰三角形，则CP的长是__________．26．（2020·安徽省初三月考）如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于Oe，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则EFGH的值是________．27．（2020·湖北省初三三模）如图，在Rt①ABC中，①ACB＝90°，点D在AC上，DE①AB于点E，且CD ＝DE．点F在BC上，连接EF，AF，若①CEF＝45°，①B＝2①CAF，BF＝2，则AB的长为_____．28．（2020·浙江省初三一模）如图，已知①ABC中，①BAC＝120°，AB＝AC＝．D为BC边一点，且BD：DC＝1：2．以D为一个点作等边①DEF，且DE＝DC连接AE，将等边①DEF绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当AE取得最大值时AF的长为_____．29．（2020·长沙市中雅培粹学校初二月考）如图，正方形ABCD 中，AB 6=，点E 在边CD 上，且CD 3DE =，将ADE V 沿AE 对折至AFE.V延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF.下列结论：ABG V ①①AFG V ；BG GC ②=；AG //CF ③；GCF V ④是等边三角形，其中正确结论有______．30．（2020·山东省初三一模）如图，在矩形ABCD 中，4,6AB BC ==，点E 为对角线BD 的中点，点F 在CB 的延长线上，且1BF =，连接EF ，过点E 作EG EF ⊥交BA 的延长线于点G ，连接GF 并延长交DB 的延长线于点H ，则EH GH=__________.2020中考数学填空题-压轴题专练（30道）答案详解1．（2020·广东省初三一模）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过点（12，0）和（m ，y ），对称轴为直线x ＝﹣1，下列5个结论：其中正确的结论为_____．（注：只填写正确结论的序号）①abc ＞0；①a +2b +4c ＝0；①2a ﹣b ＞0；①3b +2c ＞0；①a ﹣b ≥m （am ﹣b ）【答案】②②．【解析】解：②抛物线开口向上②0a >②抛物线对称轴为直线12bx a =-=-②2b a =，则20a b -=，所以②错误；②0b >②抛物线与y 轴的交点在x 轴下方②0c <②0abc <，所以②错误； ②12x =时，0y =②11042a b c ++=，即240a b c ++=，所以②正确； ②12a b =，0a b c ++> ②1202b bc ++>，即320b c +>，所以②正确； ②1x =-时，函数值最小②()21a b c m a mb c m -+≤-+≠②()a b m am b -≤-，所以②错误． 故答案是：②② 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数的性质，灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式． 2．（2020·南昌二中高新校区初三期中）给出下列命题及函数y=x ，y=x 2和y=1x的图象．（如图所示） ①如果1a＞a ＞a 2，那么0＜a ＜1； ①如果a 2＞a ＞1a，那么a ＞1； ①如果a ＞a 2＞1a，那么﹣1＜a ＜0； ①如果a 2＞1a＞a ，那么a ＜﹣1， 则正确的是_____（填序号）【答案】②② 【解析】由图象可知，当反比例函数图象在最上面，二次函数图象在最下面时，自变量的取值范围是0＜x ＜1，则②正确；当二次函数图象在最上面，反比例函数图象在最下面时，自变量的取值范围是x ＞1和﹣1＜a ＜0，则②错误； 没有一次函数图象在最上面，反比例函数图象在最下面的可以性，则②错误；当二次函数图象在最上面，一次函数图象在最下面时，自变量的取值范围是x ＜-1，则②正确， 故答案为②②.3．（2020·重庆西南大学附中初三期末）已知二次函数()2223y m x mx m =-++-的图象与x 轴有两个交点()()12,0,,0x x ，则下列说法正确的有：_________________．(填序号) ①该二次函数的图象一定过定点()1,5--；①若该函数图象开口向下，则m 的取值范围为：625m <<； ①当2,m >且12x ≤≤时，y 的最大值为45m -；①当2,m >且该函数图象与x 轴两交点的横坐标12,x x 满足1232,10x x -<<--<<时，m 的取值范围为：21114m <<． 【答案】①②④【解析】由题目中2(2)23y m x mx m =-++-可知：2a m =- ，2b m =，3c m =-， 由题意二次函数图象与x 轴有两个交点，则：22444(2)(3)20240b ac m m m m ∆=-=---=->，即65m >， ②将1x =-代入二次函数解析式中，(2)235y m m m =--+-=-，则点(1,5)--在函数图象上，故正确；②若二次函数开口向下，则20m -<，解得2m <，且65m >，所以m 的取值范围为：625m <<，故正确；②当2m >时，20m ->，即二次函数开口向上，对称轴221122(2)2b m x a m m =-=-=--<---，对称轴在1x =-左侧，则当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大，当2x =时有最大值，4(2)43911y m m m m =-++-=-，故错误；②当2m >时，20m ->，即二次函数开口向上， ②132x -<<-，②当3x =-时，0y >，2x =-时，0y <，即()()9263042430m m m m m m ⎧--+->⎪⎨--+-<⎪⎩，解得：21114m <<， ②210x -<<，②当1x =-时，0y <，0x =时，0y >，即223030m m m m --+-<⎧⎨->⎩，解得：3m >，综上，21114m <<，故正确． 故答案为：②②②． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，以及利用不等式组求字母取值范围，熟练掌握二次函数各系数与图象之间的关系是解题的关键．4．（2019·广东省金山中学初三月考）我们定义一种新函数：形如2y ax bx c =++（0a ≠，且240b a ->）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x 2-2x -3|223y x x =--的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为()1,0-，()3,0和()0,3；①图象具有对称性，对称轴是直线1x =；①当11x -≤≤或3x ≥时，函数值y 随x 值的增大而增大；①当1x =-或3x =时，函数的最小值是0；①当1x =时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是______.【答案】4 【解析】解：②②()1,0-，()3,0和()0,3坐标都满足函数223y x x =--，②②是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线1x =，因此②也是正确的；②根据函数的图象和性质，发现当11x -≤≤或3x ≥时，函数值y 随x 值的增大而增大，因此②也是正确的； ②函数图象的最低点就是与x 轴的两个交点，根据0y =，求出相应的x 的值为1x =-或3x =，因此②也是正确的；②从图象上看，当1x <-或3x >，函数值要大于当1x =时的2234y x x =--=，因此②是不正确的； 故答案是：4【点睛】理解“鹊桥”函数2y ax bx c =++的意义，掌握“鹊桥”函数与2y ax bx c =++与二次函数2y ax bx c=++之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数2y ax bx c =++与x 轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握. 5．（2020·浙江省初三期末）如图，抛物线21322y x x =--的图象与坐标轴交于点A 、B 、D ，顶点为E ，以AB 为直径画半圆交y 轴的正半轴于点C ，圆心为M ，P 是半圆AB 上的一动点，连接EP ，N 是PE 的中点，当P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点N 运动的路径长是__________．【答案】π 【解析】解：22131(1)2222y x x x =--=--， ②点E 的坐标为（1，-2）， 令y=0，则213022x x =--， 解得，11x =-，23x =， ②A （-1，0），B （3,0）， ②AB=4，由于E 为定点，P 是半圆AB 上的动点，N 为EP 的中点，所以N 的运动路经为直径为2的半圆，如图， ②点N 运动的路径长是12=2ππ⨯⨯.【点睛】本题属于二次函数和圆的综合问题，考查了运动路径的问题，熟练掌握二次函数和圆的基础是解题的关键. 6．（2020·长沙市长郡双语实验中学初三开学考试）如图，抛物线21322y x x =--的图象与坐标轴交于点A ，B ，D ，顶点为E ，以AB 为直径画半圆交y 正半轴交于点C ，圆心为M ，P 是半圆上的一动点，连接EP ．①点E 在①M 的内部；①CD 的长为32；①若P 与C 重合，则①DPE ＝15°；①在P 的运动过程中，若AP，则PE N 是PE 的中点，当P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点N 运动的路径长是2π．其中结论正确的是______________【答案】②②② 【解析】 解：抛物线21322y x x =--的图象与坐标轴交于点A ，B ，D ， 则点A 、B 、D 的坐标分别为：（-1，0）、（3，0）、（0，-32），则点M （1，0）， 顶点E 的坐标为：（1，-2），AB=4，CO=3，OD=32，故点D 不在②M 上； ②ME=2=AM ，②E 应该在②M 上，故不符合题；②C 是圆M 与y 轴交点，圆M 半径为2，M （1，0）由勾股定理得OC=3， CD=2×32=3，故CD 的长为332+，符合题意； ②如图1，连接DP 、ME ，点D 、E 均在②M 上，过点D 作DH②ME 于H ， ②DH=1，MD=R=2，故②DME=30°，则②DPE=15°，符合题意；②如图2，连接PB、PA、AE，②点B、E均在圆上，则②ABP=②AEP=α，sin②AEP=sin②ABP=AP6AB==sinα，则cosα=10，过点A作AK垂直于PE于K，则AK=AEsinα=22×64=3，EK=AEcosα═5，则PK=AK=3，故则PE=53+，符合题意；②如图3，图中实点G、N、M、F是点N运动中所处的位置，则GF是等腰直角三角形的中位线，GF=12AB=2，ME交AB于点R，则四边形GEFM为正方形，当点P在半圆任意位置时，中点为N，连接MN，则MN②PE，连接NR，则NR=12ME=MR=RE=RG=RF=12GF=1，则点N的运动轨迹为以R为圆心的半圆，则N运动的路径长=12×2πr=π，故不符合题意；故答案为：②②②．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，关键在于确定抛物线上有的点也同时在圆上即可，本题综合性强，难度较大．7．（2020·全国初二课时练习）如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点（点M 不与B ，C 重合），过点C 作CN 垂直DM 交AB 于点N ，连结OM ，ON ，MN .下列五个结论：①CNB DMC ∆≅∆；①ON OM =；①ON OM ⊥；①若2AB =，则OMN S ∆的最小值是1；①222AN CM MN +=.其中正确结论是_________.（只填序号）【答案】②②②② 【解析】②正方形ABCD 中，CD=BC ，②BCD=90°， ②②BCN+②DCN=90°， 又②CN②DM ， ②②CDM+②DCN=90°， ②②BCN=②CDM ， 又②②CBN=②DCM=90°，②②CNB②②DMC （ASA ），故②正确； 根据②CNB②②DMC ，可得CM=BN ， 又②②OCM=②OBN=45°，OC=OB ， ②②OCM②②OBN （SAS ）， ②OM=ON ，故②正确； ②②OCM②②OBN ②②COM=②BON②②COM+②BOM=②BON+②BOM=90°②ON②OM故②正确；②②OCM②②OBN，②四边形BMON的面积=②BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，②当②MNB的面积最大时，②MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=2-x，②②MNB的面积=12x（2-x）=-12x2+x，②当x=1时，②MNB的面积有最大值12，此时S②OMN的最小值是1-12=12，故②不正确；②AB=BC，CM=BN，②BM=AN，又②Rt②BMN中，BM2+BN2=MN2，②AN2+CM2=MN2，故②正确；点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最值的运用．8．（2020·安徽省初三其他）如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD、BE、CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M、N，给出下列结论：①①AME=108°，①AN2=AM•AD；①MN=3①S①EBC1，其中正确的结论是_________（把你认为正确结论的序号都填上）．【答案】②②②【解析】解：②②BAE =②AED =108°．②AB =AE =DE ，②②ABE =②AEB =②EAD =36°，②②AME =180°﹣②EAM ﹣②AEM =108°，故②正确；②②AEN =108°﹣36°=72°，②ANE =36°+36°=72°，②②AEN =②ANE ，②AE =AN ，同理DE =DM ，②AE =DM ．②②EAD =②AEM =②ADE =36°，②②AEM ②②ADE ②AE AD =AM AE，②AE 2=AM •AD ； ②AN 2=AM •AD ；故②正确；②AE 2=AM •AD ，②22=（2﹣MN ）（4﹣MN ），解得：MN =3②正确；在正五边形ABCDE 中，②BE =CE =AD ②BH =12BC =1，②EH ，②S ②EBC =12BC •EH =12，故②错误； 故答案为②②②．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．9．（2019·黑龙江省初三二模）如图，在ABC ∆中，D 在边BC 上，点E F 、在边AC 上，,, 75, 60AF BD AE DE ADF CDE ︒︒==∠=∠=，连接AD ， ,6,BF AD DF ==则线段BF 的长为__________【答案】【解析】解：如图，过点F 作FG DF ^，且DF FG ==，连接DG ，AG ，过点D 作DH AG ⊥于H ，DF FG ==Q FG DF ^，6DG \=，45FDG ∠=︒，6AD DG \==，120ADG ∠=︒，且DH AG ⊥，30DAG DGA \???，AH GH =，132DH AD \==，AH ==，AG \=AE DE =Q ，EAD ADE \??，180105AFD ADF DAE DAE ??????Q ，195AFG AFD DFG DAE \?????，EDFADF ADE ???Q 75EDF DAE \???，180()195BDFCDE EDF DAE \??????， BDF AFG \??，且BD AF =，DF FG =，()AFG BDF SAS \D @DBF AG \==故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．10．（2020·青海省初三其他）如图，在Rt①AOB 中，①AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝4，①O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作①O 的一条切线PC （点C 为切点），则线段PC 长的最小值为_____．【答案】5【解析】连接OP 、OC ，如图所示，②PC 是②O 的切线，②OC②PC ，根据勾股定理知：PC 2＝OP 2﹣OC 2，②当PO②AB 时，线段PC 最短，②在Rt②AOB 中，OA ＝3，OB ＝4，②AB ＝5，②②S ②AOB ＝12OA•OB ＝12AB•OP ，即OP ＝345⨯＝125， ②OC ＝2，②PC ＝5，故答案为：5． 【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握切线的性质是解本题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．11．（2019·四川省初三二模）如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，在ABC ∆内一点P ，已知123∠=∠=∠，将BCP ∆以直线PC 为对称轴翻折，使点B 与点D 重合，PD 与AB 交于点E ，连结AD ，将APD ∆的面积记为1S ，将BPE ∆的面积记为2S ，则21S S 的值为___________．【答案】12【解析】连结BD ，延长CP 交BD 于点F ，如下图所示：由翻折可知CF BD ⊥，BF DF =，BPF DPF ∠=∠②123∠=∠=∠，ABC ∆为等腰直角三角形，②1290ACP ACP ︒∠+∠=∠+∠=，2345PBC PBC ︒∠+∠=∠+∠=，②90APC ∠=︒，45BPF ∠=︒，②AP BD ∥，45DPF ∠=︒，DF FB PF ==，②90APC CFB PAC FCB AC BC α︒⎧∠=∠=⎪∠=∠=⎨⎪=⎩②APC CFB ∆∆≌，②AP CF =，CP BF PF ==，②AP BD =，②四边形ADBP 为平行四边形， ②2112S S =． 【点睛】本题考查三角形全等的判断，以及平行四边形的证明，属综合中档题.12．（2020·山东省济南山大名师培训学校初三月考）如图，边长一定的正方形ABCD ，Q 是CD 上一动点，AQ 交BD 于点M ，过M 作MN①AQ 交BC 于N 点，作NP①BD 于点P ，连接NQ ，下列结论：①AM=MN ；①MP=12BD ；①BN+DQ=NQ ；①AB BN BM+为定值．其中一定成立的是_______．【答案】②②②②【解析】解：②如图1，作AU②NQ 于U ，交BD 于H ，连接AN ，AC ，②②AMN=②ABC=90°，②A ，B ，N ，M 四点共圆，②②NAM=②DBC=45°,②ANM=②ABD=45°，②②ANM=②NAM=45°，②AM=MN ；②由同角的余角相等知，②HAM=②PMN ，②Rt②AHM②Rt②MPN ， ②MP=AH=12AC=12BD ；②②②BAN+②QAD=②NAQ=45°，②在②NAM 作AU=AB=AD ，且使②BAN=②NAU ，②DAQ=②QAU ，②②ABN②②UAN,②DAQ②②UAQ ，有②UAN=②UAQ ，BN=NU ，DQ=UQ ，②点U 在NQ 上，有BN+DQ=QU+UN=NQ ；②如图2，作MS②AB ，垂足为S ，作MW②BC ，垂足为W ，点M 是对角线BD 上的点，②四边形SMWB 是正方形，有MS=MW=BS=BW ，②②AMS②②NMW②AS=NW ，②AB+BN=SB+BW=2BW ，②BW:BM=1: ，②AB BNBM +==故答案为②②②②．【点睛】本题考查了正方形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质；熟练掌握正方形的性质，正确作出辅助线并运用有关知识理清图形中西安段间的关系，证明三角形全等是解决问题的关键．13．（2020·山东省初三月考）如图，在矩形ABCD 中，3AD =.将A ∠向内翻折，点A 落在BC 上，记为A '，折痕为DE .若将B Ð沿EA '向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B '，则AB =______．【解析】解：Q 四边形ABCD 为矩形，90ADC C B ∴∠=∠=∠=︒，AB DC =，由翻折知，AED ∆≅②A ED '，②A BE '≅②A B E ''，90A B E B A B D ''''∠=∠=∠=︒，AED A ED '∴∠=∠，A EB A EB '''∠=∠，BE B E '=，1180603AED A ED A EB ''∴∠=∠=∠=⨯︒=︒，9030ADE AED ∴∠=︒-∠=︒，9030A DE A EB '''∠=︒-∠=︒，30ADE A DE A DC ''∴∠=∠=∠=︒，又90C A B D ''∠=∠=︒Q ，DA DA ''=，∴②()DB A DCA AAS '''≅∆，DC DB '∴=，在Rt AED ∆中，30ADE ∠=︒，3AD =，AE ∴设AB DC x ==，则BE B E x '==222AE AD DE +=Q ，2223(x x ∴+=+，解得，1x =，2x =【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明60AED A ED A EB ''∠=∠=∠=︒．14．（2020·山东省初二期中）如图，在□ABCD 中，AB =10，BC =5，BN 平分①ABC 交CD 于点N ，交AD 的延长线于点M ，则下列结论：①DM =5；①线段BM 、CD 互相平分；①BD ①AM ；①①BCN 是等边三角形；①AN ①BM ，其中正确的有______________（填序号）．【答案】②②②【解析】②②四边形ABCD 是平行四边形②//AM BC ，//DC AB DC AB =，②MDN BCN ∠=∠，CNB ABN ∠=∠②BN 平分②ABC②ABN CBN ∠=∠②CNB CBN ∠=∠②CN CB =②BC =5，AB =10②5CN DN ==在MDN ∆与BCN ∆中MDN BCNDN CN CNB DNM∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩②()MND BCN ASA ∆≅∆②5BC DM ==，故②正确；②②MND BCN ∆≅∆②BN MN =又②DN CN =②线段BM 、CD 互相平分，故②正确；②②由四边形ABCD 是平行四边形得55BC AD DM ===，②10AM AB ==但是题中条件不足以证明MB AB =，则无法根据三线合一求证BD ②AM ，故②错误； ②由②可知CB CN =，但是无法证明NB CB CN ==，故②错误；②由②得AM AB=，由②得BN MN=，则由三线合一可知AN②BM，故②正确，综上，正确的有②②②，故答案为：②②②.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定，三线合一，角平分线等相关内容，熟练掌握三角形与平行四边形的综合求解方法是解决本题的关键.15．（2018·南京玄武外国语学校初二期中）如图，已知等腰①ABC中，AB=AC，①BAC=120°，AD①BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①①APO+①DCO=30°；①①OPC是等边三角形：①AC=DO+AP；①S①ABC=S四形形AOCP．其中正确的是_______．（填序号）【答案】②②②【解析】解：如图1，连接OB，②AB=AC，AD②BC，②BD=CD，②BAD=12②BAC=12×120°=60°，②OB=OC，②ABC=90°-②BAD=30°②OP=OC，②OB=OC=OP ，②②APO=②ABO ，②DCO=②DBO ，②②APO+②DCO=②ABO+②DBO=②ABD=30°；故②正确；②②APC+②DCP+②PBC=180°，②②APC+②DCP=150°，②②APO+②DCO=30°，②②OPC+②OCP=120°，②②POC=180°-（②OPC+②OCP ）=60°，②OP=OC ，②②OPC 是等边三角形；故②正确；如图2，在AC 上截取AE=PA ，②②PAE=180°-②BAC=60°，②②APE 是等边三角形，②②PEA=②APE=60°，PE=PA ，②②APO+②OPE=60°，②②OPE+②CPE=②CPO=60°，②②APO=②CPE ，②OP=CP ，在②OPA 和②CPE 中，PA PEAPO CPE OP CP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，②②OPA②②CPE （SAS ），②AO=CE，②AC=AE+CE=AO+AP；故②错误；如图3，过点C作CH②AB于H，②②PAC=②DAC=60°，AD②BC，②CH=CD，②S②ABC=12 AB•CH，S四边形AOCP=S②ACP+S②AOC=12AP•CH+12OA•CD=12AP•CH+12OA•CH=12CH•（AP+OA）=12 CH•AC，②S②ABC=S四边形AOCP；故②正确．故答案为：②②②.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．16．（2020·广东省初三其他）如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是线段AB、AD上的动点（不与端点重合），且AE＝DF，BF与DE相交于点G．给出如下几个结论：①①AED①①DFB；①①BGE大小会发生变化；①CG 平分①BGD ；①若AF ＝2DF ，则BG ＝6GF ；2BCDGS 四边形⑤．其中正确的结论有_____（填序号）．【答案】②②②．【解析】解：②②ABCD 为菱形，②AB ＝AD ，②AB ＝BD ，②②ABD 为等边三角形，②②A ＝②BDF ＝60°，又②AE ＝DF ，AD ＝BD ，②②AED ②②DFB （SAS ），故本选项②正确；②②②BGE ＝②BDG +②DBF ＝②BDG +②GDF ＝60°，为定值，故本选项②错误；②过点C 作CM ②GB 于M ，CN ②GD 于N （如图1），则②CBM②②CDN（AAS），②CN＝CM，②CG＝CG，②Rt②CNG②Rt②CMG（HL），②②DGC＝②BGC，②CG平分②BGD；故本选项②正确；②过点F作FP②AE交DE于P点（如图2），②AF＝2FD，②FP：AE＝DF：DA＝1：3，②AE＝DF，AB＝AD，②BE＝2AE，②FP：BE＝FP：2AE＝1：6，②FP②AE，②PF②BE，②FG：BG＝FP：BE＝1：6，即BG＝6GF，故本选项②正确；②②②BGE＝②BDG+②DBF＝②BDG+②GDF＝60°＝②BCD，即②BGD +②BCD ＝180°，②点B 、C 、D 、G 四点共圆，②②BGC ＝②BDC ＝60°，②DGC ＝②DBC ＝60°，②②BGC ＝②DGC ＝60°，过点C 作CM ②GB 于M ，CN ②GD 于N （如图1），则②CBM ②②CDN （AAS ），②S 四边形BCDG ＝S 四边形CMGN ，S 四边形CMGN ＝2S ②CMG ，②②CGM ＝60°，②GM ＝12CG ，CM ＝2CG ，②S 四边形CMGN ＝2S ②CMG ＝2×12×CG ×2CG ＝2CG 2，故本选项②错误； 综上所述，正确的结论有②②②，共3个，故答案为②②②．【点睛】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造出全等三角形，学会把不规则图形的面积转化为两个全等三角形的面积解决问题．17．（2020·陕西省初三其他）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，①ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，将①AOD 沿y 轴翻折，使点A 落在x 轴上的点E 处，点B 恰好为OE 的中点，DE 与BC 交于点F ．若y =kx（k ≠0）图象经过点C ，且S ①BEF ＝1，则k 的值为________．【答案】24【解析】解：如图，连接OC，BD，②将②AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，②OA＝OE，②点B恰好为OE的中点，②OE＝2OB，②OA＝2OB，设OB＝BE＝x，则OA＝2x，②AB＝3x，②四边形ABCD是平行四边形，②CD＝AB＝3x，②CD②AB，②②CDF②②BEF，②133BE EF x CD DF x ===， ②S ②BEF ＝1，②S ②BDF ＝3，S ②CDF ＝9，②S ②BCD ＝12，②S ②CDO ＝S ②BDC ＝12，②k 的值＝2S ②CDO ＝24．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18．（2018·南京玄武外国语学校初二期中）在Rt①ABC 中，①ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将①AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____.【答案】15CP ≤≤【解析】如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小，此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，如图，当点F与点C重合时，CP的值最大，此时CP=AC，Rt②ABC中，②ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP的最大值为5，所以线段CP长的取值范围是1≤CP≤5，故答案为1≤CP≤5.【点睛】本题考查了折叠问题，能根据点E、F分别在线段AB、AC上，点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大（小）值是解题的关键.19．（2020·江苏省初三期中）如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在①O上运动一周时，点B运动的路径长是_________．【答案】4π【解析】如图， 以点A 为旋转中心，将AO 逆时针旋转60°，得到线段AO '，，②②APB 为等边三角形，②AP=AB ，②点P 是以O 为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，②点B 的运动轨迹为以点O '为圆心，2个单位长度为半径的圆，②点B 运动的路径长是224ππ⨯⨯=.【点睛】本题考查等边三角形的性质、点的轨迹，解题的关键是得出点B 的轨迹为以点O '为圆心，2个单位长度为半径的圆.20．（2019·河北省初三二模）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，4AC =，点P 是线段AB 上一动点．将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转，得到11A B C ∆．点E 是1A C 上一点，且12A E =，则PE 长度的最小值为_________，最大值为_________．【答案】2- 2【解析】解：90C ∠=︒Q ，30ABC ∠=︒，4AC =，BC ∴=Q 将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转，得到②11A B C14AC AC ∴==，且12A E =2CE =∴∴点E 在以C 为圆心，CE 为半径的圆上，如图，当点C ，点E ，点P 共线，且PC AB ⊥时，PE 长度最小，PC AB ⊥Q ，30ABC ∠=︒12PC BC ∴==PE ∴最小值为2当点P 与点B 重合，且点E 在PC 的延长线上时，PE 长度最大，PE ∴最大值为：2故答案为：2，2【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，确定点E的轨迹是本题的关键．21．（2020·哈尔滨德强学校初三一模）如图，Q为正方形ABCD外一点，连接BQ，过点D作DQ①BQ，垂足为Q，G、K分别为AB、BC上的点，连接AK、DG，分别交BQ于F、E，AK①DG，垂足为点H，AF ＝5，DH＝8，F为BQ中点，M为对角线BD的中点，连接HM并延长交正方形于点N，则HN的长为_____．【答案】7【解析】连接AC，则AC必过BD中点M．②四边形ABCD是正方形，②AB＝AD，②BAD＝②ADC＝90°，作BR②AK于R，连接MR，则②ABR +②BAR ＝②BAR +②DAH ＝90°，②②ABR ＝②DAH ，②DG ②AK 于H ，②②DHA ＝②ARB ＝90°，在②ABR 和②DAH 中：ARB DHAABR DAH AB DA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩②②ABR ②②DAH （AAS ），②BR ＝AH ，AR ＝DH ，②正方形对角线AC 、BD 交于点M ，②AM ＝BM ＝DM ，②BMA ＝②AMD ＝90°，②MBA ＝②MAB ＝②MAD ＝②MDA ＝45°，②②BRA ＝②BMA ，②AHD ＝②AMD ，②A 、B 、R 、M 四点共圆，A 、H 、M 、D 四点共圆，②②ARM ＝②ABM ＝45°，②DHM ＝②DAM ＝45°，②②RHM ＝②RHD ﹣②DHM ＝90°﹣45°＝45°，②②RHM＝②HRM＝45°，②②HMR是等腰直角三角形，②OM＝OH＝OR，作MO②HR，则HO＝OR，连接FM，②F为BQ中点，②FM为②BDQ的中位线，②FM②DQ，②DQ②BQ，②FM②BQ，②②BFM＝②BFR+MFO＝90°，又②②BFR+②FBR＝90°，②②FBR＝②MFO，②②MOF＝②FRB＝90°，②②BFR②②FMO，②MOFO＝FRBR，设FH＝x，OM＝OH＝OR＝y，②AF＝5，DH＝8，②BR＝AH＝AF+FH＝5+x，AR＝DH＝AF+FR＝5+x+2y＝8，②FR＝x+2y＝3，②yx y+＝25x yx++，解得：x＝y＝1，②AH＝AF+x＝6，作NP②DG于P，则②PND+②PDN＝②PDN+②ADH＝90°，②②ADH＝②PND，②②AHD＝②DPN＝90°，②②AHD②②DPN，②PDPN＝HAHD＝68＝34，设PD＝3k，PN＝4k，又②②DHM＝45°，②②HPN是等腰直角三角形，②PH＝PN＝4k，HN PH＝k，②DH＝PD+PH＝3k+4k＝7k＝8，②k＝87，②HN故答案为：7．【点睛】四边形综合题，主要考查了正方形的性质、四点共圆的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、中位线等重要知识点．解题关键是构造全等和相似三角形求出FH．。

2020年中考数学选择填空压轴题汇编：最值问题1.（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC ＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC 的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为2 2 ．【解答】解：如图，连接BE，BD．由题意BD2，∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，∴BE MN＝2，∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为22．故答案为22．2.（2020•玉林）把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（）A．﹣4 B．0 C．2 D．6【解答】解：∵把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y ＝﹣a（x﹣1）2+4a，∴原二次函数的顶点为（1，﹣4a），∴原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，∵（m﹣1）a+b+c≤0，∴（m﹣1）a﹣2a﹣3a≤0，∵a＞0，∴m﹣1﹣2﹣3≤0，即m≤6，∴m的最大值为6，故选：D．3.（2020•河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′2，的长l，∴阴影部分周长的最小值为2．故答案为：．4.（2020•鄂州）如图，已知直线y x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为2．【解答】解：如图，在直线y x+4上，x＝0时，y＝4，当y＝0时，x，∴OB＝4，OA，∴tan∠OBA，∴∠OBA＝30°，由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，∴PQ，由于OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，∴OP OB＝2，此时PQ，BP2，∴OQ OP，即∠OPQ＝30°，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，∴EP BP，∴BE3，∴OE＝4﹣3＝1，∵OE OP，∴∠OPE＝30°，∴∠EPM＝30°+30°＝60°，即∠EMP＝30°，∴PM＝2EP＝2．故答案为：2．5.（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2B．2C．6D．3【解答】解：设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD，∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，（PM+PN），如图1中，作点M关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）P′M+P′N的最小值＝P′N+P′M＝P′N+P′Q＝NQ2，∴AC+BD的最小值为2．故选：B．6.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为2 ．【解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD＝4，OE＝3，∴DE5，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴，∴，∴MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，最小值5×（1）＝2，故答案为2．7.（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为99 ．【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，∵CM⊥AB，CM过O，∴AM＝BM（垂径定理），∴AC＝BC，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM AB3，∴OA3，∴CM＝OC+OM＝33，∴S△ABC AB•CM6×（33）＝99．故答案为：99．8.（2020•扬州）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为9．【解答】解：作CH⊥AB于点H，∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，∴CH＝4，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF∥CG，∴△EOD∽△GOC，∴，∵DF DE，∴，∴，∴，∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，∴CH＝EO，∴EO＝4，∴GO＝5，∴EG的最小值是，故答案为：9．9.（2020•聊城）如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为4+2．【解答】解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，∴AC∥x轴，∴∠BAC＝45°，∵CA＝CB，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠C＝90°，∵B（3，3）∴C（3，1），∴AC＝BC＝2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，∴AE2，∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2，故答案为：4+2．10.（2020•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A． 1 B．C．2 1 D．2【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝21，∴OM CD，即OM的最大值为；故选：B．11.（2020•乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）A．B．C．﹣2 D．【解答】解：点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ BP最大，而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，解得：m2，∴k＝m（﹣m），故选：A．12.（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为15 ．【解答】解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB10，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5，∴A′H AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．13.（2020•新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为 6 ．【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH，AA'＝2，∠C＝30°，∴Rt△CDE中，DE CD，即2DE＝CD，∵A与A'关于BC对称，∴AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'23，∴AD+DE的最小值为3，即2AD+CD的最小值为6，故答案为：6．。

2020年中考数学选择填空压轴题汇编：规律探索1.（2020甘肃天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【解答】解：∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．故选：A．2．（2020贵州铜仁）观察下列等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；2+22+23+24+25＝26﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝m（2m﹣1）（结果用含m的代数式表示）．【解答】解：∵220＝m，∴220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝m（2m﹣1）．故答案为：m（2m﹣1）．3．（2020黑龙江鹤岗）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1，以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2．…．则点B2020的坐标2×32020﹣1，32020．【解答】解：∵点B坐标为（1，1），∴OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，∵A1（2，3），∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，∴B1（5，3），∴A2（8，9），∴A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，∴B2（17，9），同理可得B4（53，27），B5（161，81），…由上可知，Bn（2×3n﹣1，3n），∴当n＝2020时，Bn（2×32020﹣1，32020）．故答案为：（2×32020﹣1，32020）．4.（2020黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是22020．【解答】解：∵点A1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积2，∵A2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的边长为2，∴第2个等腰直角三角形的面积4＝22，∵A4（10，4），∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4，∴第3个等腰直角三角形的面积8＝23，…则第2020个等腰直角三角形的面积是22020；故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．5．（2020黑龙江绥化）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是119 ．【解答】解：∵图1中黑点的个数2×1×（1+1）÷2+（1﹣1）＝2，图2中黑点的个数2×2×（1+2）÷2+（2﹣1）＝7，图3中黑点的个数2×3×（1+3）÷2+（3﹣1）＝14，……∴第n个图形中黑点的个数为2n（n+1）÷2+（n﹣1）＝n2+2n﹣1，∴第10个图形中黑点的个数为102+2×10﹣1＝119．故答案为：119．6.（2020•湖北鄂州）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…B n在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则B n（n为正整数）的坐标是（）A．（2，0）B．（0，）C．（0，）D．（0，2）【解答】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，∵A1（1，1），∴OB1＝2，设A2（m，2+m），则有m（2+m）＝1，解得m1，∴OB2＝2，设A3（a，2n），则有n＝a（2a）＝1，解得a，∴OB3＝2，同法可得，OB4＝2，∴OB n＝2，∴B n（0，2）．故选：D．7．（2020湖北恩施州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（1，2），C （1，﹣2）．已知N（﹣1，0），作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C 的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2020的坐标为（﹣1，8）．【解答】解：由题意得，作出如下图形：N点坐标为（﹣1，0），N点关于A点对称的N1点的坐标为（﹣3，0），N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4），N2点关于C点对称的N3点的坐标为（﹣3，8），N3点关于A点对称的N4点的坐标为（﹣1，8），N4点关于B点对称的N5点的坐标为（3，﹣4），N5点关于C点对称的N6点的坐标为（﹣1，0），此时刚好回到最开始的点N处，∴其每6个点循环一次，∴2020÷6＝336……4，即循环了336次后余下4，故N2020的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为（﹣1，8）．故答案为：（﹣1，8）．8．（2020湖北仙桃）如图，已知直线a：y＝x，直线b：y x和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2020的横坐标为21010．【解答】解：∵点P（1，0），P1在直线y＝x上，∴P1（1，1），∵P1P2∥x轴，∴P2的纵坐标＝P1的纵坐标＝1，∵P2在直线y x上，∴1x，∴x＝﹣2，∴P2（﹣2，1），即P2的横坐标为﹣2＝﹣21，同理，P3的横坐标为﹣2＝﹣21，P4的横坐标为4＝22，P5＝22，P6＝﹣23，P7＝﹣23，P8＝24…，∴P4n＝2，∴P2020的横坐标为221010，故答案为：21010．9.（2020湖南常德）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，这时P是整数，且使0k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m t（t+1），由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．10.（2020湖南衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OP n（n为正整数），则点P2020的坐标是（0，﹣22019）．【解答】解：∵点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；∴OP1＝1，OP2＝2，∴OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝23，OP5＝24…，∴OP n＝2n﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8＝252…4，∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，∴点P2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．11.（2020湖南怀化）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为（2，0）．【解答】解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C OC，设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，t），把B1（t，t）代入y得t•t，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D m，则B2的坐标表示为（2+m，m），把B2（2+m，m）代入y得（2+m）m，解得m1或m1（舍去），∴A1D，A1A2，OA2，∴A2（，0）设A2E的长度为n，同理，B3E为n，B3的坐标表示为（2n，n），把B3（2n，n）代入y得（2n）•n，∴A2E，A2A3，OA3，∴A3（，0），综上可得：A n（，0），故答案为：．12.（2020湖南湘西州）观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也会有类似的结论，你的结论是A1N＝A n M，∠NOA n．【解答】解：∵（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC60°；（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE108°；…根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也有类似的结论是A1N＝A n M，∠NOA n．故答案为：A1N＝A n M，∠NOA n．13．（2020山东德州）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148 B．152 C．174 D．202【解答】解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．14．（2020山东菏泽）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…按照此规律，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，第100个图形中，正方体一共有1+2+3+……+99+100＝5050（个），其中写有“心”字的正方体有100个，∴抽到带“心”字正方体的概率是，故选：D．15．（2020山东威海）如图①，某广场地面是用A，B，C三种类型地砖平铺而成的．三种类型地砖上表面图案如图②所示．现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（A型）地砖记作（1，1），第二块（B型）地砖记作（2，1）…若（m，n）位置恰好为A型地砖，则正整数m，n须满足的条件是m、n 同为奇数或m、n同为偶数．【解答】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数．故答案为m、n同为奇数或m、n同为偶数．16．（2020山东潍坊）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是4039π．【解答】解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，……，AD n﹣1＝AA n＝4（n﹣1）+1，BA n＝BB n＝4（n﹣1）+2，故的半径为BA2020＝BB2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，的弧长．故答案为：4039π．17．（2020四川达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线11：y＝kx+k+1与直线12：y＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是（﹣1，1）；记直线11和12与x轴围成的三角形面积为S k，则S1＝，S1+S2+S3+…+S100的值为．【解答】解：∵直线11：y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）；∵直线12：y＝（k+1）x+k+2＝k（x+1）+（x+1）+1＝（k+1）（x+1）+1，∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）．∴无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（﹣1，1）．∵直线11：y＝kx+k+1与x轴的交点为（，0），直线12：y＝（k+1）x+k+2与x轴的交点为（，0），∴S K||×1，∴S1；∴S1+S2+S3+…+S100[][（1）+（）+…+（）]（1）．故答案为（﹣1，1）；；．18．（2020四川遂宁）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若．（n为正整数），则n的值为4039 ．【解答】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，∴a n＝n（n+1），∵，∴，∴2×（1），∴2×（1），1，解得n＝4039，经检验：n＝4039是分式方程的解，故答案为：4039．19．（2020四川自贡）如图，直线y x+b与y轴交于点A，与双曲线y在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝4，前25个等边三角形的周长之和为60 ．【解答】解：设直线y x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．∵y x+b，∴当y＝0时，x b，即点D的坐标为（b，0），当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），∴OA＝﹣b，OD b．∵在Rt△AOD中，tan∠ADO，∴∠ADO＝60°．∵直线y x+b与双曲线y在第三象限交于B、C两点，∴x+b，整理得，x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2k，即EB•FC k，∵cos60°，∴AB＝2EB，同理可得：AC＝2FC，∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC k＝16，解得：k＝4．由题意可以假设D1（m，m），∴m2•4，∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n，n），∵（4+n）•n＝4，解得n＝22，∴E1E2＝44，即第二个三角形的周长为1212，设D3（4a，a），由题意（4a）•a＝4，解得a＝22，即第三个三角形的周长为1212，…，晨鸟教育∴第四个三角形的周长为1212，∴前25个等边三角形的周长之和12+1212+1212121212121260，故答案为4，60．Earlybird。

专题: 三角形综合问题例1．如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝4 3 ，点E 是折线ADC 上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，使△PCB 为等腰三角形的点E 的位置共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个同类题型1.1 如图，在钝角△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边向△ABC 的外侧作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACF ，EM 平分∠AEB 交AB 于点M ，取BC 中点D ，AC 中点N ，连接DN 、DE 、DF ．下列结论：①EM ＝DN ；②S △CDN ＝13S 四边形ABDN ；③DE ＝DF ；④DE ⊥DF ．其中正确的结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个同类题型1.2 如图，D ，E 分别是△ABC 的边BC ，AC 上的点，若∠B ＝∠C ，∠ADE ＝∠AED ，则（ ）A ．当∠B 为定值时，∠CDE 为定值 B ．当∠1为定值时，∠CDE 为定值C ．当∠2为定值时，∠CDE 为定值D ．当∠3为定值时，∠CDE 为定值同类题型1.3 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2 3 ，∠BAC ＝120°，点D 、E 都在边BC 上，∠DAE ＝60°．若BD ＝2CE ，则DE 的长为______________．例2．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，E 为AB 边上一点，∠BCE ＝15°，且AE ＝A D ．连接DE 交对角线AC 于H ，连接BH ．下列结论： ①ACD ≌△ACE ；②△CDE 为等边三角形；③EH ＝2EB ；④S △AEH S △CEH ＝ EHCD．其中正确的结论是________．同类题型2.1 如图所示，已知：点A（0，0），B（ 3 ，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于____________．同类题型2.2 如图，点P在等边△ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为_________．例3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°＋12∠A；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③EF是△ABC的中位线；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝12mn．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④同类题型3.1 如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（）A．14 B．15 C．3 2 D．2 3同类题型3.2 如图，在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠BAC ＝30°，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM 、ON 上滑动，下列结论：①若C 、O 两点关于AB 对称，则OA ＝23；②C 、O 两点距离的最大值为4； ③若AB 平分CO ，则AB ⊥CO ；④斜边AB 的中点D 运动路径的长为π2 ；其中正确的是______________（把你认为正确结论的序号都填上）．同类题型3.3 如图，直角△ABC 中，∠B ＝30°，点O 是△ABC 的重心，连接CO 并延长交AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交BC 于点F ，连接AF 交CE 于点M ，则MOMF的值为（ ）A ．12B ．54C ．23D ．33例4．如图，在△ABC 中，4AB ＝5AC ，AD 为△ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG ＝FD ，连接EG 交AC 于点H ．若点H 是AC 的中点，则AGFD的值为________．同类题型4.1 如图，已知CO 1 是△ABC 的中线，过点O 1 作O 1E 1 ∥AC 交BC 于点E 1 ，连接AE 1 交CO 1 于点O 2 ；过点O 2 作O 2E 2 ∥AC 交BC 于点E 2 ，连接AE 2 交CO 1 于点O 3 ；过点O 3 作O 3E 3 ∥AC 交BC 于点E 3 ，…，如此继续，可以依次得到点O 4 ，O 5 ，…，O n 和点E 4 ，E 5 ，…，E n ，则O 2016E 2016 ＝_________A C ．同类题型4.2 如图，过锐角△ABC 的顶点A 作DE ∥BC ，AB 恰好平分∠DAC ，AF 平分∠EAC 交BC 的延长线于点F ．在AF 上取点M ，使得AM ＝ 13 AF ，连接CM 并延长交直线DE 于点H ．若AC ＝2，△AMH 的面积是112，则1tan ∠ACH的值是___________．例5． 如图，△ABC 的面积为S ．点P 1 ，P 2 ，P 3 ，…，P n －1 是边BC 的n 等分点（n ≥3，且n 为整数），点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且AM AB＝ AN AC ＝ 1n，连接MP 1 ，MP 2 ，MP 3 ，…，MP n －1 ，连接NB ，NP 1 ，NP 2 ，…，NP n －1 ，线段MP 1 与NB 相交于点D 1 ，线段MP 2 与NP 1 相交于点D 2 ，线段MP 3 与NP 2 相交于点D 3 ，…，线段MP n －1 与NP n －2 相交于点D n －1 ，则△ND 1P 1 ，△ND 2P 2 ，△ND 3P 3 ，…，△ND n －1P n －1 的面积和是 ____________．（用含有S 与n 的式子表示）同类题型5.1如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B ′处，点A 对应点为A ′，且B ′C ＝3，则AM 的长是 （ ）A ．1.5B ．2C ．2.25D ．2.5同类题型5.2 如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于 （ ）A ．2B ．54C ．53D ．75同类题型5.3 如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝ 2 ＋1，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B ′始终落在边AC 上，若△MB ′C 为直角三角形，则BM 的长为____________．同类题型5.4 如图，在矩形ABCD 中，∠B 的平分线BE 与AD 交于点E ，∠BED 的平分线EF 与DC 交于点F ，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝_________________．（结果保留根号）参考答案例1．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4 3 ，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个解：①BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；②BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC 为半径的圆没有交点．选C．同类题型1.1 如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM＝DN；②S△CDN＝13S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵D是BC中点，N是AC中点，∴DN 是△ABC 的中位线， ∴DN ∥AB ，且DN ＝12AB ；∵三角形ABE 是等腰直角三角形，EM 平分∠AEB 交AB 于点M ， ∴M 是AB 的中点， ∴EM ＝12 AB ，又∵DN ＝12 AB ，∴EM ＝DN ， ∴结论①正确；∵DN ∥AB ， ∴△CDN ∽ABC ， ∵DN ＝12 AB ，∴S △CDN ＝14S △ABC ，∴S △CDN ＝13 S _(四边形ABDN )，∴结论②正确；如图1，连接MD 、FN ，∵D 是BC 中点，M 是AB 中点， ∴DM 是△AB C 的中位线， ∴DM ∥AC ，且DM ＝12AC ；∵三角形ACF 是等腰直角三角形，N 是AC 的中点， ∴FN ＝12 AC ，又∵DM ＝12AC ，∴DM ＝FN ，∵DM ∥AC ，DN ∥AB ，∴四边形AMDN 是平行四边形， ∴∠AMD ＝∠AND ，又∵∠EMA ＝∠FNA ＝90°， ∴∠EMD ＝∠DNF ， 在△EMD 和△DNF 中，⎩⎪⎨⎪⎧EM ＝DN∠EMD ＝∠DNF MD ＝NF ，∴△EMD ≌△DNF ， ∴DE ＝DF ， ∴结论③正确；如图2，连接MD ，EF ，NF ，∵三角形ABE 是等腰直角三角形，EM 平分∠AEB ， ∴M 是AB 的中点，EM ⊥AB ，∴EM ＝MA ，∠EMA ＝90°，∠AEM ＝∠EAM ＝45°，∴EM EA ＝sin45°＝22， ∵D 是BC 中点，M 是AB 中点， ∴DM 是△ABC 的中位线，∴DM ∥AC ，且DM ＝12AC ；∵三角形ACF 是等腰直角三角形，N 是AC 的中点， ∴FN ＝12 AC ，∠FNA ＝90°，∠FAN ＝∠AFN ＝45°，又∵DM ＝12 AC ，∴DM ＝FN ＝22FA ， ∵∠EMD ＝∠EMA ＋∠AMD ＝90°＋∠AMD ， ∠EAF ＝360°－∠EAM －∠FAN －∠BAC ＝360°－45°－45°－（180°－∠AMD ） ＝90°＋∠AMD ∴∠EMD ＝∠EAF ，在△EMD 和△∠EAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧EM EA ＝DM FA ＝22∠EMD ＝∠EAF∴△EMD ∽△∠EAF ， ∴∠MED ＝∠AEF ，∵∠MED ＋∠AED ＝45°， ∴∠AED ＋∠AEF ＝45°， 即∠DEF ＝45°， 又∵DE ＝DF ， ∴∠DFE ＝45°，∴∠EDF ＝180°－45°－45°＝90°， ∴DE ⊥DF ， ∴结论④正确．∴正确的结论有4个：①②③④． 选D ．同类题型1.2 如图，D ，E 分别是△ABC 的边BC ，AC 上的点，若∠B ＝∠C ，∠ADE ＝∠AED ，则（ ） A ．当∠B 为定值时，∠CDE 为定值 B ．当∠1为定值时，∠CDE 为定值 C ．当∠2为定值时，∠CDE 为定值 D ．当∠3为定值时，∠CDE 为定值解：在△CDE 中，由三角形的外角性质得，∠AED ＝∠CDE ＋∠C ，在△ABD 中，由三角形的外角性质得，∠B ＋∠1＝∠ADC ＝∠ADE ＋∠CDE ， ∵∠B ＝∠C ，∠ADE ＝∠AED ，∴∠B ＋∠1＝∠CDE ＋∠C ＋∠CDE ＝2∠CDE ＋∠B ， ∴∠1＝2∠CDE ，∴当∠1为定值时，∠CDE 为定值． 选B ．同类题型1.3 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2 3 ，∠BAC ＝120°，点D 、E 都在边BC 上，∠DAE ＝60°．若BD ＝2CE ，则DE 的长为______________．解：将△ABD 绕点A 逆时针旋转120°得到△ACF ，取CF 的中点G ，连接EF 、EG ，如图所示．∵AB ＝AC ＝2 3 ，∠BAC ＝120°， ∴∠ACB ＝∠B ＝∠ACF ＝30°， ∴∠ECG ＝60°． ∵CF ＝BD ＝2CE ， ∴CG ＝CE ，∴△CEG 为等边三角形， ∴EG ＝CG ＝FG ，∴∠EFG ＝∠FEG ＝12∠CGE ＝30°，∴△CEF 为直角三角形．∵∠BAC ＝120°，∠DAE ＝60°， ∴∠BAD ＋∠CAE ＝60°，∴∠FAE ＝∠FAC ＋∠CAE ＝∠BAD ＋∠CAE ＝60°．在△ADE 和△AFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF∠DAE ＝∠FAE ＝60°AE ＝AE，∴△ADE ≌△AFE （SAS ），∴DE ＝FE ．设EC ＝x ，则BD ＝CD ＝2x ，DE ＝FE ＝6－3x ， 在Rt △CEF 中，∠CEF ＝90°，CF ＝2x ，EC ＝x ，EF ＝CF 2－EC 2＝ 3 x ，∴6－3x ＝ 3 x ， x ＝3－ 3 ，∴DE ＝3x ＝3 3 －3．例2．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，E 为AB 边上一点，∠BCE ＝15°，且AE ＝A D ．连接DE 交对角线AC 于H ，连接BH ．下列结论： ①ACD ≌△ACE ；②△CDE 为等边三角形；③EH ＝2EB ；④S △AEH S △CEH ＝ EHCD．其中正确的结论是________．解：①∵∠ABC ＝90°，AB ＝BC ， ∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°， 又∵∠BAD ＝90°， ∴∠BAC ＝∠DAC ， 在△ACD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AE∠EAC ＝∠DAC AC ＝AC ，∴△ACD ≌△ACE （SAS ）；故①正确；②同理∠AED ＝45°，∠BEC ＝90°－∠BCE ＝90°－15°＝75°， ∴∠DEC ＝60°， ∵△ACD ≌△ACE ， ∴CD ＝CE ，∴△CDE 为等边三角形．故②正确．③∵△CHE 为直角三角形，且∠HEC ＝60° ∴EC ＝2EH∵∠ECB ＝15°， ∴EC ≠4EB ，∴EH ≠2EB ；故③错误． ④∵AE ＝AD ，CE ＝CD ，∴点A 与C 在DE 的垂直平分线上， ∴AC 是DE 的垂直平分线， 即AC ⊥DE ， ∴CE ＞CH ， ∵CD ＝CE ， ∴CD ＞CH ，∵∠BAC ＝45°， ∴AH ＝EH ，∵S △AEH S △CEH ＝AH CH ＝EH CH， ∴S △AEH S △CEH ＞EHCD，故④错误． 答案为：①②．同类题型2.1 如图所示，已知：点A （0，0），B （ 3 ，0），C （0，1）在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1 ，第2个△B 1A 2B 2 ，第3个△B 2A 3B 3 ，…，则第n 个等边三角形的边长等于____________．解：∵OB ＝ 3 ，OC ＝1， ∴BC ＝2，∴∠OBC ＝30°，∠OCB ＝60°．而△AA 1B 1 为等边三角形，∠A 1AB 1 ＝60°， ∴∠COA 1 ＝30°，则∠CA 1 O ＝90°． 在Rt △CAA 1 中，AA 1＝32OC ＝32， 同理得：B 1A 2＝12A 1B 1＝322，依此类推，第n 个等边三角形的边长等于32n．同类题型2.2 如图，点P 在等边△ABC 的内部，且PC ＝6，PA ＝8，PB ＝10，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P 'C ，连接AP '，则sin ∠PAP '的值为_________．解：连接PP ′，如图，∵线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P 'C ，∴CP ＝CP ′＝6，∠PCP ′＝60°，∴△CPP ′为等边三角形，∴PP ′＝PC ＝6，∵△ABC 为等边三角形，∴CB ＝CA ，∠ACB ＝60°，∴∠PCB ＝∠P ′CA ，在△PCB 和△P ′CA 中⎩⎪⎨⎪⎧PC ＝P ′C∠PCB ＝∠P ′CA CB ＝CA， ∴△PCB ≌△P ′CA ，∴PB ＝P ′A ＝10，∵62＋82＝102 ，∴PP ′2＋AP 2＝P ′A 2 ，∴△APP ′为直角三角形，∠APP ′＝90°，∴sin ∠PAP ′＝PP ′P ′A ＝610＝35．同类题型2.4例3．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ．下列四个结论：①∠BOC ＝90°＋ 12∠A ； ②以E 为圆心、BE 为半径的圆与以F 为圆心、CF 为半径的圆外切；③EF 是△ABC 的中位线；④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝ 12mn ． 其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④解：∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC ＝12 ∠ABC ，∠OCB ＝12 ∠ACB ，∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，∴∠OBC ＋∠OCB ＝90°－12 ∠A ，∴∠BOC ＝180°－（∠OBC ＋∠OCB ）＝90°＋12 ∠A ；故①正确；过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，连接OA ，∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴ON ＝OD ＝OM ＝m ，∴S △AEF ＝S △AOE ＋S △AOF ＝12AE ﹒OM ＋12AF ﹒OD ＝12OD ﹒（AE ＋AF ）＝12 mn ；故④正确；∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠EBO ＝∠OBC ，∠FCO ＝∠OCB ，∵EF ∥BC ，∴∠EOB ＝∠OBC ，∠FOC ＝∠OCB ，∴∠EBO ＝∠EOB ，∠FOC ＝∠FCO ，∴EB ＝EO ，FO ＝FC ，∴EF ＝EO ＋FO ＝BE ＋CF ，∴以E 为圆心、BE 为半径的圆与以F 为圆心、CF 为半径的圆外切，故②正确，根据已知不能推出E 、F 分别是AB 、AC 的中点，故③正确，∴其中正确的结论是①②④选D ．同类题型3.1 如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC ＝1，AB ＝AC ＝AD ＝2．则BD 的长为（）A ．14B ．15C ．3 2D ．2 3解：以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交⊙A 于F ，连接DF ．∵DC ∥AB ，∴⌒DF ＝⌒BC ，∴DF ＝CB ＝1，BF ＝2＋2＝4，∵FB 是⊙A 的直径，∴∠FDB ＝90°，∴BD ＝BF 2－DF 2＝15 ． 选B ．同类题型3.2 如图，在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠BAC ＝30°，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM 、ON 上滑动，下列结论：①若C 、O 两点关于AB 对称，则OA ＝2 3 ；②C 、O 两点距离的最大值为4；③若AB 平分CO ，则AB ⊥CO ；④斜边AB 的中点D 运动路径的长为π2； 其中正确的是______________（把你认为正确结论的序号都填上）．解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝2，∠BAC ＝30°，∴AB ＝4，AC ＝42－22＝2 3 ，①若C 、O 两点关于AB 对称，如图1，∴AB 是OC 的垂直平分线， 则OA ＝AC ＝2 3 ；所以①正确；②如图1，取AB 的中点为E ，连接OE 、CE ，∵∠AOB ＝∠ACB ＝90°，∴OE=CE=12AB ＝2， 当OC 经过点E 时，OC 最大，则C 、O 两点距离的最大值为4；所以②正确；③如图2，当∠ABO ＝30°时，∠OBC ＝∠AOB ＝∠ACB ＝90°，∴四边形AOBC 是矩形，∴AB 与OC 互相平分，但AB 与OC 的夹角为60°、120°，不垂直，所以③不正确；④如图3，斜边AB 的中点D 运动路径是：以O 为圆心，以2为半径的圆周的14，则：90π×2180 ＝π， 所以④不正确；综上所述，本题正确的有：①②．同类题型3.3 如图，直角△ABC 中，∠B ＝30°，点O 是△ABC 的重心，连接CO 并延长交AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交BC 于点F ，连接AF 交CE 于点M ，则MO MF的值为（ ） A ．12 B ．54 C ．23 D ．33解：∵点O 是△ABC 的重心，∴OC ＝23CE ， ∵△ABC 是直角三角形，∴CE ＝BE ＝AE ，∵∠B ＝30°，∴∠FAE ＝∠B ＝30°，∠BAC ＝60°，∴∠FAE ＝∠CAF ＝30°，△ACE 是等边三角形，∴CM ＝12CE ， ∴OM ＝23CE －12CE ＝16 CE ，即OM ＝16AE ， ∵BE ＝AE ，∴EF ＝33AE ， ∵EF ⊥AB ，∴∠AFE ＝60°，∴∠FEM ＝30°，∴MF＝36AE，∴MOMF＝16AE36AE＝33．选D．例4．如图，在△ABC中，4AB＝5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则AGFD的值为________．解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．∵BDCD＝S△ABDS△ACD＝12AB﹒h12AC﹒h＝ABAC＝54，∴BD＝54C D．如右图，延长AC，在AC的延长线上截取AM＝AB，则有AC＝4CM．连接DM．在△ABD与△AMD中，⎩⎪⎨⎪⎧AB＝AM∠BAD＝∠MADAD＝AD∴△ABD≌△AMD（SAS），∴MD＝BD＝54C D．过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．∵MN∥AD，∴CK ＝14CD ， ∴KD ＝54C D ． ∴MD ＝KD ，即△DMK 为等腰三角形，∴∠DMK ＝∠DKM ．由题意，易知△EDG 为等腰三角形，且∠1＝∠2；∵MN ∥AD ， ∴∠3＝∠4＝∠1＝∠2，又∵∠DKM ＝∠3（对顶角）∴∠DMK ＝∠4，∴DM ∥GN ，∴四边形DMNG 为平行四边形，∴MN ＝DG ＝2F D ．∵点H 为AC 中点，AC ＝4CM ，∴AH MH ＝23． ∵MN ∥AD ， ∴AG MN ＝AH MH ，即AG 2FD ＝23， ∴AG FD ＝43 ．同类题型4.1 如图，已知CO 1 是△ABC 的中线，过点O 1 作O 1E 1 ∥AC 交BC 于点E 1 ，连接AE 1 交CO 1 于点O 2 ；过点O 2 作O 2E 2 ∥AC 交BC 于点E 2 ，连接AE 2 交CO 1 于点O 3 ；过点O 3 作O 3E 3 ∥AC 交BC 于点E 3 ，…，如此继续，可以依次得到点O 4 ，O 5 ，…，O n 和点E 4 ，E 5 ，…，E n ，则O 2016E 2016 ＝_________A C ．解：∵O 1E 1 ∥AC ，∴∠BO 1E 1 ＝∠BAC ，∠BE 1O 1 ＝∠BCA ，∴△BO 1E 1 ∽△BAC ，∴BO 1BA ＝O 1E 1AC．∵CO 1 是△ABC 的中线， ∴BO 1BA ＝O 1E 1AC ＝12 ． ∵O 1E 1 ∥AC ，∴∠O 1E 1O 2＝∠CAO 2 ，∠E 1O 1O 2＝∠ACO 2 ，∴△E 1O 1O 2∽△ACO 2 ，∴E 1O 1AC ＝E 1O 2AO 2＝12． ∵O 2E 2 ∥AC ，∴E 1O 2E 1A ＝O 2E 2AC ＝13， ∴O 2E 2＝13A C ． 同理：O n E n ＝1n ＋1A C ． ∴O 2016E 2016＝12016＋1＝12017．同类题型4.2 如图，过锐角△ABC 的顶点A 作DE ∥BC ，AB 恰好平分∠DAC ，AF 平分∠EAC 交BC 的延长线于点F ．在AF 上取点M ，使得AM ＝ 13 AF ，连接CM 并延长交直线DE 于点H ．若AC ＝2，△AMH 的面积是112，则1tan ∠ACH的值是___________．解：过点H 作HG ⊥AC 于点G ，∵AF 平分∠CAE ，DE ∥BF ，∴∠HAF ＝∠AFC ＝∠CAF ，∴AC ＝CF ＝2，∵AM ＝13AF ，∴AM MF ＝12， ∵DE ∥CF ，∴△AHM ∽△FCM ，∴AM MF ＝AH CF， ∴AH ＝1，设△AHM 中，AH 边上的高为m ，△FCM 中CF 边上的高为n ，∴m n ＝AM MF ＝12， ∵△AMH 的面积为：112， ∴112＝12AH ﹒m ∴m ＝16， ∴n ＝13， 设△AHC 的面积为S ，∴S S △AHM ＝m ＋n m＝3， ∴S ＝3S △AHM ＝14， ∴12AC ﹒HG ＝14， ∴HG ＝14， ∴由勾股定理可知：AG ＝154 ， ∴CG ＝AC －AG ＝2－154 ∴1tan ∠ACH ＝CG HG＝8－15 ．例5． 如图，△ABC 的面积为S ．点P 1 ，P 2 ，P 3 ，…，P n －1 是边BC 的n 等分点（n ≥3，且n 为整数），点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且AM AB ＝ AN AC ＝ 1n，连接MP 1 ，MP 2 ，MP 3 ，…，MP n －1 ，连接NB ，NP 1 ，NP 2 ，…，NP n －1 ，线段MP 1 与NB 相交于点D 1 ，线段MP 2 与NP 1 相交于点D 2 ，线段MP 3 与NP 2 相交于点D 3 ，…，线段MP n －1 与NP n －2 相交于点D n －1 ，则△ND 1P 1 ，△ND 2P 2 ，△ND 3P 3 ，…，△ND n －1P n －1 的面积和是 ____________．（用含有S 与n 的式子表示）解：连接MN ，设BN 交MP 1 于O 1 ，MP 2 交NP 1 于O 2 ，MP 3 交NP 2 于O 3 ．∵AM AB ＝AN AC ＝1n， ∴MN ∥BC ， ∴MN BC ＝AM AB ＝1n ， ∵点P 1 ，P 2 ，P 3 ，…，P n －1 是边BC 的n 等分点，∴MN ＝BP 1＝P 1P 2＝P 2P 3 ，∴四边形MNP 1 B ，四边形MNP 2P 1 ，四边形MNP 3P 2 都是平行四边形，易知S △ABN ＝1n ﹒S ，S △BCN ＝n －1n ﹒S ，S △MNB ＝n －1n 2 ﹒S ， ∴S △BP 1O 1＝S △P 1P 2O 2＝S △P 3P 2O 3＝n －12n 2 ﹒S ，∴S 阴＝S △NBC －（n －1）﹒S △BP 1O 1－S △NPn －1C ＝n －1n ﹒S －（n －1）﹒n －12n 2﹒S －n －1 n 2S ＝(n －1)22n 2 ﹒S ．同类题型5.1如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B ′处，点A 对应点为A ′，且B ′C ＝3，则AM 的长是（ ）A ．1.5B ．2C ．2.25D ．2.5解：设AM ＝x ，连接BM ，MB ′，在Rt △ABM 中，AB 2＋AM 2＝BM 2 ，在Rt △MDB ′中，B ′M 2＝MD 2＋DB ′2 ，∵MB ＝MB ′，∴AB 2＋AM 2＝BM 2＝B ′M 2＝MD 2＋DB ′2 ，即92＋x 2＝（9－x ）2＋（9－3）2 ，解得x ＝2，即AM ＝2，故选B ．同类题型5.2 如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．2B ．54C ．53D ．75解：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，AB ＝3，∴BC ＝32＋42 ＝5，∵CD ＝DB ，∴AD ＝DC ＝DB ＝52 ， ∵12﹒BC ﹒AH ＝12﹒AB ﹒AC ， ∴AH ＝125， ∵AE ＝AB ，∴点A 在BE 的垂直平分线上．∵DE ＝DB ＝DC ，∴点D 在BE 使得垂直平分线上，△BCE 是直角三角形， ∴AD 垂直平分线段BE ，∵12﹒AD ﹒BO ＝12﹒BD ﹒AH ， ∴OB ＝125， ∴BE ＝2OB ＝245， 在Rt △BCE 中，EC ＝BC 2－BE 2＝52－(245)2＝75， 选D ．同类题型5.3 如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝ 2 ＋1，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B ′始终落在边AC 上，若△MB ′C 为直角三角形，则BM 的长为____________．解：①如图1，当∠B ′MC ＝90°，B ′与A 重合，M 是BC 的中点，∴BM ＝12BC ＝122＋12； ②如图2，当∠MB ′C ＝90°，∵∠A ＝90°，AB ＝AC ，∴∠C ＝45°，∴△CMB ′是等腰直角三角形， ∴CM ＝ 2 MB ′，∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B ′，∴BM ＝B ′M ，∴CM ＝ 2 BM ，∵BC ＝ 2 ＋1，∴CM ＋BM ＝2BM ＋BM ＝ 2 ＋1，∴BM ＝1，综上所述，若△MB ′C 为直角三角形，则BM 的长为122＋12或1．同类题型5.4 如图，在矩形ABCD 中，∠B 的平分线BE 与AD 交于点E ，∠BED 的平分线EF 与DC 交于点F ，若AB ＝9，DF ＝2FC ，则BC ＝_________________．（结果保留根号）解：延长EF 和BC ，交于点G∵矩形ABCD 中，∠B 的角平分线BE 与AD 交于点E ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝45°，∴AB ＝AE ＝9，∴直角三角形ABE 中，BE ＝92＋92＝9 2 ，又∵∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F ，∴∠BEG ＝∠DEF∵AD∥BC∴∠G＝∠DEF∴∠BEG＝∠G∴BG＝BE＝9 2由∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，可得△EFD∽△GFC∴CGDE＝CFDF＝CF2CF＝12设CG＝x，DE＝2x，则AD＝9＋2x＝BC ∵BG＝BC＋CG∴92＝9＋2x＋x解得x＝3 2 －3∴BC＝9＋2（32－3）＝6 2 ＋3．。