完全平方式典型例题及练习

完全平方式一、 基础梳理： 知识重现：完全平方公式：()222=2x y x xy y +++；()222=2x y x xy y --+。

♠基础例题： 例1()22x y +解：()22x y +()()22222x x y y =+⨯⨯+22=44x xy y ++❤算一算： 1、()22x y + 2、()23x y -☆总结：字母与数字相乘时，可以将其看做一个整体，然后运用完全平方公式。

动动笔：1、()242x y + 2、2142x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭例2()2x yz +解：()2x yz +()()222x x yz yz =+⨯⨯+222=2x xyz y z ++❤算一算： 1、()2xy a - 2、()2ab c +☆总结：字母与字母相乘时，可以将其看做一个整体，然后运用完全平方公式。

动动笔：1、()2ab cd + 2、()2xy mn -例3()22x y +解： ()22x y +()22222xx y y =+⨯⨯+422=2x x z y ++❤算一算： 1、()22xy - 2、()22x y +☆总结：出现字母的幂的形式时，可以将其看做一个整体，然后运用完全平方公式。

动动笔：1、()222x y + 2、 ()223xy -基础检测： 1、()222xyz + 2、()2223x z y -3、222233x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 4、()2222ab+☆总结：形如()2x y +或()2x y -，为两个单项式的和（或差）的平方，这类整式的乘法，都可以运用完全平方公式进行运算。

知识重现：由数字和字母的乘积组成的代数式，叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

如20,,,,43a x ab a x π等，都叫做单项式。

基础综合： 1、()22x y x +- 2、221222x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭3、()222x yz x+- 4、()2242xy x +-5、()22x y xy -+ 6、2332x y xy ⎛⎫+- ⎪⎝⎭7、()()222x y x xy +-+ 8、()()22223x y x y+-+9、()()22x y x y +-- 10、()()222222x y x y +--♠基础应用： 例4 2102解： 2102()21002=+22100210022=+⨯⨯+=10404❤算一算：1、2205 2、 2198☆总结：求较大数的平方，可将其写成两个方便计算的数字之和（或差），然后利用完全平方公式进行计算。

动动笔：1、2992、 21008二、 基础提高：思考：问题1：我们知道()2x y +可以运用完全平方公式进行展开，那么222xxy y ++能不能写成一个完全平方式？问题2：我们知道()22x y +可以运用完全平方公式进行展开，那么2244x xy y ++能不能写成一个完全平方式？❤思考：()2ax by +和()2ax by -的展开式分别是什么？它们有什么特点？※ 归纳总结：☆完全平方式在运用完全平方项进行展开后，会有三个项，其中两个项为完全平方式中两个单项式的平方，一个项为两个单项式的平方乘积再乘以2.☆形如()()()()222ax ax by by +⋅⋅+的多项式，等于完全平方式()2ax by +。

☆形如()()()()222ax ax by by -⋅⋅+的多项式，等于完全平方式()2ax by -。

课堂练习： 1、()2222________xxy y -+=；2、()22244________x xy y ++=；3、()2269________x x ++=；4、()22242________x xy y ++=； 5、()24222________xax a -+=；6、下列各式中，运算结果等于2244x xy y ++的是（ ）A ．()22x y - B ．()222x y +C ．()22x y + D ．()22x y - 7、若2425xkx ++是一个完全平方式，则k = .8、小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为24a - 项应是：（ ）A ．23bB ．26bC ．29bD ．236b9、如果29x mx ++是一个完全平方式，则m 的值为（ ） A ．3 B.±3 C.6 D.±6 三、题型解析 例题1：已知2210, 5, x y xy x y +==+=则 。

解析：根据已知条件，我们想得到含有22xy +的多项式，就要对x y +进行平方。

利用完全平方式进行展开，得到的多项式除了含有22xy +项，还含有2xy 项，在题目给出的条件中，xy 的值已经给出。

将xy 的值代入，就可求得22x y +的值。

练习： 1、若10,8==-xy y x ,求22y x +的值。

2、已知25a b +=,43=ab ,求224a b +的值。

3、若231,2x yxy -==,求2249x y +的值。

☆ 归纳总结： 1、首先对已知的多项式进行平方；2、然后利用完全平方式展开，得到含有需要求的多项式的整式；3、然后将已知的项代入展开式；4、求得多项式的值。

例题2：已知3, 12a bab +==-，求22a ab b -+的值。

解析：根据已知条件，在22aab b -+中ab 的值是已知的，我们只要求出22a b +的值就可以求出22a ab b -+的值。

我们想得到含有22a b +的多项式，就要对a b +进行平方。

然后利用完全平方式进行展开，得到的多项式除了含有22ab +项，还含有2ab 项，在题目给出的条件中，ab 的值已经给出。

将ab 的值代入，就可求得22ab +的值。

然后我们可以根据22a b +和ab 的值，求出22a ab b -+的值。

练习：4、已知1,2x y xy -==,求223x xy y ++的值。

☆ 归纳总结： 1、观察需要求值的多项式，其中有哪些项的值是未知的，哪些项的值是已知的；2、对题目给出的已知值的多项式进行平方；3、然后利用完全平方式展开，得到含有需要求的多项式中未知项的整式；4、然后将已知的项代入展开式；5、求得多项式中未知项的值；6、将求得未知项的值和已知项的值代入，可求得多项式的值。

例题3：已知3, 12a bab +==-，求()2a b -的值。

解析：根据已知条件，展开()2a b -得222aab b -+，222a ab b -+中ab 的值是已知的，我们只要求出22a b +的值就可以求出222a ab b -+的值。

我们想得到含有22ab +的多项式，就要对a b +进行平方。

然后利用完全平方式进行展开，得到的多项式除了含有22ab +项，还含有2ab项，在题目给出的条件中，ab 的值已经给出。

将ab 的值代入，就可求得22ab +的值。

然后我们可以根据22a b+和ab 的值，求出222aab b-+的值，即()2a b -的值。

练习：5、已知a+2b=5,43=ab ,求2)2(b a -的值。

☆ 归纳总结： 1、利用完全平方式展开要求的多项式；2、观察展开的多项式，其中有哪些项的值是未知的，哪些项的值是已知的；2、对题目给出的已知值的多项式进行平方；3、然后利用完全平方式展开，得到含有需要求的多项式中未知项的整式；4、然后将已知的项代入展开式；5、求得多项式中未知项的值；6、将求得未知项的值和已知项的值代入，可求得多项式的值。

例题4：计算()21x y ++。

解析：三项式的平方没有公式可以带，我们可以将三项式分为一个二项式和一个单项式相加的形式，然后利用完全平方公式进行计算。

练习： 1、计算()223x y +-2、计算()2234xy -+3、计算()22x y z --☆ 归纳总结： 1、首先将需要求的多项式变为二项式与一项式相加的形式；2、然后利用完全平方式展开计算；3、然后将展开后得到的完全平方式继续展开；4、化简、合并同类项。

三、 课后习题：1．下列各式中，相等关系一定成立的是（ ）A ．22)()(x y y x -=-B ．6)6)(6(2-=-+x x xC ．222)(y x y x +=+D ．6)2)(3(2-=-+x x x2、下列各式中，计算正确的是( )A ．2224)2(b a b a +=+ B ．222)(n m n m -=-C ．22241025)25(y xy x y x +-=+- D ．2222)(y xy x y x ++=--3、计算22)2()2(b a b a -++的结果是（ ）A ．2a 2B ．4b 2C ．2a 2－8b 2D ．2a 2＋8b24、形如222a ab b ++和222a ab b -+的式子称为完全平方式，若812++ax x 是一个完全平方式，则a 等于（ ） A ．9 B ．18C ．9±D ．18±5、已知1222=+b a，3-=ab ，则2)(b a +的值是( )A ．6B ．18C ．3D ．12 6、要使等式22)()(b a M b a +=+-成立，代数式M 应是( )A ．ab 2B ．ab 4C ．ab 4-D ．ab 2-1、计算：=+2)2(n m ；2、计算：=-2)332(b a ； 3、利用完全平方公式计算：=298 = = ；4、已知()24x y -=，2210x y +=，则xy =_________________； 1、()()242x y x y -- 2、21(3)3a b -+ 3、2(23)x y -- 4、2)12(-+y x5、()()22222x y x y xy y --+-+6、222[2()()][(2)43]mm n m n m n mn n -+-+--1、已知：的值，试求y x y x y x 0106222=+-++2、已知：212xxy +=，152=+y xy ，求()2y x +－()()y x y x -+的值。

3、已知xx 1+＝2，试求221x x +的值。