南京林业大学高等数学2004真题

2004年考硕数学（二）真题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂______. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y==的特解为_______. （6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰, 20tan x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα []（8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]（9）22lim (1)n n→∞+（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln(1)x dx +⎰ []（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >. []（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++ []（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A ）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B ）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D ）2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰[]（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.[]（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.[]三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导. （17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim()t S t F t →+∞.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e->-. （20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时. （21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z z x y x y∂∂∂∂∂∂∂. （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.2004年考硕数学（二）真题评注一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = 0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x ,先用求极限的方法得出()f x 的表达式, 再讨论()f x 的间断点.【详解】显然当0x =时,()0f x =;当0x ≠时, 2221(1)(1)1()lim lim 11n n xn x x n f x nx x x x n→∞→∞--====++, 所以 ()f x 0,01,0x x x=⎧⎪=⎨≠⎪⎩,因为 001lim ()lim(0)x x f x f x→→==∞≠ 故 0x =为()f x 的间断点.（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为1-∞∞（，）（或（-，1]）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩定义的 223()()()()(())d y y t x t x t y t dx x t ''''''-=' 求出二阶导数,再由 220d y dx < 确定x 的取值范围. 【详解】 22222331213311dydy t t dt dx dx t t t dt--====-+++, 222223214113(1)3(1)d y d dy dt tdt dx dx dxt t t '⎛⎫⎛⎫==-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 令220d ydx < ⇒ 0t <.又 331x t t =++ 单调增, 在 0t <时, (,1)x ∈-∞.(0t =时，1x =⇒x ∈(,1]-∞时，曲线凸.)【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数, 如1989、1991、1994、2003数二考题，也考过函数的凹凸性.（3）1+∞=⎰2π.【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值. 【详解1】22100sec tan sec tan 2t t dt dt t t πππ+∞⋅==⋅⎰⎰⎰.【详解2】1120111)arcsin 2dt t t π+∞-===⎰⎰⎰.【评注】本题为混合广义积分的基本计算题,主要考查广义积分(或定积分)的换元积分法. （4）设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定, 则3z z x y∂∂+=∂∂2.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 【详解1】在 232x z z e y -=+ 的两边分别对x ,y 求偏导,z 为,x y 的函数.23(23)x z z z e x x-∂∂=-∂∂,23(3)2x z z ze y y-∂∂=-+∂∂, 从而 2323213x zx zz e x e --∂=∂+,23213x z z y e-∂=∂+ 所以 2323132213x zx zz z e x y e--∂∂++=⋅=∂∂+ 【详解2】令 23(,,)20x zF x y z e y z -=+-=则232x z F e x -∂=⋅∂, 2Fy∂=∂, 23(3)1x z F e z -∂=--∂2323232322(13)13x z x zx z x z Fz e e x F x e ez----∂∂⋅∂∴=-=-=∂∂-++∂, 232322(13)13x z x z F z y F y e ez--∂∂∂=-=-=∂∂-++∂, 从而 232323313221313x z x zx z z z e x y ee ---⎛⎫∂∂+=+= ⎪∂∂++⎝⎭【详解3】利用全微分公式,得23(23)2x z dz e dx dz dy -=-+2323223x z x z e dx dy e dz --=+- 2323(13)22x z x z e dz e dx dy --+=+232323221313x z x z x ze dz dx dy e e ---∴=+++ 即 2323213x z x z z e x e --∂=∂+, 23213x z z y e-∂=∂+ 从而 32z zx y∂∂+=∂∂ 【评注】此题属于典型的隐函数求偏导. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y==的特解为315y x =+.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解1】原方程变形为 21122dy y x dx x -=, 先求齐次方程102dy y dx x-= 的通解:12dy dx y x= 积分得 1ln ln ln 2y x c =+y ⇒=设(y c x =,代入方程得211(((22c x c x c x x x '-= 从而 321()2c x x '=,积分得 352211()25c x x dx C x C =+=+⎰,于是非齐次方程的通解为53211()55y x C x =+=1615x yC ==⇒=,故所求通解为 315y x =.【详解2】原方程变形为21122dy y x dx x -=, 由一阶线性方程通解公式得1122212dx dx x x y e x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰11ln ln 22212x x ex edx C -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰35221125x dx C x C ⎤⎤=+=+⎥⎢⎥⎦⎦⎰6(1)15y C =⇒=,从而所求的解为 315y x =.【评注】此题为求解一阶线性方程的常规题.（6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =19.【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值. 【详解1】 2ABA BA E **=+ 2A B A B A E**⇔-=, (2)A E BA E *⇔-=,21A E B A E *∴-==,221111010(1)(1)392100001B A E AA*====-⋅---. 【详解2】由1A A A *-=,得 11122ABA BA E AB A A B A A AA **---=+⇒=+2A AB A B A ⇒=+ (2)A A E B A ⇒-= 32AA EB A ⇒-=21192B A A E∴==- 【评注】此题是由矩阵方程及矩阵的运算法则求行列式值的一般题型,考点是伴随矩阵的性质和矩阵乘积的行列式.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰, 2tan x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα[]B【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】302000lim limcos x x x t dtt dtγα++→→=⎰3lim x +→=320lim lim 02x x x++→→===, 即 o ()γα=.又2000lim lim x x x βγ++→→=23002tan 22lim lim 01sin 2x x x x x x x ++→→⋅===, 即 o ()βγ=.从而按要求排列的顺序为αγβ、、, 故选（B ）. 【评注】此题为比较由变限积分定义的无穷小阶的常规题. （8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]C【分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论0x =两方()f x ', ()f x ''的符号.【详解】 ()f x =(1),10(1),01x x x x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩,()f x '=12,1012,01x x x x -+-<<⎧⎨-<<⎩,()f x ''=2,102,01x x -<<⎧⎨-<<⎩,从而10x -<<时, ()f x 凹, 10x >>时, ()f x 凸, 于是(0,0)为拐点.又(0)0f =, 01x ≠、时, ()0f x >, 从而0x =为极小值点.所以, 0x =是极值点, (0,0)是曲线()y f x =的拐点, 故选（C ）.【评注】此题是判定分段函数的极值点与拐点的常规题目 （9）22lim (1)n n→∞+（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰ []B【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式.作变换后,从四个选项中选出正确的. 【详解】 22lim (1)n n→∞+212lim ln (1)(1)(1)nn n nnn →∞⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦212limln(1)ln(1)(1)n n n n n n →∞⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦11lim 2ln(1)nn i i n n →∞==+∑ 102ln(1)x dx =+⎰2112ln x t tdt +=⎰212ln xdx =⎰故选（B ）.【评注】此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型，值得注意的是化为定积分后还必须作一变换,才能化为四选项之一.（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.[]C【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数()f x 在0x =附近的局部性质. 【详解】由导数的定义知 0()(0)(0)lim00x f x f f x →-'=>-,由极限的性质, 0δ∃>, 使x δ<时, 有()(0)0f x f x->即0x δ>>时, ()(0)f x f >，0x δ-<<时, ()(0)f x f <, 故选（C ）.【评注】此题是利用导数的定义和极限的性质讨论抽象函数在某一点附近的性质. （11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++ []A【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式. 【详解】对应齐次方程 0y y ''+= 的特征方程为 210λ+=, 特征根为 i λ=±,对 2021(1)y y x e x ''+=+=+ 而言, 因0不是特征根, 从而其特解形式可设为21y ax bx c *=++对 sin ()ix m y y x I e ''+==, 因i 为特征根, 从而其特解形式可设为 2(sin cos )y x A x B x *=+ 从而 21sin y y x x ''+=++ 的特解形式可设为xy2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++【评注】这是一道求二阶常系数线性非齐次方程特解的典型题，此题的考点是二阶常系数线性方程解的结构及非齐次方程特解的形式.（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A）11()dx f xy dy -⎰⎰. （B ）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D ）2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰[]D【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.【详解】积分区域见图. 在直角坐标系下,20()()Df xy dxdy dy f xy dx =⎰⎰⎰⎰1111()dx f xy dy -=⎰⎰故应排除（A ）、（B ）. 在极坐标系下, cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ ,2sin 20()(sin cos )Df xy dxdy d f r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰,故应选（D ）.【评注】此题是将二重积分化为累次积分的常规题,关键在于确定累次积分的积分限.（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.[]D【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.【详解】由题意 010100001B A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 100011001C B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,010100100011001001C A ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪∴= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭011100001A AQ ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,从而 011100001Q ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,故选（D ）.【评注】此题的考点是初等变换与初等矩阵的关系,抽象矩阵的行列初等变换可通过左、右乘相应的初等矩阵来实现.（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.[]A【分析】将A 写成行矩阵, 可讨论A 列向量组的线性相关性.将B 写成列矩阵, 可讨论B 行向量组的线性相关性.【详解】设 (),i j l m A a ⨯=()i j m n B b ⨯=, 记 ()12m A A A A =0AB = ⇒()11121212221212n n m m m mn b b b b b b A A A bb b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭()1111110m m n mn m b A b A b A b A =++++= （1）由于0B ≠, 所以至少有一 0i j b ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤), 从而由（1）知, 112210j j ij i m m b A b A b A b A +++++=,于是 12,,,m A A A 线性相关.又记 12m B B B B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则0AB = ⇒11121121222212m m l l l m m a a a B a a a B a a a B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111221211222211220m m m m l l l m m a B a B a B a B a B a B a B a B a B +++⎛⎫ ⎪+++ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭ 由于0A ≠,则至少存在一 0i j a ≠(1,1i l j m ≤≤≤≤),使 11220i i i j j im m a B a B a B a B ++++=,从而 12,,,m B B B 线性相关,故应选（A ）.【评注】此题的考点是分块矩阵和向量组的线性相关性，此题也可以利用齐次线性方程组的理论求解. 三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【分析】此极限属于型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解. 【详解1】 原式2cos ln 331limx x x ex +⎛⎫ ⎪⎝⎭→-=202cos ln 3lim x x x→+⎛⎫ ⎪⎝⎭=20ln 2cos ln 3lim x x x →+-=（）01sin 2cos lim 2x x x x →⋅-+=（）011sin 1lim22cos 6x x x x →=-⋅=-+ 【详解2】 原式2cos ln 331limx x x ex+⎛⎫⎪⎝⎭→-=202cos ln 3limx x x →+⎛⎫ ⎪⎝⎭=20cos 1ln 3lim x x x→-+=（1） 20cos 11lim 36x x x →-==-【评注】此题为求未定式极限的常见题型.在求极限时,要注意将罗必塔法则和无穷小代换结合,以简化运算.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论. 【详解】(Ⅰ)当20x -≤<,即022x ≤+<时,()(2)f x k f x =+2(2)[(2)4](2)(4)k x x kx x x =++-=++. (Ⅱ)由题设知 (0)0f =.200()(0)(4)(0)lim lim 40x x f x f x x f x x +++→→--'===--0()(0)(2)(4)(0)lim lim 80x x f x f kx x x f k x x---→→-++'===-. 令(0)(0)f f -+''=, 得12k =-. 即当12k =-时, ()f x 在0x =处可导. 【评注】此题的考点是用定义讨论分段函数的可导性. （17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数; (Ⅱ)求()f x 的值域.【分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域. 【详解】 (Ⅰ) 32()sin x x f x t dt πππ+++=⎰,设t u π=+, 则有22()sin()sin ()x x xxf x u du u du f x ππππ+++=+==⎰⎰,故()f x 是以π为周期的周期函数.(Ⅱ)因为sin x 在(,)-∞+∞上连续且周期为π, 故只需在[0,]π上讨论其值域. 因为 ()sin()sin cos sin 2f x x x x x π'=+-=-,令()0f x '=, 得14x π=, 234x π=, 且344()s i n 24f t d t πππ==⎰554433443()sin sin sin 24f t dt t dt t dt πππππππ==-=-⎰⎰⎰又 20(0)sin 1f t dt π==⎰, 32()(sin )1f t dt πππ=-=⎰,∴()f x的最小值是2故()f x的值域是[2.【评注】此题的讨论分两部分:(1)证明定积分等式,常用的方法是变量代换.(2)求变上限积分的最值, 其方法与一般函数的最值相同.（18）（本题满分12分）曲线2x x e e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim()t S t F t →+∞.【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是t 的函数,然后计算它们之间的关系. 【详解】 (Ⅰ)0()2tS t π=⎰022x x te e π-⎛+= ⎝⎰ 2022x x te e dx π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰, 2200()2x x tte e V t y dx dx ππ-⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎰⎰, ()2()S t V t ∴=. (Ⅱ)22()2t t x te e F t yππ-=⎛⎫+== ⎪⎝⎭,20222()lim lim()2x x tt t t t e e dx S t F t e e ππ-→+∞→+∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰222lim 222t t t t t t t e e e e e e---→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ lim 1t tttt e e e e --→+∞+==- 【评注】在 t 固定时,此题属于利用定积分表示旋转体的体积和侧面积的题型,考点是定积分几何应用的公式和罗必塔求与变限积分有关的极限问题.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e ->-. 【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等.【详证1】设224()ln x x x e ϕ=-, 则 2ln 4()2x x x e ϕ'=-21l n ()2xx xϕ-''=,所以当x e >时, ()0x ϕ''<, 故()x ϕ'单调减小, 从而当2e x e <<时, 22244()()0x e e e ϕϕ''>=-=, 即当2e x e <<时, ()x ϕ单调增加.因此, 当2e a b e <<<时, ()()b a ϕϕ>, 即 222244ln ln b b a a e e ->- 故 2224ln ln ()b a b a e ->-.【详证2】设2224()ln ln ()x x a x a eϕ=---, 则2ln 4()2x x x e ϕ'=-21l n ()2xx xϕ-''=,∴x e >时, ()0x ϕ''<()x ϕ'⇒, 从而当2e x e <<时,22244()()0x e e e ϕϕ''>=-=, 2e x e ⇒<<时, ()x ϕ单调增加.2e a b e ⇒<<<时, ()()0x a ϕϕ>=.令x b =有()0b ϕ>即 2224ln ln ()b a b a e ->-.【详证3】证 对函数2ln x 在[,]a b 上应用拉格朗日定理, 得 222ln ln ln ()b a b a ξξ->-, a b ξ<<.设ln ()t t t ϕ=, 则21ln ()t t tϕ-'=, 当t e >时, ()0t ϕ'<, 所以()t ϕ单调减小, 从而2()()e ϕξϕ>, 即222ln ln 2e e eξξ>=,故 2224ln ln ()b a b a e->- 【评注】此题是文字不等式的证明题型.由于不能直接利用中值定理证明,所以常用的方法是将文字不等式化为函数不等式,然后借助函数不等式的证明方法加以证明.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.【分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的计算,可利用牛顿第二定律,建立微分方程,再求解.【详解1】由题设,飞机的质量9000m kg =,着陆时的水平速度0700/v km h =.从飞机接触跑道开始记时,设t 时刻飞机的滑行距离为()x t ,速度为()v t .根据牛顿第二定律,得dvm kv dt=-. 又dv dv dx dv v dt dx dt dx=⋅=, mdx dv k ∴=-,积分得 ()mx t v C k=-+,由于0(0)v v =,(0)0x =, 故得0mC v k=, 从而0()(())mx t v v t k=-.当()0v t →时, 069000700() 1.05()6.010mv x t km k ⨯→==⨯. 所以,飞机滑行的最长距离为1.05km .【详解2】根据牛顿第二定律,得dvm kv dt =-. 所以 dv kdt v m=-, 两边积分得 kt mv Ce -=,代入初始条件 00t vv ==, 得0C v =,0()k t mv t v e -∴=,故飞机滑行的最长距离为 0() 1.05()k t mmv mv x v t dt e km kk+∞-+∞==-==⎰.【详解3】根据牛顿第二定律,得22d x dxm k dt dt=-,220d x k dx dt m dt+=,其特征方程为 20kr r m+=, 解得10r =, 2k r m=-， 故 12k t mx C C e-=+，由(0)0x =, 200(0)k t mt t kC dxv ev dtm-====-=，得012mv C C k=-=， 0()(1)k t mmv x t e k-∴=-.当t →+∞时,069000700() 1.05()6.010mv x t km k ⨯→==⨯. 所以,飞机滑行的最长距离为1.05km .【评注】此题的考点是由物理问题建立微分方程,并进一步求解. （21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂. 【分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算. 【详解】122xy zx f ye f x∂''=+∂,122xy zy f xe f y∂''=-+∂, 21112222[(2)]x yx yx y z x f y f x e e f x y e f x y∂''''''=⋅-+⋅++∂∂2122[(2)]x y x yy e f y f x e''''+⋅-+⋅ 222111222242()(1)xy xy xy xyf x y e f xye f e xy f '''''''=-+-++++. 【评注】此题属求抽象复合函数高阶偏导数的常规题型. （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.【分析】此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为0确定参数的取值,进而求方程组的非零解.【详解1】对方程组的系数矩阵A 作初等行变换, 有11111111222220033333004444400a a a a a B a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪→= ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭当0a =时, ()14r A =<, 故方程组有非零解, 其同解方程组为 12340x x x x +++=. 由此得基础解系为1(1,1,0,0)T η=-, 2(1,0,1,0)T η=-, 3(1,0,0,1)T η=-, 于是所求方程组的通解为112233x k k k ηηη=++, 其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时,111110000210021003010301040014001aa B ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭当10a =-时, ()34r A =<, 故方程组也有非零解, 其同解方程组为12131420,30,40,x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩由此得基础解系为(1,2,3,4)Tη=, 所以所求方程组的通解为x k η=, 其中k 为任意常数.【详解2】方程组的系数行列式311112222(10)33334444aa A a a a a +⎛⎫ ⎪+ ⎪==+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 当0A =, 即0a =或10a =-时, 方程组有非零解. 当0a =时, 对系数矩阵A 作初等行变换, 有11111111222200003333000044440000A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故方程组的同解方程组为12340x x x x +++=. 其基础解系为1(1,1,0,0)T η=-, 2(1,0,1,0)T η=-, 3(1,0,0,1)T η=-, 于是所求方程组的通解为112233x k k k ηηη=++, 其中123,,k k k 为任意常数. 当10a =-时, 对A 作初等行变换, 有91119111282220100033733001004446400010A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 91110000210021003010301040014001-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故方程组的同解方程组为2131412,3,4,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩其基础解系为(1,2,3,4)Tη=,所以所求方程组的通解为x k η=, 其中k 为任意常数【评注】解此题的方法是先根据齐次方程有非零解的条件确定方程组中的参数,再对求得的参数对应的方程组求解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.【分析】由矩阵特征根的定义确定a 的值，由线性无关特征向量的个数与E A λ-秩之间的关系确定A 是否可对角化.【详解】A 的特征多项式为1232201431431515aaλλλλλλλ-----=-------111(2)143(2)13315115aa λλλλλλ-=--=--------- 2(2)(8183)a λλλ=--++.若2λ=是特征方程的二重根, 则有22161830a -++=, 解得2a =-.当2a =-时, A 的特征值为2, 2, 6, 矩阵1232123123E A -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭的秩为1,故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个, 从而A 可相似对角化.若2λ=不是特征方程的二重根, 则28183a λλ-++为完全平方,从而18316a +=, 解得23a =-. 当23a =-时, A 的特征值为2, 4, 4, 矩阵32321032113E A ⎛⎫ ⎪- ⎪-= ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭的秩为2, 故4λ=对应的线性无关的特征向量只有一个, 从而A 不可相似对角化.【评注】此题的考点是由特征根及重数的定义确定a 的值, 对a 的取值讨论对应矩阵的特征根及对应E A λ-的秩, 进而由E A λ-的秩与线性无关特征向量的个数关系确定A 是否可相似对角化.。

时间(小时) 2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）一、选择题(5分×12=60分)1.设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于( )(A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2}2.函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为( ) (A)2π (B)π (C)π2 (D)π4 3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种4.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是( ) (A)33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 33π3416cm 5.若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为 ( ) (A)2 (B)22 (C) 4 (D)246.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( )(A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时7.4)2(x x +的展开式中x 3的系数是 ( )(A)6 (B)12 (C)24 (D)488.若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( )(A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2 ,b= 29.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 ( )(A)5216 (B)25216 (C)31216 (D)9121610.函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( )(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-1911.设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 ( )(A)3 (B)32 (C)43 (D)6512.设函数)(1)(R x xx x f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 ( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个二、填空题(4分×4=16分)13.二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_______________________.14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_______________________.16.平面向量,中，已知=(4，-3)=1，且⋅=5，则向量=__________.三、解答题(12分×5+14分=74分)17.已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值. 18.在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100· B 1 P A CD A 1 C 1 D 1BO H ·﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？20.设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k kS S =的正整数k ； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S=成立.21.已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线l 的斜率.22.已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -=(Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ；(Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-；(Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）参考答案一、选择题ABDCA BCADC BA二、填空题13、{2x x <-或3}x >14、22(1)(1)25x y -+-=15、2 16、43(,)55b =-r 三、解答题17、解：由题意可知4sin 5α=，sin()3πα∴-=18、解（1）APB ∠=（2）略（319、解：10318x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，设0.5z x y =+ 当46x y =⎧⎨=⎩时，z 取最大值7万元20、解：（1）4k =（2）100a d =⎧⎨=⎩或112a d =⎧⎨=⎩或110a d =⎧⎨=⎩21、解：（1）2222143x y m m +=（2）k =±或022、解：（1）不妨设12x x >，由[]2121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅-可知12()()0f x f x ->，()f x ∴是R 上的增函数∴不存在00b a ≠，使得0()0f b = 又[]2212121212()()()()()x x x x f x f x x x λ-≤-⋅-≤-Q 1λ∴≤（2）要证：222000()(1)()b a a a λ-≤--即证：2200()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦(*) 不妨设0a a >，由[]2121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅- 得00()()()f a f a a a λ-≥-，即0()()f a a a λ≥-，则2002()()2()f a a a a a λ-≥- （1）由1212()()f x f x x x -≤-得00()()f a f a a a -≤- 即0()f a a a ≤-，则22200()()2()a a f a a a λλ⎡⎤-+≤-⎣⎦ （2）由（1）（2）可得2200()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦222000()(1)()b a a a λ∴-≤--（3）220[()]()f a a a ≤-Q ,22220(1)[()](1)()f a a a λλ∴-≤--220[()]()f b b a ≤-Q又由（2）中结论222000()(1)()b a a a λ-≤--222[()](1)[()]f b f a λ∴≤-。

时间(小时) 2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）一、选择题(5分×12=60分)1.设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于( )(A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2}2.函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为( ) (A)2π (B)π (C)π2 (D)π4 3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种4.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是( ) (A)33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 33π3416cm 5.若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为 ( ) (A)2 (B)22 (C) 4 (D)246.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( )(A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时7.4)2(x x +的展开式中x 3的系数是 ( )(A)6 (B)12 (C)24 (D)488.若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( )(A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2 ,b= 29.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 ( )(A)5216 (B)25216 (C)31216 (D)9121610.函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( )(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-1911.设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 ( )(A)3 (B)32 (C)43 (D)6512.设函数)(1)(R x xx x f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 ( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个二、填空题(4分×4=16分)13.二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax +bx+c>0的解集是_______________________.14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_______________________.16.平面向量,中，已知a =(4，-3)=1，且b a ⋅=5，则向量b =__________.三、解答题(12分×5+14分=74分)17.已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值. 18.在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.· B 1 P D A 1 C 1 D 1O H ·19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？20.设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k kS S =的正整数k ； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S=成立.21.已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线l 的斜率.22.已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -=(Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ；(Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-；(Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）参考答案 一、选择题ABDCA BCADC BA二、填空题13、{2x x <-或3}x >14、22(1)(1)25x y -+-=15、216、43(,)55b =-三、解答题17、解：由题意可知4sin 5α=，sin()3πα∴-=18、解（1）arctan APB ∠=（2）略（319、解：10318x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，设0.5z x y =+当46x y =⎧⎨=⎩时，z 取最大值7万元20、解：（1）4k =（2）100a d =⎧⎨=⎩或112a d =⎧⎨=⎩或110ad =⎧⎨=⎩21、解：（1）2222143x y m m +=（2）k =±或022、解：（1）不妨设12x x >，由[]2121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅-可知12()()0f x f x ->，()f x ∴是R 上的增函数∴不存在00b a ≠，使得0()0f b =又[]2212121212()()()()()x x x x f x f x x x λ-≤-⋅-≤-1λ∴≤（2）要证：222000()(1)()b a a a λ-≤--即证：2200()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦(*) 不妨设0a a >，由[]2121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅-得00()()()f a f a a a λ-≥-，即0()()f a a a λ≥-，则2002()()2()f a a a a a λ-≥- （1） 由1212()()f x f x x x -≤-得00()()f a f a a a -≤- 即0()f a a a ≤-，则22200()()2()a a f a a a λλ⎡⎤-+≤-⎣⎦ （2） 由（1）（2）可得2200()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦222000()(1)()b a a a λ∴-≤--（3）220[()]()f a a a ≤-,22220(1)[()](1)()f a a a λλ∴-≤--220[()]()f b b a ≤-又由（2）中结论222000()(1)()b a a a λ-≤--222[()](1)[()]f b f a λ∴≤-。

南京林业大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试数据结构试题注意事项：1. 答案一律写在答题纸上；2. 答案卷应字迹清楚、语义确切；3. 算法应对主要数据类型、变量给出说明，所写算法应结构清晰、简明易懂，可加上必要的注释；4. 算法可用（类）PASCAL语言、C语言等你所熟悉的高级语言编写，但要注明语种。

一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）1.算法指的是（）。

A．计算机程序B．解决问题的计算方法C．排序算法D．解决问题的有限运算序列2.线性表采用链式存储时，结点的存储地址（）。

A．必须是不连续的B．部分地址必须是连续的C．连续与否均可D．和头结点的存储地址相连续3.若已知一个栈的入栈序列是1,2,3,…,n,其输出序列为s1,s2,s3,…sn,若s1=n, 则si为（）。

A．i B．n=i C．n-i+1 D．以上都不对4.算法的时间复杂度取决于（）。

A．问题的规模B．待处理数据的初态C．A与B都对D．算法的易读性5.将两个各有n1和n2个元素的有序表(递增)归并成一个有序表，仍保持其递增顺序，则最少的比较次数是（）。

A．n1 B．n2 C．n1+n2-1 D．min (n1,n2)6.一个非空广义表的表头（）。

A．不可能是子表B．只能是子表C．只能是原子D．可以是子表或原子7.深度为6的二叉树至多有（）个结点。

A．32 B．40 C．63 D．648.下面哪一个方法可以判断出一个有向图中是否有环（回路）（）。

A．广度优先遍历B．拓朴排序C．求最短路径D．求关键路径9.按照二叉树的定义，具有3个结点的二叉树有( )种。

A．3 B．4 C．5 D．610.在含n个顶点和e条边的无向图的邻接矩阵中,零元素的个数为( )。

A．e B．2e C．n2－e D．n2－2e11.某二叉树的先序序列和后序序列正好相反，则该二叉树一定是( )的二叉树。

A．空或只有一个结点B．任一结点只有左孩子C．高度等于其结点数D．任一结点只有右孩子12.一个具有n个顶点的无向图最多有( )条边。

高等数学统考试卷（20－2004学年第二学期）参考解答一、1．{}14,7,49±-（漏“一”号扣一分） 2．dy y x xdx y x y 2222+++-3．120()yydy f x y dx -⋅⎰⎰4．275．y ＝0y e kx-二、6．D 7．D 8．C 9．B 10．C三、11．解法1．记 22(,,)(,)F x y z G x yz y xz =++v u x zG x G F +⋅=2 v u y yG zG F 2+= v u z G yG F λ+=x z ∂∂v u u u xG yG zG xG ++-=2， v u v uxG yG xG zG y z ++-=∂∂2 22(2)(2)z zy xz x yz x y ∂∂-+-∂∂[])2)(2()2)(2()(122v u v u v u yG zG yz x zG xG xz y xG yG +-++-+-=[]xy z xG yG z xy xG yG v u v u -=+-+-=22))(4()(1解：将原方程两边同时对x 、y 求导(z=z(x,y))得0)()2(=∂∂++∂∂+x zx z G x z y x G v u （1）()(2)0u v z z G z y G y x y y ∂∂+++=∂∂ （2） 联立（1）、（2）消去G u 、G v 得 22z z z z x y y x z y z x x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0)2()2(22=∂∂-+∂∂-y zyz x x z xy y 12．设三条移长分别为x,y,z ，则长方体表面积为求U=2xy+2zx+2yz ，其中x+y+z=3a方法一：由z z y y x x f f f ϕϕϕ==得111yx x z z y +=+=+ 得x=y=z=a 为所求唯一解故当x=y=z=a 时 u=6a 2为所求条件最大值方法二：作)3(222),,,(z y x a yz zx xy z y x F ---+++=λλ 0)(2=-+=λz y F x 解科x=y=z=a （唯一解）0)(2=-+=λx z F y 2()0z F y x λ=+-= （一般不要求判定）判定法（亦是初等解法）222116(183)(2()666)33a u a u x y z xy yz zx -=-=++--- 2221()()()03x y y z z x ⎡⎤=-+-+-≥⎣⎦ 26a u ≤ 且等号仅当x=y=z=a 时或立，故x=y=z=a 时u 取得条件最大值26u a =13．记}2,2,1{1-=n},,{2}2,2,2{z y x z y x n ==令}2,1,2//{},,{-z y x 即⎩⎨⎧-==y z yx 22代入曲面方程9)2()2(222=-+y y y ＋ 1±=y 所求点为(2,1,-2)或 (-2,-1,2)14．原式=aa a dx ydy -⋅⎰⎰-=⋅⨯=-=a a a a dx x a 22222122ππ15．方法一：（投影法，柱面坐标法） 原式=xy DR d zdz σ⋅⎰⎰ 2223:4R D x y +≤xyDd y x R R R σ⎰⎰--+-=)2(2222⎰⎰⋅-⋅+-⋅=πθ20230222)2(R r d rr R R R d22223122(()243R R R R R r π⎡⎤⎢⎥=⋅-⋅+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦444125)811(32832R R R πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=方法二：截面法，用平行于xoy 平面的平行平面截所给立体域截面积⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-=≤≤-==R z R z R R z z Rz z S D D 2)(20)2()(22221πσπσ原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+=RR D xy z D xy R d zdz d zdz 2)(202122σσ⎰⎰-⋅+-=202222)(2)2(2RRR dz z R z dz z Rz z ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=42224316114141222412322R R R R R R R ππ 1252641583641121244⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=R R ππ15．方法：（球面坐标法）作锥面3πϕ=将Ω分为Ω1及Ω2两部分原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ+=1222zdv zdv⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅⋅⋅+⋅⋅=302023cos 202220cos sin 2cos sin 2ππππϕπρρρϕϕϕθρρρϕϕϕθRR d d d d d d32445203112sin 22sin cos 42R d ππππϕπϕϕϕ=⋅+⨯⨯⎰44)64161(8241432R R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯--⨯+⋅⨯=ππ441254811632R R ππ=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=17．2()22()2p Q x y u y y x u y y xϕϕ∂∂''=⋅+≡=⋅+∂∂ 故积分与路径无关选L 1：2225=+y x ，从点A(5,0)到B(3,4) y d y x d x=-⎰⎰⎰+--+==ABL xdx x dx x x 1]2)5([]25)5([352ϕϕ⎰---=-=35332]35[)53(25)325(dx x 48=亦可改选L 2折线A(5,0), C(3,0), B(3,4)34225()((9)6)ABACCBx x dx y y y dy ϕϕ=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=++=92525942483)(21)(21y dv v du u ϕϕ )9,(22y v x u +==18．作辅助0:1=∑z原式＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑)()()(11上下上＋＋＋⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑∑Ω+-+-+-+=外上＝)()(222222110)666(dv x z z y y x⎰⎰⎰Ω++=dv z y x )(5222⎰⎰⎰⋅⋅⋅⋅=ππρρρϕϕθ20222s i n5Rd d d 552002)2R Rπρπϕπ=⋅-18．⎰⎰⎰⎰-⋅⋅=--=20cos 0222222πθθσrdr r R d d y x R V R Dxy223/2c o s20012()|3R R r d πθθ=⋅--⎰ ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅=2033332232)s i n 1(32ππθθR d R19．1111)21(|)(||)(|1⨯=⨯++=∞→+∞→βn u im l x u x u im l n nn n当|x|<|原级数绝对收敛，当|x|>|原级数发散当x=1 β)1(1)(+=n x U n 当β＞1时原级数收敛 当1≤β时原级数发散当x=－1 (1)(1)(1)n n U n β--=+当β＞1时原级数绝对收敛 当0＜1≤β时原级数条件收敛 当0≤β原级数发散20．记0!>=n n n n b11()nn n n n b n l im l im e b n →∞→∞++==故R ＝e当e x <-=|23|||1 幂级数绝对收敛当e x >=32 幂级数发散 21．222'(1)2x x y y xe ++⨯=解：标准化(*)1122222x e x x y x x dx dy +=++ 方法一：先解0122=++y x x dx dy 求得211x ccy y +== 改设)()(1x y x u y = 代入方程（*） 2222111)(x e x xx x u +=+⋅' 22)(x xe x u ='c eu x +=22故得：222112xex c y x +++= 方法二：212)(x xx p += 22()1xp x dx dx x --=+⎰⎰221ln(1)ln 1x x =-+=+211xe p d x+=⎰- ()21p x dx e x ⎰=+ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅++⎰=⎰-dx x e x x c e y x pdx )1(12222)(11222x e c x++= 方法三：原方程为222])1[(x xe y x ='+ c e y x x +=+222)1(2212xec y x ++=22．先解065=+'-''Y Y Y 由0652=+-r r得3,221==r r故知2312x x Y C e C e =+再求 ax ae y y y =+'-''65的特解，*y当32≠≠a a ，，ax ax e a a aAe y 65*2+-== 通解为ax x x e a a ae c e c y 6523221+-++= 当a=2，x x x e e xe A y 22225222*⨯-=-⨯=⨯=通解x x x e e c e c y 232212⨯-+=当a=3 x x x e e xe A y 33335323*⨯=-⨯=⨯= 通解233123x x x y c e c e xe =++。

2004级《高等数学》（I ）期末考试试卷(A)答案及评分标准一、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）：1．=-+--→45215lim 22x x x x 81.2. =--⎰+→xdt e x t x cos 1)1(lim 001. 3. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=0,0,sin )1ln()(222x b x x x x x f 在0=x 处连续，则=b 1. 4. 曲线16213123+++=x x x y 在点)1,0(处的切线方程是16+=x y . 5. 设x cos 为)(x f 的一个原函数，则=⎰dx x xf )(C x x x +-sin cos .6. ⎰-=+2223sin )sin (cos ππtdt t t 32. 7. =⎰∞+-022dx xe x 1.8. 若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b )4,2,4(--.二、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：1. 求极限()x x x cos ln 1203sin 1lim +→.解 ()()x x x x x e x 3s i n 1ln cos ln 1lim cos ln 120203sin 1lim +→→=+ (2分)()x x x x x x x x x cos ln )3(lim cos ln 3sin lim 3sin 1ln cos ln 1lim 202020→→→==+ （4分） ,18cos sin 18lim 0-=-=→xxx x （5分） ()18cos ln 1203sin 1lim -→=+∴e x x x （6分）2. 求由参数方程⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos 所确定的函数的二阶导数22dx y d . ,cot sin cos t ab t a t b dx dy -=-= （3分） ta b t a t a b dx y d 32222sin sin csc -=-= （6分） 3. 设x x y cos =，求dy .解 ,ln cos x x e y = （2分）)cos ln sin (ln cos xx x x e y x x +-=' （5分） )cos ln sin (cos xx x x x x +-= （6分） 4. 求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数y 的导数dx dy . 解 方程两边对x 求导得0='++'y x y y e y （4分）)0(≠++-=∴y ye x e x y dx dy （6分） 三、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）： 1. 求⎰++3011dx x x . （或令t x =+1）解 ⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=30)11(dx x （3分） 35)1(3233023=++-=x （6分） 2. 求⎰-+102)2()1ln(dx x x . 解 dx x x x x x dx x dx x x ⎰⎰⎰-⋅+--+=-+=-+1001010221112)1ln(2)1ln()2()1ln( （3分） dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=102111312ln （4分） 2ln 3121ln 312ln 10=-+-=x x （6分）3. 设⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,210,)(2x x x x x f ,求⎰20)(dt t f . 解 ⎰⎰⎰-+=2110220)2()(dt t dt t dt t f （3分） 65)2(2131212=--=t （6分） 4. 证明方程0111304=+--⎰xdt t x 在区间)1,0(内有唯一实根.解 ⎰+--=x dt t x x f 041113)(设， （1分） 则)(x f 在]1,0[上连续，且-=<-=2)1(,01)0(f f 011104>+⎰dt t ，由零点定理， 至少)1,0(∈∃ξ使0)(=ξf . （3分）又0113)(4>+-='x x f ，故)(x f 至多有一个零点， （5分） 综上所述，方程0111304=+--⎰x dt t x 在区间)1,0(内有唯一实根. （6分）四、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：1．试确定a 的值，使函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π处取得极值，指出它是极大值还是极小值，并求出此极值. 解 x x a x f 3c o s c o s)(+=' （1分） 201233cos 3cos )3(=⇒=-=+='a a a f 令πππ， (3分) 又x x a x f 3sin 3sin )(--=''，0)3(<''πf ， （5分） 3)3(=∴πf 为极大值. （6分）2．求抛物线22x y =与21x y +=所围图形的面积，及该图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.解 由⎪⎩⎪⎨⎧+==2212x y x y 得交点)2,1(-，)2,1( （2分） 34)1(2)21(21022102=-=-+=⎰⎰dx x dx x x A ， （4分） 2)1(2)21(21022102πππ=-=-+=⎰⎰dx x x dx x x x V . （6分）3．求过点)1,2,1(0-M 且与直线11122-=-=-+z y x 垂直相交的直线方程. 解 过点)1,2,1(0-M 且与直线11122-=-=-+z y x 垂直的平面方程为 0)1()2()1(2=++---z y x ，即 012=++-z y x ， （2分）令t z y x =-=-=-+11122，得t z t y t x -=+=--=,1,22， 代入平面方程得32-=t ，求得平面与直线的交点为)32,31,32(-M ， （4分） )35,35,35(0--=MM ， 取)1,1,1(--=， 所求直线方程为 111211+=--=--z y x （6分） 4．已知 ,2,1,tan 40==⎰n dx x u n n π，证明：(1) 1+≥n n u u ；(2) 当2>n 时，112-=+-n u u n n ； (3) {}n u 收敛，并求其极限. 证明 （1）)4,0(tantan 1π∈≥+x x x n n ， （1分） 140140,tan tan ＋即n n n n u u dx x dx x ≥≥∴⎰⎰+ππ （2分）（2）=+-2n n u u ⎰⎰-+40240tan tan ππdx x dx x n n dx x x dx x x n n n )tan 1(tan )tan (tan 2402240+=+=⎰⎰--ππ （3分） x d x x d x x n n t a n t a n s e c t a n 4022402⎰⎰--==ππ 402tan 11πx n n --=11-=n （4分） （3）1,0+≥≥n n n u u u 且 ，即{}n u 单调减少有下界，故{}n u 收敛， （5分）设a u n n =∞→lim ，则由112-=+-n u u n n 两边取极限得 0,02=∴=a a ，即0lim =∞→n n u （6分）五、（本题满分4分）设)(x f 在区间],[b a 上连续，在区间),(b a 内0)(<''x f ，证明对一切),(b a x ∈，都有ab a f b f a x a f x f -->--)()()()(. 证明 设a b a f b f a x a f x f x F -----=)()()()()(， 2)())()(())(()(a x a f x f a x x f x F ----'='， （2分） 又设))()(())(()(a f x f a x x f x g ---'=，则0))(()(<-''='a x x f x g ，于是)(x g 单调减少，则),(b a x ∈时，0)()(=<a g x g ，从而0)(<'x F ，则)(x F 单调减少，故),(b a x ∈时，0)()(=>b g x F ，即有a b a f b f a x a f x f -->--)()()()( （4分）。

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y=lnx上与直线x y 1垂直的切线方程为(2)已知f(e x) xxe ，且f(1)=0,则f(x)=(3)设L为正向圆周x22在第一象限中的部分，则曲线积分L xdy 2ydx的值为(4)欧拉方程x2d2ydx24x d^ 2y 0(x 0)的通解为•dx(5)2 1 设矩阵A 1 2矩阵，则(6)矩阵B满足ABA*2BA E ,其中A为A的伴随矩阵，E是单位设随机变量X服从参数为的指数分布，则P{X DX} =二、选择题(本题共8小题，每小题把所选项前的字母填在题后的括号内)4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,(7)把x 0时的无穷小量X cost2dt,0 '2xtanX 30 si nt dt ,使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) (B) (C) (D)(8)设函数f(x)连续，且f (0)0,则存在0，使得(A) f(x)在(0,)内单调增加.(B) f(x)在( ,0)内单调减少•(C) 对任意的x(0,)有f(x)>f(0).(D) 对任意的x(,0)有f(x)>f(0).(9)设a n为正项级数，下列结论中正确的是n 1(A) 若lim na n=0，则级数na n收敛•n 1(B)若存在非零常数，使得lim na nn ，则级数a n发散•n 1阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k 6.0 106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?t t(10) 设f(x)为连续函数，F(t) 1 dy y f(x)dx ，则F ⑵等于 (A)2f(2).(B) f(2).(C) -(2).(D) 0.[](11) 设A 是3阶方阵，将 A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C,贝U 满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为(A) A 的列向量组线性相关, (B) A 的列向量组线性相关, (C) A 的行向量组线性相关, (D) A 的行向量组线性相关,(A) Cov( X 1,Y)2n(B) Cov(X 1,Y)2.(C)D(X 1 Y)n 2 2 (D)D(X 1Y) n 1nn(15) (本题满分 12分)设ea b e 2 ,证明ln 2 bIn 2a —2(b a)e(16) (本题满分 11分)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使 (C) 若级数2a n 收敛，则lim nn0.(D)若级数a n 发散，则存在非零常数n 1，使得 lim na nn0 1 00 1 00 1 0 0 1 1 (A)1 0 0 . (B)1 0 1 . (C) 1 0 0 .(D)1 0 0 1 0 1 0 0 10 1 10 0 1的任意两个非零矩阵，则必有(12)设A,B 为满足AB=OB 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关 B 的行向量组线性相关 B 的列向量组线性相关1)，数u 满足P{X u } ，若P{X x}，则x 等于(A) U_.2(B) U .1I(C) u 」. ~2-(D) U 1(14)设随机变量X 1,X 2, 0.令Y 丄 X i ,则n i 1(13)设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，对给定的(0,X n ( n 1)独立同分布，且其方差为飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k 6.0 106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?1F(x, )1x0, x 1,x 1,注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时. (17)(本题满分12分) 计算曲面积分I2x 3dydz 2y 3dzdx 3(z 2 1)dxdy,数 x n 收敛.n 1(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组(1 a)X 1X 2X n 0, 2x 1 (2 a)X 2 2x n 0, (n 2)n% nx 2(n a)X n0,并求出其通解9分)试问a 取何值时，该方程组有非零解, (21)(本题满分33的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论5(22)(本题满分9 分)求：(I )二维随机变量(X,Y)的概率分布;(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为其中是曲面z 1(z 0)的上侧.(18)(本题满分 11 分)设有方程x nnx 10，其中 n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根X n ,并证明当 1时，级(19)(本题满分 12 分)设z=z(x,y)是由x 2 6xy 10y 22yzz 2 18 0确定的函数，求zz(x, y)的极值点和极值.设矩阵A 11A 是否可相似对角化.设A,B 为随机事件，且P(A) 右P(BA) 3‘P (AB)-，令XA发生, 0, A 不发生;Y 1, B 发生,0, B 不发生.(II ) X 和Y 的相关系数 XY -其中未知参数1,X!,X2, ,X n为来自总体X的简单随机样本，求: （I）的矩估计量；（II）的最大似然估计量.3 022004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y=lnx 上与直线x y 1垂直的切线方程为 y x 1 .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标.1【详解】由y (Inx)1，得x=1,可见切点为(1,0)，于是所求的切线方程为xy 0 1 (x 1)，即 y x 1.1【评注】本题也可先设切点为 (x 0,|n x 0)，曲线y=lnx 过此切点的导数为 y— 1，得x 0 1，x x 0x 0由此可知所求切线方程为 y0 1(x1)，即yx1.本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到xx1 2(2) 已知 f (e ) xe ，且 f(1)=0,则 f(x) = (In x).2【分析】 先求出f (X )的表达式，再积分即可.【详解】令e x t ，则x lnt ，于是有ln tr, ln xf (t)，即f (x)t x 积分得f(x)In x, 1 2dx (ln x) C .利用初始条件 f(1)=0,得C=0，故所求函数为 f(x)x 2丄仲x)2. 2【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分223 (3)设L 为正向圆周x y 2在第一象限中的部分，则曲线积分 L xdy 2ydx 的值为 -【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分 2 2【详解】 正向圆周x y2在第一象限中的部分，可表示为x 、 2 cos , 小y -2sin ,：0222si n 2【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参于是Lxdy 2ydx o 2 [一 2 cos 2 cos2 2sin ■- 2 sin ]d9数法化为定积分计算即可【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换x e t 化为常系数线性齐次微分方程即可【详解】令xe t ，则 dy dy dt e 电1 dydx dt dxdt x dtd 2y 1 dy 1 d 2y dt 1[d 2 x 2[dt y dy F dt ]dx 2x 2 dt x dt 2dx 代入原方程，整理得d 2y c dy2y 0，.2 3 - dtdt解此方程，得通解为y tqe c 2e2tC1C22・2x x【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令 x e t ，则欧拉方程【详解】 已知等式两边同时右乘 A ，得ABA *A 2BA *A A ，而 A 3，于是有3AB 6B A ，即(3A 6E)B A ，再两边取行列式，有3A 6E||B A 3，1而3A 6E 27,故所求行列式为 B(4)欧拉方程2d 2y x dx 24x2y 0(x 0)的通解为y 纟乌dx x x可化为2 axd 2y dx 2cy f (x)，2眷貉哼cy 讪.(5)设矩阵A2 1 01 2 0，矩阵B 满足ABA * 2BA * E ,其中A *为A 的伴随矩阵, 0 0 1E 是单位矩阵，则B【分析】可先用公式A *AA E 进行化简【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵A ，一般均应先利用公式A A AA * AE 进行化简.(6)设随机变量X 服从参数为 的指数分布，则P{X , DX } = 1 .e【分析】 已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可1【详解】 由题设，知DX 冷，于是一1XP{X DX} = P{X -}ie X dx【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算 二、选择题(本题共8小题，每小题 把所选项前的字母填在题后的括号内)一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,(7 )把x0时的无穷小量Xcost 2dt,2xtan 、tdt,0 ':X 30 si nt dt ,使排在后面的是前(A)(B)(C)(D)【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可【详解】 lim — x 0 tan 一tdt lim 卫厂 x 0cost 2dt 0limtanx 2x 2cosx0，可排除 (C),(D)选项,【评注】 limx 0limx 0=-lim 4 x 0x3sint dt_0 ___________X 2 tan )t dt3 2sin x 2 ，可见 lim2x tanx是比低阶的无穷小量，故应选 (B).本题是无穷小量的比较问题，也可先将 ,,分别与x n 进行比较，再确定相互的高低次序(8)设函数f(x)连续，且f (0) 0,则存在0，使得 (A) f(x)在(0，)内单调增加. (B) f(x)在(，0)内单调减少.(C) 对任意的 x (0,)有 f(x)>f(0)(D)对任意的 x ( ,0)有 f(x)>f(0)【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除 (A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可•【详解】 由导数的定义，知f(0) lim f(x) f(0)0，x 0 x根据保号性，知存在 0，当x (,0) (0,)时，有f(x) f(0)x即当 x (,0)时，f(x)<f(0);而当 x (0,)时，有 f(x)>f(0).故应选(C).【评注】题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论 (9) 设 a n 为正项级数，下列结论中正确的是n 12(C)若级数a n 收敛，则limn a “0.nn 1(E)若级数n1a n 发散，则存在非零常数，使得^m na n* "]【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项1 2又取a n ----------------- ，则级数a n 收敛，但lim n a “nUnn1 n【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式,a1 lim na n lim n0，而级数发散，因此级数a n 也发散，故应选(B).n n1n 1nn 1n【分析】 先求导，再代入t=2求F (2)即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有(A)若lim na n =0，则级数na n 收敛.n 1(B )若存在非零常数，使得lim na nn，则级数a n 发散•n 1【详解】 取a n1 nln n，则 lim na n =0，但na nn 111n ln n发散，排除(A)，(D)；，排除(C),故应选(B).(10) 设f(x)为连续函数，F(t) (A)2f(2). (B) f(2).t t1 dy y f(x)dx ，贝U F (2)等于(C) -(2).(D)0.变量 t.【详解 】 交换积分次序，得t t t x tF(t) 1dy y f(x)dx = 1[1 f(x)dy]dx 1 f(x)(x 1)dx于是，F (t) f(t)(t 1)，从而有 F (2)f(2)，故应选(B).评注】 在应用变限的积分对变量 x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量 x: b(x)[ a(x) f(t)dt] f [b(x)]b (x) f[a(x)]a(x)a(x)否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量 x 换到积分号外或积分线上 .( 11) 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B, 再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 (A)1 0 0. (B)1 0 1. (C) 1 0 0. (D) 10 0 1 0 10 0 11 10 0 1[ D ]分析 】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对 A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等 矩阵， 而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积 详解 】由题设，有0 1 01 0 0A 1 0 0B ， B 0 1 1C ，0010 0 10 1 0 10 00 1 1 于是，A 1 0 0 0 1 1A 1 0 0 C.0 0 1 0 0 10 0 1可见， 应选 (D). 评注 】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系12) 设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (D) A 的列向量组线性相关， (E) A 的列向量组线性相关， (F)A 的行向量组线性相关， (D) A 的行向量组线性相关，【详解1】 设A 为m n 矩阵，B 为n s 矩阵，则由AB=O 知,r(A) r(B) n .又 A,B 为非零矩阵，必有 r(A)>0,r(B)>0. 可见 r(A)<n, r(B)<n, 即 A 的列向量组线性相关， B 的行向量组线 性相关，故应选 (A).【详解 2】 由 AB=O 知， B 的每一列均为 Ax=0 的解，而 B 为非零矩阵，即 Ax=0 存在非零解，可见 A 的列向量组线性相关 .B 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关 B 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关【分析 】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从 零解进行分析讨论 .A,B 是否行(或列)满秩或 Ax=0 (Bx=0 )是否有非同理，由AB=O知，B T A T O,于是有B T的列向量组，从而B的行向量组线性相关，故应选(A).【评注】AB=O是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的：1) AB=O r(A) r(B) n；2) AB=O B的每列均为Ax=0的解.(13)设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的(0 1)，数u满足P{X u } ，若P{X x} ，则x等于(A) u_2(B) u1 -2(C) u L~2(D) u1(A) Cov(X n Y) (B) Cov(X「Y)Cov(X1, X i) 1Cov(X1,X1) 1 Cov(X1,X i)n i 1 n n i 2【分析】此类问题的求解，可通过u的定义进行分析, 也可通过画出草图, 直观地得到结论【详解】由标准正态分布概率密度函数的对称性知,P{XP{X x} P{X x} P{X x} P{X x} 2P{X x}即有P{X x}1，可见根据定义有x2本题【评注】A，故应选(C).u相当于分位数，直观地有2(14)设随机变量X1,X2, ,X n( n 1)独立同分布，且其方差为nX i，则n i 1(C) D(X1 Y) (D)【分析】本题用n方差和协方差D(X1 Y)-n的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有:Cov(X1,X i) 0,i 2,3, n.【详解】Cov( X1,Y)(x) (e 2)= -DX 11 2.n n本题(C),(D)两个选项的方差也可直接计算得到：如2n 3n2 nn 2 2n 22n(15) (本题满分12分)$ (b a). e【分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明In 2 b In 2 a24In x ，则e【证法1】 对函数2In x 在［a,b ］上应用拉格朗日中值定理,设(t)平，则(t)，当t>e 时,0, 所以(t)单调减少，从而2 (e )，即In In e~2e2~~2，e故 In 2 b In 2 a 4(b a).所以当 即当e(x) (x) x>e 时, 2 .x e 时,In x 2 -xJ In x 2 2x(x)0,4_2 ， e (x)单调减少，从而当(x)单调增加.e 2时,【评注】 D(X iY) D(^X 1n-X 2 n^X n ) n(1 n)2 n 2n 1 22nD(X in 1 Y) D( X 1n 1 X n )n(n 1)2 2nn 1 22~n2o2设 e a b e ,证明 In b In ab.【证法2】(x)因此当e x e 2时，(b)(a),v 0解得C v 0，两端积分得通解 v Cek —tm，代入初始条件v即 ln 2beln 2a4 ~~2a，故In 2 b ln 2 af (b e a).【评注】 本题也可设辅助函数为(x) 2 2 42In x In a 2 (x a),e a x e 或 e(x) ln 2 b ln 2 x$(b x),e x b2e ，再用单调性进行证明即可.e(16) (本题满分11分)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使 飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k 6.0 106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可 【详解1】 由题设，飞机的质量 m=9000kg ，着陆时的水平速度 v 0 700km/h .从飞机接触跑道开始记时，设t 时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得dvm kv . dt dv dx dx dt所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.dvvdx ，又史dt由以上两式得dx 积分得x(t) x(t)m .dv ，k mv k m (v0 kC. 由于v(0)V 0, x(0)0，故得C — v °，从而k当 v(t)0时, v(t)). x(t)mv °k9000 700 66.0 101.05(km).【详解2】 根据牛顿第二定律，得 dv m — dtkv ,所以dv±dt. m【详解】取1为xoy 平面上被圆x 2 y 2 1所围部分的下侧，记 为由 与1围成的空间闭区域,(17) (本题满分12分) 计算曲面积分2x 3dydz 2y 3dzdx 3(z 2 1)dxdy,其中是曲面z 1 x 2 y 2(z 0)的上侧.【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直 接投影法求解即可.jkt故 v(t)v 0e m .飞机滑行的最长距离为v(t)dtmv ° ekmv ° k1.05( km).或由dr上t v °e m,知x(t)t0v 0e上tmdtItm1)，故最长距离为当t时，kv ox(t)m1.05(km).【详解3】 根据牛顿第二定律，d 2x m —亏dt 2dx k , dtd 2x dt 2k dx dt其特征方程为解之得m0, 2C 2edxx0,v --t 01 t 0dtkC 2 emV 0，得C 1C 2x(t) mv 0Atm).所以, 时，x(t)mv 0 1.05(km).k飞机滑行的最长距离为1.05km.【评注】本题求飞机滑行的最长距离， 可理解为t 或v(t)0的极限值，这种条件应引起注意•由 mv 0t 0C 1 Jkt m3 3 2I 2x dydz 2y dzdx 3(z 1)dxdy13 3 22x dydz 2y dzdx 3(z 1)dxdy.1由高斯公式知3 3 22x dydz 2y dzdx 3(z 1)dxdy122 1 1 r 2 2=6 d dr (z r )rdz3322x dydz 2y dzdx 3(z1 )dxdy 3dxdy 3x 2 y 2 1故123【评注】 本题选择 1时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧(或内侧)，再就是在 1上直接投影积分时，应注意符号(1取下侧，与z 轴正向相反，所以取负号).(18) (本题满分11分) 设有方程x nnx 1 0，其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根 x n ，并证明当 1时，级数x n 收敛.n 1【分析】利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性 .而正项级数的敛散性可用比较法判定 .【证】记 f n (x)x n nx 1.由f n (O) 1 0， f n (1) n 0，及连续函数的介值定理知，方程x n nx 10存在正实数根x n (0,1).当x>0时，f n (x) n x n 1 n 0,可见f n (x)在［0,)上单调增加，故方程x n nx 1 0存在惟一正实数根 X n ・由x n nx1 0与 X n0知1 X ：11 0 X n，故当1 时，0 X n(-).n nn 而正项级数1丄收敛, 所以当1时，级数x n 收敛n 1nn 1【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要2 26( x y z)dxdydz=121[1r(1 r 2) 22、2 r 3(1 r 2)]dr1(9, 3, 3)i ，C2z2x2z2z(9, 3, 3)(9, 3, 3)基本概念清楚，应该可以轻松求证 (19) (本题满分12分)设z=z(x,y)是由x 2 6xy 10y 2 2yz z 218 0确定的函数，求z z(x, y)的极值点和极值【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然 后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值2 2 2因为 x 6xy 10y 2yz z 18 0，所以2x 6y 2^z 2z^0，x x6x 20 y 2z 2y-^ 2z —z 0. y y故 x 3y ， z y.x 9, x 9, y 3, 或 y 3, z 3z3.类似地，由【详解】—0, x —0 yx 3y 0, 3x 10y z 0,将上式代入x 26xy 10y 2 2yz z 218 0，可得由于22 2— 2(上)2x x2z2z2x2z2yx y2z2z0,202— 2二 y y2y- 2z 2y2(二)2 y22z z y 0，2所以 A—z x1 B2 z1，C2z5 (9,3,3)6，x y(9,3,3)2y(9,3,3)3，21 1 故 AC B 236，又A6z(9,3)=3.6xxx y0 ,从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为21 1 可知AC B 0，又A0 ,从而点(-9,-3)是z(x,y)的极大值点，极大值为366z(-9, -3)= -3.【评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意 x,y,z 满足原方程•(20) (本题满分9分) 设有齐次线性方程组(1 a)x 1 X 2 X n 0, 2捲 (2 a)X 2 2x n 0, (n 2)n% nx 2(n a)X n0,试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解【分析】本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组， 可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于 n ,进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a 的可能取值进行讨论即可.【详解1】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有1 a 1 1 1 1 a 1 11A2 2 a 2 2 2a aBnnnn ana 0 0 a当a=0时，r(A)=1<n ，故方程组有非零解，其同解方程组为X i X 2x n 0,由此得基础解系为1( 1,1,0,,0)T,2( 1,0,1, ,0)Tj , n 1 (1,0,0,,1)T ,于是方程组的通解为x k 1 1 k n 1 n 1,其中k 1, ,k n1为任意常数.当a 0时，对矩阵B作初等行变换, 有1 a 11 1a n(n 1)0 0 0 B2 1 0 022 1n 00 1n0 01可知an(n 2 1)时，r(A) n 1 n ，故方程组也有非零解，其同解方程组为2%X20, 3%X3,n^X n0 ,由此得基础解系为(1,2, ,n)T,于是方程组的通解为x k ，其中k为任意常数. 【详解2】方程组的系数行列式为1 a 1 12 2 a 2An n n当A 0，即a=0或a n(n 1)时，方程组有非零解2当a=0时，对系数矩阵A作初等行变换，有1 1 11 1 1112 2 220 000An n n n0 00 00故方程组的同解方程组为x1x2X n 0,由此得基础解系为1 ( 1,1,0, ,0)T,2 ( 1,0,1,,0)T,,n 1(1,0,0, ,1)T于是方程组的通解为x k1 1 k n 1 n 1 ,其中k1, , k n 1为任意常数a2卫时，对系数矩阵A作初等行变换，有1 a111 1 a 1112 A 2 a222a a00n n n n a na 00a(a 3)a n112 3E A1 4 31a 511 0 =(2) 14 31a52 (2) 0 14 3 1a522 16 18 3a 0,解得 a= -2.1 a 1 1 1 0 0 0 02 1 0 0 2 1 0 0 n 01n 01故方程组的同解方程组为2% x 2 0,3x 1 X 30,n% x 0,由此得基础解系为(1,2, ,n)T ,于是方程组的通解为x k ，其中k 为任意常数【评注】 矩阵A 的行列式 A 也可这样计算:1 a 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 A2 2 a 2 2 2 =aE +2 22，矩阵2 2 2 2的nnnn an n nn n n nn特征值为0,,0, n(n °，从而A 的特征值为a,a, ,a n(n 1),故行列式 A (a n(n 1))a n 1.2 2 2(21) (本题满分9分)1 23设矩阵A 1 43的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.1 a 5【分析】 先求出A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A 是否可相似对角化即可•【详解】 A 的特征多项式为(2)( 2 8 18 3a).2是特征方程的二重根，则有323a2时，A的特征值为2, 4，4,矩阵4E-A= 103秩为2，故4对应的线性无关32113的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化求：(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布;(II) X和Y的相关系数XY-【分析】先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】(I) 由于P(AB) P(A)P(BA) 2，P(B)P(AB) 1 P(AB) 6'所以，P{X1,Y1}1 P(AB)—，12P{X1,Y0}P(AB) P(A)P(AB)1 6P{X0,Y1}P(AB) P(B)P(AB)1 12,1 当a= -2时，A的特征值为2,2,6,矩阵2E-A=12 32 3的秩为1,故2 32对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化.若2不是特征方程的二重根，则18 3a为完全平方，从而18+3a=16，解得a【评注】n阶矩阵A可对角化的充要条件是: 对于A的任意k i重特征根i，恒有n r( i E A) 而单根一定只有一个线性无关的特征向量•(22) (本题满分9分)1设A,B为随机事件，且P(A) -,P(B A)43,P(AB)1, A发生，0, A不发1, B发生，P{X 0,Y 0} P(AB) 1 P(A B)=1 P(A) P(B) P(AB)(或P{X 0,Y 0}故(X,Y)的概率分布为i 1 1 丄2),12 6 12 3【评注】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强•通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意(23)(本题满分9分)设总体X的分布函数为1,X1,X2, ,X n为来自总体X的简单随机样本，求:(I) 的矩估计量;(II) 的最大似然估计量•【分析】先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可【详解】X的概率密度为——X 1,X 1，40, X「(I)由于则EXX01Y013151P——P一—446611351-,EY DX DY=——,E(XY)=46163612'(II) X, Y的概率分布分别为故Cov(X,Y) E (XY) EX EY —，从而24XYCov(X,Y) 1515F(x,)x0,1,1其中未知参数f(x,)1，X i 1(i 1,2, ,n),(X 1X 2 X n )0,其他 n1) In X i ， i 1dInL()d故的最大似然估计量为 nnIn X ii 1难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性 EX Xf (X ; )dX X — 1 X T dx 令X ，解得 1 1，所以参数 的矩估计量为(II )似然函数为两边对求导，得 令dInL( ) 0，可得 d nn， In x ii 1L() f (X i ； 当x i1(i 1,2, ,n)时, L( 0,取对数得 lnL()n In In X i ，【评注】本题是基础题型,。