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数字电路与逻辑代数

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数字电路(第一章逻辑代数基础)

数字电路(第一章逻辑代数基础)

数字电路技术基础
东南大学计算机系
电话： 025-3792757 Email：qqliu@
刘其奇
1
第一章 逻辑代数基础
1-1 概述
1-1-1 数字量和模拟量
自然界中物理量分为两大类：
数字量：它们的变化在时间上和数量上都是离散的； 在时间上不连续。
模拟量：它们的变化在时间上或数值上是连续的。 数字信号：表示数字量的信号，是在两个稳定状态之 间作阶跃式变化的信号。 脉冲：是一个突然变化的电压或电流信号。
11
有权码
常用BCD码 十进制数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
无权码
8421BCD
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
5421BCD
0000 0001 0010 0011 0100 1000 1001 1010 1011 1100
22
2）变量常量关系定律
0、 1律：A • 1 = A; (2 )
A • 0 = 0;（1）
A + 1 = 1; （11） A + 0 = A（12） ;
互补律：A • A = 0； ） A + A = 1;（14） （4
3）逻辑代数的特殊定律
重叠律：A • A = A； ） A + A = A; （13） （3
Y = A + A BC( A + BC + D) + BC = A + ( A + BC)( A + BC + D) + BC = A + A ( A + BC + D) + BC( A + BC + D) + BC = A + BC
逻辑代数基础数字电子技术基础课件

逻辑代数基础数字电子技术基础课件


二进制数 自然码 8421码 5211码 2421码 余三码
0000 0001
0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
1010 1011 1100 1101 1110 1111
0 00
1 11
22
33
4 42
5 53
66
7 74 8 85
996
10
11
12
7
13
0. 654 ×2
1.308 0.308 ×2
0.616
0.616 ×2
1.232
取整数 1 … K-1 取整数 0 … K-2 取整数 1 … K-3
0. 232 ×2
0.464 0.464 ×2
0.928
0.928 ×2
1. 856
取整数 0 … K-4 取整数 0 … K-5 取整数 1 … K-6
( A 5 9 . 3 F )H =
1010 0101 1001 . 0011 1111
二——十转
按换权展开法
十——二转
整换数除2取余倒序法 小数乘2取整顺序法
二——十六转 小数换点左、右四位一组
分组，取每一组等值旳 十六进制数
十六——二转 每一换位十六进制数用相
应旳四位二进制数替代
1.1.3 码制
【 】 内容 回忆
二——十
按权展开相加法
十——二
整数部分除2取余倒序法 小数部分乘2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ整顺序法
【 】 内容 回忆 二——十 六 小数点左、右四位一组分组， 取每一组等值旳十六进制数
十六——二
每一位十六进制数用相应旳四 位二进制数替代
1.1.3 码制 1、原码
数字电路 第二章 逻辑代数与逻辑函数化简

数字电路 第二章 逻辑代数与逻辑函数化简

= (A + B)(A + C)
= A+ B+ A+ C
或与式转换为与或非式
F = (A + B)(A + C)
= A+ B+ A+ C
= AB + AC
§2.4.3 逻辑函数的代数法化简
化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，以减少逻辑门 化简的意义：将逻辑函数化成尽可能简单的形式，
电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。 电路的个数，简化电路并提高电路的稳定性。
A + AB = A + B
E = A+ B+ C+ BCD+ BC = A + B + C+ C(BD+ BE) = AB + C+ BE+ BD
§2.5.1 逻辑函数的最小项表达式 公式化简法评价：
优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不 易判断。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑 函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数 的一种方法。 利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。 它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定 等缺点。
__
__________ __________ _
A + B + C+⋯ = ABC⋯
逻辑代数的基本定律： 逻辑代数的基本定律： P21，熟记 ，
§2.3.2 逻辑代数的基本规则
代入规则
AB = A + B
____
A ↔F = AC
反演规则
____
⇒ ACB = AC + B
F = AC+ BCD+ 0
[全]数字电路--逻辑代数的基本运算定律

[全]数字电路--逻辑代数的基本运算定律

数字电路--逻辑代数的基本运算定律
逻辑代数的基本定律可以用真值表证明：
分别列出等式两边的真值表，如果等式两边对于变量的可能取值所得的结果相符，就证明该公式是正确的。

如：证明
A +
B ·
C = (A + B) ·(A + C) 成立
逻辑代数中的基本公式只反映了变量之间的逻辑关系，而不是数量之间的关系。

在运算中不能把初等代数的其他运算规律套用到逻辑代数中。

例如，等式两边不允许移项，因为逻辑代数中没有减法和除法。

在进行逻辑运算时，按先算括号、再算乘积、最后算加法的顺序进行，与普通代数是一样的。

最简的与或表达式的条件：在不改变逻辑关系的情况下，首先乘积项的个数最少，在此前提下，其次是每一个乘积项中变量的个数最少。

逻辑函数的化简方法l代数化简法l卡诺图化简法
2．卡诺图化简法
卡诺图—将真值表按一定的规则转换成相应变量的方格图
最小项—在一个有n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。

（1）卡诺图的画法
由卡诺图可以看到，任何两个相邻小方格中的最小项仅有一个变量不同。

因而卡诺图边框的变量取值的填法，每次只改变一个变量的值以实现相邻的最小项只有一个变量不同。

2) 由逻辑表达式画卡诺图
与或式→每个乘积项所包含的最小项填“1”，其余的填“0”。

数电简明教程第一章 逻辑代数基础知识

数电简明教程第一章 逻辑代数基础知识


10
第六章 脉冲产生与整形电路
概述 6.1 施密特触发器
11
12
概 述
一、逻辑代数（布尔代数、开关代数） 逻辑： 事物因果关系的规律 逻辑函数: 逻辑自变量和逻辑结果的关系
Z f ( A, B, C )
逻辑变量取值：0、1 分别代表两种对立的状态 一种状态 另一状态 高电平 真 低电平 假 是 非 有 无 … … 1 0 0 1
概述 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 组合电路的分析方法和设计方法 加法器和数值比较器 编码器和译码器 数据选择器和分配器 用 MSI 实现组合逻辑函数
8
第四章
概述
触发器
4.1 基本触发器 4.2 同步触发器 4.3 边沿触发器 4.4 触发器的电气特性
9
第五章
时序逻辑电路
概述 5.1 时序电路的基本分析和设计方法 5.2 计数器 5.3 寄存器和读/写存储器
( 26 )10 = 16 + 8 + 2 = 24 +23 + 21 = ( 1 1 0 1 0 )2
16 8 4 2 1
20
(3) 二-八转换: 每 3 位二进制数相当一位 8 进制数
( 0 10 101 111 ) 2 ( 257 )8
2 5 7
( 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1. 0 0 0 1 1 0 )2 ( 2 3 4 1 . 0 6 )8
(4) 八-二转换: 每位 8 进制数转换为相应 3 位二进制数
( 31. 47 )8 ( 011 001 . 100 111
)2
)2
( 375.64 )8 ( 011 111 101 . 110 100
数字电路第2章逻辑代数基础及基本逻辑门电路

数字电路第2章逻辑代数基础及基本逻辑门电路

AB＋AC＋ABC＋ABC = = AB＋ABC）＋（AC＋ABC） （ = AB＋AC
（5）AB＋A B = A （6）（A＋B）（A＋B ）＝A 证明： （A＋B）（A＋B ）＝A＋A B＋AB＋0 A（ ＋B＋B） = 1 JHR A =
二、本章教学大纲基本要求 熟练掌握： 1.逻辑函数的基本定律和定理； 门、 2.“与”逻辑及“与”门、“或”逻辑及“或”
“非”逻辑及“非”门和“与”、“或”、“非” 的基本运算。 理解：逻辑、逻辑状态等基本概念。 三、重点与难点 重点：逻辑代数中的基本公式、常用公式、 基本定理和基本定律。
JHR
难点：
JHR
1.具有逻辑“与”关系的电路图
2.与逻辑状态表和真值表
JHR
我们作如下定义： 灯“亮”为逻辑“1”，灯“灭”为逻辑“0” 开关“通”为逻辑“1”，开关“断”为逻辑 “0” 则可得与逻辑的真值表。 JHR
3.与运算的函数表达式 L＝A·B 多变量时 或 读作 或 L＝AB L＝A·B·C·D… L＝ABCD… 1.逻辑表达式 2.逻辑符号
与非逻辑真值表
Z = A• B
3.逻辑真值表
逻辑规律：有0出1 全1 出0
JHR
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Z 1 1 1 0
二、或非逻辑 1.逻辑表达式 2.逻辑符号
Z = A+ B
先或后非
3.逻辑真值表
JHR
三、与或非逻辑 1.逻辑表达式 2.逻辑符号
1.代入规则 在任一逻辑等式中，若将等式两边出现的同 一变量同时用另一函数式取代，则等式仍然成立。
JHR
代入规则扩大了逻辑代数公式的应用范围。例如摩 根定理 A＋B = A ⋅ B 若将此等式两边的B用B＋C 取代，则有
第一章 数字逻辑电路基础知识

第一章 数字逻辑电路基础知识

=(11.625)D
(DFC.8)H =13×162+15×161+12×20+8×16-1 =(3580 .5)D
二. 二进制数←→十六进制数
因为24=16，所以四位二进制数正好能表示一位十六进制数的16个数码。反过
来一位十六进制数能表示四位二进制数。
例如：
(3AF.2)H 1111.0010=(001110101111.0010)B 2
第一章 数字逻辑电路基础知识
1.1 数字电路的特点 1.2 数制 1.3 数制之间的转换 1.4 二进制代码 1.5 基本逻辑运算
数字电路处理的信号是数字 信号，而数字信号的时间变 量是离散的，这种信号也常 称为离散时间信号。
1.1 数字电路的特点
（1）数字信号常用二进制数来表示。每位数有二个数码，即0和1。将实际中彼此 联系又相互对立的两种状态抽象出来用0和1来表示，称为逻辑0和逻辑1。而且在 电路上，可用电子器件的开关特性来实现，由此形成数字信号，所以数字电路又 可称为数字逻辑电路。
例如： （1995）D=（7CB）H =（11111001011）B
或 1995D =7CBH=11111001011B 对于十进制数可以不写下标或尾符。
1.3 不同进制数之间的转换
一.任意进制数→十进制数： 各位系数乘权值之和(展开式之值)＝十进制数。 例如： (1011.1010)B=1×23+1×21+1×20+1×2-1+1×2-3
逻辑运算可以用文字描述，亦可用逻辑表达式描述，还可 以用表格（这种表格称为真值表）和图形（ 卡诺图、波形 图）描述。
在逻辑代数中有三个基本逻辑运算，即与、或、非逻辑运 算。
一. 与逻辑运算
吉林大学《数字电路设计基础》课程 —— 逻辑代数

吉林大学《数字电路设计基础》课程 —— 逻辑代数


1854年，已经担任柯克大学教授的布尔再次出版 《思维规律的研究──逻辑与概率的数学理论基础》。 以这两部著作，布尔建立了一门新的数学学科。布尔 强调数学的本质不是探究对象的内容，而是研究其形 式，因而数学不必限于讨论数和连续量的问题，可由 符号表示的一切事物都可纳入数学领域。在布尔代数 里，布尔构思出一个关于0和1的代数系统，用基础 的逻辑符号系统描述物体和概念。这种代数不仅广泛 用于概率和统计等领域，更重要的是，它为今后数字 计算机开关电路设计提供了最重要数学方法。
在备课的时候，布尔不满意当时的数学课本，便决定阅读伟大 数学家的论文。在阅读伟大的法国数学家拉格朗日的论文时， 布尔有了变分方面的新发现。变分是数学分析的分支，它处理 的是寻求优化某些参数的曲线和曲面。从20岁起布尔对数学产 生了浓厚兴趣，广泛涉猎著名数学家牛顿、拉普拉斯、拉格朗 日等人的数学名著，并写下大量笔记。这些笔记中的思想， 1847年被用于他的第一部著作《逻辑的数学分析》之中。
数字电路与逻辑设计
张林行
吉林大学仪器科学与电气工程学院：数字电路与逻辑设计
第2章：逻辑代数
2-1 概述 2-2 逻辑代数基本概念 2-3 逻辑代数定理及规则 2-4 逻辑表达式的形式与变换 2-5 逻辑函数化简
a
数字电路与逻辑设计：第2章 逻辑代数
2-1 概述
逻辑代数是逻辑设计的理论基础和重要数学工具。
• 基本逻辑运算：与、或、非
1. 与运算（逻辑乘）
真值表
AB F
00 0 01 0 10 0 11 1
逻辑式： F=A •B=AB
与门：
A
FA & F
B
B
a. IEEE
b. 标准符号
A
数字电路与逻辑设计复习主要内容

数字电路与逻辑设计复习主要内容

数字电路基础
一、 绪论
1、数字信号的特点和表示方法； 2、不同进制数的相互转换； 3、常用的二—十进制代码（BCD代码）； 4、数字电路的分类； 5、奇偶检验。
.
2
二 逻辑函数及其简化
1、基本逻辑关系和复合逻辑运算的逻辑关系、表达式、 逻辑符 号、真值表。
2、逻辑函数的表示形式和相互转换。
.
8
.
6
第5章 时序逻辑电路
1、时序逻辑电路的特点、分类； 2、时序逻辑电路的分析步骤； 3、集成移位寄存器的功能和典型应用； 4、集成同步计数器的功能及功能扩展； 5、采用MSI实现任意模值计数器。
.
7
第6章 半导体存储器
1、半导体存储器的分类、主要技术指标； 2、RAM结构及存储容量的扩展； 3、ROM类型、存储原理、用ROM实现逻辑函数；
3、逻辑代数的三个规则。（对偶式和反演式的写法、由函数的最 小项表达式求对偶式和反演式的最小项表达式）
4、常用公式及其灵活应用。
5、最小项及最小项的性质，逻辑函数的最小项表达式。
6、逻辑函数的公式化简法。
7、逻辑函数常用形式的相互转换。
.
3
第2章 集成逻辑门
1、国产TTL集成电路的四个系列； 2、TTL与非门的主要外部特性； 3、三态门、OC门的概念及使用； 4、TTL系列器件主要性能比较。
.
4
第3章 组合逻辑电路
1、组合逻辑电路的分析和设计方法； 2、常用MSI的名称（芯片名称）、功能、逻辑符号、扩展和典 型应用、使用中应注意的问题； 3、应用MSI（数据选择器、译码器、加法器、比较器等）实现 逻辑函数。
.
5
第4章 集成触发器
1、触发器的基本性质； 2、从功能上讲有几种触发器，其功能描述。 3、触发器逻辑功能的描述方法。 4、触发器的触发方式的类型和特点。 5、触发器输出波形的画法。 6、典型小型数字系统的原理及功能分析。
数电 第一章 逻辑代数基础

数电 第一章 逻辑代数基础


文字、数值信息
十进制数的二进制编码 常用十进制数码
十进制数 8421码
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
2421码 0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111 有权码
N
B

d 2
i
i
i
0
1
1 1
0 0
1 0
0 1
【例如】 (101.101)2=1×22十0×21十1×20十1×2-1十0×2-2十1×2-3
3.八进制（O）
以8为基数的计数体制，有0、1、2、3、4、5、6、 7共8个数码，逢八进一。
位置计数法 以权展开式
例：741 O
306O
i i
N
O
5211码 0000 0001 0011 0101 0111 1000 1001 1100 1101 1111
余3码 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100
格雷码 0000 0001 0011 0010 0110 1110 1010 1000 1100 0100
课程考核
平时成绩占30% ：考勤、作业、实验； 期末成绩占70% ：期末考试卷面分。
课外作业 为了让大家学完本课程有较大的收获，有以下两 个作业： （1）查询资料，有关自己所学专业和电子技术方面 的新技术、新方法，学习科技小论文的撰写方法，查 询有关资料。 （2）利用计算机，学习电子技术仿真软件的应用— —Multisim
课程设计
利用自己所学的电子技术基本理论知识，综 合设计电子实际应用电路，培养综合设计能力.
数字电路与逻辑设计-逻辑代数基础

数字电路与逻辑设计-逻辑代数基础


未来数字电路设计将更加注重低功耗、 高可靠性和高集成度，以满足不断增 长的计算需求和严格的能源限制。
未来的数字电路设计将更加注重可重 构和可编程，以适应不断变化的应用 需求和市场变化。
THANKS
感谢观看
数字电路与逻辑设计-逻 辑代数基础
• 引言 • 逻辑代数基础 • 逻辑门电路 • 逻辑电路的分析与设计 • 数字电路与逻辑设计的应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
01
逻辑代数是一种用于描述逻辑关 系的数学工具，是数字电路与逻 辑设计的基础。
02
它通过使用逻辑变量和逻辑函数 来描述数字电路中的输入与输出 关系。
NOT门
输出信号与输入信号相反。
复合逻辑门电路
NAND门
输出信号为高电平（1）当 且仅当所有输入信号为高 电平（1）。
NOR门
输出信号为高电平（1）当 且仅当至少一个输入信号 为高电平（1）。
XOR门
输出信号与输入信号相同， 除非有两个或更多输入信 号为高电平（1）。
门电路的特性与参数
特性
描述了门电路在各种输入条件下 的输出行为。
01
02
03
Байду номын сангаас
逻辑变量
逻辑函数
真值表
逻辑变量通常用字母表示，取值 为0或1，分别表示逻辑假和逻辑 真。
逻辑函数是逻辑变量的函数，其 输出值为0或1，表示逻辑假和逻 辑真。
真值表是表示逻辑函数输入输出 关系的表格，列出输入变量的所 有可能取值以及对应的输出值。
逻辑运算符及其性质
逻辑与运算符(&&)
01
逻辑代数在数字电路设计中的重要性
逻辑代数是数字电路设计的核 心，它提供了描述和设计数字 系统的基本方法。

第1章 逻辑代数基础(数字电路)


Ｙ＝Ａ+ Ｙ＝Ａ+Ｂ
19:41
功能表
开关 A 断开 断开 闭合 闭合 开关 B 断开 闭合 断开 闭合 灯Y 灭 亮 亮 亮
真值表
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
逻辑符号
Y 0 1 1 1
实现或逻辑的电 路称为或门。或 门的逻辑符号：
逻辑代数基础
A B
9
≥1
Y=A+B
19:41
3、非逻辑（非运算） 非逻辑（非运算） 非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件 （Y）发生的条件（A）满足时，事件不发 生；条件不满足，事件反而发生。表达式为： Ｙ＝Ａ 开关A控制灯泡Y
数字电子技术基础
逻辑代数基础
1
19:41
•
参考书： 组、阎石，高等教育出版社。
1. 数字电子技术基础，清华大学电子学教研 2. 电子技术基础（数字电路部分），康华光， 高等教育出版社
逻辑代数基础
2
19:41
• 课程要求： 1. 掌握数字电路的基本概念、基本原理、基 本分析方法以及一些典型的电路。 2. 课堂练习与课后练习结合，每周交一次。 3. 进行期中测试，总评成绩：期末60%，期 中20%，作业10%，实验10% 。
逻辑符号
实现与逻辑的电路 称为与门。与门的 逻辑符号：
A
6
&
逻辑代数基础
B
Ｙ＝ＡＢ
19:41
Y
2、或逻辑（或运算） 或逻辑（或运算） 或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各 种条件（A，B，C，…)中，只要有一个或多个 条件具备，事件（Y）就发生。表达式为： Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋… Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋… 开关A，B并联控制灯泡Y
A

数字电路的基本知识3

与运算 A • 0 0 A •1 A A • A 0 A • A A
或运算 A 0 A A 1 1 A A 1 A A A
非运算 A A
（2) 逻辑代数的基本定律 交换律：A B B A A• B B• A 结合律：(A B) C A (B C) ( AB)C A(BC) 分配律： A(B C) AB AC A BC (A B)(A C) 反演律： A B A • B AB A B
提取公因子A
ABC A(B C ) 利用反演律
ABC ABC A(BC BC)
消去互为 反变量的因子
A
2) 吸收法 利用公式 A AB A 将多余项AB吸收掉 化简逻辑函数 F AB AC ABC
F AB AC ABC …提取公因子AC
AB AC(1 B) …应用或运算规律，括号内为1
最简与或式的一般标准是：表达式中的与项最少，每个与 项中的变量个数最少。代数化简法最常用的方法有： 1) 并项法
利用公式 AB AB A 提取两项公因子后，互非变量消去。 化简逻辑函数 F AB AC ABC
F AB AC ABC
A(B C BC) …提取公因子A
A(B C B C) …应用反演律将非与变换为或非 A …消去互非变量后，保留公因子A，实现并项。
AB AC 3) 消去法
利用公式 A AB A B 消去与项AB中的多余因子A 化简逻辑函数 F AB AC BC F AB AC BC …提取公因子C
AB C(A B)
AB C AB …应用反演律将非或变换为与非
AB C …消去多余因子AB，实现化简。
4) 配项法 利用公式A=A(B+B)，为某一项配上所缺变量。
(3) 逻辑代数的常用公式 吸收律：A AB A A(A B) A A (AB) A B

数字电路 第1章 逻辑代数基础


二、基本公式
① 0－1律 A· 0=0 ; A+1=1
②自等律
③重迭律 ④互补律 ⑤交换律 ⑥结合律 ⑦分配律 ⑧反演律 ⑨还原律
A· 1=A
A· A=A A· A=0 A· B· B= A A(BC)=(AB)C ;
;
; ; ;
A+0=A
A+A=A A+A=1 A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C A+BC=(A+B)(A+C) ; AB=A + B
特点： （1）便于运算； （2）便于用逻辑图实现； （3）缺乏直观。
3、逻辑图：由各种逻辑门符号所构成的电路图.
A B C &
≥1
Y
特点： 接近工程实际。
4、不同表示方法之间的相互转换
(1)已知逻辑函数式求真值表： A B C Y
把输入逻辑变量所有可能的取 值组合代入对应函数式,算出其 函数值。
由“或”运算的真值表可知 “或”运算法则为： 0＋0 = 0 1＋0 = 1 0＋1 = 1 1＋1 = 1
有1出 1 全0为 0
⒊ 表达式 逻辑代数中“或”逻辑关系用“或”运算 描述。“或”运算又称逻辑加，其运算符为 “＋”或“ ”。两变量的“或”运算可表示 为：Y＝A＋B 或者 Y=A B 读作：Y等于 A 或 B
A+AB=A+B
A+AB=(A+A)(A+B)=1•(A+B) =A+B
（4）包含律 证明：
对偶关系
A(A+B)=AB
AB+AC+BC=AB+AC

数字电路-逻辑代数基础

数字电路-逻辑代数基础逻辑代数基础逻辑代数中的三种基本运算与、或、⾮复合逻辑运算最常见的有与⾮、或⾮、与或⾮、异或、同或等。

异或：A⨁B=AB′+A′B同或：A⨀B=AB+A′B′异或与同或互为反运算。

逻辑代数的基本公式和常⽤公式基本公式也叫布尔恒等式（证明⽅法包括真值表法和推演法）：总结为以下⼏类：开始为0⾏1. 变量与常量间的运算规则：1、2⾏2. 重叠律（同⼀变量）：3⾏3. 互补律（变量和其反变量）：4⾏4. 交换律（5⾏）结合律（6⾏）分配律（7⾏）5. De.Morgan定理，反演律（8⾏）6. 还原律：（9）若⼲常⽤公式由基本公式导出，便于化简逻辑函数。

1. 两个乘积项相加时，若⼀项以另⼀项为因⼦，则该项多余：A+AB=A2. 两个乘积项相加时，⼀项取反后是另⼀项的因⼦，则此因⼦多余，可以消去：A+A′B=A+B3. 两个乘积项相加时，若他们分别包含B和B′两个因⼦⽽其他因⼦相同，则两项可合并。

AB+AB′=A4. 变量A和包含A的和相乘时，结果为A:A(A+B)=A5. 若两个乘积项中分别包含A和A′两个因⼦，则其余因⼦组成第三个乘积项时，第三个乘积项是多余的：AB+A′C+BC=AB+A′C进⼀步AB+A′C+BCD=AB+A′C6. A和⼀个乘积项的⾮相乘，且A为这个乘积项的因⼦时，A这个因⼦可以消去：A(AB)′=AB′7. A′和⼀个乘积项的⾮相乘，且A为这个乘积项的因⼦时，结果等于A′A′(AB)′=A′逻辑代数的基本定理代⼊定理在任何⼀个包含A的逻辑等式中，若以另外⼀个逻辑式代⼊式中所有A的位置，则等式依然成⽴。

反演定理对于任意⼀个逻辑式Y,若将其中所有的“⋅”换成“+”,“+”换成“⋅”,0换成1,1换成0,原变量换成反变量,反变量换成原变量,则得到的结果就是Y′。

这个规律称为反演定理。

反演定理为求取已知逻辑式的反逻辑式提供了⽅便。

在使⽤反演定理时,还需注意遵守以下两个规则:①仍需遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序。

电子技术(数电部分-第2章 逻辑代数和逻辑函数


A B C ( A B) ( A C )
证明: 右边 =(A+B)(A+C)
A B C ( A B) ( A C )
; 分配律 ; 结合律 , AA=A ; 结合律
=AA+AB+AC+BC =A +A(B+C)+BC =A(1+B+C)+BC =A • 1+BC =A+BC
33 MHz
• 以三变量的逻辑函数为例分析最小项表示及特点
变量 赋值 为1时 用该 变量 表示； 赋0时 用该 变量 的反 来表 示。
33 MHz
最小项
使最小项为1的变量取值 A B C
对应的十 进制数
编号 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
ABC ABC A BC A BC AB C AB C ABC ABC
例1： F1 A B C D 0
F1 A B C D 0
注意 括号
注意括号
F1 ( A B) (C D) 1
F1 AC BC AD BD
与或式
33 MHz
例2： F2 A B C D E
F2 A B C D E
“+” 换成 “· ”，0 换成 1，1 换成 0，
则得到一个新的逻辑式 Y´，
则 Y´ 叫做 Y 的对偶式
A AB A
33 MHz
Y AB CD
对偶式
A( A B) A
Y ( A B)(C D)
2.2 逻辑函数的变换和化简
2.2.1 逻辑函数表示方法：四种，并可相互转换 真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合 与所对应的输出变量值用列表的方式 一一对应列出的表格。 四 种 表 示 方 法

数字电路与逻辑设计基础知识要点

数字电路与逻辑设计基础知识要点数字电路是电子技术中重要的基础知识之一，广泛应用于计算机、通信和控制系统等领域。

本文将介绍数字电路与逻辑设计的基础知识要点，包括数字信号、布尔代数、逻辑门电路和组合逻辑电路等内容。

希望通过本文的介绍，读者能够对数字电路与逻辑设计有一个初步的了解。

一、数字信号数字信号是电子设备中常见的一种信号类型，它只能取离散的数值，通常用0和1表示。

数字信号与模拟信号相对，模拟信号可以连续变化。

数字信号可以通过数字电路进行处理和传输，具有较高的抗干扰能力和稳定性。

二、布尔代数布尔代数是一种数学工具，用于描述和分析逻辑关系。

它是以英国数学家布尔命名的，用来处理逻辑问题。

布尔代数运算包括与、或、非等基本运算，通过这些运算可以建立逻辑关系的数学模型。

三、逻辑门电路逻辑门电路是数字电路中最基本的构建单元，它通过逻辑运算实现特定的逻辑功能。

常见的逻辑门包括与门（AND）、或门（OR）、非门（NOT）、异或门（XOR）等。

逻辑门电路可以根据输入信号的不同进行相应的逻辑运算，并得出输出结果。

四、组合逻辑电路组合逻辑电路是由多个逻辑门组合而成的电路，它根据输入信号进行逻辑运算，得出输出信号。

组合逻辑电路的输出只与当前的输入有关，与之前的输入无关。

常见的组合逻辑电路包括译码器、编码器、多路选择器等。

五、时序逻辑电路时序逻辑电路是在组合逻辑电路的基础上引入了时钟信号的电路。

时序逻辑电路的输出不仅和当前的输入有关，还与之前的输入和时钟信号有关。

时序逻辑电路常用于计算机中的存储器和控制电路等。

六、存储器存储器是计算机系统中的重要组件，用于存储和读取数据。

常见的存储器包括随机存取存储器（RAM）和只读存储器（ROM）。

随机存取存储器用于暂时存储数据，而只读存储器用于存储程序和数据的固定信息。

七、数字信号处理数字信号处理是数字电路应用领域中的一种技术，用于对数字信号进行处理和分析。

常见的数字信号处理技术包括滤波、编码、解码、调制、解调等。

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且能互相转换。例如：
L AC AB
与——或表达式
( A B)( A C )
或——与表达式
与非——与非表达式
AC AB
A B A C
或非——或非表达式
与——或——非表达式
AC AB
其中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。
2．逻辑函数的最简“与—或表达式” 的标准
件不具备时事情才发生。
二、其他常用逻辑运算
1．与非 —— 由与运算 和 非运算组合而 成。
“与非”真值 表 输 入 输出
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
L
1 1 1 0
A B
&
L=A· B
2．或非 ——由或 运算和非运算组 合而成。
“或非”真值 表 输 入 输出 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 L 1 0 0 0
二、不同数制之间的相互转换
1．二进制转换成十进制
例： 将二进制数10011.101转换成十进制数。 解：将每一位二进制数乘以位权，然后相加，可得 (10011.101)B＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＋1×2－1＋0×2－2＋ 1×2－3 ＝（19.625)D
2.十进制转换成二进制
位权
8421
2421
5421
无权
4
1．与运算
设：开关闭合=“1” 开关不闭合=“0”
基本逻辑运算
A B
A & L=A· B B
一、基本逻辑运算
V
L
A B 不闭灯亮，L=1
灯不亮，L=0 与逻辑表达式：
不闭合
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
L
0 0 0 1
不闭合
AB(C C ) AB(C C )
AB AB A( B B) A
（2）吸收法：
运用吸收律 A+AB=A，消去多余的与项。 例： L AB AB(C DE) A B （3）消去法： 运用吸收律 A AB A B 消去多余因子。 例： L A AB BE A B BE A B E （4）配项法： 先通过乘以 ( A A) 或加上 再用以上方法化简。
（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。 （2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“· ”号最少。
3．用代数法化简逻辑函数
（1）并项法： 运用公式 A A 1 将两项合并为一项，消去一个变量。 例： L A( BC BC ) A( BC BC )
ABC ABC ABC ABC
L A BC D
在应用反演规则求反函数时要注意以下两点： （1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例3.1.3。 （2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变。如例3.1.4。
2.6.3 逻辑函数的代数化简法
1．逻辑函数式的常见形式 一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并
进制的0～9十个数。
要用二进制代码来表示十进制的0～9十个数，至少要用 4位二进制数。 4位二进制数有16种组合，可从这16种组合中选择10种 组合分别来表示十进制的0～9十个数。
选哪10种组合，有多种方案，这就形成了不同的BCD码。
常用BCD码
十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8421码 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 2421码 0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111 5421码 0000 0001 0010 0011 0100 1000 1001 1010 1011 11 0 0 余3码 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 11 0 0
A B ≥1 L=A+B
3．异或
异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为 0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。
异或的逻辑表达式为： L A B
“异或”真值 表 输 入 输出 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 L 0 1 1 0
A B
=1
L=A + B
5
逻辑函数及其表示方法
（2）用真值表证明，即检验等式两边函数的真值表是否一致。
例： 用真值表证明反演律
AB A B
A B
0 0
0 1 1 0 1 1
AB
1 1 1
A B
1 1 1
0
0
2.6.2
1 .代入规则
逻辑代数的基本规则
对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式 两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。 例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，则新的等式仍成立：
或逻辑表达式： L＝A+B
或逻辑——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个
或一个以上条件具备，这件事情就发生。
3．非运算
R A
A
闭合
灯L
不亮 亮
V
L
不闭合
A
1
非逻辑真值表
L=A
A
0 1
L
1 0
非逻辑表达式：
AL
非逻辑——某事情发生与否，仅取决于一个条件，而 且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条
A AB A B
A A
公式的证明方法：
（1）用简单的公式证明略为复杂的公式。
A AB A B
例： 证明吸收律
证： A AB A( B B) AB AB AB AB AB AB AB AB A( B B) B( A A) A B
闭合 闭合
闭合
不闭合 闭合
不亮
不亮 亮
L A B
件事情才会发生。
与逻辑——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这
2．或运算
A B
A
不闭合 不闭合 闭合
B
不闭合 闭合 不闭合
灯L
不亮 亮 亮
V
L
闭合
闭合
亮
或逻辑真值表
A B
≥1 L=A+B
输 A 0 0 1 1
入 B 0 1 0 1
输出 L 0 1 1 1
2.6.1
名 称 0—1律 互补律 重叠律 交换律
基 本 公 式 逻辑代数的基本公式
公式1 公式2
A 1 A A0 0
A0 A
A 1 1
AA 0 A A A
A B B A
A( BC) ( AB)C
A A 1
A A A A B B A
A B C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
L 0 0 0 1 0 1 1 1
第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表。
一般地说，若输入逻辑变量 A 、 B 、 C… 的取值 确定以后，输出逻辑变量 L的值也唯一地确定了， 就称L是A、B、C的逻辑函数，写作：
A ( B C ) ( A B) C
A ( BC) ( A B)( A C )
结合律
分配律 反演律 吸收律
A( B C ) AB AC
AB A B
A B A B
A AB A
A( A B) A
A( A B) AB
对合律
ABC A BC A B C
2 .对偶规则
将一个逻辑函数L进行下列变换： ·→＋，＋ →· 0 → 1， 1 → 0 所得新函数表达式叫做L的对偶式，用 L 表示。 对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式相等，那么它 们的对偶式也一定相等。 基本公式中的公式l和公式2就互为对偶 式。
解：可用两个非门、两个与门 和一个或门组成。
& A B 1 & 1 ≥1 L
由逻辑图也可以写出表达式。
例： 写出如图所示 逻辑图的函数表达式。
A B C
& & & ≥1 L
解：
L AB BC AC
6 逻辑代数
2.6.1 逻辑代数的基本公式 2.6.2 逻辑代数的基本规则 2.6.3 逻辑函数的代数化简法
一、逻辑函数的建立
例： 三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定， 试建立该逻辑函数。
解：第一步：设置自变量和因变量。 第二步：状态赋值。 对于自变量A、B、C设： 同意为逻辑“1”， 不同意为逻辑“0”。 对于因变量L设： 事情通过为逻辑“1”， 没通过为逻辑“0”。
三人表决电路真值表
5 t(ms)
0
10
20
30 40
50
二、正逻辑与负逻辑
数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电 平）分别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑0）。 有两种逻辑体制： 正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。 负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。
下图为采用正逻辑体制所表的示逻辑信号：
( AA ) 增加必要的乘积项， ，
例： L AB AC BCD AB AC BCD( A A)
AB AC ABCD ABCD AB AC
在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，
才能将逻辑函数化为最简。
(a) 0 t (ms)
10 V (V)
20
30
40
50
(b)
3.6
同的数字信号。
0 10 (c)