基于特殊节点的重心有理插值方法

重心插值配点法及其应用摘要：重心Lagrange插值具有数值稳定性好、计算精度高的优点。

采用重心Lagrange插值近似未知函数，建立未知函数各阶导数的微分矩阵。

采用微分矩阵近似未知函数的导数，利用配点法将控制方程和边界条件离散为代数方程组，通过求解代数方程组，从而可求解偏微分方程。

数值算例表明，重心插值配点法具有原理简单，易于程序实现和数值计算精度高的优点。

关键词：重心Lagrange插值；微分矩阵；配点法Barycentric Lagrange interpolation collocation Method and its ApplicationAbstract：Barycentric Lagrange interpolation collocation method has excellent numerical stability and high accuracy. this paper presents the Barycentric Lagrange interpolation collocation method to get the differentiation Matrix of unknown function. So the control equation can be expressed as linear systems by the collocation method. According to those formulas, differential equations can be soluted. The principle of this method is simple and easy to programming. The accuracy and the numerical stability are very excellent.Key words: Barycentric Lagrange interpolation, differentiation Matrix, collocation method,0 引言具有初、边值条件的常、偏微分方程的解析解常无法通过理论推导获得，一种有效的途径是采用数值求解方法获得具有一定数值精度的近似解，这些数值方法包括：有限差分法、有限单元法、边界单元法、无网格法及一些杂交使用的方法等数值求解方法。

基于上三角域上的形状控制重心混合有理插值赵前进;朱六三【摘要】Barycentric rational interpolation possesses various advantages in comparison with Thiele-type continued fraction, such as good numerical stability, small calculation and arbitrarily high approximation order. At the same time, barycentric rational interpolant had no poles and no unattainable points based on those chosen weights. In this paper, the barycentric-Newton blending rational interpolation was constructed based on the right triangular grid. The optimal model was established by minimizing the Lebesgue constant and using partial derivative, the optimal wights were obtained by solving the optimal model. The method could not only do the interpolation to unknown function but also have effective local control of shape. The numerical example was given to show the effectiveness of the new method.%重心有理插值与Thiele型连分式插值相比，具有数值稳定性好、计算量小、有任意高的逼近阶等优点。

作者： 赵前进 汪厚田
作者机构： 安徽理工大学理学院,安徽淮南232001
出版物刊名： 皖西学院学报
页码： 1-3页
年卷期： 2014年 第5期
主题词： 有理插值 预给极点 权 Lebesgue常数 保形
摘要：重心形式的有理插值与T hiele型连分式插值等传统的有理插值方法比起来，具有计算量小、数值稳定性好等优点，同时，通过插值权的选取可以使得重心形式的有理插值无极点和不可达点。

本文主要研究预给极点的最优保形重心有理插值。

以Lebesgue常数最小，同时加入保单调的约束条件建立新的优化模型，求得最优插值权。

数值实例说明了新方法的有效性。

重心拉格朗日插值法【引言】插值法是一种数学方法，通过已知数据点的信息，预测和估计未知数据点的值。

拉格朗日插值法是插值法的一种，以其构造简单、插值多项式次数可调等优点被广泛应用。

重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进，具有更高的精度和稳定性。

【重心拉格朗日插值法的定义和性质】重心拉格朗日插值法，又称重心的拉格朗日插值法，是利用重心坐标公式来计算插值节点的方法。

设已知数据点为{Xi, Yi}，i=1,2,...,n，重心拉格朗日插值法的插值节点为{Xj, Yj}，j=1,2,...,n+1，其中Xj 是Yj 的函数。

插值多项式可以表示为：P(x) = ∑Wi*Li(x)其中Wi 是权值，Li(x) 是拉格朗日基函数。

【重心拉格朗日插值法的计算方法】1.插值基函数的构建：根据给定的数据点和插值节点，计算拉格朗日基函数Li(x)。

2.权值的计算：利用重心坐标公式，计算插值节点对应的权值Wi。

3.插值多项式的求解：利用权值和拉格朗日基函数，求解插值多项式P(x)。

【重心拉格朗日插值法与其他插值法的比较】1.与拉格朗日插值法的比较：重心拉格朗日插值法在计算插值节点时引入了重心坐标公式，使得插值多项式的精度更高，稳定性更好。

2.与牛顿插值法的比较：重心拉格朗日插值法与牛顿插值法具有相似的计算过程，但重心拉格朗日插值法在插值节点选择上更具有优势，使得插值多项式的精度更高。

【重心拉格朗日插值法的应用领域】1.数值分析：重心拉格朗日插值法在数值分析中有着广泛的应用，如求解微分方程、插值和拟合等。

2.数据插补：在数据处理中，重心拉格朗日插值法可以用于插补缺失的数据点，提高数据的完整性和准确性。

3.模式识别：在模式识别领域，重心拉格朗日插值法可以用于插值和预测，提高分类和识别的准确性。

【结论】重心拉格朗日插值法是一种改进的拉格朗日插值法，具有较高的精度和稳定性。

在数值分析、数据插补和模式识别等领域有着广泛的应用。

非线性振动分析的重心插值配点法
李淑萍;王兆清
【期刊名称】《噪声与振动控制》
【年(卷),期】2008(028)004
【摘要】将计算区间采用第二类Chebyshev点离散,利用数值稳定性好、计算精度高的重心Lagrange插值近似未知函数,建立未知函数各阶导数在计算节点上的微分矩阵.利用重心Lagrange插值公式离散非线性振动微分方程为非线性代数方程,采用Newton法求解非线性代数方程.计算得到振动位移后,采用微分矩阵和重心Lagange插值计算非线性振动的速度、加速度和振动周期.采用重心插值配点法计算了Duffing型非线性振动方程和非线性单摆振动方程.数值算例表明本文方法具有计算公式简单、程序实施方便和计算精度高的优点.
【总页数】4页(P49-52)
【作者】李淑萍;王兆清
【作者单位】山东警察学院,治安系,济南,250014;山东建筑大学,工程力学研究所,济南,250101
【正文语种】中文
【中图分类】O322,O241.8
【相关文献】
1.重心插值配点法分析梁屈曲问题 [J], 赵晓伟;鹿晓阳;王磊
2.重心有理插值配点法分析矩形板自由振动 [J], 段英锋;王兆清;林本芳
3.重心插值配点法分析梁弯曲问题 [J], 赵晓伟;鹿晓阳;汪洪星
4.重心有理插值配点法分析压杆稳定问题 [J], 王奇;王兆清
5.圆环变形及屈曲的重心插值配点法分析 [J], 王兆清;李淑萍;唐炳涛
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基于pade逼近的重心有理混合插值新方法作者：胡枫来源：《新生代·下半月》2018年第08期【摘要】：文章研究一类新的重心有理混合插值方法，通过选取合适的权函数构造的重心有理插值与逼近在节点处进行组装，新方法与重心有理插值和重心型混合插值相比较，不仅没有极点和不可达点，不需要计算插值节点的函数值且拥有更高的计算精度。

数值例子给出了误差比较，对于新方法的有效性给出了很好的证明。

【关键词】：混合插值重心有理插值逼近误差分析引言重心有理混合插值近些年来越来越成为了研究的热门领域之一，在这些研究中重点关注于重心插值与连分式，和插值多项式的相互混合，同时提出了分叉连分式重心混合有理插值方案來处理二元插值问题。

在本文中，通过选择合适的权函数构造计算简单同时没有极点和不可达点的重心有理插值，在每个插值节点处与被插值函数相应的逼近进行组装建立一种新的重心有理混合插值，与重心型混合有理插值和重心有理插值相比，能达到更高的逼近精度，误差更小。

1.重心有理混合插值新方法对于给定的被插值函数，是区间的一个剖分，考虑下列重心有理插值，（1）有理函数当时满足插值条件，。

（2）在1988年berrut通过选取合适的权函数，。

建立了无极点且便于计算的重心有理插值，下面考虑对被插值函数展开成形式幂级数，（3）定义有理函数。

（4）是由形式幂级数决定的阶逼近式，其中是次数不超过的多项式，是次数不超过的多项式，且满足。

各项系数算法如下所示（5）由上可知有理函数与被插值函数的前次形式幂级数展开在处完全相等，即（6）于是我们构造基于逼近的重心有理混合插值新方法如下，，（7）2.数值例子定义在的实值函数为了便于讨论，选取10个插值节点如下，，，，，，，，，。

对应函数值有，，，，，，，，，。

由上述插值数据构造满足插值条件的重心有理插值，重心型混合有理插值和本文中提到的在插值节点处基于逼近重心有理混合插值新方法，，如下所示：重心有理插值。

三维重心插值计算公式在计算机图形学和计算机辅助设计领域中，三维重心插值是一种常用的插值方法，用于在三维空间中对数据进行插值和补偿。

三维重心插值是基于三角形网格的，通过计算三角形的重心坐标来实现插值。

在本文中，我们将介绍三维重心插值的计算公式，并讨论其在实际应用中的重要性和优势。

三维重心插值的计算公式如下：假设有一个三角形ABC，其中A、B、C分别为三个顶点，对应的数据值分别为fA、fB、fC。

现在需要在三角形内部的某一点P处进行插值，其重心坐标为(u, v, w)，则P点的插值数值可以通过以下公式计算得出：fP = u fA + v fB + w fC。

其中，u、v、w为P点的重心坐标，满足以下条件：u + v + w = 1。

u、v、w分别为P点到BC、AC、AB三条边的距离与三条边的长度之比。

三维重心插值的计算公式非常简单，但却具有广泛的应用价值。

在实际应用中，三维重心插值可以用于地形数据的插值、图像的纹理映射、三维模型的变形等方面。

下面我们将分别介绍三维重心插值在这些领域中的应用。

首先是地形数据的插值。

在地理信息系统（GIS）中，地形数据通常以离散的高程点数据的形式存在，而实际应用中需要对地形进行连续的插值和补偿。

三维重心插值可以通过对地形数据中的三角形网格进行插值，实现对地形的连续化处理，从而为地形分析和可视化提供了可靠的数据基础。

其次是图像的纹理映射。

在计算机图形学中，三维模型的表面通常需要进行纹理贴图，以增强真实感和细节。

三维重心插值可以用于在三角形网格上对纹理进行插值，从而实现对三维模型表面的纹理映射，提高了渲染效果和真实感。

最后是三维模型的变形。

在计算机辅助设计（CAD）领域中，三维模型的变形是一项重要的技术，可以用于模拟材料的变形和形状的调整。

三维重心插值可以通过对三角形网格进行插值，实现对三维模型的形状变形，为工程设计和仿真分析提供了有效的工具和方法。

总之，三维重心插值作为一种常用的插值方法，在计算机图形学和计算机辅助设计领域具有重要的应用价值。

预给极点的混合有理插值Zhang Yu-wu【摘要】在插值区间的子区间上基于Thiele型连分式构造插值函数,将连分式插值函数嵌入到重心有理插值之中,并结合预给极点的信息构造混合有理插值.新构造的混合有理插值提高了插值精度,数值例子表明新方法具有很好的逼近效果.【期刊名称】《洛阳师范学院学报》【年(卷),期】2019(038)005【总页数】4页(P11-14)【关键词】极点;Thiele型连分式;有理函数;逼近【作者】Zhang Yu-wu【作者单位】【正文语种】中文【中图分类】O24在工程计算中经常会遇到奇异函数的近似计算问题，有理函数插值法是解决此类问题的常用方法. 然而，忽视被插值函数本身的特点，而采用统一格式构造的有理插值函数，其逼近效果往往不尽人意[1-2].本文基于Thiele连分式插值，给出了构造预给极点的混合有理插值新方法，构造的有理插值函数不但满足插值条件，而且具有很好的逼近效果.1 Thiele型连分式插值设{(xi,yi),i=0,1,2,…,n}是被插值函数y=f(x)的n+1个节点，记f(xi)=fi. Thiele连分式插值定义如下[1]：(1)其中φ[x0,x1,…,xk]≠0,∞；k=0,1,2,…,n，为f(x)在节点处的k阶逆差商，使得R(xi)=fi(2)成立.Thiele型连分式插值不需要求解线性方程组也可以构造有理插值函数，而且具有表达式简单、计算方便的优点.2 混合有理插值将一种插值嵌入到另外一种插值中，能够显著地提高插值阶次[3]. Floater和Hormann将插值区间上的多项式插值嵌入到重心有理插值中，构造了高阶重心有理插值，选择不同的参数，可以得到所需要的插值精度[4].设{(xi,fi,),i=0,1,…,n}为给定的节点，fi为对应的函数值，整数d满足0≤d≤n. 对于每一个i=0,1,...,n-d，Ti(x)为点对(xi,fi),(xi+1,fi+1),…,(xi+d,fi+d)上的Thiele型连分式插值，将其嵌入到重心有理插值中，构造如下形式的混合有理插值：(3)其中选择不同的d能够得到一系列混合有理插值函数. 可以证明，由上述方法构造的混合有理插值满足插值条件，恰当的选择参数d，可以获得我们所需要的插值精度.3 预给极点的混合有理插值3.1 基本思想设y=f(x)为被插值函数，sj(j=1,2,…,t)是不含在插值区间内的预给极点，对应的重数记为τj(j=1,2,…,t). Berrut给出了构造预给极点的重心有理插值方法[5]，同样，基于(3)式也可以构造预给极点的混合有理插值函数，方法如下.首先根据预给极点sj(j=1,2,…,t)以及重数τj(j=1,2,…,t)，构造函数p(x)在插值节点处的函数值为(4)令q(x)=f(x)·p(x)，则q(xi)=f(xi)·p(xi),(i=0,1,…n). 记为：qi(i=0,1,2,…,n).然后，将点xi(i=0,1,…,n)与由(4)式得到的qi(i=0,1,…,n)组合，构成新的插值节点{(xi,qi)}(i=0,1,…,n). 在插值区间[x0,xn]上用新的插值节点，选择整数d，构造混合有理插值R*(x)，(5)其中为点对(xi,fi),(xi+1,fi+1),…,(xi+d,fi+d)上的Thiele型连分式插值.最后，通过(6)可以得到混合有理插值R(x).3.2 插值性性质由(5)式和(6)式确定的R(x)满足插值条件，即R(xρ)=fρ,ρ=0,1,…,n.证明记M={0,1,…,n-d}，N={i∈M,ρ-d≤i≤ρ}，根据给定的定义，∀i∈N, 显然有Ti(xρ)=qρ成立. 同时，∀i∈N，ηi(xρ)≠0；∀i∈M/N，ηi(xρ)=0，则R*(xρ)=由(6)式可以得到因而，R(x)满足插值条件.4 数值例子例1 给定插值节点如表1所示，x=2/5、x=1为一重极点，构造有理插值函数R(x). 按照文中的方法，p(x)=(x-2/5)(x-1)，在插值节点处计算q(xi)=f(xi)d(xi)，组成新的插值节{(xi,qi),i=0,1,2,3,4.}如表2所示.利用表2，取d=1,2,3,4.按照(5)式和(6)式，可以构造混合有理插值函数Ri(x)(i=1,2,3,4)如下：表1 插值条件(一)x0=1/2x1=3/5x2=7/10x3=4/5x4=9/10f0=3/2f1=2f2=5/2f3=3f4=7/2 表2 新插值条件x0=1/2x1=3/5x2=7/10x3=4/5x4=9/10q0=-3/40q1=-4/25q2=-9/40q3=-6/25q4=-7/40可以验证Ri(xρ)=fρ，i=1,2,3,4.ρ=0,1,2,3,4.成立，所构造的混合有理函数插值很好地保留了预给极点的信息.例2 设f(x)=ln(5-x)/[(x+1)(x-3)2]，插值节点如表3所示.按照文中的方法，取d=1,2,3,4，可以构造混合有理插值函数Ri(x)(i=1,2,3,4)，分别绘制插值函数Ri(x)(i=1,2,3,4)与被插值函数f(x)的误差图像，如图1～图4所示. 为了说明新方法的有效性，在插值区间[0.5,2.]上构造多项式插值、Thiele型连分式插值、重心有理插值(取权ωi=(-1)i, i=0,1,2,3,4)，分别记为R5(x),R6(x),R7(x). 比较Ri(x)(i=1,2,3,4,5,6,7)在部分点处的误差如表4所示.表3 插值条件(二)x0=0.5x1=1x2=1.5x3=2x4=2.5f0=0.1604349224f1=0.1732867951f2=0. 2227134166f3=0.3662040963f4=1.047189408图1 |R1(x)-f(x)|图像图2 |R2(x)-f(x)|图像图3 |R3(x)-f(x)|图像图4 |R4(x)-f(x)|图像表4 误差比较0.30.81.21.6R1(x)-f(x)0.00023091930.00007330440.00008279540.0000793076R2(x)-f(x)0.00002519320.00000621150.00000541030.0000050861R3(x)-f(x)0.00000103610.00000019710.00000015210.0000001463R4(x)-f(x)0.00000033790.00000006770.00000005460.0000000550R5(x)-f(x)0.06284404810.010********.00680444510.0048901126R6(x)-f(x)0.00160029270.00026524580.00019017170.0001784275R7(x)-f(x)0.0710********.05671853690.0816*******.0674338445由表4可以看出，新方法不论d取何值，得到混合有理插值的逼近效果明显地好于未混合插值的逼近效果.5 结论构造预给极点的混合有理插值，主要根据预给极点的信息得到以及q(x)=f(x)·p(x)，分别计算q(x)在节点处的值qi，利用新的插值节点{(xi,qi)}，选择合适的d构造Thiele型连分式插值，嵌入到重心有理插值之中，可以得到一系列混合有理插值函数. 通过处理预给极点和“嵌入”所构造的混合有理插值满足插值条件，保留了预给极点的特点，提高了插值精度，逼近效果明显的优于传统插值的逼近效果.参考文献【相关文献】[1] 檀结庆, 等. 连分式理论及其应用[M] 北京: 科学出版社，2007.[2] 王仁宏，朱功勤.有理函数逼近及其应用[M] 北京: 科学出版社，2004.[3] 王兆清，李淑萍，唐炳涛.一维重心型插值：公式，算法和应用[J]. 山东建筑大学学报，2007，22(5)：448-453.[4] Floater M S, Kai Hormann. Barycentric rational interpolation with no poles and high rates of approximation[J]. Numerische Mathematik, 2007, 107(2): 315-331.[5] Berrut J P, The Barycentric Weights of Rational Interpolation with Prescribed Poles[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics,1997(86): 45-52.。

构造给定极点的有理插值新方法张玉武【期刊名称】《《安庆师范学院学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(025)003【总页数】4页(P7-9,15)【关键词】计算数学; 极点; 有理函数; 插值【作者】张玉武【作者单位】六安职业技术学院基础部安徽六安237158【正文语种】中文【中图分类】O24插值法是一种古老的数学方法，基本做法是通过给定已知点的信息，构造一函数，估算其他点处的函数值，常用的插值方法有多项式插值、有理函数插值等。

常用的多项式插值方法有Lagrange插值、New ton插值、Herm ite插值等，它具有结构简单便于构造、插值函数存在且唯一的特点[1]。

对于插值节点较少时效果较好，当等距插值节点增多时，会出现激烈的震荡，产生Runge现象。

有理函数插值常用的有Thiele型连分式插值、重心有理插值等，它比多项式插值要复杂得多，主要表现在有理函数插值未必一定有解、难以避免极点的存在和控制极点位置等。

本文基于多项式插值，给出构造给定极点的有理插值新方法，数值例子表明新方法具有较好的逼近效果。

1 有理函数插值设是被插值函数的个节点，记设所谓有理函数插值就是通过构造有理分式函数满足构造有理插值函数需要通过（1）、（2）式求解线性方程组，计算量较大。

基于逆差商的Thiele型连分式插值是构造有理插值函数常用方法[2]，通过构造如下形式的连分式函数为f(x)在节点处的l阶逆差商，其中，使得成立。

Thiele型连分式插值，不需要求解线性方程组也可以实现有理插值函数的求解，而且具有表达式简单、计算方便的优点，然而，它无法避免极点的出现，也无法控制极点的位置。

对于给定极点的有理插值，朱功勤等[3]、张澜等[4]基于Thiele型连分式插值分别给出了给定极点的有理函数插值的构造方法。

Schneider等给出了重心有理插值方法[5]，其公式为其中称为插值权，若ui≠0，可以使得成立。

Schneide等指出，如果插值函数在上没有极点，那么。

极坐标下薄板弯曲问题的重心有理插值法庄美玲;王兆清;张磊;纪思源【摘要】利用重心有理插值配点法(BRICM)研究了极坐标下薄板的弯曲问题,该方法是以重心有理插值近似未知函数强迫微分方程在离散节点处成立,得到微分方程的离散代数方程组,进而采用重心有理插值的微分矩阵将离散代数方程组表达为矩阵的形式.利用置换法施加边界条件,求解微分方程组.数值算例结果表明,该方法在解决极坐标下薄板弯曲问题上公式简单,程序实施方便且计算精度高.【期刊名称】《山东科学》【年(卷),期】2016(029)002【总页数】6页(P82-87)【关键词】极坐标;弯曲问题;重心有理插值;双调和方程;边界值【作者】庄美玲;王兆清;张磊;纪思源【作者单位】山东建筑大学力学研究所,山东济南250101;山东建筑大学力学研究所,山东济南250101;山东建筑大学力学研究所,山东济南250101;山东建筑大学力学研究所,山东济南250101【正文语种】中文【中图分类】O241板是工程中一种常见构件，广泛应用于土木工程、机械工程和航天航空结构等领域。

轴对称薄板常见于喷嘴盖、压力容器的底部、泵膜片、涡轮盘、潜艇舱壁和飞机等诸多结构中，因此,轴对称薄板[1]的研究很具有工程意义。

工程实验是极其费钱、费力又费时的，而且很多工程中的设计几乎不能通过解析方法求解，因此需要一种高精度的数值方法来分析板的弯曲问题。

目前, 重心有理插值配点法(BRICM)已经运用到极坐标下不规则区域的研究[2] ，因此对于轴对称薄板的弯曲问题，BRICM 在工程研究中提供了一种高效且具有学科前沿性的数值方法。

采用BRICM研究均匀、各向同性的弹性板在载荷作用下的弯曲问题[3]，其数值模型是双调和方程的边值问题,可根据板的轴对称特性，化简双调和方程，施加边界条件，并求解方程。

目前，关于板的弯曲变形问题的求解方法主要有有限差分法、有限元法、边界元法、无网格法、微分求积法、傅里叶微分求积法及摄动法(HPM)等。