2019届高考数学(文科)江苏版1轮复习课件：第2章 基本初等函数、导数的应用 10 第10讲 导数的概念与运算

1．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________．[解析] 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得0>a ≥－14. 综上所述得－14≤a ≤0. [答案] ⎣⎡⎦⎤－14，0 2．给定函数：①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0，1)上是单调递减函数的是________．(填序号)[解析] ①是幂函数，在(0，＋∞)上是增函数，不符合；②中的函数是由函数y ＝log 12x向左平移1个单位而得到的，因为原函数在(0，＋∞)上是减函数，故符合；③中的函数图象是由函数y ＝x －1的图象保留x 轴上方，下方图象翻折到x 轴上方而得到的，故由其图象可知正确；④中函数显然是增函数，故不符合．[答案] ②③3．“函数f (x )在[a ，b ]上为单调函数”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的_________条件．[解析] 若函数f (x )在[a ，b ]上为单调递增(减)函数，则在[a ，b ]上一定存在最小(大)值f (a )，最大(小)值f (b )，所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f (x )＝x 2－2x ＋3在[0，2]存在最大值和最小值，但该函数在[0，2]不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f (x )在[a ，b ]上为单调函数”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的充分不必要条件．[答案] 充分不必要4．(2018·杭州模拟)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.[解析] f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ≥－a 2，－2x －a ，x <－a 2，作出函数图象(图略)，由图象知，函数的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，所以－a 2＝3，即a ＝－6.[答案] －65．函数f (x )＝log 13(12x －27－x 2)的最小值为________．解析：令12x －27－x 2>0得f (x )的定义域为(3，9)．设n ＝12x －27－x 2，则0<n ≤9.所以y ＝log 13n 的取值范围是[－2，＋∞)．故函数的最小值为－2.答案：－26．若奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集是________．[解析] 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110. [答案] ⎝⎛⎭⎫0，110 7．若函数y ＝|2x －1|在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是________．[解析] 画出图象易知y ＝|2x －1|的递减区间是(－∞，0]，依题意应有m ≤0.[答案] (－∞，0]8．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M＝________． [解析] 显然函数的定义域是[－3，1]且y ≥0，故y 2＝4＋2（1－x ）（x ＋3）＝4＋2－x 2－2x ＋3＝4＋2－（x ＋1）2＋4，根据根式内的二次函数，可得4≤y 2≤8，故2≤y ≤22，即m ＝2，M ＝22，所以m M ＝22. [答案] 229．若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． [解析] 设x 1>x 2>－2，则f (x 1)>f (x 2)，而f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2 ＝2ax 1＋x 2－2ax 2－x 1（x 1＋2）（x 2＋2）＝（x 1－x 2）（2a －1）（x 1＋2）（x 2＋2）>0，则2a －1>0， 得a >12. [答案] ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 10．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上的最小值为________．[解析] 因为f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，所以f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0.所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．设x 1<x 2，则x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)>0.所以f (x )在R 上是减函数．所以f (x )在[a ，b ]上有最小值f (b )．[答案] f (b )11．求y ＝a 1－2x －x 2(a ＞0且a ≠1)的单调区间．[解] 令g (x )＝1－2x －x 2＝－(x ＋1)2＋2，所以g (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．当a >1时，函数y ＝a 1－2x －x 2的增区间是(－∞，－1)，减区间是(－1，＋∞)； 当0<a <1时，函数y ＝a 1－2x －x 2的增区间是(－1，＋∞)，减区间是(－∞，－1)．12．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在[0，1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．[解] f (x )＝⎝⎛⎭⎫a －1a x ＋1a， 当a >1时，a －1a>0，此时f (x )在[0，1]上为增函数， 所以g (a )＝f (0)＝1a； 当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在[0，1]上为减函数， 所以g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.所以g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <11a，a ≥1，所以g (a )在(0，1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a ＝1时，有a ＝1a＝1， 所以当a ＝1时，g (a )取最大值1.1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．[解析] 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．[答案] [0，1)2．(2018·潍坊模拟)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设f (x )＝min{2x ，x ＋2，10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．[解析] 如图所示，在同一坐标系中作出y ＝x ＋2，y ＝2x ，y ＝10－x 的图象．根据f (x )的定义，f (x )＝min{2x ，x ＋2，10－x }(x ≥0)的图象如图实线部分．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，0≤x ≤2，x ＋2，2<x <4，10－x ，x ≥4.令x ＋2＝10－x ，得x ＝4.当x ＝4时，f (x )取最大值f (4)＝6.[答案] 63．设函数f (x )＝x －1x，对任意x ∈[1，＋∞)，使不等式f (mx )＋mf (x )<0恒成立的实数m 称为函数f (x )的“伴随值”，则m 的取值范围是________．[解析] 由题意知，f (x )为增函数且m ≠0.若m >0，由函数的单调性可知，f (mx )和mf (x )均为增函数，此时不符合题意．若m <0，则f (mx )＋mf (x )<0可化为mx －1mx ＋mx －m x<0，所以2mx －⎝⎛⎭⎫m ＋1m ·1x <0，即1＋1m 2<2x 2，因为y ＝2x 2在x ∈[1，＋∞)上的最小值为2，所以1＋1m 2<2，即m 2>1，解得m <－1.[答案] (－∞，－1)4．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．[解] (1)证明：设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）. 因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0，1]．5．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．[解] (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2 x 2)＋b (3 x 1－3 x 2)． 因为2 x 1<2 x 2，a >0⇒a (2 x 1－2 x 2)<0，3 x 1<3 x 2，b >0⇒b (3 x 1－3 x 2)<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数．同理，当a <0，b <0时，函数f (x )在R 上是减函数．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0，当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x>－a 2b，则x >log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b ； 同理，当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a 2b， 则x <log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b . 6．已知函数f (x )＝a －1|x |. (1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ，设0＜x 1＜x 2，则x 1x 2＞0，x 2－x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫a －1x 2－⎝⎛⎭⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意a －1x＜2x 在(1，＋∞)上恒成立， 设h (x )＝2x ＋1x， 则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立．任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1＜x 2，h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－1x 1x 2.因为1＜x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，所以2－1x 1x 2＞0，所以h (x 1)＜h (x 2)， 所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3，所以a 的取值范围是(－∞，3]．7．定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数m ，n ，总有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.(1)试求f (0)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明你的结论；(3)设A ＝{(x ，y )|f (x 2)·f (y 2)>f (1)}，B ＝{(x ，y )|f (ax －y ＋2)＝1，a ∈R }，若A ∩B ＝∅，试确定a 的取值范围．[解] (1)在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，令m ＝1，n ＝0，得f (1)＝f (1)·f (0)．因为f (1)≠0，所以f (0)＝1.(2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2.在已知条件f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，若取m ＋n ＝x 2，m ＝x 1，则已知条件可化为：f (x 2)＝f (x 1)·f (x 2－x 1)．由于x 2－x 1>0，所以0<f (x 2－x 1)<1.为比较f (x 2)，f (x 1)的大小，只需考虑f (x 1)的正负即可．在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，令m ＝x ，n ＝－x ，则得f (x )·f (－x )＝1.因为当x >0时，0<f (x )<1，所以当x<0时，f(x)＝1f（－x）>1>0.又f(0)＝1，所以综上可知，对于任意的x1∈R，均有f(x1)>0.所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0.所以函数f(x)在R上单调递减．(3)f(x2)·f(y2)>f(1)，即x2＋y2<1.f(ax－y＋2)＝1＝f(0)，即ax－y＋2＝0.由A∩B＝∅，得直线ax－y＋2＝0与圆面x2＋y2<1无公共点，所以2a2＋1≥1，解得－1≤a≤1.。

1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为________． [解析] f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)． [答案] 3(x 2－a 2)2．(2018·南通市高三第一次调研测试)已知两曲线f (x )＝2sin x ，g (x )＝a cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2相交于点P .若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．解析：设点P 的横坐标为x 0，则2sin x 0＝a cos x 0，(2cos x 0)(－a sin x 0)＝－1，所以4sin 2x 0＝1.因为x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin x 0＝12，cos x 0＝32，所以a ＝233.答案：2333．已知f (x )＝x (2 015＋ln x )，f ′(x 0)＝2 016，则x 0＝________．[解析] 由题意可知f ′(x )＝2 015＋ln x ＋x ·1x ＝2 016＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 016，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.[答案] 14.已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y＝f (x )在点P 处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2，0)，所以切线方程为x －y －2＝0. 答案：x －y －2＝05．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________． 解析：因为f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. 所以f ′(x )＝2x －4.所以f ′(0)＝－4. 答案：－46．若以曲线y ＝13x 3＋bx 2＋4x ＋c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b 的取值范围为________．解析：y ′＝x 2＋2bx ＋4，因为y ′≥0恒成立，所以Δ＝4b 2－16≤0，所以－2≤b ≤2. 答案：[－2，2]7．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝________．解析：因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f ′(x )＝－sin x －cos x ， 故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.答案：－ 28．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2，8)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意知，A (2，8)在y ＝x n 上，所以2n ＝8，所以n ＝3，所以y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2，8)．所以y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.答案：12x －y －16＝09．(2018·江苏省四星级学校联考)已知函数f (x )＝e x ＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)的导函数f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )在(x 0，f (x 0))处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则x 0＝________．解析：由题意知f ′(x )＝e x －a ·e －x ，因为f ′(x )为奇函数，所以f ′(0)＝1－a ＝0，所以a ＝1，故f ′(x )＝e x －e －x .因为曲线y ＝f (x )在(x 0，f (x 0))处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，所以f ′(x 0)＝e x 0－e －x 0＝22，解得e x 0＝2，所以x 0＝ln 2＝ln 22. 答案：ln 2210．求下列函数的导数． (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；(2)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (3)y ＝3x e x －2x ＋e.解：(1)因为y ＝6x 3－4x 2＋9x －6，所以y ′＝18x 2－8x ＋9. (2)因为y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12－x 12，所以y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2x ln 2.11．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．解：(1)由f (x )＝x 3－3x ，得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，所以所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20－3.又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－（－2）x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，又x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)，解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3×⎝⎛⎭⎫14－1＝－94， 所以y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.1．已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________．解析：f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x [(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′， 所以f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120. 答案：－1202．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝1x，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2. 答案：－23．设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．解析：因为y ′＝12x －12 (x ＋1)＋x ＝3x 2＋12x ≥234＝3，设点P (x ，y )(x >0)， 则在点P 处的切线的斜率k ≥3， 所以tan θ≥3，又θ∈[0，π)，故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2.答案：⎣⎡⎭⎫π3，π24．记定义在R 上的函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )．如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (b )－f (a )＝f ′(x 0)(b －a )成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“中值点”，那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2，2]上“中值点”的个数为________．解析：f (2)＝2，f (－2)＝－2，f （2）－f （－2）2－（－2）＝1，由f ′(x )＝3x 2－3＝1，得x ＝±233∈[－2，2]，故有2个．答案：25．(2018·临沂模拟)已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，f ′(－1)＝0， 即3a －6－6a ＝0， 所以a ＝－2.(2)存在．因为直线m 恒过定点(0，9)，直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)，因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将点(0，9)代入，得x 0＝±1，当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9.由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1或x＝2，当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9.所以公切线是y＝9.又令f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，所以x＝0或x＝1.当x＝0时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以公切线不是y＝12x＋9.综上所述，公切线是y＝9，此时k＝0.。

1．若f (x )是幂函数，且满足f （4）f （2）＝3，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 解析：设f (x )＝x a，由f （4）f （2）＝3可得4a 2a ＝3，即2a ＝3，a ＝log 23，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝2－log 23＝13. 答案：132．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法： ①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图象关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0，0)、(1，1)．其中正确的有________(把所有正确说法的序号都填上)． 解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质进行比较． 答案：①②⑤3．比较0.20.5，0.40.3的大小，结果为________．解析：先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y ＝0.2x 是减函数，故0.20.5<0.20.3；y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，故0.20.3<0.40.3，则0.20.5<0.40.3.答案：0.20.5<0.40.34．(2018·徐州质检)下列图象中，表示y ＝x 23的是________．解析：y ＝x 23＝3x 2是偶函数，所以排除②、③，当x >1时， xx 23＝x 13>1，所以x >x 23，所以排除①.答案：④5．(2018·蚌埠质检)已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：则不等式f (|解析：由表知22＝⎝⎛⎭⎫12α，所以α＝12，所以f (x )＝x .所以|x |≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4.答案：{x |－4≤x ≤4}6．当x ∈(1，2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1，2)时，f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4⇒m ≤－5.答案：(－∞，－5]7．(2018·江苏省高考名校联考(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x 2－x ＋2，x ＞0，2，x ≤0，则不等式f (－x 2－1)≤f (－x 2＋5x )的解集为________．解析：因为－x 2－1≤－1＜0，所以f (－x 2－1)＝2，当－x 2＋5x ≤0时，f (－x 2－1)＝f (－x 2＋5x )＝2，原不等式成立，此时，x ≥5或x ≤0；当－x 2＋5x ＞0时，则需f (－x 2＋5x )≥2，即14(－x 2＋5x )2－(－x 2＋5x )＋2≥2，－x 2＋5x ≥4，得1≤x ≤4.故原不等式的解集为(－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)．答案：(－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)8．已知函数f (x )＝x 2＋1的定义域为[a ，b ](a <b )，值域为[1，5]，则在平面直角坐标系内，点(a ，b )的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为________．解析：如图，对于函数f (x )＝x 2＋1，当x ＝±2时，y ＝5.故根据题意，得a ，b 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤0，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝－2，0≤b ≤2. 所以点(a ，b )的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形，面积为4. 答案：49．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 10．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二))已知函数f (x )＝－4x 2＋2ax －b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]，若关于x 的不等式f (x )≥m 的解集为[c ，c ＋8]，则实数m 的值为________．解析：因为函数f (x )＝－4x 2＋2ax －b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]，所以函数的最大值为0.令f (x )＝0，可得Δ＝4a 2－4×(－4)×(－b )＝4a 2－16b ＝0，即b ＝a 24.关于x 的不等式f (x )≥m 可化简为4x 2－2ax ＋b ＋m ≤0，即4x 2－2ax ＋a 24＋m ≤0.又关于x 的不等式f (x )≥m 的解集为[c ，c ＋8]，所以方程4x 2－2ax ＋a 24＋m ＝0的两个根为x 1＝c ，x 2＝c ＋8，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝a2x 1x 2＝a 216＋m4，又|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝64，即⎝⎛⎭⎫a 22－4⎝⎛⎭⎫a 216＋m 4＝64，解得m ＝－64. 答案：－6411．已知二次函数f (x )的图象过点A (－1，0)、B (3，0)、C (1，－8)． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0，3]上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．解：(1)由题意可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)， 将C (1，－8)代入得－8＝a (1＋1)(1－3)，得a ＝2. 即f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6. (2)f (x )＝2(x －1)2－8，当x ∈[0，3]时，由二次函数图象知， f (x )min ＝f (1)＝－8，f (x )max ＝f (3)＝0. (3)f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1，或x ≥3}． 12．(2018·青岛模拟)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)， 求f (x )的最小值．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0，1]内，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增． 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a. ②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0，1]的右侧，所以f (x )在[0，1]上递减．所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上递减． 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a ，a ≥1.1．已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ≠0，b <1)在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，则a ＝________，b ＝________．解析：g (x )＝a (x －1)2＋1＋b －a ， 当a >0时，g (x )在[2，3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g （3）＝4，g （2）＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋1＋b －a ＝4，a ＋1＋b －a ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，g (x )在[2，3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g （3）＝1，g （2）＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋1＋b －a ＝1，a ＋1＋b －a ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. 因为b <1，所以a ＝1，b ＝0. 答案：1 02．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．解析：当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， 所以f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， 所以m ≥1，n ≤0，m －n ≥1. 答案：13．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R ，其中f (x )的最小值为f (－1)＝0，且f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围是________．解析：由题意知a ≠0，f (－1)＝a －b ＋1＝0，且－b2a ＝－1，所以a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]， 则g (x )在[－3，－1]上递减．所以g (x )min ＝g (－1)＝1.所以k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．答案：(－∞，1)4．(2018·江苏省高考名校联考(三))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x ，x ≥0，－ax 2＋x ，x ＜0，当x ∈⎣⎡⎦⎤－14，14时，恒有f (x ＋a )＜f (x )，则实数a 的取值范围是________．解析：显然a ≠0，故考虑a ＞0和a ＜0两种情形．①当a ＞0时，画图知，函数f (x )在R 上单调递增，故f (x ＋a )＞f (x )，不符合题意；②当a ＜0时，此时f (x )的图象如图所示，由于不等式f (x ＋a )＜f (x )中两个函数值对应的自变量相差为－a ，因此用弦长为－a 的线段“削峰填谷”，可得⎣⎡⎦⎤－14，14⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋－a 2，－12a ＋－a 2，即12a －a 2＜－14，即2a 2－a －2＜0，解得1－174＜a ＜0. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫1－174，05．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x >0，－（x ＋1）2，x <0.故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.6．(2018·常州模拟)已知函数f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，且定义域为(0，2)． (1)求关于x 的方程f (x )＝kx ＋3在(0，2)上的解；(2)若f (x )是定义在(0，2)上的单调函数，求实数k 的取值范围；(3)若关于x 的方程f (x )＝0在(0，2)上有两个不同的解x 1，x 2，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，所以f (x )＝kx ＋3即|x 2－1|＋x 2＝3， 当0<x ≤1时，|x 2－1|＋x 2＝1－x 2＋x 2＝1，此时该方程无解．当1<x <2时，|x 2－1|＋x 2＝2x 2－1，原方程等价于：x 2＝2，此时该方程的解为 2. 综上可知：方程f (x )＝kx ＋3在(0，2)上的解为 2. (2)因为f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ∈（0，1]，2x 2＋kx －1，x ∈（1，2），若f (x )是单调递增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，－k 4≤1， 所以此时k >0.若f (x )是单调递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，－k 4≥2，所以此时k ≤－8，综上可知：f (x )是单调函数时k 的取值范围为(－∞，－8]∪(0，＋∞)． (3)当0<x ≤1时，kx ＝－1，① 当1<x <2时，2x 2＋kx －1＝0，②若k ＝0，则①无解，②的解为x ＝±22∉(1，2)，故k ＝0不合题意 ，若k ≠0，则①的解为x ＝－1k.(Ⅰ)当－1k ∈(0，1]，即k ≤－1时，方程②中Δ＝k 2＋8>0，故方程②中一根在(1，2)内另一根不在(1，2)内， 设g (x )＝2x 2＋kx －1，而x 1x 2＝－12<0，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）<0，g （2）>0，⎩⎪⎨⎪⎧k <－1，k >－72，又k ≤－1，故－72<k <－1.(Ⅱ)当－1k ∉(0，1]，即－1<k <0或k >0时，方程②在(0，2)有两个不同解，而x 1x 2＝－12<0，则方程②必有负根，不合题意．综上，－72<k <－1.。

1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．[解析] 由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )<0，即3(x －11)(x ＋1)<0， 解得－1<x <11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1，11)． [答案] (－1，11)2．(2018·苏中八校学情调查)函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________． [解析] 函数的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1，所以单调递减区间是(0，1)．[答案] (0，1)3．(2018·长春调研)已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的________条件．[解析] f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．[答案] 充分不必要4．(2018·郑州第一次质量预测)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜1的解集是________．[解析] 依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3，5)．[答案] (－3，5)5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________．[解析] 设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.[答案] －2或26．若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1，4]上单调递减，则实数a 的值为________．[解析] 因为f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，所以f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，又函数f (x )恰在[－1，4]上单调递减， 所以－1，4是f ′(x )＝0的两根， 所以a ＝(－1)×4＝－4. [答案] －47．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．[解析] 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－（x －1）（x －3）x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1，3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调， 由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. [答案] (0，1)∪(2，3)8.如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断： ①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．其中正确的判断是________．(填序号)[解析] ①因为f ′(x )在[－2，－1]上是小于等于0的， 所以f (x )在[－2，－1]上是减函数；②因为f ′(－1)＝0且在x ＝－1两侧的导数值为左负右正， 所以x ＝－1是f (x )的极小值点； ③对，④不对，由于f ′(3)≠0. [答案] ②③9．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．[解析] 因为f (x )＝12x 2－9ln x ，所以f ′(x )＝x －9x(x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0，3]上f (x )是减函数，所以a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2. [答案] 1<a ≤210．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x(x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2(x >0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0，5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0，5)． 11．(2018·沈阳质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；(2)若φ(x )＝m （x －1）x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．[解] (1)由已知得f ′(x )＝1x ，所以f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又因为g (1)＝0＝12a ＋b ，所以b ＝－1，所以g (x )＝x －1.(2)因为φ(x )＝m （x －1）x ＋1－f (x )＝m （x －1）x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．所以φ′(x )＝－x 2＋（2m －2）x －1x （x ＋1）2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，因为x ＋1x ∈[2，＋∞)，所以2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2]．1．已知函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0且a ≠1)，如果函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内单调递增，那么a 的取值范围是________．[解析] 由题意可知x 3－ax >0，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0恒成立，所以a >(x 2)max ，即a ≥14.当14≤a <1时，函数y ＝x 3－ax ，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0递减，y ′＝3x 2－a ≤0，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0恒成立，所以a ≥(3x 2)max ，故34≤a <1；当a >1时，函数y ＝x 3－ax ，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0递增，y ′＝3x 2－a ≥0，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0恒成立，所以a ≤(3x 2)min ，a ≤0，舍去，综上a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，1.[答案] ⎣⎡⎭⎫34，12．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )＜12，则f (x )＜x 2＋12的解集为________．[解析] 设F (x )＝f (x )－⎝⎛⎭⎫x 2＋12，则F (1)＝f (1)－⎝⎛⎭⎫12＋12＝1－1＝0， F ′(x )＝f ′(x )－12，对任意x ∈R ，有F ′(x )＝f ′(x )－12＜0，即函数F (x )在R 上单调递减，则F (x )＜0的解集为(1，＋∞)，即f (x )＜x 2＋12的解集为(1，＋∞)．[答案] (1，＋∞)3．(2018·江苏省盐城中学开学考试)已知R 上的可导函数f (x )的导函数f ′(x )满足：f ′(x )＋f (x )>0，且f (1)＝1，则不等式f (x )>1ex －1的解集是________．[解析] 令g (x )＝e x f (x )，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )>0，所以函数g (x )是R 上的增函数，又不等式f (x )>1e x －1等价于e x f (x )>e ＝e 1f (1)，即g (x )>g (1)，从而有x >1，所以不等式f (x )>1e x －1的解集为(1，＋∞)．[答案] (1，＋∞)4．(2018·辽宁省五校协作体联考改编)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为 y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f （x ）x >0，若a ＝12f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝－2f (－2)，c ＝⎝⎛⎭⎫ln 12·f ⎝⎛⎭⎫ln 12，则a ，b ，c 的大小关系为________．[解析] 当x ≠0时，f ′(x )＋f （x ）x >0，即xf ′（x ）＋f （x ）x >0.当x >0时，xf ′(x )＋f (x )>0. 设g (x )＝xf (x )，则g (x )为偶函数且g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )．显然当x >0时，g ′(x )>0，即此时函数g (x )单调递增．a ＝g ⎝⎛⎭⎫12，b ＝g (－2)＝g (2)，c ＝g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝g (ln 2)，又因为2>ln 2>12>0，所以a <c <b . [答案] a <c <b5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R )．设a ≥0，求f (x )的单调区间． [解] 由f (x )＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)， 得f ′(x )＝2ax 2＋bx －1x .(1)当a ＝0时，f ′(x )＝bx －1x. ①若b ≤0，当x >0时，f ′(x )<0恒成立， 所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)．②若b >0，当0<x <1b 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >1b 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞. (2)当a >0时，令f ′(x )＝0，得2ax 2＋bx －1＝0. 由Δ＝b 2＋8a >0，得x 1＝－b －b 2＋8a4a，x 2＝－b ＋b 2＋8a4a.显然x 1<0，x 2>0.当0<x <x 2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x >x 2时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.综上所述，当a ＝0，b ≤0时，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)； 当a ＝0，b >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ， 单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞；当a >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋ b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.6．已知函数f (x )＝x 2＋b sin x －2(b ∈R )，F (x )＝f (x )＋2，且对于任意实数x ，恒有F (x )－F (－x )＝0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知函数g (x )＝f (x )＋2(x ＋1)＋a ln x 在区间(0，1)上单调递减，求实数a 的取值范围． [解] (1)F (x )＝f (x )＋2＝x 2＋b sin x －2＋2＝x 2＋b sin x ， 依题意，对任意实数x ，恒有F (x )－F (－x )＝0， 即x 2＋b sin x －(－x )2－b sin(－x )＝0对∀x ∈R 恒成立， 即2b sin x ＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝x 2－2. (2)因为g (x )＝x 2－2＋2(x ＋1)＋a ln x ， 所以g (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ， g ′(x )＝2x ＋2＋ax.因为函数g (x )在(0，1)上单调递减，所以在区间(0，1)内，g ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋ax≤0恒成立，所以a ≤－(2x 2＋2x )在(0，1)上恒成立．因为y＝－(2x2＋2x)在(0，1)上单调递减，所以a≤－4为所求．。