【研究院】[北京](8)2018一模(理)分类汇编——圆锥曲线(教师版)

2018二模分类汇编——圆锥曲线1.（2018东城二模·理）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线的倾斜角为60º，且与椭圆x 25+y 2＝1有相等的焦距，则C 的方程为（A ）x 23－y 2＝1 （B ）x 29－y 23＝1 （C ）x 2－y 23＝1 （D ）x 23－y 29＝11.C2.（2018海淀二模·理）设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件2.A3.（2018丰台二模·理）已知双曲线2221(0)9x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则b 的值为(A)3 (B)(C) (D) B4.（2018海淀二模·理）能够使得命题“曲线221(0)4x y a a-=≠上存在四个点P ，Q ，R ，S 满足四边形PQRS 是正方形”为真命题的一个实数a 的值为 .4.答案不唯一，0a <或4a >的任意实数5.（2018房山二模·理）设双曲线()222210,0-=>>x y a b a b的一条渐近线方程为20-=x y ，则该双曲线的离心率为 ．6.（2018顺义二模·理）设双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 经过点(4,1),且与1422=-x y 具有相同渐近线,则C 的方程为________________;渐近线方程为__________________.6.x y y x 21,131222±==-. 7.（2018朝阳二模·理）双曲线22x y λ-=（0λ≠）的离心率是 ；该双曲线的两条渐近线的夹角是 .π28.（2018昌平二模·理）已知双曲线：2221(0)x y a a-=>的渐近线方程为12y x =±，则双曲线的离心率是 ．8.9.（2018海淀二模·理）（本小题共14分）已知椭圆C ：2214x y +=，F 为右焦点，圆O ：221x y +=，P 为椭圆C 上一点，且P 位于第一象限，过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，T 在OP 两侧. （Ⅰ）求椭圆C 的焦距及离心率; （Ⅱ）求四边形OFPT 面积的最大值.C C8.（本小题共14分）解：（Ⅰ）在椭圆C ：2214x y +=中，2a =，1b =，所以c == ········································································· 2分 故椭圆C的焦距为2c =， ································································· 3分离心率c e a ==． ················································································· 5分 （Ⅱ）法一：设00(,)P x y （00x >，00y >），则220014x y +=，故220014x y =-． ······················ 6分 所以2222220003||||||14TPOP OT x y x =-=+-=，所以0||TP =， ········································· 8分01||||24OTP S OT TP x∆=⋅=．·············· 9分又(0,0)O ，F ，故0012OFPS OF y y ∆=⋅=． ························ 10分因此00()2OFP OTP OFPTx S S S y∆∆=+=+四边形 ······································ 11分22==． 由220014x y +=，得1≤，即001x y ⋅≤，所以OFPT S =四边形， ·················································· 13分 当且仅当2200142x y ==，即0x 02y =时等号成立. ···················· 14分 （Ⅱ）法二：设(2cos ,sin )P θθ（02πθ<<）， ················································· 6分则222222||||||4cos sin 13cos TP OP OT θθθ=-=+-=，所以||TP θ=， ·············································································· 8分1||||2OTP SOT TP θ∆=⋅=． ················································· 9分 又(0,0)O ，F，故012OFP S OF y θ∆=⋅=．···················· 10分因此(cos sin )OFP OTP OFPT S S S θθ∆∆=+=+四边形······························· 11分 )4πθ=+≤， ·················································· 13分当且仅当4πθ=时，即0x =02y =时等号成立． ······················· 14分10.（2018房山二模·理）（本小题14分）已知椭圆()222210+=>>：x y C a b a b 的离心率为12，O 为坐标原点，F 是椭圆C 的右焦点，A 为椭圆C 上一点，且⊥AF x 轴，AFO ∆的面积为34． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过C 上一点()()000,0≠P x y y 的直线l ：00221x x y ya b+=与直线AF 相交于点M ，与直线4x =相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，MFNF 恒为定值，并求此定值．10.（Ⅰ）设(,0)F c ，(,)A c d 则22221c d a b+=又12c a =||d ∴= 因AFO ∆ 的面积为341133||,224c d c b bc ∴===由2222a b c a c bc ⎧-=⎪=⎨⎪=⎩得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以C 的方程为22143x y += …………5分 （Ⅱ）由(1)知直线l 的方程为00143x x y y+= (y 0≠0)，即y ＝001234x x y - (y 0≠0)． 因为直线AF 的方程为x ＝1，所以直线l 与AF 的交点为M 0123(1,)4x y -， 直线l 与直线x ＝4的交点为N 0(4,33)x -，则|MF |2|NF |2＝202002220000123()4(4)331616(1)9()x y x x y x y --=-+-+ 又P (x 0，y 0)是C 上一点，则2200143x y +=.2200334x y =- 代入上式得|MF |2|NF |2＝2220002222000000(4)(4)(4)1148121632164(816)4(4)4x x x x x x x x x ---====-+-+-+- 所以|MF ||NF |=12，为定值． …………14分11.（2018朝阳二模·理）已知抛物线2:2C y x =.（1）写出抛物线C 的直线方程，并求出抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）过点(20)，且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点M . 1）求点M 的坐标；2）求OAM △与OAB △面积之和的最小值.11.【解析】（Ⅰ）由题可得22,1P P ==,所以准线方程为1,2x =- 抛物线C 的焦点到准线的距离为1.（Ⅱ）（i ）解:令1122(,),(,),A x y B x y 则22(,)D x y -且令10y >,令:2AB l x my =+222x my y x=+⎧⎨=⎩2240y my ⇒--= 所以12122,4y y m y y +=⋅=-则直线AD 方程为121112()y y y y x x x x +-=--121112()()y y y y x x m y y +-=--2111221()()2y y x y y y -=--当0y =时,21211()()2y y y x y -⋅-=-21211()()2y y y y x -⋅-+=122y y x =,2x =-所以(2,0)M - （ii ）解:1122OAMS y =⋅⋅! 121122||22OAB S y y =⋅⋅+⋅⋅!则112||OAMOAB S S y y y +=++!!1211112||42||42y y y y y y =+-=+=+≥=当且仅当1142y y =时,即1y = 12.（2018西城二模·理）（本小题满分14分）已知直线:1l y kx =+与抛物线2:4C y x =相切于点P ．。

1 / 14 北京市各地市2018年高考数学最新联考试卷分类汇编（10）圆锥曲线
一、选择题:
（7）(北京市朝阳区2018年4月高三第一次综合练习理)抛物线22y px （p ＞0）的焦点为
F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足
120AFB .过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||
||MN AB 的最大值为
A.
33 B. 1 C. 233 D. 2
【答案】A （6）(北京市东城区2018年4月高三综合练习一文）已知点(2,1)A ，抛物线24y x 的焦点是
F ，若抛物线上存在一点P ，使得PA PF 最小，则P 点的坐标为
（A ）(2,1)
（B ）(1,1)（C ）1(,1)2（D ）1(,1)4【答案】D
7. (北京市海淀区2018年4月高三第二学期期中练习理)抛物线24y x 的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A ，则||||
PF PA 的最小值是A.1
2 B.2
2 C.3
2 D.
22
3【答案】 B
5. （北京市丰台区2018年高三第二学期统一练习一文）已知椭圆22212x
y a 的一个焦点与抛物
线28y x 的焦点重合，则该椭圆的离心率是
（A ）3
2（B ）233（C ）22（D ）
63【答案】D
二、填空题:。

1．已知椭圆()22:10E a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，过F 且与x 轴垂直的弦长为3.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过F 作直线l 与椭圆交于A B 、两点，问：在x 轴上是否存在点P ，使PA PB ⋅uu r uu r为定值，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由.解：（1）由题意知222a b c =+，1c =.又当x c =时，2b y a =±.∴223b a⋅=. 则224,3a b ==.∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）假设存在点P 满足条件，设其坐标为(),0t ，设()11,A x y ，()22,B x y ，当l 斜率存在时，设l 方程为()1y k x =-，联立()221,143y k x x y ⎧=-⎪⇒⎨+=⎪⎩()22224384120k x k x k +-+-=，0∆>恒成立.∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+.∴()11,PA x t y =-uu r ，()22,PB x t y =-uu r.∴()()1212PA PB x t x t y y ⋅=--+uu r uu r ()()()()2121211x t x t k x x =--+-- ()()()222212121k x x k t x x k t =+-++++()()()()()22222222141284+34+3k k k t k k t k k +--+⋅++=()()2222485312=43t t k t k --+-+.当PA PB ⋅uu r uu r 为定值时，2248531243t t t ---=.∴118t =.此时223121354364t PA PB t -⋅==-=-uu r uu r .当l 斜率不存在时，11,08P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭.33,82PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu r ，33,82PB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭uu r ，13564PA PB ⋅=-uu r uu r . ∴存在满足条件的点P ，其坐标为11,08⎛⎫⎪⎝⎭.此时PA PB ⋅u u r u u r 的值为13564-.2.已知圆22:1O x y +=与x 轴负半轴相交于点A ，与y 轴正半轴相交于点B .（1）若过点2C ⎝⎭的直线l 被圆Ol 的方程；（2）若在以B 为圆心半径为r 的圆上存在点P，使得PA (O 为坐标原点)，求r 的取值范围；（3）设()()1122,,,M x y Q x y 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线12QM QM 、与y 轴分别交于()0,m 和()0,n ，问m n ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由. 解：（1）1︒若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为：12x =，符合题意.2︒若直线l 的斜率存在，设l的方程为：12y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即220kx y k --∴点O 到直线l 的距离d =l 被圆O∴221d +=⎝⎭∴k =，此时l 的方程为：10x +=∴所求直线l的方程为12x =或10x += （2）设点P 的坐标为(),x y ，由题得点A 的坐标为()1,0-，点B的坐标为()0,1 由PA ==()2212x y -+=∵点P 在圆B上，∴r r≤0r<≤∴所求r 的取值范围是0r <≤（3）∵()11,M x y ，则()()111211,,,M x y M x y ---∴直线1QM 的方程为()211121y y y y x x x x ++=++令0x =，则122112x y x y m x x -=+同理可得122112x y x y n x x +=-∴()()2212211221122122121212x y x y x y x y x y x y mn x x x x x x --+=⋅=+--()()222212212212111x x x x x x ---==- ∴m n ⋅为定值1.4．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0ab >>）的离心率e =，过点R (1,0)-的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，且2PR RQ =.（Ⅰ）当直线l 的倾斜角为060时，求三角形OPQ 的面积； （Ⅱ）当三角形OPQ 的面积最大时，求椭圆C 的方程．解:由e =得223a b =，所以222:33C x y b +=．设1122(,),(,),P x y Q x y ，则由2P R R Q=uur uuu r ，R(1,0)-，得1212213203x x y y +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩由2PR RQ =uu r uu u r 知直线l 斜率存在设为k ,得直线l 的方程(1)y k x =+，代入222:33C x y b +=得22222(31)6330k x k x k b +++-=，由2PR RQ =uur uuu r 知0∆>，且2122221226313331k x x k k b x x k ⎧-+=⋅⎪⎪+⎨-⎪=⋅⎪+⎩解得21222233313331k x k k x k ⎧-+=⋅⎪⎪+⎨--⎪=⋅⎪+⎩， 12122312231OPQ k k S OR y y x x k =-=-=+V（1）k =2331OPQ k S k ==+V （2）（0k ≠时）1212231322313OPQ k k S OR y y x x k k k=-=-==≤++V21,3k k ==时三角形OPQ 的面积最大，把213k =代入得253b =．25a ∴= 于是椭圆C 的方程为223155x y +=． 5．如图，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左顶点(2,0)A -，且点3(1,)2-在椭圆上，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点。

2018一模分类汇编——圆锥曲线1.（2018东城一模·理）设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2，则P 到该抛物线焦点的距离是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ） 4 1.C2.（2018石景山一模·理）如图，已知线段AB 上有一动点D （D 异于A B 、）,线段CD AB ⊥,且满足2CD AD BD λ=⋅（λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为（ ） A ．圆的一部分 B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 2.B3.（2018朝阳一模·理）若三个点(2,1),(2,3),(2,1)---中恰有两个点在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上，则双曲线C 的渐近线方程为_____________．3.2y x =±4.（2018西城一模·理）已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____；双曲线的渐近线方程是____．0x ±=5.（2018延庆一模·理） 设双曲线2214x y -=的焦点为12，，F F P 为该双曲线上的一点，若13PF =，则2PF = ． 5.76.（2018海淀一模·理）已知点(2,0)是双曲线:C 2221x y a-=的一个顶点，则C 的离心率为____________.6.27.（2018石景山一模·理）双曲线2212x y -=的焦距是________,渐近线方程是________.7.2y x =±8.（2018房山一模·理）抛物线24x y =的焦点坐标为 . 8.()01，9.（2018丰台一模·理）已知抛物线M 的开口向下，其焦点是双曲线2213y x -=的一个焦点，则M 的标准方程为____．9.28x y =-10.（2018延庆一模·理）（本小题满分14分）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>过点01（）,且离心率e =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:0l x y -=和2:0l x y +=分别交于两点．若直线总与椭圆E 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由． 10.（Ⅰ）由已知得,P Q l解得222b1acb1ac1a b c=⎧⎧=⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩所以椭圆的E方程为2212xy+=…………4分（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线为x=x=都有122OPQS∆=⨯=. ………6分当直线的斜率存在时，设直线:(1)l y kx m k=+≠±，由2212y kx mxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去，可得222(12)4220k x kmx m+++-=228816m k∆=-++，由题可知，0∆=，有2221m k=+………8分又y kx mx y=+⎧⎨-=⎩可得(,)11m mPk k--；同理可得(,)11m mQk k-++.由原点到直线的距离为和2PQ=可得22121OPQmS d PQk∆==-………10分∵2221m k=+，∴22222111OPQm kSk k∆+==--………11分当210k-<，即11k k><-或时，2222132211OPQkSk k∆+==+>--………12分当210k->，即11k-<<时，222213211OPQkSk k∆+==-+--因为2011k<-≤，所以2331k≥-，所以23211OPQSk∆=-+≥-，当且仅当时等号成立. 综上，当时，OPQ∆的面积存在最小值为1………14分l llyOPQ d=k=k=11.（2018西城一模·理）（本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=和椭圆22:24C x y +=，F 是椭圆C 的左焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交圆O 于点Q （,P Q 不重合），l 是过点Q 的圆O 的切线．圆F 的圆心为点F ，半径长为||PF ．试判断直线l 与圆F 的位置关系，并证明你的结论．11.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=． [ 1分]所以 24a =，22b =，从而 2222c a b =-=．因此 2a =，c =故椭圆C 的离心率 c e a ==． [ 3分]椭圆C 的左焦点F 的坐标为(． [ 4分]（Ⅱ）直线l 与圆F 相切．证明如下： [ 5分]设00(,)P x y ，其中022x -<<，则220024x y +=， [ 6分]依题意可设01(,)Q x y ，则22014x y +=． [ 7分]直线l 的方程为 0101()x y y x x y -=--，整理为0140x x y y+-=．[9分]所以圆F的圆心F到直线l的距离|2|2d x==+．[11分]因为22222200000011||(((4)422PF x y x x x=+=++-=++．[13分]所以22||PF d=，即||PF d=，所以直线l与圆F相切．[14分]12.（2018石景山一模·理）（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy中，动点E到定点(1,0)的距离与它到直线1x=-的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx b=+与曲线C相切于点P，与直线1x=-相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．（本小题共13分）12.（Ⅰ）解：设动点E的坐标为(,)x y，由抛物线定义知，动点E的轨迹是以(1,0)为焦点，1x=-为准线的抛物线，所以动点E的轨迹C的方程为24y x=．……………5分（Ⅱ）证明：由24y kx by x=+⎧⎨=⎩，消去x得：2440ky y b-+=．因为直线l 与抛物线相切，所以16-160kb ∆==，即1b k=． ……8分 所以直线l 的方程为1y kx k=+． 令1x =-，得1y k k=-+． 所以Q 11,k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭． ……………10分设切点坐标00(,)P x y ，则20044+0ky y k-=， 解得：212(,)P k k， ……………11分 设(,0)M m ，2121(1)()k MQ MP m m k k k ⎛⎫⋅=---+-+ ⎪⎝⎭221=2m m m k -+--所以当22=0-10m m m ⎧+-⎨=⎩，即10m MQ MP =⋅=时，所以MQ MP ⊥所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M ． ……………13分13.（2018海淀一模·理）（本小题14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为2，且点()2,1T 在椭圆上.设与OT平行的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，直线,TP TQ 分别与x 轴正半轴交于,M N 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）判断OM ON +的值是否为定值，并证明你的结论.13.（本小题14分）（Ⅰ）由题意222224112a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪==⎪⎩，解得：a =，b =c = 故椭圆C 的标准方程为22182x y += ···················································· 5分（Ⅱ）假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2，－1)，直线l 的方程为11(2)2y x +=-，即122y x =-. 联立方程22182122x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2440x x -+=，此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意.故直线TP 和TQ 的斜率存在. 方法1：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则直线111:1(2)2y TP y x x --=--， 直线221:1(2)2y TQ y x x --=-- 故112||21x OM y -=--，222||21x ON y -=--由直线1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠） 联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩ 当0∆>时，122x x t +=-，21224x x t ⋅=-||||OM ON +1212224()11x x y y --=-+-- 1212224()111122x x x t x t --=-++-+- 121221212(2)()4(1)411(1)()(1)42x x t x x t x x t x x t +-+--=-+-++- 22224(2)(2)4(1)411(24)(1)(2)(1)42t t t t t t t t -+----=--+-⋅-+- 4= ········································································ 14分 方法2：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线TP 和TQ 的斜率分别为1k 和2k由1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠） 联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩ 当0∆>时，122x x t +=-，21224x x t ⋅=-12k k +12121122y y x x --=+-- 121211112222x t x t x x +-+-=+--121212(2)()4(1)(2)(2)x x t x x t x x +-+--=--21224(2)(2)4(1)(2)(2)t t t t x x -+----=--0=故直线TP 和直线TQ 的斜率和为零 故TMN TNM ∠=∠ 故TM TN =故T 在线段MN 的中垂线上，即MN 的中点横坐标为2故||||4OM ON += ······································································ 14分14.（2018丰台一模·理）（本小题共14分）已知点3(1,)2P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值． 14.（本小题共14分）解：（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为)0,1(-'F ，且1=c ． ……………………1分因为4)23(0)23(222222=+++=a ，所以2a =，b ……………………3分所以椭圆C的方程为13422=+y x ． ……………………4分 （Ⅱ）证明：由题意可知D ，E 两点与点P 不重合．因为D ，E 两点关于原点对称， 所以设(,)D m n ，(,)E m n --，)1(±≠m ． ……………………5分设以MN 为直径的圆与直线32y =交于33(,),(,)(0)22G t H t t ->两点， 所以G⊥． (6)分直线PD ：)1(12323---=-x m n y ． 当=x 时，23123+---=m n y ，所以)23123,0(+---m n M ． ……………………7分 直线PE ：)1(12323-++=-x m n y ． 当=x 时，23123+++-=m n y ，所以)23123,0(+++-m n N ． ……………………8分 所以32(,)1n G M t m -=---，32(,)1n GN t m +=--+， ……………………9分 因为G M ⊥，所以0G M G N ⋅=， ……………………10分所以2224904(1)n GM GN t m -⋅=+=-． ……………………11分因为13422=+n m ，即124322=+n m ，223394m n -=-， ……………………12分所以2304t -=，所以23=t ． ……………………13分 所以)23,23(G ，)23,23(-H ，所以GH =． 所以以MN 为直径的圆被直线23=y……………………14分15.（2018房山一模·理）（本小题14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>过点()0,1-，离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F ()1,0作斜率为()0k k ≠的直线l ，l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若线段MN 的垂直平分线交x 轴于点P ，求证：||||MN PF 为定值．15.（Ⅰ）根据题意22212b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩解得：1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=…………… 5分 （Ⅱ）设直线l 的方程为(1)y k x =- 由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得 2222(21)4220k x k x k +-+-=由0∆>得k R ∈且0k ≠设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点00(,)Q x y 那么2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+212000222,(1)22121x x k kx y k x k k +-===-=++设(,0)P p ，根据题意PQ MN ⊥ 所以20202121221kyk k x p kp k -+==---+，得2221k p k =+所以22221 ||12121k kPFk k+=-=++|| MN==22)21kk+=+所以||||MNPF=为定值………………… 14分16.（2018东城一模·理）（本小题13分）已知椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：的离心率为2，且过点A(2，0)．(Ⅰ) 求椭圆C的方程；(Ⅱ) 设M，N是椭圆C上不同于点A的两点，且直线AM，AN的斜率之积等于－1 4. 试问直线MN是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．16.（共13分）解：（I）由已知有2,a=⎧=解得2,1.ab=⎧⎨=⎩椭圆C的方程为2214xy+=. ……………………………4分（II）若直线MN斜率存在，设直线MN方程为y kx n=+.由22,1,4y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得222(14)8440k x knx n +++-=. 当0∆>，设1122(,),(,)M x y N x y ， 则122814kn x x k +=-+………..①，21224414n x x k -=+………..②. 由12121224AM AN y y k k x x ⋅=⋅=---以及11y kx n =+，22y kx n =+整理，得 221212(14)(42)()(44)0k x x nk x x n ++-+++=.将①，②代入上式，整理，得220n kn +=，解得0n =或2n k =-. 当0n =时，直线y kx n =+过(0,0)；当2n k =-时，直线y kx n =+过(2,0)（舍）. 若直线MN 斜率不存在，则直线,AM AN 斜率互为相反数. 不妨设11,22AM AN k k =-=，于是直线1:(2)2AM y x =--与椭圆交于(0,1)M ， 由对称性可知直线AN 与椭圆交于(0,1)N -.所以直线MN 也过(0,0).综上，直线MN 过定点(0,0). ……………………………13分17.（2018朝阳一模·理） (本小题满分14分) 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，且过点(1,2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线2l 过坐标原点且与直线1l 的斜率互为相反数．若直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合，设直线AE 与x 轴所成的锐角为1θ，直线BF 与x 轴所成的锐角为2θ，判断1θ与2θ大小关系并加以证明．17. (本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意得22222,11 1.2c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得a =1b =，1c =．故椭圆C 的方程为2212x y +=． ….….5分 （Ⅱ）12=θθ．证明如下：由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =+，直线2l 的方程为y kx =-，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)E x y ，33(,)F x y --．要证12=θθ，即证直线AE 与直线BF 的斜率之和为零，即0AE BF k k += ． 因为13231323AE BF y y y y k k x x x x -++=+-+13231323(1)(1)k x kx k x kx x x x x +++-=+-+2121231323[2()2]()()k x x x x x x x x x +++=-+． 由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k -+=+，21222212k x x k -=+． 由22,1,2y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)2k x +=，所以232212x k =+． 所以2221212322244442()20121212k k x x x x x k k k --+++=++=+++． 2121231323[2()2]0()()AE BFk x x x x x k k x x x x ++++==-+． 所以12=θθ． ….….14分。

2018年北京各区一模理科数学分类汇编----立体几何（含答案）1.（朝阳）某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于D（A ）34（B ）23（C ）12（D ）13【答案】D【解析】本题考查三视图还原和锥体体积的计算 抠点法:在长方体1111ABCD A BC D -中抠点, 1.由正视图可知:11C D 上没有点; 2.由侧视图可知:11B C 上没有点; 3.由俯视图可知:1CC 上没有点;4.由正（俯）视图可知:,D E 处有点,由虚线可知,B F 处有点,A 点排除. 由上述可还原出四棱锥1A BEDF -,如右图所示,111BEDF S =⨯=四边形,1111133A BEDF V -=⨯⨯=.故选D .2. （朝阳）如图1,在矩形ABCD 中,2,4AB BC ==,E 为AD 的中点,O 为BE 的中点.将ABE !沿BE 折起到A BE ',使得平面A BE '⊥平面BCDE （如图2）.（Ⅰ）求证:A O CD '⊥;（Ⅱ）求直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值;（Ⅲ）在线段A C '上是否存在点P ,使得//OP 平面A DE '?若存在,求出A PA C''的值;若不存在,请说明理由.【解析】（Ⅰ）如图,在矩形ABCD 中,2,4AB BC ==,E 为AD 中点,2AB AE ∴==,O 为BE 的中点,AO BE ∴⊥由题意可知,A O BE '⊥,平面A B E '⊥平面B C D E 平面A B E '平面B C D E B E =,A O '⊂平面A BE 'A O '∴⊥平面BCDECD ⊂平面BCDE ,A O CD '∴⊥（Ⅱ）取BC 中点为F ,连结OF 由矩形ABCD 性质,2,4AB BC ==,可知OF BE ⊥ 由（Ⅰ）可知,,A O BE A O OF ''⊥⊥以O 为原点,OA '为z 轴,OF 为x 轴,OE 为y 轴建立坐标系在Rt BAE !中,由2,2AB AE ==,则BE OA ==所以A E F'(0,B C DA C '=,(2,ED=,A E '=设平面A DE '的一个法向量为(,,)m xy z =则00m A E m ED ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,00-=+=令1y z ==,则1x =-所以(1,1,1)m =- 设直线A C '与平面A DE '所成角为θ，2sin cos ,3A C m A C m A C mθ'⋅'=<>=='⋅ 所以直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值为3. （Ⅲ）假设在线段A C '上存在点P,满足//OP 平面ADE '，设(01)A P A C λλ''=≤≤由A C '=,,所以,)A P '=)P -,)OP=-若//OP 平面A D E ',则0m OP ⋅=，所以0-++=,解得1[0,1]2λ=∈，所以12A P A C '='.3. （石景山）若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是（ ）AA.378cmB. 323cmC. 356cmD.312cm4.（石景山） 如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，EB //PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF PC ⊥； （Ⅱ）求证：BD //平面PEC ； （Ⅲ）求二面角DPC E --的大小．B（Ⅰ）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ．如图，以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系． ……2分依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ． 因为(2,0,2)AF =，(4,4,4)PC =-，所以80(8)0AF PC ⋅=++-=． ……5分所以AF PC ⊥（Ⅱ）证明：取PC 的中点M ，连接EM ．因为(2,2,2)M ，(2,2,0)EM =-，(4,BD =-所以2BD EM =，所以//BD EM ．分又因为EM ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，所以//BD 平面PEC ． ……9分 （Ⅲ）解：因为AF PD ⊥，AF PC ⊥，PD PC P =，所以AF ⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =为平面PCD 的一个法向量．……10分 设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =， 因为(4,4,4)PC =-，(0,4,2)PE =-，所以0,0,n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即4440,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令1y =-，得1x =-，2z =-，故(1,1,2)n =---． ……12分所以cos ,AF n <>== ……13分 所以二面角D PC E --的大小为5π6． ……14分5.（西城） 正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是D （A） （B（C）6+ （D）6+6.（西城）．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等， 则1A P 的最小值是____．7. 如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE的中点，AB AC ==4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2．（Ⅰ）求证：1AO BD ⊥；（Ⅱ）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC？若存在，求出11A FA C的值；若不存在，说明理由．图1 图2解：（Ⅰ）因为 在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以 //DE BC ，AD AE =．所以 11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以 1AO DE ⊥． [ 1分]因为 平面1A DE ⊥平面BCED ，且1AO ⊂平面1A DE ，所以 1AO ⊥平面BCED ， [ 3分]所以 1AO BD ⊥． [ 4分] （Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以 OE OG ⊥． 由（Ⅰ）得 1A O OE ⊥，1A O OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 5分]由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -． 所以 1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→=-． 设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则 110,0,A B A D −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即 2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩令1x =，则2y =，1z =-，所以 (1,2,1)=-n ． [ 7分] 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ， 则111||sin |cos ,|||||A C A C A C θ−−→−−→−−→⋅=〈〉=n n n 所以 直线1A C 和平面1A BD． [ 9分] （Ⅲ）线段1A C 上存在点F 适合题意．设 11A F AC λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈． [10分] 设 111(,,)F x y z ，则有111(,,2)(2,2,2)x y z λλλ-=-， 所以 1112,2,22x y z λλλ===-，从而 (2,2,22)F λλλ-， 所以 (2,21,22)DF λλλ−−→=+-，又(0,4,0)BC −−→=， 所以|||cos ,|||||DF BC DF BC DF BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==[12分]令， 整理得 23720λλ-+=． [13分] 解得 13λ=，舍去2λ=．所以 线段1A C 上存在点F 适合题意，且1113A F A C =． [14分]8. （延庆）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为 D（A（B（C ） 2 （D9. （延庆）如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE EC ⊥，2AB BE EC ===，点,G F 分别是线段,BE DC 的中点.（Ⅰ）求证：//GF 平面ADE ； （Ⅱ）求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段CD 上是否存在一点M ，使得DE AM ⊥，若存在，求DM 的长，若不存在，请说明理由.（Ⅰ）如图，取AE 的中点H ，连接,HG HD ，又G 是BE 的中点， 所以 //GH AB ，且12GH AB =………1分 又F 是CD 中点，所以12DF CD =， 由四边形ABCD 是矩形得，AB CD =， //AB CD ， ………2分 所以GH DF =， //GH DF ，从而四边形HGFD 是平行四边形，//GF DH ， ………3分正（主）视图侧（左）视图俯 视（7题图）又D H ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE 所以//GF 平面ADE ………4分 法一：（Ⅱ）如图，在平面BEC 内，过点B 作//BQ EC,因为所以A B B ⊥，,BE EC BQ BE ⊥∴⊥又因为AB ⊥平面BEC ，AB BQ ⊥ 以B 为原点，分别以的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，…5分 则(0,0,2)A (0,0,0)B (2,0,0)E (2,2,1).F ………6分因为AB ⊥平面BEC ，所以为平面BEC 的法向量，………7分 设为平面AEF 的法向量，又由2200220,0，得x z n AE x y z n AF ⎧-=⋅=⎧⎨⎨+-=⋅=⎩⎩取得. ………9分从而42cos ,323n BA n BA n BA⋅===⨯⋅………10分 所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为. （Ⅲ）假设在线段CD 存在点M ，设点M 的坐标为(2,2,)a . ………11分 因为(0,0,2)A (2,0,0)E (2,2,2).D所以(0,2,2)DE =--，(2,2,2)AM a =- ………12分 因为D E AM ⊥，0DE AM ⋅=所以0a = .………13分 所以2D M = ………14分法二：（Ⅱ）以E 点为原点，EC 所在直线为x 轴，EB 所在直线为y 轴，过E 做垂直平面BEC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)E ，(0,2,2)A ，(2,0,1)F(2,0,2)D ，1(0,0,1)n 为平面BEC 的法向量， ………7分设2(,,)n x y z 为平面AEF 的法向量，又()()0,2,2,2,0,1EA EF,,BE BQ BA A=(B 0,0,2)(x,y,z)n =AE (2,0,-2)AF=(2,2,-1)=，2z ==(2,-1,2)n 23由2200n EA n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22020y z x z +=⎧⎨+=⎩取得2(-1,-2,2)n ………9分从而12121222cos ,133n n n n n n ⋅===⨯⋅ ………10分 所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为. （Ⅲ）假设在线段CD 存在点M ，设点M 的坐标为(2,0,)a . ………11分 因为(0,2,2)A (0,0,0)E (2,0,2)D所以(-2,0,2)DE =-，(2,-2,2)AM a =- ………12分 因为D E AM ⊥，0DE AM ⋅=所以0a = .………13分 所以2D M =………14分10.（东城） 某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为____________.12+11. （东城）如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别将PAD ，PBC 沿PA ，PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ，如图2. 在三棱锥P OAB -中，E 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：PO AB ⊥；（Ⅱ）求直线PB与平面POA 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角P AO E --的大小.2z =23图1 图2 证明：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，P 为CD 中点，PD AD ⊥,PC BC ⊥， 所以在三棱锥P OAB -中，PO OA ⊥，PO OB ⊥. 因为OA OB O =，所以PO ⊥平面OAB .因为AB ⊂平面OAB ,所以PO AB ⊥. ……………………4分 （Ⅱ）取AB 中点F ，连接OF ，取AO 中点M ，连接BM . 过点O 作AB 的平行线OG .因为PO ⊥平面OAB ，所以PO ⊥OF ，PO ⊥OG . 因为OA ＝OB ，F 为AB 的中点， 所以OF ⊥AB . 所以OF ⊥OG .如图所示，建立空间直角坐标系O －xyz .A ()1，3，0，B ()－1，3，0，P ()0，0，1，M (12，32，0)．因为BO ＝BA ，M 为OA 的中点，所以BM ⊥OA .因为PO ⊥平面OAB ，PO ⊂平面POA ，所以平面POA ⊥平面OAB . 因为平面POA ∩平面OAB ＝OA ，BM ⊂平面OAB ， 所以BM ⊥平面POA .因为BM uuu r ＝(32，－32，0)．所以平面POA 的法向量m ＝()3，－1，0.BP uur＝(1，－3，1)．设直线BP 与平面POA 所成角为α，则sin cos 5BP BP BPa ×=<>==uu r uu ruu r m m,m . 所以直线BP 与平面POA 所成角的正弦值为155. ………………10分 （Ⅲ）由(Ⅱ)知1122E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1122OE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()OA =. 设平面OAE 的法向量为n ，则有 0,0.OA OE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =-，则xz =即=-n .所以21cos ,242⋅===⋅⨯m n m n m n .由题知二面角P －AO －E 为锐角，所以它的大小为3p. ……………………………14分 12. （房山）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为D（A）（B）（C）（D）13.（房山）如图，四棱锥ABCD P -中，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，2==CD PD ，PC =2，BC //=AD 21，AD CD ⊥. （Ⅰ）求证：⊥CD 平面PAD ；（Ⅱ）若E 为PD 中点，求CE 与面PBC 所成角的正弦值； （Ⅲ）由顶点C 沿棱锥侧面经过棱PD 到顶点A 的最短路线与PD 的交点记为F .求该最短路线的长及FDPF的值. 证明：证明：（Ⅰ） 由题，222PD PC CD =+∴ PD ⊥CDD AD PD D =⊥ ,A CDP A D CD 面⊥∴ …………5分 （Ⅱ）法1：由（Ⅰ）知OB OD OB PO OD PO ⊥⊥⊥,.,∴以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示C （0,1,2）P(0,0,1), D(0,1,0) B(0,0,2) E(0,21,21))21,21,2(--=,)0,1,0(),1,0,2(=-=BC PBPAB CDE设面PBC 的法向量),,(z y x =)2,0,1(0,2,1x ,02{002{{=∴=====⇒==-⇒⋅⋅y z y x z y z x 则令 设CE 与面PBC 所成角为θ1515|,cos |sin =><=∴n CE θ…………10分（Ⅱ）法2：以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示 C （0,2,0）P(-1,0,1), D(0,0,0) B(0,2,1-) E(21-,0,21) )212,21(，--=,)0,0,1(),12,0(=-=，设面PBC 的法向量),,(z y x =)2,1,0(0,2,1y ,02{002{{=∴=====⇒==-⇒⋅⋅y z y x z x z y 则令 设CE 与面PBC 所成角为θ1515|cos |sin =><=∴CE θ…………10分法3：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示C （0,2,2）P(0,1,1), D(0,2,0) B(0,1,2) E(0,23,21))21,21,2(--=CE ,)0,1,0(),1,0,2(=-=设面PBC 的法向量),,(z y x n =)2,0,1(0,2,1x ,02{002{{=∴=====⇒==-⇒⋅⋅n y z y x z y z x 则令 设CE 与面PBC 所成角为θ1515|cos |sin =><=∴CE θ…………10分（Ⅲ）为等腰直角三角形面PDC PD CD PD ∆∴⊥∴⊂PAD将侧面PCD 绕着PD 旋转，使其与侧面PAD 共面，点C 运动到C ’，连接AC ’交PD 于E ， 则AC ’为最短路线090'=∠=∠PDC APD为平行四边形四边形P ADC '//'∴=∴DC AP 的中点，为C A PD '∴E10210222,122==+=='=∴PE AP AE C A ED PE…………14分 14.（丰台） 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A(A)23(B)43 (C) 2 (D)8315.(丰台) 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AD BC ∥，3AD =，22PA BCAB===，PB =（Ⅰ）求证：BC PB ⊥；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值；（Ⅲ）若点E 在棱PA 上，且BE ∥平面PCD ，求线段BE 的长． （Ⅰ）证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB 平面=ABCD AB ，因为BC ⊥AB ，且BC ⊂平面ABCD所以BC ⊥平面PAB ． ……………………3分 因为PB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PB ． ……………………4分（Ⅱ）解：在△PAB 中，因为=2PA ，=PB =1AB ，所以222=+PA AB PB ，所以PB ⊥AB ． ……………………5分 所以，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示． 所以(1,0,0)A -，(0,0,0)B ，(0,2,0)C ，(1,3,0)D -，P ，正视图侧视图俯视图(1,1,0)CD =-，(0,2,PC =．易知平面ABCD 的一个法向量为=(0,0,1)n ． ……………………6分 设平面PCD 的一个法向量为=(,,)x y z m ，则00CD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即2x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，令=2z，则=m ． ……………………8分 设二面角P CD A --的平面角为α，可知α为锐角，则cos cos ,5α⋅=<>===⋅n m n m n m ， 即二面角P CD A --的余弦值为5． ……………………10分 （Ⅲ）解：因为点E 在棱PA ，所以AE AP λ=，[0,1]λ∈． ……………………11分因为=1AP （，所以=)AE λ（，(1)BE BA AE λ=+=-． ……………………12分 又因为//BE 平面PCD ，m 为平面PCD 的一个法向量， 所以0BE ⋅=m1)20λλ-+=，所以1=3λ． ……………………13分所以2(3BE =-，所以7==BE BE ． ……………………14分 16.（海淀） 如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S ，则S 的值不可能是D(A) 1(B)65(C)43(D)3217.（海淀）已知三棱锥P -ABC （如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形．在三棱锥P -ABC 中： （Ⅰ）证明：平面P AC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A -PC -B 的余弦值； （Ⅲ）若点M 在棱PC 上，满足CM CP =λ，1233,⎡⎤λ∈⎢⎥⎣⎦，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BN BP 的取值范围.解：（Ⅰ）方法1：OPCA设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意PA PB PC ===1PO =，1AO BO CO ===因为 在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥， ······································································· 1分 因为 在POB ∆中，1PO =，1OB =，PB =所以 PO OB ⊥ ·········································································· 2分 因为 ACOB O =，,AC OB ⊂平面ABC ···································· 3分所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ································································· 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC 方法2：(图1)CAECOPCA设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为 在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥， ······································································· 1分 因为 PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO ==所以 POA ∆≌POB ∆≌POC ∆ 所以 90POA POB POC ∠=∠=∠=︒所以 PO OB ⊥ ·········································································· 2分 因为 ACOB O =，,AC OB ⊂平面ABC ····································· 3分所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ································································· 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC 方法3：OPCA BQ设AC 的中点为O ，连接PO ，因为 在PAC ∆中，PA PC =，所以 PO AC ⊥ ·········································································· 1分 设AB 的中点Q ， 连接PQ ，OQ 及OB . 因为 在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点 所以 OQ AB ⊥.因为 在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点 所以 PQ AB ⊥. 因为 PQOQ Q =，,PQ OQ ⊂平面OPQ所以 AB ⊥平面OPQ 因为 PO ⊂平面OPQ所以 PO AB ⊥ ·········································································· 2分 因为 ABAC A =，,AB AC ⊂平面ABC ····································· 3分所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ································································· 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC 法4：OPCA设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为 在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥， ······································································· 1分 因为 在ABC ∆中，BA BC =，O 为AC 的中点所以 BO AC ⊥， ······································································· 2分 因为 POBO O =，PO ⊂平面PAC ，BO ⊂平面ABC ，所以∠POB 为二面角P -AC -B 的平面角。

2018届北京各区一模理科数学分类汇编----参数、极坐标、复数（含答案）1.（朝阳）直线l的参数方程为=,1+3x y tìïïíï=ïî（t 为参数），则l 的倾斜角大小为（ ） C A ．6π B ． 3π C ． 32π D ．65π 2.（石景山） 已知圆C 的参数方程为cos ,sin 2,x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，直线的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ+=，则直线截圆C 所得的弦长是_____________3. （延庆）在复平面内，复数-2i 1i +的对应点位于的象限是 C （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限4. （延庆）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设():cos sin 2l +=ρθθ，M 为l 与224x y +=的交点，则M 的极径为 ．25. (东城)复数i 1iz =-在复平面上对应的点位于 （ ）B （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限6. （东城）在极坐标系中， 圆2cos ρθ=的圆心到直线sin 1ρθ=的距离为 ．17. （房山）已知复数i 21+=z ，且复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，则=21z z B （A ）1+i （B ）i 5453+ （C ）i 54-53 （D ）i 341+ 8. （房山）在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线l 的距离为______．29. （丰台）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 D(A) sin ρθ=(B) 2sin ρθ= (C) cos ρθ=(D) 2cos ρθ=10. （丰台）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B对应的复数分别是1z ，2z ，则21z z = ____．12i -- 11. （海淀）复数2i 1i=+ _____________.1+i12.（海淀）直线2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）的公共点个数为__________.213．（西城）已知圆的方程为2220x y y +-=．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为 B（A ）2sin ρθ=-（B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=- （D ）2cos ρθ=14．（西城）若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a =____． -7。

2009至2018年北京高考真题分类汇编之圆锥曲线精心校对版题号一二三总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。

2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。

3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、填空题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）若抛物线22y px 的焦点坐标为(1,0)，则p ，准线方程为。

2.（2011年北京高考真题数学(文)）已知双曲线2221y x b （b ＞0）的一条渐近线的方程为2y x ，则b = . 3.（2010年北京高考真题数学(文)）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。

4.（2009年北京高考真题数学(文)）椭圆22192x y 的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF ，则2||PF ；12F PF 的大小为 . 5.（2014年北京高考真题数学(文)）设双曲线C 的两个焦点为2,0，2,0，一个顶点是1,0，则C 的方程为 . 6.（2015年北京高考真题数学(文)）已知（2，0）是双曲线x 2﹣=1（b ＞0）的一个焦点，则b= ．22221x y a b 221259x y 姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●。

2018二模分类汇编——圆锥曲线(教师版)1.（2018东城二模·理）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线的倾斜角为60º，且与椭圆x 25+y 2＝1有相等的焦距，则C 的方程为（A ）x 23－y 2＝1 （B ）x 29－y 23＝1 （C ）x 2－y 23＝1 （D ）x 23－y 29＝11.C2.（2018海淀二模·理）设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件2.A3.（2018丰台二模·理）已知双曲线2221(0)9x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则b 的值为(C) 3(D) B4.（2018海淀二模·理）能够使得命题“曲线221(0)4x y a a-=≠上存在四个点P ，Q ，R ，S 满足四边形PQRS 是正方形”为真命题的一个实数a 的值为 .4.答案不唯一，0a <或4a >的任意实数5.（2018房山二模·理）设双曲线()222210,0-=>>x y a b a b的一条渐近线方程为20-=x y ，则该双曲线的离心率为 ．5.26.（2018顺义二模·理）设双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 经过点(4,1),且与1422=-x y 具有相同渐近线,则C 的方程为________________;渐近线方程为__________________.6.x y y x 21,131222±==-. 7.（2018朝阳二模·理）双曲线22xy λ-=（0λ≠）的离心率是 ；该双曲线的两条渐近线的夹角是 .7.π28.（2018昌平二模·理）已知双曲线：2221(0)x y a a -=>的渐近线方程为12y x =±，则双曲线的离心率是 ．8.9.（2018海淀二模·理）（本小题共14分）已知椭圆C ：2214x y +=，F 为右焦点，圆O ：221x y +=，P 为椭圆C 上一点，且P 位于第一象限，过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，T 在OP 两侧.（Ⅰ）求椭圆C 的焦距及离心率; （Ⅱ）求四边形OFPT 面积的最大值. 8.（本小题共14分）解：（Ⅰ）在椭圆C ：2214x y +=中，2a =，1b =，所以c= ···················· 2分 故椭圆C 的焦距为2c =， ·················· 3分 离心率c e a ==． ······················ 5分 （Ⅱ）法一：设00(,)P x y （00x >，00y >），则220014x y +=，故220014x y =-． ····· 6分所以22222203||||||14TPOP OT x y x =-=+-=所以0||TP =， ·········· 8分C C01||||2OTP S OT TP x ∆=⋅=．··· 9分又(0,0)O ，F ，故00122OFP S OF y y ∆=⋅=． ······10分因此00()2OFP OTP OFPT x S S S y ∆∆=+=+四边形 ··········11分==．由220014x y +=，得1≤，即001x y ⋅≤，所以OFPT S =四边形， ············· 13分当且仅当2200142x y ==，即0x 02y =时等号成立. ····· 14分 （Ⅱ）法二：设(2cos ,sin )P θθ（02πθ<<）， ············ 6分则222222||||||4cos sin 13cos TP OP OT θθθ=-=+-=，所以||TP θ=， ·····················8分1||||2OTP S OT TP θ∆=⋅=． ·············9分又(0,0)O ，F ，故012OFP S OF y θ∆=⋅=． ·····10分因此(cos sin )2OFP OTP OFPT S S S θθ∆∆=+=⋅+四边形 ········11分sin()242πθ=+≤， ············· 13分当且仅当4πθ=时，即0x =0y =······ 14分 10.（2018房山二模·理）（本小题14分）已知椭圆()222210+=>>：x y C a b a b 的离心率为12，O 为坐标原点，F 是椭圆C 的右焦点，A 为椭圆C上一点，且⊥AF x 轴，AFO ∆的面积为34．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过C 上一点()()000,0≠P x y y 的直线l ： 00221x x y ya b+=与直线AF 相交于点M ，与直线4x =相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，MFNF恒为定值，并求此定值． 10.（Ⅰ）设(,0)F c ，(,)A c d 则22221c d a b +=又12c a =||2d b ∴= 因AFO ∆ 的面积为341133||,2224c d c b bc ∴===由2222a b c a c bc ⎧-=⎪=⎨⎪=⎩得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以C 的方程为22143x y += …………5分 （Ⅱ）由(1)知直线l 的方程为00143x x y y+= (y 0≠0)，即y ＝001234x x y - (y 0≠0)．因为直线AF 的方程为x ＝1，所以直线l 与AF 的交点为M 0123(1,)4x y -， 直线l 与直线x ＝4的交点为N 0(4,33)x -，则|MF |2|NF |2＝202002220000123()4(4)331616(1)9()x y x x y x y --=-+-+ 又P (x 0，y 0)是C 上一点，则2200143x y +=.2200334x y =- 代入上式得|MF |2|NF |2＝2220002222000000(4)(4)(4)1148121632164(816)4(4)4x x x x x x x x x ---====-+-+-+- 所以|MF ||NF |=12，为定值． …………14分11.（2018朝阳二模·理）已知抛物线2:2C y x =.（1）写出抛物线C 的直线方程，并求出抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）过点(20)，且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点M .1）求点M 的坐标；2）求OAM △与OAB △面积之和的最小值. 11.【解析】（Ⅰ）由题可得22,1P P ==,所以准线方程为1,2x =-抛物线C 的焦点到准线的距离为1. （Ⅱ）（i ）解:令1122(,),(,),A x y B x y 则22(,)D x y -且令10y >,令:2AB l x my =+222x my y x=+⎧⎨=⎩2240y my ⇒--= 所以12122,4y y m y y +=⋅=-则直线AD 方程为121112()y y y y x x x x +-=--121112()()y y y y x x m y y +-=--2111221()()2y y x y y y -=--当0y =时,21211()()2y y y x y -⋅-=-21211()()2y y y y x -⋅-+=122y y x =,2x =-所以(2,0)M -（ii ）解:1122OAMS y =⋅⋅! 121122||22OAB S y y =⋅⋅+⋅⋅!则112||OAMOAB S S y y y +=++!!1211112||42||42y y y y y y =+-=+=+≥=当且仅当1142y y =时,即1y =12.（2018西城二模·理）（本小题满分14分）已知直线:1l y kx =+与抛物线2:4C y x =相切于点P ．（Ⅰ）求直线l 的方程及点P 的坐标；（Ⅱ）设Q 在抛物线C 上，A 为PQ 的中点．过A 作y 轴的垂线，分别交抛物线C 和直线l 于M ，N ．记△PMN的面积为1S ，△QAM 的面积为2S ，证明：12S S =． 12.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由 21,4y kx y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩ 得 22(24)10k x k x +-+=． ① ……………… 2分依题意，有0k ≠，且22(24)40k k ∆=--=． 解得 1k =． ……………… 3分所以直线l 的方程为1y x =+． ……………… 4分 将 1k =代入①，解得 1x =，所以点P 的坐标为(1,2)． ……………… 5分 （Ⅱ）设 (,)Q m n ， 则 24n m =，所以 12(,)22m n A ++． ……………… 7分 依题意，将直线 22n y +=分别代入抛物线C 与直线l ， 得 2(2)2(,)162n n M ++，2(,)22n n N +． ……………… 8分因为 22(2)444441||16216164n n n n m n m n MN +-+-+-+=-=== ……… 10分 221(2)(88)(44)||21616m n m n n AM +++-++=-=(88)(444)1164m m n m n +-++-+==， ………………12分所以 ||||AM MN =． ………………13分又 A 为PQ 中点，所以P Q ，两点到直线AN 的距离相等， 所以 12S S =． ………………14分13.（2018东城二模·理）（本小题13分）已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P (2，2)，A ，B 是抛物线C 上异于点O 的不同的两点，其中O 为原点． （I ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （II ）若OA OB ^，求△AOB 面积的最小值. 13.（共13分）解：（I ）由抛物线C ：y 2=2px 经过点P (2，2)知44p =，解得1p =.则抛物线C 的方程为22y x =.抛物线C 的焦点坐标为1(,0)2，准线方程为12x =-.………………4分 （II ）由题知，直线AB 不与y 轴垂直，设直线AB ：x ty a =+，由2,2x ty a y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2220y ty a --=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2y y t y y a +==-.因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，即22121204y y y y +=， 解得120y y =（舍）或124y y =-. 所以24a -=-.解得2a =. 所以直线AB ：2x ty =+. 所以直线AB 过定点(2,0).12122AOB S y y ∆=⨯⨯-==≥4=.当且仅当122,2y y ==-或122,2y y =-=时，等号成立.所以AOB ∆面积的最小值为4. ……………………………………13分14.（2018昌平二模·理）（本小题14分）已知椭圆经过点．（I ）求椭圆E 的标准方程；（II）过右焦点F 的直线（与x 轴不重合）与椭圆交于两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0,)M m ，求实数m 的取值范围．14.（共14分）（Ⅰ）由题意，得， 解得 1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆E 的标准方程是． -------------------5分 （II ）（1）当直线轴时，m = 0符合题意．（2）当直线与x 轴不垂直时，设直线的方程为，由22(1)220y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，得， 由2222(4)8(12)(1)0k k k ∆=--+->，得k ∈R ．设，，则2212122242(1)1212k k x x x x k k-+=⋅=++，． 所以121222(2)12ky y k x x k-+=+-=+， ()2222:10x y E a b a b+=>>(0,1)l ,A B 2221b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩2212x y +=x AB ⊥AB AB ()1y k x =-()()2222124210k x k x k +-+-=()11,x y A ()22,x y B所以线段AB 中点C 的坐标为．由题意可知，，故直线的方程为，令x = 0，212k y k =+，即212k m k =+当k > 0时，，得210=11242k m k kk <=≤++，当且仅当2k =时“=”成立． 同理，当 k < 0时，210=11242k m k kk>=≥-++，当且仅当2k =-时“=”成立． 综上所述，实数m的取值范围为44⎡-⎢⎣⎦．--------------------14分 15. （2018丰台二模·理）（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，离心率为12，过右焦点F 且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆相交于M ，N 两点，设点(,0)P m ，记直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若120k k +=，求m 的值． 15.（本小题共14分）解：（Ⅰ）依题意得 24a =，所以 2a =． …………………1分因为 12c e a ==，所以 1c =． …………………2分 所以 23b =． …………………3分所以椭圆C 的方程为 22143x y +=． …………………4分（Ⅱ）椭圆的右焦点 (1,0)F ． …………………5分设直线 l ：(1)(0)y k x k =-≠，设 11(,)M x y ，22(,)N x y ．………6分联立方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ， 2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭0k ≠C M 222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭消y 得 2222(34)84(3)0k x k x k +-+-=，0∆>成立． …………………8分所以 2122834k x x k +=+，21224(3)34k x x k-=+． …………………9分 因为 1212120y y k k m x m x --+=+=--， …………………10分所以122112()()0()()y m x y m x m x m x ----=--，即 1221()()0y m x y m x -+-=，…11分所以 2112()(1)()(1)0k m x x k m x x --+--=恒成立． …………………12分 因为 0k ≠，所以 1212(1)()220m x x x x m ++--=，即 222284(3)(1)2203434k k m m k k -+⋅-⋅-=++， …………………13分 化简为 2228(1)8(3)2(34)0k m k m k +---+=， 所以 4m =． …………………14分16.（2018顺义二模·理）（本小题满分14分）已知椭圆134:22=+y x G 的左焦点为F ，左顶点为A ，离心率为e ，点()0,t M ()2-<t 满足条件e AM FA =||||.（Ⅰ）求实数t 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆G 交于Q P ,两点，记MPF ∆和MQF ∆的面积分别为21,S S ，证明：||||21MQ MP S S =. 16.解：（Ⅰ）椭圆G 的标准方程为：13422=+y x ∴3,2==b a ，122=-=b a c ------------------------2分则21==a c e ，t AM FA --==2||,1||--------------------3分 ∵2121||||=--=t AM FA ，解得4-=t -------------4分（Ⅱ）方法一：①若直线l 的斜率不存在，则21S S =，||||MQ MP =，符合题意--------5分②若直线l 的斜率存在，因为左焦点()0,1-F ，则可设直线l 的方程为：()1+=x k y ，并设()()2211,,,y x Q y x P .联立方程组()⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y x x k y ，消去y 得：()01248432222=-+++k x k x k ---6分 ∴2221438k k x x +-=+,222143124kk x x +-=--------------------------------7分 ∵442211+++=+x y x y k k MQ MP ()()41412211+++++=x x k x x k ----------------9分 ()()()()()()444141211221+++++++=x x x x k x x k ()()()44852212121+++++=x x k x x k x kx ()()04484385431242212222=++++-∙++-∙=x x k k k k k k k ∴QMF PMF ∠=∠-------------------------------------------------------------------12分 ∵PMF MP MF S ∠=sin ||||211，QMF MQ MF S ∠=sin ||||212 ∴||||21MQ MP S S =------------------------------------------------------------------14分 方法二：依题意可设直线l 的方程为：1-=my x ，并设()()2211,,,y x Q y x P .—5分 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x my x ，消去x ，得()0964322=--+my y m --------6分 ∴436221+=+m m y y ,439221+-=m y y --------------------------------7分 ∵442211+++=+x y x y k k MQ MP 332211+++=my y my y ------------------------------9分()()()()3333211221+++++=my my my y my y ()()()3332212121++++=my my y y y my ()()033436343922122=+++⨯++-∙=my my m m m m ∴QMF PMF ∠=∠------------------------------------------------------------------12分 ∵PMF MP MF S ∠=sin ||||211，QMF MQ MF S ∠=sin ||||212 ∴||||21MQ MP S S =------------------------------------------------------------------14分。

专题19 圆锥曲线综合【母题原题1】【2018新课标1，理19】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.由得.将代入得.所以，.则.从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.综上，.点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.【母题原题2】【2017新课标1，理20】已知椭圆C:=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.【母题原题3】【2016新课标1，理20】设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【解析】 (Ⅰ)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,E的轨迹方程为:=1(y≠0).(Ⅱ)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),由可得当,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).当,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8).【命题热点剖析】1.圆锥曲线的解答题新课标的要求理科一般以椭圆或抛物线为背景,而文科一般以椭圆或圆或抛物线为背景进行综合考查,由于双曲线的弱化,故以双曲线为背景的解析几何解答题不在考虑.从近几年高考来看,圆锥曲线的解答题中主要是以椭圆,抛物线为基本依托,考查椭圆,抛物线方程的求解、考查直线与曲线的位置关系,考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法,这道解答题往往是试卷的压轴题之一．从近几年高考来看,计算量都不是太大,说明文理难度都在降低,特别是计算量不大,但要求的逻辑思维能力,数形结合的能力与往年差不多,体现高考重能力,轻运算．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识,在高考命题上已经比较成熟,考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定,考查方向为以椭圆,抛物线为背景,考查轨迹问题、探索性命题及最值问题,文科也有可能以圆为背景命题,也有可能继续保持题型不变,考查细节上有所变化.2.从近几年高考来看,求曲线的轨迹方程是高考的常考题型,主要以解答题的形式出现,考查轨迹方程的求法以及利用曲线的轨迹方程研究曲线的几何性质,一般用直接法、待定系数法、相关点代入法等求曲线的轨迹方程,其关键是找到与任意点有关的等量关系．轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合,着重考查分析问题、解决问题的能力,对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求． 【应试经验与技巧】１．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中2x 与2y 的分母大小,若2x 的分母比2y 的分母大,则焦点在x 轴上,若2x 的分母比2y 的分母小,则焦点在y 轴上．２．注意椭圆的范围,在设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上点的坐标(),P x y 时,则x a ≤,这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用,也是容易忽略导致求最值错误的原因．３．注意椭圆上点的坐标范围,特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解,求函数的单调区间,最值有重要意义．4．直线和抛物线若有一个公共点,并不能说明直线和抛物线相切,还有可能直线与抛物线的对称轴平行． 5．在求得轨迹方程之后,要深入地思考一下：(1)是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？(2)在所求得的轨迹方程中,x ,y 的取值范围是否有什么限制？确保轨迹上的点“不多不少”． 6.作为解答题的倒数第二个,试题的难度较大,也体现在计算量上尤为明显,学生在解题时往往会思路,但计算往往不对,对此,建议如下：第一问保证准确,如轨迹方程,曲线方程,或者几何性质等,因为第二问往往以第一问为基础,故第一问要舍得花时间去验证一下；对于第二问,往往就是曲线与直线联立,建立方程组,利用判别式,韦达定理等这些都已经成立的模式,建立关系式,即使思路无法进行,也要准确的放在卷面上,一般它们都要占到部分分数；如果涉及到直线方程的探索,特别注意斜率不存在的情况,有时一些定值定点问题,可以通过这种特殊情况直接得到. 【重点知识整合】1.椭圆的第一定义：平面内到两个定点12,F F 的距离之和等于定长（12F F >）的点的轨迹.注意：椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹.2．直线和椭圆的位置关系 （1）位置关系判断：直线与椭圆方程联立方程组,消掉y,得到20Ax Bx C ++=的形式（这里的系数A 一定不为0）,设其判别式为∆,（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交； （2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离； (2弦长公式：（1）若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B,且12,x x 分别为A 、B 的横坐标,则AB12x -,若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标,则AB ＝21211y y k-+,若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+,则AB＝12y -.（2）焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左焦点弦12||2()AB a e x x =++,右焦点弦12||2()AB a e x x =-+.其中最短的为通径：22b a,最长为2a ；（3）椭圆的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆12222=+by a x 中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-.3.与焦点三角形相关的结论椭圆上的一点与两焦点所构成的三角,通常叫做焦点三角形.一般与焦点三角形的相关问题常利用椭圆的第一定义和正弦、余弦定理求解.设椭圆上的一点00(,)P x y 到两焦点12,F F 的距离分别为12,r r ,焦点12F PF ∆的面积为S ,设12F PF θ∠=,则在椭圆12222=+by a x 中,有以下结论：(1)θ＝)12arccos(212-r r b ,且当12r r =即P 为短轴端点时,θ最大为θm ax ＝222arccos ac b -； （2）2122||||1cos b PF PF θ=+；焦点三角形的周长为2()a c +；(3)221201sin sin tan ||21cos 2S r r b b c y θθθθ====+,当0||y b =即P 为短轴端点时,m ax S 的最大值为bc ；4.直线和抛物线的位置关系（1）位置关系判断：直线(0)y kx m m =+≠与双曲线方程22(0)y px p =>联立方程组,消掉y,得到2222()0k x mk p x m +-+=的形式,当0k =,直线和抛物线相交,且与抛物线的对称轴并行,此时与抛物线只有一个交点,当0k ≠设其判别式为∆,①相交：0∆>⇔直线与抛物线有两个交点；②相切：0∆=⇔直线与抛物线有一个交点； ③相离：0∆<⇔直线与抛物线没有交点.注意：过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线. （2）焦点弦：若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB,1122(,),(,)A x y B x y ,则有12||AB x x p =++,221212,4p x x y y p ==-.（3） 在抛物线22(0)y px p =>中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0p k y =. （4）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦,则直线AB 恒经过定点(2,0)p ,反之亦成立.5.求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：注意：这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化.1．【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（二）】已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，面积的最大值为.（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点作关于轴对称的两条不同直线分别交椭圆于与，且，证明直线过定点，并求的面积的取值范围.试题解析： （Ⅰ）设，则，设，则.解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）设方程为，联立，得，点睛：求定点，定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆的右顶点，过点作两条直线分别与椭圆交于另一点，若直线的斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.【解析】分析: （Ⅰ）由题意布列关于a，b的方程组，解之即可；（Ⅱ）设直线，与椭圆方程联立可得，利用根与系数的关系表示直线的斜率之积为，可得值，从而得证.详解: （Ⅰ）依题意：，解得，即椭圆；（Ⅱ）设直线，则，点睛: 定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.3．【山东省肥城市2018届高三适应性训练】已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足，.（1）当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点，，且（其中是坐标原点），求的取值范围.【解析】分析：(1)先根据垂直平分线定义得，再根据圆的半径得，最后根据椭圆定义确定轨迹，并求标准方程，(2)先设直线：，，，则，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简，最后解不等式得的取值范围.详解：（1）由题意是线段的垂直平分线，所以，所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，∴，，，故点的轨迹方程是.点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.4．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟】设椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .（1）求椭圆的方程;（2）若上存在两点，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形的面积的最小值.【解析】分析：（）由题意可知及，即可求得和的值，求得椭圆的标准方程；（2）讨论直线的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可求得最小值.∴，令，则，综上点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.5．【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】已知椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为，顶角为的等腰三角形．（1）求椭圆的方程；（2）设、、是椭圆上三动点，且，线段的中点为，，求的取值范围．∴椭圆（2）设，，，由∴，得：当的斜率不存在时，，由,，得，∴，当的斜率存在时，设得：，，由点在椭圆上得得：，此时总成立又，6．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟】已知椭圆的焦距为，离心率为，圆，是椭圆的左右顶点，是圆的任意一条直径，面积的最大值为2.（1）求椭圆及圆的方程；（2）若为圆的任意一条切线，与椭圆交于两点，求的取直范围.【解析】分析：(1)易知当线段AB在y轴时，，，结合可求，可求椭圆方程和圆的方程；（2）设直线L方程为：y=kx+m,直线为圆的切线，，直线与椭圆联立，，得，利用弦长公式点睛：本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是难题．7．【江西省临川一中2018届高三模拟考试】已知的直角顶点在轴上，点为斜边的中点，且平行于轴.（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线与的另一个交点为.以为直径的圆交轴于即此圆的圆心为,求的最大值.【解析】试题分析：（1）设的中点的坐标为，根据,得即；（2）（2）讨论BC的斜率，求出圆P的半径和横坐标，计算最小值，进而得到的最大值.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．8．【四川省双流中学2018届高三考前第二次模拟考试】在平面直角坐标系中，点、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为，点在双曲线上，不在轴上的动点与动点关于原点对称，且四边形的周长为.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点的直线交的轨迹于，两点，为上一点，且满足，其中，求的取值范围.方程为：.(2)由题意可知该直线存在斜率，设其方程为且.由得，∴，得，设，，，则，由，得，代入椭圆方程得，由得，∴，令，则，∴.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．9．【山东省实验中学2015级第二次模拟考试】过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线准线的交点为，点在抛物线准线上的射影为，若的面积为 .（ 1 ）求抛物线的标准方程；（ 2 ）过焦点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与相交于点，与轴交于点，求证： .联立消去得，得，，设，，，得点坐标，由，得，,所以，即.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．10．【河北省石家庄二中2018届高三三模】已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点的坐标为，点坐标为，且直线轴，过点作直线与椭圆交于，两点（，在第一象限且点在点的上方），直线与交于点，连接.（1）求椭圆的方程；（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，问：的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由.所以点睛：圆锥曲线的定值问题会涉及到曲线上的动点及动直线，常用解题步骤为：设动点和动直线、即引入参数；结合已知条件将目标式用参变量表示，（3）通过化简消参求得定值.设而不求、整体思想和消元思想的运用可有效的简化运算.11．【河南省安阳35中2018届高三核心押题卷一】已知椭圆的上顶点为，点,是上且不在轴上的点，直线与交于另一点，若的离心率为，的最大面积等于.（Ⅰ）求的方程，（Ⅱ）若直线分别与轴交于点,试判断是否为定值.形即可求值，。