2019届湖北省武汉市新洲区部分高中高三上学期期末数学(理)试题

2019年高三上学期期末考试理科数学含答案本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.复数等于A. B. C. D. 2.设非零实数满足，则下列不等式中一定成立的是 A. B. C. D. 3.下列极坐标方程表示圆的是A. B. C. D.4.阅读如右图所示的程序框图，如果输入的的值为6，那么运行相应程序，输出的的值为A. 3B. 5C. 10D. 16 5. 的展开式中的常数项为A. 12B.C.D.6.若实数满足条件20,0,3,x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则的最大值是 A. B. C. D.7.已知椭圆:的左、右焦点分别为，椭圆上点满足. 若点是椭圆上的动点，则的最大值为A. B. C.D. 8.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个开始 结束输入n 输出n i =0n 是奇数n =3n +1i<3i =i +12nn =是否数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有A.50种B.51种C.140种D.141种二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知点是抛物线:的焦点，则_______.10.在边长为2的正方形中有一个不规则的图形，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积.若在正方形中随机产生了个点，落在不规则图形内的点数恰有xx个，则在这次模拟中，不规则图形的面积的估计值为__________.11.圆:（为参数）的圆心坐标为__________；直线:被圆所截得的弦长为__________.12.如图，与圆相切于点，过点作圆的割线交圆于两点，，，则圆的直径等于______________.13. 已知直线过双曲线的左焦点,且与以实轴为直径的圆相切,若直线与双曲线的一条渐近线恰好平行，则该双曲线的离心率是_________.14. 已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示.（1）若该四棱锥的左视图为直角三角形，则它的体积为__________；（2）关于该四棱锥的下列结论中：①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；③四棱锥中不．可能存在四组互相垂直的侧面.所有正确结论的序号是___________.三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

湖北省部分重点中学2018-2019学年度上学期新高三起点考试理 科 数 学 试 卷命题人： 武汉开发区一中一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合A ={x |x 2−3x +2≥0}，B ={x |log 3(x +2)<1},则A ∩B =( ) A. {x |−2<x <1} B. {x |x ≤1或x ≥2} C. {x |x <1} D. ∅ 2．已知复数z 满足(z −i )⋅(1+i )=2−i ，则 z ⋅z =（ ） A. 1 B. 12 C.√22D. √23．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 4=20，a 5=10，则a 16=（ ）A. −32B. 12C. 16D. 324．已知命题p ：∃x ∈R ，3x <x 3，那么命题¬p 为（ ）A.∀x ∈R ，3x <x 3B.∃x ∈R ，3x >x 3C.∀x ∈R ，3x ≥x 3D.∃x ∈R ，3x ≥x 3 5．已知函数f (x )=(e x +e −x )ln1−x 1+x−1，若f (a )=1，则f (−a )=（ ）A. 1B. −1C. 3D. −36．执行程序框图，假如输入两个数是S =1、k =2，那么输出的S =( )A. 1+√15B. √15C. 4D. √17 第11题图7．有4位游客来某地旅游，若每人只能从此地甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为( ） A. 34 B. 916 C. 89 D. 498．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)（ω>0，|φ|<π2），其图象相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数y =f(x)的图象向左平移3π16个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y =f(x)的图象（ ）1S S k k=-+A. 关于点(−π16,0)对称 B. 关于点(π16,0)对称C. 关于直线x =π16对称 D. 关于直线x =−π4对称9．已知x,y 满足约束条件{x −1≥0x −y ≤0x +y −m ≤0 ，若yx+1的最大值为2，则m 的值为( )A. 4B. 5C. 8D. 910．已知两点A (a,0),B (−a,0)(a >0)，若圆(x −√3)2+(y −1)2=1上存在点P ，使得∠APB =90°，则正实数a 的取值范围为（ ）A. (0,3]B. [1,3]C. [2,3]D. [1,2]11．已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且2AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）A.53B.C. D. 9412．己知函数f (x )=x e x，若关于x 的方程[f (x )]2+mf (x )+m −1=0 恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( ）A. (−∞,2)∪(2,+∞)B. (1−1e ,+∞) C. (1−1e ,1) D. (1,e ) 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．(x 2+2x)5的展开式中x 4项的系数为_______．14．函数f(x)=2sin(π4−x)cos(π4−x)+√3sin2x 的最小正周期为___________．15．如图所示，圆O 及其内接正八边形．已知 OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =e 1⃑⃑⃑ ，OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =e 2⃑⃑⃑ ，点P 为正八边形边上任意一点，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λe 1⃑⃑⃑ +μe 2⃑⃑⃑ ，λ、μ∈R ，则λ+μ的最大值为_____________________．第15题图 第16题图16．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为__________．BAOP三、解答题（共70分。

参考答案ABDCDCDB BBBC13.4014.15．16．17．解：（1）；，不满足上式，所以数列是从第二项起的等比数列，其公比为2； 所以.………………6分 （2）当时，， 当时，，，时也满足，综上………………12分 18．解：（1）证明：取中点，连， ∵， ∴，，∵∴面，又∵面，∴………………4分 （2）∵，，，∴是等腰三角形，是等边三角形，∵2AB PB BD ===，∴，. ∴222BD MB MD =+，∴以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，………………6分 则，，，从而得，(1,DC AB ==，()10,1B C A D ==设平面的法向量 则11•0{•0n DP n DC==，即11110{0x z x -=+=，∴(13,1,n =-，设平面的法向量， 由22•0{•0n BC nBP ==，得22220{x z x +=-=，∴1212•1cos<,7n n n n n n ==> 4sin 1cos ,n n α<>=-=分记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件.则22322245()41(|)()164C C P AB P B A P A C C +====+………………6分 (2)由题可知，数学核心素养一级的学生为:，非一级的学生为余下4人 的所有可能取值为0,1，2，3.031264643310102131646433101013(0),(1)301011(2),(3)26C C C C P X P X C C C C C C P X P X C C ============………………10分………………12分20．解：（1）设直线，代入得：设，则； 由得：线段中点222(,)2121km mD k k -++,因为为的重心，所以11()22AB OCAB OD k k k k k k ==⨯-=-为定值.………………6分点差法求证相应给分. （2）设，则代入得，又，原点到的距离于是所以（定值）.………………12分21．解：（Ⅰ）()21212(0).ax f x ax x -=-=>'………………1分<0，在内单调递减.………………2分 由=0有x =. 当（时，<0，单调递减； 当+)∞时，＞0，单调递增.………………4分 （Ⅱ）11()x x e x g x xe ---=令= ，则=.当时，＞0，所以单调递增，又，， 从而时，=＞0.………………7分 （Ⅲ）由（Ⅱ），当时，＞0.当，时，= ()21ln 0a x x --<.故当＞在区间内恒成立时，必有.………………8分1. 由（Ⅰ）有()10f f <=,而0g >，所以此时＞在区间内不恒成立.………………10分当时，令= （）.当时，=122111112e xax x x x x x x --+->-+-=322221210x x x x x x -+-+>>. 因此，在区间单调递增.又因为=0，所以当时，= ＞0，即＞恒成立. 综上，1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，.………………12分 22．解： （Ⅰ）由，得，故直线的普通方程为，由，得， 所以，即，故曲线的普通方程为.………………5分则，所以的取值范围是.………………10分 23．解：（Ⅰ）当时，知21(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，不等式 等价于 1212x x x <-⎧⎨-+>+⎩或1232x x -≤<⎧⎨>+⎩或2212x x x ≥⎧⎨->+⎩解得： 故原不等式的解集为.………………5分 （Ⅱ），当时取等号.若关于的不等式的解集不是空集，只需 解得，即实数的取值范围是………………10分。

湖北省部分重点中学2019届高三上学期第二次联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合},|{},022|{2A x x y y B x x Z x A ∈==≤+-∈=，则集合B 的子集的个数为（ ） A ．7 B ．8 C ．15 D ．162.若复数i a a a z )2()6(2-+-+=为纯虚数（i 为虚数单位），则||z 等于（ ） A ．5 B ．0 C ．0或5 D ．13.以下判断正确的个数是（ ）①“1||||≤+y x ”是“122≤+y x ”的必要不充分条件.②命题“01,2<-+∈∃x x R x ”的否定是“01,2≥-+∈∀x x R x ”. ③相关指数2R 的值越接近1，则变量之间的相关性越强.④若回归直线的斜率估计值是25.2，样本点的中心为)5,4(，则回归直线方程是425.2-=∧x y . A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.已知平面向量→→b a ,满足32||,3||==→→b a ，且→→+b a 与→a 垂直，则→a 与→b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3πC. 32π D ．65π5.已知实数b a ,是利用计算机产生1~0之间的均匀随机数，设事件"41)1(:"22>+-b a A ，则事件A 发生的概率为（ ） A ．16π B ．161π- C. 4πD ．41π- 6.已知数列}{n a 的首项31=a ，对任意*,N n m ∈，都有n m n m a a a +=⋅，则当1≥n 时，=+++-1233313log log log n a a a （ ）A ．)12(-n nB ．2)1(+n C. 2n D ．2)1(-n 7.阅读如下图所示的程序框图运行相应的程序，则输出的结果是（ ）A ．23-B ．1- C. 21D ．08.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）A ．316π B ．38π C. π34 D ．π39.函数|sin |||ln )(x x x f +=（ππ≤≤-x 且0≠x ）的图象大致是（ ）A ．B ． C. D ．10.已知函数)0(sin )42(cos sin 2)(22>--=ωωπωωx x x x f 在区间]65,32[ππ-上是增函数，且在区间],0[π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．]53,0(B ．]53,21[ C. ]53,21( D ．),21(+∞11.如图，已知抛物线x y 282=的焦点为F ，直线l 过点F 且依次交抛物线及圆2)22(22=+-y x 于D C B A ,,,四点，则||4||CD AB +的最小值为（ ）A ．23B ．25 C. 213 D ．21812.定义在R 上的函数⎩⎨⎧<≤<≤-=10,01,)(2x x x x x f ，且21)(),()2(-==+x x g x f x f ，则方程)()(x g x f =在区间]9,5[-上的所有实数根之和最接近下列哪个数（ ） A ．14 B ．12 C. 11 D ．10第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤k y y x x y 6，且y x z +=3的最小值为8-，则=k ．14.已知⎰-=1123dx x a ，则5)1(+ax 的展开式中3x 的系数为 ．15.双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 虚轴的一端点为21,F F B 、为双曲线的左、右焦点，线段2BF 与双曲线交于点→→=22,AF BA A ，则双曲线C 的离心率为 ． 16.在锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2cos sin 3,sin 3sin 32cos cos =+=+B B CAc C b B ，则c a +的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，点))(,(*N n S a n n ∈在直线022=--y x 上. （1）求证：数列}{n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）设直线n a x =与函数2)(x x f =的图象交于点n A ，与函数x x g 2log )(=的图象交于点n B ，记→→⋅=n n n OB OA b （其中O 为坐标原点），求数列}{n b 的前n 项和n T .18. 如图（1），等腰直角三角形ABC 的底边2=AB ，点D 在线段AC 上，AB DE ⊥于E ，现将ADE ∆沿DE 折起到PDE ∆的位置（如图（2））（1）求证：DE PB ⊥；（2）若BE PE ⊥，直线PD 与平面PBC 所成的角为 30，求平面PDE 与平面PBC 所成的锐二面角的正弦值.19. 菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但蔬菜上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x （单位：千克）清洗蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y （单位：微克）的统计表：（1）在下面的坐标系中，描出散点图，并判断变量x 与y 是正相关还是负相关；（2）若用解析式d cx y +=∧2作为蔬菜农药残量∧y 与用水量x 的回归方程，令2x w =，计算平均值-w 与-y ，完成以下表格（填在答题卡中），求出∧y 与x 的回归方程.（d c ,保留两位有效数字）；（3）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请评估需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？（精确到1.0，参考数据236.25≈）（附：对于一组数据),(),......,,(),,(2211n n v u v u v u ，其回归直线u v βα+=的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：-∧-∧=-=--∧-=---=∑∑u v u uv v u uni ini i iβαβ,)())((121）20. 设)0,1(),0,1(),0,2(C B A --，动圆D 与x 轴相切于A 点，如图，过C B ,两点分别作圆D 的非x 轴的两条切线，两条切线交点为P .（1）证明：||||PC PB +为定值，并写出点P 的轨迹方程； （2）设动直线l 与圆122=+y x 相切，又l 与点P 的轨迹交于N M ,两点，求→→⋅ON OM 的取值范围.21. 已知函数)(21)(,ln )(22R m x mx x g mx x x f ∈+=-=，令)()()(x g x f x F +=. （1）当21=m 时，求函数)(x f 的单调递增区间； （2）若关于x 的不等式1)(-≤mx x F 恒成立，求整数m 的最小值； （3）若2-=m ，正实数21,x x 满足0)()(2121=++x x x F x F ，证明：21521-≥+x x .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程曲线⎩⎨⎧==t y tx C sin cos :1（t 为参数），将曲线1C 上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到曲线2C . （1）求曲线2C 的普通方程； （2）若过点)0,1(M ，倾斜角为3π的直线l 与曲线2C 交于B A ,两点，求||||MB MA +的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数|12||12|)(++-=x x x f . （1）求函数)(x f 的最小值m ； （2）若正实数b a ,满足311=+b a ，求证：m ba ≥+2221.湖北省部分重点中学2019届高三上学期第二次联考数学（理）试题答案一、选择题1-5:BACDB 6-10:CDACB 11、12：CA 二、填空题13. 2- 14. 80 15. 210 16. ]3,23( 三、解答题17.（1） 点),(n n S a 在直线022=--y x 上，022=--∴n n S a ① （i ）当1=n 时，2022111=∴=--∴a S a .（ii ）当2≥n 时，02211=--∴--n n S a ② ①-②12-=∴n n a a 即21=-n na a . ∴数列}{n a 是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由已知),2(),4,2(n B A n n n n nn n n n n n b OB OA b 4)1(+=∴⋅=→→984)923(1-⋅+=∴+n n n T .18.（1）⊥∴=⋂⊥⊥DE E BE PE BE DE PE DE ,, 平面PBE 又⊂PB 平面DE PB PBE ⊥∴（2）由（1）知EB DE PE DE ⊥⊥,，且BE PE ⊥，所以PE BE DE ,,两两垂直.分别以→→→EP EB ED ,,的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设)10(||<<=a a PE ，则),0,0(),0,0,(),0,0,(),0,2,0(a P a C a D a B -，可得)0,1,1(),,2,0(-=--=→→BC a a PB设平面PBC 的法向量为),,(z y x n =→，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→0n BC n PB 所以⎩⎨⎧=-=--00)2(y x az y a ，取)2,,(a a a n -=→直线PD 与平面PBC 所成的角为30，且),0,(a a PD -=→22222)2(2|)2(|30sin a a a a a a a -++⋅--=∴2=∴a （舍）或52=a )58,52,52(=∴→n 又取平面PDE 的法向量为)0,1,0(=→m设所求锐二面角为θ，则62cos =θ，所以634sin =θ.19.（1）负相关.（含散点图） （2）38,11==--y w0.2374751145)2()7()10()28(14)9(51)2(16)7(201022222≈-=++-+-+--⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=c600.2600.2,6011)374751(382+-=+-=≈⨯--=-=∧--x w y w c y d .（3）当20<∧y 时，5.452,20600.22≈><+-x x∴为了放心食用该蔬菜，估计需要5.4千克的清水清洗一千克蔬菜.20.（1）4||||=+PC PB 点P 的轨迹方程)2(13422±≠=+x y x （2）（i ）当直线l 斜率不存在时，1:±=x l ，不妨设)23,1(),23,1(-N M ，则45-=⋅→→ON OM（ii ）当直线l 斜率存在时，设m kx y l +=:，即),(),,(.02211y x N y x M m y kx =+-因为直线l 与单位圆相切，则11||2=+k m 得122+=k m .①由⎩⎨⎧+==+m kx y y x 124322，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+∴=-+++34124348,01248)34(2221221222k m x x k km x x m kmx x k 2121y y x x ON OM ⋅+⋅=⋅→→3412127)()1()()(2222212122121+--=+++⋅+=+⋅++⋅=k k m m x x km x x k m kx m kx x x ② ②代①)3411(4534)1(545222++-=++-=⋅→→k k k ON OM )45,35[3342--∈⋅∴≥+→→ON OM k（iii ）当m kx y l +=:过点)0,2(-或)0,2(时，33±=k ， 即)2(33+=x y 或)2(33--=x y 则1320-=⋅→→ON OM 综上：]45,1320()1320,35[--⋃--∈⋅→→ON OM .21.（1）)0(11)(,0,21ln )(22>-=-='>-=x xx x x x f x x x x f 由0)(>'x f ，得012>-x ，又0>x ，所以10<<x ，所以)(x f 的单增区间为)1,0(.（2）令1)1(21ln )1()()(2+-+-=--=x m mx x mx x F x G ，所以xx m mx m mx x x G 1)1()1(1)(2+-+-=-+-='.当0≤m 时，因为0>x ，所以0)(>'x G ，所以)(x G 在),0(+∞上是递增函数，又因为02231)1(1211ln )1(2>+-=+-+⨯-=m m m G ，所以关于x 的不等式1)(-≤mx x G 不能恒成立.当0>m 时，xx m x m xx m mx x G )1)(1(1)1()(2+--=+-+-='. 令0)(='x G ，得m x 1=，所以当)1,0(m x ∈时，0)(>'x G ；当),1(+∞∈mx 时，0)(<'x G .因此函数)(x G 在)1,0(m x ∈是增函数，在),1(+∞∈mx 是减函数. 故函数)(x G 的最大值为m mm m m m m m G ln 2111)1()1(211ln )1(2-=+⨯-+⨯-=. 令m m m h ln 21)(-=，因为02ln 41)2(,021)1(<-=>=h h . 又因为)(m h 在),0(+∞∈m 上是减函数，所以当2≥m 时，0)(<m h . 所以整数m 的最小值为2.（3）当2-=m 时，0,ln )(2>++=x x x x x F 由0)()(2121=++x x x F x F ，即0ln ln 2122221211=++++++x x x x x x x x 从而)ln()()(212121221x x x x x x x x ⋅-⋅=+++ 令21x x t ⋅=，则由t t t ln )(-=ϕ得，t t t 1)(-='ϕ 可知)(t ϕ'在区间)1,0(单调递减，在区间),1(+∞上单调递增，所以1)1()(=≥ϕϕt ， 所以1)()(21221≥+++x x x x .即21521-≥+x x 成立. 22.（1）曲线1C 的方程122=+y x .在曲线2C 上任取一点),(y x ，设其在曲线1C 的对应点为),(11y x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∴⎩⎨⎧==32321111y y x x y y x x 代入12121=+y x ，则13422=+y x （2）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23211代入124322=+y x ，则012452=-+t t 设点B A ,对应的参数分别为51254,,212121-=⋅-=+t t t t t t ，则516||||||21=-=+t t MB MA . 23.（1）2|)12()12(||12||12|=+--≥++-x x x x 当且仅当2121≤≤-x 时，等式成立. （2）222)11()211()21(b a b a +≥+⋅+则22122≥+ba 当且仅当ab 2=时取，等号成立.。

湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.己知集合A={x|-3<x<1}，B={x|x2-2x<0}，则AUB=( )A. {x|0<x<1}B. {x|0<x<l}C. {x|-3 <x<2)D. {x|-3<x<2}【答案】D【解析】由题意，集合，所以，故选D.2.命题“x∈[1，2]，x2-3x+2≤0”的否定为( )A. x∈[1,2]，x2—3x+2>0B. x[1,2]，x2—3x+2>0C. x o∈[1,2],x o2-3x o +2 >0D. x o[1,2]，x o2-3x o+2 >0【答案】C【解析】由题意可知，命题“”的否定为“”，故选C.3.化简√1+2sin（π-2）- cos(π-2)得( )A. sin2+cos2B. cos2 - sin2C. ±cos2 - sin2D. sin2 - cos2【答案】D【解析】利用正弦二倍角公式，化简，在根据，即可求解.由题意，又由，所以，所以，故选D.4.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A. －3B. －1C. 1D. 3【答案】C【解析】在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，即f(1)＋g(1)＝1. 选C点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.视频5.如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，则当P沿A-B -C -M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f(x)的图像的形状大致是下图中的( )A. B.C. D.【答案】A【解析】随着点位置的不同，讨论三种情形，得到函数的解析式，画出图象，即可得到答案.由点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数，可得，画出分段函数的图象，如图所示，，故选A.【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式与分段函数的图象问题，其中解答中正确理解题意，得出分段函数的解析式是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6.已知P(6，8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是A. (8, -6)B. (-8, -6)C. (-6, 8)D. (-6, -8)【答案】A【解析】【分析】求出向量，将向量按逆时针旋转后，得到向量，求出向量，即可得到点的坐标.【详解】由题意，平面直角坐标系中，所以，将向量按逆时针旋转后，得到向量，如图所示，所以，所以点的坐标，故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量的应用问题，其中解答中在直角坐标系中画出向量的图形是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.设a,b都是不等于1的正数，则“a>b>1”是“log a3<log b3”的( )条件A. 充分必要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】因为都是不等于1的正数，因为，所以，即，所以或，解得或或，根据充分必要条件的定义，可得“”是“”的充分不必要条件，故选B.8.已知f(x)= 2sin x-cos x，f(x)的最大值为f(θ)，则cosθ=( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，函数，（其中）当时，即取得最大值，所以，即，所以，故选C.9.如图，己知函数的图象关于点M(2，0)对称，且f(x)的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象；则下列是g(x)的单调递增区间的为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由图象可知，因为的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，所以，解得，即，即，则，因为函数关于点对称，即，得，解得，所以，将的图象向右平移哥单位长度，得到的图象，即，由，得，当时，，即函数的单调增区间为，故选D.10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=，c=，则∠C=( )A. B. C. 或 D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简可得，进而得，在中，利用正弦定理，即可求解.【详解】由题意，可知在中，满足，由正弦定理和三角函数的基本关系式可得，即，即，又由，所以，即，又由，所以，则，在中，由正弦定理可得，又由，所以，故选B.11.已知函数f(x)= ln x-x，若在△ABC中，角C是钝角，则( )A. f(sin A)>f(cos B)B. f(sin A)<f(cos B)C. f(sin A)<f(sin B)D. f(sin A)<f(sin B)【答案】B【解析】由题意，函数，则，当时，，所以函数为单调递增函数， 当时，，所以函数为单调递减函数， 又由中，角C 为钝角，所以，即，则，且，所以，故选B.12.已知函数，在上单调递增，若恒成立，则实数m 的取值范围为( )A. B.C.D.【答案】A 【解析】依题意，；,由,可得：；∵，故，故符合题意,故,故，，因为，故，故实数的取值范围为故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知函数是奇函数，且，则__．【答案】-63【解析】由函数是奇函数，得，又，即，得，得到函数的解析式，即可求解答案．因为函数是奇函数，所以，解得． 又，即，所以，解得．所以，故．14.己知角x终边上的一点P(-4，3)，则的值为____.【答案】【解析】利用诱导公式，求解原式=，再由三角函数的定义求得的值，即可求解. 由题意，利用诱导公式化简可得，又由角的终边上一点，根据三角函数的定义可得，即.15.如图，y=f(x)是可导函数，直线l：y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x)，其中g'(x)是g(x)的导函数，则曲线g(x)在x=3处的切线方程为____．【答案】【解析】先从图中求出出切线的切点坐标，再求出直线的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的概念，即可求解.因为直线是曲线在处的切线，所以，由点在直线上，所以，从而，所以，因为，所以，则.16.一个帐篷下部的形状是高为2m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）．试问当帐篷的顶点D到底面中心O l的距离为________时，帐篷的体积最大？【答案】【解析】设出顶点到底面中心的距离，再求出底面边长和底面面积，求出体积的表示，利用导数求出高为何值时体积最大，得到答案.设为米，（）则由题意可得正六棱锥底面边长为：m，于是底面正六边形的面积为，所以帐篷的体积为，所以，可得当时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减，所以当时，取得最大值.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1 =1，a3=7，a n=2a n-1+a2 - 2(n≥2).(I)证明：{a n+1）为等比数列；(2)求{a n}的通项公式，并判断n，a n，S是否成等差数列？解：（1）∵，，∴，∴，∴，，∴是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，，∴，∴，∴，∴，即，，成等差数列．18.已知函数f(x)=sin(ωx+) - b(ω>0，0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离，若将f(x)的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数．(1)求f(x)的解析式并写出单增区间；(2)当x∈，f(x)+m-2<0恒成立，求m取值范围．解：（1）由题意，∴，，又为奇函数，且，则，，故．令，解得∴的单调递增区间为．（2），，，又，故的取值范围是．19.己知函数(x) =x2+2x+a ln x(a∈R)．（1）当a=-12时，求f(x)的最小值；（2）若函数f(x)在区间(0，1)上为单调函数，求实数a的取值范围.解：（1），，得到的增区间为；，得到的减区间为，所以的最小值为.（2），设；，所以在上为增函数，若函数在区间上为单调增函数，即，只需要令即可，解得，若函数在区间上为单调减函数，即只需令即可，解得，所以．20.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c(sin C-sin A)=(sin A+sin B) (b - a). （1）求B；（2）若c=8，点M，N是线段BC的两个三等分点，，求AM的值．解：（1）∵，则由正弦定理得:,∴，∴，又，∴．（2）由题意得是线段的两个三等分点，设，则，，又，，在中，由余弦定理得，解得（负值舍去），则，又在中,．或解：在中，由正弦定理得：，∴又，，∴，∴为锐角，∴，∴，又，∴，∴，∴，，∴在中，.21.某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式，这三种领奖方式如下：方式一：每天到该商场领取奖品，价值为40元：方式二：第一天领取的奖品的价值为10元，以后每天比前一天多10元；方式三：第一天领取的奖品的价值为0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．若三种领奖方式在商场的奖品总价值均不超过1200元，则促销奖的领奖活动最长设置为几天？在领奖活动最长的情况下，你认为哪种领奖方式让领奖者受益更多？解：设促销奖的领奖活动为天，三种方式的领取奖品总价值分别为则；；,要使奖品总价值不超过1200元，则，即，解得，又，，，故答：促销奖的领奖活动最长可设置11天，在这11天内选择方式三会让领奖者受益更多．22.已知函数f(x)=ln x - ax(a∈R)（1）讨论函数f(x)的单调性和极值（2）若函数）y=f(x)有两个零点x1，x2，证明．解：（1）由，得，若时，恒成立，在上单调递增，无极值若时，由，有，在上单调递增，在上单调递减，函数的极大值为．（2）不妨设，由，得，即，所以设，则，设，则即函数在上递减，所以，从而，即．。

湖北武汉部分学校2019年高三12月联考数学理科word版含解析数学〔理〕本试题卷共8页，六大题21小题。

全卷总分值150分。

考试用时120分钟。

本卷须知1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3、非选择题的作答：用统一提供的签字笔将答案直截了当答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

【一】选择题：〔本大题共10小题，每题5分，共50分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置〕1、设集合}1,0,1M，}{-=N=那么使M∩N＝N成立的a的值是〔〕a,{2aA、1B、0C、－1D、1或－12、投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，那么复数2)m+为(ni纯虚数的概率为〔 〕A 、13B 、14C 、16D 、1123、设a 为实数，函数32()(3)f x x ax a x =++-的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，那么曲线()y f x =在原点处的切线方程为〔 〕 A 、31y x =+ B 、3y x =- C 、31y x =-+ D 、33y x =-4、阅读右面的程序框图，那么输出的S =〔 〕 A 、14 B 、30 C 、20 D 、555、在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步， 程序B 和C 在实施时必 须相邻，那么实验顺序的编排方法共有〔 〕 A 、 34种 B 、48种 C 、96种 D 、144种 不正确的选项是〔〕 A 、ββαα⊥⇒⎭⎬⎫⊥c c // B 、a bb c b c a ⊥⊂⎫⎬⎪⎭⎪⇒⊥ββ是在内的射影 C 、////b c b c c ααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭D 、αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //7、两点(1,0),A B O 为坐标原点，点C 在第二象限，且 120=∠AOC ，设2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R 则等于〔〕 A 、1-B 、２C 、1D 、2-8、过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于B A ,两点,它们到直线2-=x 的距离之和等于5,那么如此的直线〔〕A 、有且仅有一条B 、有且仅有两条C 、有无穷多条D 、不存在9、某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：显然所减分数y 与模拟考试次数x 之间有较好的线性相关关系，那么其线性回归方程为〔〕A 、25.57.0+=x yB 、25.56.0+-=x yC 、25.67.0+-=x yD 、25.57.0+-=x y 10、定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21n nS a n n=⨯+，〔其中n S 为{}n a 的前n 项和〕。

湖北省部分重点中学2018-2019学年度上学期新高三起点考试理科数学参考答案ABD C DCDB BBBC13.4014.π15．16．1003π 17．解：（1）； 当时，，当时，，不满足上式，所以数列是从第二项起的等比数列，其公比为2； 所以.………………6分 （2）当时，， 当时，，，时也满足，综上………………12分 18．解：（1）证明：取AP 中点M ，连,DM BM ，∵DA DP =，BA BP =∴PA DM ⊥，PA BM ⊥，∵DM BM M ⋂=∴PA ⊥面DMB ，又∵BD ⊂面DMB ，∴PA BD ⊥………………4分（2）∵DA DP =，BA BP =，DA DP ⊥，060ABP ∠=∴DAP ∆是等腰三角形，ABP ∆是等边三角形，∵2AB PB BD ===，∴1DM =，3BM =. ∴222BD MB MD =+，∴MD MB ⊥以,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，………………6分则()1,0,0A -，()0,3,0B ，()1,0,0P ，()0,0,1D 从而得()1,0,1DP =-u u u v ，()1,3,0DC AB ==u u u v u u u v ，()1,3,0BP =-u u u v ，()1,0,1BC AD ==u u u v u u u v 设平面DPC 的法向量()1111,,n x y z =u v则11•0{ •0n DP n DC ==u v u u u v u v u u u v ，即11110{ 30x z x y -=+=，∴()13,1,3n =--u v ， 设平面PCB 的法向量()2212,,n x y z =u u v ，由22•0{ •0n BC n BP ==u u v u u u v u u v u u u v ，得22220{ 30x z x y +=-=，∴()23,1,3n =-u u v ∴121212•1cos<,7n n n n n n ==>u v u u v u v u u v u v u u v 设二面角D PC B --为α，∴21243sin 1cos ,7n n α<>=-=u v u u v ………………12分 19．解：x2 3 3 1 2 2 2 2 2 2 y2 23 2 3 3 2 3 1 2 z3 3 3 2 2 3 2 3 1 2 w 7 8 9 5 7 8 6 84 6（1）由题可知:建模能力一级的学生是；建模能力二级的学生是；建模能力三级的学生是. 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件.则22322245()41(|)()164C C P AB P B A P A C C +====+………………6分 (2)由题可知，数学核心素养一级的学生为:，非一级的学生为余下4人的所有可能取值为0,1，2，3.031264643310102131646433101013(0),(1)301011(2),(3)26C C C C P X P X C C C C C C P X P X C C ============随机变量的分布列为： 0 1 2 3………………10分………………12分20．解：（1）设直线，代入得： 设， 则； 由得： 线段AB 中点222(,)2121km m D k k -++,因为为的重心， 所以11()22AB OC AB OD k k k k k k ==⨯-=-为定值.………………6分 点差法求证相应给分.（2）设，则代入得，又， 原点到的距离 于是所以（定值）.………………12分21．解：（Ⅰ）()21212(0).ax f x ax x x x-=-=>'………………1分 0a ≤当时，()f x '<0，()f x 在0+∞（，）内单调递减.………………2分0a >当时，由()f x '=0有x =. 当x ∈（时，()f x '<0，()f x 单调递减； 当x ∈+)∞时，()f x '＞0，()f x 单调递增.………………4分 （Ⅱ）11()x x e x g x xe---= 令()s x = 1e x x --，则()s x '=1e 1x --.当1x >时，()s x '＞0，所以()s x 单调递增，又()10s =，()0s x ∴>， 从而1x >时，()g x =111ex x --＞0.………………7分 （Ⅲ）由（Ⅱ），当1x >时，()g x ＞0.当0a ≤，1x >时，()f x = ()21ln 0a x x --<.故当()f x ＞()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >.………………8分 当102a <<＞1. 由（Ⅰ）有()10f f <=,而0g >， 所以此时()f x ＞()g x 在区间1+)∞（，内不恒成立.………………10分 当12a ≥时，令()h x = ()f x ()g x （1x ≥）. 当1x >时，()h x '=122111112e x ax x x x x x x--+->-+-=322221210x x x x x x -+-+>>. 因此，()h x 在区间1+)∞（，单调递增.又因为()1h =0，所以当1x >时，()h x = ()f x ()g x ＞0，即()f x ＞()g x 恒成立.综上，a ∈1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，.………………12分 22．解： （Ⅰ）由，得， 故直线的普通方程为，由，得， 所以，即， 故曲线的普通方程为.………………5分（Ⅱ）据题意设点，则，所以的取值范围是.………………10分23．解：（Ⅰ）当时，知21(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，不等式 等价于1212x x x <-⎧⎨-+>+⎩或1232x x -≤<⎧⎨>+⎩或2212x x x ≥⎧⎨->+⎩解得：13x x <>或 故原不等式的解集为{|13}x x x <>或.………………5分 （Ⅱ），当时取等号. 若关于的不等式的解集不是空集，只需 解得，即实数的取值范围是………………10分。

2019年高三上学期期末考试数学理试题含答案一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，}， {5，7}，则实数a的值为(A)2或－8 (B) －2或－8 (C) －2或8 (D) 2或82．“”是“”的(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件(C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是(A) (B) (C) (D)4．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(A) (B) (C) 1 (D) 25．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是(A)(B)(C)(D)6．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（表开始S=0, n=0输出Sn=n+1 n>4?否是示不超过x 的最大整数）(A) 4(B) 5(C) 7(D) 97．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0)，B （0,1），点C 在第二象限内，，且|OC|=2，若，则，的值是（ ）(A) ，1 (B) 1， (C) -1， (D) -，1 8．已知函数f(x)=,且，集合A={m|f(m)<0}，则 (A) 都有f(m+3)>0 (B) 都有f(m+3)<0 (C) 使得f(m 0+3)=0 (D) 使得f(m 0+3)<0 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______．10．已知直线y=x+b 与平面区域C:的边界交于A ，B 两点，若|AB|≥2，则b 的取值范围是________.11．是分别经过A(1,1)，B(0, 1)两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是 ．12．圆与双曲线的渐近线相切，则的值是 _______. 13．已知中，AB=，BC=1，sinC=cosC ，则的面积为______．14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于 ，.三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本题共13分）函数的定义域为集合A ，函数的值域为集合B ． （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若集合A ，B 满足,求实数a 的取值范围． 16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．， ，， …（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值； （Ⅱ） 若∣AB ∣=, 求的值. 17．（本题共14分）如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2，，°,平面PAB 平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点. （Ⅰ）求证：DE‖平面PBC ; （Ⅱ）求证：ABPE ；（Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小. 18．（本题共14分）已知函数2()(0)xax bx cf x a e ++=>的导函数的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若f(x)的极小值为，求f(x)在区间上的最大值. 19．（本题共13分）曲线都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆．点M 的坐标是（0,1），线段MN 是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m= ， 时，求椭圆的方程； （Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 的取值范围． 20．（本题共13分）已知曲线，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足，一列点在x 轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形． （Ⅰ）求、的坐标； （Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）令，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有，若存在，求出N 的最小值并证明；若不存在，说明理由．丰台区xx ～xx 第一学期期末练习 高三数学（理科）参考答案一、选择题二、填空题：9．20； 10.[-2,2] ； 11. x+2y-3=0； 12．(只写一个答案给3分)； 13．； 14． (第一个空2分，第二个空3分) 三．解答题15．（本题共13分）函数的定义域为集合A ，函数的值域为集合B ． （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若集合A ，B 满足,求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）A===，..………………………..……3分B={|2,2}{|4}xy y a xy a y a =-≤=-<≤-． ………………………..…..7分 ∴或， …………………………………………………………...11分 ∴或，即的取值范围是．…………………….13分16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值； （Ⅱ） 若∣AB ∣=, 求的值. 解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，， ． ………………………………………………………2分∵的终边在第一象限，∴． ……………………………………………3分∵的终边在第二象限，∴ ．………………………………………4分∴==+=．……………7分（Ⅱ）方法（1）∵∣AB ∣=||=||, ……………………………………9分又∵222||222OB OA OB OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅，…………………11分 ∴，∴．…………………………………………………………………13分方法（2）∵222||||||1cos 2||||8OA OB AB AOB OA OB +-∠==-， …………………10分 ∴=1||||cos 8OA OB AOB ∠=-． ………………………………… 13分 17．(本题共14分)如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2，，°,平面PAB 平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点． （Ⅰ）求证：DE//平面PBC; （Ⅱ）求证：ABPE ；（Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小． 解：（Ⅰ） D 、E 分别为AB 、AC 中点，∴DE//BC ．DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴DE //平面PBC ．…………………………4分 （Ⅱ）连结PD ， PA=PB ，PD AB ． …………………………….5分 ，BC AB ，DE AB ． .... .......................................................................................................6分 又 ，AB 平面PDE ．......................................................................................................8分 PE ⊂平面PDE ，ABPE ． ..........................................................................................................9分C_B（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD AB，PD平面ABC．................................................................................................10分如图,以D为原点建立空间直角坐标系B(1,0,0)，P(0,0,)，E(0,,0) ,=(1,0, )，=(0, , ）．设平面PBE的法向量，0,30,2xy⎧-=⎪⎨=⎪⎩令得．............................11分DE平面PAB，平面PAB的法向量为．………………….......................................12分设二面角的大小为，由图知，121212||1cos cos,2n nn nn nθ⋅=<>==⋅，所以即二面角的大小为．..........................................14分18．（本题共14分）已知函数2()(0)xax bx cf x ae++=>的导函数的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若f(x)的极小值为，求在区间上的最大值.解：（Ⅰ）222(2)()(2)()()x xx xax b e ax bx c e ax a b x b cf xe e+-++-+-+-'==．.......2分令2()(2)g x ax a b x b c=-+-+-，因为，所以的零点就是2()(2)g x ax a b x b c=-+-+-的零点，且与符号相同.又因为，所以时，g(x)>0,即，………………………4分当时,g(x)<0 ,即，…………………………………………6分所以的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，=-3是的极小值点，所以有3393,0,93(2)0,a b c e eb c a a b b c --+⎧=-⎪⎪-=⎨⎪---+-=⎪⎩解得， …………………………………………………………11分 所以.的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞）， 为函数的极大值, …………………………………………………12分 在区间上的最大值取和中的最大者. …………….13分 而>5，所以函数f(x)在区间上的最大值是．.…14分19．（本题共13分）曲线都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M 的坐标是（0,1）,线段MN 是的短轴，是的长轴 . 直线与交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m= ， 时，求椭圆的方程； （Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 的取值范围． 解：（Ⅰ）设C 1的方程为,C 2的方程为,其中．..2分 C 1 ,C 2的离心率相同，所以,所以，……………………….…3分 C 2的方程为．当m=时，A,C ． .………………………………………….5分 又,所以，，解得a=2或a=(舍)， ………….…………..6分 C 1 ,C 2的方程分别为，．………………………………….7分 （Ⅱ）A(-,m), B(-,m) ． …………………………………………9分 OB ∥AN,,1m =． …………………………………….11分，∴，． ………………………………………12分，∴，∴．........................................................13分20.（本题共13分）已知曲线，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足，一列点在x 轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形． （Ⅰ）求，的坐标； （Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）令，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有，若存在，写出N 的最小值并证明;若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）∆B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形， 直线B 0A 1的方程为y=x ．由220y xy x y =⎧⎪=⎨⎪>⎩得，即点A 1的坐标为（2，2），进而得．…..3分（Ⅱ）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可 得 ，即 ．（*） …………………………..5分 和均在曲线上，， ，代入（*）式得，， ………………………………………………………..7分 数列是以为首项，2为公差的等差数列，其通项公式为()． ……………………………………………....8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，， ……………………………………………………9分 ，．11112(12)2(23)2(1)ni i b n n ==+++⨯⨯+∑=111111(1)22231n n -+-++-+ =．….……………..…………10分231111(1)1111142(1)12222212nn i n ni c +=-=+++==--∑． ……………………….11分 （方法一）-=1111111112(1)-(1)()21222212(1)nn n n n n n n ++---=-=+++．当n=1时不符合题意， 当n=2时，符合题意，猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有．（） 观察知，欲证（）式，只需证明当n≥2时，n+1<2n 以下用数学归纳法证明如下：(1)当n=2时，左边=3，右边=4，左边<右边； (2)假设n=k （k≥2）时，(k+1)<2k ,当n=k+1时，左边=（k+1）+1<2k +1<2k +2k =2k+1=右边, 对于一切大于或等于2的正整数，都有n+1<2n ，即<成立．综上，满足题意的n 的最小值为2. ……………………………………………..13分 （方法二）欲证成立，只需证明当n≥2时，n+1<2n ．()012323211...1...nn n nn n n n n n n nC C C C C n C C C =+=+++++=+++++， 并且，当时，.25303 62D7 拗36828 8FDC 远 29322 728A 犊M [21731 54E3 哣20030 4E3E 举-33425 8291 芑3_。

部分高中2019届高三数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）.1.已知全集U=R，集合，则A∩（UB）=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解指数不等式求得集合，解对数不等式求得集合，求得，由此求得.【详解】由可得，x＞-1，∴集合A={x|x＞-1}，由log3x＜1可得0＜x＜3，∴，那么：A∩（）={x|或x≥3}.故选：D【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，考查指数不等式、对数不等式的解法，属于基础题.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，所以，得虚部为1，故选B.考点：复数的代数运算3.已知条件关于的不等式有解；条件为减函数，则成立是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】条件因为，而关于的不等式有解，所以，条件为减函数，所以，解得，所以成立是成立的必要不充分条件.4.已知函数f（x），若角的终边经过点，则的值为（）A. 1B. 3C. 4D. 9【答案】A【解析】【分析】先利用三角函数的定义求出，在代入函数的解析式，即可求出的值．【详解】∵的终边经过点，∴，∴，∴.故选：A．【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及分段函数求函数值，是基础题．5.若是等差数列的前项和，其首项，，，则使成立的最大自然数是（）A. 198B. 199C. 200D. 201【答案】A【解析】【分析】先根据，，判断出；然后再根据等差数列前项和公式和等差中项的性质，即可求出结果．【详解】∵，∴和异号；∵，，有等差数列的性质可知，等差数列的公差，当时，；当时，；又，，由等差数列的前项和的性质可知，使前项和成立的最大自然数是.故选：A．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．6.设双曲线（，）的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线一条方程为，与抛物线方程组成方程组消y得，，即，所以，选D.【点睛】双曲线（，）的渐近线方程为．直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．当直线与抛物线对称轴不平行时，当时，直线与抛物线相交，有两个交点．当时，直线与抛物线相切，只有一个交点．当时，直线与抛物线相离，没有交点．7.某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如表：广告2费用销售26额根据上表可得回归方程，据此模型预测，广告费用为6万元时的销售额为（）万元A. 65.5B. 66.6C. 67.7D. 72【答案】A【解析】，，代入回归直线方程，，解得，所以回归直线方程为，当时，，故选A.8.已知P是△ABC所在平面内﹣点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的．从而S△PBC=S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC内的概率．【详解】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则=，∵，∴，∴，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC=S△ABC．∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：P==．故选B．【点睛】本题考查概率求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为一个四棱锥和一个球体的组合体，其中四棱锥的是以侧视图为底面，其体积为而球体的体积为 .故组合体的体积为故选D10.过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】求出函数的导函数，由导函数的值域得到切线倾斜角正切值的范围，则倾斜角的范围可求．【详解】由函数，得f′（x）=x2﹣2x，设函数图象上任一点P（x0，y0），且过该点的切线的倾斜角为α（0≤α＜π），则f′（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴tanα≥﹣1，∴0≤α＜或≤α＜π．∴过函数图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0，）∪[，π）．故答案为：B【点睛】（1）本题考查导数的几何意义，考查直线倾斜角和斜率的关系，关键是熟练掌握正切函数的单调性．（2）函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是11.已知椭圆和双曲线有共同焦点，，是它们的一个交点，，记椭圆和双曲线的离心率分别，，则的最小值是（）A. 1B.C.D. 3【答案】A【解析】【分析】设出椭圆与双曲线的标准方程，利用定义可得：，解出．利用余弦定理化简可得关于的关系，再由基本不等式求得的最小值．【详解】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，设，则，．，化为：．∴，∴所以，当且仅当时，取等号，则的最小值是：．故选：A．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12.已知函数，若方程有四个不等实根，时，不等式恒成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数f（x）的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x1•x2＝1，x1+x22，（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，则不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，可化为：k恒成立，求出的最大值，可得k的范围，进而得到实数k的最小值．【详解】函数f（x）的图象如下图所示：当方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，|lnx1|＝|lnx2|，即x1•x2＝1，x1+x22，|ln（4﹣x3）|＝|ln（4﹣x4）|，即（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则k恒成立，由[（x1+x2）﹣48]≤2故k≥2，故实数k的最小值为2，故选C．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，函数的最值，函数恒成立问题，综合性强，转化困难，属于难题．二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分).13.已知实数满足，则的最小值为．【答案】【解析】试题分析：约束条件所表示平面区域为如下图所示的三角形区域，当目标函数经过可行域中的点时，有最小值，即，所以应填.考点：线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划，属于基础题;要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，在可行域内平移目标函数所表示的直线，确定何时目标函数取得最大值或最小值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题.14.已知，则二项式的展开式中的系数为_______.【答案】﹣160【解析】【分析】根据定积分计算，可求出，然后再利用二项式的展开公式可得通项公式，令，即可求出展开式中的系数.【详解】因为，则二项式的展开式的通项公式为，令，可得，故展开式中的系数为.故答案为：.【点睛】本题主要考查定积分的计算，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．15.从名志愿者中选出人，分别参加两项公益活动，每项活动至少有人，则不同安排方案的种数为_______.（用数字作答）【答案】70【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：第一步：从5名志愿者中选出4人，第二步：将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：第一步：从名志愿者中选出人，有种选法，第二步：将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，有种情况，则有种不同的安排方案.故答案为：．【点睛】本题考查分步计数原理的应用，涉及排列、组合公式的应用，属于基础题．16.已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足，，()，().考查下列结论：①；②为偶函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列.其中正确的是_______.【答案】①③④【解析】【分析】在已知等式中取，得，取，得，可判断①是否正确；用特例：，可判断②是否正确；利用题意得，求出和，由等差、等比数列的定义判断③④．【详解】由，取，可得；取，可得，∴，故①正确；∵，∴，则，∴不是偶函数，故②错误；∵，∴，∴，，则数列为等差数列，数列为等比数列，故③④正确.∴其中正确的是①③④.故答案为：①③④.【点睛】本题考查数列与抽象函数的综合运用，考查抽象函数的奇偶性，赋值法，等差数列，等比数列的定义及通项公式的特点，属于中档题．三.解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.在中，角，，的对边分别是，，，若，，成等差数列.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由题意可知，由正弦定理边化角整理可得，据此可知，.（2）由题意结合余弦定理整理计算可得，结合三角形的面积公式可得.【详解】（1）∵，，成等差数列,∴，由正弦定理，，，为外接圆的半径，代入上式得：，即.又，∴，即.而，∴，由，得.（2）∵，∴，又，，∴，即，∴.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18.如图1，，过动点作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将折起，使（如图2所示），（1）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；（2）当三棱锥的体积最大时，设点分别为棱的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小.【答案】（1）；（2），【解析】分析】（1）设，先利用线面垂直的判定定理证明即为三棱锥的高，再将三棱锥的体积表示为的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；（2）由（1）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出点坐标，从而确定点位置，再求平面的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角【详解】(1)设，则∵折起前，∴折起后∴平面∴设，∵，∴在上为增函数，在上为减函数∴当时，函数取最大值∴当时，三棱锥的体积最大；(2)以为原点，建立如图直角坐标系，由(1)知，三棱锥的体积最大时，,∴,且设，则∵，∴即，∴，∴,∴当时，设平面的一个法向量为，由及得，取设与平面所成角为，则，∴∴与平面所成角的大小为.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，折叠问题中的不变量，空间线面角的计算方法，空间向量、空间直角坐标系的运用，有一定的运算量，属中档题.19.设分别是椭圆的左、右焦点．(1)若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角(其中为坐标原点)，求直线的斜率的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)设出点P的坐标，向量坐标化得到的表达式，进而得到最值；（2）为锐角即，设出点AB的坐标，向量坐标化得到点积的表达式为：x1x2＋y1y2,联立直线和椭圆方程，由韦达定理得到结果.【详解】(1)由已知得，F1(－，0)，F2(，0)，设点P(x，y)，则＋y2＝1，且－2≤x≤2．所以·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2－3＋y2＝x2－3＋1－＝x2－2，当x＝0，即P(0，±1)时，(·)min＝－2；当x＝±2，即P(±2，0)时，(·)max＝1．(2)由题意可知，过点M(0，2)的直线l的斜率存在．设l的方程为y＝kx＋2，由消去y，化简整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)＞0，解得k2>．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，又∠AOB为锐角，所以·＞0，即x1x2＋y1y2＞0，有x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)·＋2k·＋4＞0，解得k2＜4，所以＜k2＜4，即k∈．【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．20.2018年国际乒联总决赛在韩国仁川举行，比赛时间为12月13﹣12月16日，在男子单打项目，中国队准备选派4人参加.已知国家一线队共6名队员，二线队共4名队员.（1）求恰好有3名国家一线队队员参加比赛的概率；（2）设随机变量X表示参加比赛的国家二线队队员的人数，求X的分布列；（3）男子单打决赛是林高远（中国）对阵张本智和（日本），比赛采用七局四胜制，已知在每局比赛中，林高远获胜的概率为，张本智和获胜的概率为，前两局比赛双方各胜一局，且各局比赛的结果相互独立，求林高远获得男子单打冠军的概率.【答案】（1）；（2）分布列见解析；（3）【解析】【分析】（1）国家一线队共6名队员，二线队共4名队员．选派4人参加比赛，基本事件总数，恰好有3名国家一线队队员参加比赛包含的基本事件个数，由此能求出恰好有3名国家一线队队员参加比赛的概率．（2）的取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（3）分别求出获胜、获胜、获胜的概率，由此利用互斥事件概率加法公式能求出林高远获得冠军的概率．【详解】(1)国家一线队共6名队员，二线队共4名队员.选派4人参加比赛，基本事件总数，恰好有3名国家一线队队员参加比赛包含的基本事件个数，∴恰好有3名国家一线队队员参加比赛的概率p. (2)的取值为0，1，2，3，4，，，，，，∴X的分布列为：(3)获胜的概率，获胜的概率，获胜的概率，所以林高远获得冠军的概率为.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.已知函数.（1）当，求函数的极值；（2）当时，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于，求的取值范围.【答案】（1）极大值为；（2）【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的极值；（2）结合直线的斜率公式可转化为函数的恒成立，结合导数可求．【详解】(1)定义域为，1，，由可得，∴函数在上单调递增，在单调递减；∴的极大值为，(2)设，不妨设，，所以，又，又，在定义域内恒成立，又,所以,所以5，，即，构造函数，所以，所以在上恒成立，又,所以恒成立，又,只需要，所以.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的的极值及导数几何意义的应用，属于中档试题．22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 (t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．【答案】(1)(2)12【解析】试题分析：（1）利用消元，将参数方程和极坐标方程化为普通方程；（2）利用弦长公式求|AB|的长度，利用点到直线的距离公式求AB上的高，然后求三角形面积试题解析：(1)由曲线C极坐标方程得,所以曲线C的直角坐标方程是.由直线l的参数方程，得，代入中，消去t得，所以直线l的普通方程为.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得，设A，B两点对应的参数分别为.则＝8，＝7，所以|AB|＝||＝×＝6，因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝＝2，所以△AOB的面积是|AB|·d＝×6×2＝12点睛：(1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为 (t1＋t2)．23.已知函数f(x)＝|x－a|－x(a＞0)．(1)若a＝3，解关于x的不等式f(x)＜0；(2)若对于任意的实数x，不等式f(x)－f(x＋a)＜a2＋恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）{x|2＜x＜6}（2）(1，＋∞)【解析】试题分析：（Ⅰ）将a的值带入f（x），原不等式等价于﹣x＜x －3＜x，解之即可；（Ⅱ）求出f（x）=|x﹣a|﹣|x|+，原问题等价于|a|＜a2，求出a 的范围即可．试题解析：(1)当a＝3时，f(x)＝|x－3|－x，即|x－3|－x＜0，原不等式等价于－＜x－3＜，解得2＜x＜6，故不等式的解集为{x|2＜x＜6}．(2)f(x)－f(x＋a)＝|x－a|－|x|＋，原不等式等价于|x－a|－|x|＜a2，由绝对值三角不等式的性质，得|x－a|－|x|≤|(x－a)－x|＝|a|，原不等式等价于|a|＜a2，又a＞0，∴a＜a2，解得a＞1.∴实数a的取值范围为(1，＋∞)．点睛：1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．2．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min＞a.部分高中2019届高三数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）.1.已知全集U=R，集合，则A∩（UB）=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解指数不等式求得集合，解对数不等式求得集合，求得，由此求得.【详解】由可得，x＞-1，∴集合A={x|x＞-1}，由log3x＜1可得0＜x＜3，∴，那么：A∩（）={x|或x≥3}.故选：D【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，考查指数不等式、对数不等式的解法，属于基础题.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，所以，得虚部为1，故选B.考点：复数的代数运算3.已知条件关于的不等式有解；条件为减函数，则成立是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】条件因为，而关于的不等式有解，所以，条件为减函数，所以，解得，所以成立是成立的必要不充分条件.4.已知函数f（x），若角的终边经过点，则的值为（）A. 1B. 3C. 4D. 9【答案】A【解析】【分析】先利用三角函数的定义求出，在代入函数的解析式，即可求出的值．【详解】∵的终边经过点，∴，∴，∴.故选：A．【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及分段函数求函数值，是基础题．5.若是等差数列的前项和，其首项，，，则使成立的最大自然数是（）A. 198B. 199C. 200D. 201【答案】A【解析】【分析】先根据，，判断出；然后再根据等差数列前项和公式和等差中项的性质，即可求出结果．【详解】∵，∴和异号；∵，，有等差数列的性质可知，等差数列的公差，当时，；当时，；又，，由等差数列的前项和的性质可知，使前项和成立的最大自然数是.故选：A．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．6.设双曲线（，）的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线一条方程为，与抛物线方程组成方程组消y得，，即，所以，选D.【点睛】双曲线（，）的渐近线方程为．直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．当直线与抛物线对称轴不平行时，当时，直线与抛物线相交，有两个交点．当时，直线与抛物线相切，只有一个交点．当时，直线与抛物线相离，没有交点．7.某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如表：广告费用2销售额26根据上表可得回归方程，据此模型预测，广告费用为6万元时的销售额为（）万元A. 65.5B. 66.6C. 67.7D. 72【答案】A【解析】，，代入回归直线方程，，解得，所以回归直线方程为，当时，，故选A.8.已知P是△ABC所在平面内﹣点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的．从而S△PBC=S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．【详解】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则=，∵，∴，∴，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC=S△ABC．∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：P==．故选B．【点睛】本题考查概率求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为一个四棱锥和一个球体的组合体，其中四棱锥的是以侧视图为底面，其体积为而球体的体积为 .故组合体的体积为故选D10.过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】求出函数的导函数，由导函数的值域得到切线倾斜角正切值的范围，则倾斜角的范围可求．【详解】由函数，得f′（x）=x2﹣2x，设函数图象上任一点P（x0，y0），且过该点的切线的倾斜角为α（0≤α＜π），则f′（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴tanα≥﹣1，∴0≤α＜或≤α＜π．∴过函数图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0，）∪[，π）．故答案为：B【点睛】（1）本题考查导数的几何意义，考查直线倾斜角和斜率的关系，关键是熟练掌握正切函数的单调性．（2）函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是11.已知椭圆和双曲线有共同焦点，，是它们的一个交点，，记椭圆和双曲线的离心率分别，，则的最小值是（）A. 1B.C.D. 3【答案】A【解析】【分析】设出椭圆与双曲线的标准方程，利用定义可得：，解出．利用余弦定理化简可得关于的关系，再由基本不等式求得的最小值．【详解】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，设，则，．，化为：．∴，∴所以，当且仅当时，取等号，则的最小值是：．故选：A．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12.已知函数，若方程有四个不等实根，时，不等式恒成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数f（x）的图象，结合对数函数的图象和性质，可得x1•x2＝1，x1+x22，（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，则不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，可化为：k恒成立，求出的最大值，可得k的范围，进而得到实数k的最小值．【详解】函数f（x）的图象如下图所示：当方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，|lnx1|＝|lnx2|，即x1•x2＝1，x1+x22，|ln（4﹣x3）|＝|ln（4﹣x4）|，即（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则k恒成立，由[（x1+x2）﹣48]≤2故k≥2，故实数k的最小值为2，故选C．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，函数的最值，函数恒成立问题，综合性强，转化困难，属于难题．二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分).13.已知实数满足，则的最小值为．【答案】【解析】试题分析：约束条件所表示平面区域为如下图所示的三角形区域，当目标函数经过可行域中的点时，有最小值，即，所以应填.考点：线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划，属于基础题;要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，在可行域内平移目标函数所表示的直线，确定何时目标函数取得最大值或最小值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题.14.已知，则二项式的展开式中的系数为_______.【答案】﹣160【解析】【分析】根据定积分计算，可求出，然后再利用二项式的展开公式可得通项公式，令，即可求出展开式中的系数.【详解】因为，则二项式的展开式的通项公式为，令，可得，故展开式中的系数为.故答案为：.【点睛】本题主要考查定积分的计算，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．15.从名志愿者中选出人，分别参加两项公益活动，每项活动至少有人，则不同安排方案的种数为_______.（用数字作答）【答案】70【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：第一步：从5名志愿者中选出4人，第二步：将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：第一步：从名志愿者中选出人，有种选法，第二步：将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，有种情况，则有种不同的安排方案.故答案为：．【点睛】本题考查分步计数原理的应用，涉及排列、组合公式的应用，属于基础题．16.已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足，，()，().考查下列结论：①；②为偶函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列.其中正确的是_______.【答案】①③④【解析】【分析】在已知等式中取，得，取，得，可判断①是否正确；用特例：，可判断②是否正确；利用题意得，求出和，由等差、等比数列的定义判断③④．【详解】由，取，可得；取，可得，∴，故①正确；∵，∴，则，∴不是偶函数，故②错误；∵，∴，。

2019年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)本试卷共5页，共150分. 考试时长120分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 若集合{|21}A x x =-<<，{|(3)0}B x x x =->，则AB =A. {|13}x x x <>或B. {|21}x x -<<C. {|203}x x x -<<>或D. {|20}x x -<<2．1+i||i= A. 2- B. 2 C. 1- D. 13. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．43 B. 55 C. 61 D. 814．设,x y 满足1,1,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则22x y z +=的最大值为A ．14B. 2C. 4D. 165.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为开始否是1,24S n ==输出SS S n =+ 6n n =-0n >结束A. 1B. 2C. 2D. 226.已知函数()e e ,xxf x -=+则函数()f xA ．是偶函数，且在(,0)-∞上是增函数 B. 是奇函数，且在(,0)-∞上是增函数 C. 是偶函数，且在(,0)-∞上是减函数 D. 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数7. 设π02x <<，则“2cos x x <”是“cos x x <”的 A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件8. 四个足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各得1分. 比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中可能出现的最少平局场数是A ．0 B. 1 C. 2 D. 3第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 7(1)x +的二项展开式中2x 的系数为 ．10. 已知曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立 平面直角坐标系，那么曲线C 的直角坐标方程为 .11. 已知直线:4350l x y ++=，点P 是圆22(1)(2)1x y -+-=上的点，那么点P 到直 线l 的距离的最小值是 .2 主视图左视图俯视图1 1 20.0300.0250.020频率/组距0.0350.0300.0250.020频率/组距12. 已知Rt ABC ∆，1AB AC ==,点E 是AB 边上的动点，则CE AC ⋅uur uuu r 的值为 ；CE CB ⋅uur uu r的最大值为 .13. 某商业街的同侧有4块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求任意相邻两块 牌的底色不都为红色，则不同的配色方案有 种.14．若函数4,3,()log ,3a x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩ （0a >且1a ≠），函数()()g x f x k =-.①若13a =，函数()g x 无零点，则实数k 的取值范围是 ； ②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题13分）已知等差数列{}n a 的公差d 为1，且134,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列52n a n b n+=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .16. （本小题13分）在ABC ∆中，3sin cos a C c A =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3ABC S ∆=，223b c +=+，求a 的值．17. （本小题13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：图1：甲大学 图2：乙大学根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :学习时间 t (分钟/天) 20t <2050t ≤<50t ≥等级一般爱好痴迷(Ⅰ)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；(Ⅱ)从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；(Ⅲ)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X 甲与X 乙的大小，及方差2S 甲与2S 乙的大小．(只需写出结论)18.（本小题14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，PAB ∆为正三角形，且侧面P AB ⊥底面ABCD ，E 为线段AB 的中点，M 在线段PD 上. （I ）当M 是线段PD 的中点时，求证：PB // 平面ACM ； （II ）求证：PE AC ⊥；（III ）是否存在点M ，使二面角M EC D --的大小为60°，若存在，求出PM PD的值；若不存在，请说明理由．19.（本小题14分）已知函数()ln(1)f x ax x =-+，a R ∈.（I ）当a = 2时，求曲线y =()f x 在点( 0，f (0) )处的切线方程； （II ）求函数()f x 在区间[0 , e -1]上的最小值.MPE DCBA20.(本小题13分)已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，L ，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推. 设该数列的前n 项和为n S ,规定：若m ∃∈*N ,使得2pm S =（p ∈N ），则称m 为该数列的“佳幂数”.（Ⅰ）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数”； （Ⅱ）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由； （III ）（i ）求满足m >70的最小的“佳幂数”m ;（ii ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个.2019年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)参考答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DBCCBCAB二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)9. 21 10. 22(1)1x y +-= 11. 212. 1- ; 2 13. 6 , 7 , 8 答对一个即可给满分 14. [1,1)- ；(1,3]三、解答题(共6小题，共80分) 15.（共13分）解：（Ⅰ）在等差数列{}n a 中，因为134,,a a a 成等比数列，所以 2314a a a =， 即 22111+2)3a d a a d =+（，解得2140a d d +=.因为1,d =所以14,a =-所以数列{}n a 的通项公式5n a n =-. ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知5n a n =-,所以522n a n n b n n +=+=+. 得123231(2222)(123)2(12)(1)=122(1)222n nn n n S b b b b n n n n n +=++++=+++++++++-++-+=+-……………13分16. （共13分）解：（I ）因为3sin cos a C c A =，所以cos 0A ≠，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得3sin sin sin cos A C C A ⋅=⋅． 又因为 (0,)C ∈π，sin 0C ≠，所以3tan 3A =． 又因为 (0,)A ∈π， 所以 6A π=． …………… 6分 （II ）由11sin 324ABCS bc A bc ∆===，得43bc =， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2222cos6a b c bc π=+-， 即222()23()8312a b c bc bc b c =+--=+--，因为223b c +=+， 解得 24a =.因为 0a >，所以 2a =. ……………13分17. （共13分）解：(Ⅰ) 由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)100.65++⨯=，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65. ………3分 (Ⅱ) 甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.005102⨯⨯=人， 乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.015106⨯⨯=人， 所以，随机变量ξ的取值为0,1,2=ξ. 所以，(0)==P ξ022628C C 1528C =， (1)==P ξ112628C C 123287C ==， (2)==P ξ202628C C 128C =. 所以ξ的分布列为ξ0 1 2 P1528 37 128ξ的数学期望为 15311()012287282=⨯+⨯+⨯=E ξ. ……………10分 (Ⅲ) X <甲X 乙;2s >n 2s n . ……………13分18. （共14分）（I ）证明：连接BD 交AC 于H 点，连接MH ，因为四边形ABCD 是菱形，所以点H 为BD 的中点. 又因为M 为PD 的中点， 所以MH // BP .又因为 BP ⊄平面ACM , MH ⊂平面ACM . 所以 PB // 平面ACM . ……………4分（II ）证明：因为PAB ∆为正三角形，E 为AB 的中点，所以PE ⊥AB .因为平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD=AB ，PE ⊂平面P AB ， 所以PE ⊥平面ABCD .又因为AC ⊂平面ABCD ，所以PE AC ⊥. ……………8分(Ⅲ) 因为ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，E 是AB 的中点， 所以CE ⊥AB .又因为PE ⊥平面ABCD ，以E 为原点，分别以,,EB EC EP 为,,x y z 轴，Pz HMPEDCBA建立空间直角坐标系E xyz -， 则()0,0,0E ，()1,0,0B ，()0,0,3P ，()03,0C ,，()2,3,0D -． ………10分假设棱PD 上存在点M ，设点M 坐标为(),,x y z ，()01PM PD λλ=≤≤， 则()(),,32,3,3x y z λ-=--， 所以()2,3,3(1)M λλλ--，所以()2,3,3(1)EM λλλ=--，()0,3,0EC =，设平面CEM 的法向量为(),,x y z =n ，则233(1)030EM x y z EC y λλλ⎧⋅=-++-=⎪⎨⋅==⎪⎩n n ，解得023(1)y x z λλ=⎧⎪⎨=-⎪⎩． 令2z λ=，则3(1)x λ=-，得()3(1),0,2λλ=-n ．因为PE ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的法向量()0,0,1=m ，所以22222cos |||43(1)763λλλλλλ⋅〈〉===⋅+--+n m n,m n |m ．因为二面角M EC D --的大小为60°，所以2212763λλλ=-+， 即23210λλ+-=，解得13λ=，或1λ=-（舍去）所以在棱PD 上存在点M ，当13PM PD =时，二面角M EC D --的大小为60°． …………………14分19. （共14分）解：（I ）f (x )的定义域为(1,)-+∞. ……………1分因为1'()1f x a x =-+，a = 2， 所以'(0)211f =-=，(0)0f =.所以 函数f (x )在点(0,(0))f 处的切线方程是 y x =. ……………4分 （II ）由题意可得 1'()1f x a x =-+. （1）当0a ≤时，'()0f x <， 所以()f x 在(1,)-+∞上为减函数，所以在区间[0,e 1]-上，min ()(e 1)(e 1)1f x f a =-=--. ……………6分(2) 当0a >时, 令1'()01f x a x =-=+，则111x a=->-，① 当110a-≤，即1a ≥时， 对于(0,e 1)x ∈-，'()0f x >，所以f (x )在(0,e 1)-上为增函数， 所以min ()(0)0f x f ==. ② 当11e 1,a -≥-，即10ea <≤时，对于(0,e 1)x ∈-，'()0f x <，所以f (x )在(0,e 1)-上为减函数， 所以min ()(e 1)(e 1)1f x f a =-=--. ③ 当101e 1,a<-<-即11ea <<时， 当x 变化时，()f x ，'()f x 的变化情况如下表：x0 1(0,1)a- 11a- 1(1,e 1)a-- e 1-'()f x-0 + ()f x极小值所以 min 111()(1)(1)ln 1ln f x f a a aa a a =-=--=-+. ………13分综上，当1e a ≤时，min ()(e 1)1f x a =--；当11ea <<时，min ()1ln f x a a =-+； 当1a ≥时，min ()0f x =. ……………14分20. （共13分）（Ⅰ）1，2，3； ……………3分 （Ⅱ）由题意可得，数列如下：第1组:1，第2组:1,2；第3组：1,2,4； L 第k 组：11,2,42k -，，L .则该数列的前(1)122k k k ++++=L 项的和为: 11(1)21(12)(122)22k k k k S k -++=+++++++=--L L ，①当(1)502k k +≤时，9k ≤，则 234101050451222221131220S S =+++++=-+=+，由于10101122202<+<，对p ∀∈N ，502p S ≠，故50不是“佳幂数”. ……………7分 （III ）（i ）在①中，要使(1)702+>k k ，有12≥k ，此时+1+11111+2+4++2=21=11112k k k kk k C C k ++--=++++->+（1+1）L L ，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,42k ，，L 的部分项的和， 设1*212221,N .t t k t -+=+++=-∈L所以2312=-≥t k ，则4≥t ，此时42313=-=k ，所以对应满足条件的最小“佳幂数”13144952m ⨯=+=. ……………11分（ii ）由（i ）知：1*212221,N .t t k t -+=+++=-∈L 当2≥t ，且取任意整数时，可得“佳幂数”(1)2k k m t +=+， 所以，该数列的“佳幂数”有无数个. ……………13分。

新洲区部分高中2019届高三第一学期末质量检测数学(理科)参考答案选择题1. D2. B3. B4. A5. A6. B7. A8. C9. B 10. B 11. C 12. B填空题1.2. --1603. 704. ①③④解答题17. （1）因为，，成等差数列．所以，由正弦定理得，即，而，所以，由，得…………………………………………….6分（2）因为，所以，又，，所以，即，所以．………………………………………12分18. （1）解法一：在题图所示的中，设，则由，知，为等腰直角三角形，所以由折起前知，折起后（如题图），，，且，所以平面．……………………………………………………….3分又，所以于是当且仅当，即时，等号成立，故当，即时，三棱锥的体积最大………………………………………..6分解法二：同解法一，得令由且，解得．当时，，当时，．所以当时，取得最大值．故当时，三棱锥的体积最大．（2）解法一：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由（1）知，当三棱锥的体积最大时，于是可得且．设，则．因为等价于，即故所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，．设平面的一个法向量为，由得．可取．设与平面所成角的大小为，则由可得即，故与平面所成角的大小为．……………………………….12分解法二：由（1）知，当三棱锥的体积最大时，如图，取的中点，连接，则．由（1）知平面，所以平面．如图，延长至点使得，连接，则四边形为正方形，所以．取的中点，连接，又为的中点，则，所以．因为平面，又平面，所以．又，所以平面．又平面，所以．因为，当且仅当，而点是唯一的，所以点是唯一的．即当（即是的靠近点的一个四等分点）时，．连接，由计算得所以与是两个共底边的全等的等腰三角形，如图所示，取的中点，连接，则平面．在平面中，过点作于，则平面．故是与平面所成的角．在中，易得所以是正三角形，故即与平面所成角的大小为. (参照解法一给分)19. （1）易知，，，所以，，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值；当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值．……………………………5分（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，，，联立消去，整理得，所以由得或又所以又因为，即，所以故由①，②得或…………………………………………….12分20.（1）……………………………………………………………………….2分（2）的取值：，，，，，，，，其分布列为………………………………………………..8分（3）4:1获胜的概率4:2获胜的概率4:3获胜的概率所以林高远获得冠军的概率为………………………………………..12分21.（1）定义域为，，由有：，函数在，上单调递增，在（，）上单调递减，的极大值为…………………………………………..4分（2）设，，不妨设，，所以又，由，在定义域内恒成立，又，所以，，即，构造函数所以，所以在，上恒成立，又所以恒成立，又只需要所以…………………………………………………………………………………..12分22. （1）由曲线的极坐标方程，得，所以曲线的直角坐标方程是．由直线的参数方程得，代入中，消去得，所以直线的普通方程为．……………………………………5分（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，设，两点对应的参数分别为，，则，，所以．因为原点到直线的距离，所以的面积是．………………………………..10分23. （1）当时，，即，原不等式等价于，解得，故不等式的解集为．…………………………….5分（2），原不等式等价于，由三角绝对值不等式的性质，得，原不等式等价于，又，所以，解得……………………………………………………………………………10分。

2019-2020学年高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题）1．i2020＝（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．已知集合A＝{x|0＜log2x＜2}，B＝{y|y＝3x+2，x∈R}，则A∩B＝（）A．（1，4）B．（2，4）C．（1，2）D．（1，+∞）3．若a＝ln2，，的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a4．当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是（）A．x3＜3x＜log3x B．3x＜x3＜log3xC．log3x＜x3＜3x D．log3x＜3x＜x35．已知cos（﹣α）＝2cos（π+α），且tan（α+β）＝，则tanβ的值为（）A．﹣7 B．7 C．1 D．﹣16．将函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数f（x）的一个单调减区间为（）A．B．C．D．7．设向量＝（1，﹣2），＝（a，﹣1），＝（﹣b，0），其中O为坐标原点，a ＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则+的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．98．若数列{a n}满足﹣＝d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20＝200，则x5+x16＝（）A．10 B．20 C．30 D．409．设函数f（x）＝x2+2cos x，x∈[﹣1，1]，则不等式f（x﹣1）＞f（2x）的解集为（）A．（﹣1，）B．[0，）C．（] D．[0，]10．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）A．B．C．D．11．已知向量、、满足，，，E、F分别是线段BC、CD的中点．若，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．12．已知变量x1，x2∈（0，m）（m＞0），且x1＜x2，若x1＜x2恒成立，则m的最大值为（）A．e B．C．D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡横线上．13．已知数列{a n}满足a1＝1，前n项和未s n，且s n＝2a n（n≥2，n∈N*），则{a n}的通项公式a n＝．14．已知边长为3的正△ABC三个顶点都在球O的表面上，且OA与平面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为．15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2+b＝4，则＝．16．如图，已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ＝60°，且＝3，则双曲线的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共70分17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足．（1）求A．（2）若△ABC的面积，求△ABC的周长．18．棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏．若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为P n．（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望；（2）证明：（3）求P99，P100的值．19．如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴截面）BC是圆柱底面的直径，O 为底面圆心，E为母线CC1的中点，已知AB＝AC＝AA1＝4（1）求证：B1O⊥平面AEO（2）求二面角B1﹣AE﹣O的余弦值．20．椭圆C焦点在y轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为2﹣．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交与P，Q两点，O为坐标原点，△OPQ的面积S△OPQ＝1，则||2+||2是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由．21．已知函数f（x）＝e x cos x﹣x sin x，g（x）＝sin x﹣e x，其中e为自然对数的底数．（1）∀x1∈[﹣，0]，∃x2∈[0，]，使得不等式f（x1）≤m+g（x2）成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ＝4cosθ．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）直线l与曲线C交于A、B两点，点P（1，2），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣4|．（1）解不等式f（x）≤6；（2）若不等式f（x）+|x﹣4|＜a2﹣8a有解，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上）1．i2020＝（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】直接利用虚数单位i的运算性质求解．解：i2020＝i4×505＝（i4）505＝1．故选：A．2．已知集合A＝{x|0＜log2x＜2}，B＝{y|y＝3x+2，x∈R}，则A∩B＝（）A．（1，4）B．（2，4）C．（1，2）D．（1，+∞）【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．解：由A中不等式变形得：log21＝0＜log2x＜2＝log24，即1＜x＜4，∴A＝（1，4），由B中y＝3x+2＞2，得到B＝（2，+∞），则A∩B＝（2，4），故选：B．3．若a＝ln2，，的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a【分析】利用对数函数的性质，判断a＞，b＜，利用定积分的性质求得c＝，即可判断a、b和c的大小．解：a＝ln2＞ln＝，＝＜，＝＝∴a＞c＞b，故选：A．4．当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是（）A．x3＜3x＜log3x B．3x＜x3＜log3xC．log3x＜x3＜3x D．log3x＜3x＜x3【分析】利用指数函数与对数函数、幂函数的单调性即可得出．解：∵0＜x＜1，∴log3x＜0＜x3＜1＜3x，∴log3x＜x3＜3x，故选：C．5．已知cos（﹣α）＝2cos（π+α），且tan（α+β）＝，则tanβ的值为（）A．﹣7 B．7 C．1 D．﹣1【分析】由题意利用诱导公式求得tanα的值，再利用两角和的正切公式，求得tanβ的值．解：∵已知cos（﹣α）＝2cos（π+α），即 sinα＝﹣2cosα，即 tanα＝﹣2．又∵tan（α+β）＝＝＝，则tanβ＝7，故选：B．6．将函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数f（x）的一个单调减区间为（）A．B．C．D．【分析】首先利用三角函数的平移变换的应用和正弦型函数的整体思想的应用求出结果．解：函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，即：把函数的图象，向左平移个单位，即得到f（x）的图象，故：＝sin（2x+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），当k＝0时，，由于：，故选：A．7．设向量＝（1，﹣2），＝（a，﹣1），＝（﹣b，0），其中O为坐标原点，a ＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则+的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．9【分析】利用向量共线定理可得：2a+b＝1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：＝（a﹣1，1），＝（﹣b﹣1，2），∵A，B，C三点共线，∴2（a﹣1）﹣（﹣b﹣1）＝0，化为：2a+b＝1．又a＞0，b＞0，则+＝（2a+b）＝4++≥4+2＝8，当且仅当b＝2a＝时取等号．故选：C．8．若数列{a n}满足﹣＝d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20＝200，则x5+x16＝（）A．10 B．20 C．30 D．40【分析】由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴﹣＝x n+1﹣x n＝d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20＝200＝∴x1+x20＝20又∵x1+x20＝x5+x16∴x5+x16＝20故选：B．9．设函数f（x）＝x2+2cos x，x∈[﹣1，1]，则不等式f（x﹣1）＞f（2x）的解集为（）A．（﹣1，）B．[0，）C．（] D．[0，]【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性进行转化求解即可．解：函数f（﹣x）＝（﹣x）2+2cos（﹣x）＝x2+2cos x＝f（x），则函数f（x）是偶函数，函数的导数f′（x）＝2x﹣2sin x＝2（x﹣sin x），[f′（x）]′＝2﹣2cos x≥0，即f′（x）在[﹣1，1]是为增函数，则当0≤x≤1时，f′（x）≥f′（0）＝0，即f（x）在[0，1]上为增函数，则不等式f（x﹣1）＞f（2x）等价为f（|x﹣1|）＞f（|2x|），得得，得得，得0≤x＜，又即不等式的解集为[0，），故选：B．10．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）A．B．C．D．【分析】若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点，由此可知＝，从而能够得到结果．解：若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点，则＝＝．故选：A．11．已知向量、、满足，，，E、F分别是线段BC、CD的中点．若，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，结合求得，从而向量与向量的夹角为．解：如图＝．由，，可得∴cos＝，则，从而向量与向量的夹角为．故选：A．12．已知变量x1，x2∈（0，m）（m＞0），且x1＜x2，若x1＜x2恒成立，则m的最大值为（）A．e B．C．D．1【分析】在不等式两边同时取对数，然后构造函数f（x）＝，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．解：对不等式两边同时取对数得lnx1＜lnx2，即x2lnx1＜x1lnx2，即＜恒成立，设f（x）＝，x∈（0，m），∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数，函数的导数f′（x）＝＝，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，即函数f（x）的最大增区间为（0，e），则m的最大值为e故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡横线上．13．已知数列{a n}满足a1＝1，前n项和未s n，且s n＝2a n（n≥2，n∈N*），则{a n}的通项公式a n＝．【分析】由已知可得数列{a n}满足a1＝1，从第二项开始，数列{a n}成以1为首项以2为公比的等比数列，进而得到答案．解：当n≥2时，s n＝2a n，……①令n＝2，则s2＝a1+a2＝1+a2＝2a2，故a2＝1，令n≥3，则s n﹣1＝2a n﹣1，……②①﹣②得：a n＝2a n﹣2a n﹣1，即a n＝2a n﹣1，即从第二项开始，数列{a n}成以1为首项以2为公比的等比数列，故a n＝，故答案为：．14．已知边长为3的正△ABC三个顶点都在球O的表面上，且OA与平面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为16π．【分析】求出边长为3的正△ABC的外接圆的半径，利用OA与平面ABC所成的角为30°，求出球O的半径，即可求出球O的表面积．解：边长为3的正△ABC的外接圆的半径为＝，∵OA与平面ABC所成的角为30°，∴球O的半径为＝2，∴球O的表面积为4πR2＝16π．故答案为：16π．15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2+b＝4，则＝．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求b＝4cos218°，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简得答案．解：∵a＝2sin18°，若a2+b＝4，∴b＝4﹣a2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°，∴＝＝＝，故答案为：．16．如图，已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ＝60°，且＝3，则双曲线的离心率为．【分析】确定△QAP为等边三角形，设AQ＝2R，则OP＝R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论解：因为∠PAQ＝60°且＝3，所以△QAP为等边三角形，设AQ＝2R，则OP＝R，渐近线方程为y＝x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM＝由勾股定理可得（2R）2﹣R2＝（）2，所以（ab）2＝3R2（a2+b2）①在△OQA中，＝，所以7R2＝a2②①②结合c2＝a2+b2，可得e＝＝．故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共70分17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足．（1）求A．（2）若△ABC的面积，求△ABC的周长．【分析】（1）结合已知及正弦定理进行化简可求cos A，进而可求A，（2）结合三角形的面积公式可求bc，然后结合余弦定理可求b+c，进而可求．解：（1），由正弦定理可得：，∴，∴，且A∈（0，π），∴，（2），∴bc＝12，又a2＝b2+c2﹣2b cos A，∴9＝（b+c）2﹣3bc，∴，即△ABC的周长为．18．棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏．若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为P n．（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望；（2）证明：（3）求P99，P100的值．【分析】（1）由题意得X的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（2）棋子先跳到第n﹣2站，再掷出反面，其概率为，棋子先跳到第n﹣1站，再掷出正面，其概率为，从而，由此能证明.．（3）数列{P n﹣P n﹣1}（n≥1）是首项为{P n﹣P n﹣1}（n≥1），，公比为的等比数列．从而，由此能求出P99，P100的值．解：（1）解：由题意得X的可能取值为3，4，5，6，P（X＝3）＝（）3＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝（）3＝．∴X的分布列如下：∴．（2）证明：棋子先跳到第n﹣2站，再掷出反面，其概率为，棋子先跳到第n﹣1站，再掷出正面，其概率为，∴，即，∴.．（3）解：由（2）知数列{P n﹣P n﹣1}（n≥1）是首项为{P n﹣P n﹣1}（n≥1），，公比为的等比数列．∴，由此得到，由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故．19．如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴截面）BC是圆柱底面的直径，O 为底面圆心，E为母线CC1的中点，已知AB＝AC＝AA1＝4（1）求证：B1O⊥平面AEO（2）求二面角B1﹣AE﹣O的余弦值．【分析】（1）依题意可知，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能证明B1O⊥平面AEO．（2）求出平面AEO的法向量和平面B1AE的法向量，利用向量法能求出二面角B1﹣AE﹣F 的余弦值．【解答】证明：（1）依题意可知，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，因为AB＝AC＝AA1＝4，则A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），B1（4，0，4），C（0，4，0），O（2，2，0），＝（﹣2，2，﹣4），＝（2，﹣2，﹣2），＝（2，2，0），•＝（﹣2）×2+2×（﹣2）+（﹣4）×（﹣2）＝0，∴⊥，∴B1O⊥EO，＝（﹣2）×2+2×2+（﹣4）×0＝0，∴⊥，∴B1O⊥AO，∵AO∩EO＝O，AO，EO⊂平面AEO，∴B1O⊥平面AEO．（2）由（1）知，平面AEO的法向量为＝（﹣2，2，﹣4），设平面B1AE的法向量为＝（x，y，z），，则，令x＝2，则＝（2，2，﹣2），∴cos＜＞＝＝＝，∴二面角B1﹣AE﹣F的余弦值为．20．椭圆C焦点在y轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为2﹣．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交与P，Q两点，O为坐标原点，△OPQ的面积S△OPQ＝1，则||2+||2是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和两点的距离公式，及a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，结合三角形的面积公式，点到直线的距离公式和弦长公式，化简整理，即可得到所求和为定值5．解：（Ⅰ）由题意可得，解得，可得b2＝a2﹣c2＝1，即有椭圆C的标准方程为：；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（1）当l斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，S△OPQ＝|x1|•|y1|＝1，又，解得，||2+||2＝2（x12+y12）＝2×（+2）＝5；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，由题意知m≠0，将其代入，得（k2+4）x2+2kmx+m2﹣4＝0，即有，则，O到PQ距离，则，解得k2+4＝2m2，满足△＞0，则，即有||2+||2＝（x12+y12）（x22+y22）＝＝＝﹣3+8＝5，综上可得||2+||2为定值5．21．已知函数f（x）＝e x cos x﹣x sin x，g（x）＝sin x﹣e x，其中e为自然对数的底数．（1）∀x1∈[﹣，0]，∃x2∈[0，]，使得不等式f（x1）≤m+g（x2）成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．【分析】（1）根据题意便知，f（x）max≤m+g（x）max，这样可根据导数求f（x），g（x）的最大值：求导数f′（x），容易说明f′（x）＞0，从而可以得出f（x）在上单调递增，从而可求出最大值为1；同样的办法，求，可设h（x）＝g′（x），再求导便可得出h（x）＜0在上恒成立，从而得出g（x）单调递减，从而可以得出最大值为g（0）＝，从而便可得到1，这样便可得出实数m的取值范围；（2）先求出f（x）﹣g（x）＝，根据导数可以证明e x≥x+1，而显然恒成立，从而有，而根据两角和的余弦公式即可说明（x+1）（cos x+）﹣sin x（x+1）≥0，并且可以看出这个等号和前面不等式的等号不同时取到，从而便证出f（x）﹣g（x）＞0．解：（1）f′（x）＝e x cos x﹣e x sin x﹣sin x﹣x cos x；∵；∴cos x≥0，sin x≤0，e x＞0；∴e x cos x﹣e x sin x﹣sin x﹣x cos x＞0；即f′（x）＞0；∴f（x）在上单调递增；∴f（x）的最大值为f（0）＝1；，设h（x）＝g′（x），则：；∵；∴；∴h′（x）＜0；∴h（x）在[0，]上单调递减；∴h（x）的最大值为h（0）＝；∴h（x）＜0，即g′（x）＜0；∴g（x）在[0，]上单调递减；∴g（x）的最大值为g（0）＝；根据题意知，f（x）max≤m+g（x）max；∴；∴；∴实数m的取值范围为；（2）；设F（x）＝e x﹣（x+1），则F′（x）＝e x﹣1；∴x∈（﹣1，0）时，F′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0；∴F（x）在（﹣1，+∞）上的最小值为F（0）＝0；∴F（x）≥0；∴e x≥x+1在x∈（﹣1，+∞）上恒成立；；∴①，x＝0时取“＝”；∴；＝＝；；∴，该不等式和不等式①等号不能同时取到；∴；∴f（x）﹣g（x）＞0．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ＝4cosθ．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）直线l与曲线C交于A、B两点，点P（1，2），求|PA|+|PB|的值．【分析】（1）由直线l的参数方程，能求出l的普通方程；由曲线C的极坐标方程，能求出曲线C的直角坐标方程．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得，由此能求出|PA|+|PB|的值．解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），由得，∴l的普通方程为：，∵C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，∴x2+y2＝4x，∴C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x＝0．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得：，∴，∴，∴t1，t2同号，∴．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣4|．（1）解不等式f（x）≤6；（2）若不等式f（x）+|x﹣4|＜a2﹣8a有解，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）≤6的解集；（2）利用绝对值不等式求出f（x）+|x﹣4|的最小值，问题化为关于a的不等式，求解集即可．解：（1）由已知得当时，不等式f（x）≤6化为﹣3x+3≤6，解得x≥﹣1，所以取；当时，不等式f（x）≤6化为x+5≤6，解得x≤1，所以取；当x＞4时，不等式f（x）≤6化为3x﹣3≤6，解得x≤3，不合题意，舍去；综上知，不等式f（x）≤6的解集为[﹣1，1]．（2）由题意知，f（x）+|x﹣4|＝|2x+1|+|2x﹣8|≥|（2x+1）﹣（2x﹣8）|＝9，当且仅当﹣≤x≤4时取等号；由不等式f（x）+|x﹣4|＜a2﹣8a有解，则a2﹣8a＞9，即（a﹣9）（a+1）＞0，解得a＜﹣1或a＞9；所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．。

湖北武汉武昌2019高三上年末调研考试--数学（理）数学(理)本试题卷共4页，共22题。

总分值150分，考试用时120分钟。

本卷须知1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试题卷上无效。

3、非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直截了当答在答题卡上的每题所对应的答题区域内。

答在试题卷上或答题卡指定区域外无效。

4、考试结束，监考人员将答题卡收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。

【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、 1、复数3122i ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭〔i 为虚数单位〕的值是〔 〕A 、-1B 、1C 、-iD 、iA 、所有奇数的立方都不是奇数B 、不存在一个奇数，它的立方是偶数C 、存在一个奇数，它的立方是偶数D 、不存在一个奇数，它的立方是奇数3、某天清晨，小明同学生病了，体温上升，吃过药后感受好多了，中午时他的体温差不多正常，然而下午他的体温又开始上升，直到半夜才感受身上不那么发烫了、下面大致能反映出小明这一天〔0时~24时〕体温的变化情况的图是〔〕4、数列{a n }是等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99，{a n }的前n 项和为S n ，那么使得S n 达到最大的n 是〔〕 A 、18B 、19C 、20D 、215、某多面体的三视图〔单位：cm 〕如下图，那么此多面体的体积是〔〕 A 、312cmB 、23cm 3C 、56cm 3D 、78cm36、a>b ，二次三项式ax 2+2x+b ≥0关于一切实数x 恒成立、又o x R ∃∈，使220o oax x b ++=成立，那么22a b a b+-的最小值为〔〕A 、1BC 、2D 、7、过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，那么|AF|·|BF|的最小值是〔〕 A 、2BC 、4D 、8、变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，那么z=3|x|+y 的取值范围为〔〕 A 、[-1,5] B 、[1,11]C 、[5,11]D 、[-7,11]9、函数f 〔x 〕=23420122013123420122013x x x x x x ⎛⎫+-+-+-+ ⎪⎝⎭cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为〔〕 A 、3B 、4C 、5D 、610、O 是锐角三角形ABC 的外心，由O 向边BC ，CA ，AB 引垂线，垂足分别是D ，E ，F ，给出以下命题： ———}-}———} ①0OA OB OC ++=； ②0OD OE OF ++=；③||OD ：||OE ：||OF =cosA ：cosB ：cosC; ④R λ∃∈，使得()||||AB ACAD AB SINB AC SINCλ=+。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 设集合{}||2|3A x x =-<，N 为自然数集，则A N 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】考点：集合的运算． 2.i 是虚数单位，则11i=+（ ） A ．12i- B ．12i +-C ．12i+ D ．12【答案】A 【解析】 试题分析：1111(1)(1)2i ii i i --==++-．故选A ． 考点：复数的运算．3. 已知a ,b 是空间两条直线，α是空间一平面，b α⊂，若p ：//a b ；q ：//a α，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：//,a b b α⊂时，可能有a α⊂，所以p 不是q 的充分条件，同样当//a α时，a与b 可能平行也可能异面．所以p 也不是q 的必要条件．故选D ． 考点：充分必要条件的判断．4.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则43S S =（ ） A ．5 B ．152C ．73 D ．157【答案】D考点：等比数列的通项公式与前n 项和． 5. 要得到函数sin(4)4y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图象（ ）A ．向左平移16π个单位B ．向右平移16π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位【答案】B 【解析】试题分析：sin(4)sin 4()416y x x ππ=-=-，所以可把sin 4y x =的图象向右平移16π个单位，故选B ．考点：三角函数的图象平移．6. 函数213()log (9)f x x =-的单调递增区间为（ ）A ．()0,+∞B ．(),0-∞C ．()3,+∞D ．(),3-∞-【答案】D 【解析】试题分析：29033x x x ->⇒<->或，当3x <-时，29t x =-递减，当3x >时，29t x =-递增，又13log y t =是减函数，所以()f x 的增区间是(,3)-∞-，故选D ．考点：函数的单调性．7. 若向量(1,2)a =-，(1,1)b =--，则42a b +与a b -的夹角等于（ ）A ．4π-B ．6πC ．4πD ．34π 【答案】C 【解析】试题分析：42(6,6)a b +=-，(0,3)a b -=，设所求夹角为θ，则(42)()cos (42)()a b a b a b a b θ+⋅-=+-==，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=．故选C ． 考点：平面向量的夹角．8. 若二次项8()ax x-的展开式中常数项为280，则实数a =（ ）A ．2B ．2±C ．D【答案】C考点：二项式定理的应用．【名师点睛】二项式()na b +展开式的通项公式为1r n r rr n T C a b -+=，由这个通项公式可求展开式中的特定项，求某一项的系数，二项式系数等等，这个公式是解题的关键之一．9. 可采用如图所示的算法，则图中①处应填的语句是（ ）A ．T T =B ．T T a =⋅C ．T a =D ．T =【答案】B【解析】=B．考点：程序框图．10. 如图，网格之上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，若该几何体的体积为20，则该几何体的表面积为（）A．72 B．78 C．66 D．62【答案】A【解析】考点：三视图，体积与表面积．11. 连续地掷一枚质地均匀的骰子4次，正面朝上的点数恰有2次为3的倍数的概率为（）A ．116B ．827C ．281D ．481【答案】B 【解析】考点：独立重复试验恰好发生k 次的概率．【名师点睛】概率问题理解角度不同选用公式就不一样，本题中记事件A 为“掷一枚质地均匀的骰子1次，正面朝上的点数恰为3的倍数”，则21()63P A ==，而题中事件能够看是抛掷骰子4次，事件A 恰好发生2次，显然每次抛掷都是相互独立的，所以可选用独立重复试验恰好发生k 次的概率公式求解，而这类问题也可用古典概型概率公式求解，抛掷骰子4次，向上一面的点可能是46种可能，恰有2次为3的倍数即4次是有2次是3的倍数，另2次不是3的倍数，这样共有222424C ⨯⨯中可能，从而可计算概率．12. 已知双曲线Γ：22221y x a b -=（0a >0b >）的上焦点为(0,)F c （0c >），M 是双曲线下支上的一点，线段MF 与圆2222039c a x y y +-+=相切于点D ，且||3||MF DF =，则双曲线Γ的渐进线方程为（ ） A ．40x y ±= B ．40x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】D 【解析】试题分析：设下焦点为1(0,)F c -，圆2222039c a x y y +-+=的圆心为(0,)3cQ ，易知圆的半径为3b QD =，易知122333cF F c QF ==⨯=，又3MF DF =，所以1//F M QD ，且13F M QD b ==，又QD MF ⊥，所以1F M MF ⊥，则112MO F F c ==，设(,)M x y ，由222222()x y c x y c b⎧+=⎪⎨++=⎪⎩得考点：直线与圆的位置关系，双曲线的几何性质．【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出,a b 之间的关系．解决解析几何问题还能纯粹地实行代数计算，那样做计算量很大，事倍功半，事倍功半，而是借助几何性质实行简化计算．本题中直线MF 与圆相切于D ，且3MF DF =，通过引入另一焦点1F ，圆心Q ，从而得出1F M MF ⊥，1F M b =，这样易于求得M 点坐标（用,,a b c 表示），代入双曲线方程化简后易得结论．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若实数x 、y 满足约束条件2,2,2,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最大值是 ．【答案】6 【解析】试题分析：作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作出线:20l x y +=，平移直线l ，当它过点(2,2)B时，z 取得最大值6．考点：简单的线性规划． 14. 曲线1x y x =+在点1(1,)2处的切线方程为 ． 【答案】410x y -+= 【解析】 试题分析：2211'(1)(1)x x y x x +-==++，1x =时，1'4y =，所以切线方程为11(1)24y x -=-，即410x y -+=． 考点：导数的几何意义．15. 已知抛物线Γ：22x y =，过点(0,2)A -和(,0)B t 的直线与抛物线没有公共点，则实数t 的取值范围是 ． 【答案】(,1)(1,)-∞-+∞考点：直线与抛物线的位置关系．【名师点睛】直线与抛物线位置关系有相交，相切，相离三种，判断方法是：把直线方程与抛物线方程联立方程组，消去一个未知数后得一个一元二次方程，Δ0>⇔相交，有两个交点，Δ0=⇔相切，有一个公共点，Δ0<⇔相离，无公共点，注意有一个公共点时不一定是相切，也能与对称轴平行，为相交．16. 已知2,0,()ln(1),0x ax x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩，()2()F x f x x =-有2个零点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：由题意，()F x 有两个零点，即函数()y f x =的图象与直线2xy =有两个交点，直线2x y =过原点，又(0)0f =，所以一个交点为原点，又记()ln(1)g x x =+，1'()1g x x =+，1'(0)12g =>，即ln(1)y x =+在原点处切线斜率大于12，并随x 的增大，斜率减小趋向于0，可知()f x 的图象与直线2x y =在0x >还有一个交点，所以22xx ax +=没有负实数根．所以102a -≥，12a ≤． 考点：函数的零点．【名师点睛】函数的零点，是函数图象与x 轴交点的横坐标，零点个数就是方程解的个数，对于较复杂的函数零点问题一般要转化为两函数图象的交点问题，这样能够应用数形结合思想，借助函数图象观察寻找方法与结论．在转化时要注意含有参数的函数最好是直线，或者是基本初等函数，这样它们的变化规律易于掌握，交点个数易于判断．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为2．对任意的*n N ∈，n b 是n a 和1n a +的等比中项．221n n n c b b +=-，*n N ∈． （1）求证：数列{}n c 是等差数列； （2）若116c =，求数列{}n a 的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）2n a n =． 【解析】试题解析：（1）证明：∵21n n n b a a +=，∴2222111()()n n n n n n c c b b b b -+--=---12111()()n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=---1211()()n n n n n n a a a a a a +++-=---122n n a d a d +=⋅-⋅12()n n d a a +=-228d ==（常数），∴数列{}n c 是等差数列．（2）解：116c =，则22218b b -=，∴231216a a a a ⋅-=，231()16a a a -=，1()216a d d +⋅=， 解得12a =，∴2(2)22n a n n =+-⋅=．考点：等差数列的判断，等差数列的通项公式． 【名师点睛】等差数列的判断方法． 在解答题中常用：（1）定义法，对于任意的2n ≥，证明1n n a a --为同一常数； （2）等差中项法，证明122n n n a a a --=+（3,*n n N ≥∈）； 在选择填空题中还可用：（3）通项公式法：证n a pn q =+（,p q 为常数）对任意的正整数n 成立； （4）前n 项和公式法：证2n S An Bn =+（,A B 是常数）对任意的正整数n 成立．18．△ABC 的内角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，已知222()2cos a b ac B bc -=+．（1） 求角A ；（2）若点D 为边BC 上一点，且2BD DC =，BA ⊥AD ，求角B ． 【答案】（1）23A π=；（2）6B =π． 【解析】试题解析：（1）由222cos 2a c b B ac +-=，得222222()22a c b a b ac bc ac+--=⋅+， 即222b c a bc +-=-．∴2221cos 22b c a A bc +-==-，∵0A π<<，∴23A π=． （2）设DC 为1个单位长度，则2BD =． 在Rt ABD ∆中，cos 2cos AB BD B B ==． 在△ADC 中，由正弦定理sin sin CD AC DAC ADC =∠∠，即12sin()sin()322ACB πππ=-+． ∴2cos AC B =，∴AB AC =，故6B C π==．考点：余弦定理，正弦定理．19. 如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=︒，2BC AD =，△PAB 与△PAD 都是等边三角形．（1）证明：CD ⊥平面PBD ；（2）求二面角C PB D --的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】解三角形可得此角．试题解析：（1）证明：过P 作PO ⊥平面ABCD 于O ，连OA ． 依题意PA PB PD ==，则OA OB OD ==．又△ABD 为Rt ∆，故O 为BD 的中点．∵PO ⊂面PBD ，∴面PBD ⊥面ABCD ．在梯形ABCD 中，222CD DB CB +=，考点：线面垂直的判断，二面角．20. 某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图．现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”．（1）记甲班“口语王”人数为m ，乙班“口语王”人数为n ，比较m ，n 的大小．（2）随机从“口语王”中选择2人，记X 为来自甲班“口语王”的人数，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）m n <；（2）分布列见解析，期望为89． 【解析】 试题分析：（1）由茎叶图求出甲乙的平均数，从而得出4,5m n ==，所以得结论m n <；（2）从9人取任取2人，而甲班“口语王”有4人，所以随机变量X 的取值可能为0,1,2，由古典概型概率公式计算出概X 的分布列为∴5()01218969E X =⨯+⨯+⨯=． 考点：茎叶图，随机变量的分布列，数学期望．21. 如图，已知椭圆Γ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 、2F 分别作两条平行直线AB 、CD 交椭圆Γ于点A 、B 、C 、D ．（1）求证：||||AB CD =；（2）求四边形ABCD 面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）ABCD S 的最大值为6．【解析】试题分析：（1）圆锥曲线中证明两线段相等，一般要用解析法，计算这两条线段的长度得相等结论，直线AB 斜率不可能为0，所以可设设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB l ：1x my =-．所1x my =-代入椭圆方程得出y 的一元二次方程，从而得1212,y y y y +，由圆锥曲线上的弦长2y -，同理CD 方程为1x my =+，并设33(,)C x y ，44(,)D x y ，最后计算出CD ，它们相等；（2）原点O 实质上是平行四边形ABCD 对角线的交点，而112121122AOB S OF y y y y ∆=-=-，从而可得ABCD S =211t m =+≥，所以只要求得1()96h t t t=++的最小值，即可得结论，此最小值可用函数的单调性得出（可先用基本不等式求解，发现基本不等式中等号不能取到）．试题解析：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB l ：1x my =-． 联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22(34)690m y my +--=． ∴122634m y y m +=+，122934y y m =-+．（2）由（1）知四边形ABCD 为平行四边形，4ABCD S S AOB =∆，且121||||2AOB S OF y y ∆=⋅-．∴1242||ABCD AOB S S y y ∆==-==考点：直线与圆锥曲线相交综合问题．【名师点睛】若直线y kx b =+与椭圆相交于两点1122(,),(,)A x y B x y ，则2x2y =-，由直线方程与椭圆方程联立方程组消元后，应用韦达定理可得1212,x x x x +（或1212,y y y y +），这实质上解析几何中的是“设而不求”法． 22. 已知函数3()3||2f x x x a =+-+（a R ∈）．（1）当0a =时，讨论()f x 的单调性；（2）求()f x 在区间[]0,2上的最小值．【答案】（1）()f x 的增区间为(,1)-∞-，(0,)+∞，减区间为(1,0)-；（2）当0a ≤时，()f x 的最小值为32a -+；当01a ≤≤时，()f x 的最小值为32a +；当1a ≥时，()f x 的最小值为3a ．【解析】试题分析：(1)研究单调性，可求出导函数'()f x ，然后解不等式'()0f x >得单调增区间，解不等式'()0f x <得减区间，注意绝对值，要分类求解；（2）因为[0,2]x ∈，所以先分类0a ≤，2a ≥，02a <<，前两种情形，绝对值符号直接去掉，所以只要用导数'()f x 研究单调性可得最值，第三种情形同样要去绝对值符号，仅仅此时是分段函数，333()2,2,()3()2,0.x x a a x f x x x a x a ⎧+-+≤≤⎪=⎨--+≤≤⎪⎩，2233,2,'()33,0.x a x f x x x a ⎧+≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩，能够看出这时又要分类：01a <<，12a ≤≤，得单调性再得最小值．试题解析：（1）当0a =时，3()3||2f x x x =++．① 当0x ≥时，3()32f x x x =++，2'()330f x x =+>，②②0a ≤时，3()3()2f x x x a =+-+，02x ≤≤， 2'()330f x x =+>，()f x 在[]0,2单调递增，∴min ()(0)32f x f a ==-+．③02a <<时，而02x ≤≤，333()2,2,()3()2,0.x x a a x f x x x a x a ⎧+-+≤≤⎪=⎨--+≤≤⎪⎩ ∴2233,2,'()33,0.x a x f x x x a ⎧+≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩ （i ）01a <<时，()f x 在[],2a 上单增，()f a 为最小值．2'()3(1)0f x x =-<在0x a ≤≤上恒成立， ∴()f x 在[]0,a 上单调递减，∴3min ()()2f x f a a ==+．（ii ）12a ≤≤时，()f x 在[],2a 上单调递增，3min ()()2f x f a a ==+． 在0x a ≤≤时，2'()3(1)f x x =-，考点：分段函数，用导数研究函数的单调性、最值．。