华中师范大学,2014量子力学-A卷-参考答案

量子力学试题集量子力学期末试题及答案(A）选择题（每题3分共36分)1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA。

黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C。

经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：BA。

Ψ代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，代表微观粒子出现的几率密度；C. Ψ一定是实数；D。

Ψ一定不连续.3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：DA。

偏振光子的一部分通过偏振片;B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片。

4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解,则：A A。

一定也是该方程的一个解;B. 一定不是该方程的解；C。

Ψ与一定等价；D.无任何结论。

5．对于一维方势垒的穿透问题,关于粒子的运动，正确的是:C A。

粒子在势垒中有确定的轨迹;B。

粒子在势垒中有负的动能;C。

粒子以一定的几率穿过势垒；D粒子不能穿过势垒。

6．如果以表示角动量算符，则对易运算为:BA. ihB。

ihC。

iD。

h7．如果算符、对易，且=A，则：BA。

一定不是的本征态;B。

一定是的本征态；C。

一定是的本征态;D. ∣Ψ∣一定是的本征态。

8．如果一个力学量与对易，则意味着：CA. 一定处于其本征态；B.一定不处于本征态；C。

一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化。

9．与空间平移对称性相对应的是：BA. 能量守恒；B。

动量守恒；C.角动量守恒;D.宇称守恒。

10．如果已知氢原子的n=2能级的能量值为-3.4ev，则n=5能级能量为：DA. -1.51ev；B.-0.85ev；C。

—0.378ev；D. -0。

544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为，且l=N-2n，则在一确定的能量（N+）h下,简并度为:B A。

;B. ；C.N（N+1)；D.(N+1)(n+2)12．判断自旋波函数是什么性质：CA。

量子力学试题集量子力学期末试题及答案(A)选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：BA. Ψ代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，ψψ*代表微观粒子出现的几率密度；C. Ψ一定是实数；D. Ψ一定不连续。

3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：DA. 偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片。

4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：AA.*ψ一定也是该方程的一个解；B.*ψ一定不是该方程的解；C. Ψ与*ψ一定等价；D.无任何结论。

5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：CA. 粒子在势垒中有确定的轨迹；B.粒子在势垒中有负的动能；C.粒子以一定的几率穿过势垒；D粒子不能穿过势垒。

6．如果以∧l表示角动量算符，则对易运算],[yxll为：BA. ih∧z lB. ih∧z lC.i∧x l D.h∧xl7．如果算符∧A 、∧B 对易，且∧A ψ=Aψ，则：BA.ψ 一定不是∧B 的本征态； B.ψ一定是 ∧B 的本征态； C.*ψ一定是∧B 的本征态；D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态。

8．如果一个力学量∧A 与H∧对易，则意味着∧A ：CA. 一定处于其本征态；B.一定不处于本征态；C.一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化。

9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。

10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23)h ω下，简并度为：BA.)1(21+N N ； B.)2)(1(21++N N ；C.N(N+1)；D.(N+1)(n+2)12．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质：CA. 自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D.z σ本征值为1.二 填空题（每题4分共24分）1．如果已知氢原子的电子能量为eV nE n 26.13-= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————。

080910203量子力学I期末考题（A）答案山东师范大学2014年期末考试试题(A)答案及评分标准（时间：120分钟共100分）课程编号：080910203 课程名称：量子力学适用年级：2011 学制:四年适用专业：物理学、光电试题类别： A一、简答题：（本题共5小题，每小题5分，共25分）1、在体系所处的某一个状态中测量不同的力学量，其测值概率分布是否相同？试举例说明。

答：在体系所处的状态中测量不同的力学量其测值概率分布是不一样的。

（2分）比如某状态中测量出的坐标概率分布与动量概率分布可用不同函数来表示。

（3分）（给出其它合适的例子同样给分）2、试讨论：若两算符对易，是否在所有态下它们都同时有确定值。

答：对易算符可以有共同的本征态，在共同本征态下它们同时取确定值。

（3分）但若所给定的态不是它们的共同本征态，在此态下两算符是不能同时取确定值的。

比如)2()1(βα是z s1?的本征态，尽管0]?,?[12=z s S ，但它不是2?S 的本征态。

（2分）（不给例子，讨论合适也给分）3、试述全同粒子的特点以及对波函数的要求。

答：全同粒子的特点：任意交换两个粒子的位置不影响体系的状态。

（3分）这个特点要求描述全同粒子的波函数对任意两个粒子的交换要么是对称的，要么是反对称的。

(2分) 4、使用狄拉克符号导出能量本征值方程在动量表象中的表示。

答：在坐标表象下的能量本征值方程为>>=+ψψμ||)2?(2E V p（1分）方程两边取动量表象，有><>=<+><ψψψμ||||2?|2p E V p pp （1分）令>=<ψ?|)(p p ，并加入完备性关系?><|''|'p p dp ，并利用>p |动量算符属于本征值p 的本征函数，有（1分）)(|''||')(22p E p p V p dp p p ?ψ?μ=>><<+? 即 )()'(')(2'2p E p V dp p p pp μ=+? （2分）（从松处理，如果写的是含时薛定谔方程的动量表象，只扣1分）5、以α和β分别表示自旋向上和自旋向下的归一化波函数，写出两电子体系的自旋单态和自旋三重态波函数（只写自旋部分波函数）。

量子力学习题答案1.2在0k附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。

解：由德布罗意波粒二象性的关系知：Eh；ph/由于所考虑的电子是非相对论的电子（Ek(3eV)ec2(0.51106)），故：EP2/(2e)h/ph/2eEhc/692ecE621.24100.7110/20.51103m0.71nm1.3氦原子的动能是E=1.5kT，求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。

解：对于氦原子而言，当T1K时，其能量为E于是有h/ph/2HeE3432kT321.3811023JK11K2.071023J6.6261026.6901027J231.26nmJkg2.0710一维谐振子处于(某)Ae2某/22状态中，其中为实常数，求：1.归一化系数；2.动能平均值。

（解：1.由归一化条件可知：e某22d某/）(某)(某)d某A2某Ae2某22d某1/1取相因子为零，则归一化系数A1/2/1/42.T222某(某)T(某)d某Ae某222/222某/2(P/2)ed某2A2e某/2(2222d2d某dd某)e某22/2d某222A22e某/2(某e2某22/2)d某2/2A{某e22某22(某e22某22)d某}22222A24某e1212222某22d某222A(241222)2某d(e某22)A(24){某e某e某d某}422＝A(24（)）＝A422＝若＝，则该态为谐振子的基态，T4解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是非常方便的。

一维谐振子的哈密顿量为：H22d2d某12某22它的基态能量E012选择为参量，则:dE0d12；dHdTd2d某2(2d22d某)2T0dHd020dHd02T12由F-H定理知：可得：dE0dT1422.2由下列定态波函数计算几率流密度：(1)11reikr(2)21reikr从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内(即向原点)传播的球面波。

量子力学试题集量子力学期末试题及答案（A) 选择题（每题3分共36分)1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量;B。

黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式;D。

黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：BA。

Ψ代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，代表微观粒子出现的几率密度；C。

Ψ一定是实数；D。

Ψ一定不连续。

3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是:DA. 偏振光子的一部分通过偏振片；B。

偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片;C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的;D.每个光子以一定的几率通过偏振片.4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：AA. 一定也是该方程的一个解；B. 一定不是该方程的解；C. Ψ与一定等价；D。

无任何结论。

5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹；B。

粒子在势垒中有负的动能;C。

粒子以一定的几率穿过势垒；D粒子不能穿过势垒。

6．如果以表示角动量算符,则对易运算为：BA. ihB。

ihC。

iD.h7．如果算符、对易，且=A，则：BA。

一定不是的本征态；B. 一定是的本征态；C.一定是的本征态；D. ∣Ψ∣一定是的本征态。

8．如果一个力学量与对易，则意味着：CA. 一定处于其本征态；B。

一定不处于本征态;C.一定守恒；D。

其本征值出现的几率会变化。

9．与空间平移对称性相对应的是：BA。

能量守恒；B。

动量守恒；C。

角动量守恒；D.宇称守恒。

10．如果已知氢原子的n=2能级的能量值为-3.4ev，则n=5能级能量为：DA. -1.51ev;B.—0.85ev;C。

—0.378ev;D. -0.544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为，且l=N-2n，则在一确定的能量(N+）h下，简并度为：BA。

;B. ；C。

中国科学技术大学2014年硕士研究生入学考试
科目名称：量子力学考试时间: 三小时满分:150分
科目代码：828 适用专业:物理学院等相关专业
注意：①所有答案必须写在答题纸或答题卡上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；
②本科目不允许使用计算器；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
人 2
（b ）（ 10分）证明£（E 〃—殊）伽巾）=力2/2〃 （c ） （ 10分）证明不等式（£1-£0）＜4^0 这里瓦,&分别为系统第一激发
态和基态的能量本征值，侄）。

是基态 中的动能平均值。

七、（共20分）设一质量为秫的粒子在势场
00 z < 0
W) = \
mgz z\> 0 (g> 0)
中运动。

请用变分法来计算基态能量的近似值，试探函数取为
其中为实的变分参数。

量子力学试题集量子力学期末试题及答案（A）选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA。

黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：BA. Ψ代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，代表微观粒子出现的几率密度；C。

Ψ一定是实数;D. Ψ一定不连续。

3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：DA. 偏振光子的一部分通过偏振片；B。

偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片。

4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. 一定也是该方程的一个解;B。

一定不是该方程的解；C。

Ψ与一定等价；D。

无任何结论.5．对于一维方势垒的穿透问题,关于粒子的运动，正确的是：C A。

粒子在势垒中有确定的轨迹；B.粒子在势垒中有负的动能；C.粒子以一定的几率穿过势垒;D粒子不能穿过势垒。

6．如果以表示角动量算符,则对易运算为:BA。

ihB. ihC.iD.h7．如果算符、对易，且=A，则:BA. 一定不是的本征态；B。

一定是的本征态；C。

一定是的本征态；D。

∣Ψ∣一定是的本征态。

8．如果一个力学量与对易,则意味着：CA。

一定处于其本征态;B.一定不处于本征态；C。

一定守恒；D。

其本征值出现的几率会变化.9．与空间平移对称性相对应的是：BA。

能量守恒；B。

动量守恒；C。

角动量守恒;D。

宇称守恒。

10．如果已知氢原子的n=2能级的能量值为-3.4ev，则n=5能级能量为:DA. -1。

51ev;B.—0.85ev;C。

-0.378ev;D. -0。

544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为，且l=N—2n，则在一确定的能量(N+）h下，简并度为：BA。

;B. ;C.N（N+1);D.(N+1）(n+2）12．判断自旋波函数是什么性质：CA. 自旋单态;B。

华中科大量子力学考试题及解答1(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--华中 一． 见华中98 T2 二． 见华中98 T3 三． 见华中98 T4四．质量为μ的粒子沿X 方向以能量E 向x=0处势阶运动。

势⎩⎨⎧>≤=0x ,E 0x ,0)x (U 43，问在x=0处被反射的粒子几率有多大？解：写出分区薛定谔方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=ψ-μ+ψ≤=ψμ+ψ0x ,0)E 43E (2dx d 0x ,0E 2dx d 22222121212 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=ψ+ψ≤=ψ+ψ⇒0x ,0)2k (dx d 0x ,0k dxd 22222121212其解为⎪⎩⎪⎨⎧>=ψ≤+=ψ-0x ,De 0x ,Re e xi 2ikxikx 12k由x=0处的连续性条件，可得到：D i )R 1(ik )0()0(D R 1)0()0(2k 2121=+⇒ψ'=ψ'=+⇒ψ=ψ 解得：D=3/4，R=1/3 从而几率流密度为x x 22k D x x 2R x e ˆ9k 8e ˆ|D |J ,e ˆ9k e ˆ|R |k J ,e ˆk J μ=μ=μ-=μ-=μ=所以，反射几率91|J ||J |R R == 透射几率：98|J ||J |D D ==满足 R+D=1五．两个质量为μ自旋为1/2的全同粒子处于一维无限深势阱(0<x<a)中,忽略自旋相关力，求：1.粒子间无相互作用，用单粒子态和自旋态给出三个最低能态。

2．粒子间有相互作用势能V （x 1-x 2）,这可看成微扰，以一阶微扰理论计算第二、第三最低能态的能量，将你的结果保留在积分式。

解：1.（参见汪P274 ） 求粒子体系的能量本征值和本征函数： 忽略两粒子间的相互作用时，体系总能量)n n (a 2E E E 222122221+μπ=+=考虑到是全同费米子体系，体系的总波函数)s ,s ()x ,x (z 2z 121χψ=ψ必须是反对称的，第一最低能态：n 1=1,n 2=1,22211a 22E μπ=，则 )]s ()s ()s ()s ([a xsin a x sin a 2z 2z 1z 2z 1211121212121χχ-χχππ=ψ--由于空间运动波函数是对称的，故自旋运动的波函数必为反对称的，且基态为非简并态。

第五章： 对称性及守恒定律P248设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H+=μ。

（１） 证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅μ/)(2。

（２） 证明：对于定态 V r T ∀⋅=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律：]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p rdt d⋅=⋅]ˆ,ˆˆ[H p r =⋅=)],z y （２） ˆ[r⋅ x x x x p x p p x p p xˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[232-= x x x x x x p x p p x p p x p p xˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2223-+-= x x x x x p p x p p p xˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x p i p i p i =+= （４）],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p xx x x x x x =-=-=xV x i ∂∂=ˆˆ （５） 将（４）（５）代入（３），得：}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222zV z y V y x V x i p p p i H p rz y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ }ˆ{2V r pi ∀⋅+=μ代入（１），证得题给公式：V r pp r dt d ∀⋅-=⋅ μ2ˆ)( （６） 的平均值，按前述习题２的结论，其 则=⋅p r dt d 由前式P249 ） （２）库仑场 T V 2-= （３）T V n Cr V n2,==（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角坐标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。

宝鸡文理学院试题课程名称 量子力学 适用时间 2008-7-7 试卷类别 A 适用专业 05级物理学1、2、3班本文档是我在淘宝0.8元购买的，求报销！！！填空题中的1、2、4题，是量子力学基本知识，值得考。

一、填空题 (每小题2分，2×5＝10分)１、玻尔原子模型的三个假设是（ ）。

２、波函数的标准条件为（ ）。

３、正交归一方程*m n mn u u d τδ=⎰的狄拉克表示为（ ）。

4、动量表象下的坐标算符表示形式（ ）。

5、zL L ˆˆ2和的共同本征函数为（ ）。

选择题中2、4两题亦考察基本知识，可以考，不至于太难。

二、单项选择题（每小题2分，2×5＝10分）１、Â与Ĉ对易，则两算符：(1)有组成完全系的共同本征函数； （2）没有组成完全系的共同本征函数； (3) 不能确定。

２、自由粒子能级的简并度为：（1）1 (2) 2 (3) 3 (4)4 3、设线性谐振子处于0113()()()22x x x ψψψ=+描述的状态时，则该态中能量的平均值为（1）0 ; （2）75ω (3)52ω； （4）5ω 4、两个能量本征值相同的定态，它们的线性组合（1）一定是定态 ; （2）不是定态 (3) 不能确定5、 对氢原子体系（不考虑自旋）在电偶极近似下，下列能够实现的跃迁是：(1) Ψ322→Ψ300; (2) Ψ211→Ψ100; (3) Ψ322→Ψ21-1; (4) Ψ322→Ψ200;就题目来讲，简述题中1、2题有些熟悉，知道在书中哪里，可以考。

三、简述（每小题5分，5×4＝20分）1、光电效应实验的规律2、量子力学中态的叠加原理3、希尔伯特空间4、辏力场中，偶极跃迁的选择定则第2题，厄米算符的这个证明熟悉四、推导证明题(每小题10分，10×2 ＝ 20分)1、求证在z l ˆ的本征态下0=x l 。

2、设G Fˆˆ和是厄米算符，若[]0ˆ,ˆ=G F ，证明G F ˆˆ也是厄米算府。

量子力学初步1. 设描述微观粒子运动的波函数为(),r t ψ，则ψψ*表示______________________________________；(),r t ψ须满足的条件是_______________________________；其归一化条件是_______________________________.2. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将_______________________________. (填入：增大D 2倍、增大2D 倍、增大D 倍或不变)3. 粒子在一维无限深方势阱中运动（势阱宽度为a ），其波函数为()()30x x x a a πψ=<<粒子出现的概率最大的各个位置是x = ____________________.4. 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a =0.1 nm (1 nm = 10-9 m)，电子束垂直射在单缝面上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量y p ∆= _________N·s.(普朗克常量h =6.63×10-34 J·s)5. 波长λ= 5000 Å的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量λ∆= 10-3 Å，则利用不确定关系式x p x h ∆∆≥可得光子的x 坐标的不确定量至少为_________.6. 粒子做一维运动，其波函数为()000xAxe x x x λψ-≥=≤式中λ>0，粒子出现的概率最大的位置为x = _____________.7. 量子力学中的隧道效应是指______________________________________ 这种效应是微观粒子_______________的表现.8. 一维无限深方势阱中，已知势阱宽度为a ，应用测不准关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为____________.9. 按照普朗克能量子假说，频率为ν的谐振子的能量只能为_________；而从量子力学得出，谐振子的能量只能为___________.10. 频率为ν的一维线性谐振子的量子力学解，其能量由下式给出：______________________，其中最低的量子态能量为__________，称为“零点能”.11. 根据量子力学，粒子能透入势能大于其总能量的势垒，当势垒加宽时，贯穿系数__________；当势垒变高时，贯穿系数________. (填入：变大、变小或不变)12. 写出以下算符表达式：ˆx p=__________；ˆH =__________；ˆyL =__________. 13. ˆx与ˆx p 的对易关系[]ˆˆ,x x p 等于__________. 14. 试求出一维无限深方势阱中粒子运动的波函数()()sin 1,2,3,n n xx A n a πψ==的归一化形式. 式中a 为势阱宽度.15. 利用不确定关系式x x p h ∆∆≥，估算在直径为d = 10-14 m 的核的质子最小动能的数量级.（质子的质量m =1.67×10-27 kg ， 普朗克常量h =6.63×10-34 J·s ）16. 已知粒子处于宽度为a 的一维无限深方势阱中运动的波函数为(),1,2,3,n n x x n a πψ==试计算n =1时，在x 1=a /4 → x 2=3a /4 区间找到粒子的概率.17. 一维无限深方势阱中的粒子，其波函数在边界处为零，这种定态物质波相当于两段固定的弦中的驻波，因而势阱的宽度a 必须等于德布罗意波半波长的整数倍。

量子力学习题答案1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ⨯），故： 2e E P /(2)=μ69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm--λ====⨯=⨯= 1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。

解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为J 102.07K 1K J 10381.1232323123---⨯=⨯⋅⨯⨯==kT E 于是有一维谐振子处于22/2()xx Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求：1.归一化系数；2.动能平均值。

（22x e dx /∞-α-∞=α⎰）解：1.由归一化条件可知：22*2x(x)(x)dx A e dx1A/1∞∞-α-∞-∞ψψ===α=⎰⎰取相因子为零，则归一化系数1/21/4A/=απ2.2222222222222222222*2x /2x/2222x /2x /222x/22x /22222x 2x /222242x 2T (x)T (x)dx Ae(P /2)e dxd A e()e dx 2dxdA e (xe )dx 2dxA {xe(xe)dx}2A x edx A 22∞∞-α-α-∞-∞∞-α-α-∞∞-α-α-∞∞∞-α-α-∞-∞∞-α-∞=ψψ=μ=-μ=--αμ=--α--αμ=α=μμ⎰⎰⎰⎰⎰⎰＝（）＝＝2222224x 2224x x 2222222421()xd (e )21A (){xe e dx}221A A ()242∞-α-∞∞∞-α-α-∞-∞α-α=α---μαππααα--μμα⎰⎰若α，则该态为谐振子的基态，T 4ω=解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是非常方便的。

第四章力学量用算符表达与表象变换1 14.1 ）设A 与B 为厄米算符，则—AB BA 和 AB 一 BA 也是厄米算符。

由此证明，任何一个算符2 2i分解为F =F . • iFF 与F_均为厄米算符，且证：i)1AB BA1 -AB BA 为厄米算符。

1 1 1二—B A - A B 二 丄 BA - AB 二丄 AB - BA -2i 2i 2i二1（AB - BA ）也为厄米算符。

iii ）令 F 二 AB ，则 F 二 AB = B A ；= BA ,由i ） ,ii ）得F . = F , F_ = F_，即卩F 和F_皆为厄米算符。

则由（1）式，不难解得F iF4.2）设F （x, p ）是x, p 的整函数，证明整函数是指F(X, p)可以展开成F(X,p) = v C mn X m p n 。

m,n =0证： (1)先证 p,x m L -mi x m 4, X, p n]二 ni pn/。

p,xm ] =x m4 lp,x 「p, x m4 xi x m4 x m ^ ip,xk p,x m Q x 2 --2i x m4 x m ： b, x 殳2 b,x m ； x 3=-3i x m4 ■ 'p,x m ^x 3 二… =-m -1i 乂心■ b,x m —z x m _ --m -1 i x m4 -i x m J 二 mi x m4同理，F 均可1 ^2i F -F1F =2 F F ,1 11 B A A B BA AB AB BAii)扌 AB 一 BA 且定义F T F「F(1)'p,F:xX, p n .1 - p n二X, p Z- X, p n J Ip=i*p n' + p n~ IX, p】p + X, p n~ 】p2= 2i%n」+ k, p n，】p 2=n卷p n」现在，Ip,F ]= |P, hC mn X”=送C mn b,X m Ip"Q QC mn -mi x mJ p nm,n兰:F 7而-i ——C mn -mi x mJ p n。

广东海洋大学 2014 ——2015 学年第一学期《 量子力学 》课程试题1课程号：√ 考试 √ A 卷 √ 闭卷 □ 考查□ B 卷□ 开卷一、填空题（每小题4 分，共40分） 1. 波粒。

2．E=h ν, p=/h λ 。

3．粒子在x —dx 范围内的几率。

4．厄米。

5．[],x p i = 。

6．本征值 。

7．t E i n n ex t x -=)(),(ϕψ。

8．实数，相互正交。

9．),(ϕθm l Y 。

10．dx et x px i ⎰+∞∞--ψ),(。

二、证明题（每小题10分，共20分）1.（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：班级：姓名：学号：试题共页加白纸 2张密封线GDOU-B-11-302z y x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z xy z y x p x p z p z p y L L --=2.（10分）证明在定态中，概率流密度与时间无关。

证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m2i )(m 2i J e)r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i **Et i Et i **Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，可见t J 与无关。

三、计算题（共40分）]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x p i y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =1．（10分）在0 K 附近，钠的价电子动能约为3 eV,求其德布罗意波长。