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独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验。
二项分布前提：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X。
符号含义：p：每次试验中事件A发生的概率。
k：在n次独立重复试验中事件A发生的次数。
公式：$C_k^n p^k(1-p)^{n-k}$结论：随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率。
明确该公式中各量表示的意义：n为重复试验的次数；p 为在一次试验中某事件A发生的概率；k是在n次独立重复试验中事件A发生的次数。
判断正误1) n次独立重复试验的每次试验结果可以有多种。
×2) n次独立重复试验的每次试验的条件可以略有不同。
×3) 二项分布与超几何分布是同一种分布。
×4) 两点分布是二项分布的特殊情形。
√已知随机变量X服从二项分布，X～B(6，3)，则P(X＝2)等于$\frac{15}{64}$。
任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为$\frac{3}{8}$。
设随机变量X～B(2，p)，若P(X≥1)＝$\frac{3}{4}$，则$p=\frac{1}{3}$。
探究点1：独立重复试验的概率甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。
1) 求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率。
记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故$P(A_1)=1-P(A_0)=1-(\frac{2}{3})^3=\frac{19}{27}$。
2) 求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率。
记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A。
“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B，则$P(A_2)=C_2^2(\frac{2}{3})^2(\frac{1}{3})^0=\frac{4}{9}$，$P(B_1)=C_2^1(\frac{3}{4})^1(\frac{1}{4})^1=\frac{3}{8}$。
独立重复试验教案教学目的使学生了解独立重复试验的实际背景和能利用其法则进行实际计算．教学重点和难点独立重复试验的概念及其公式推导．(教学方法：讲练结合)教学过程1．独立重复试验的意义独立重复试验，又叫做贝努里试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，这种试验在概率论中占有相当重要的地位，因为随机现象的统计规律只有在大量独立重复试验中才能显示出来．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生；要么不发生．在一定条件下，种子要么发芽；要么不发芽．在产品抽样检查中，要么抽到合格品；要么抽不到合格品．所以在n次独立重复试验中某事件恰好发生k(k=0，1，2，…，n)次，另外(n－k)次就是某事件不发生．2．n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式．的展开式中x m的系数．因此，我们可将概率P n(m)的分布叫做二项式分布．3．举例(1)某批产品中有20%的次品，进行重复抽样检查，共取5个样品，求其中次品数等于0、1、2、3、4、5的概率．解：已知n=5 P=0.2，(2)一批产品中有30%的一等品，进行重复抽样检查，共取5个样品，求：(i)取出的5个样品中恰有2个一等品的概率是多少？(ii)取出的5个样品中至少有2个一等品概率是多少？=1－[P5(0)＋P5(1)]=1－0.52822=0.47178≈0.472(3)某厂大量生产的某种小零件，经抽查检验知道其次品率为0.3%，现把这种零件每100件装成一盒．试分别计算每盒中不含次品、恰好含1件次品、含2件次品、含3件次品、含4件次品的概率．并求一盒中至少含有3件次品的概率是多少？解：将100个零件装进盒内，可以看成是进行了100次检验零件的随机试验．在一盒中不含次品的概率同理，可算得P100(1)≈0.2228≈22%P100(2)≈0.0332≈3.3%P100(3)≈0.0033≈0.3%P100(4)≈0.0002≈0.02%．一盒中含有至少3件次品的概率为1－P100(0)－P100(1)－P100(2)≈1－0.74－0.22－0.033=0.007=0.7%．4．小结因为随机现象的统计规律一般是在大量独立重复试验中表现出来，因此利用独立重复试验公式解决应用问题具有一定的现实意义．5．布置作业(1)某一批黄豆种籽，如果每一粒发芽的概率为90%，播下5粒种籽，计算：(i)其中恰有3粒发芽的概率；(ii)其中恰有4粒发芽的概率；(iii)其中5粒都发芽的概率；(iv)其中恰有2粒未发芽的概率．(2)某仪表内装有m个同样的电子元件，其中任一个电子元件损坏时，这个仪表就不能工作．如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率是P，计算在这段时间内，这个仪表不能工作的概率．(3)两个蓝球运动员在罚球线投球的命中率分别是0.7与0.6，每人投球3次，计算两人都恰好投进2球的概率，又计算两人都至少投进1球的概率．。
2.2.3独立重复试验与二项分布学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型(重点).2.理解二项分布(重、难点). 3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题(难点).知识点1独立重复试验1.独立重复实验的定义一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复实验.2.独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率一般地，如果在1次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 【预习评价】(1)有放回地抽样试验是独立重复试验吗？(2)在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互有影响吗？提示(1)是.有放回地抽样试验是相同条件下重复做的n次试验，是独立重复试验.(2)在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互之间无影响.因为每次试验是在相同条件下独立进行的，所以第i次试验的结果不受前i－1次结果的影响(其中i＝1，2，…，n).知识点2二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.【预习评价】(1)你能说明两点分布与二项分布之间的关系吗？提示两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般形式.(2)若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，则P (X ＝2)＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233B.⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133C.C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133D.C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233题型一独立重复试验的判断【例1】判断下列试验是不是独立重复试验：(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球.规律方法独立重复试验的判断依据(1)要看该实验是不是在相同的条件下可以重复进行.(2)每次试验相互独立，互不影响.【训练1】下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标.其中是独立重复试验的是()A.①B.②C.③D.④题型二独立重复试验的概率【例2】某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率是0.5(相互独立).(1)求至少3人同时上网的概率；(2)至少几人同时上网的概率小于0.3.规律方法解答独立重复试验中的概率问题要注意以下几点：(1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n次独立重复试验；(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的并.(3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算.【训练2】甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为2 3，没有平局.(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？(2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？【例3】某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发生险情时，下列事件的概率：(1)3台都未报警；(2)恰有1台报警；(3)恰有2台报警.【迁移1】(变换所求)例3条件不变，求3台都报警的概率.【迁移2】(变换所求)例3条件不变，求至少有2台报警的概率.【迁移3】 (变换所求)例3条件不变，求至少有1台报警的概率.规律方法 利用二项分布来解决实际问题的关键(1)在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n 次独立重复试验. (2)随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布.【训练3】 100件产品中有3件不合格品，每次取一件，有放回地抽取3次，求取得不合格品的件数X 的分布列.课堂达标1.若X ～B (5，0.1)，则P (X ≤2)等于( ) A.0.665 B.0.008 56 C.0.918 54D.0.991 442.一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为( ) A.0.93B.1－(1－0.9)3C.C 35×0.93×0.12D.C 35×0.13×0.923.在4次独立重复试验中，事件出现的概率相同，若事件A 至少出现一次的概率为6581，则事件A 在一次试验中出现的概率为________.4.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________.5.在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4.现从数列{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取三次，假定每次取数互不影响，求在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率.课堂小结1.独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验中的事件是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.2.如果一次试验中某事件发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k .此概率公式恰为[(1－p )＋p ]n 展开式的第k ＋1项，故称该公式为二项分布公式.基础过关1.已知随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (ξ＝2)等于( ) A.316 B.4243 C.13243 D.802432.3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是13，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有1位同学能通过测试的概率为( ) A.827B.49C.23D.19273.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才算通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3124.某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第三次击中目标的概率为0.9；②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率为1－0.14.其中正确结论的序号为________.5.某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A 片区房源的概率为________.6.一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，求n 的最小值.7.在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23. (1)求油罐被引爆的概率；(2)若引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X ，求X 不小于4的概率.能力提升8.箱子里有5个黄球，4个白球，每次随机取出1个球，若取出黄球，则放回箱中重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在4次取球之后停止取球的概率为( ) A.35×14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49 C.C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49 D.C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫493×59 9.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{a n }，a n ＝⎩⎨⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( ) A.C 57×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫235B.C 27×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫135C.C 57×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫135D.C 27×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫23210.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P移动五次后位于点(2，3)的概率是________(用数字作答).11.甲、乙两人投篮命中的概率分别为p，q，他们各投两次，若p＝12，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于736，则q的值为________.12.一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1 3.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.13.(选做题)实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛).(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；(2)求按比赛规则甲获胜的概率.。
二项分布与n次独立重复试验的模型【知识点的知识】1、二项分布:一般地，在〃次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为P，则P（X=k）〃力攵=（）,1,2,…〃，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B（72,p）,并记（1・〃）nk=h（k,n,〃）.2、独立重复试验：（1）独立重复试验的意义：做〃次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验.（2）一般地，在〃次独立重复试验中，设事件4发生的次数为X,在每件试验中事件A发生的概率为P，那么在〃次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为。
（X=A）=C: p k（1-p）n'k,k=0,1,2,…小此时称随机变量X服从二项分布，记作X〜8（小p）, 并称p为成功概率.（3）独立重复试验：若〃次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这〃次试验是独立的.（4）独立重复试验概率公式的特点：P〃（k）=c5/'（I・p）"勺是〃次独立重复试验中某事件A恰好发生Z次的概率.其中，〃是重复试验的次数，〃是一次试验中某事件A发生的概率，左是在〃次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中小〃，左的意义，才能正确运用公式.【典型例题分析】典例1：如果C〜8（100,2），当P（C=攵）取得最大值时-，攵=50.2解：•・・C〜B（100,—2当P(g=k)= c|)k呜)1。
工端口g)叫由组合数知，当女=50时取到最大值.故答案为：50.典例2：一个盒子里有2个黑球和机个白球(”22,且加EN*),现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回.若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中.(I)求每次中奖的概率〃(用〃z表示)；(II)若m=3,求三次摸奖恰有一次中奖的概率；(III)记三次摸奖恰有一次中奖的概率为/(p),当〃z为何值时，/(p)取得最大值？解：(I)・・♦取出2球的颜色相同则为中奖，2 2・・・每次中奖的概率〃=T~^=1-m+2；C JR+2m+3m+2(11)若加=3,每次中奖的概率p=2,5・・•三次摸奖恰有一次中奖的概率为心•■1,(1-春)2=黑；J5 5 125(III)三次摸奖恰有一次中奖的概率为/(p)=C；p(l-p)2=3p3・6p2+3p(OVpVl),:.f(〃)=3(p-1)(3p-1),・•・/(〃)在(0,—)上单调递增，在(1,1)上单调递减,3 32・・〃=《时，/(p)取得最大值，即〃=$%&=23 m2+3m+23・・・加=2,即机=2时，f(p)取得最大值.【解题方法点拨】独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.。
