华中师范大学量子力学考试题

量子力学导论考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学中，波函数的模平方代表什么？A. 粒子的动量B. 粒子的位置C. 粒子的概率密度D. 粒子的能量2. 海森堡不确定性原理中，哪两个物理量不能同时准确测量？A. 位置和动量B. 能量和时间C. 电荷和质量D. 速度和加速度3. 薛定谔方程是量子力学的哪个基本方程？A. 描述粒子运动的方程B. 描述粒子能量的方程C. 描述粒子自旋的方程D. 描述粒子相互作用的方程4. 以下哪个不是量子力学中的守恒定律？A. 能量守恒B. 动量守恒C. 角动量守恒D. 电荷守恒5. 量子力学中的“量子”一词意味着什么？A. 一个基本粒子B. 一个基本的物理量C. 一个离散的量D. 一个连续的量6. 波粒二象性是量子力学中的一个基本概念，它指的是什么？A. 粒子同时具有波和粒子的特性B. 粒子只能表现为波或粒子C. 粒子在宏观尺度下表现为波，在微观尺度下表现为粒子D. 粒子在宏观尺度下表现为粒子，在微观尺度下表现为波7. 量子纠缠是什么现象？A. 两个或多个粒子之间存在一种特殊的相互作用B. 两个或多个粒子的波函数是相互独立的C. 两个或多个粒子的波函数是相互关联的D. 两个或多个粒子的动量是相互关联的8. 量子隧道效应是指什么？A. 粒子在没有足够能量的情况下也能通过势垒B. 粒子在有足够能量的情况下不能通过势垒C. 粒子在有足够能量的情况下更容易通过势垒D. 粒子在没有足够能量的情况下不能通过势垒9. 以下哪个实验验证了量子力学的波粒二象性？A. 光电效应实验B. 双缝实验C. 康普顿散射实验D. 光电效应实验和康普顿散射实验10. 量子力学中的“叠加态”指的是什么？A. 粒子同时处于多个状态B. 粒子只处于一个状态C. 粒子的状态是随机的D. 粒子的状态是确定的二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述量子力学中的波函数坍缩概念。

2. 解释什么是量子力学的测量问题。

《量子力学》基本概念考查题目以及答案1. 量子力学中，粒子的状态由什么描述？A. 位置B. 动量C. 波函数D. 能量答案：C2. 海森堡不确定性原理表明了什么？A. 粒子的位置和动量可以同时准确知道B. 粒子的位置和动量不能同时准确知道C. 粒子的速度和动量可以同时准确知道D. 粒子的位置和能量可以同时准确知道答案：B3. 量子纠缠是指什么？A. 两个粒子之间的经典相互作用B. 两个粒子之间的量子相互作用C. 两个粒子的量子态不能独立于彼此描述D. 两个粒子的量子态可以独立于彼此描述答案：C4. 在量子力学中，一个粒子通过一个势垒的隧穿概率是由什么决定的？A. 粒子的能量B. 势垒的宽度C. 势垒的高度D. 所有以上因素答案：D5. 量子力学的基本方程是什么？A. 牛顿第二定律B. 麦克斯韦方程组C. 薛定谔方程D. 热力学第二定律答案：C6. 在量子力学中，一个系统的波函数坍缩通常发生在什么情况下？A. 当系统处于叠加态时B. 当系统被测量时C. 当系统与环境相互作用时D. B 和 C答案：D7. 量子力学中的泡利不相容原理指出，一个原子中的两个电子不能具有完全相同的一组量子数，这主要影响什么？A. 电子的质量B. 电子的自旋C. 电子的能级D. 电子的电荷答案：C8. 量子退相干是什么？A. 量子态的相干性增强的过程B. 量子态的相干性丧失的过程C. 量子态的叠加态减少的过程D. 量子态的不确定性减少的过程答案：B9. 在量子力学中，哪个原理说明了全同粒子不能被区分？A. 泡利不相容原理B. 量子叠加原理C. 量子不确定性原理D. 量子对称性原理答案：D10. 量子力学中的“观测者效应”指的是什么？A. 观测者的存在改变了被观测系统的状态B. 观测者的存在增强了被观测系统的能量C. 观测者的存在减小了被观测系统的不确定性D. 观测者的存在导致了被观测系统的量子坍缩答案：A11. 在量子力学中，一个粒子的波函数通常是复数还是实数？A. 实数B. 复数C. 整数D. 可以是复数也可以是实数答案：B12. 量子力学中的“粒子-波动二象性”指的是什么？A. 粒子有时表现为波动，有时表现为粒子B. 粒子和波动是两种完全不同的实体C. 粒子和波动是同一种实体的不同表现形式D. 粒子的存在需要波动作为媒介答案：C13. 在量子力学中，一个粒子的动量和位置可以同时被准确测量吗？A. 是的，可以同时准确测量B. 不可以，这受到海森堡不确定性原理的限制C. 只有在特定条件下可以D. 只有使用特殊仪器才可以答案：B14. 量子力学中的“超定性”是指什么？A. 系统的状态由多个波函数描述B. 系统的多个性质可以独立测量C. 系统的波函数可以有多个解D. 系统的多个状态可以共存答案：A15. 在量子力学中，一个粒子的自旋是什么？A. 粒子旋转的速度B. 粒子的量子态的一个内在属性C. 粒子的角动量D. 粒子的动能答案：B16. 量子力学中的“测量问题”指的是什么？A. 如何测量量子系统的尺寸B. 如何测量量子系统的动量C. 测量过程如何影响量子系统的状态D. 测量结果的统计性质答案：C17. 量子力学中的“波函数坍缩”是指什么？A. 波函数在空间中的扩散B. 波函数在时间中的演化C. 波函数从叠加态突然转变为某个特定的状态D. 波函数的数学表达式变得复杂答案：C18. 在量子力学中，一个系统的能量通常是量子化的，这意味着什么？A. 系统的能量可以连续变化B. 系统的能量可以是任何值C. 系统的能量只能取特定的离散值D. 系统的能量只能增加或减少特定的量答案：C19. 量子力学中的“非局域性”指的是什么？A. 量子系统的状态不能在空间中定位B. 量子系统的状态不能在时间中定位C. 量子系统的状态不受空间距离的限制D. 量子系统的状态不受时间距离的限制答案：C20. 在量子力学中，一个粒子的波函数的绝对值平方代表什么？A. 粒子的总能量B. 粒子的总动量C. 粒子在某个位置被发现的概率密度D. 粒子的电荷密度答案：C这套选择题覆盖了量子力学的多个基本概念，适合用于检验学生对量子力学基础知识的掌握情况。

量子力学期末考试题库含答案22套量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。

（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。

（4分）4、证明)??(22x x p x x p i -是厄密算符（5分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x p之间的测不准关系。

（6分）二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A，且0=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A、B ?的矩阵表示； 2、在B 表象中算符A的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。

三、（15分）设氢原子在0=t 时处于状态),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021?θ?θ?θψ-+-=Y r R Y r R Y r R r ，求1、0=t 时氢原子的E 、2L和z L ?的取值几率和平均值；2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2L ?和z L ?的取值几率和平均值。

四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出+????? ??-=C C C H000000200030001? 这里，H H H'+=)0(，C 是一个常数，1<<="">五、（10分）令y x iS S S +=+，y x iS S S -=-，分别求+S 和-S 作用于z S 的本征态???? ??=+0121和=-1021的结果，并根据所得的结果说明+S 和-S 的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：)(Et r p i Ae -?=ρρηψ2、定态：定态是能量取确定值的状态。

量子力学期末考试试卷及答案集量子力学期末试题及答案(A)选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度；C. Ψ一定是实数；D. Ψ一定不连续.3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片.4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：AA. *ψ 一定也是该方程的一个解；B. *ψ一定不是该方程的解；C. Ψ 与*ψ 一定等价；D.无任何结论.5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒.6．如果以∧l 表示角动量算符，则对易运算],[y x l l 为：BA. ih ∧zlB. ih∧z lC.i∧xl D.h∧xl7．如果算符∧A 、∧B 对易，且∧A ψ=Aψ，则：BA. ψ 一定不是∧B 的本征态；B. ψ一定是 ∧B 的本征态；C.*ψ一定是∧B 的本征态；D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态.8．如果一个力学量 ∧A 与H∧对易，则意味着∧A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化.9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒.10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23)h ω下，简并度为：BA. )1(21+N N ； B. )2)(1(21++N N ；C.N(N+1)；D.(N+1)(n+2)12．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质：CA. 自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D. z σ本征值为1.二 填空题（每题4分共24分）1．如果已知氢原子的电子能量为eV n E n 26.13-= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————.2．如果已知初始三维波函数)0,(r →ψ ，不考虑波的归一化，则粒子的动量分布函数为 )(p ϕ =——————————————，任意时刻的波函数为),(t r →ψ————————————.3．在一维势阱（或势垒） 中，在x=x 0 点波函数ψ————————（连续或不连续），它的导数'ψ————————————（连续或不连续）. 4．如果选用的函数空间基矢为n，则某波函数ψ处于n态的几率用 Dirac 符号表示为——————————，某算符∧A 在 ψ态中的平均值的表示为——————————.5．在量子力学中，波函数ψ 在算符∧Ω操作下具有对称性，含义是——————————————————————————，与 ∧Ω对应的守恒量 ∧F 一定是——————————算符.6．金属钠光谱的双线结构是————————————————————，产生的原因是————————————————————. 三计算题（40分）1．设粒子在一维无限深势阱中，该势阱为：V(x)=0,当0≤x ≤a ，V(x)=∞,当x<0或x>0, 求粒子的能量和波函数.(10分)2．设一维粒子的初态为)/()0,(0h x ip Exp x =ψ，求),(t x ψ.（10分）3．计算z σ表象变换到x σ表象的变换矩阵.（10分）4 .4个玻色子占据3个单态1ϕ ，2ϕ，3ϕ，把所有满足对称性要求的态写出来.（10分）B 卷一、（共25分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分）2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数.（4分）4、在一维情况下，求宇称算符Pˆ和坐标x 的共同本征函数.（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系.（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符Aˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在A 表象中算符Bˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S. 三、（15分）线性谐振子在0=t时处于状态)21exp(3231)0,(22x x x ααπαψ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=，其中ημωα=，求1、在0=t时体系能量的取值几率和平均值.2、0>t 时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++λλλλλλ2330322021的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项. 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的.2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称.3、全同玻色子的波函数是对称波函数.两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：[])()()()(2112212211q q q q S ϕϕϕϕφ+=4、宇称算符P ˆ和坐标x 的对易关系是：P x x P ˆ2],ˆ[-=，将其代入测不准关系知，只有当0ˆ=P x 时的状态才可能使Pˆ和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ˆ和x 的共同本征函数. 5、设Fˆ和G ˆ的对易关系kˆi F ˆG ˆG ˆF ˆ=-，k 是一个算符或普通的数.以F 、G 和k 依次表示Fˆ、G ˆ和k 在态ψ中的平均值，令 F FˆFˆ-=∆，G G ˆG ˆ-=∆， 则有4222k )G ˆ()F ˆ(≥⋅∆∆，这个关系式称为测不准关系.时间t 和能量E 之间的测不准关系为：2η≥∆⋅∆E t二、1、由于1ˆ2=A，所以算符A ˆ的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ˆ的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符Aˆ的矩阵是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001)(ˆA A 设在A 表象中算符Bˆ的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211)(ˆb b b b A B ，利用0ˆˆˆˆ=+A B B A 得：02211==b b ；由于1ˆ2=B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b 10012212112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b ，21121b b =∴；由于B ˆ是厄密算符，B B ˆˆ=+，∴⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0101212b b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*12*12b b *12121b b =∴令δi e b =12，（δ为任意实常数）得B ˆ在A 表象中的矩阵表示式为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-00)(ˆδδi i e e A B2、在A 表象中算符Bˆ的本征方程为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλβαδδ00i i e e即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλαβδδi i e e ⇒ ⎩⎨⎧=-=+--00λβαβλαδδi i e e α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即=---λλδδi i e e ⇒ 012=-λ 1±=∴λ对1=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+121δϕi Be ，对1-=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-121δϕi B e所以，在A 表象中算符Bˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121δi e3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符Bˆ在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121δδi i e e S三、解：1、0=t的情况：已知线谐振子的能量本征解为：ωη)21(+=n E n )2,1,0(Λ=n ， )()exp(!2)(22x H x n x n nn ααπαϕ-=当1,0=n时有：)exp()(220x x απαϕ-=，)exp()(2)(221x x x ααπαϕ-=于是0=t 时的波函数可写成：)(32)(31)0,(10x x x ϕϕψ-=，容易验证它是归一化的波函数，于是0=t 时的能量取值几率为：31)0,21(0==ωηE W ，32)0,23(1==ωηE W ，能量取其他值的几率皆为零.能量的平均值为：ωη67323110=+=E E E2、 0>t 时体系波函数)23exp()(32)2exp()(31),(10t ix t i x t x ωϕωϕψ---=显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故0>t 时体系能量的取值几率和平均值与0=t 的结果完全相同.四、解：将矩阵改写成：='+=H H H ˆˆˆ0⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλλλ23032020300020001能量的零级近似为：1)0(1=E ，2)0(2=E ，3)0(3=E 能量的一级修正为：0)1(1=E ，λ=)1(2E ，λ2)1(3=E 能量的二级修正为：2)0(3)0(1213)0(2)0(1212)2(14λ-=-'+-'=EEH EEH E ，222)0(3)0(2223)0(1)0(2221)2(2594λλλ-=-=-'+-'=EEH EEH E ，2)0(2)0(3232)0(1)0(3231)2(39λ=-'+-'=EEH EEH E所以体系近似到二级的能量为：2141λ-≈E ，2252λλ-+≈E ，23923λλ++≈E先求出0ˆH 属于本征值1、2和3的本征函数分别为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001)0(1ϕ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010)0(2ϕ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100)0(3ϕ，利用波函数的一级修正公式)0()0()0()1(ii k ik ki k E E H ϕϕ-'=∑≠，可求出波函数的一级修正为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0102)1(1λϕ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=302)1(2λϕ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0103)1(3λϕ近似到一级的波函数为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈0211λϕ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈λλϕ3122，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈1303λϕ 五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数.以i q 表示第i )3,2,1(=i 个粒子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：（1）)()()(312111)1(q q q s φφφϕ=；（2）)()()(322212)2(q q q s φφφϕ= （3）[)()()()()()()()()(311221312211322111)3(q q q q q q q q q C s φφφφφφφφφϕ++=； （4）=)4(s ϕ])()()()()()()()()([113222322112312212q q q q q q q q q C φφφφφφφφφ++一、（20分）已知氢原子在0=t 时处于状态21310112(,,0)()()()010333x x x x ψϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中，)(x nϕ为该氢原子的第n 个能量本征态.求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出0>t 时的波函数.解 已知氢原子的本征值为42212n e E n μ=-h ，Λ,3,2,1=n （1）将0=t时的波函数写成矩阵形式()()()23113(,0)23x x x x ϕψϕ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭ （2） 利用归一化条件()()()()()()232***23112211233d 3332312479999x x c x x x x x c cϕϕϕϕ∞-∞⎛⎫+ ⎪⎛⎫ ⎪+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎛⎫=++= ⎪⎝⎭⎰ （3）于是，归一化后的波函数为()()()()()()23231113(,0)23x x x x x x x ϕψϕ⎫⎫+⎪+⎪⎪⎪==⎪⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （4）能量的可能取值为123,,E E E ，相应的取值几率为()()()123412,0;,0;,0777W E W E W E ===（5） 能量平均值为()123442241207774111211612717479504E E E E e e μμ=++=⎡⎤-⨯+⨯+⨯=-⎢⎥⎣⎦h h （6）自旋z 分量的可能取值为,22-h h，相应的取值几率为1234,0;,0277727z z W s W s ⎛⎫⎛⎫==+==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭h h （7） 自旋z 分量的平均值为()340727214z s ⎛⎫=⨯+⨯-=-⎪⎝⎭h h h（8）0>t时的波函数()()()223311i i exp exp (,)i exp x E t x E t x t x E t ψ⎫⎡⎤⎡⎤-+-⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪= ⎪⎡⎤ ⎪- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭h h h （9）二. （20分） 质量为m的粒子在如下一维势阱中运动()00>V()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x ax V x x V ,00 ,0.0若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a .解 对于0<<-E V 的情况，三个区域中的波函数分别为()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+==x B x kx A x x αψδψψexp sin 0321 （1）其中，ηηE m V E m k 2 ;)(20=+=α （2）利用波函数再0=x处的连接条件知，πδn =，Λ,2,1,0=n .在a x=处，利用波函数及其一阶导数连续的条件()()()()a a a a '3'232ψψψψ== （3） 得到()()()()a B n ka Ak a B n ka A ααπαπ--=+-=+ex p cos ex p sin （4）于是有()αkka -=tan （5）此即能量满足的超越方程.当12E V =-时，由于1tan 000-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ηηηmV mV a mV （6）故4ππ-=n a mV η()Λ,3,2,1=n （7）最后得到势阱的宽度0 41mV n a ηπ⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （8）三、（20分） 证明如下关系式（1）任意角动量算符ˆj r 满足 ˆˆˆi j j j ⨯=r r r h .证明 对x 分量有()ˆˆˆˆˆˆˆ=i y z z y xxj j j j j j j ⨯=-r r h同理可知，对y 与z 分量亦有相应的结果，故欲证之式成立.投影算符ˆn pn n =是一个厄米算符，其中，{}n 是任意正交归一的完备本征函数系.证明在任意的两个状态ψ与ϕ之下，投影算符ˆn p的矩阵元为ˆn pn n ψϕψϕ=而投影算符ˆn p的共軛算符ˆnp+的矩阵元为±{*****ˆˆˆn n n p p p n n n n n n ψϕψϕϕψϕψϕψψϕ+⎡⎤===⎣⎦=⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦显然，两者的矩阵元是相同的，由ψ与ϕ的任意性可知投影算符ˆn p是厄米算符. 利用()()()*''kkkx x x x ψψδ=-∑证明()()ˆˆx mk x mn kn kxpx p =∑，其中，(){}kx ψ为任意正交归一完备本征函数系. 证明()()()()()()()()()()()()()()()()()()'''**''*'''*'*''*'*''ˆˆd ˆd d ˆd d ˆd d ˆd d ˆx m x n mn mx n mn x m k k n x kmkknxkmkxknkxp x x xpx x x x x x x px x x x x x x px x x x x x x px x x x x x x px x pψψψδψψδψψψψψψψψψ∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞==-=-===⎰⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∑四、（20分） 在2L 与z L表象中，在轨道角动量量子数1l=的子空间中，分别计算算符ˆx L 、ˆy L 与ˆz L 的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢.解 在2L 与z L 表象下，当轨道角动量量子数1l =时，1,0,1m =-，显然，算符ˆx L 、ˆy L 与ˆz L 皆为三维矩阵.由于在自身表象中，故ˆzL是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有100ˆ000001z L ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭ （1） 相应的本征解为1011; 0000; 100; 01z z z L L L ψψψ-⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪=-= ⎪⎪⎝⎭h h （2）对于算符ˆx L 、ˆy L 而言，需要用到升降算符，即()()1ˆˆˆ21ˆˆˆ2i x y L L L L L L +-+-=+=- （3）而ˆ,1L lm m ±=± （4）当1,1,0,1l m ==-时，显然，算符ˆx L 、ˆy L 的对角元皆为零，并且，ˆˆ1,11,11,11,10ˆˆ1,11,11,11,10x yx yL L L L -=-=-=-= （5）只有当量子数m 相差1±时矩阵元才不为零，即ˆˆˆˆ1,11,01,01,11,01,11,11,0ˆˆ1,01,11,11,0ˆˆ1,11,01,01,1x x x xy yy yL L L L L L L L -=-===-==-== （6）于是得到算符ˆx L、ˆyL 的矩阵形式如下0100i 0ˆˆ101; i 0i 0100i 0x y L L -⎛⎫⎛⎫⎪⎪==-⎪⎪⎪⎪⎭⎭ （7） yL ˆ满足的本征方程为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--321321 0ii 0i 0i 02c c c c c c λη （8）相应的久期方程为2i 02i 2i 02i =-----λλληηηη （9）将其化为023=-λλη（10）得到三个本征值分别为ηη-===321;0 ;λλλ （11）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=i 2i 21 ;10121 ;i 2i 21321ψψψ （12） ˆx L 满足的本征方程为112233010101 010c c c c c c λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （13）相应的久期方程为0λ-= （14）将其化为023=-λλη （15） 得到三个本征值分别为ηη-===321;0 ;λλλ （16）将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为12311111; 0; 22111ψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎭⎝⎭⎝⎭ （17） 五、（20分） 由两个质量皆为μ、角频率皆为ω的线谐振子构成的体系，加上微扰项21 ˆx x W λ-=（21,xx 分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正. 提示： 线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+-1,1,2121n m n m n n n x m δδα式中，ημωα=. 解 体系的哈密顿算符为W H H ˆˆˆ0+= （1）其中()()212221222210 ˆ21ˆˆ21ˆx x Wx x p p H λμωμ-=+++= （2）已知0ˆH 的解为()()()()2121021,1x x x x n E n n n n ϕϕψωα=+=η （3）其中n fn n n ,,3,2,1,2,1,0,,21ΛΛ==α （4）将前三个能量与波函数具体写出来()()()()()()()()()()()()00001020111011212110202212102220122231112; 2, 3, E x x E x x x x E x x x x x x ωψϕϕωψϕϕψϕϕωψϕϕψϕϕψϕϕ=========h h h （5）对于基态而言，021===n n n ，10=f ，体系无简并.利用公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+-1,1,2121n m n m n m n n x δδαϕϕ （6）可知()0ˆ0010==ψψW E()∑∑≠=-=01000020ˆˆn f nn n nE E W W E αααψψψψ （7）显然，求和号中不为零的矩阵元只有2232302ˆˆαλψψψψ-==W W （8）于是得到基态能量的二级修正为()32242020020841ωμλαλη-=-=E E E （9）第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为()()()123332312312222113121211=---E W W W W E W W W WE W （10）其中1122331221133123320W W W W W W W W W =========（11）将上式代入（10）式得到()()121200E E --= （12）整理之，()12E 满足()()()23112240E E λα-+= （13）于是得到第二激发态能量的一级修正为()()()21231222121 ;0 ;αλαλ==-=E E E （14）1. 微观粒子具有 波粒 二象性.2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为： E=hν, p=/h λ . 3．根据波函数的统计解释，dxt x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 .4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示.5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符xp 的对易关系为：[],x p i =h .6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符F ˆ的本征值 .7．定态波函数的形式为： t E i n n ex t x η-=)(),(ϕψ.8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 .9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _.10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2η±.1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[η=]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)(ηη+-=ˆˆ2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：在空间闭区域τ中将上式积分，则有：1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率.解：在此状态中，氢原子能量有确定值22222282ηηs s e n e E μμ-=-=)2(=n ，几率为1角动量平方有确定值为2222)1(ηηλλ=+=L)1(=λ，几率为1角动量Z 分量的可能值为2|),(|),(),(),(t r t r t r t r ρρρρψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂h r r rh 0=•∇+∂∂J tρω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μηρi J 22[](1)2i V t μ∂ψ=-∇+ψ∂h h 22[](2)2i V t μ**∂-ψ=-∇+ψ∂h h (1)(2)*ψ⨯-ψ⨯将式得：][2222****ψ∇ψ-ψ∇ψ-=ψ∂∂ψ+ψ∂∂ψμηηηt i t i ][22ψ∇ψ-ψ∇ψ•∇=ψψ∂∂***μηη）（t i τμτττd d dt d i ][22ψ∇ψ-ψ∇ψ•∇=ψψ***⎰⎰ηη）（τμτττd i d dt d ][2ψ∇ψ-ψ∇ψ•∇-=ψψ***⎰⎰η）（ττωττd J d t r dtdρρ•∇-=⎰⎰),(0=•∇+∂∂J tρω01=Z L η-=2Z L其相应的几率分别为41， 432、（10分）求角动量z 分量 的本征值和本征函数.解：波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即：求归一化系数最后，得 L z 的本征函数3、（20分）某量子体系Hamilton量的矩阵形式为：设c << 1，应用微扰论求H 本征值到二级近似.解：c << 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：H 0 是对角矩阵，是Hamilton H 0在自身表象中的形式.所以能量的 0 级近似为：E 1(0)= 1 E 2(0)= 3⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c c c H H 0000002000300010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2000301c c cH ˆzd L i d φ=-h ππφφψππ2112||2202220=→===⎰⎰c c d c d Λη,2,1,021)(±±=⎪⎩⎪⎨⎧==m e m l im m z φπφψ归一化系数。

一、 波函数及薛定谔方程1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;()(),,w r t J r t o t∂+∇•=∂解答：由波函数的概率波解释可知，当(),r t ψ已经归一化时，坐标的取值概率密度为()()()()2,,,,w r t r t r t r t ψψψ*== （1） 将上式的两端分别对时间t 求偏微商，得到()()()()(),,,,,w r t r t r t r t r t t t tψψψψ**∂∂∂=+∂∂∂ （2） 若位势为实数，即()()V r V r *=，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m h ψψψ∂=∇-∂ （3）()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m hψψψ***∂=-∇+∂ （4） 将上述两式代入（2）式，得到()()()()()22,,,,,2r t ih r t r t r t r t t mψψψψψ**∂⎡⎤=∇-∇⎣⎦∂ ()()()(),,,,2ihr t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇•∇-∇⎣⎦ （5） 若令()()()()(),,,,,2ih J r t r t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇-∇⎣⎦ （6） 有()(),,0w r t J r t t∂+∇•=∂ （7） 此即概率（粒子数）守恒的微分表达式。

2.若线性谐振子处于第一激发态()2211exp 2x C x α⎛⎫ψ=- ⎪⎝⎭求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数0α>。

解答：欲求取值概率必须先将波函数归一化，由波函数的归一化条件可知()()222221exp 1x dx Cx x dx ψα∞∞-∞-∞=-=⎰⎰（1）利用积分公示())2221121!!exp 2n n n n x x dx αα∞++--=⎰ （2） 可以得到归一化常数为C = （3）坐标的取值概率密度为 ()()()322221exp w x x x x ψα==- （4）由坐标概率密度取极值的条件())()3232222exp 0d w x x x x dx αα=--= （5） 知()w x 有五个极值点，它们分别是 10,,x α=±±∞（6）为了确定极大值，需要计算()w x 的二阶导数()()()232222322226222exp d w x x x x x x dx αααα⎤=----⎦)()32244222104exp x x x ααα=-+- （7）于是有()23200x d w x dx ==> 取极小值 （8）()220x d w x dx =±∞= 取极小值 （9）()23120x d w x dx α=±=< 取极大值 （10）最后得到坐标概率密度的最大值为2111w x x ψαα⎛⎫⎛⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（11）3.半壁无限高势垒的位势为()()()()000x v x x a v x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求粒子能量E 在00E v <<范围内的解。

(),x t 是归一化的波函数，()2,x t dx 表示 t 时刻k G ≥5/9 。

证明电子具有自旋的实验是 钠黄线的精细结构院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号：------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 1 页(共 4 页),,,n ψ是体系n n C ψ+++（其中1,,,,n C C C 为复常数）也是体系的一个可2(mn mn r ρω20mn r =，导致跃迁概率为零，20mn r ≠，就得到选择5. 分波法的基本思想。

------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 2 页(共 4 页)0rr dr +球壳内发现电子的概率（利用球函数的归一性，径向波函数是实函数）22π------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 3 页(共 4 页)μω，求粒子出12ω，转折点μω，经典禁区为,μωμω⎫⎛⎫++∞⎪ ⎪⎪ ⎪和。

华中师范大学 2004 –2005 学年第二学期期末考试试卷（B 卷）课程名称 量子力学 课程编号 50112200 任课教师 贾亚一、计算题：（共4题，1题20分，2题15分3题15分，4题20分）1． 在zS ˆ表象中，求自旋算符S ˆ在}cos ,cos ,{cos γβα=n 方向投影算符γβαcos ˆcos ˆcos ˆˆˆz y x n S S S n S S ++=⋅= 的本征值和相应的本征态。

解：在z S ˆ表象中nS ˆ的矩阵表示为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=γβαβαγcos cos cos cos cos cos 2ˆi i S n（1）则nS ˆ的本征方程为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a b a i i λγβαβαγcos cos cos cos cos cos（2）a 、b 不全为零的条件是久期方程)(cos cos cos cos cos cos =+-+--λγβαβαλγi i（3） 解之得1cos cos cos 2222=++=γβαλ，1±=λ（4）故，n S ˆ的本征值为 2±=n S将本征值代入（2）式，可得2 =n S 时的本征函数为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=+1cos 1cos cos 2cos 1γβαγψi ； 2 -=n S 时的本征函数为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+=-1cos 1cos cos 2cos 1γβαγψi 。

2．质量为μ的粒子束被球壳δ势场散射，)()(0a r V r V -=δ，在高能近似下，用玻恩近似计算散射振幅和微分截面。

解：散射振幅的玻恩近似公式为q r d r r rV q f sin )(2)(02⎰∞-= μθ（1） 其中2sin2θk q =，θ为散射角。

利用δ函数的积分性质，由（1）式可得2s i n2)2s i n 2s i n (2s i n 2)(22020θθμμθka ka a V qa a V f ⋅-=-= （2） 微分截面为qa qa V f 24422022sin 4)()( μθθσ==在高能近似下：1>>ka ，有1>>θka ，)2sin 2sin(θka 随θ变化而迅速振荡，其平方可按21对待。

一、填空题（共10题，每题2分，共20分）1. 若某种光的波长为λ，则其光子的能量为 ，动量大小为 。

2. 戴维逊—革末实验主要表现出电子具有 。

3. 若(),x t ψ是归一化的波函数，则()2,x t dx ψ表示4. 设力学量算符ˆF 与ˆG 不对易，且其对易子为ˆˆˆ,F G ik ⎡⎤=⎣⎦，则它们的不确定性关系为 。

5. 厄米算符在自身表象是 矩阵。

6. 从量子力学的观点看，氢原子中核外电子的运动不再是圆轨道上的运动，而是电子云的图像，电子云是 ；7. 设氢原子处于态()211021112,,()(,)()(,)3r R r Y r Y ψθϕθϕθϕ-=，求氢原子的角动量z 分量的平均值8. 证明电子具有自旋的实验是 。

9. 两个角动量1211, 2j j ==耦合的总角动量J = 10.共振跃迁意思是 。

共振跃迁意思是 当周期性微扰的频率不等于两能级间的玻尔频率时，即mn ωω≠±时，跃迁概率不大；当mn ωω=±时，即吸收过程和辐射过程，其跃迁概率随时间而增大，称为共振跃迁。

二、判断题（共10题，每题1分，共10分）1. 光电效应证实了光的粒子性，康普顿效应进一步证实了光的粒子性。

2. 若12,,,,n ψψψ是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加1122n n C C C ψψψψ=++++（其中12,,,,n C C C 为复常数）也是体系的一个可能状态。

3. 不同定态的线性叠加还是定态。

4. 因为坐标与动量算符均是厄米算符，所以它们的乘积一定是厄米算符。

5. 若两个力学量算符不对易，则它们一般没有共同本征态。

6. 粒子在中心力场中运动，若角动量L z 是守恒量，那么L x 就不是守恒量。

7. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，则粒子的波函数一定具有确定的宇称。

8. 费米子体系的哈密顿算符Hˆ必须是交换反对称的，波色子体系的哈密顿算符Hˆ必须是交换对称的。

量子力学试题及答案一、选择题1. 量子力学中，描述一个量子态最基本的方法是（）。

A. 波函数B. 哈密顿算符C. 薛定谔方程D. 路径积分答案：A2. 海森堡不确定性原理表明，粒子的（）和（）不能同时被精确测量。

A. 位置，速度B. 能量，时间C. 动量，位置D. 时间，动量答案：C3. 波函数的绝对值平方代表的是（）。

A. 粒子的速度B. 粒子的能量C. 粒子在某一位置出现的概率密度D. 粒子的动量答案：C4. 薛定谔方程是一个（）。

A. 线性偏微分方程B. 非线性偏微分方程C. 线性常微分方程D. 非线性常微分方程答案：A5. 在量子力学中，泡利不相容原理指的是（）。

A. 两个费米子不能处于同一个量子态B. 两个玻色子不能处于同一个量子态C. 所有粒子都不能处于同一个量子态D. 所有粒子都必须处于同一个量子态答案：A二、填空题1. 在量子力学中，一个粒子的波函数必须满足__________方程，才能保证波函数的归一化条件。

答案：连续性2. 量子力学的基本原理之一是观测者效应，即观测过程会影响被观测的__________。

答案：系统3. 量子纠缠是量子力学中的一种现象，其中两个或多个粒子的量子态以某种方式相互关联，以至于一个粒子的状态立即影响另一个粒子的状态，这种现象被称为__________。

答案：非局域性三、简答题1. 请简述德布罗意假说的内容及其对量子力学的贡献。

德布罗意假说提出了物质波的概念，即所有物质都具有波粒二象性。

这一假说不仅解释了电子衍射实验的现象，而且为量子力学的发展奠定了基础，使得物理学家开始将波动性质引入到粒子的描述中，从而推动了波函数理论的发展。

2. 什么是量子隧穿效应？请给出一个实际应用的例子。

量子隧穿效应是指粒子在遇到一个能量势垒时，即使其能量低于势垒高度，也有可能穿透势垒出现在另一侧的现象。

这一效应是量子力学中特有的，与经典物理学预测的结果不同。

一个实际应用的例子是半导体器件中的隧道二极管，它利用量子隧穿效应来实现电流的传导，具有非常快的开关速度和低功耗的特性。

30道量子力学知识选择题和答案1. 关于量子态，以下说法正确的是（）A. 量子态是可连续变化的B. 量子态是离散的答案：B2. 量子叠加原理是指（）A. 多个量子态可以同时存在B. 量子态只能有一个答案：A3. 量子纠缠现象说明了（）A. 量子之间存在相互作用B. 量子之间存在非定域性关联答案：B4. 在量子力学中，测量会导致（）A. 量子态的改变B. 量子态的保持不变答案：A5. 关于波函数，以下说法正确的是（）A. 描述了量子系统的状态B. 是一个实数函数答案：A6. 海森堡不确定性原理涉及到哪两个物理量的不确定性（）A. 位置和动量B. 能量和时间答案：A7. 量子力学中的算符表示（）A. 物理量B. 对量子态的操作答案：B8. 泡利不相容原理适用于（）A. 电子B. 所有费米子答案：B9. 以下哪种现象与量子力学有关（）A. 黑体辐射B. 光电效应答案：B10. 在量子力学中，能量的量子化表现为（）A. 能量只能取特定的值B. 能量可以连续变化答案：A11. 关于量子隧道效应，以下说法正确的是（）A. 粒子可以穿过势垒B. 粒子不能穿过势垒答案：A12. 量子力学中的可观测量对应的是（）A. 厄米算符B. 非厄米算符答案：A13. 狄拉克方程描述的是（）A. 电子的运动B. 所有粒子的运动答案：B14. 关于量子力学的诠释，以下说法正确的是（）A. 只有一种诠释是正确的B. 有多种诠释，且都有实验支持答案：B15. 量子力学中的全同粒子（）A. 是完全相同的B. 可以区分答案：A16. 关于量子力学的基本假设，以下说法错误的是（）A. 物理量都可以用实数来描述B. 量子态的演化是确定性的答案：AB17. 量子力学中的概率幅表示（）A. 概率的大小B. 概率的相位答案：B18. 以下哪种实验验证了量子力学的基本原理（）A. 双缝干涉实验B. 迈克尔逊-莫雷实验答案：A19. 量子力学中的守恒量对应的是（）A. 不变的物理量B. 随时间变化的物理量答案：A20. 关于量子力学中的对称性，以下说法正确的是（）A. 存在多种对称性B. 对称性与物理规律无关答案：A21. 量子力学中的密度算符描述的是（）A. 量子系统的概率分布B. 量子系统的能量分布答案：A22. 以下哪种量子系统具有简并性（）A. 氢原子B. 自由粒子答案：A23. 量子力学中的散射理论主要研究（）A. 粒子的碰撞过程B. 粒子的传播过程答案：A24. 关于量子力学中的表象，以下说法正确的是（）A. 有多种表象可以选择B. 表象是唯一确定的答案：A25. 量子力学中的时间演化算符描述的是（）A. 量子态随时间的变化B. 物理量随时间的变化答案：A26. 以下哪种量子系统的能级是分立的（）A. 谐振子B. 自由电子答案：A27. 量子力学中的角动量算符具有（）A. 分立的本征值B. 连续的本征值答案：A28. 关于量子力学中的路径积分表述，以下说法正确的是（）A. 是一种量子力学的表述方式B. 与薛定谔方程等价答案：AB29. 量子力学中的对称性破缺会导致（）A. 新的物理现象B. 物理规律的改变答案：A30. 以下哪种量子系统的波函数可以用球谐函数来描述（）A. 氢原子B. 原子核答案：A。

(),x t 是归一化的波函数，()2,x t dx 表示 t 时刻⎣⎦5/9 。

证明电子具有自旋的实验是 钠黄线的精细结构院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号：------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 1 页(共 4 页)()mn F δω±。

式中,,,n ψ是体系22n n C C ψψ++++（其中1,,,,n C C C 为复常数）也是体系的一个可------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 2 页(共 4 页)r dr +球壳内发现电子的概率（利用球函数的归一性，径向波函数是实函数）20()nl w r dr =⎰2(mn mn r ρω20mn r =，导致跃迁概率为零，20mn r ≠，就得到选择------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 3 页(共 4 页)，求粒子出12ω，转折点μω，经典禁区为,μωμω⎫⎛⎫++∞⎪ ⎪⎪ ⎪和。

一、 波函数及薛定谔方程1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;()(),,w r t J r t o t∂+∇•=∂解答：由波函数的概率波解释可知，当(),r t ψ已经归一化时，坐标的取值概率密度为()()()()2,,,,w r t r t r t r t ψψψ*== （1） 将上式的两端分别对时间t 求偏微商，得到()()()()(),,,,,w r t r t r t r t r t t t tψψψψ**∂∂∂=+∂∂∂ （2） 若位势为实数，即()()V r V r *=，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m h ψψψ∂=∇-∂ （3）()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m hψψψ***∂=-∇+∂ （4） 将上述两式代入（2）式，得到()()()()()22,,,,,2r t ih r t r t r t r t t mψψψψψ**∂⎡⎤=∇-∇⎣⎦∂ ()()()(),,,,2ihr t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇•∇-∇⎣⎦ （5） 若令()()()()(),,,,,2ih J r t r t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇-∇⎣⎦ （6） 有()(),,0w r t J r t t∂+∇•=∂ （7） 此即概率（粒子数）守恒的微分表达式。

2.若线性谐振子处于第一激发态()2211exp 2x C x α⎛⎫ψ=- ⎪⎝⎭求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数0α>。

解答：欲求取值概率必须先将波函数归一化，由波函数的归一化条件可知()()222221exp 1x dx Cx x dx ψα∞∞-∞-∞=-=⎰⎰（1）利用积分公示())2221121!!exp 2n n n n x x dx αα∞++--=⎰ （2） 可以得到归一化常数为C = （3）坐标的取值概率密度为 ()()()322221exp w x x x x ψα==- （4）由坐标概率密度取极值的条件())()3232222exp 0d w x x x x dx αα=--= （5） 知()w x 有五个极值点，它们分别是 10,,x α=±±∞（6）为了确定极大值，需要计算()w x 的二阶导数()()()232222322226222exp d w x x x x x x dx αααα⎤=----⎦)()32244222104exp x x x ααα=-+- （7）于是有()23200x d w x dx ==> 取极小值 （8）()220x d w x dx =±∞= 取极小值 （9）()23120x d w x dx α=±=< 取极大值 （10）最后得到坐标概率密度的最大值为2111w x x ψαα⎛⎫⎛⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（11）3.半壁无限高势垒的位势为()()()()000x v x x a v x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求粒子能量E 在00E v <<范围内的解。