2018届河南省郑州市高三第三次质量预测数学理试题(word版)

2017-2018学年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题1．设复数，则a+b=（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣22．“∃x 0∈R ，2x0≤0”的否定为（ ）A ．∀x 0∈R ，2x0≤0B ．∀x 0∈R ，2x0≥0C ．∀x 0∈R ，2x0＜0D ．∀x 0∈R ，2x0＞03．已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x 2+2x+3}，则（∁R M ）∩N=（ ）A ．（0，1）B ．[1，+∞）C ．[2，+∞）D ．（﹣∞，0]∪[1，+∞） 4．下列说法中正确的是（ ）①设随机变量X 服从二项分布B （6，），则P （X=3）=②已知随机变量X 服从正态分布N （2，σ2）且P （X ＜4）=0.9，则P （0＜X＜2）=0.4③dx}=dx=④E （2X+3）=2E （X ）+3；D （2X+3）=2D （X ）+3． A ．①②③ B ．②③④ C ．②③ D ．①③5．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2π+2B ．4π+2C ．2π+D ．4π+6．已知P 是双曲线﹣y 2=1上任意一点，过点P 分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A 、B ，则•的值是（ ）A．﹣B．C．﹣D．不能确定7．某程序框图如图所示．该程序运行后输出的S的值是（）A．1007 B．2015 C．2016 D．30248．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．509．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．10．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．28011．已知函数，则要得到其导函数y=f′（x）的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位12．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和S n，则S10=（）A．45 B．55 C．90 D．110一、填空题13．设（2x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a2+…+a5=．14．已知数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=，n∈N*，则b2016=．15．函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+1有两个极值点，则a的取值范围为．16．设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是．二、解答题17．设函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ﹣sinx（0＜φ＜π）在x=π处取得最小值，且满足cos2C﹣cos2A=2sin（+C）sin（﹣C）．（1）求φ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．18．某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元，6000元，8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额）设某选手正确回答每扇门的歌曲名字的概率均为Pi且P i=（i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X 元，求X的分布列和数学期望．19．如图，四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，侧棱AA′⊥ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA′=AB=2，E为棱AA′的中点．（1）求证：B′C′⊥CE；（2）求二面角B′﹣CE﹣C′的余弦值；（3）设点M在线段C′E上，且直线AM与平面ADD′A′所成角的正弦值为，求线段AM的长．20．已知F1、F2分别为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB取一点Q，满足：=﹣λ，=λ（λ≠0且λ≠±1），探究是否存在一条直线使得点Q总在该直线上，若存在求出该直线方程．21．设函数f（x）=x﹣﹣2mlnx（m∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点是x1，x2，过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在m使得k=2﹣2m？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．选作题[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．2016年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．设复数，则a+b=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】复数相等的充要条件．【分析】利用两个复数相等的充要条件，先利用复数的除法化简，得到a、b 的值，从而可求a+b．【解答】解：，∴，∴a+b=1，故选A．2．“∃x0∈R，2x0≤0”的否定为（）A．∀x0∈R，2x0≤0 B．∀x0∈R，2x0≥0 C．∀x0∈R，2x0＜0 D．∀x0∈R，2x0＞0 【考点】的否定．【分析】根据特称的否定是全称即可得到结论．【解答】解：是特称，则“∃x0∈R，2x0≤0”的否定为：∀x0∈R，2x0＞0，故选：D3．已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁R M）∩N=（）A．（0，1）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合M、N，利用集合的基本运算即求出结论．【解答】解：M={x丨y=lg}={x丨＞0}={x|0＜x＜1}=（0，1），N={y|y=x2+2x+3}={y|y=（x+1）2+2≥2}=[2，+∞），∴∁R M=（﹣∞，0]∪[1，+∞），∴（∁R M）∩N=[2，+∞）．故选：C．4．下列说法中正确的是（）①设随机变量X服从二项分布B（6，），则P（X=3）=②已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）且P（X＜4）=0.9，则P（0＜X ＜2）=0.4③dx}=dx=④E（2X+3）=2E（X）+3；D（2X+3）=2D（X）+3．A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①③【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】分别对4个选项，分别求解，即可得出结论．【解答】解：①设随机变量X服从二项分布B（6，），则P（X=3）=C36（）3×（1﹣）3=，正确；②∵随机变量ξ服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2．∵P（X＜4）=0.9，∴P（2＜X＜4）=0.4，∴P（0＜X＜2）=P（2＜X＜4）=0.4，正确；③利用积分的几何意义，可知dx}=dx=，正确④E（2X+3）=2E（X）+3；D（2X+3）=4D（X）．故不正确．故选：A．5．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积．【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+故选C6．已知P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则•的值是（）A．﹣B．C．﹣D．不能确定【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系．【分析】设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣3n2=3，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．【解答】解：设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣3n2=3，由双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，则由解得交点A（，）；由解得交点B（，）．=（，），=（，），则•=+=﹣=﹣=﹣．故选：A．7．某程序框图如图所示．该程序运行后输出的S的值是（）A．1007 B．2015 C．2016 D．3024【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S是求数列的和，且数列的每4项的和是定值，由此求出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2014+1）+（0+1）+=6+…+6=6×=3024；所以该程序运行后输出的S值是3024．故选：D．8．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△AB C==．区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．9．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【分析】由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．【解答】解：如图：由题意球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，则进而可得：V S﹣AB C =V C﹣AOB+V S﹣AOB，所以棱锥S﹣ABC的体积为：=．故选C．10．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．280【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．若是1，1，3，则有C53×A33=60种，若是1，2，2，则有×A33=90种所以共有150种不同的方法．故选：A．11．已知函数，则要得到其导函数y=f′（x）的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；导数的运算．【分析】先对函数求导可得y=f′（x）=，而故可求【解答】解：∵=﹣sin（）∴y=f′（x）=而故选C12．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和S n，则S10=（）A．45 B．55 C．90 D．110【考点】数列的求和；分段函数的应用．【分析】由分段函数解析式得到函数f（x）在x＞0时的分段解析式，首先求得函数g（x）=f（x）﹣x在（﹣2，0]上的零点，然后根据函数的图象平移得到函数g（x）=f（x）﹣x在（0，2]，（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点，得到偶数零点按从小到大的顺序排列的数列，利用等差数列的前n项和得答案．【解答】解：当0＜x≤2时，有﹣2＜x﹣2≤0，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2，当2＜x≤4时，有0＜x﹣2≤2，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣4+1，当4＜x≤6时，有2＜x﹣2≤4，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣6+2，当6＜x≤8时，有4＜x﹣1≤6，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣8+3，以此类推，当2n＜x≤2n+2（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣2）+1=2x﹣2n﹣2+n，∴函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（﹣1，），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有两个交点（0，0），（﹣1，）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有两个根x=﹣1，x=0；当0＜x≤2时，由函数图象平移可得g（x）=f（x）﹣x的零点为1，2；以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点分别为：3，4；5，6；…；2n+1，2n+2；综上所述函数g（x）=f（x）﹣x的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为：0，2，4，…，其通项公式为：a n=2（n﹣1），前10项的和为S10=．故选：C．一、填空题13．设（2x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a2+…+a5=2．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用特殊值代入法，即可求出a1+a2+…+a5的值．【解答】解：令x=0，得（﹣1）5=a0，即a0=﹣1；再令x=1，得（2﹣1）5=a0+a1+a2+…+a5，所以a1+a2+…+a5=1﹣a0=1﹣（﹣1）=2．故答案为：2．14．已知数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=，n∈N*，则b2016=．【考点】数列递推式．【分析】数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=，n∈N*，可得b1=1﹣a1=，b n+1==．求出b2，b3，b4，…，猜想：b n=，即可得出．【解答】解：∵数列{a n}，{b n}满足a1=，a n+b n=1，b n+1=，n∈N*，∴b1=1﹣a1=，b n+1==．∴b2=，b3=，b4=，…，猜想：b n=，经过验证：b n+1=成立．则b2016=．故答案为：．15．函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+1有两个极值点，则a的取值范围为（0，）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，二阶导数，得到一阶导函数有极大值点，根据f′（x）的单调性，只要，解出即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx﹣x2﹣x+1，（x＞0），∴f′（x）=lnx﹣ax，，得一阶导函数有极大值点x=，由于f′（0）→﹣∞，x→+∞时，f′（x）→﹣∞，因此原函数要有两个极值点，只要解得，故答案为：（0，）．16．设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，继而可得关于m的不等式，解得即可．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2＞m2+3，∴m2＞4．解得m＞2，或m＜﹣2，故m的取值范围是（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）故答案为：（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）二、解答题17．设函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ﹣sinx（0＜φ＜π）在x=π处取得最小值，且满足cos2C﹣cos2A=2sin（+C）sin（﹣C）．（1）求φ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理．【分析】（1）对f（x）化简，再由在x=π处取得最小值，得到φ的值．（2）由正弦定理得到A，由此得到C．【解答】解析：（1）首先化简原函数f（x）=sinx（1+cosφ）+cosxsinφ﹣sinx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），由f（π）=sin（π+φ）=﹣sinφ=﹣1，又0＜φ＜π，解得，（2），由正弦定理得，当时，，当时．18．某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元，6000元，8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额）设某选手正确回答每扇门的歌曲名字的概率均为Pi且P i=（i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X 元，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）记事件“选手正确回答第i扇门歌曲”为Ai记事件“亲友团正确回答歌曲名字”为B，记事件“回答正确后选择继续挑战”为C，第三扇门选手答不出才求助，由此能求出选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率．（2）X可能的取值有：0，3000，6000，8000，12000，24000，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记事件“选手正确回答第i扇门歌曲”为Ai记事件“亲友团正确回答歌曲名字”为B，记事件“回答正确后选择继续挑战”为C，则对应事件的概率分别为，因此题目所求概率为P（A1）P（A2）P（）P（A4）P（B）P4（C）==．注意：第三扇门选手答不出才求助（2）X可能的取值有：0，3000，6000，8000，12000，24000，，，，，，，X0 3000 6000 8000 24000∴EX=0×+3000×+6000×+8000×+12000×+24000×=3250．注意：最后一次答对无需再选择．19．如图，四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，侧棱AA′⊥ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA′=AB=2，E为棱AA′的中点．（1）求证：B′C′⊥CE；（2）求二面角B′﹣CE﹣C′的余弦值；（3）设点M在线段C′E上，且直线AM与平面ADD′A′所成角的正弦值为，求线段AM的长．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．【分析】（1）以A为原点，以AD，AA′，AB为坐标轴建立空间直角坐标系，求出，的坐标，通过计算=0得出B′C′⊥CE；（2）求出两平面的法向量，则二面角的余弦值等于两平面法向量夹角的余弦值的绝对值；（3）设=λ，求出的坐标和平面ADD′A′的法向量，令|cos＜＞|=，解出λ，代入||得出答案．【解答】证明：（1）以A为原点，以AD，AA′，AB为坐标轴建立空间直角坐标系，则有B′（0，2，2），C′（1，2，1），C（1，0，1），E（0，1，0），∴B′C′=（1，0，﹣1），CE=（﹣1，1，﹣1），∴=0，∴B′C′⊥CE．（2）=（1，﹣2，﹣1），设平面B′CE法向量为=（x，y，z），则=0，，∴，令z=1，得=（﹣3，﹣2，1）．由（1）知B′C′⊥CE，且B′C′⊥CC′，CC′，CE⊂平面C′CE，CC′∩CE=C，∴B′C′⊥平面C′CE．故B′C′是平面C′CE的一个法向量．∴=﹣4，||=，||=．∴cos＜＞==﹣．二面角B′﹣CE﹣C′的余弦值为．（3）=（1，1，1），设=λ=（λ，λ，λ），λ∈[0，1]，则==（λ，1+λ，λ）．平面ADD′A′的一个法向量为=（0，0，1），∴cos＜＞===．解得，∴||==．20．已知F1、F2分别为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB取一点Q，满足：=﹣λ，=λ（λ≠0且λ≠±1），探究是否存在一条直线使得点Q总在该直线上，若存在求出该直线方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）求得抛物线的焦点和准线方程，设M（x0，y0）（x0＜0），运用抛物线的定义求得M的坐标，由椭圆的定义可得2a=|MF1|+|MF2|=4，即a=2，c=1，求得b，进而得到椭圆方程；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），运用向量共线的坐标表示，化简整理，运用平方差公式和点满足圆方程，代入即可得到所求定直线．【解答】解：（I）由C2：x2=4y知F1（0，1），准线为y=﹣1，设M（x0，y0）（x0＜0），因M在抛物线C2上，故，又，由抛物线的定义可得，解得，椭圆C1的两个焦点F1（0，1），F2（0，﹣1），点M在椭圆上，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|==4，可得a=2，又c=1，则b2=a2﹣c2=3，椭圆C1的方程为：；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），由=λ，可得，即为；由=﹣λ，可得，即为，①×③得：，⑤②×④得：，⑥又点A，B在圆x2+y2=3上，且λ≠±1，所以，，⑤+⑥可得，3﹣3λ2=（x+3y）（1﹣λ2），由λ≠0且λ≠±1，可得x+3y=3，所以点Q总在定直线x+3y=3上．21．设函数f（x）=x﹣﹣2mlnx（m∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点是x1，x2，过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在m使得k=2﹣2m？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间；（2）假设存在，根据x1+x2=2m，x1x2=1，得到消元得，根据f（x）的单调性判断函数无零点，得出结论即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域（0，+∞），，令h（x）=x2﹣2mx+1，△=4m2﹣4=4（m2﹣1），当△＞0即m＞1或m＜﹣1时，方程h（x）=0有两个根，设方程x2﹣2mx+1=0的两根是：x1，x2，且x1＜x2，解得：x1=m﹣，x2=m+，∴x1+x2=m，x1•x2=1，当△≤0时，即m∈[﹣1，1]时，f′（x）≥0，原函数在定义域上单调递增，当m＜﹣1时，△＞0，两根均为负，f（x）在定义域上单调递增，当m＞1时，△＞0，两根均为正，故f（x）在区间（0，m﹣），（m+，+∞）递增，在（m﹣，m+）递减；（2）由（1）知函数有两个极值点时m＞1且x1+x2=2m，x1x2=1AB斜率，若k=2﹣2m，则，两根均为正且x1x2=1，若x1＜x2，则x1＜1，x2＞1，消元得，整理得x2﹣﹣2lnx2=0，由（1）知在区间（1，+∞）上单调递增，因此f（x）＞f（1）=0，函数没有零点，故这样的m值不存在．选作题[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（，），所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，），P为线段MN的中点（1，），直线OP的平面直角坐标方程y=x；（Ⅱ）圆C的参数方程（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=4，圆的圆心坐标为（2，﹣3），半径为2，直线l上两点M，N的直角坐标分别为M（2，0），N（0，），方程为x+y ﹣2=0，圆心到直线的距离为：=＞2，所以，直线l与圆C相离．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3．（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3，分类讨论，去掉绝对值，求得x的范围．（Ⅱ）化简f（x）的解析式，根据一次函数的单调性与一次项系数符号的关系，求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3．当时，f（x）≤5可化为3x﹣1+x+3≤5，解之得；当时，f（x）≤5可化为﹣3x+1+x+3≤5，解之得．综上可得，原不等式的解集为．（Ⅱ）函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3．2016年7月6日。

河南省郑州市2018届高三第三次质量预测数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2=230A x x x ，=ln 2B x y x ，则A B （）A ．1,3B ．1,3C ．1,2D ．1,22.下列命题中，正确的是（）A ．0003,sin cos 2x R x x B ．复数123,,z z z C ，若2212230z z z z ，则13z z C ．“0,0a b ”是“2b aa b ”的充要条件D ．命题“2,20x R x x ”的否定是：“2,20x R x x ”3.我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（）A ．1415B ．115C ．29D ．794.若1,1x e ，ln a x ，ln 12xb ，ln xc e ，则（）A ．b c aB ．c b a C.b a c D ．a b c5.设0sin a xdx ，则41a x x 的展开式中常数项是（）A ．160B ．160 C. 20 D ．206.执行如图所示的程序框图，若0.8p ，则输出的n （）A ．3B ．4 C. 5 D ．67.某几何体的三视图如图所示，记A 为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（）A ．3AB ．5A C. 26A D ．43A8.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos a c Cb B ，4b ，则ABC 面积的最大值为（）A ．43B ．23 C. 33 D ．39.已知数列n a 中，0n a ，11a ，211n n a a ，10096a a ，则20183a a （）A ．52B ．152 C. 52 D ．15210.已知2cos sin f x x x ，下列结论中错误的是（）A ．f x 既是偶函数又是周期函数B ．f x 的最大值是 1C. f x 的图像关于点,02对称 D ．f x 的图像关于直线x 对称11.已知P 为椭圆22143x y 上一个动点，过点P 作圆2211x y 的两条切线，切点分别是,A B ，则PA PB 的取值范围为（）A ．3,2 B ．356,29 C.56223,9 D ．223,12.已知函数ln ,02ln ,x x ef x x x e ，若正实数,,a b c 互不相等，且f a f b f c ，则a b c 的取值范围是（）A ．2,2e e eB ．212,2e e e C. 21,2e e e D ．21,2e e e e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ，则2z x y 的最小值为．14.已知向量a 与b 的夹角为030，且1a ，21a b ，则b ．15.已知,,,A B C D 四点在半径为522的球面上，且5AC BD ，41AD BC ，AB CD ，则三棱锥D ABC 的体积是．16.已知双曲线2222:10x yC b a a b 的右焦点为,F O 为坐标原点，若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于,A B 两点，使0OA OB ，则双曲线离心率的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列n a 的公差0d ，其前n 项和为n S ，若2822a a ，且4712,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列n a 的通项公式；（Ⅱ）若12111n n T S S S ，证明：34nT 18. 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据。

2018年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（）2（其中i为虚数单位），则=（）A．1 B．﹣i C．﹣1 D．i2．已知集合M={x|+=1}，N={y|+=1}，M∩N=（）A．∅B．{（3，0），（0，2）} C． D．3．已知a、b∈R，则“ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件4．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知数列{a n}为等差数列，且a2016+a2018=dx，则a2017的值为（）A．B．2πC．π2D．π6．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）7．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则 P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．75398．已知实数x，y满足若目标函数Z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1≤a≤1} B．{a|a≤﹣1} C．{a|a≤﹣1或a≥1} D．{a|a≥1}9．若空间中四个不重合的平面a1，a2，a3，a4满足a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4，则下列结论一定正确的是（）A．a1⊥a4B．a1∥a4C．a1与a4既不垂直也不平行D．a1与a4的位置关系不确定10．设（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．﹣112．已知函数f（x）=，若在区间（1，∞）上存在n（n≥2）个不同的数x1，x2，x3，…，x n，使得==…成立，则n的取值集合是（）A．{2，3，4，5} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{2，3，4}二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知||=1，||=2，与的夹角为120°，，则与的夹角为．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=b（﹣2）n﹣1﹣a，则= ．15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=2，则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为．16．已知函数f （x ）=，点O 为坐标原点，点A n （n ，f （n ））（n ∈N *），向量=（0，1），θn是向量与的夹角，则使得+++…+＜t 恒成立的实数t 的最小值为 ．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知sinB+sinC=msinA （m ∈R ），且a 2﹣4bc=0．（1）当a=2，时，求b 、c 的值； （2）若角A 为锐角，求m 的取值范围．18．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x ）、推理（能力指标y ）、建模（能力指标z ）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z 的值评定学生的数学核心素养；若w ≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w ≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w ≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X=a ﹣b ，求随机变量X 的分布列及其数学期望．19．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD=CD=BC=CF ．（1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．20．已知圆C 1：x 2+y 2=r 2（r ＞0）与直线l 0：y=相切，点A 为圆C 1上一动点，AN⊥x 轴于点N ，且动点M 满足，设动点M 的轨迹为曲线C ． （1）求动点M 的轨迹曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点P 、Q 且满足以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，求线段PQ 长度的取值范围．21.（本题满分12分）已知函数()()()1ln ,.f x x F x x af x x'==++ （1）当1a =时，求()()()M x F x f x =-的极值；（2）当0a =时，对任意()()2110,2x F x m f x >≤+⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．2018年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（）2（其中i为虚数单位），则=（）A．1 B．﹣i C．﹣1 D．i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z=（）2==i，则=﹣i．故选：B．2．已知集合M={x|+=1}，N={y|+=1}，M∩N=（）A．∅B．{（3，0），（0，2）} C． D．【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据椭圆的定义得到集合M，根据直线方程得到集合N，再求交集即可．【解答】解：集合M={x|+=1}=，N={y|+=1}=R，则M∩N=，故选：D．3．已知a、b∈R，则“ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行，可得ab=1．反之不成立，例如a=b=1时，两条直线重合．【解答】解：由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行，可得ab=1．反之不成立，例如a=b=1时，两条直线重合．∴ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的必要不充分条件．故选：C．4．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】EF：程序框图．【分析】由程序框图知，得出打印的点坐标，判定该点是否在圆内即可．【解答】解：由程序框图知，i=6时，打印第一个点（﹣3，6），在圆x2+y2=25外，i=5时，打印第二个点（﹣2，5），在圆x2+y2=25外，i=4时，打印第三个点（﹣1，4），在圆x2+y2=25内，i=3时，打印第四个点（0，3），在圆x2+y2=25内，i=2时，打印第五个点（1，2），在圆x2+y2=25内，i=1时，打印第六个点（2，1），在圆x2+y2=25内，∴打印的点在圆x2+y2=25内有4个．故选：C．5．已知数列{a n}为等差数列，且a2016+a2018=dx，则a2017的值为（）A．B．2πC．π2D．π【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据定积分的几何意义求出a2016+a2018=dx=π，再根据等差中项的性质即可求出．【解答】解：dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，则a2016+a2018=dx=π，∵数列{a n}为等差数列，∴a2017=（a2016+a2018）=，故选：A6．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，明确其半径求面积．【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，截面为圆环，小圆半径为r，大圆半径为2，设小圆半径为r，则，得到r=h，所以截面圆环的面积为4π﹣πh2=π（4﹣h2）；故选D．7．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则 P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．7539【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】求出P阴影=P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，即可得出结论．【解答】解：由题意P阴影=P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587=6587．故选：B．8．已知实数x，y满足若目标函数Z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1≤a≤1} B．{a|a≤﹣1} C．{a|a≤﹣1或a≥1} D．{a|a≥1}【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合分类讨论进行求解．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（﹣3，3），C（3，﹣3），∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得﹣a≤k BA=1∴﹣1≤a＜0，综上a∈故选：A．9．若空间中四个不重合的平面a1，a2，a3，a4满足a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4，则下列结论一定正确的是（）A．a1⊥a4B．a1∥a4C．a1与a4既不垂直也不平行D．a1与a4的位置关系不确定【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【分析】可得平面a1，a3平行或相交，而a3⊥a4，可得a1与a4的位置关系不确定，【解答】解：∵若空间中四个不重合的平面a1，a2，a3，a4满足a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4，∴平面a1，a3平行或相交，∵a3⊥a4，∴a1与a4的位置关系不确定，故选D ．10．设（2﹣x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 5x 5，则的值为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣【考点】DB ：二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式求出a 1、a 2、a 3、a 4的值，再计算．【解答】解：由（2﹣x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 5x 5，且二项式展开式的通项公式为T r+1=•25﹣r•（﹣x ）r，∴a 1=﹣•24=﹣80，a 2=•23=80，a 3=﹣•22=﹣40，a 4=•2=10；∴==﹣．故选C ．11．已知点A 是抛物线x 2=4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．+1C ．D ．﹣1【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得=，设PA 的倾斜角为α，则当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，求出P 的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论． 【解答】解：过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|∴=，设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1），∴双曲线的离心率为=+1．故选B．12．已知函数f（x）=，若在区间（1，∞）上存在n（n≥2）个不同的数x1，x2，x3，…，x n，使得==…成立，则n的取值集合是（）A．{2，3，4，5} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{2，3，4}【考点】5B：分段函数的应用．【分析】由题意可知n为方程f（x）=kx的解的个数，判断f（x）的单调性，作出y=f（x）与y=kx的函数图象，根据图象交点个数判断．【解答】解：设==…=k，则方程有n个根，即f（x）=kx有n个根，f（x）=，∴f（x）在（1，）上单调递增，在（，2）上单调递减．当x＞2时，f′（x）=e x﹣2（﹣x2+8x﹣12）+e x﹣2（﹣2x+8）=e x﹣2（﹣x2+6x﹣4），设g（x）=﹣x2+6x﹣4（x＞2），令g（x）=0得x=3+，∴当2时，g（x）＞0，当x＞3+时，g（x）＜0，∴f（x）在（2，3+）上单调递增，在（3+，+∞）上单调递减，作出f（x）与y=kx的大致函数图象如图所示：由图象可知f（x）=kx的交点个数可能为1，2，3，4，∵n≥2，故n的值为2，3，4．故选D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知||=1，||=2，与的夹角为120°，，则与的夹角为90°．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】利用向量的数量积运算和向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵||=1，||=2，与的夹角为120°，∴===﹣1．∵，∴，∴=，∴﹣（﹣1）=，∴=0．∴．∴与的夹角为90°．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=b（﹣2）n﹣1﹣a，则= ﹣．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用递推关系、等比数列的定义与通项公式即可得出．【解答】解：n=1时，a1=b﹣a．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=b（﹣2）n﹣1﹣a﹣，上式对于n=1时也成立，可得：b﹣a=b+．则=﹣．故答案为：﹣．15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=2，则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为33π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LG：球的体积和表面积．【分析】求出外接球的半径、内切球的半径，即可求出该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和．【解答】解：将三棱柱扩充为长方体，对角线长为=，∴外接球的半径为，外接球的表面积为29π，△ABC 的内切圆的半径为=1，∴该三棱柱内切球的表面积4π，∴三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为29π+4π=33π， 故答案为：33π．16．已知函数f （x ）=，点O 为坐标原点，点A n （n ，f （n ））（n ∈N *），向量=（0，1），θn 是向量与的夹角，则使得+++…+＜t 恒成立的实数t 的最小值为 ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意知﹣θn 是直线OA n 的倾斜角，化==tan （﹣θn ）=，再求出+++…+的解析式g （n ），利用g（n ）＜t 恒成立求出t 的最小值．【解答】解：根据题意得，﹣θn 是直线OA n 的倾斜角，∴==tan （﹣θn ）===﹣，∴+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1+﹣﹣=﹣﹣；要使﹣﹣＜t恒成立，只须使实数t的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2﹣4bc=0．（1）当a=2，时，求b、c的值；（2）若角A为锐角，求m的取值范围．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a2﹣4bc=0．a=2，时，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．【解答】解：（1）由题意得b+c=ma，a2﹣4bc=0．当时，，bc=1．解得．（2）．∴，又由b+c=ma 可得m ＞0，所以．18．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x ）、推理（能力指标y ）、建模（能力指标z ）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z 的值评定学生的数学核心素养；若w ≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w ≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w ≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X=a ﹣b ，求随机变量X 的分布列及其数学期望．【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差；CG ：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题可知：建模能力一级的学生是A 9；建模能力二级的学生是A 2，A 4，A 5，A 7，A 10；建模能力三级的学生是A 1，A 3，A 6，A 8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A ，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出，P （A ）．（2）由题可知，数学核心素养一级：A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，数学核心素养不是一级的：A 4，A 7，A 9，A 10；X 的可能取值为1，2，3，4，5．利用相互独立事件、互斥事件与古典概率计算公式即可得出P （X=k ）及其分布列与数学期望．【解答】解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是A 9；建模能力二级的学生是A 2，A 4，A 5，A 7，A 10；建模能力三级的学生是A 1，A 3，A 6，A 8． 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A ， 则．（2）由题可知，数学核心素养一级：A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4，5.；；；；．∴随机变量X的分布列为：∴=．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC ⊥平面BCF．进一步得到EF⊥平面BCF；（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为，此时点M与点F重合．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD=CD=BC=1，又∵，∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3．∴AB2=AC2+BC2．则BC⊥AC．∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，∴AC⊥平面BCF．∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF；（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），∴=（﹣，1，0），=（λ，﹣1，1），设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由得，取x=1，则=（1，，），∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，∴cos＜＞==．∵，∴当λ=0时，cosθ有最小值为，∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为．20．已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．推出N（x0，0）．通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后转化求解曲线C的方程．（2）①假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过，以及弦长公式，利用基本不等式求出范围．②若直线l的斜率不存在，设OP所在直线方程为y=x，类似①求解即可．【解答】解：（I）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．∴N（x0，0）．又圆与直线即相切，∴．∴圆．由题意，，得，∴．∴，即∴将代入x2+y2=9，得曲线C的方程为．（II）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．由求根公式得．（*）∵以PQ为直径的圆过坐标原点O，∴．即．∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．化简可得，．将（*）代入可得，即3m2﹣8k2﹣8=0．即，又．将代入，可得=．∴当且仅当，即时等号成立．又由，∴，∴．（2）若直线l的斜率不存在，因以PQ为直径的圆过坐标原点O，故可设OP所在直线方程为y=x，联立解得，同理求得，故．综上，得．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．。

河南省郑州市2018年高中毕业班第三次质量预测理科综合能力测试（物理）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。

第Ⅰ卷1至6页，第Ⅱ卷7至12页。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答卷上书写作答。

在试题卷上作答，答案无效。

第Ⅰ卷(选择题共126分)本卷共21小题，每小题6分，共126分。

以下数据可供答题时参考：可能用到的相对原子质量：H一1 C—12 O一16 Fe一56 Cu一64 Mn一8二、选择题(本题包括8小题．每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分) 14．根据分子动理论，物质分子之间的距离为r0时，分子所受的斥力和引力相等，以下关于分子力和分子势能的说法正确的是A．当分子间距离为r0时，分子具有最大势能B．当分子间距离为r0时，分子具有最小势能C．当分子间距离为r0时，引力和斥力都是最大值D．当分子间距离为r0时，引力和斥力都是最小值15．彩虹的产生原因是光的色散，如图所示为太阳光射到空气中小水珠时的部分光路图，其中a、b为两种单色光．以下说法正确的是A．在真空中a光波长小于b光波长B．a光光子能量大于b光光子的能量C．在同一玻璃中a光速度小于b光速度D．用同一双缝干涉装置看到的a光干涉条纹间距比b光干涉条纹宽16．如图甲所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置．如图乙所示是振子做简谐运动的位移—时间图象．下面四个图象中，能正确反映振子加速度变化情况的是17．处于激发状态的原子，如果在入射光的电磁场的影响下，引起高能态向低能态跃迁，同时两个状态之间的能量差以辐射光子的形式发射出去，这种辐射叫做受激辐射．原子发生受激辐射时发出的光子的频率、发射方向等，都跟入射光子完全一样，这样使光得到加强，这就是激光产生的机理．在受激辐射时，产生激光的原子的总能量E n、系统的电势能E p、电子的动能E k的变化情况是A．E n减小、E p增大、E k减小 B．E n不变、E p减小、E k增大C．E n增大、E p增大、E k增大 D．E n减小、E p减小、E k增大18．如图所示，一个直角三角形金属框，向左匀速穿过一个方向垂直于纸面向内的匀强磁场，磁场仅限于虚线边界所围成的区域内，该区域的形状与金属框完全相同，且金属框的下边与磁场区域的下边在一直线上．取顺时针方向为电流的正方向，金属框穿过磁场的过程中，感应电流i随时间t变化的图象是19．如图所示，两小球A、B质量相等，悬挂两球的线长也相等，小球A在竖直平面内摆动，最大摆角为θ，小球B做匀速圆锥摆运动，锥的顶角为2θ，θ＜10°，则两球A、B 运动的周期之比T A∶T B以及在图示位置时细线中的拉力之比F A∶F B为A．TA∶T B＝1∶sinθB．T A∶T B＝1∶C．F A∶F B＝cos2θ∶1D．F A∶F B＝1∶cos2θ20．如图所示，在绝缘的水平面上方，存在着匀强电场，水平面上的带电金属块在水平力F作用下沿水平面移动．已知金属块在移动的过程中，水平力F做功32J，金属块克服电场力做功8J，金属块克服摩擦力做功16J，则在此过程中金属块的A．动能增加8JB．电势能增加24JC．机械能减少24JD．机械能增加48J21．如图甲所示，光滑水平面上停放着一辆上表面粗糙的平板车，平板车质量为M．一质量为m的铁块，以水平初速度v0滑到小车上，两物体开始运动，它们的速度随时间变化的图象如图乙所示(t0是滑块在车上运动的时间)，则可以断定A．铁块与小车最终相对静止D．铁块与小车的质量之比m∶M＝1∶1c．铁块与车表面的动摩擦因数μ＝D．平板车上表面的长度为第Ⅱ卷(非选择题共174分)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号、科类、考场填写在答卷(Ⅱ卷)密封线内。

2018年河南省高三质量检测考试数学试卷（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．2、请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.已知集合{(){}2|,|log 2M x y N x y x ====-，则MN =A. [)1,2B.()[),12,-∞+∞C.[]0,1D.()[),02,-∞+∞2.在复平面内，复数z满足z =，则z 对应的点坐标为A. ()1,1B. ()1,1-C. ()1,1-D.()1,1--3.若等差数列{}n a 的前17项和1751S =，则5791113a a a a a -+-+等于A. 3B. 6C. 17D. 514.从4台甲型和5台乙型电视剧中任意取出3台，要求至少有甲型与乙型电视剧各1台，则不同的取法共有A. 140种B. 84种C. 70种D.35种5.执行如图所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，那么输出的S 的最大值为A. 0B.1C. 2D. 36.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆()2222x y -+=相切，则该双曲线的离心率为27.已知函数()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，且当()0,x ∈+∞时，()2log f x x =，若()()13,,24a f b f c f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则,,a b c的大小关系是A. a b c >>B. b c a >>C. c a b >>D. a c b >>8.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图所示，则截去部分体积与剩余部分体积之比为 A.12 B. 13 C. 14 D. 159.已知,x y 均为正实数，且满足22x y xy +=，那么4x y +的最小值为A. 33+310.在三棱锥A BCD -中，底面BCD 是边长为2的正三角形，顶点A 在底面BCD 上的射影为BCD ∆的中心，若E 为BC 的中点，且直线AE 与底面BCD所成角的正切值为三棱锥A BCD -的外接球的表面积为A. 3πB.4πC. 5πD.6π11.过抛物线24y x =的焦点F 作相互垂直的弦AC,BD 则点A,B,C,D 所构成的四边形面积的最小值为A. 16B. 32C. 48D. 64 12.已知曲线21:C y x =与曲线2:ln C y x x ⎛=>⎝⎭，直线l 是曲线1C 和曲线2C 的公切线，设直线l 与曲线1C 的切点为P ，则点P 的横坐标满足 A. 102t e <<B. 1122t e <<C. 122t <<D. 2t <<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数,x y 满足条件302403x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22(1)z x y =++的最小值为 ．14.把3男2女工5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分别的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为 ． 15.函数()sin()(0,)2f x A wx w πϕϕ=+><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移724π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[,]()33ππθθ->-上的值域为[]1,2-， 则θ= ．16.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，ABC ∆的面积为22,()tan 8S a b C S +=， 且sin cos 2cos sin A B A B =，则cos A = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前()n n N +∈项和为3,3n S a =，且1n n n S a a λ+=，在等比数列{}n b 中，13152,1b b a λ==+.（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前()n n N +∈项和为n T ，且()12n n S c π+=，求n T .18. （本小题满分12分）某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4到题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每道的回答都是相互独立、互不影响的.（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，090ADC ∠=，//,,AD BC AB AC AB AC ⊥=，点E 在AD 上，且2AE ED =.（1）已知点F 在BC ，且2CF FB =，求证：平面PEF ⊥平面PAC ；（2）当二面角A PB E --的余弦值为多少时，直线PC 与平面PAB 所成的角为045？20. （本小题满分12分）已知A 是抛物线24y x =上的一点，以点A 和点(2,0)B 为直径的圆C 交直线1x =于,M N 两点，直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于,P Q 两点.（1）求线段MN 的长；（2）若3OP OQ ⋅=-，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与MN 相等，求直线l 的方程.21. （本小题满分12分）设函数()()2,1()xf x eg x kx k R ==+∈.（1）若直线()y g x =和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意(0,)x m ∈，都有()()2f x g x x ->恒成立， 求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.23. （本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a t t y t =⎧⎨=⎩为参数，0)a >，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ+=-（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （2）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()13,()2f x x x g x a x =++-=--.（1）若关于x 的不等式()()g x g x <有解，求实数的取值范围； （2）若关于x 的不等式()()g x g x <的解集为7(,)2b ，求a b +的值.试卷答案一、ACACC ABBBD BB二、填空题13. 5 14. 16 15.4π三、解答题17. 解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且12232()3a a a a a λ+==， ① 所以2123,3a a a a λ=+==， ②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=， 由①②得121,2a a ==，所以,2n a n λ==， 所以134,16b b ==，则12n n b +=. （2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+， 所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++ 2323232n n n +=-++. 18.解：（1）由题意可知，所求概率12211123242423336622221()(1)(1)(1)333315C C C C P C C C =⨯-+⨯--=,(2)设甲公司正确完成面试的题数为X ，则X 的取值分别为1,2,3，122130424242333666131(1),(2),(3)555C C C C C C P X P X P X C C C =========， 则X 的分布列为：()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=，()2221312(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=设乙公司正确完成面试的题数为Y ，则Y 取值分别为0,1,2,3，1222331212214(0),(1)(),(2)()27339339P Y P Y C P Y C ====⨯⨯===⨯⨯=， 328(3)()327P Y ===则Y 的分布列为：所以()124801232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=(或因为2(3,)3Y B ，所以()2323E Y =⨯=) ()222212482(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，由()()()(),E X E Y D X D Y =<可得，甲公司成功的可能性更大. 19.证明：因为,AB AC AB AC ⊥=，所以C ，因为底面ABCD 是直角梯形，090,//ADC AD BC ∠=， 所以045ACD ∠=，即AD CD =，所以2BC AD ==，因为2,2AE ED CF FB ==，所以23AE BF AD ==. 所以四边形ABFE 是平行四边形，则//AB EF , 所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA EF ⊥， 因为PAAC A =，所以EF ⊥平面PAC ，因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面PAC .(2)因为,PA AC AC AB ⊥⊥，所以AC ⊥平面PAB ，则APC ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角，若PC 与平面PAB 所成角为045，则tan 1ACAPC PA∠==，即PA AC ==. 取BC 的中点为G ，连接AG ，则AG BC ⊥，以A 坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.则2(1,1,0),(1,1,0),(0,,0),3B C E P -，所以2(1,1,0),(0,3EB EP =-=-， 设平面PBE 的法向量(,,)n x y z =，则0n EB n EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即503203x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令3y =，则5,x z =，(5,3,2)n =， 因为(1,1,0)AC =是平面PAB 的一个法向量，所以cos ,3n AC ==， 即当二面角A PB E --时，直线PC 与平面PAB 所成的角为045.20.解：（1）设200(,)4y A y ，圆C 的方程2200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以20,14M N M N y y y y y y +==- ，2M N MN y y =-===（2）设直线l 的方程为1122,(,),(,)x my n P x y Q x y =+，则由24x my ny x=+⎧⎨=⎩ 消去x ，得2440y my n --=.12124,4y y m y y n +==-，因为3OP OQ ⋅=-，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-， 所以2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线l的距离为d =因为圆心C 到直线l 的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =又2024y m y -=，消去m 得4200646416y y +⋅=，求得208y =，此时2024y m y -=，直线l 的方程为3x =， 综上，直线l 的方程为1x =或3x =.21.（1）设切点的坐标为2(,)tt e ，由()2x f x e =，得()22xf x e '=，所以切线方程为222()t t y e e x t -=-，即222(12)t ty e x t e =+-，由已知222(12)xxy e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，所以222,(12)1tte k k e =-=， 令()(1)xh x x e =-，则()xh x xe '=-，当(,0)x ∈-∞时，()()0,h x h x '>单调递增，当(0,)x ∈+∞时，()()0,h x h x '<单调递减， 所以()()01h x h ≤=，当且仅当0x =时等号成立，所以0,2t k ==. （2）①当2k >时，有（1）结合函数的图象知：存在00x >，使得对于任意0(0,)x x ∈，都有()()f x g x <， 则不等式()()2f x g x x ->等价()()2g x f x x ->，即2(2)10xk x e-+->，设22(2)1,(2)2x x t k x e t k e '=-+-=-- ，由0t '>得12ln 22k x -<，由0t '<得12ln 22k x ->， 若1224,ln022k k -<≤≤，因为012(0,)(,ln )22k x -⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递减， 因为()00t =，所以任意()12(0,ln ),022k x t x -∈>，与题意不符， 若1212124,ln0,(0,ln )(,ln )222222k k k k --->>⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递增，因为()00t =，所以对任意()12(0,ln ),022k x t x -∈>符合题意， 此时取120min{0,ln }22k m -<≤，可得对任意(0,)x m ∈，都有()()2f x g x x ->. ②当02k <≤时，有（1）结合函数的图象知2(21)0(0)x e x x -+≥>， 所以()()221(21)(2)(2)0xx f x g x e kx e x k x k x -=--=-++-≥-≥对任意0x >都成立，所以()()2f x g x x ->等价于2(2)10xe k x -+->，设()2(2)1xx ek x ϕ=-+-，则()22(2)x x e k ϕ'=-+，由()0x ϕ'>得()12ln ,022k x x ϕ+'><得，12ln 22k x +<， 所以()x ϕ在12(0,ln)22k -上单调递减，注意到()00ϕ=， 所以对任意()12(0,ln),022k x x ϕ-∈<，不符合题设， 总数所述，k 的取值范围为(4,)+∞.22.（1）由cos()4πρθ+=-(cos sin )2ρθρθ-=-化成直角坐标方程，得)2x y -=-l 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离2cos()4d t π===+， 当24t k πππ+=+，即32,4t k k Z ππ=+∈时，min 1d =. （2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，所以对t R ∀∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>- （其中2an aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故的取值范围为.23.解：（1）当2x =时，()2g x a x =--取得最大值为a ，因为()134f x x x =++-≥，当且仅当()13,x f x -≤≤取最小值4，因为关于x 的不等式()()g x g x <有解，所以4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞.（2）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =， 所以当2x <时，()922g x =+， 令()942g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-， 所以12b =-，则6a b +=.。

2018郑州高三三模 数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2=230A x x x --≤，(){}=ln 2B x y x =-，则AB =（ ）A ． ()1,3B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2- 2.下列命题中，正确的是（ ） A ．0003,sin cos 2x R x x ∃∈+=B ．复数123,,z z zC ∈，若()()2212230z z z z -+-=，则13z z = C ．“0,0a b >>”是“2b aa b+≥”的充要条件 D ．命题“2,20x R x x ∃∈--≥”的否定是：“2,20x R x x ∀∈--<”3.我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ） A ．1415 B ．115 C ．29 D ． 794.若()1,1x e -∈，ln a x =，ln 12xb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln xc e =，则（ ）A ． b c a >>B ．c b a >> C. b a c >> D ．a b c >>5.设sin a xdx π=⎰，则4⎛⎝的展开式中常数项是（ ）A ． 160B ．160- C. 20- D ．20 6.执行如图所示的程序框图，若0.8p =，则输出的n =（ ） A ． 3 B ．4 C. 5 D ．67.某几何体的三视图如图所示，记A 为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ）A ． 3A ∈B ．5A ∈ C. 26A D ．3A 8.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos a c Cb B-=，4b =，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．43．3333 9.已知数列{}n a 中， 0n a >，11a =，211n n a a +=+，10096a a =，则20183a a +=（ ） A ．52B ．152 C. 52 D ．152-10.已知()2cos sin f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ．()f x 既是偶函数又是周期函数B ．()f x 的最大值是1C. ()f x 的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 的图像关于直线x π=对称 11.已知P 为椭圆22143x y +=上一个动点，过点P 作圆()2211x y ++=的两条切线，切点分别是,A B ，则PA PB ⋅的取值范围为（ ） A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．356,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 563,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D．)3,⎡+∞⎣ 12.已知函数()ln ,02ln ,x x ef x x x e⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若正实数,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是（ ）A ．()2,2e e e + B ．212,2e e e ⎛⎫++⎪⎝⎭ C. 21,2e e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ D ．21,2e e e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为 ．14.已知向量a 与b 的夹角为030，且1a =，21a b -=，则b = ．15.已知,,,A B C D四点在半径为2的球面上，且5AC BD ==，AD BC ==，AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积是 ．16.已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于,A B 两点，使0OA OB ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若12111n n T S S S =+++，证明：34n T < 18. 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以x （单位：吨，100150x ≤≤）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）视x 分布在各区间内的频率为相应的概率，求()120P x ≥； （Ⅱ）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式；（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如[)100,110x ∈，则取105x =的概率等于市场需求量落入[)100,110的频率），求T 的分布列及数学期望()E T ．19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB DC ，22AD DC AP AB ====，点E 为棱PC 的中点，（Ⅰ）证明：BE DC ⊥；（Ⅱ）若点F 为棱PC 上一点，且BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值．20. 如图，分别过椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>左、右焦点12,F F 的动直线12,l l 相交于P点，与椭圆E 分别交于,A B 与,C D 不同四点，直线,,,OA OB OC OD 的斜率1234,,,k k k k 满足1234k k k k +=+．已知当1l 与x 轴重合时，23AB =，433CD = （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在定点,M N ，使得PM PN +为定值？若存在，求出,M N 点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．21. 已知()ln f x x =，()()2102g x ax bx a =+≠，()()()h x f x g x =- （Ⅰ）若3,2a b ==，求()h x 的极值；（Ⅱ）若函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，记1202x x x +=，证明：()00h x '<． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=．（Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B ，若8AB =，求a 的值． 23.选修4-5：不等式选讲已知0,0a b >>，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1． （Ⅰ）证明：22a b +=（Ⅱ）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值．试卷答案一、选择题1-5:CDAAB 6-10:BDACB 11、12：CB二、填空题13. 3-2016. 12⎣ 三、解答题17.解：（Ⅰ）因为{}n a 为等差数列，且2822a a +=，()5281112a a a ∴=+=，由4712,,a a a 成等比数列，得27412a a a =⋅， 即()()()211211117d d d +=-⋅+，0,2d d ≠∴=，111423a ∴=-⨯=故()21*n a n n N =+∈ （Ⅱ）证明：()()122n n n a a S n n +==+，()11111222n S n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭1211111111111111232435112n n T S S S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-+-++-+-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111311131221242124n n n n ⎡⎤⎛⎫=+--=-+< ⎪⎢⎥++++⎣⎦⎝⎭ 故34n T <． 18.解：（Ⅰ）根据频率分布直方图及两两互斥事件的概率的可加性得：()()()()120120130130140140150P x P x P x P x ≥=≤<+≤<+≤≤ 0.030100.025100.01510=⨯+⨯+⨯ 0.7=（Ⅱ）当[)100,130x ∈时，()0.50.31300.839T x x x =--=- 当[]130,150x ∈时，0.513065T =⨯= 所以0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：当[)100,110x ∈时，0.81053945T =⨯-=，()450.010100.1P T ==⨯= 当[)110,120x ∈时，0.81153953T =⨯-=，()530.020100.2P T ==⨯= 当[)120,130x ∈时，0.81253961T =⨯-=，()610.030100.3P T ==⨯= 当[]130,150x ∈时，65T =，()()650.0250.015100.4P T ==+⨯= 所以T 的分布列为：T 45 53 61 65 P0.10.20.30.4所以，()450.1530.2610.3650.459.4E T =⨯+⨯+⨯+⨯=万元． 19. 解：（Ⅰ）证明：PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥．∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得：()()()()()1,0,0,0,0,2,2,2,0,1,1,1,0,2,0B P C E D ，()()0,1,1,2,0,0BE DC ∴==，0BE DC ∴⋅=，即BE DC ⊥（Ⅱ）()()1,2,0,2,2,2BC CP ==- , ()()2,2,0,1,0,0AC AB ==，由点F 在棱PC 上， 设()2,2,2CF CP λλλλ==--，()01λ≤≤()12,22,2BF BC CF λλλ∴=+=--BF AC ⊥，()()2122220BF AC λλ∴⋅=-+-=,解得：34λ=，113,,222BF ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭．设平面FAB 的法向量为()1,,n x y z =，则1101130222n AB x n BF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，不妨令1z =，可得()10,3,1n =-为平面FAB 的一个法向量，取平面ABP 的一个法向量()20,1,0n =则1212123cos ,1010nn n n n n ⋅〈〉==-=-⋅，易知，二面角F AB P --是锐角，所以其余弦值为10． 20.解：（Ⅰ）当1l 与x 轴重合时，1230k k k k +=+=，即34k k=-2l ∴垂直于x 轴，得2AB a ==，223b CD a ==得a b ==∴椭圆E 的方程为：22132x y +=． （Ⅱ）焦点12,F F 坐标分别为()()1,0,1,0-当直线1l 或2l 斜率不存在时，P 点坐标为()1,0-或()1,0当直线1l 、2l 斜率存在时，设斜率分别为12,m m ，设()()1122,,,A x y B x y ，由()2211321x y y m x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()2222111236360m x m x m +++-= 由求根公式并化简得：211221623m x x m +=-+或2112213623m x x m -⋅=+121212112112121212111422y y x x x x mk k m m x x x x x x m ⎛⎫⎛⎫++++=+=+=+=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 同理：2342242m k k m +=--．1234k k k k +=+，()()1212212212442022m m m m m m m m -=-⇒⋅+-=--，由题意知：210m m -≠，1220m m ∴⋅+=．设(),P x y ，则+2=01+1y yx x ⋅-，即()22112y x x +=≠±当直线1l 或2l 斜率不存在时，P 点坐标为()1,0-或()1,0，也满足此方程，所以点P 在椭圆()22112y x x +=≠±上，存在点()0,1M -和()0,1N ，使得PM PN +为定值，定值为 21.解：（Ⅰ）()()23ln 2,0,2h x x x x x =--∈+∞()()()()2311132132,0,x x x x h x x x x x x--+--+'∴=--==∈+∞ 令()()()3110x x h x x --+'∴==得：13x =当103x <<时，()0h x '>，即()h x 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 当13x >时，()0h x '<，即()h x 在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ()15=ln 336h x h ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭极大值，()h x 极小值不存在．（Ⅱ）函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，不妨设120x x <<，()21111ln 02a h x x x bx ∴=--=，()222222ln 02h x x x bx =--= ()()2212111222ln ln 22a ah x h x x x bx x x bx ∴-=-----()()22121212ln ln 02a x x x xb x x =-----= 即()()22121212ln ln 2a x x x xb x x -=-+- 又()()()()1h x f x g x ax b x '''=-=-+，1202x x x +=，()1201222x x h x a b x x +⎛⎫'∴=-+ ⎪+⎝⎭，()()()12120121222x xx x h x x x a b x x ⎛⎫+'∴-=--- ⎪+⎝⎭()()()1222121212212x x a x x b x x x x -⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦()()1212122ln ln x x x x x x -=--+12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+．令()1201x t t x =<<，则()()()21ln 011t r t t t t -=-<<+ ()()()()222141011t r t t t t t--'∴=-=<++ ()r t ∴在()0,1上单调递减，故()()10r t r >=， 12112221ln 01x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴->+，即()()1200x x h x '∴->，又120x x -<，()00h x '∴<．22.解：（Ⅰ）直线l 普通方程为sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，cos ,sin x y ρθρθ==，则22cos 4sin ρθρθ=，24x y ∴=即为曲线C 的普通方程．11 （Ⅱ）将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）代入曲线2:4C x y =． 22cos 4sin 40t t αα∴⋅-⋅-=，1212224sin 4,cos cos t t t t ααα-∴+=⋅=128AB t t =-===cos 24παα∴=±∴=或34π． 23.解：（Ⅰ）证明：2b a -< ()3,,23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪∴=-++-≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩，显然()f x 在,2b ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 的最小值为122b b f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即22a b +=． （Ⅱ）因为2a b tab +≥恒成立，所以2a b t ab +≥恒成立， ()212112122925+222a b a b a b ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫≥+=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92， 所以92t ≤，即实数t 的最大值为92．。

河南省郑州市2018届高三第三次质量预测数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意可知：，则.本题选择C选项.2. 下列命题中，正确的是（）A.B. 复数，若，则C. “”是“”的充要条件D. 命题“”的否定是：“”【答案】D【解析】分析：根据相关知识对四个选项逐个分析可得结论．详解：对于A，由于，故的最大值为，故A不正确．对于B，当时，，而，故B不正确．对于C，当成立；反之，当时，可得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故C不正确．对于D，由题意得，命题“”的否定是“”，故D正确．故选D．点睛：本题考查命题及逻辑的有关知识，解题的关键是借助相关知识对每个命题逐个进行判断，然后得到结论．3. 我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据古典概型概率公式求解．详解：从10部专著中选择2部的所有结果有种．设“所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著”为事件A，则A包含的基本事件个数为．由古典概型概率公式可得．故选A．点睛：解答古典概型概率问题时要注意两点：一是对概率类型的判定；二是准确求出所有的基本事件个数和事件A包含的基本事件的个数，然后按照公式求解．4. 若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先跟别判断出所在的范围，然后再比较大小．详解：∵，∴．∴，∴．故选A．点睛：比较幂和对数的大小时，由于面对的是两类不同的数，因此比较时可先判定出数所在的范围，从而可得大小关系；若仍无法比较，则选取适当的中间量（如0或1），根据各数与中间量的大小关系得到所求结论．5. 设，则的展开式中常数项是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据定积分求得，求出二项展开式的通项后再求展开式中的常数项．详解：由题意得．∴二项式即为，其展开式的通项为，当时，．故选B．点睛：本题考查用微积分基本定理求定积分和二项展开式的通项的应用，解答的关键式准确写出二项展开式的通项，并根据常数项的特征求解．6. 执行如图所示的程序框图，若，则输出的（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：依次运行框图中的程序后可得结果．详解：依次运行程序框图中的程序可得：①，满足条件，继续运行；②，满足条件，继续运行；③，不满足，停止运行．输出4．故选B．点睛：对于判断程序框图的输出结果的问题，首先要弄清程序框图的功能．对于条件结构，要根据条件进行判断，弄清程序的流向；对于循环结构，要弄清楚循环体是什么、变量的初始条件是什么和循环的终止条件是什么，要特别注意循环终止时各变量的当前值．7. 某几何体的三视图如图所示，记为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥，四边形是一个边长为4的正方形，且，∵为此几何体所有棱的长度构成的集合，故选D．【点睛】本题考查三视图求几何体的棱长，以及线面垂直的定义和勾股定理的应用，考查空间想象能力.其中由三视图正确复原几何体是解题的关键，．8. 在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由已知式子和正弦定理可得，再由余弦定理可得，然后再由三角形的面积公式可得结果．详解：∵，∴，由正弦定理得，∴．又，∴．∵，∴．由余弦定理得，∴，当且仅当时等号成立．∴．故面积的最大值为．故选A．点睛：三角形的面积常与余弦定理结合在一起考查，解题时要注意常见的变形和整体代换的应用，如；另外，三角形面积的最值问题一般通过基本不等式来解决，解题时注意构造适合应用不等式所需的形式，同时注意等号成立的条件．9. 已知数列中，，，，，则（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】试题分析：考点：数列的递推公式10. 已知，下列结论中错误的是（ ）A.既是偶函数又是周期函数 B. 的最大值是1C. 的图像关于点对称D. 的图像关于直线对称【答案】B【解析】分析：利用函数的周期性、奇偶性、对称性的概念对A 、B 、C 、D 四个选项逐一分析即可．详解：对于选项A ，由f (x )=cos x sin2x ，得f (−x )=cos(−x )sin2(−x )=cos x sin2x =f (x )，∴函数f (x )是偶函数；又f (x +2π)=cos(x +2π)sin2(x +2π)=cos x sin2x =f (x )，∴函数f (x )是周期函数．∴f (x )既是偶函数又是周期函数，故A 正确．对于选项B ，∵|cos x |⩽1，|sin2x |⩽1，且等号不能同时成立，∴无论x 取什么值，f (x )=cos x sin2x 均取不到值1，故B 不正确．对于选项C ，∵f (x )+f (π−x )=cos x sin2x +cos(π−x )sin2(π−x )=cos x sin2x −cos x sin2x =0，∴f (x )的图象关于点对称．故C 正确．对于选项D ，∵f (2π−x )=cos(2π−x )sin2(2π−x )=cos x sin2x =f (x )，∴f (x )的图象关于直线x =π对称，故D 正确．综上可得错误的结论是B ．故选B ．点睛：（1）本题考查三角函数性质的综合运用，解题时要根据题目的要求并结合相关性质进行推理、判断．（2）解题时注意函数的对称性、奇偶性、周期性的表示，如函数f (x )的图象关于直线对称等．11. 已知为椭圆上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意设PA与PB的夹角为，通过解直角三角形求出PA，PB的长，由向量的数量积公式表示出，利用三角函数的二倍角公式化简，然后换元后利用基本不等式求出最值．详解：如图，由题意设，则，∴，设，则，当且仅当，即时等号成立，此时．又当点P在椭圆的右顶点时，，∴，此时最大，且最大值．∴的取值范围是故选C．点睛：圆锥曲线中的最值或范围问题将几何问题和函数、不等式的问题综合在一起，考查学生的综合应用能力，此类题目具有一定的难度．解题时首先要根据题意设出相关的参数，把所求的最值表示为该参数的函数，然后根据目标函数的特征选用函数或不等式的知识求解最值即可．12. 已知函数，若正实数互不相等，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的图象如下图所示，不妨设，则时，，显然，，，考虑极限情况，可知，故选择B.点睛：本题考查利用函数图像求参数的取值范围.首先作出分段函数的图像，显然函数在上递减，上递增，上递减，结合函数图像分析，可以考虑极限情况，当直线，时显然为临界直线，可以求出的取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设满足约束条件：，则的最小值为__________．【答案】【解析】试题分析：不等式对应的可行域为直线围成的三角形及其内部，顶点为，当过点时取得最小值-3考点：线性规划问题14. 已知向量与的夹角为，且，，则__________．【答案】【解析】分析：先根据求得，再由数量积求得．详解：∵，∴，∴，整理得，解得．点睛：本题考查数量积的运算，解题时注意数量积的运算满足多项式运算的运算律．解答本题的关键是把作为未知数，并结合题意构造出相应的方程，通过解方程达到求解的目的．15. 已知四点在半径为的球面上，且，，，则三棱锥的体积是__________．【答案】【解析】根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D-ABC，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有解得a=4，b=3，c=5，所以三棱锥的体积为4×3×5-4×××4×3×5=20.故答案为2016. 已知双曲线的右焦点为为坐标原点，若存在直线过点交双曲线的右支于两点，使，则双曲线离心率的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先求出当直线与x轴垂直时的离心率，再求出当直线与渐近线平行时这一极端情况下的离心率，由此可得所求的范围．详解：由得．（1）当直线与x轴垂直时，则有，∴，即，∴，∴，解得．（2）当直线与x轴不垂直时．若直线平行于渐近线时，直线的斜率为，直线方程为，代入双曲线方程可得点A的坐标为，∴的斜率为，又此时有，∴，整理得，解得．但此时直线与双曲线的右支只有一个交点，不合题意．∴双曲线离心率的取值范围是．点睛：求双曲线的离心率或范围时，首先把给出的几何图形的位置关系转化为的关系，并结合题意得到关于离心率的方程或不等式，解方程或不等式后可得所求的值或范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）由题意可求得等差数列的公差，从而可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，然后根据裂项相消法得到，由此可得结论成立．详解：（Ⅰ）∵数列为等差数列，且，．∵成等比数列，∴，即，又∴，∴，∴.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，∴．∴．∴．点睛：对于通项公式是分式型的数列求和时一般用裂项法，解题时注意以下两点：（1）列项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止；（2）消项的规律为：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，即剩余的项具有对称性．18. 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）视分布在各区间内的频率为相应的概率，求；（Ⅱ）将表示为的函数，求出该函数表达式；（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如，则取的概率等于市场需求量落入的频率），求的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图和互斥事件的概率公式求解．（Ⅱ）结合题意用分段函数的形式表示与的关系．（Ⅲ）先确定的所有可能取值为45,53,61,65，然后分别求出相应的概率，进而可得分布列，最后求出期望．详解：（Ⅰ）根据频率分布直方图及互斥事件的概率公式可得：．（Ⅱ）当时，，当时，．所以（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：当时，，；当时，，；当时，，；当时，，．所以的分布列为：455361650.10.20.30.4∴万元．点睛：（1）求随机变量及其分布列的一般步骤①明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②利用相应的概率求出随机变量取每个可能值的概率；③按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．（2）解答此类问题的关键是读懂题意，合理选择合适的概率公式求解．19. 如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若点为棱上一点，且，求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得．两两垂直，建立空间直角坐标系，根据可证得．（Ⅱ）根据点在棱上可设，再由，得，由此可得，从而可得．然后可求得平面的法向量为，又平面的一个法向量，可得，然后结合图形可得所求．详解：（Ⅰ）证明：底面，平面，面，∴，，又，∴．两两垂直．以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.则由题意得，∴，∴，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得,．由点在棱上，设，，，,解得，∴．设平面的法向量为，则由，得，令，得．由题意取平面的一个法向量．∴，由图形知二面角是锐角，所以二面角的余弦值为．点睛：用坐标法解答立体几何问题的几个注意点：（1）建立空间直角坐标系时首先要判断是否满足条件，即是否有三条两两垂直的直线；（2）求点的坐标时一定要准确，对于不容易求的点的坐标，可根据向量的共线等方法求解；（3）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，还要根据图形判断出二面角为锐角还是钝角，最后再下结论．20. 如图，分别过椭圆左、右焦点的动直线相交于点，与椭圆分别交于与不同四点，直线的斜率满足．已知当与轴重合时，，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），和.【解析】试题分析：（1）当与轴重合时，垂直于轴，得,得,从而得椭圆的方程；（2）由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线，所以把坐标化，可得点的轨迹是椭圆，从而求得定点和点.试题解析：当与轴重合时，, 即,所以垂直于轴，得，，, 得,椭圆的方程为.焦点坐标分别为, 当直线或斜率不存在时，点坐标为或;当直线斜率存在时，设斜率分别为, 设由, 得：, 所以:，, 则：. 同理：, 因为, 所以, 即, 由题意知, 所以，设，则，即，由当直线或斜率不存在时，点坐标为或也满足此方程，所以点在椭圆上.存在点和点，使得为定值，定值为.考点：圆锥曲线的定义，性质，方程.【方法点晴】本题是对圆锥曲线的综合应用进行考查，第一问通过两个特殊位置，得到基本量，，得,,从而得椭圆的方程，第二问由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线，本题的关键是从这个角度出发，把坐标化，求得点的轨迹方程是椭圆，从而求得存在两定点和点.21. 已知，，.（Ⅰ）若，求的极值；（Ⅱ）若函数的两个零点为，记，证明：．【答案】（Ⅰ）极大值为，无极小值；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）先判断函数在上的单调性，然后可得当时，有极大值，无极小值．（Ⅱ）不妨设，由题意可得，即，又由条件得，构造，令，则，利用导数可得，故得，又，所以．详解：（Ⅰ），，由得，且当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，∴当时，有极大值，且，无极小值．（Ⅱ）函数的两个零点为，不妨设，，．，即，又，，，．令，则，在上单调递减，故，，即，又，．点睛：（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数的变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大体图象，然后通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．（2）证明不等式时常采取构造函数的方法，然后通过判断函数的单调性，借助函数的最值进行证明．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：．（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线交于不同的两点，若，求的值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）或.【解析】分析：（Ⅰ）将参数方程消去参数可得普通方程，由，得，根据转化公式可得直角坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程整理得二次方程，然后根据根与系数的关系及参数方程中参数的几何意义求得弦长，进而可得或．详解：（Ⅰ）将（为参数，）消去参数，整理得，∴直线普通方程为．∵，∴，将代入上式，得，∴曲线的普通方程为．（Ⅱ）将（为参数，）代入方程整理得：，显然．设两点对应的参数分别为，则，∴，解得又，∴或．点睛：用直线参数方程的几何意义求长度问题时，要注意参数方程中参数的系数的平方和为1，只有在这种形式下，||才表示直线上的动点到定点的距离，这才是直线的参数方程中参数的几何意义．选修4-5：不等式选讲23. 已知，函数的最小值为1．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若恒成立，求实数的最大值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【试题分析】（1）运用绝对值的三角不等式或运用绝对值的定义将其化归为分段函数的最值问题来处理，求解时借助分段函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，从而探求出在处取最小值；（2）先将不等式中的参数分离出来得到，再运用基本不等式或柯西不等式求最值：（1）法一：，∵且，∴，当时取等号，即的最小值为，∴；法二：∵，∴，显然在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为，∴；（2）法一：∵恒成立，∴恒成立，，当时，取得最小值，∴，即实数的最大值为；法二：∵恒成立，∴恒成立，恒成立，，∴，即实数的最大值为．。

一、选择麒本大题共12个小题，每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A=5={a1v=M(2r)},则AOB=()A. [-3,2)B.(2,3JC.|・1,2)D・(・1,2)【解答】解：..•集合人={亦2・2丫・3毛0}={吊-1W x W3}=[-1,3].5={dv=/n(2-a)}={a I2-x>0}={a1a<2}=(・ 8,2)：•••ACB=[・1,2).故选：c.2.(5分)下列命题中，正确的是()A. Bx0G R9sinx D+cosx Q=:B.复数Zl,Z2,a€C>若(Zi-Z2)'+(如一巧)'=0，M ZI=Z3C. ““>0,b>0”是"-+^>2"的充要条件a bD.命题F.沱R,/-a-2，。

'’的否定是：“V.沱R,Jr・2V0"【解答】解：因为y=siiu+cosx=VIsin(x+p<x/2<|,所以A不正确：复数ZI，Z2,Z3CC,若(Zi-z2)2 +(z2-^3)2=。

・则Zl=Z3，反例Zl=0,Z2=h23=2。

所以B不正确；当。

，b同号时，恒成立，所以C不正确：a b命题4*3a€R./.刀.2河”的否定是：-V a€R.?-a-2<0m,满足命题的否定形式,所以D正确.故选：D.3.(5分)我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为<)14 1327A. —B.—C•—D,—15 15 9 9【解答】解：从10部名著中选择2部名著的方法数为Ci/=45(种)，2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为C32=3(种).由对立事件的概率计算公式得p=1-&=普.故选：A.4.（5分）若庄（广，!）•〃=血异b=G）E,c=e lnx.则（）A.b>c>aB.c>b>uC.b>a>cD.u>b>c【解答】解：.X（L,I）.\a=ln.x<ln\=O即“VO考察幕函数/（/）=w'：lnx<0...当，>O时，/（r）是减函数1勺V。

中原名校2017—2018学年第三次质量考评高三数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20M x x x =--<，21|1,2N y y x x R ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ）A ．{}|21x x -≤<B ．{}|12x x <<C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x ≤<2.函数1sin()23y x π=-+在[]2,2x ππ∈-上的单调递减区间为（ ）A ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．52,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,3ππ5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.已知2222()123(2)f n n =++++…，则(1)f k +与()f k 的关系是（ ） A ．22(1)()(21)(22)f k f k k k +=++++ B ．2(1)()(1)f k f k k +=++ C ．2(1)()(22)f k f k k +=++D ．2(1)()(21)f k f k k +=++4.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和且13n n S A +=-，则A =（ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．35.已知点(,)P x y 在不等式组20,0,20,x y x y y -≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16.高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n 层楼时，环境不满意度为8n，则同学们认为最适宜的教室应在（ ）楼 A ．2B ．3C ．4D ．87.执行如图所示的程序框图，如果输出6T =，那么判断框内应填入的条件是（ ）A ．32k <B ．33k <C ．64k <D ．65k <8.已知函数(21)y f x =-定义域是[]0,1，则2(21)log (1)f x x ++的定义域是（ ）A ．[]1,2B ．(1,1]-C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(1,0)-9.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2222sin )ab C b c a =+-，若a =3c =，则ABC ∆的面积为（ ）A ．3 B．C．D10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）ABCD ．311.已知双曲线22142x y -=右焦点为F ，P为双曲线左支上一点，点A ，则APF ∆周长的最小值为（ ） A．4(1+B．4+C．D12.若对x ∀，y R ∈，有()()()2f x y f x f y +=+-，则函数22()()1xg x f x x =++的最大值与最小值的和为（ ） A ．4B ．6C ．9D ．12第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数2()422f x x ax a =+++的值域为[0,)+∞，则a 的取值集合是 ．14.已知20sin()x dx πϕ-=⎰，则sin 2ϕ= ． 15.如图，设Ox 、Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若1223OP e e =+，则||OP = ．16.已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数22()2f x x x x=+-，则()f e = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知11326a a +=，981S =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）令121n n n b a a ++=，12n n T b b b =+++…，若300n T m -≤对一切*n N ∈成立，求实数m 的最小值．18.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C ︒）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？19.在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，2AB =，1AA =D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A ．（1）证明：平面1AB C ⊥平面BCD ；（2）若OC OA =，1AB C ∆的重心为G ，求直线GD 与平面ABC 所成角的正弦值．20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点3(1,)2．若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“椭点”． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求AOB ∆的面积．21.已知函数2()ln ()2a f x x x x a R =-∈．（1）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()()(1)g x f x a x =+-在1x =处取得极小值，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为1,222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为(4cos 2sin )m ρρθθ--=-，且直线l 与圆C 相交于不同的A ，B 两点．（1）求线段AB 垂直平分线'l 的极坐标方程；（2）若1m =，求过点(4,4)N 与圆C 相切的切线方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|||2|()f x x m x m R =-++∈，()|21|3g x x =-+． （1）当1m =时，求不等式()5f x ≤的解集；（2）若对任意的1x R ∈，都有2x ∈R ，使得12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围．中原名校2017—2018学年第三次质量考评高三数学（理）试题答案 一、选择题1-5:CAADA 6-10:BCDBB 11、12：AA二、填空题13.1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭14.91616.2三、解答题17.解：（1）∵等差数列{}n a 中，11326a a +=，981S =，∴75226,981,a a =⎧⎨=⎩解得7513,9,a a =⎧⎨=⎩∴ 751392752a a d --===-， ∴5(5)92(5)21n a a d n n n =+-=+-=-（*n N ∈）． （2）∵1211111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n ++===-++++，∴1111111111()()2355721232323n T n n n =-+-++-=-+++…， ∵111()2323n -+随着n 增大而增大， ∴{}n T 是递增数列，又1023n >+，∴16n T <，∴5m ≥，∴实数m 的最小值为5．18．解：（1）易知需求量可取200，300,500，2161(200)3035P X +===⨯，362(300)3035P X ===⨯，25742(500)3035P X ++===⨯， 则分布列为：（2）①当200n ≤时，(64)2Y n n =-=，此时max 400Y =，当200n =时取到； ②当200300n <≤时，[]4122002(200)(2)55Y n n =⋅+⨯+-⋅-880026800555n n n -+=+=， 此时max 520Y =，当300n =时取到； ③当300500n <≤时，[][]1222002(200)(2)3002(300)(2)2555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅320025n-=，此时520Y <；④当500n ≥时，易知一定小于③的情况． 综上所述，当300n =时，取到最大值为520．19.解：（1）∵11ABB A 为矩形，2AB =，1AA =D 是1AA 的中点， ∴90BAD ∠=︒，190ABB ∠=︒，1BB =112AD AA ==，从而tan AD ABD AB ∠==11tan 2AB AB B BB ∠==， ∵0ABD <∠，12AB B π∠<，∴1ABD AB B ∠=∠，∴1112AB B BAB ABD BAB π∠+∠=∠+∠=，∴2AOB π∠=，从而1AB BD ⊥，∵CO ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ， ∴1AB CO ⊥， ∵BDCO O =，∴1AB ⊥平面BCD ，∵1AB ⊂平面1AB C ， ∴平面1AB C ⊥平面BCD ．（2）如图，以O 为坐标原点，分别以OD ，1OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．在矩形11ABB A 中，由于1//AD BB ，所以AOD ∆和1B OB ∆相似，从而112OB BB OB OA OD AD===，又1AB ==BD =∴OB =，OD =，OA =1OB =，∴(0,A，(B，C，1B，D ， ∵G 为1AB C ∆的重心，∴G，6(GD =， 设平面ABC 的法向量为(,,)n xy z =，(AB =，AC =， 由0,0,n AB n AC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得0,330,x y y ⎧-+=⎪⎪=整理得0,0,y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则1z =-，2x =，∴2(,1,1)n =-， 设直线GD 与平面ABC 所成角α，则(1)3sin cos ,||||GD n GD n GD n α⋅-⋅=<>===⋅， 所以直线GD 与平面ABC 所成角的正弦值为65．20.解：（1）由12e =，得2a c =， 又222a b c =+，∴b =，∴椭圆C ：2222143x y c c+=，因为点3(1,)2在C 上，∴ 22914143c c+=，解得1c =，∴2a =，b =∴椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y，则1(2x P，2(2x Q ，由以PQ 为直径的圆经过坐标原点，得0OP OQ ⋅=，即1212143x x y y +=，① 由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消除y 整理得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，由22226416(34)(3)0k m k m ∆=-+->，得22340k m +->，而122834mkx x k +=-+，21224(3)34m x x k -=+，②∴22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=+， 将②③代入①得：222224(3)3(4)04(34)4(34)m m k k k --+=++，即22243m k -=，又∵||AB ==， 原点O 到直线l ：y kx m =+的而距离d =∴1||2AOBS AB d ∆=⋅=，把22243m k -=代入上式得AOB S ∆=，即AOB S ∆21.解：（1）当2a =时，2()ln f x x x x =-，'()ln 12f x x x =+-，(1)1f =-，'(1)1f =-， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为y x =-．（2）由已知得2()ln (1)2a g x x x x a x =-+-，则'()ln g x x ax a =-+， 记()'()ln h x g x x ax a ==-+，则(1)0h =，11'()axh x a x x-=-=．①当0a ≤，(0,)x ∈+∞时，'()0h x >，函数'()g x 单调递增，所以当(0,1)x ∈时，'()0g x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，所以()g x 在1x =处取得极小值，满足题意． ②当01a <<时，11a>，当1(0,)x a ∈时，'()0h x >，故函数'()g x 单调递增，可得当(0,1)x ∈时，'()0g x <，1(1,)x a∈时，'()0g x >，所以()g x 在1x =处取得极小值，满足题意．③当1a =时，当(0,1)x ∈时，'()0h x >，'()g x 在(0,1)内单调递增；(1,)x ∈+∞时，'()0h x <，'()g x 在(1,)+∞内单调递减，所以当(0,)x ∈+∞时，'()0g x ≤，()g x 单调递减，不合题意． ④当1a >时，即101a <<，当1(,1)x a∈，'()0h x <，'()g x 单调递减，'()0g x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0h x <，'()g x 单调递减，'()0g x <，所以()g x 在1x =处取得极大值，不合题意．综上可知，实数a 的取值范围为1a <．22.解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为10x y -+=，斜率为1，所以直线'l 的斜率为1-．因为圆C 的极坐标方程可化为24cos 2sin 0m ρρθρθ--+=，所以将222x y ρ=+，cos x ρθ=，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上述方程得圆C 的直角坐标方程为22420x y x y m +--+=，配方，得22(2)(1)5x y m -+-=-，其圆心为(2,1)C 5m <）． 由题意知直线'l 经过圆心(2,1)C ，所以直线'l 的方程为1(2)y x -=--，即30x y +-=，所以由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线'l 的极坐标方程为(cos sin )3ρθθ+=．（2）当所求切线的斜率存在时，设切线方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k --+=，2=， 解得512k =，所以所求切线的方程为512280x y -+=； 当所求切线的斜率不存在时，切线方程为4x =．综上，所求切线的方程为4x =或512280x y -+=．23.解：（1）当1m =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x ≤-时，()1221f x x x x =---=--，由215x --≤，解得3x ≥-，所以32x -≤≤-；②当21x -<<时，()1235f x x x =-++=≤恒成立，所以21x -<<；③当1x ≥时，()1221f x x x x =-++=+，由215x +≤，解得2x ≤，所以12x ≤≤； 综上所述，不等式()5f x ≤的解集为[]3,2-．（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，设{}|()A y y f x ==，{}|()B y y g x ==，则A B ⊆，因为()|||2||()(2)||2|f x x m x x m x m =-++≥--+=+，()|21|33g x x =-+≥，所以|2|3m +≥，解得1m ≥或5m ≤-，因此，实数m 的取值范围为(,5][1,)-∞-+∞．。