非线性方程的二分法

第七章非线性方程解法⒈二分法考察有根区间[a, b]，取中点x0=(b+a)/2 将它分为两半，假设中点x0不是f(x)的零点，然后进行根的搜索，即查找f(x0)与f(a)是否同号，如果确系同号，说明所求的根x*在x0的右侧，这是令a1= x0，b1=b;否则x*必在x0的左侧，这是令a1=a,b1=x0,不管出现哪一种情况，新的有根区间[a1, b1]的长度仅为[a, b]的一半。

.重复以上做法得新近似根x1,…这样不断将区间分半,得到一系列区间[an , bn],和近似根(区间中点)nx,n=0,1,2,3…,nx误差为(b-a)/2n+1.这样的方法称为二分法。

下面是一个关于二分法的例子。

例1求f(x)=x3- x-1=0在区间[1,1.5]内的一个实根，要求准确到小数点后的第二位.这里a=1,b=1.5,而f(a)<0,f(b)>0。

取[a,b]的中点x0=1.25，将区间二等分，由于f(x0 )<0, 既f(x0 )与f(a)同号，故所求的根x*必在x0 右侧，这是应令a1＝x0 =1.25, b1=b=1.5,而得到新的有根区间［a1，b1］，这样继续结果如下表：x6.实际上x5就有三位有效数字了.二分法实验(1)上机题目：二分法的应用实验目的：熟悉二分法并在计算机上实现实验要求：①上机前充分准备，复习有关内容，写出计算步骤，查对程序；②完成实验后写出完整的实验报告，内容应该包括：所用的算法语言，算法步骤陈述，变量说明，程序清单，输出计算结果，结果分析等等；③用编好的程序在Ｍatlab环境中执行。

算法说明：①找出计算f(x)在有限根区间[a, b]端点的值，f(a),f(b)②计算计算f(x)在区间中点（2ba+）处的值f(2ba+) .③判断若f(2ba+)=0，则2ba+即是根，计算过程结束，否则检验若f(2ba+)f(a)<0,则以2ba+代替b,否则以2ba+代替a.反复执行步骤②和步骤③，直到区间[a, b]长度小于允许误差ξ，此时中点2ba+即为所求近似根。

实验报告一：实验题目一、 实验目的掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法，并通过数值实验比较两种方法的收敛速度。

二、 实验内容1、编写二分法、并使用这两个程序计算02)(=-+=x e x x f 在[0, 1]区间的解，要求误差小于 410- ，比较两种方法收敛速度。

2、在利率问题中，若贷款额为20万元，月还款额为2160元，还期为10年，则年利率为多少？请使用牛顿迭代法求解。

3、由中子迁移理论，燃料棒的临界长度为下面方程的根，用牛顿迭代法求这个方程的最小正根。

4、用牛顿法求方程的根，精确至8位有效数字。

比较牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度，并用改进的牛顿迭代法计算重根。

第1题：02)(=-+=x e x x f 区间[0,1] 函数画图可得函数零点约为0.5。

画图函数：function Test1()% f(x) 示意图, f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0r = 0:0.01:1;y = r + exp(r) - 2plot(r, y);grid on 二分法程序：计算调用函数：[c,num]=bisect(0,1,1e-4)function [c,num]=bisect(a,b,delta)%Input –a,b 是取值区间范围% -delta 是允许误差%Output -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num 是迭代次数ya = a + exp(a) - 2;yb = b + exp(b) - 2;if ya * yb>0return;endfor k=1:100c=(a+b)/2;yc= c + exp(c) - 2;if abs(yc)<=deltaa=c;b=c;elseif yb*yc>0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=yc;endif abs(b-a)<deltanum=k; %num为迭代次数break;endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc = c + exp(c) - 2;牛顿迭代法程序：计算调用函数：[c,num]=newton(@func1,0.5,1e-4) 调用函数：function [y] = func1(x)y = x + exp(x) - 2;end迭代算法：function[c,num]=newton(func,p0,delta)%Input -func是运算公式% -p0是零点值% -delta是允许误差%Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num是迭代次数num=-1;for k=1:1000y0=func(p0);dy0=diff(func([p0 p0+1e-8]))/1e-8;p1=p0-y0/dy0;err=abs(p1-p0);p0=p1;if(err<delta)num=k;%num为迭代次数break;endendc=p0;第2题：由题意得到算式：计算调用函数：[c,num]=newton(@func2,0.02,1e-8)程序：先用画图法估计出大概零点位置在0.02附近。

非线性方程求解方法的研究与比较分析非线性方程是数学中一类重要的方程，它们的求解对很多实际问题具有重要的意义。

然而，非线性方程由于其非线性特性，使得其求解更加困难和复杂。

本文旨在研究和比较非线性方程的求解方法，通过对不同求解方法的分析和比较，来评估它们的优缺点和适用范围。

首先，我们介绍一些常用的非线性方程求解方法。

目前常用的求解方法主要包括迭代法、牛顿法、二分法等。

迭代法是一种比较简单的求解非线性方程的方法。

其基本思想是通过不断迭代逼近方程的解。

具体的迭代公式可以选择不同的形式，如固定点迭代法、牛顿迭代法等。

迭代法的优点是简单易懂，但是其收敛速度较慢，而且在某些情况下可能无法收敛到解。

牛顿法是一种较为常用的非线性方程求解方法。

它利用函数的一阶导数和二阶导数信息，通过不断的迭代逼近方程的解。

牛顿法的优点是收敛速度快，但是在某些情况下可能会出现迭代发散的情况。

二分法是一种比较简单但是有效的非线性方程求解方法。

其基本思想是通过不断地缩小解的搜索范围，直到找到满足方程的解。

二分法的优点是简单易懂，而且收敛性和精度较好，但是其收敛速度相对较慢。

在对以上几种方法进行比较分析之前，我们需要明确一些评价指标。

首先是收敛性，即方法是否能够收敛到解。

其次是收敛速度，即方法迭代到解所需的时间。

还有精度，即方法得到的解与真实解之间的误差。

最后是稳定性，即方法对初始值的选择是否敏感。

通过对以上几种方法的比较分析，我们可以得出以下结论：首先，迭代法是一种简单但是不稳定的求解方法。

其收敛性和精度较差，而且对初始值的选择较为敏感。

因此，在实际应用中，迭代法通常只适用于简单的非线性方程求解。

其次，牛顿法是一种较为常用的求解方法。

它具有收敛速度快、精度高的优点，但是在某些情况下可能会出现迭代发散的情况。

此外，牛顿法对函数的一阶导数和二阶导数的计算要求较高，所以在某些情况下可能不适用。

最后，二分法是一种简单而有效的求解方法。

它具有收敛性好、精度高的优点，但是其收敛速度相对较慢。

计算方法—非线性方程求解计算方法是数学中的一个重要分支，它研究如何利用计算机和数值方法解决各种数学问题。

在实际应用中，非线性方程是一个常见的问题。

非线性方程是指其表达式中包含一个或多个非线性项的方程。

与线性方程相比，非线性方程更加复杂，通常不能通过代数方法直接求解。

因此，我们需要借助计算方法来求解非线性方程。

常见的非线性方程求解方法包括迭代法、牛顿法和二分法等。

首先，迭代法是一种基本的非线性方程求解方法。

它的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根。

迭代法的一般步骤如下：1.选取一个初始值x0；2.利用迭代公式x_{n+1}=g(x_n)，计算下一个值x_{n+1}；3.不断重复步骤2，直到计算出满足精度要求的解为止。

其中，g(x)是一个逼近函数，通常是通过原方程进行变形得到的。

在实际应用中，迭代法的关键是选择适当的初始值x0和逼近函数g(x)。

如果选取的初始值离方程的根较远，可能会导致迭代结果不收敛；如果逼近函数不恰当，迭代结果也可能不收敛。

因此，在使用迭代法时需要注意这些问题。

其次，牛顿法是一种较为高效的非线性方程求解方法。

它的基本思想是通过线性近似来逼近方程的根。

牛顿法的一般步骤如下：1.选取一个初始值x0；2.利用泰勒展开将原方程线性化，得到一个线性方程；3.解线性方程，计算下一个值x_{n+1}；4.不断重复步骤2和步骤3，直到计算出满足精度要求的解为止。

在实际应用中，牛顿法的关键是计算线性方程的解。

通常可以通过直接求解或迭代方法求解线性方程。

此外，牛顿法还需要注意选择适当的初始值x0，特别是对于多根方程需要选择不同的初始值。

最后，二分法是一种简单但较为稳定的非线性方程求解方法。

它的基本思想是通过区间缩减来逼近方程的根。

二分法的一般步骤如下：1.选取一个包含根的初始区间[a,b]；2.计算区间的中点c=(a+b)/2；3.判断中点c的函数值与0的关系，从而确定下一个区间；4.不断重复步骤2和步骤3，直到计算出满足精度要求的解为止。

非线性方程求解算法比较在数学和计算机科学领域中，非线性方程是一种无法简单地通过代数方法求解的方程。

因此，研究和开发高效的非线性方程求解算法是至关重要的。

本文将比较几种常见的非线性方程求解算法，包括牛顿迭代法、割线法和二分法。

通过对比它们的优缺点和适用范围，可以帮助人们选择最适合的算法来解决特定的非线性方程问题。

一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的非线性方程求解算法。

它基于泰勒级数展开，使用函数的导数信息来逼近方程的根。

具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$。

2. 计算函数$f(x_0)$和导数$f'(x_0)$。

3. 根据牛顿迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。

4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。

牛顿迭代法的收敛速度很快，通常二次收敛。

然而，它对于初始值的选择非常敏感，可能会陷入局部极值点，导致找到错误的根。

因此，在使用牛顿迭代法时，需要根据具体问题选择合适的初始近似值。

二、割线法割线法是另一种常见的非线性方程求解算法。

它是对牛顿迭代法的改进，使用两个近似解来逼近方程的根。

具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$和$x_1$。

2. 计算函数$f(x_0)$和$f(x_1)$。

3. 根据割线公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。

4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。

与牛顿迭代法相比，割线法不需要计算导数，因此更加灵活。

然而，割线法的收敛速度比牛顿迭代法慢，通常是超线性收敛。

与牛顿迭代法一样，割线法也对初始近似值的选择敏感。

三、二分法二分法是一种简单直观的非线性方程求解算法。

它利用函数在根附近的特性，通过不断缩小区间范围来逼近方程的根。

具体步骤如下：1. 选择初始区间$[a,b]$，其中$f(a)$和$f(b)$异号。

数学软件实验任务书实验一 非线性方程的二分法 1 实验原理对于实函数方程()0f x =设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，而且()()0f a f b <，则()f x 在区间[,]a b 上至少有一个根。

记11[,][,]a b a b =，设1p 为11[,]a b 中点，1112a b p +=，事先给定一个误差容限Tol （足够小），如果()f x Tol <，则1p 是原方程()0f x =一个很不错的近似根。

如果()f x Tol >，那么我们并不满足于1p 作为近似的方程的根。

二分法的思想是：我们在11[,]a p 与11[,]p b 中更细一步的寻找根，具体在哪个区间是很容易实现的。

如果11()()0f p f b <则表明则两点异号，则根必然在11[,]p b 这个区间里。

如果11()()0f p f b >则根必然在11[,]a p 这个区间里。

这样我们就把原来的我们对根的寻找由11[,]a b 区间缩小了一半，如此反复，不断缩小区间，当区间缩小到我们可以接受的范围内，我们就用区间里的近似值代替真值。

2 实验数据来源使用二分法计算方程3()(1)32f x x x =--+在区间[2，4]上的根，并把通过数值方法绘制函数比较计算结果是否正确。

3 实验步骤步骤一：编写二分法计算的函数文件。

打开 Editor 编辑器，输入以下语句：%二分法计算非线形方程function gen=Erfen(f,a,b,tol)%f为方程f(x)=0中的f(x)%如果输入变量缺省则默认误差为1E-3if(nargin==3)tol=1.0e-3;endgen=compute_gen(f,a,b,tol);function r=compute_gen(f,a,b,tol)%计算左端点函数值fa=subs(f,a);%右端函数值fb=subs(f,b);%区间中点函数值fzd=subs(f,(a+b)/2);%sub 函数R = subs(S,old,new)%其中S为符号表达式，old为老变量，new为新变量%sub 把老变量替换为新变量if(fa*fzd>0)t=(a+b)/2;%采用递归方法r=compute_gen(f,t,b,tol);elseif(fa*fzd==0)r=(a+b)/2;elseif(abs(b-a)<=tol)r=(b+3*a)/4;elses=(a+b)/2;%结果r=compute_gen(f,a,s,tol);endendend以文件名字Erfen.m保存。

非线性方程的求解方法一、引言在数学领域中，非线性方程是指未知量与其对自身的各次幂、指数以及任意函数相乘或相加得到的方程。

求解非线性方程是数学中一个重要而又具有挑战性的问题。

本文将介绍几种常见的非线性方程求解方法。

二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的非线性方程求解方法，它利用方程的切线逼近根的位置。

设f(x)为非线性方程，在初始点x0附近取切线方程y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)，令切线方程的值为0，则可得到切线方程的解为x1=x0-f(x0)/f'(x0)。

重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。

三、二分法二分法是一种简单而又直观的非线性方程求解方法。

它利用了连续函数的中间值定理，即若f(a)和f(b)异号，则方程f(x)=0在[a, b]之间必有根。

根据中值定理，我们可以取中点c=(a+b)/2，然后比较f(a)和f(c)的符号，若同号，则根必然在右半区间，否则在左半区间。

重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。

四、割线法割线法是一种基于切线逼近的非线性方程求解方法，它与牛顿迭代法相似。

由于牛顿迭代法需要求解导数，而割线法不需要。

设f(x)为非线性方程，在两个初始点x0和x1附近取一条直线，该直线通过点(x0,f(x0))和(x1, f(x1))，它的方程为y=f(x0)+(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)*(x-x0)，令直线方程的值为0，则可得到直线方程的解为x2 = x1 - (f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。

五、试位法试位法是一种迭代逼近的非线性方程求解方法。

它利用了函数值的变化率来逼近根的位置。

设f(x)为非线性方程，选取两个初始点x0和x1，然后计算f(x0)和f(x1)的乘积，如果结果为正，则根位于另一侧，否则根位于另一侧。

然后再选取一个新的点作为下一个迭代点，直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。

非线性方程求解在数学中，非线性方程是一种函数关系，其表达式不能通过一次函数处理得到。

与线性方程不同，非线性方程的解决方案往往更具挑战性，因为它涉及到更复杂的计算过程。

尤其在实际应用中，非线性方程的求解是一个非常重要的问题。

本文将讨论几种常用的非线性方程求解方法。

二分法二分法，也称为折半法，是一种基本的求解非线性方程的方法之一。

它的核心思想是将区间一分为二并判断方程在哪一半具有根。

不断这样做直到最终解得精度足够高为止。

下面是利用二分法求解非线性方程的流程：1. 设定精度值和区间范围2. 取区间的中点并计算函数值3. 如果函数值为0或函数值在给定精度范围内，返回中点值作为精确解4. 如果函数值不为0，则判断函数值的正负性并缩小区间范围5. 重复步骤2-4直到满足给定精度为止当然，这种方法并不总是能够找到方程的解。

在方程存在多个解或者区间范围不合适的情况下，二分法可能会导致求解失败。

但它是一种很好的起点，同时也是更复杂的求解方法中的一个重要组成部分。

牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更复杂的求解非线性方程的方法。

它利用泰勒级数和牛顿迭代公式，通过不断迭代来逼近根的位置。

下面是利用牛顿迭代法求解非线性方程的流程：1. 先取一个近似值并计算函数值2. 求出函数的导数3. 利用牛顿迭代公式，计算下一个近似根4. 检查下一个近似根的精度是否满足条件，如果满足，返回当前近似根5. 如果精度不满足，则将新的近似根带入公式，重复步骤2-5当然，牛顿迭代法的收敛性并不总是保证的。

如果迭代过程太过温和，它可能无法收敛到精确解。

如果迭代过程过于暴力，则会出现发散现象，使得求解变得不可能。

其他方法此外，还有一些其他的求解非线性方程的方法，例如黄金分割法、逆二次插值法、牛顿切线法等等。

其中每一种方法都有其优缺点，不同的情况下，不同的方法都可能比其他方法更加适合。

结论总体来说，求解非线性方程的方法非常复杂。

无论是哪种方法，都需要一定的数学基础和计算机知识。

非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。

然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。

本文将介绍几种非线性方程的求解方法。

一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。

该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。

牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。

牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。

二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。

与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。

割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。

三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。

该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。

二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。

二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。

四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。

它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。

不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。

非线性方程的数值解法中的二分法
二分法，又称秦九韶算法，是一种用来求解非线性方程的有效的数值解法。

它可以有效地将一个不确定的区间划分为两个不相交的子区间，其中一个至少包含方程的一个根，而另一个不包含根，这样重复地使用子区间，就可以缩小包含根的子区间从而求出根。

它具有准确性好、计算量小、理论考虑简单等优点。

因此，二分法逐渐得到了在互联网科技领域的广泛应用，受到了更多关注。

作为一种基础性的数学算法，二分法的基本原理是将一个不确定的区间分成两个相等的小区间，其中一个必定包含方程的一个根，而另一个肯定不包含根，然后针对这两个相邻区间，不断求解，直到最后已经求出根为止。

具体地说，在给定一个区间[a，b]，要求函数f (x)在[a，b]内存在唯一根r，根据贴合定理，只需要计算函数在两个端点的值，并判断它们是否异号，如果异号，则区间[a，b]一定包含根r。

接着，利用c =(a＋ b) / 2将区间[a，b]分成两个小区间[a，c]和[c，b]，逐渐缩小根所在的区间范围，直到最后确定根的准确值。

由于数值计算的准确性高、计算量小、计算过程简单，因此二分法在许多互联网科技应用中大量采用，如自动搜索引擎服务，精准推荐等。

此外，在建模和科学研究中，二分法也被广泛运用，例如求解非线性方程组、解析一元函数最优解等。

综上所述，二分法是一种有效的数值解法，在互联网科技的应用非常广泛，如搜索引擎服务、精准推荐以及科学研究等，它具有计算准确度高、计算量小、理论需要考虑较少的优势，有效地解决非线性方程的求解问题，同时也为科技进步和科学发展作出了贡献。

非线性方程求根的常见方法及其应用对于一个非线性方程，其解不一定是唯一的，而且很多情况下解根难以直接求得。

因此，寻找一种可靠、有效的方法来求解非线性方程根是非常重要的。

本文将介绍几种常见的非线性方程求根方法，并且介绍它们的应用场景及求解精度。

一、二分法二分法是一种最基本且易于实现的方法，它能够求解任何单峰函数（函数图像中仅有一个极大值或极小值的函数）的根。

该方法的主要思想是不断缩小根的区间，直到找到根。

具体而言，对于一个单峰函数f(x)，在区间[a,b]上寻找其根。

首先，取中点c=(a+b)/2，计算f(c)。

如果f(c)≈0，则找到了根；否则，根位于[a,c]或[c,b]中的一个区间上，重复上述步骤，直到找到根。

该方法的主要优点是简单易用，适用于大部分单峰函数，并且收敛速度相对较快。

但是，该方法需要区间起点和终点具有异号，否则无法找到根。

二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种高效的方法，可用于求解任何无奇点的连续可微函数的根。

该方法的主要思想是将一个复杂的函数不断逼近于一条直线，然后通过直线和x轴的交点来不断逼近函数的根。

具体而言，对于一个连续可微函数f(x)，在初始点x0处进行求解。

首先，通过f(x)在x=x0处的导数f'(x0)来确定函数的切线。

然后，找到x轴上离该点最近的交点x1处，并将其作为新的起点，迭代上述过程，直到找到根。

该方法的主要优点在于速度快、精度高，并且可适用于大多数函数。

但是，该方法可能会出现迭代过程不稳定的问题，因此需要谨慎选择初值。

三、割线法割线法是一种类似于牛顿迭代法的方法，其主要思想是通过一条割线来逼近函数的根。

相比于牛顿迭代法，割线法更加适用于函数的导数难以求得的情况。

具体而言，对于一个函数f(x)，在初始点x0和x1处进行求解。

首先，通过f(x)在x=x0处和x=x1处的取值来确定割线，找到x轴上与割线交点x2处，并将其作为新的起点，重复上述步骤，直到找到根。

该方法的主要优点在于速度快、精度高，并且可适用于大多数函数。