第16章 动力学普遍方程[16页]

t C n C
由质心运动定理
maCx = ∑ Fx , maCy = ∑ Fy
得：
3mg − sin ϕ cos ϕ = FOx 4 − 3mg (1 − 3sin 2 ϕ ) = FOy − mg 4
FOy aCy FOx
O C mg
y x
解得：
aCx
3mg FOx = − sin 2ϕ 8 mg FOy = (1 + 9sin 2 ϕ ) 4
ωB ωA
Fk
P2
vA , s
m2 g
ωD
P1
m1 g
m3g ,vE,aE
vA = ω Ar = ωB r
v A = 3vD
J P2 3 = m1 r 2 2 JB
3 vE = ω D r 4 s = 3h
1 = m1 r 2 2
3 ⎞ ⎛3 vA = ωD ⎜ r + r ⎟ 4 ⎠ ⎝2
J P1
g a = OC ⋅ α = cos ϕ 4
t C n = OC ⋅ ω 2 = aC
y x O
g sin ϕ 2
aCy
ϕ
C
将其向直角坐标轴上投影得：
3g aCx = − a sin ϕ − aC cos ϕ = − sin ϕ cos ϕ 4
t C
an
C
aCx
ω α
t aC
n
3g aCy = − a cos ϕ + a sin ϕ = − (1 − 3sin 2 ϕ ) 4
2、基本定理 1) 质点动力学(二维)
⎧ma x = ∑ Fx ⎨ = ∑ ma F y ⎩ y
2、基本定理 2) ***刚体动力学 刚体平动

(i 1,2,......... .n)
对这n个式子求和
(25.2)
iq
(F N F
i 1 i i
n
) r i 0
(25.3)
若为理想约束，由虚位移和理想约束的条件知
N r
i 1 i
n
i
0
上式变为：
(F F
i 1 i
n
iq
) r i 0或者 （F i mi ai ) r i 0 (25.4)
s
k 2 2 i i i s j 1 j s j s k i i j 1 j s j s
即
v q
r
i s
r d ( ri ) dt q
s
也可以写为
v q
r
i j
r d ri ( ) dt q
j
n
或
r q
r
i j
r d ri ( ) dt q
j
j
( j 1,2...k )
r 在任意瞬时,加速度为a
i
根据达朗伯原理，在其上加达朗伯惯性力
r r mi ai F iq
则
约束反力的合力
r rr F N F
i i
0
iq
(i 1,2,......... .n)
(25.1)
达朗伯惯性力
作用于此质点上 的主动力的合力
点积虚位移 ri
( F i N i F iq) r i 0
对时间求导
得到
q
vi
j

q
ri
j
或
q ri
j
( j 1,2...k )

C
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F

解：（1）研究M （2）受力分析如图：
拉力F，重力mg （3）运动分析：M在平面上
作圆周运动，a , an , v
速度沿M点切线方向
大家好
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
40
（4）建立运动微分方程并求解 因M点的轨迹已知为圆周，故可采用自然
坐标形式的运动微分方程
m
dv dt
F
0
m
v2 r
Fn
FT
sin 600
0
Fb
mg
FT
动力学基本方程
一、绪论：
1.研究对象
动力学是研究物体机械运动状态的变化与 作用于物体上的力之间的关系的一门学科，将 物体的运动和力加以统一考虑，研究机械运动 所具有的普遍规律。
大家好
1
2.动力学与静力学，运动学之间的关系
静力学——只研究物体的力系的合成与平衡问题， 不考虑其运动，即不考虑力系的不平 衡状态。
大家好
23
特殊形式：质点沿平面曲线运动：
z 0, z o, z 0 FZ O
质点沿直线运动：（力系在y，z方向上均平衡）
y 0, z 0 Fy 0, Fz 0
大家好
24
（4）自然轴（坐标）形式的运动DE 若已知质点运动的轨迹，则可将矢量形式
的运动微分方程两端的投影到自然坐标轴。
利用以上三种形式的直线运动微分方程， 原则上就能解决有关质点运动学的所以问题， 至于在具体应用时宜选取什么形式的运动微分 方程，则需要根据具体的问题而定。
大家好
27
质点动力学的问题分为两类：
第一类问题:（微分问题） 已知质点的运动，即已知质点的运动方程，
或已知质点在某瞬时的速度或加速度，求作用于 质点的未知力。

− ( P + FgA )∆v A + ( P2 − FgB )∆vB + ( M − M gC )∆ϕ C − M gD ∆ϕ D = 0 & & 1 P P 1 即 − ( P + a A )∆v A + ( P2 − 1 a A )∆v A + 1 g g Qr ∆v Qr ∆v (M − aA ) A − aA ⋅ A = 0 8 2g r 2g r
碰撞后，正方形作平面运动，设质
投影，有
u A = uC + u AC u Ax = uCx + u AC cos 45°
u Ay = uCy − u AC sin 45°
其中 u AC 2 = bω ' 2
（e）
(f)
18
将式（c）、（f）代入（e），解得 uCx=-0.5bω′， uCy= v1+0.5bω′ ∆uCx=-0.5b∆ω′， ∆uCy= 0.5b∆ω′ (3)受力分析 重力非碰撞力，可忽略。角A承受碰 撞力，对应为Sx、 Sy 。 (4)建立碰撞过程的动力学方程 本题为刚体的平面运动，只有一个 刚体（i=1），由式(3.2.13) 得:
所以式（A）为
d ∑[mO (Fi ) − dt LOi ]⋅ ∆ω = 0 i=1
动量矩 在t——t+τ 时间内积分，得
n
n
(3.2.7)
∑[m
i=1
O
(Si ) − (LOi − lOi )]⋅ ∆ω = 0
t +τ
(3.2.9)
这就是用动量矩和冲量矩表述的动力学方程。其中：
冲量矩 mO(Si ) = ∫ mO(F )dt i
u By − u Ay u Bx − u Ax kx = , ky = v Ax − vBx v Ay − vBy

动力学普遍方程的直角坐标形式
[(F
i
ix
mi xi ) δxi (Fiy mi yi ) δyi (Fiz mi zi ) δzi ] 0 i 1, 2, , N
动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于 具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于 具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有 无势力的系统。
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A ae C2
D
2 ar B
求：1、三棱柱后退的加速度a1； OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为ar；圆轮的角加速度为2。
N N ri ri d d ri mi ri mi (ri ) mi ri ( ) q j i 1 dt q j dt q j i 1 i 1 N
N r ri d i r r ( ) mi ri d ri i mi i ri dt q q i 1 i 1 j j dt q q q N
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FRi mi ai 0

即为系统的运动微分方程。
a A = x′′ A ′′ aC = xC
Mg − 3 f s mg M − 3 f s m g = = M + 3m M + 3m M + 2m − f s m = g M + 3m
讨论： （1）只有 M − 3 f s m > 0 时符合题意。 若 M − 3 f s m ≤ 0 ，则
∂ ri δ ri = ∑ δ qj j =1 ∂ q j 代入动力学普遍方程，可得
k
n k
虚位移：
(i = 1, 2,L , n )
（16-4）
∂ ri ∑ (Fi − m ai ) ⋅ ∑ ∂ q δ q j = 0 i =1 j =1 j
（16-5）
∑
j =1
k
n ∂ri ∑ Fi ⋅ i =1 ∂q j
拉格朗日变换式： （1）速度对广义速度的偏导数
∂ri ∂ri ∂ri ∂ri ′ ′ ′ vi = ri′ = q1 + q2 + L + qk + ∂q1 ∂q2 ∂qk ∂t
∂ ri ∂ ri 、 中不包括广义速度， ∂qj ∂t 该式两端对 q ′j 求偏导数
∂ vi ∂ ri = ∂ q′j ∂ q j
Mg δxC − FS δx A − FIA δx A − FIC δxC − M IC δϕ = 0
′′ Mgδ xC − FS δ x A − mx′′δ x A − MxCδ xC A 1 1 ′′ − Mr ( xC − x′′ ) ⋅ (δ xC − δ x A ) = 0 A 2 r 1 ′′ ′′ A Mg − MxC − 2 M ( xC − x′′ ) δ xC

将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FRi mi ai 0
主动力
(i 1, 2, , N )
惯性力
令系统有任意一组虚位移
δri
系统的总虚功为
(i 1,2, , N )
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC
x
R
例 题 2
离心调速器
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。
O1 l l FIA m1g l
C
如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求 导数，则得到
d ri dt q j
2 N 2 ri ri k q q t k 1 q j qk j
ri q j
＝
d ri dt q j

第二个拉格朗日关系式
N
ri d T mi ri q j dt i 1 q j
N
T q j
Q j mi ri
i 1
N
ri 0 ( j 1, 2, q j
, n)
ri d T mi ri q j dt i 1 q j
a1
C1
x
解：2、施加惯性力
y
A x OC a1
FI 2 r
MI2
D C2
m2 g FI 2 e
FI1 m1a1

ai
xi , yi , zi ,
δ
ri
δ
xi ,δ
yi ,δ
zi
动力学普遍方程的直角坐标形式
(Fix mi xi ) δ xi (Fiy mi yi ) δ yi (Fiz mi zi ) δ zi 0
i
i 1,2, ,n
动力学普遍方程的意义和应用
动力学普遍方程是将达朗伯原理和虚位移原 理而得到的，可用来求解质点系的动力学问题。
Qk 称为与第j个广义坐标 qk 对应的广义主动力
特别地：有势力的广义力
Qk＝－
V qk
在势力场中，对应于第 j个广义坐标 qk 的广义力等
于系统势能对于这一广义坐标的偏导数的负数。
三、拉格朗日方程
Qk＝
d dt
T ( qk
)－
T qk
对于主动力为有势力的情况，拉格朗日方程可改写为：
d ( L )－ L ＝0 dt qk qk
利用理想约束条件
i
FNi δ ri 0 (i 1,2, , n)
i
得到
(Fi FIi ) δ ri 0 (i 1,2,, n)
i
(Fi FIi ) δ ri 0 (i 1,2,, n)
i
注意到：
FIi mai
动力学普遍方程
(Fi mi ai ) δ ri 0 (i 1,2, , n)
由n个质点所 组成的质点系
主 动 力 F1, F2 , , Fn
质点位置坐标 x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 , , xn , yn , zn ,
广义坐标
q1, q2 , , qN
第i个质 点的位矢
虚位移
N 3n S

理论力学
动力学普遍定理在求解具体问题时，同一个问题，有时可以分别用几个定理求解， 有时需要几个定理联合求解。在应用时主要有两个问题应当深入讨论：
（1）如何根据问题的条件恰当地选用定理； （2）如何应用若干个定理联合求解。
每个动力学普遍定理都只建立了某种运动特征量和某种力的作用量之间的关系。例 如，动量定理（质心运动定理）建立了动量和外力之间的关系，动量矩定理建立了动 量矩和外力矩之间的关系，动能定理建立了动能与力的功之间的关系等。
例11-12 质量为 m1和 m2 的两重物 M1 和 M2 ，分别挂在两根绳子上，绳子又分别绕在半径为
r1 和 r2 的两个固连在一起的同轴鼓轮上，如图 11-29（a）所示。已知鼓轮的总转动 惯量为 J，求鼓轮的角加速度。
解 （1）选鼓轮、绳子、两个重物组成的系统为研究对象。
（2）画出外力的受力图，如图11-29（b）所示。
T2 V2 T1 V1 0
设在终了位置时滑块A的速度为vA ，小球B的速度为 vB ，方向如图1130（b）所示，于是有
T2
1 2
P1 g
vA2
1 2
P2 g
vB2
V2 P2l
代入机械能守恒定理得
1 2g
(P1vA2
P2vB2
)
P2l
0
（a）
式（a）中有两个未知量 vA 和 vB ，不可能解出。这表明本题仅用一个定理不能求 解，应当再应用其他定理写出其他方程。从系统外力的受力图可看出一个特点，即 外力在水平轴 Ox 上的投影恒等于零，因此有沿轴 Ox 方向的动量守恒。考虑到初 始时系统处于静止，因此有
对于复杂的动力学问题，或要求未知量个数较多时，只用一个定理不能求得全部结 果，这时必需适当地选用若干个定理，联合求外力在某轴上的投影恒为零 时，可选用动量守恒定理求解；外力对某点或某轴之矩恒等于零时，适合应用动量矩 守恒定理求解；系统上做功的力皆为有势力时，适合用机械能守恒定理求解。下面举 例说明。

1 2 1 2 T mvC J C 2 2
r C
1
v0
C2
πｒ
正确计算刚体平面运动的动能!
y A
墙面

vA l,m B x O
长度为l ，质量为m的均质杆件AB， 杆件两端A和B分别沿光滑的墙面和 地面滑动，A端的速度为vA。
地面
系统动能？
TAB
1 1 2 mvA J A 2 2
ac
J A A FR
√
研究对象的选择？
A
aA
F N
FOy
F
B
Ox
？ ma A FT W sin F J A A FR ？
√
ac
aA
例题
已知：如图所示质量为m， 杆长为2l的均质细杆、静止 直立于光滑水平面上。当 杆受微小干扰而倒下； 求：当杆运动到与地面夹角 为θ 时的角速度、角加速度 和地面对杆的约束力。
动量定理、动量矩定理一般限于研究物体机 械运动范围内的运动变化问题。
dp dt
F
i
e
i
d LO M O ( Fi e ) dt
动能定理可以用于研究机械运动与其他运动 形式之间的运动转化问题。
T2 T1 W12
动量定理、动量矩定理的表达式为矢量形式， 描述质点系整体运动时，不仅涉及有关运动量的 大小，而且涉及运动量的方向。
（3）均质圆柱体A与地面的摩擦力。
解：（1）重物C从静止开始下降h时的速度和加速度； 研究对象？受力分析？ 运动分析？ 动力分析？
FOy FOx F
T2 T1 W12
mgh mghcos60
N
？
T1 0

2
6

(1)
m1 x
x

1 2
m1Rx
x R

m2 x
x

m21
L 2
cos
x

m2
2
L 2
sin
x

0
(
3 2
m1

m2 )x
m2
L 2
cos
m2
L 2
sin
2

0
(2)
9
x
A
FIA m1g
FICy
x
A x
FICx
m2 g
B M IC
分析力作用点的虚位移
xC

x

L 2
sin
yC

L 2
cos

xC

x
L 2
cos

yC


L 2
sin
C
代入动力学普遍方程
FIA
x

M IA
x R

FICx
xC

(m2 g

FICy )
FAIx M BI FCIrC MCI mgrC 0
[ [
5
2 5
2
aA aA

RC RC

g]mx
g] 0

[aA [aA

3
2 3
2
RC RC

g]mR 0
aA 2g
g] 0 C 6g
/11 / 11R

L 2

m 2 x cos

动力学普遍方程动力学普遍方程是物理、化学和力学中最重要的方程之一，也是实现科学发展的重要基础，已经被广泛应用于量子理论、宇宙学等各类领域。

它是由荷兰物理学家和数学家伊万贝尔里森（J.berl Linsen）于1759年提出的，有着非常深厚的数学原理，能够描述物理系统和星体系统的运动状况，甚至解释宇宙的演化过程。

动力学普遍方程有4个基本原则：物理定律、能量守恒定律、动量守恒定律和力学定律。

物理定律是动力学普遍方程的根本原则，它规定了物理系统对外界力的反作用，即受到外力辐射时会产生力，用公式表示为F=-ma，F表示反作用力，m表示物体质量， a表示物体受力大小。

能量守恒定律规定了系统的动能的变化，即受到外力辐射时，系统的动能有增加和减少两种可能，其中W表示动能，t表示时间，F表示受力，X表示力的作用点。

动量守恒定律规定了物体移动时的动量变化，公式为P=mv，P表示动量，m表示物体质量，v表示物体的速度。

力学定律规定了力学系统的变化，即受力时会发生力学反作用，此时力学系统的力学能量发生变化，公式为E=Fx，E表示力学能量，F表示受力，X表示力的作用点。

动力学普遍方程的研究与实验表明，每个力学系统都有其传统运动定律，这些定律构成了传统动力学解释体系。

然而力学系统的复杂性以及运动定律在处理系统中的复杂结构时出现不一致性问题，因此这类问题只能通过动力学普遍方程来解决。

传统动力学体系是特定力学系统描述运动规律的结构，而动力学普遍方程则是推广应用于不同类型系统的方程。

动力学普遍方程的重要性不仅仅体现在理论领域，而且在工程领域的应用也非常广泛，如机械计算、机械制造、航空航天等，通过动力学普遍方程能够发现和解释机械装置、结构件的运动状态，建立运动的数学模型，从而分析系统的稳定性、性能特性等。

有助于实现设备更高的精确性和稳定性，减小系统能量损耗，有利于科学研究和工程应用。

由于动力学普遍方程涉及到力学、物理和数学等多个学科，对学习者的理解有一定的要求，要想深入学习，就必须具备较强的数学技能，掌握物理和力学知识。

描述了物体运动的基本 规律和原理。
2 质点的运动定理
用于描述单个质点的运 动和力学特征。
3 系统动力学定理
用于描述系统的整体运 动及其相互作用。
普遍方程
运动方程的一般形式
描述物体运动的数学方程。
欧拉-拉格朗日方程
描述质点和系统的力学行为。
哈密顿方程
用于描述力学系统中的能量 和动力学特征。
应用案例
理论力学动力学普遍定理 与普遍方程
在这个演示中，我们将介绍理论力学动力学的普遍定理与普遍方程，并探讨 它们在应用中的重要性和实际应用。欢迎加入我们的学习旅程！
基本概念介绍
力学动力学的定义和作用
解释为物体的运动提供了理论和数学工具。
理论力学的概念
研究力、运动和力学原理的科学分支。
普遍定理
1 动力学的基本定理
1
常见力学动力学问题
探索常见力学问题背后的原理。
2
基于普遍定理与普遍方程的分析
通过应用普遍定理和方程，解决复杂的力学问题。
3
实际应用与工程中的应用实例
展示力学动力学在实际工程中的应用案例。
总结
重点回顾普遍定理和普遍方程
强调普遍定理和方程在理论力学动力学中的重要性。

从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 而首先要讨论
的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此
推导出来的其它一些定理)。
1
2
它们以简明的数学形式，明确的物理意义， 表明两种量 — — 一种是运动特征量(动量、动量矩、动能等)，一种是力的作 用量(冲量、力 矩、功等) —— 之间的关系，从不同侧面对物体 的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解 答动力学问题非常方便简捷 。
由微分形式： dP Fiedt dIie
质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。
P2 P1 Iie
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上 的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和．
1
11
③ 投影形式：
dKx
dt
Xi e
dKy
dt
Yi e
dKz
积分：
t2
mv2 mv1 F dt S
即：在某一时间间隔内，动t1量的增量等于力在该时间内的冲量。
1
9
③投影形式： d ( mv ) X
dt x
t2
mv2x mv1x Ix Xdt
对x、y轴同样有。
t1
④质点的动量守恒
若 F 0 ，则 mv 常矢量，质点作惯性运动
若 XFx 0 ，则 mvx 常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动
系，则质心坐标：
xC
mi
M
xi
,
yC
mi
M
yi
,
zC
mi
M
zi
1
21①Βιβλιοθήκη 点系运动时，xi、yi、zi是变量，因而xC、yC、zC一般也是 变量；

图15-2
yB (xA xB) tan
（a）
两边对时间 t 求二阶导数，且计得 xB 常数，可得
yB xA tan
（b）
在A三角块、BC杆上分别加惯性力，其大小各为
FI A
PA gxAFFra bibliotek BPB g
yB
各惯性力的方向分别与各自加速度方向相反，如图15-2所示。
（3）给系统以虚位移。沿运动方向给各重物虚位移，它们之间的几 何关系可由对约束方程（a）求一阶变分得到
③ 如果 F f (PA PB) PB tan ， xA 0 。
（e） （f）
理论力学
（i）
例15-2
重量为 PA ，斜角为 的三角块 A 可沿水平面移动，重量为 PB 的
直杆 BC 可沿铅直滑槽上下滑动，如图 15-2 所示。假设三角块 A 与 水平面间的摩擦因数为 f，其余各处表面为光滑的。试分析三角块 A 在水平力 F 作用下的加速度。
解 （1）选研究对象，分析力。选整个系统为研究
位移上的元功之和等于零。将 Fi，ai， ri 的矢量表达式 Fi Fixi Fi y j Fizk ，
a i xi i yi j zi k ，ri xi i y j j zi k ( i 1，2，…，n)代入式（15-1），则可得到动
力学普遍方程式（15-1）的解析表达式
n
[(Fix mi xi) xi (Fi y mi yi) yi (Fiz mi z i) z i] 0
移原理，则有
n
(Fi FNi FIi) ri 0
i 1
利用理想约束条件 得到
n
FNi ri 0
i 1
n
(Fi FIi) ri 0