一种新的复合重心有理Hermite插值方法

hermitage插值法【实用版】目录1.概述 Hermite 插值法2.Hermite 插值法的基本原理3.Hermite 插值法的应用实例4.Hermite 插值法的优点与局限性正文1.概述 Hermite 插值法Hermite 插值法是一种基于分段多项式的插值方法，用于在给定区间内对已知数据点进行插值。

它是一种三次样条插值法，可以提供比其他低阶插值方法更精确的结果。

Hermite 插值法的名称来自于法国数学家Charles Hermite，他在 19 世纪末开发了这种方法。

2.Hermite 插值法的基本原理Hermite 插值法的基本思想是使用一个三次多项式来表示给定数据点之间的函数。

该多项式可以写成：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3其中，a0、a1、a2 和 a3 是待定系数，需要通过给定的数据点来确定。

为了找到这些系数，Hermite 插值法使用了三个约束条件：（1）插值多项式在区间的端点处取到给定的函数值，即：f(x0) = a0 + a1x0 + a2x0^2 + a3x0^3 = y0f(x1) = a0 + a1x1 + a2x1^2 + a3x1^3 = y1（2）插值多项式在区间的中点处取到区间的平均值，即：f((x0 + x1) / 2) = (f(x0) + f(x1)) / 2（3）插值多项式的一阶导数在区间的中点处等于给定函数在该点的导数值，即：f"(((x0 + x1) / 2)) = (f"(x1) - f"(x0)) / (x1 - x0)通过解这组线性方程组，可以得到插值多项式的系数 a0、a1、a2 和a3。

一旦得到这些系数，就可以用插值多项式来近似表示给定函数在给定区间内的行为。

3.Hermite 插值法的应用实例Hermite 插值法广泛应用于数值分析、工程计算和计算机图形学等领域。

例如，在计算机图形学中，Hermite 插值法可以用来在给定控制点之间生成平滑的贝塞尔曲线。

x x0 x1 x0
2
将以上结果代入
8
H3( x) f00( x) f11( x) f00( x) f11( x) 得两个节点的三次Hermite插值公式
H3( x) f00( x) f11( x) f00( x) f11( x)
f0 (1 2l1( x)) l02( x) f1(1 2l0( x)) l12( x)
x0 x1
以上分析都能成立吗？
当f (4) (x)在[x0 , x1]上存在时, 上述余项公式成立
12
Hermite插值法定理1 满足插值条件:
Hn1( xi ) Hn1( xi )
yi yi
f f
( xi ) , ( xi )
i 0,1,
,n
Hermite值问题的解存在且唯一.
Hermite插值法定理2
P( xi ) f ( xi ) fi P( xi ) f (xi ) fi P( xi ) f ( xi ) fi
i 0,1,, n --------(2)
P(m) ( xi )
f (m) ( xi )
f (m) i
3
定义1. 称满足(1)或(2)式的插值问题为Hermite插值， 称满足(1)或(2)式的插值多项式P(x)为Hermite插值多项 式，记为 Hk (,x) 为k多项式次数.
f0( x x0 ) l02 ( x) f1( x x1) l12 ( x)
f0 1 2
x x0 x1 x0
x x1 x0 x1
2
f1
1
2
x x0
x1 x1
x x1
x0 x0
2
f0 x
x0
x x0

------(4)
显然满足条件(3),(4)的多项式(2)的次数不大于n+r+1次， 且满足插值条件(1).
1.求解 hk (x) (k 0,1,n)
由条件(3)知 xi (i 0,1,, r;i k) 是 hk (x) 的二重
零点 .
ppt课件
3
且由条件(3)知 xi
的零点 .
(i
h0
(
x)

(1

2
x x1

x0 x0
)(
x x0
x1 x1
)
2
h1(
x)

(1

2
x x0

x1 x1
)(
x x1

x0 x0
)2
h0
(
x)

(
x

x0
)(
x x0
x1 x1
)2
h1
(
x)

(
x

x1
)(
x x1

x0 x0
)2
多项式(12)常用作分段低次插pp值t课件， 称为分段三次 Hermite插16值.
i0
i r 1
ik
由条件(3)知hk (xk ) 1
C r
1
n
(xk xi )2 (xk xi )
i0
i r 1
ik
将C代入式(7)，得
------(7)
hk
(x)

wr (x) wr (xk )
lkn ( x),
k r 1, r 2,, n -(8)
i0

scipy hermit插值法SciPy是一个Python科学计算库，其中包含了许多用于数值计算和数据处理的工具。

Hermit插值是SciPy中的一个插值方法，它是一种多项式插值的方法，可以用于逼近给定数据点的函数。

Hermit插值法通过在每个数据点处给定函数值和导数值来构造插值多项式，从而可以更好地逼近原始数据。

在SciPy中，可以使用`scipy.interpolate`模块中的`PchipInterpolator`类来进行Hermit插值。

PchipInterpolator 是一种分段三次Hermite插值，它可以在不需要进行预先计算的情况下对数据进行插值。

以下是一个简单的示例代码，演示了如何在SciPy中使用PchipInterpolator进行Hermit插值：python.import numpy as np.from scipy import interpolate.# 创建一些示例数据。

x = np.array([0, 1, 2, 3, 4])。

y = np.array([0, 1, 4, 9, 16])。

# 使用PchipInterpolator进行Hermit插值。

f = interpolate.PchipInterpolator(x, y)。

# 生成插值后的数据点。

x_new = np.linspace(0, 4, 100)。

y_new = f(x_new)。

在这个示例中，我们首先创建了一些示例数据点x和y，然后使用PchipInterpolator对这些数据点进行Hermit插值。

最后，我们生成了插值后的数据点x_new和y_new，这样就得到了插值曲线。

值得注意的是，Hermit插值法可以在数据点之间产生光滑的曲线，同时保持了原始数据的特征。

除了PchipInterpolator之外，SciPy中还提供了其他的插值方法，如线性插值、三次样条插值等。

每种插值方法都有其适用的场景和特点，可以根据具体的需求选择合适的插值方法。

给 出一 个算 例 。 关键 词 ： ｅｍｉ Ｈ ｒ ｔ 值 ； 函 数 ； 值 条件 ｅ插 基 插 中 图分 类 号 ： ２ １ ０ ４． ３
文献 标 识 码 ： Ａ
ＭＲ（０ ０ Ｓ ｂｅｔ ｌｓｉｃｔ ｎ ５ Ｃ ７ ２０ ） ｕ ｊｃ ａｓ ａｉ ： ３ ０ Ｃ ｉ ｆ ｏ
文章 编 号 ：１７ — ６ ７ ２ ０ ）３ ０ ２ — ３ ６ ２ ０ ８ （０ ７ ０ — ０ ７ ０
３ 构 造 Ｈｅｍｉ ｒ ｔ 值 的 一 种 新 形 式 ｅ插
ｂ 一 ） ２ ＝ （。 １ 口 Ｏ ＋
（） ６
由（ ） （ ） 解 出 ５ 、６ 式
；６ 一
； 一
２
于是 ｈ（ ） （— ｏ ＝ １２
ｌ ． Ｉ ￣Ｏ
） （
０ ｌ —
）。
按 照相 同的方 法可 以求 出 ｈ ） （— ｌ ＝ １２
￣０ ｑＩ Ｉ＇ ｆ
Ｈｅｍｉ ｒ ｔ 值 的简 述 ｅ插
由于理 论和 实践 的需 要 ， 时需 要构 造一 个插 值 函数 ， 有 不但 要 在 给定 的点 处取 已知 函数 值 ， 而且 还要 取 已知微 商 值 ， 得插 值 函数 和被 插 函数 贴 近 程 度更 好 ， 种 插值 称 为 Ｈｅｍ ｔ 值 ， 使 这 ｒｉ ｅ插 以三次 Ｈ ｒ ｉ 插 值 为 ｅｍ ｔ ｅ
＂
） （
１ ￣０ －
） 。 ）， 风 （ ） 又 为三 次多 项式 ， 于是设
对 于 风 （ ） 由（ ） ， ４ 式知 （ ） 中必 含有 （
） （
Ｈ （ ） Ｃ ｘ ｘ） １ ｏｘ ＝ （－ ０ （ ）
由条件 （ ＝ ， ｃ ＿ ‰） １得 ＝＿ ＿ 同样方 法可 以求 得Ｈ ） ＝

, x0]
lim
xi x0
f [x0, x1,
,
xn ]
1 n!
f
(n) ( x0 )
重节点Newton插值
在 Newton 插值公式中，令 xi x0 , i = 1, … , n, 则
Nn( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1]( x x0 )
f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
( x1 x0 )( x1 x2 )
三点三次Hermite 插值
余项公式
由于 x0 , x1 , x2 是 R(x) 的零点，且 x1 是二重零点，故可设 R( x) f ( x) P( x) k( x)( x x0 )( x x1 )2 ( x x2 )
与 Lagrange 插值余项公式的推导过程类似，可得
x
x0
)
x x0
x1 x1
2
1(
x)
(
x
x1
)
x x1
x0 x0
两点三次Hermite 插值
满足插值条件
P(x0) = f(x0) = y0，P’(x0) = f’(x0) = m0 P(x1) = f(x1) = y1，P’(x1) = f’(x1) = m1
的三次 Hermite 插值多项式为
三点三次Hermite 插值
三点三次 Hermite 插值
插值节点：x0 , x1 , x2
插值条件：P(xi) = f(xi)，i = 0, 1, 2，P’(x1) = f’(x1) 设 P( x) f ( x0 ) f [x0, x1]( x x0 )
f [ x0, x1, x2]( x x0 )( x x1) A( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 将 P’(x1) = f’(x1) 代入可得 A f '( x1 ) f [ x0 , x1] f [ x0, x1, x2]( x1 x0 )

hermite插值法python -回复Hermite插值法是一种常用的数值方法，用于通过给定数据点的函数值和导数值，来构造一个通过这些点的插值函数。

这种插值方法非常重要，因为它可以用于近似复杂函数、在有限的数据点上进行多项式插值。

在本文中，我们将详细介绍Hermite插值法的原理、实现和应用。

我们将一步一步回答下面的问题，以帮助你理解这个主题：1. Hermite插值法的原理是什么？2. 如何实现Hermite插值法？3. Hermite插值法有哪些应用场景？首先，让我们来了解Hermite插值法的原理。

1. Hermite插值法的原理：Hermite插值法是将给定的数据点表示为n个插值多项式的线性组合。

每个插值多项式表示一个数据点的值和导数值。

通过将这些多项式相加，我们可以获得一个整体的插值函数。

具体来说，给定数据点(x0, y0, m0), (x1, y1, m1), ... , (xn, yn, mn)，其中yi是函数在xi处的函数值，mi是函数在xi处的导数值，我们需要构造一个插值函数f(x)。

插值函数f(x)可以通过以下步骤来计算：a. 计算插值多项式h0(x)、h1(x)、...、hn(x)，这些多项式与数据点的位置相对应。

b. 计算插值多项式的导数q0(x)、q1(x)、...、qn(x)，这些导数是通过给定函数值和导数值来确定的。

c. 计算插值多项式与导数的线性组合p0(x)f0(x) + p1(x)f1(x) + ... + pn(x)fn(x)，这里fi(x)是数据点(xi, yi)上的插值多项式。

最终，插值函数f(x)可以由上述线性组合得到。

2. 如何实现Hermite插值法：在Python中，可以使用NumPy库来实现Hermite插值法。

NumPy 提供了许多对数组和数值计算的支持，特别适用于数值插值。

下面是实现Hermite插值法的步骤：a. 导入NumPy库：import numpy as npb. 定义数据点的函数值和导数值：x = np.array([x0, x1, ..., xn])，y = np.array([y0, y1, ..., yn])，m = np.array([m0, m1, ..., mn])c. 定义插值多项式的导数：q = (y[1:] - y[:-1]) / (x[1:] - x[:-1])d. 定义插值多项式的系数：p = (q[1:] - q[:-1]) / (x[2:] - x[:-2])e. 定义插值多项式的值：f = np.poly1d([0])f. 循环计算插值多项式的值：for i in range(len(x)-1):f += np.poly1d([p[i], q[i], y[i]])(x) * ((x >= x[i]) & (x <=x[i+1]))g. 返回插值函数f(x)：return f上述代码实现了Hermite插值法，并返回了插值函数。

共有m+1个条件
其中 xi (i 0,1,, n) 互异，mi为正整数，记 mi m 1，
谋求m次多项式P(x)使满足插值条件：
i0
P(k)( xi ) f (k)( xi ), (i 0,1,, n;k 0,1,, mi 1) (5.1)
埃尔米特Hermite插值问题
我们只讨论 P( xi ) f ( xi ), P( xi ) f ( xi ) 旳情形。
(5.5)
其中
j
(
x),
j
(
j0
x),( j
0,1,,
n)为Hermite插值基函数,即
j(x)
(1
2( x
n
xj)
i0
xj
1
xi
)l
2 j
(
x
)；
i j
j
(
x)
(
x
x
j
)l
2 j
(
x)；
n
l
j
(x)
n
i0 i j
x xi x j xi
实际上,有 H 2n1 ( xi ) ( j ( xi ) yi j ( xi ) y' j ) yi
j
(
x)
(1
c(
x
x
j
))
(((xxxxx000))222((xx xx11))222(((xxxxxjjj11))22((xx xxjj11))22((xx xxnn))22
((xxjj
xx00))22((xxjj
xx11))22((xxjj
xxjj11))22((xx
jj
xx
))22
jj11

x x0 x x1 2 x x 1 y0 1 2 x x x x y1 1 2 x x 1 0 0 0 1 1
x x0 x x 0 1
2
2
x x0 y0
求f ( x)的两点三次插值多项式, 及f ( x)在x 1.5,1.7处的函数值.
解:
x0 1, x1 2
0, y1 1 y0 2 , y1 3 y0
2
0 ( x) y1 1 ( x) H 3 ( x) y00 ( x) y11 ( x) y0
2 0
2
x x1 x x0 1 ( x) (1 2l0 ( x)) l ( x) 1 2 x x x x 0 1 1 0
2 1
2
x x1 0 ( x) ( x x0 ) l02 ( x) x x0 x x 1 0
x0 x1
以上分析都能成立吗？
当f
( 4)
( x)在[ x0 , x1 ]上存在且连续时, 上述余项公式成立
2处的函数值为f (1) 2 , f ( 2 ) 3 例1.已知f ( x )在节点1， f ( x )在节点1， 2处的导数值为f (1) 0 , f ( 2 ) 1
( x) y00 ( x) y11 ( x) y0 0 ( x) y1 1 ( x) H3
其中
0 ( x0 ) 1
0 ( x1 ) 0
( x1 ) 0 ( x0 ) 0 0 0
1 ( x0 ) 0
0 ( x0 ) 0

Hermite插值法是一种用于构造多项式插值函数的方法，它可以通过给定的数据点和导数值来构造一个满足这些条件的插值多项式。

Hermite插值法的原理可以分为以下几个步骤：
1. 给定一组数据点和对应的函数值，以及这些数据点处的导数值。

2. 构造一个基函数集合，这些基函数是一组满足插值条件的函数。

常用的基函数是Hermite基函数，它是一组多项式函数。

3. 根据给定的数据点和导数值，利用基函数集合构造插值多项式。

这可以通过求解一个线性方程组来实现，其中方程组的未知数是插值多项式的系数。

4. 得到插值多项式后，可以使用它来估计在其他点上的函数值。

Hermite插值法的优点是可以通过给定的导数值来更好地逼近原函数的特性，尤其在数据点附近的插值效果更好。

然而，
它的缺点是在数据点之间的插值效果可能不够理想，因为它只是通过给定的数据点和导数值来构造插值多项式，而没有考虑其他可能的信息。

x x1
x0 x0
2
(x
x1 )l1( x)2.
记 h x1 x0
A0 (x)
1
2
x
x0 h
1
x
x0 h
2
A1 ( x)
3
2
x
x0 h
x
x0 h
2
B0 (x)
h
x
x0 h
1
x
x0 h
2
B1 ( x)
h
x
x0 h
1 x
x0
2
h
置 x0 0, x1 1，则
观察上面的条件，可知
n个插值节点xk , k 0,1,, n, k j是插值基函数Aj (x)的二重 零点, 而x j不是Aj (x)的零点，然而基函数Aj (x)是2n 1次多项 式。故我们可以假设
Aj ( x) D j (ax b)( x x0 )2 ( x x j1 )2 ( x x j1 )2 ( x xn )2
A0 ( x)
x0
x1
B0 ( x)
x0
x1
A1( x)
Bj (x) (x x j ) l j (x) 2
再构造 Aj ( x) ： 由于第一个方程用于确定与函数值相关的条件，因此，有
Aj ( xk ) 0, k 0,1,, n, 且k j; Aj ( xk ) 1, k j.
而第二个方程用于确定与导数值相关的条件，因此，有
Aj ( xk ) 0, k 0,1,, n.
令
n
n
H 2n1( x) Aj ( x) y j B j ( x) yj ,
j0
j0
其中插值基函数 Aj ( x) ，B j ( x) 都是 2n 1 次式。由于 插值问题的解存在唯一性定理，有

′ ′ R3 ( xi ) = f ′( xi ) − H 3 ( xi ) = 0
i = 0 ,1
x0 , x1均为R3 ( x )的二重零点,因此可设
R3 ( x ) = K ( x )( x − x0 )2 ( x − x1 )2
其中K (x )待定
10
构造辅助函数
ϕ (t ) = f (t ) − H 3 (t ) − K ( x )(t − x0 )2 (t − x1 )2
求一个次数不超过2n+1次的多项式H(x)使 求一个次数不超过2n+1次的多项式H(x)使 2n+1次的多项式H(x)
H ( xi ) = f ( xi ) = yi H ′( xi ) = f ′( xi ) = yi′
i = 0 ,1,L , n i = 0 ,1,L , n
这种带有导 数的多项式 问题， 插值 问题， 称为 Hermite插 Hermite插 值问题。 值问题。 1
′ ′ H 3 ( x) = y0α 0 ( x) + y1α1 ( x) + y0 β 0 ( x) + y1β1 ( x)
线性插值基函数代入定理1.5 将Lagrange线性插值基函数代入定理 线性插值基函数代入定理 中的基函数求得三次Hermite插值的基 中的基函数求得三次 插值的基 函数! 函数
x − x1 l0 ( x) = x0 − x1 x − x0 l1 ( x) = x1 − x0
基函数具有 什么表达式？ 什么表达式？
4
x − x0 x − x1 α 0 ( x) = 1 + 2 x1 − x0 x0 − x1
2
x − x1 x − x0 α1 ( x ) = 1 + 2 x0 − x1 x1 − x0

埃尔米特插值多项式简介埃尔米特插值多项式（Hermite Interpolation Polynomial）是一种常用的插值方法，用于通过给定的数据点集合来计算一个多项式，使得多项式在给定的数据点上与其函数值和导数值都完全匹配。

本文档将介绍埃尔米特插值多项式的原理、计算过程和应用。

基本原理埃尔米特插值多项式的基本思想是通过插值条件来求解多项式的系数。

给定数据点集合和对应的函数值和导数值，目标是找到一个多项式，使得多项式在给定的数据点上与其函数值和导数值都完全匹配。

首先，对于每一个给定的数据点，我们需要求解一个插值多项式。

插值多项式的次数应该比给定数据点的个数少 1。

例如，给定数据点集合{ (x0, f0, f'0), (x1, f1, f'1), ... , (xn, fn, f'n) }，我们需要找到一个次数为n的多项式H(x)。

对于每一个数据点(xi, fi, f'i)，插值多项式H(x)满足以下条件：1.H(xi) = fi，即多项式在数据点上与函数值完全匹配2.H'(xi) = f'i，即多项式在数据点上与导数值完全匹配根据这两个条件，我们可以构建一个n+1次的多项式，满足上述条件。

计算过程下面是埃尔米特插值多项式的计算过程：1.根据给定的数据点集合，构建一个空的多项式，初始阶次为 0，即H(x) = a02.对于每一个数据点(xi, fi, f'i)：–计算多项式的阶次n，并更新多项式的阶次为n+1–求解f'i的差商f'i / (xi - x0)，记为f'i / (x[i]-x0)–更新多项式的系数a，使得H(x) = H(x) + a * (x - x0)^i–更新多项式H(x)的阶次为n3.返回多项式H(x)应用埃尔米特插值多项式在实际应用中具有广泛的用途，包括但不限于以下领域：1.数值计算和近似：埃尔米特插值多项式可以用于通过已知的函数值和导数值来近似计算未知的函数值，用于求解数值问题。

数值分析常用的插值方法数值分析中常用的插值方法有线性插值、拉格朗日插值、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值、样条插值等。

下面将对这些插值方法进行详细介绍。

一、线性插值（linear interpolation）线性插值是最简单的插值方法之一、假设已知函数在两个点上的函数值，通过这两个点之间的直线来估计中间点的函数值。

线性插值公式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)和f(x1)是已知的两个点上的函数值，x0和x1是已知的两个点的横坐标。

二、拉格朗日插值（Lagrange interpolation）拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。

它通过多个已知点的函数值构造一个多项式，并利用这个多项式来估计其他点的函数值。

拉格朗日插值多项式的一般形式为：f(x) = Σ[f(xi) * Li(x)] (i=0,1,2,...,n)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(xi)是已知的多个点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。

拉格朗日基函数的表达式为：Li(x) = Π[(x-xj)/(xi-xj)] (i≠j，i,j=0,1,2,...,n)三、分段线性插值（piecewise linear interpolation）分段线性插值是一种逐段线性近似函数的方法。

通过将整个插值区间分成多个小段，在每个小段上使用线性插值来估计函数的值。

分段线性插值的过程分为两步：首先确定要插值的点所在的小段，在小段上进行线性插值来估计函数值。

四、Newton插值（Newton interpolation）Newton插值也是一种基于多项式的插值方法。

利用差商的概念来构造插值多项式。

Newton插值多项式的一般形式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*f[x0,x1]+(x-x0)*(x-x1)*f[x0,x1,x2]+...其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)是已知的一个点的函数值，f[xi,xi+1,...,xi+k]是k阶差商。

观察上面的条件，可知
n个插值节点xk , k 0,1,, n, k j是插值基函数Aj (x)的二重 零点, 而x j不是Aj (x)的零点，然而基函数Aj (x)是2n 1次多项 式。故我们可以假设
Aj ( x) D j (ax b)( x x0 )2 ( x x j1 )2 ( x x j1 )2 ( x xn )2
而第二个方程用于确定与导数值相关的条件，因此，有
Bj ( xk ) 0, k 0,1,, n, j k; Bj ( xk ) 1, j k
函数值
导数值
x0 x1 ... xn-1 xn x0 x1 … xn-1 xn
A0(x) A1(x) …
10 01 ……
An-1(x) 0 0
再构造 Aj ( x) ： 由于第一个方程用于确定与函数值相关的条件，因此，有
Aj ( xk ) 0, k 0,1,, n, 且k j; Aj ( xk ) 1, k j.
而第二个方程用于确定与导数值相关的条件，因此，有
Aj ( xk ) 0, k 0,1,, n.
j0
j0
其中插值基函数 Aj ( x) ，B j ( x) 都是 2n 1 次式。由于 插值问题的解存在唯一性定理，有

H 2n1 ( xk
)

n
Aj ( xk ) y j Ak ( xk ) yk
n
B j ( xk ) yj

j0 jk
j0

n
n


H
背景：Lagrange插值和Newton插值虽然构造比较简单， 但插值曲线只是在节点处与原函数吻合（但不一定光滑）， 若还要求在节点处二者相切，即导数值相等，使之与被插 函数的“密切”程度更好，这就要用到带导数的插值。

hermit插值法Hermit插值法是一种常用的数值插值方法，它可以通过已知的数据点来推断未知点的值。

这种方法常用于数值计算、数据分析以及图像处理等领域。

本文将详细介绍Hermit插值法的原理、应用以及优缺点。

一、Hermit插值法的原理Hermit插值法是基于Hermite多项式的插值方法。

Hermite多项式是一组满足特定条件的多项式，可以用来表示插值函数。

在Hermit 插值法中，我们通过已知的数据点构造Hermite插值函数，然后利用该函数来推断未知点的值。

具体而言，Hermit插值法使用两个数据点的函数值和导数值来构造一个二次多项式。

这个多项式不仅要经过这两个数据点，还要满足这两个点的导数值。

通过这样的插值过程，我们可以得到一个更加精确的插值函数。

二、Hermit插值法的应用Hermit插值法在实际应用中有着广泛的用途。

其中，最常见的应用是在数值计算中的函数逼近。

通过Hermit插值法，我们可以根据已知的函数值和导数值来估计未知函数值，从而实现函数逼近的目的。

Hermit插值法还可以用于数据分析和图像处理。

在数据分析中，我们常常需要通过已知数据点来估计未知数据点的值。

通过Hermit插值法，我们可以通过已知的数据点和导数值来推断未知数据点的值，从而实现数据的补全和预测。

在图像处理中，Hermit插值法可以用于图像的放大和缩小。

通过已知的像素点和导数值，我们可以构造一个插值函数，并利用该函数来推断未知像素点的值。

从而实现图像的放大和缩小。

三、Hermit插值法的优缺点Hermit插值法相对于其他插值方法具有一些优点。

首先，Hermit插值法可以提供更高阶的插值函数，从而可以更准确地逼近数据点。

其次，Hermit插值法可以通过导数值来考虑数据点的变化趋势，从而更好地逼近曲线的形状。

然而，Hermit插值法也存在一些缺点。

首先，由于需要计算导数值，Hermit插值法对数据的光滑性要求较高。

如果数据点之间存在较大的波动或者噪声，可能会导致插值结果不准确。

f ( n+r +2 ) (ξ ) 即得 f ( x) H ( x) = wn ( x) wr ( x) (n + r + 2)!
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若r = n, 则相应的Hermite插值多项式为
H ( x) = ∑ hk ( x) f ( xk ) + ∑ hk ( x) f ′( xk )
k =0 k =0 n n
y0 = 2 , y1 = 3
′ ′ y 0 = 0 , y1 = 1
′ ′ H 3 ( x) = y0 h0 ( x) + y1h1 ( x) + y0 h0 ( x) + y1h1 ( x)
x x0 x x1 x x1 x x0 = y0 1 + 2 x x + y1 1 + 2 x x x x x1 x0 0 1 0 0 1 1
由条件(1)知
F ( x) = F ( x0 ) = F ( x1 ) = L = F ( xn ) = 0
F ′( x0 ) = F ′( x1 ) = L = F ′( xr ) = 0
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即F (t ) = 0有n r + 1个单根x, xr +1 , xr +2 ,L, xn 和r + 1个二重根x0 , x1 ,L, xr .
i
n
------(7)
由条件(3)知hk ( xk ) = 1
C=
1
∏ (x
i =0
r
k
xi )
2
i =r +1 i≠k
∏ (x
n
k
xi )
将C代入式(7)，得
wr ( x) hk ( x) = lkn ( x), wr ( xk )