高中数学北师大版必修四第一章:§3 弧度制
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[核心必知]1.度量角的单位制(1)角度制规定周角的1360为1度的角,用度作为单位度量角的单位制叫角度制.(2)弧度制在以单位长为半径的圆中,单位长度的弧所对的圆心角称为1弧度的角,它的单位符号是rad,读作弧度.这种以弧度作单位度量角的单位制,叫作弧度制.2.角度与弧度的互化(1)角度制与弧度制的互化(换算)180°=π_rad;1°=错误!rad=0.017 45 rad;1 rad=错误!=57°18′=57.30°(2)特殊角的度数与弧度数的对应表任一正角的弧度数都是一个正数;任一负角的弧度数都是一个负数;零角的弧度数是0.3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r,弧长为l,α为其圆心角,则[问题思考]1.半径不同的圆中,相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同?提示:相同.在公式|α|=错误!中,角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关,只与圆心角的大小有关.2.2°与2弧度的角是否表示同一个角?提示:不是同一个角.2°是角度制,2是弧度制,2 rad约为115°。
3.390°可以写成360°+错误!吗?提示:不可以,在同一表达式中角度与弧度不能混用.讲一讲1.(1)把112°30′化为弧度;(2)-错误!rad化为度.[尝试解答](1)∵1°=错误!rad,∴112°30′=112。
5°=112.5×π180rad=错误!rad.(2)∵1 rad=错误!°,∴-错误!rad=-错误!×错误!°=-75°.1.将角度制化为弧度制,当角度制中含有“分”“秒"单位时,应先将它们统一转化为“度”,再利用1°=错误!rad化为弧度便可.2.以弧度为单位表示角时,常把弧度写成多少π的形式,如无特殊要求,不必把π写成小数.练一练1.将下列角度与弧度互化.(1)20°;(2)错误!;(3)8 rad解:(1)20°=20×错误!=错误!,(2)错误!=错误!×180°=165°。
[核心必知]1.度量角的单位制(1)角度制规定周角的1360为1度的角,用度作为单位度量角的单位制叫角度制.(2)弧度制在以单位长为半径的圆中,单位长度的弧所对的圆心角称为1弧度的角,它的单位符号是rad,读作弧度.这种以弧度作单位度量角的单位制,叫作弧度制.2.角度与弧度的互化(1)角度制与弧度制的互化(换算)180°=π_rad;1°=π180rad=0.017 45 rad;1 rad=180°π=57°18′=57.30°(2)特殊角的度数与弧度数的对应表任一正角的弧度数都是一个正数;任一负角的弧度数都是一个负数;零角的弧度数是0.3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r,弧长为l,α为其圆心角,则1.半径不同的圆中,相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同?提示:相同.在公式|α|=lr中,角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关,只与圆心角的大小有关.2.2°与2弧度的角是否表示同一个角?提示:不是同一个角.2°是角度制,2是弧度制,2 rad 约为115°. 3.390°可以写成360°+π6吗?提示:不可以,在同一表达式中角度与弧度不能混用.讲一讲1.(1)把112°30′化为弧度;(2)-5π12rad 化为度. [尝试解答] (1)∵1°=π180rad ,∴112°30′=112.5°=112.5×π180rad =5π8rad. (2)∵1 rad =⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°, ∴-5π12 rad =-5π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°=-75°.1.将角度制化为弧度制,当角度制中含有“分”“秒”单位时,应先将它们统一转化为“度”,再利用1°=π180rad 化为弧度便可.2.以弧度为单位表示角时,常把弧度写成多少π的形式,如无特殊要求,不必把π写成小数. 练一练1.将下列角度与弧度互化. (1)20°; (2)11π12; (3)8 rad 解:(1)20°=20×π180=π9,(2)11π12=1112×180°=165°. (3)8 rad =8×⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈8×57.30°=458.40°.讲一讲2.把下列角化成2k π+α(0≤α<2π,k ∈Z )的形式,指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合.(1)-46π3; (2)-1 485°. [尝试解答] (1)-46π3=-8×2π+2π3,它是第二象限角,与2π3终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=2k π+2π3,k∈Z . (2)-1 485°=-5×360°+315°=-10π+7π4,它是第四象限角,与7π4终边相同的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=2k π+7π4,k∈Z .用弧度制表示角的集合时应注意:(1)利用弧度制与角度制之间的关系将有关角化为弧度数; (2)π的倍数是偶数,α的范围是[0,2π) (3)在表示角的集合时要使用统一的度量单位. 练一练2.(1)用弧度表示终边落在x 轴的非正、非负半轴上,y 轴的非正、非负半轴上,x 轴上,y 轴上的角的集合;(2)用弧度表示第一、二、三、四象限角的集合. 解:(1)终边落在x 轴的非正半轴上的角的集合为 {β|β=2k π+π,k ∈Z };终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为 {β|β=2k π,k ∈Z };终边落在y 轴的非正半轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β=2k π+3π2,k∈Z ; 终边落在y 轴的非负半轴上的角的集合为 {β|β=2k π+π2,k ∈Z };所以,终边落在x 轴上的角的集合为{β|β=k π,k ∈Z }; 终边落在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β=k π+π2,k∈Z . (2)第一象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π<β<2k π+π2,k∈Z ;第二象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π+π2<β<2k π+π,k∈Z ; 第三象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π+π<β<2k π+3π2,k∈Z ; 第四象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪2k π+3π2<β<2k π+2π,k∈Z .讲一讲3.(1)已知扇形的半径为1 cm ,圆心角为30°,求扇形的弧长和面积. (2)已知扇形的周长为6 cm ,面积为2 cm 2,求扇形圆心角的弧度数. [尝试解答] (1)∵α=30°=π6,∴l =|α|×r =π6×1=π6(cm)S =12|α|×r 2=12×π6×12=π12(cm 2) 故扇形的弧长为π6 cm ,面积为π12cm 2.(2)设扇形的弧长为l ,所在圆的半径为r ,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l +2r =6,12lr =2,消去l 并整理得,r 2-3r +2=0, 解得r =1或r =2.当r =1时,l =4,圆心角α=l r =41=4; 当r =2时,l =2, 圆心角α=l r =22=1.故扇形的圆心角为1弧度或4弧度.1.涉及扇形的周长、弧长、圆心角和面积等的计算,关键是要弄清题目中已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组解决.2.解题过程中,常常用到方程的思想及等价转化的思想. 练一练3.扇形的周长C 一定时,它的圆心角θ取何值才能使该扇形的面积S 最大,最大值是多少? 解:设扇形的半径为R ,则扇形的弧长为C -2R , ∵S =12(C -2R )×R =-R 2+C 2R =-(R -C 4)2+(C 4)2, ∴当R =C 4,即θ=C -2R R =2时,扇形有最大面积C216.用弧度表示终边落在图中的阴影部分内的角的集合如图(不包括边界角).[错解] (1)图①中,S 1={θ|2k π+330°<θ<2k π+75°,k ∈Z }; (2)图②中,S 2={θ|2k π+225°<θ<2k π+135°,k ∈Z };(3)图③中,S 3={θ|2k π+30°<θ<2k π+90°或2k π+210°<θ<2k π+270°,k ∈Z }.[错因] 上面解答犯了两个错误:一是角的大小没分清,如(1)中330°>75°,(2)中,225°>135°,其实写出的集合S 1,S 2中不含任何元素;二是角度与弧度在同一表达式中混用.[正解] (1)图①中以OB 为终边的角为330°,可看成为-30°,化为弧度,即-π6,而75°=75×π180=5π12, ∴所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π-π6<θ <2k π+5π12,k∈Z .(2)图②中以OB 为终边的角225°,可看成是-135°,化为弧度,即-3π4,而135°=3π4, ∴所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π-3π4<θ<2k π+3π4,k∈Z .(3)图③中,∵30°=π6,210°=7π6,∴所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π+π6<θ<2k π+π2,k∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π+7π6<θ<2k π+3π2,k∈Z , 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π+π6<θ<2k π+π2,k∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪(2k +1)π+π6<θ<(2k +1)π+π2,k∈Z . 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪k π+π6<θ<k π+π2,k∈Z .1.下列说法不正确的是( )A .“度”与“弧度”是度量角的两种不同制度B .1度的角是圆周的1360所对的圆心角,1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角 C .根据弧度的定义,180°一定等于π radD .不论是用角度制还是弧度制度量角,它们都与圆的半径长短有关解析:选D 根据角、弧度的定义,可知无论角度制还是弧度制,角的大小都与圆的半径长短无关,而与弧长与半径的比值有关,所以D 错误.2.若α=1 920°,则该角的弧度数为( )A.163B.323C.16π3 D.32π3解析:选D ∵1°=π180弧度,∴1 920°=1 920×π180rad =32π3rad. 3.-29π12的终边所在的象限是( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 解析:选D -29π12=-2π-5π12,因为-5π12是第四象限角,所以-29π12是第四象限角. 4.已知半径为10 cm 的圆上,有一条弧的长是40 cm ,则该弧所对的圆心角的弧度数是________. 解析:由l =|α|×r ,得弧度数为4. 答案:45.已知一扇形的圆心角是72°,半径为20 cm ,则扇形的面积是________. 解析:设扇形的弧长为l . ∵72°=72×π180rad =2π5rad , ∴l =|α|×r =2π5×20=8π(cm), ∴S =12lr =12×8π×20=80π(cm 2). 答案: 80π cm 26.(1)把-1 480°写成α+2k π(k ∈Z )的形式,其中0≤α<2π; (2)若β∈[-4π,0],且β与(1)中α的终边相同,求β. 解:(1)∵-1 480°=-1 480π180=-74π9=-10π+16π9, 又0≤16π9<2π, ∴-1 480°=16π9-2×5π=16π9+2×(-5)π. (2)由(1)可知α=16π9.∵β与α终边相同, ∴β=2k π+16π9,k ∈Z . 又∵β∈[-4π,0],令k =-1,则β=-2π9,令k =-2,则β=-20π9,∴β的值是-2π9,-20π9.一、选择题1.下列命题中,真命题是( ) A .1弧度是1度的圆心角所对的弧 B .1弧度是长度为半径的弧 C .1弧度是1度的弧与1度的角之和D .1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 解析:选D 由弧度制定义知D 正确. 2.α=-2 rad ,则α的终边在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 解析:选C ∵-π<-2<-π2,∴α的终边落在第三象限,故选C.3.时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.14π3 B .-14π3 C.7π18 D .-7π18解析:选B 显然分针在1时到3时20分这段时间里,顺时针转过了213周,其弧度数为-(2π×73)=-14π3rad. 4.设集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x =k π+(-1)k×π2,k∈Z ,B =错误!⎭⎪⎬⎪⎫2k π+π2,k∈Z ,则集合A 与B 之间的关系为( )A .AB B .A BC .A =BD .A ∩B =∅解析:选C 对于集合A ,当k =2n (n ∈Z )时,x =2n π+π2,当k =2n +1(n ∈Z )时,x =2n π+π-π2=2n π+π2∴A =B ,故选C. 二、填空题5.在半径为2的圆内,弧长为2π3的圆心角的度数为________.解析:设所求的角为α,角α=2π32=π3=60°.答案:60°6.终边落在直线y =x 上的角的集合用弧度表示为S =________.解析:S =⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=π4+2k π,k∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=5π4+2k π,k∈Z=⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=π4+2k π,k∈Z ∪{α|α=π4+(2k +1)π,k ∈Z }=⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=π4+n π,n∈Z . 答案:{α|α=π4+n π,n ∈Z }7.已知θ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α=k π+(-1)k×π4,k∈Z ,则角θ的终边所在的象限是________.解析:当k 为偶数时,α=2n π+π4,终边在第一象限;当k 为奇数时,α=(2n +1)π-π4=2n π+34π,终边在第二象限.答案:第一、二象限8.已知扇形的面积为25,圆心角为2 rad ,则它的周长为________. 解析:设扇形的弧长为l ,半径为r , 则由S =12αr 2=25,得r =5,l =αr =10, 故扇形的周长为20. 答案:20 三、解答题9.用弧度表示顶点在原点,始边重合于x 轴的非负半轴,终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界).解:(1)图①中,以OA 为终边的角为π6+2k π(k ∈Z );以OB 为终边的角为-2π3+2k π(k ∈Z ). ∴阴影部分内的角的集合为 {α|-2π3+2k π<α<π6+2k π,k ∈Z }.(2)图②中,以OA 为终边的角为π3+2k π,k ∈Z ;以OB 为终边的角为2π3+2k π,k ∈Z . 不妨设右边阴影部分所表示集合为M 1,左边阴影部分所表示集合为M 2, 则M 1={α|2k π<α<π3+2k π,k ∈Z },M 2={α|2π3+2k π<α<π+2k π,k ∈Z }.∴阴影部分所表示的集合为:M 1∪M 2={α|2k π<α<π3+2k π,k ∈Z }∪{α|2π3+2k π<α<π+2k π,k ∈Z }= {α|2k π<α<π3+2k π或2π3+2k π<α<π+2k π,k ∈Z }.10.如图,动点P ,Q 从点A (4,0)出发,沿圆周运动,点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度,点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度,求P ,Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ,Q 点各自走过的弧长.解:设P ,Q 第一次相遇时所用的时间是t s , 则t ×π3+t ×|-π6|=2π,所以t =4(s),即P ,Q 第一次相遇时所用的时间为4 s .如图,设第一次相遇点为C ,第一次相遇时已运动到终边在π3×4=4π3的位置,则x c =-⎝ ⎛⎭⎪⎫4×12=-2,y c =-42-22=-23,所以C 点的坐标为(-2,-23).P 点走过的弧长为4π3×4=16π3,2π3×4=8π3.Q点走过的弧长为。