多元回归分析中常用的矩阵算法

多元线性回归的计算方法之青柳念文创作摘要在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响.例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利钱等多种因素的影响，表示在线性回归模子中的诠释变量有多个.这样的模子被称为多元线性回归模子.多元线性回归的基来历根基理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变量个数多，计算相当费事，一般在实际中应用时都要借助统计软件.这里只先容多元线性回归的一些基本问题.但由于各个自变量的单位能够纷歧样，比方说一个消费水平的关系式中，工资水平、受教导程度、职业、地区、家庭负担等等因素都会影响到消费水平，而这些影响因素（自变量）的单位显然是分歧的，因此自变量前系数的大小其实不克不及说明该因素的重要程度，更简单地来讲，同样工资收入，如果用元为单位就比用百元为单位所得的回归系数要小，但是工资水平对消费的影响程度并没有变，所以得想法子将各个自变量化到统一的单位上来.前面学到的尺度分就有这个功能，详细到这里来讲，就是将所有变量包含因变量都先转化为尺度分，再停止线性回一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来诠释因变量的变更，在现实问题研究中，因变量的变更往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来诠释因变量的变更，这就是多元回归亦称多重回归.当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所停止的回归分析就是多元性回归. 设y为因变量X1,X2…Xk为自变量，而且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模子为：Y=b0+b1x1+…+bkxk+e其中，b0为常数项X1,X2…Xk为回归系数，b1为X1,X2…Xk固定时，x1每增加一个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为X1,X2…Xk固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等.如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模子描绘为：Y=b0+b1x1+…+bkxk+e其中，b0为常数项，X1,X2…Xk为回归系数，b1为X1,X2…Xk固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即x2对y的偏回归系数，等等.如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模子描绘为：y = b0 + b1x1 + b2x2 + e建立多元性回归模子时，为了包管回归模子具有优良的诠释才能和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是：(1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈紧密亲密的线性相关；(2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的；(3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不该高于自变量与因变量之因的相关程度；(4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定.多元性回归模子的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和（Σe)为最小的前提下，用最小二乘法求解参数.以二线性回归模子为例，求解回归参数的尺度方程组为解此方程可求得b0,b1,b2的数值.亦可用下列矩阵法求得即多元线性回归分析预测法多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模子停止预测的方法.当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析.多元线性回归模子的检验多元线性回归模子与一元线性回归模子一样，在计算出回归模子之后，要对模子停止各种检验.多元线性回归模子的检验方法有：断定系数检验（R 检验），回归系数显着性检验（T检验），回归方程显着性检验（F检验）.1、断定系数检验.多元线性回归模子断定系数的定义与一元线性回归分析近似.断定系数R的计算公式为： R = R接近于1标明Y与X1， X2 ，…， Xk之间的线性关系程度紧密亲密；R接近于0标明Y与X1， X2 ，…，Xk之间的线性关系程度不紧密亲密.2、回归系数显着性检验.在多元回归分析中，回归系数显着性检验是检验模子中每一个自变量与因变量之间的线性关系是否显着.显着性检验是通过计算各回归系数的t检验值停止的.回归系数的t检验值的计算公式为：= （j = 1，2，…，k），式中是回归系数的尺度差.在多元回归模子中，某个变量回归系数的t检验没有通过，说明该变量与因变量之间不存在显着的线性相关关系，在回归分析时便可以将该变量删去，或者根据情况作适当的调整，而后用剩下的自变量再停止回归分析.3、回归方程的显着性检验.回归方程的显着性检验是检验所有自变量作为一个整体与因变量之间是否有显着的线性相关关系.显着性检验是通过F检验停止的.F检验值的计算公式是：F（k ，n－k－1）= 多元回归方程的显着性检验与一元回归方程近似，在此也不再赘述.回归方程的显着性检验未通过能够是选择自变量时遗漏了重要的影响因素，或者是自变量与因变量间的关系是非线性的，应重新建立预测模子.多元线性回归预测模子的公式多元线性回归预测模子一般公式为：多元线性回归模子中最简单的是只有两个自变量（n=2）的二元线性回归模子，其一般形式为：下面以二元线性回归分析预测法为例，说明多元线性回归分析预测法的应用.二元线性回归分析预测法，是根据两上自变量与一个因变量相关关系停止预测的方法.二元线性回归方程的公式为：式中：：因变量；x1，x2：两个分歧自变量，即与因变量有慎密接洽的影响因素.a，b1，b2：是线性回归方程的参数.a，b1，b2是通过解下列的方程组来得到.(2) 多元线性回归模子预测的精准度多元线性回归模子暗示一种地理现象与别的多种地理现象的依存关系，这时别的多种地理现象共同对一种地理现象发生影响，作为影响其分布与发展的重要因素.设变量Y与变量X1，X2，…，Xm存在着线性回归关系，它的n个样本观测值为Yj,Xj1,Xj2,…Xjm(j＝1，2，n).可采取最小二乘法对上式中的待估回归系数β0，β1，…，βm停止估计，求得β值后，即可操纵多元线性回归模子停止预测了.计算了多元线性回归方程之后，为了将它用于处理实际预测问题，还必须停止数学检验.多元线性回归分析的数学检验，包含回归方程和回归系数的显著性检验.多元线性回归模子的精度，可以操纵剩余尺度差来衡量.S越小，则用回归方程预测Y越切确；反之亦然.总结多元线性回归模子因为其操纵简单方便，预测能到达一定精准度，已经在我国的社会迷信、自然迷信的各个范畴发挥了宏大作用.该模子还可以应用于经济学、生物学、心理学、医疗卫生、体育、农业、林业、商业、金融等各个范畴.。

第四章 多元线性回归模型在一元线性回归模型中，解释变量只有一个。

但在实际问题中，影响因变量的变量可能不止一个，比如根据经济学理论，人们对某种商品的需求不仅受该商品市场价格的影响，而且受其它商品价格以及人们可支配收入水平的制约；影响劳动力劳动供给意愿（用劳动参与率度量）的因素不仅包括经济形势（用失业率度量），而且包括劳动实际工资；根据凯恩斯的流动性偏好理论，影响人们货币需求的因素不仅包括人们的收入水平，而且包括利率水平等。

当解释变量的个数由一个扩展到两个或两个以上时，一元线性回归模型就扩展为多元线性回归模型。

本章在理论分析中以二元线性回归模型为例进行。

一、预备知识（一）相关概念对于一个三变量总体，若由基础理论，变量21,x x 和变量y 之间存在因果关系，或21,x x 的变异可用来解释y 的变异。

为检验变量21,x x 和变量y 之间因果关系是否存在、度量变量21,x x 对变量y 影响的强弱与显著性、以及利用解释变量21,x x 去预测因变量y ，引入多元回归分析这一工具。

将给定i i x x 21,条件下i y 的均值i i i i i x x x x y E 2211021),|(βββ++= （4.1） 定义为总体回归函数（Population Regression Function,PRF ）。

定义),|(21i i i i x x y E y -为误差项（error term ）,记为i μ，即),|(21i i i i i x x y E y -=μ，这样i i i i i x x y E y μ+=),|(21，或i i i i x x y μβββ+++=22110 （4.2）（4.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。

其中，21,x x 称为解释变量（explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；y 称为被解释变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项μ解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。

多元回归分析原理多元回归模型可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε其中，Y是因变量，X1、X2、..、Xk是自变量，β0、β1、β2、..、βk是模型参数，ε是误差项。

1.模型假设：多元回归模型基于一系列假设，包括线性关系、常数方差、误差项具有正态分布、误差项之间相互独立等。

这些假设为模型的参数估计和统计推断提供了基础。

2.参数估计：多元回归模型的参数估计采用最小二乘估计法，即通过最小化实际观测值与模型预测值之间的残差平方和来确定参数的取值。

参数估计求解具有闭式解，可以通过矩阵运算快速得到。

3. 模型评估：建立多元回归模型后，需要对模型进行评估，判断模型的拟合程度和预测能力。

常用的评估指标包括决定系数(R-squared)、调整决定系数(adjusted R-squared)、残差分析、F检验和t检验等。

4.假设检验：在多元回归分析中，可以对回归方程中每一个自变量的系数进行显著性检验，以判断自变量是否对因变量有显著影响。

常用的假设检验方法包括F检验和t检验。

5.多重共线性：多元回归分析中常常面临多重共线性的问题，即自变量之间存在高度相关性。

多重共线性会导致参数估计不准确、系数解释困难等问题。

对于存在多重共线性的情况，可以通过变量选择、主成分分析等方法处理。

6.模型改进：如果模型表现不佳，可以通过多种方法对模型进行改进。

常用的改进方法包括变量选择、非线性变换、交互作用项加入等。

多元回归分析具有广泛的应用领域，包括经济学、金融学、社会科学、医学科学等。

它可以帮助我们理解和预测各种复杂现象，为决策提供科学依据。

然而，多元回归分析也存在一些局限性，例如对数据的要求较高、假设前提较严格、模型解释力有限等。

因此，在实际应用中要注意适当选择适合的回归模型，并且结合领域知识和实际情况进行分析和解释。

矩阵法求样本回归函数矩阵法是一种常用的统计学方法，用于求解样本回归函数。

在统计学中，回归分析是一种研究变量之间关系的方法，通过建立数学模型来描述自变量与因变量之间的关系。

矩阵法能够简化回归分析的计算过程，提高计算效率。

我们需要明确回归分析中的基本概念。

自变量是研究对象中的一个或多个特征或属性，它们的取值可以用于预测因变量的值。

因变量是自变量的取值决定的变量，它是我们希望预测或解释的变量。

通过回归分析，我们可以建立自变量与因变量之间的数学关系，从而进行预测或解释。

在应用矩阵法进行样本回归函数的求解时，我们首先需要建立一个矩阵方程。

假设我们有n个样本观测值，其中x是自变量的矩阵，y 是因变量的矩阵，β是回归系数的矩阵。

矩阵方程可以表示为：y = Xβ其中，X是一个n行k列的矩阵，每一行代表一个样本观测值的自变量取值，k是自变量的数量；y是一个n行1列的矩阵，每一行代表一个样本观测值的因变量取值；β是一个k行1列的矩阵，代表回归系数的取值。

我们的目标是通过样本数据来估计回归系数的值。

为了实现这一目标，我们需要对矩阵方程进行求解。

矩阵法的关键在于求解回归系数的最小二乘估计。

最小二乘估计是一种常用的回归系数估计方法，在矩阵法中也得到了广泛应用。

最小二乘估计的核心思想是，通过最小化实际观测值与回归方程预测值之间的差异，来得到回归系数的估计值。

具体来说，我们希望通过最小化残差平方和来求解回归系数的值。

残差是指实际观测值与回归方程预测值之间的差异，残差平方和是所有残差的平方之和。

最小二乘估计的思想是，通过调整回归系数的值，使得残差平方和最小化。

为了求解回归系数的最小二乘估计，我们可以使用矩阵运算的方法。

具体来说，我们可以通过求解以下矩阵方程来得到回归系数的估计值：X^T X β = X^T y其中，X^T表示X的转置矩阵。

通过对矩阵方程进行求解，我们可以得到回归系数的估计值。

在实际应用中，我们可以使用计算软件来进行矩阵法的计算和求解。

回归方程的相关系数公式(一)回归方程的相关系数公式在统计学中，回归分析是一种用于探索变量之间关系的方法。

回归分析可用于预测和解释因变量与一个或多个自变量之间的关系。

相关系数是回归分析中常用的指标，用于衡量自变量与因变量之间的关联程度。

下面是回归方程的相关系数公式及其解释说明。

简单线性回归的相关系数公式在简单线性回归中，只有一个自变量和一个因变量。

相关系数（也称为皮尔逊相关系数）表示自变量和因变量之间的线性关系强度。

相关系数公式如下：r=∑(x−x)(y−y)i i其中，r为相关系数，x i和y i分别表示第i个观测值的自变量和因变量值，x和y分别为自变量和因变量的均值。

多元线性回归的相关系数公式多元线性回归中，有多个自变量和一个因变量。

相关系数矩阵可以用来衡量每个自变量与因变量之间的关联程度。

相关系数矩阵公式如下：R=(X T X)−1(X T Y)其中，R为相关系数矩阵，X为自变量矩阵，Y为因变量矩阵。

示例说明假设我们想要研究某个城市的房价与以下两个因素的关系：房屋面积和距离市中心的距离。

我们收集了10个房屋的数据，如下所示：房屋编号 | 面积（平方米） | 距离市中心（公里） | 房价（万元） || | | |1 | 80 | 5 | 200 |2 | 90 | 4 | 220 |3 | 95 | 7 | 230 |4 | 100 | 6 | 250 |5 | 110 | 3 | 270 |6 | 120 | 8 | 290 |7 | 130 | 2 | 310 |8 | 140 | 9 | 330 |9 | 150 | 1 | 350 |10 | 160 | 10 | 370 |我们可以使用多元线性回归模型来分析房屋面积和距离市中心与房价之间的关系。

根据相关系数矩阵公式，我们可以计算出相关系数矩阵R：R=(X T X)−1(X T Y)其中，X是由房屋面积和距离市中心组成的自变量矩阵，Y是房价的因变量矩阵。

受约束回归在建立回归模型时，有时根据经济理论需对模型中变量的参数施加一定的约束条件。

如：0阶齐次性条件的消费需求函数1阶齐次性条件的C-D生产函数模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回归（restricted regression）;不加任何约束的回归称为无约束回归（unrestricted regression）。

受约束回归一、模型参数的线性约束二、对回归模型增加或减少解释变量三、参数的稳定性*四、非线性约束讨论：如果约束条件无效，RSSR 与RSSU的差异较大，计算的F值也较大。

于是，可用计算的F统计量的值与所给定的显著性水平下的临界值作比较，对约束条件的真实性进行检验。

注意，kU-k R恰为约束条件的个数。

合并两个时间序列为( 1,2,…，n 1，n 1+1,…，n 1+n 2)，则可写出如下无约束回归模型⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛212121μμαβX 00X Y Y 如果α=β，表示没有发生结构变化，因此可针对如下假设进行检验：H 0: α=β(*)式施加上述约束后变换为受约束回归模型(*)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛212121μμβX X Y Y （**）例中国城镇居民食品人均消费需求的邹氏检验。

1、参数稳定性检验1981~1994：)ln(92.0)ln(08.0)ln(05.163.3)ˆln(01P P X Q −−+=RSS 1=0.0032401995~2001：1ln 71.0ln 06.3ln 55.078.13ln P P X Q +−+=(9.96) (7.14) (-5.13) (1.81)1981~2001:1ln 39.1ln 14.0ln 21.100.5ln P P X Q −−+=(14.83) (27.26) (-3.24) (-11.17)在中国城镇居民人均食品消费需求例中，对零阶齐次性的检验：LR= -2(38.57-38.73)=0.32(1)＝3.84，给出α=5%、查得临界值χ20.05判断：LR< χ2(1),不拒绝原约束的假设，0.05表明:中国城镇居民对食品的人均消费需求函数满足零阶齐次性条件。

多元线性回归的计算方法之杨若古兰创作摘要在实际经济成绩中，一个变量常常受到多个变量的影响.例如，家庭花费收入，除了受家庭可安排收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种身分的影响，表示在线性回归模型中的解释变量有多个.如许的模型被称为多元线性回归模型.多元线性回归的基来源根基理和基本计算过程与一元线性回归不异，但因为自变量个数多，计算相当麻烦，普通在实际中利用时都要借助统计软件.这里只介绍多元线性回归的一些基本成绩.但因为各个自变量的单位可能纷歧样，比方说一个花费水平的关系式中，工资水平、受教育程度、职业、地区、家庭负担等等身分都会影响到花费水平，而这些影响身分（自变量）的单位明显是分歧的，是以自变量前系数的大小其实不克不及说明该身分的次要程度，更简单地来说，同样工资收入，如果用元为单位就比用百元为单位所得的回归系数要小，但是工资水平对花费的影响程度并没有变，所以得设法子将各个自变量化到统一的单位上来.前面学到的尺度分就有这个功能，具体到这里来说，就是将所有变量包含因变量都先转化为尺度分，再进行线性回归，响身分作为自变量来解释因变量的变更，这就是多元回归亦称多重回归.当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归. 设y为因变量X1,X2…Xk为自变量，而且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为：Y=b0+b1x1+…+bkxk+e其中，b0为常数项X1,X2…Xk为回归系数，b1为X1,X2…Xk固定时，x1每添加一个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为X1,X2…Xk固定时，x2每添加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等.如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相干时，可用二元线性回归模型描述为：Y=b0+b1x1+…+bkxk+e其中，b0为常数项，X1,X2…Xk为回归系数，b1为X1,X2…Xk固定时，x2每添加一个单位对y的效应，即x2对y的偏回归系数，等等.如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相干时，可用二元线性回归模型描述为：y = b0 + b1x1 + b2x2 + e建立多元性回归模型时，为了包管回归模型具有良好的解释能力和猜测后果，应首先留意自变量的选择，其原则是：(1)自变量对因变量必须有明显的影响，并呈密切的线性相干；(2)自变量与因变量之间的线性相干必须是真实的，而不是方式上的；(3)自变量之彰应具有必定的互斥性，即自变量之彰的相干程度不该高于自变量与因变量之因的相干程度；(4)自变量应具有完好的统计数据，其猜测值容易确定.多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在请求误差平方和（Σe)为最小的前提下，用最小二乘法求解参数.以二线性回归模型为例，求解回归参数的尺度方程组为解此方程可求得b0,b1,b2的数值.亦可用以下矩阵法求得即多元线性回归分析猜测法多元回归分析猜测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相干分析，建立猜测模型进行猜测的方法.当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析.多元线性回归模型的检验多元线性回归模型与一元线性回归模型一样，在计算出回归模型以后，要对模型进行各种检验.多元线性回归模型的检验方法有：判定系数检验（R 检验），回归系数光鲜明显性检验（T检验），回归方程光鲜明显性检验（F检验）.1、判定系数检验.多元线性回归模型判定系数的定义与一元线性回归分析类似.判定系数R的计算公式为： R = R接近于1标明Y与X1， X2 ，…， Xk之间的线性关系程度密切；R接近于0标明Y与X1， X2 ，…， Xk之间的线性关系程度不密切.2、回归系数光鲜明显性检验.在多元回归分析中，回归系数光鲜明显性检验是检验模型中每个自变量与因变量之间的线性关系是否光鲜明显.光鲜明显性检验是通过计算各回归系数的t检验值进行的.回归系数的t检验值的计算公式为：= （j = 1，2，…，k），式中是回归系数的尺度差.在多元回归模型中，某个变量回归系数的t检验没有通过，说明该变量与因变量之间不存在光鲜明显的线性相干关系，在回归分析时就可以将该变量删去，或者根据情况作适当的调整，而后用剩下的自变量再进行回归分析.3、回归方程的光鲜明显性检验.回归方程的光鲜明显性检验是检验所有自变量作为一个全体与因变量之间是否有光鲜明显的线性相干关系.光鲜明显性检验是通过F检验进行的.F检验值的计算公式是：F（k ，n－k－1）= 多元回归方程的光鲜明显性检验与一元回归方程类似，在此也不再赘述.回归方程的光鲜明显性检验未通过可能是选择自变量时漏掉了次要的影响身分，或者是自变量与因变量间的关系是非线性的，应从头建立猜测模型.多元线性回归猜测模型的公式多元线性回归猜测模型普通公式为：多元线性回归模型中最简单的是只要两个自变量（n=2）的二元线性回归模型，其普通方式为：上面以二元线性回归分析猜测法为例，说明多元线性回归分析猜测法的利用.二元线性回归分析猜测法，是根据两上自变量与一个因变量相干关系进行猜测的方法.二元线性回归方程的公式为：式中：：因变量；x1，x2：两个分歧自变量，即与因变量有紧密联系的影响身分.a，b1，b2：是线性回归方程的参数.a，b1，b2是通过解以下的方程组来得到.(2) 多元线性回归模型猜测的精准度多元线性回归模型暗示一种地理景象与另外多种地理景象的依存关系，这时候另外多种地理景象共同对一种地理景象发生影响，作为影响其分布与发展的次要身分.设变量Y与变量X1，X2，…，Xm存在着线性回归关系，它的n个样本观测值为Yj,Xj1,Xj2,…Xjm(j＝1，2，n).可采取最小二乘法对上式中的待估回归系数β0，β1，…，βm进行估计，求得β值后，即可利用多元线性回归模型进行猜测了.计算了多元线性回归方程以后，为了将它用于解决实际猜测成绩，还必须进行数学检验.多元线性回归分析的数学检验，包含回归方程和回归系数的明显性检验.多元线性回归模型的精度，可以利用剩余尺度差来衡量.S越小，则用回归方程猜测Y越精确；反之亦然.总结多元线性回归模型因为其操纵简单方便，猜测能到达必定精准度，曾经在我国的社会科学、天然科学的各个领域发挥了巨大感化.该模型还可以利用于经济学、生物学、心思学、医疗卫生、体育、农业、林业、商业、金融等各个领域.。

多元回归分析原理回归分析是一种处理变量的统计相关关系的一种数理统计方法。

回归分析的基本思想是: 虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系, 但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。

回归分析主要解决以下几个方面的问题:(1) 确定几个特定的变量之间是否存在相关关系, 如果存在的话, 找出它们之间合适的数学表达式;(2) 根据一个或几个变量的值, 预测或控制另一个变量的取值, 并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度;(3) 进行因素分析。

例如在对于共同影响一个变量的许多变量(因素)之间, 找出哪些是重要因素, 哪些是次要因素, 这些因素之间又有什么关系等等。

回归分析有很广泛的应用, 例如实验数据的一般处理, 经验公式的求得, 因素分析, 产品质量的控制, 气象及地震预报, 自动控制中数学模型的制定等等。

多元回归分析是研究多个变量之间关系的回归分析方法, 按因变量和自变量的数量对应关系可划分为一个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“一对多”回归分析)及多个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“多对多”回归分析), 按回归模型类型可划分为线性回归分析和非线性回归分析。

本“多元回归分析原理”是针对均匀设计3.00软件的使用而编制的, 它不是多元回归分析的全面内容, 欲了解多元回归分析的其他内容请参阅回归分析方面的书籍。

本部分内容分七个部分, §1～§4介绍“一对多”线性回归分析, 包括数学模型、回归系数估计、回归方程及回归系数的显著性检验、逐步回归分析方法。

“一对多”线性回归分析是多元回归分析的基础, “多对多”回归分析的内容与“一对多”的相应内容类似, §5介绍“多对多”线性回归的数学模型, §6介绍“多对多”回归的双重筛选逐步回归法。

§7简要介绍非线性回归分析。

§1 一对多线性回归分析的数学模型§2 回归系数的最小二乘估计§3 回归方程及回归系数的显著性检验§4 逐步回归分析§5 多对多线性回归数学模型§6 双重筛选逐步回归§7 非线性回归模型§1 一对多线性回归分析的数学模型设随机变量与个自变量存在线性关系:, (1.1)(1.1)式称为回归方程, 式中为回归系数, 为随机误差。

多元回归分析原理回归分析是一种处理变量的统计相关关系的一种数理统计方法。

回归分析的基本思想是: 虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系, 但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。

回归分析主要解决以下几个方面的问题:(1) 确定几个特定的变量之间是否存在相关关系, 如果存在的话, 找出它们之间合适的数学表达式; (2) 根据一个或几个变量的值, 预测或控制另一个变量的取值, 并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度;(3) 进行因素分析。

例如在对于共同影响一个变量的许多变量(因素)之间, 找出哪些是重要因素, 哪些是次要因素, 这些因素之间又有什么关系等等。

回归分析有很广泛的应用, 例如实验数据的一般处理, 经验公式的求得, 因素分析, 产品质量的控制, 气象及地震预报, 自动控制中数学模型的制定等等。

多元回归分析是研究多个变量之间关系的回归分析方法, 按因变量和自变量的数量对应关系可划分为一个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“一对多”回归分析)及多个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“多对多”回归分析), 按回归模型类型可划分为线性回归分析和非线性回归分析。

本“多元回归分析原理”是针对均匀设计3.00软件的使用而编制的, 它不是多元回归分析的全面内容, 欲了解多元回归分析的其他内容请参阅回归分析方面的书籍。

本部分内容分七个部分, §1～§4介绍“一对多”线性回归分析, 包括数学模型、回归系数估计、回归方程及回归系数的显著性检验、逐步回归分析方法。

“一对多”线性回归分析是多元回归分析的基础, “多对多”回归分析的内容与“一对多”的相应内容类似, §5介绍“多对多”线性回归的数学模型,§6介绍“多对多”回归的双重筛选逐步回归法。

§7简要介绍非线性回归分析。

§1 一对多线性回归分析的数学模型§2 回归系数的最小二乘估计§3 回归方程及回归系数的显著性检验§4 逐步回归分析§5 多对多线性回归数学模型§6 双重筛选逐步回归§7 非线性回归模型§1 一对多线性回归分析的数学模型设随机变量与个自变量存在线性关系:, (1.1)(1.1)式称为回归方程, 式中为回归系数,为随机误差。

二、多元线性回归模型在多要素的地理环境系统中，多个(多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。

因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。

（一）多元线性回归模型的建立假设某一因变量y 受k 个自变量k x x x ,...,,21的影响，其n 组观测值为（ka a a a x x x y ,...,,,21）,n a ,...,2,1=。

那么，多元线性回归模型的结构形式为：a ka k a a a x x x y εββββ+++++=...22110（3。

2。

11)式中:k βββ,...,1,0为待定参数； a ε为随机变量。

如果k b b b ,...,,10分别为k ββββ...,,,210的拟合值，则回归方程为ŷ=k k x b x b x b b ++++...22110（3。

2.12)式中:0b 为常数；k b b b ,...,,21称为偏回归系数。

偏回归系数i b （k i ,...,2,1=）的意义是，当其他自变量j x （i j ≠）都固定时,自变量i x 每变化一个单位而使因变量y 平均改变的数值。

根据最小二乘法原理，i β（k i ,...,2,1,0=）的估计值i b （k i ,...,2,1,0=）应该使()[]min (2)12211012→++++-=⎪⎭⎫⎝⎛-=∑∑==∧n a ka k a a a na a a xb x b x b b y y y Q （3。

2.13)有求极值的必要条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛--=∂∂∑∑=∧=∧n a ja a a jn a a a k j x y y b Q y y b Q 110),...,2,1(0202（3.2.14） 将方程组(3。

2.14）式展开整理后得： ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===================na a ka k n a ka n a ka a n a ka a n a ka n a aa k n a ka a n a a n a a a na a na aa k n a ka a n a a a n a a n a a na ak n a ka n a a n a a y x b x b x x b x x b x y x b x x b x b x x b x yx b x x b x x b x b x y b x b x b x nb 11221211101121221221121012111121211121011112121110)(...)()()(...)(...)()()()(...)()()()(...)()( （3.2。

多元回归分析法的介绍及具体应用在数量分析中，经常会看到变量与变量之间存在着一定的联系。

要了解变量之间如何发生相互影响的，就需要利用相关分析和回归分析。

回归分析的主要类型：一元线性回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲线估计、含虚拟自变量的回归分析以及逻辑回归分析等。

这里主要讲的是多元线性回归分析法。

1. 多元线性回归的定义说到多元线性回归分析前，首先介绍下医院回归线性分析，一元线性回归分析是在排除其他影响因素或假定其他影响因素确定的条件下，分析某一个因素（自变量）是如何影响另一事物（因变量）的过程，所进行的分析是比较理想化的。

其实，在现实社会生活中，任何一个事物（因变量）总是受到其他多种事物（多个自变量）的影响。

元线性回归分析讨论的回归问题只涉及了一个自变量，但在实际问题中,影响因变量的因素往往有多个。

例如，商品的需求除了受自身价格的影响外, 要受到消费者收入、其他商品的价格、消费者偏好等因素的影响；影响水果产量的外界因素有平均气温、平均日照时数、平均湿度等。

因此，在许多场合，仅仅考虑单个变量是不够的，还需要就一个因变量与多个自变量的联系来进行考察, 才能获得比较满意的结果。

这就产生了测定多因素之间相关关系的问题。

研究在线性相关条件下, 两个或两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析, 表现这一数量关系的数学公式，称为多元线性回归模型。

多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型类似，只是在计算上更为复杂，一般需借助计算机来完成。

2. 多元回归线性分析的运用具体地说，多元线性回归分析主要解决以下几方面的问题。

（1）、确定几个特定的变量之间是否存在相关关系，如果存在的话，找出它y n = 3。

中 ^Xn ^ 卩2X n2 十"+ 3 p X np 十 %们之间合适的数学表达式;（2）、根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个变量的取值，并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度;（3）、进行因素分析。