函数的奇偶性学案

利用函数的奇偶性求函数解析式及求值学案------邓隆耀一、教学目的：让学生掌握利用函数的奇偶性来求函数的解析式重点：利用奇偶性的性质来求函数的解析式难点：从特殊到一般的转化。

一、复习函数奇偶性的概念：①设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈， 且()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数。

②设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈， 若()()g x g x -=，则这个函数叫偶函数。

从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。

也就是说当x 在其定义域内时，x -也应在其定义域内有意义(1) 前提条件：定义域关于原点对称。

)(x f y =的定义域为[a-1,2a]则=a ______(2) )(x f 与)(x f -的关系：当)()(x f x f =-时为____函数；当)()(x f x f -=-时为____函数。

① 已知)(x f y =是奇函数，2)2(=-f ，求)2(f② 已知)(x f y =是奇函数，当0>x 时，3)(x x f =，求)2(-f二、题型一。

1.已知()y f x =是奇函数，当0x >时，()32f x x =，求当0x <时，()f x 的解析式。

（变式一）设函数)(x f 为定义域为R 上奇函数，又当0>x 时2()2f x x x =-，试求)(x f 的解析式。

（变式二）设函数)(x f 为定义在R 上的偶函数，又当0≥x 时，2()23f x x x =--，试求)(x f 的解析式。

（变式三）设函数)(x f 为定义在[a-1,2a]的奇函数，又当]2,0(a x ∈时，2()23f x ax x =--，试求)(x f 的解析式。

练习：1.已知函数,)(0)(2x x f x x f y R =<=时，满足上的奇函数定义在则=)))))1(((((f f f f f _____三,题型二 1.),(4)(R b a b xa x x f ∈++=为奇函数，若5)1(=f 求函数的解析式)(x f 。

高一数学同步训练 第1页（共1页）函数的单调性和奇偶性知识梳理1.单调性的概念和证明方法2.奇偶性的概念和判定方法 例题1.求下列函数的值域 ⑴1+=x y []1,2--∈x⑵xy 1=[]1,2--∈x 、()1,0、[)+∞,2、()1,1- ⑶322+--=x x y []1,2--∈x⑷3212+--=x x y ⑸322+--=x x y⑹3224+--=x x y⑺x x y 21--= 2.求下列函数的单调区间①x x y +-=121 ②4132+-=x x y ③||2x x y +-= 3.已知)(x f 在实数集上是减函数，若0≤+b a ，则下列正确的是 （ ） A ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≤+ B ． )()()()(b f a f b f a f -+-≤+ C ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≥+ D ．)()()()(b f a f b f a f -+-≥+4.函数()x f 的定义域为()+∞,0，当1>x 时，()0>x f ，且对任意0>y x 、，都有()()()y f x f xy f +=.⑴求()1f⑵证明函数在定义域上单调递增 ⑶若131-=⎪⎭⎫⎝⎛f ，解不等式()221≥⎪⎭⎫⎝⎛--x f x f 5．已知函数()()x xx x f -+-=1111, ()⎩⎨⎧<-->=002x x x x x x x f , ()⎩⎨⎧<-≥=01013x x x f , 在这三个函数中，下面说法正确的是（ ）。

A.有一个偶函数，两个非奇非偶函数B.有一个偶函数，一个奇函数C.有两个偶函数，一个奇函数D.有两个奇函数，一个偶函数 6.∈++=c b a cbx ax x f ,,(1)(2Z ）是奇函数，又f(1)=2，f(2)<3, 求a,b,c 的值.7.函数)(x f 在),(+∞-∞上满足（1）)()()(y f x f y x f +=+（2）)(x f 在定义域上单调递减（3）0)1()1(2<-+-a f a f⑴证明)(x f 为奇函数⑵求a 的取值范围 8.函数21)(x b ax x f ++=是定义在)1,1(-上的奇函数，且52)21(=f 。

学习资料2022版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第四讲函数的奇偶性与周期性学案（含解析）新人教版班级：科目：第四讲 函数的奇偶性与周期性知识梳理·双基自测 知错误!错误!错误!知识点一 函数的奇偶性 偶函数奇函数定义 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x都有__f （－x )＝f （x )__，那么函数f （x )是偶函数都有__f （－x )＝－f (x )__,那么函数f (x ）是奇函数 图象特征 关于__y 轴__对称 关于__原点__对称 1．周期函数对于函数y ＝f （x )，如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时，都有__f （x ＋T )＝f (x )__，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f （x )的所有周期中存在一个__最小的正数__，那么这个__最小正数__就叫做f （x )的最小正周期．错误!错误!错误!错误!1．奇(偶）函数定义的等价形式(1）f （－x )＝f (x ）⇔f (－x ）－f （x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1（f (x ）≠0)⇔f （x ）为偶函数； （2)f (－x ）＝－f (x )⇔f （－x ）＋f (x )＝0⇔错误!＝－1(f （x )≠0)⇔f （x ）为奇函数．2．对f （x ）的定义域内任一自变量的值x ,最小正周期为T(1）若f （x ＋a )＝－f （x ），则T ＝2｜a ｜；(2)若f (x ＋a ）＝错误!，则T ＝2｜a ｜；(3）若f （x ＋a )＝f (x ＋b ），则T ＝|a －b |.3．函数图象的对称关系(1)若函数f （x )满足关系f (a ＋x )＝f (b －x ),则f （x ）的图象关于直线x ＝错误!对称；（2)若函数f （x )满足关系f （a ＋x )＝－f （b －x ），则f （x )的图象关于点错误!对称．4．一些重要类型的奇偶函数（1）函数f （x ）＝a x ＋a －x 为偶函数，函数f （x )＝a x －a －x 为奇函数;（2)函数f(x）＝错误!＝错误!为奇函数；(3)函数f（x)＝log a错误!为奇函数；(4）函数f(x)＝log a（x＋x2＋1)为奇函数．双基错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）函数y＝x2，x∈（0，＋∞）是偶函数．（×）(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0）＝0.（×）（3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数,则函数y＝f（x)的图象关于直线x＝a对称．（√）(4)若函数y＝f（x＋b）是奇函数,则函数y＝f(x）的图象关于点（b,0）中心对称．(√)(5)2π是函数f(x)＝sin x，x∈(－∞，0)的一个周期．(×)题组二走进教材2．(必修1P35例5改编）下列函数中为奇函数的序号是__②③⑤__；偶函数的序号是__①__。

高中数学 §1.3.2奇偶性2学案 新人教A 版必修1
学习目标：
1. 进一步理解函数的奇偶性及其几何意义；
2. 掌握函数的奇偶性的判断；
3. 学会运用函数奇偶性求函数解析式；
学习难点：函数的奇偶性及其几何意义
学习重点：判断函数的奇偶性
知识链接（1分钟）
1、偶函数：对于定义域内的任意一个x ，都有 ，其图象关于 对称 。

奇函数：对于定义域内的任意一个x ，都有 ，其图象关于 对称。

2、判别函数的奇偶性一般步骤： 完成下列题目（20分钟）
1 判别下列函数的奇偶性：
(1)()f x = (2)()|1||1|f x x x =++-；
(3)()f x =； 2
21(0)
(4)()1(0)x x x f x x x x ⎧-++>⎪=⎨++≤⎪⎩
2、已知奇函数f(x)的定义域为R,当x>0时，2()23f x x x =-+，求f(x)的解析式
3、已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++是奇函数，求m ， n 值
4、已知函数53()8,(2)10,2f x x ax bx f f =++--=且求（）值
当堂检测：
1. 已知函数[]2
()3,1,2,f x ax bx a b a a =+++-为偶函数且定义域为求a,b 值
2. 已知奇函数f(x)的定义域为R,当x ≥0时，()(1)f x x x =+，求f(x)的解析式
3、设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝( )
（A ）3 （B ）－3 （C ）2 （D ）7
课后作业：
2、
3、
4、
5、。

3。

1。

3 函数的奇偶性第2课时学习目标1.掌握函数奇偶性的简单应用。

2.了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件。

自主预习1.函数的奇偶性与单调性的性质（1）若f（x)为奇函数且在区间[a,b]（a<b）上为增函数（减函数），则f(x)在［—b,—a]上为(函数),即在关于原点对称的区间上单调性.（2）若f（x)为偶函数且在区间[a，b］(a〈b）上为增函数（减函数),则f(x）在[-b,-a]上为（函数),即在关于原点对称的区间上单调性.2.奇偶函数的运算性质在公共定义域内：(1)两个奇函数的和函数是函数,积函数是函数;（2）两个偶函数的和函数、积函数都是函数;(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是函数。

3.函数的对称轴与对称中心(1）若函数f（x）的定义域为D,对∀x∈D都有f（T+x）=f （T—x)(T为常数),则x=是f（x)的对称轴.（2）若函数f（x)的定义域为D，对∀x∈D都有f（a+x）+f（a-x）=2b(a，b为常数),则是f(x)的对称中心.课堂探究题型一利用奇偶性求函数解析式例1(1)函数f（x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)=x(x-1）,则当x〉0时，f（x）=。

(2）函数f（x)为R上的奇函数,当x〉0时，f(x)=-2x2+3x+1,则f(x）=.【训练1】(1）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x〈0时，f（x）=-x2-x,求函数f(x)的解析式;（2）已知f（x)是R上的偶函数,当x∈(0，+∞)时,f(x）=x2+x—1,当x∈（-∞，0）时，求f（x)的解析式.题型二利用奇偶性研究函数的性质例2研究函数f（x）=x2—2|x｜+1的单调性，并求出f(x)的最值.【训练2】研究函数f（x）=x+1的单调性,并写出函数的值x域。

题型三证明函数图像的对称性例3求证：二次函数f（x)=—x2—2x+1的图像关于x=-1对称。

【训练3】证明函数f（x）=x的图像关于点（—1，1）对x+1称.课堂练习1。

函数的奇偶性与周期性教学案 1一、 三维教学目标1.知识目标： 了解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法掌握函数的奇偶性的定义及图象特征；2.能力目标：能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题3．情感目标：进一步强化学生努力探索的能力；二、考试目标 主词填空1.f(x)是奇函数的充要条件是任取＿＿，必有＿＿＿＿且＿＿＿＿＿，奇函数的图像关于＿＿＿＿＿＿＿成＿＿＿＿＿＿对称.2.f(x)是偶函数的充要条件是任取＿＿＿＿，必有＿＿＿＿且＿＿＿， 偶函数的图像关于＿＿＿＿＿＿成轴对称.3.奇函数之和是＿＿＿＿＿＿.偶函数之和是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿4.对于函数y =f (x )，且x ∈A ，当此函数满足条件＿＿＿＿＿＿，T 是非零常数且＿＿＿＿＿＿＿＿＿时，称y =f (x )是A 上的周期函数.三 题型示例 归纳点拨1、判断函数奇偶性的步骤与方法 1 .判断下列函数的奇偶性：(1)x x x x f -+-=11)1()( (2)2|2|)1lg()(22---=x x x f (3)⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+=00)(22x xx x x x x f ,（4） f (x )=x x x x --+-7777； 2. 对于定义域为R 的任意奇函数)(x f 都有( ) Ａ．0)()(=--x f x f Ｂ．0)()(≤--x f x fＣ．0)()(≤-x f x f Ｄ．0)()(>-x f x f3．若)(x f y =在),0[+∞∈x 时的表达式)1(x x y -=且)(x f 为奇函数,则 ]0,(-∞∈x 时,)(x f =（ ）Ａ．)1(x x -- Ｂ．)1(x x + Ｃ．)1(x x +- Ｄ．)1(-x x4．设)()1221()(x f x F x -+=是偶函数,且0)(≠x f ,则)(x f 奇偶性为 ． 5．已知2)(7+-=bx ax x f ,且17)5(=-f ,则=)5(f ．6．已知b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，且定义域为[]a a 2,1-，则a ＝ ，b ＝7. 已知)0)(21121()(≠+-=x x x f x . （1）判断)(x f 的奇偶性;（2）证明0)(>x f .8. 已知)(x f 是以π2为周期的奇函数,且1)2(-=-πf , 那么=)25(πf ． 9. （天津卷）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=x 对称，则 )5()4()3()2()1(f f f f f ++++＝_________.7. 已知函数)(x f y =满足)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++),(R y R x ∈∈且 0)0(≠f ，证明 )(x f 为偶函数．四、对应训练 分阶提升1.若f (x )在［-a ，a ］(a >0)上是单调奇函数，且f(2a )>f(3a )，则下列各式一定成立的是 A.f(-4a )>f(-5a ) B.f(-4a )<f(-5a ) C.f(0)<f(-2a ) D.(2a )>f(a) 2.已知f(x)=a 0+a 1x+a 2x 2+…a 2004x 2004，若f (1)=100，则f (-1)= ( )A.100B.-100C.20D.-203.f (x )是奇函数，当x ∈R +时，f(x)∈(]m ,∞-(m<0)，则f (x )的值域可能是A.［m ，-m ］B.(]m ,∞-C.[)+∞-,mD.(]m ,∞-∪[)+∞-,m4.设y =f (x )是R 上的奇函数，一定在y =f (x )的图像上的点是 ( )A.(a ，f(-a))B.(-a ，-f(a))C.(-a ，-f(-a))D.(a 1，-f (a 1)) 5.如果奇函数f (x )当1≤x ≤4时的解析式为f (x )=x 2-4x +5，则当-4≤x ≤-1时，f (x )的最大值为 ( ) A.5 B.-5 C.-2 D.-16.设f (x )是R 上的奇函数，且x ∈R +时，f (x )=log 2(2x +1)，则当x ∈R - 时，f (x )= ( )A.log 2(2x +1)B.-log 2(2x +1)C.log 2(1-2x )D.-log 2(1-2x )7.已知奇函数f (x )在区间［-b ，-a ］上单调减且最小值为2004，则g (x )=-|f (x )|在［a ，b ］上 ( )A.单调减且最大值为-2004B.单调增且最小值为-2004 C.单调减且最小值为-2004 D.单调增且最大值为-20048.已知f (x )=x 3+bx 2+c x 是R 上的奇函数，动点P (b ，c )描绘的图形是A.椭圆B.抛物线C.直线D.双曲线9.偶函数f (x )在［0，3］上单调增，则下列各式成立的是 ( )A.f (-1)<f (2)<f (3)B.f (2)<f (3)<f (1)C.f (2)<f (-1)<f (3)D.f (-1)<f (3)<f (2) 10.若y =g(x )是偶函数，那么f 1(x )=g(x )-1和f 2(x )=g (x -1) ( )A.都不是偶函数B.都不是奇函数C.都是偶函数D.只有一个是偶函数五、总结与反思1.要从数和形两个角度函数的奇偶性，充分利用)(x f 与)(x f -之间的转化和图象特征解决有关问题；解题中注意以下性质的运用：①)(x f 为偶函数⇔|)(|)(x f x f =,②若奇函数)(x f 的定义域含0，则0)0(=f .2.利用函数的周期性，可转化为求函数值的问题；3.判断函数奇偶性时首先要看定义域是否关于原点对称.函数的奇偶性与周期性教学案同步测试 21、若)(x f )(R x ∈是奇函数，则下列各点中，在曲线)(x f y =上的点是（A ）))(,(a f a - （B ）))sin (,sin (α--α-f （C ）))1(lg ,lg (af a -- （D ）))(,(a f a --2、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2(T f （A ）0 （B ）2T （C ）T （D ）2T - 3、已知)()()(y f x f y x f +=+对任意实数y x ,都成立，则函数)(x f 是（A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）可以是奇函数也可以是偶函数 （D ）不能判定奇偶性4、（05福建卷）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A ．5B ．4C ．3D ．25、 （05山东卷）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2x x f x a a -=+（D ）2()ln 2x f x x -=+ 6、（04年全国卷一.理2）已知函数=-=+-=)(.)(.11lg)(a f b a f xx x f 则若 A ．b B ．－b C ．b 1 D ．－b 1 7、（04年福建卷.理11）定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2-|x-4|，则（A ）f(sin6π)<f(cos 6π) （B ）f(sin1)>f(cos1) （C ）f(cos 32π)<f(sin 32π) （D ）f(cos2)>f(sin2) 8、(97理科)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b); ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④(a)-f(-b)<g(b)-g(-a), 其中成立的是(A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④9、已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时，)(x f 的解析式为_______________10、定义在)1,1(-上的奇函数1)(2+++=nx x m x x f ，则常数=m ____,=n _____ 11、下列函数的奇偶性为 （1） ；（2） .（1）x e x f x -+=)1ln()(2 （2）⎩⎨⎧<+≥-=)0()1()0()1()(x x x x x x x f12、已知)21121()(+-=x x x f ，（1）判断)(x f 的奇偶性；（2）证明：0)(>x f 13、定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数a 的范围.14、设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1=x 对称，对任意]21,0[,21∈x x ，都有)()()(2121x f x f x x f =+. (I)设2)1(=f ，求)41(),21(f f ； (II)证明)(x f 是周期函数.。

第5讲 函数的奇偶性和周期性与图像班级：____ 姓名： ______ 小组：______ 评价： _______ 【考情解读】应用函数的奇偶性可解决四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解（2）求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出。

（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据)()(x f x f -±=得到参数的恒等式解出参数的值。

（4）画出函数图像和判断单调性。

图像：数形结合思想（1）借助图像研究函数的性质 （2）分类讨论思想 【课堂六环节】一、导——教师导入新课。

（7分钟）1，偶函数的定义：______；奇函数的定义：______。

2，函数的周期性：______；最小正周期：______ 3，周期性常用的结论：（1）若 )()(x f a x f -=+ ， 则T=2ɑ （2）若 )(1)(x f a x f =+ ，则T=2ɑ （3）若 )(1)(x f a x f -=+ ，则T=2ɑ4，利用函数的性质作图5，利用图像变换作函数的图像： （1）左+右—，上+下— （2）伸缩变换（3）对称变换：关于X 轴，关于Y 轴，关于原点二、思——自主学习。

学生结合课本自主学习，完成下列相关内容。

（15分钟） 例1已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 014)＝________.解析：∵f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )．∴f (x )是以3为周期的周期函数． 则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝2.例2;判断下列函数的奇偶性(1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1；(3)f (x )＝3x －3－x ；(2)f (x )＝3－2x ＋2x －3；(4)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3；(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1， ∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．2．(1)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________．(2)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)∵函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R)是偶函数，∴设g (x )＝e x ＋a e －x ，x ∈R ，由题意知，g (x )为奇函数，∴g (0)＝0， 则1＋a ＝0，即a ＝－1.(2)∵y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，∴函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上是增函数．∴当a >0时，由f (a )≥f (2)可得a ≥2， 当a <0时，由f (a )≥f (2)＝f (－2)，可得a ≤－2. 所以实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．[典例]已知函数f (x )对任意的实数满足：f (x ＋3)＝－1f x，且当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)＝________.答案：337设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. 又∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．1．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )A ．－12B ．－14 C.14 D.12答案：A2．(2014·大连测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是 ( ) A ．y ＝－1x B ．y ＝log 2|x | C ．y ＝1－x 2 D ．y ＝x 3－1答案：C3．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.答案：-95．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解：由偶函数性质知f (x )在[0,2]上单调递增，且f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |)，因此f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，|1－m |<|m |.解得：12<m ≤2.因此实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤12，2.(2014·安徽“江南十校”联考)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图像大致是 ( )答案：B[典例] (1)(2013·福建高考)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是 ( )(2)(2012·湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝－f (2－x )的图像为 ( )答案：1，A;2，B1．(2014·佛山一模)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x >1，则y ＝f (x ＋1)的图像大致是 ( )答案：B2，已知⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,20,lg )(x x x x f x 则函数1)(3)(22+-=x f x f y 的零点个数是 。

2．2.2函数的奇偶性学习目标理解函数奇偶性的定义(难点)；2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法(重点)；3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题(重、难点)．预习教材P41－43，完成下面问题：知识点一函数奇偶性的概念(1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．(2)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．【预习评价】1．函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________.解析由题意知，区间[2a－3，a]关于原点对称，∴2a－3＝－a，∴a＝1.答案 12．函数f(x)＝x4＋1x2＋1的奇偶性为________．解析∵x∈R，又f(－x)＝(－x)4＋1(－x)2＋1＝x4＋1x2＋1＝f(x)，∴f(x)是偶函数．答案偶函数3．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝1，则f(－2)的值为________．解析∵当x＞0时，f(x)＝1，∴f(2)＝1，又f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－1.答案－1知识点二奇函数、偶函数的图象特征(1)若一个函数是奇函数，则它的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形；反之，若一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)若一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．【预习评价】下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？提示①②关于y轴对称，③④关于原点对称．知识点三奇偶性应用中常用结论(1)若函数f(x)是奇函数，且0在定义域内，则必有f(0)＝0.(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反．(3)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)为奇函数⇔b＝0；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数⇔b＝0；常数函数f(x)＝c(c为常数)为偶函数．【预习评价】若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝2f(x)；③f(x)·f(－x)＜0；④f(x)f(－x)＝－1.其中一定正确的有________．解析 由奇函数的定义可知①②一定正确，对③、④，当x ＝0时，有f (0)＝0，所以③、④均不成立． 答案 ①②题型一 如何证明函数的奇偶性【例1】 (1)证明f (x )＝x 3－x 2x －1是非奇非偶函数；(2)证明f (x )＝(x ＋1)(x －1)是偶函数；(3)证明f (x )＝1＋x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数； (4)证明f (x )＝⎩⎨⎧－1，x ＜0，1，x ＞0是奇函数；(5)已知f (x )的定义域为R ，证明g (x )＝f (－x )＋f (x )是偶函数． 证明 (1)因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f (x )＝x 3－x 2x －1是非奇非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因函数f (x )＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，又因f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，所以函数为偶函数．(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为偶函数．又f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．(4)定义域为{x |x ≠0}．若x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝1，f (x )＝－1， ∴f (－x )＝－f (x )；若x ＞0，则－x ＜0，∴f (－x )＝－1，f (x )＝1， ∴f (－x )＝－f (x )；即对任意x ≠0，都有f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数． (5)∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )＝f (－x )＋f (x )的定义域也为R .对于任意x ∈R ，都有g (－x )＝f (－(－x ))＋f (－x )＝f (－x )＋f (x )＝g (x )， ∴g (x )是偶函数．规律方法 判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f (－x )是否等于±f (x )，或判断f (－x )±f (x )是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．(3)分段函数的奇偶性应分段说明f (－x )与f (x )的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性． 【训练1】 (1)证明f (x )＝(x －2) 2＋x2－x是非奇非偶函数； (2)证明f (x )＝x |x |是奇函数；(3)证明f (x )＝a －x 2＋x 2－a (a ≥0)既是奇函数又是偶函数； (4)证明f (x )＝⎩⎨⎧－x 2，x ＜0，x 2，x ＞0是奇函数．证明 (1)由2＋x 2－x≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以函数为奇函数．(3)定义域为{－a，a}，因为对定义域内的每一个x，f(x)＝0，f(－x)＝0，－f(x)＝0，∴有f(x)＝f(－x)，f(－x)＝－f(x)成立，∴函数既是奇函数又是偶函数．(4)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝x2，有f(x)＝－x2＝－f(－x)成立；当x＞0时，－x ＜0，f(－x)＝－x2，有f(x)＝x2＝－f(－x)成立，∴有f(－x)＝－f(x)成立，∴f(x)是奇函数．题型二利用函数的奇偶性求值【例2】已知f(x)＝ax5＋bx3＋cx－8，且f(d)＝10，求f(－d)．解方法一f(d)＝ad5＋bd3＋cd－8，①f(－d)＝a·(－d)5＋b(－d)3＋c·(－d)－8＝－ad5－bd3－cd－8，②①＋②得f(d)＋f(－d)＝－16，∵f(d)＝10，∴f(－d)＝－16－10＝－26.方法二设g(x)＝ax5＋bx3＋cx，则g(x)为奇函数，由题意可得f(d)＝g(d)－8＝10，∴g(d)＝18.又f(－d)＝g(－d)－8，且g(x)为奇函数，∴g(－d)＝－g(d)，∴f(－d)＝－g(d)－8＝－18－8＝－26.规律方法解决这类由奇偶性求值问题，应先分析给定函数特点，把原函数化为一个奇函数(或偶函数)g(x)和一个常数的和，然后借助奇函数(或偶函数)的性质求出g(－d)．也可以通过两式相加(或相减)达到正负抵消，从而使问题得解．【训练2】函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋2，且f(－3)＝1，则f(3)＝________.解析令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)为奇函数，从而g(3)＝－g(－3)．又因为f(x)＝g(x)＋2，f(－3)＝1，所以g(－3)＝－1，所以g(3)＝1，所以f(3)＝g(3)＋2＝1＋2＝3.答案 3题型三奇(偶)函数图象的对称性的应用【例3】定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)＞0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如下图，(2)xf(x)＞0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)＞0的解集是(－2,0)∪(0,2)．规律方法鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图、求值，求解析式，研究单调性．【训练3】已知f(x)＝xx2＋1在[0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上递减．试画出f(x)在定义域R上的大致图象，并指出其单调区间．解显然当x＞0时，f(x)＞0.又y＝x2＋1为偶函数，y＝x为奇函数，∴f(x)＝xx2＋1为奇函数，其图象关于原点对称．由此得f(x)＝xx2＋1的图象如下．由图可知f(x)＝xx2＋1的增区间是[－1,1]，减区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)．考查方向奇偶性与单调性的综合应用方向1【例4－1】已知y＝f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)＜0，试判断F(x)＝1f(x)在(－∞，0)上的单调性．解任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则有－x1＞－x2，∴y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)＜0，∴f(－x2)＜f(－x1)＜0，又∵y＝f(x)是奇函数，∴f(x2)＝－f(－x2)，f(x1)＝－f(－x1)，故f(x2)＞f(x1)＞0，于是F(x1)－F(x2)＝1f(x1)－1f(x2)＝f(x2)－f(x1)f(x1)f(x2)＞0，即F(x1)＞F(x2)，所以函数F(x)＝1f(x)在(－∞，0)上是减函数．方向2：求解析式【例4－2】 ①函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－x ＋1，求当x ＜0时，f (x )的解析式；②设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．解 ①设x ＜0，则－x ＞0， ∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1， 又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，f (x )＝－x －1. ②∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝1x －1①用－x 代替x 得 f (－x )＋g (－x )＝1－x －1，∴f (x )－g (x )＝1－x －1，②(①＋②)÷2，得f (x )＝1x 2－1；(①－②)÷2，得g (x )＝x x 2－1.方向3：求参数范围【例4－3】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．①求实数m 的值；②若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 ①因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即1－m ＝－(－1＋2)， 解得m ＝2.经检验m ＝2时函数f (x )是奇函数．所以m ＝2. ②要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增， 结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．规律方法 (1)两个定义：对于f (x )定义域内的任意一个x ，如果都有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (x )为奇函数；如果都有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (x )为偶函数．(2)两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称．(3)证明一个函数是奇函数，必须对f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝ －f (x )．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了． (4)如果知道函数的奇偶性和一个区间[a ，b ]上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间[－b ，－a ]上任一点(x ，y )，通过关于原点(或y 轴)的对称点(－x ， －y )(或(－x ，y ))满足的关系式间接找到(x ，y )所满足的解析式． (5)奇偶性对单调性的影响①若奇函数f (x )在[a ，b ]上是单调增函数，且有最大值M ，则f (x )在[－b ，－a ]上是单调增函数，且有最小值－M .②若偶函数f(x)在(－∞，0)上是单调减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数．课堂达标1．函数f(x)＝x－2＋－x＋2的奇偶性为________．解析由题意知函数的定义域为{x|x＝2}，不关于原点对称，故该函数既不是奇函数也不是偶函数．答案非奇非偶2．已知函数f(x)是奇函数，函数g(x)＝f(x)＋x2，若g(－3)＝10，则g(3)的值为________．解析由题意可得g(－x)＝f(－x)＋(－x)2＝－f(x)＋x2，所以g(－x)＋g(x)＝2x2，再由g(－3)＝10得g(3)＝8.答案83．若函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋3(x∈R)是偶函数，则m＝________.解析∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x2－(m－1)x＋3＝x2＋(m－1)x＋3，∴m－1＝0，即m＝1.答案 14．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋3x)，那么当x∈(－∞，0)时，f(x)＝________.解析当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∴f(－x)＝－x(1＋3－x)＝－x(1－3x)又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－3 x)．高中数学打印版校对完成版本 答案 x (1－3x )5．若奇函数f (x )在(－1,1)上是减函数，且2f (1－m )＜0，求实数m 的取值范围． 解 原式可化为f (1－m )＋f (1－m )＜0⇒f (1－m )＜－f (1－m )⇒f (1－m )＜f (m －1)，又f (x )在(－1,1)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞m －1，－1＜1－m ＜1，⇒0＜m ＜1.－1＜m －1＜1即实数m 的取值范围是(0,1)．课堂小结1．定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的一个必要条件，f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )∓f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)． 3．(1)若f (x )＝0且f (x )的定义域关于原点对称，则f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.。