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《回归分析——基于R》 第3章 多元线性回归

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《回归分析——基于R》第3章多元线性回归

《回归分析——基于R》第3章多元线性回归

《回归分析——基于R》第3章多元线性回归多元线性回归是统计学中一种常用的方法，用于探究多个自变量与一个因变量之间的关系。

在本章中，我们将介绍多元线性回归的基本概念、假设以及实现过程，并通过R语言进行实例分析。

多元线性回归的基本概念是建立一个包含多个自变量的线性回归模型，该模型试图将自变量与因变量之间的线性关系进行拟合，并通过最小化残差平方和来寻找最佳拟合结果。

多元线性回归模型的一般形式可以表示为: Y=β0+β1*X1+β2*X2+...+βn*Xn+ε其中，Y表示因变量，X1到Xn表示自变量，β0到βn表示回归系数，ε表示误差项或残差。

回归系数表示因变量在自变量作用下的变化情况，误差项表示模型无法解释的部分。

多元线性回归的实现过程可以通过最小二乘法来求解回归系数。

首先，需要检验多元线性回归模型是否满足基本假设，包括线性关系、多元正态分布、同方差性和无自相关性。

然后，使用R语言的lm(函数来进行模型拟合，得到回归系数和其他统计指标。

最后，需要对模型进行诊断分析，检验模型的拟合程度和统计显著性等。

在R语言中，可以使用lm(函数进行多元线性回归分析。

该函数的一般用法为lm(formula, data)，其中formula表示回归模型的公式，data表示数据集。

例如，如果要进行一个基于身高和体重预测体脂率的多元线性回归分析，可以使用以下代码：```R#导入数据data <- read.csv("data.csv")#构建回归模型model <- lm(bodyfat ~ height + weight, data=data)#查看回归系数summary(model)```在实例分析中，我们使用了一个数据集，并将其中的身高和体重作为自变量，体脂率作为因变量。

通过lm(函数构建了一个多元线性回归模型，并使用summary(函数查看了回归系数的统计指标，例如t值、p值以及置信区间。

多元线性回归与相关(共30张PPT)

多元线性回归与相关(共30张PPT)


❖ 根据矩阵行列式性质，矩阵行列式的值等于
其特征根的连乘积。因此，当行列式| X'X|≈0
时，至少有一个特征根为零，反过来，可以
证明矩阵至少有一个特征根近似为零时，X的
列向量必存在多重共线性，同样也可证明 X ' X
有多少个特征根近似为零矩阵X就有多少个多
重共线性。根据条件数 K i
, m
i
其中 m为最
❖ 首先给出引入变量的显著性水平和剔除变量的显著性水平，然后 筛选变量。
回归变量的选择与逐步回归
回归变量的选择与逐步回归
❖ 逐步回归分析的实施过程是每一步都要对已引入回归方程的变量计算其 偏回归平方和（即贡献），然后选一个偏回归平方和最小的变量，在预 先给定的水平下进行显著性检验，如果显著则该变量不必从回归方程中 剔除，这时方程中其它的几个变量也都不需要剔除（因为其它的几个变 量的偏回归平方和都大于最小的一个更不需要剔除）。相反，如果不显 著，则该变量要剔除，然后按偏回归平方和由小到大地依次对方程中其 它变量进行检验。将对影响不显著的变量全部剔除，保留的都是显著的 。接着再对未引人回归方程中的变量分别计算其偏回归平方和，并选其 中偏回归平方和最大的一个变量，同样在给定水平下作显著性检验，如 果显著则将该变量引入回归方程，这一过程一直继续下去，直到在回归 方程中的变量都不能剔除而又无新变量可以引入时为止，这时逐步回归 过程结束。
多重共线性检验
❖ 检查和解决自变量之间的多重共线性，多多 元线性回归分析来说是很必要和重要的一个 步骤，常用的共线性诊断方法包括：
❖ 直观的判断方法 ❖ 方差扩大因子法(VIF) ❖ 特征根判定法
直观的判断方法
❖ 在自变量 的相关系数矩阵中，有某些自变量 的相关系数值比较大。
多元线性回归分析数据可视化的R

多元线性回归分析数据可视化的R


在数据分析中，多元线性回归是一种常见的预测和分析方法，它可以帮助我 们了解自变量和因变量之间的关系。然而，对于非专业的数据分析师来说，理解 回归结果可能比较困难。这时，数据可视化就显得尤为重要。R语言作为一种开 源的数据分析工具，被广泛用于多元线性回归分析和数据可视化。本次演示将介 绍在R语言中进行多元线性回归分析和数据可视化的基本概念、方法和实际应用 案例。
然后，我们使用summary()函数 查看回归结果。
css
summary(price_model)
3、数据可视化接下来，我们使用ggplot2包将回归结果可视化。首先，我们 创建一个散点图，以显示每辆车的功率、气缸数和马力与价格之间的关系。然后， 我们添加一个拟合线来展示回归模型的结果。
scss
多元线性回归模型可以表示为： Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3X3 + β4X4 + ε
其中，β0是截距项，β1、β2、β3和β4是自变量的系数，ε是误差项。
为了估计这个模型中的参数，我们可以使用最小二乘法。最小二乘法是一种 优化算法，它通过最小化预测值和实际值之间的平方误差来估计模型参数。
多元线性回归分析数据可视化 的R
01 理论概述
目录
02 方法与技巧
03 案例分析
04 scss
05 data(mtcars)
06 scss
07 css
目录
08 scss
09 library(ggplot2)
010 theme_minimal()
011 总结
012 参考内容
多元线性回归分析数据可视化在 R语言中的重要性和应用场景
方法与技巧
在R语言中进行多元线性回归分析和数据可视化有很多方法和技巧。下面介 绍一些常用的技巧：
多元线性回归

多元线性回归


– C p 选择法
三、自变量选择
逐步选择法：基于偏回归平方和引入或剔
除一个自变量 前进法
– 可以去掉高度相关的自变量 – 后续变量的引入可能会使先进入的变量不 显著

后退法
– 考虑了自变量的组合作用 – 自变量较多或高度相关时，结果不准确

逐步回归法
多元线性回归的应用

影响因素分析
– 筛选、比较各因素对因变量的作用
总自由度 = 总样本数- 1
方差分析表中参数的计算（续）

F值 的自由度：
分子自由度：为回归自由度（p） 分母自由度：为误差（剩余）自由度
2) 回归方程的显著性检验及评价（二）

方程的评价 – 决定系数（R2） 说明自变量能解释Y变化的百分比，说 明模型对数据拟合程度，（0,1） – 复相关系数 用来度量Y与多个自变量间的线性相 关程度。
三、自变量选择

为什么要进行变量选择
– 自变量不一定都对因变量有显著意义（将不
重要的自变量引入方程，会降低模型的精度） – 变量之间存在共线性

目的
– 尽可能将回归效果显著的自变量选入方程，
作用不显著的自变量则排除在外。
三、自变量选择
全局择优法
– 对自变量各种不同的组合建立的方程
进行比较，从全部组合中找出“最优” 的方程。 2 R – 校正决定系数 c 选择法：
2. 方程的建立
1）方程中参数的求解 采用最小二乘法原理求解正规方程组， 得到b1 ，…， bm，进一步得到b0。
200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 600 650 700 750 800 850 900 950 1000
《多元线性回归》PPT课件

《多元线性回归》PPT课件


ˆ 0.7226 0.0003 15674 103 .172 1 ˆ β ˆ 0 . 0003 1 . 35 E 07 39648400 0 . 7770 2
x11 x x 1n x k1 x kn
假设6：回归模型是正确设定的
§3.2
多元线性回归模型的参数估计
一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质 三、样本容量问题
参数估计的任务和方法
1、估计目标：回归系数βj、随机误差项方差б2 2、估计方法：OLS、ML或者MM * OLS：普通最小二乘估计 * ML：最大似然估计
E(X(Y Xβ )0
矩条件
*矩条件和矩估计量*
1、 E(X(Y Xβ ) 0 称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了
原总体回归方程所具有的内在特征。
2、如果随机抽出原总体的一个样本，估计出的样本回归方程：
ˆ 能够近似代表总体回归方程的话，则应成立： ˆ X Y
1 ˆ)0 X (Y Xβ n
第三章
多元线性回归模型
§ 3.1 多元线性回归模型
§ 3.2 多元线性回归模型的参数估计 § 3.3 多元线性回归模型的统计检验 § 3.4 多元线性回归模型的预测 § 3.5 可线性化的多元非线性回归模型 § 3.6 受约束回归
§3.1
多元线性回归模型
一、模型形式 二、基本假定
一、模型形式
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i ... k X ki i 0 j X ji i
#参数估计的实例
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，
多元线性回归分析简介

多元线性回归分析简介

ˆ j 表示 j , j 0,1, , p 的估计值。
称
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp
为 y 关于 x 的多元线性经验回归方程（函数），它表示 p+1 维空间中的一个超平面（经验回归平面）。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
引进矩阵的形式：
设
y
y1
y2
，
X
1
1
x11 x21
有平方和分解公式 SS=SSR+SSE
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.5＇在 p 元回归分析问题中， SSR 与 SSE 相互独立，
且1
2
SSE
~
2(n
p
1)
；在原假设 H0 成立时，有
12ຫໍສະໝຸດ SSR~2(p)
。
因此取检验统计量 F=
SSR / p
H0成立时
F(p,n-p-1)
SSE / n p 1
（ xi1, , xip , yi ）（ i 1,2,, n ）到回归平面
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp 的距离的大小。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
一元回归分析中旳结论全部能够推广到多 元旳情形中来。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.2＇ 在 p 元回归分析问题中，（1） ˆ 服从 p+1 维正态分
min
0 ,1 , , p
Q(0,
1,
,p)
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.1＇在 p 元回归分析问题中， 的最小
二乘估计量为 ˆ X X 1 X Y 。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
误差方差的估计：
《多元线性回归》课件

《多元线性回归》课件


案例三：销售预测
总结词
利用多元线性回归模型预测未来销售情况，为企业制定 生产和销售计划提供依据。
详细描述
选取影响销售业绩的因素，如市场需求、竞争状况、产 品定价等，建立多元线性回归模型。通过分析历史销售 数据，预测未来销售趋势。在实际应用中，需要考虑市 场变化和不确定性因素，对模型进行动态调整和优化。
市场分析
在市场营销领域，多元线性回归可用于分析消费 者行为、市场趋势等，为企业制定营销策略提供 支持。
多元线性回归的基本假设
线性关系
自变量与因变量之间存在线性 关系，即随着自变量的增加或 减少，因变量也按一定比例变
化。
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性 ，即自变量之间没有高度的相 多元线性回归的 案例分析
案例一：股票价格预测
总结词
通过分析历史股票数据，利用多元线性回归 模型预测未来股票价格走势。
详细描述
选取多个影响股票价格的因素，如公司财务 指标、宏观经济指标、市场情绪等，建立多 元线性回归模型。通过训练数据拟合模型， 并使用测试数据评估模型的预测精度。在实 际应用中，需要考虑市场变化、政策影响等
特点
多元线性回归具有简单易用、可解释性强等优点，适用于探 索多个变量之间的相互关系，并能够提供可靠的预测结果。
多元线性回归的应用场景
1 2 3
经济预测
通过对多个经济指标进行多元线性回归分析，可 以预测未来的经济走势，为政策制定提供依据。
医学研究
在医学领域，多元线性回归常用于研究疾病发生 与多个风险因素之间的关系，为疾病预防和治疗 提供参考。
用于检验自变量与因变量之间是否存在线性关系。常用的方法包括散点图、趋 势线等。如果数据点在散点图上呈现一条直线，或者趋势线与水平线接近平行 ，则可以认为自变量与因变量之间存在线性关系。
《多元线性回归分析》PPT课件

《多元线性回归分析》PPT课件


的线性关系而使因变量Y 变异减小的部分；
SS回归 b1l1Y b2l2Y bmlmY biliy
SS剩余 表示剩余平方和，说明除自变量外，其它随机因素
对 Y 变异的影响。 SS剩余 SS总 SS回归
整理ppt
14
各变量的离差矩阵
b1 0.1424 ， b2 0.3515 ， b3 0.2706 ， b4 0.6382
Y 的误差平方和Q (Y Yˆ)2 为最小值
的一组回归系数b1 ,b2 ,bm 值。
求回归系数 b1 ,b2 ,bm 的方法
是求解正规方程组（normal equations）：
b1l11 b2l12 bml1m l1y
b1l21
b2l22
bml2m
l2y
b1lm1 b2lm2 bmlmm lmy
整理ppt
28
2.决定系数
决定系数（coefficient of determination）表示回归平 方和占总平方和的比例，反映各自变量对因变量回 归贡献的大小，用 R2 表示。 R2 SS回归
SS总
R2 无单位，取值在 0~1 之间。值越大，说明回归平 方和在总平方和中所占的比重越大，剩余平方和所占 比例越小，回归效果越好。
partial
regression
coefficient）。标准偏回归系数
b
' i
与
注 意
偏回归系数之间的关系为：
b
' i
=
bi
lii l yy
= bi
si sy
标准偏回归系数绝对值的大小，可用以衡量自变量对
因变量贡献的大小，即说明各自变量在多元回归方程
中的重要性。
3第三章多元线性回归模型分析(一)

3第三章多元线性回归模型分析(一)

其他参数的含义与之相同。
例：
Ct

β 1
β
2
Dt
β3Lt
ut
其中，Ct=消费，Dt=居民可支配收入 Lt=居民拥有的流动资产水平
β 2的含义是，在流动资产不变的情况下，可支配收入变动一个 单位对消费额的影响。这是收入对消费额的直接影响。
收入变动对消费额的总影响=直接影响+间接影响。 （间接影响：收入流动资产拥有量消费额）
xiK

b2
bK


n

i 1
yi
根据数据的样本均值定义，则有：
x


1 n
n i1
xi1,
1 n
n
xi2,
i1

,1 n
n i1
xiK

也即： y x b
（3）的证明方法1

因为Σei=0，所以对 y y e两边求和即可。



(Y Y )(Y Y )

en



(Y X β)(Y X β)


(Y β X )(Y X β)




Y Y β X Y Y X β β X X β
注意到上式中所有项都是标量，且
(ˆ
X
Y
)

第三章 多元线性回归模型**
多元线性回归模型是我们课程的重点，原因 在于：
多元线性回归模型应用非常普遍；
原理和方法是理解更复杂计量经济学模型的 基础；
内容较为丰富。
从而，我们应不遗余力地学，甚至是不遗余 力地背！！！
第3章 多元回归模型

第3章 多元回归模型


解释变量的显著性
Y= β0 + β1x1 + β2x2 +
如果β1等于零，则X1对Y没有影响
β1的估计值不等于零
但是
β1真的不等于零吗？
假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。 假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。 先假定原假设正确，然后根据样本信息，观察由 此假设而导致的结果是否合理，从而判断是否接受 原假设。 判断结果合理与否，是基于“ 判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易 发生”这一原理的。 发生”这一原理的。 如果结果是个小概率事件， 如果结果是个小概率事件，那我们认为这是不可 能发生的。会发生不可能发生的事情， 能发生的。会发生不可能发生的事情，一定是假设 前提错了。 前提错了。 上述“小概率事件”的概率被称为检验的“ 上述“小概率事件”的概率被称为检验的“显著 性水平” 或者“犯第一类错误的概率” 性水平”，或者“犯第一类错误的概率”（拒绝了 正确的虚拟假设） 正确的虚拟假设）
t=
（3）给定显著性水平α，查t分布表，得临界值c＝t α/2(n-2)
(4) 比较，判断 若 若 |t|> t α/2(n-2)，则拒绝H0 ，接受H1 ； |t|≤ t α/2(n-2)，则拒绝H1 ，接受H0 ；
简易判断法则
当n > 30时，t分布近似于标准正态分布 给定显著性水平为5％，临界值c约为2 如果t的绝对值大于2，就可以拒绝稻草 人假设，说明斜率β1显著地不等于零 因此，解释变量X对被解释变量Y具有影 响
多重共线性
1、完全共线性 Rj ² ＝1 如果存在完全共线性，则不能应用OLS估 计法 2、多重共线性 Rj ²接近于1 后果：估计量的方差较大,导致估计结果 不准确
3.4 多元判定系数
多元线性回归课件

多元线性回归课件

误差项之间不存在自相关性。
线性关系
自变量与因变量之间存在线性 关系。
无异方差性
误差项的方差在所有观测值中 保持恒定。
无异常值
数据集中没有异常值。
02
多元线性回归的参 数估计
最小二乘法
最小二乘法是一种数学优化技术，其 基本思想是寻找一个函数，使得该函 数与已知数据点的总误差（或总偏差 ）的平方和最小。
最小二乘法通过构建残差平方和பைடு நூலகம்数 学模型，并对其求最小值来估计参数 ，这种方法具有简单、直观和易于计 算的特点。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是找到最佳参数值，使得实际观测 值与通过模型预测的值之间的残差平 方和最小。
参数的估计值与估计量的性质
参数的估计值是通过最小二乘法 或其他优化算法从样本数据中得
多元线性回归课件
目录
CONTENTS
• 多元线性回归概述 • 多元线性回归的参数估计 • 多元线性回归的评估与诊断 • 多元线性回归的进阶应用 • 多元线性回归的软件实现 • 多元线性回归的案例分析
01
多元线性回归概述
定义与模型
定义
多元线性回归是一种统计学方法，用于 研究多个自变量与因变量之间的线性关 系。
决定系数（R^2）
衡量模型解释变量变异程度的指标，值越接近1表示模型拟合度越好。
调整决定系数（Adjusted R^2）
考虑了模型中自变量的增加，对R^2进行调整后的拟合度指标。
均方误差（MSE）
衡量模型预测误差大小的指标，值越小表示模型预测精度越高。
变量的显著性检验
t检验
通过t统计量检验自变量对因变量 的影响是否显著，值越大表明该 变量越重要。
用于判断自变量之间是否存在多重共线性的指标，值小于阈值时可能存在多重共线性问 题。

统计学习导论：基于R应用——第三章习题

统计学习导论：基于R应⽤——第三章习题第三章习题部分证明题未给出答案1.表3.4中，零假设是指三种形式的⼴告对TV的销量没什么影响。

⽽电视⼴告和收⾳机⼴告的P值⼩说明，原假设是错的，也就是电视⼴告和收⾳机⼴告均对TV的销量有影响；报纸的P值⾼，说明原假设成⽴，也就是报纸⼴告对TV的销量没啥影响。

2.KNN回归和KNN近分类都是典型的⾮参数⽅法。

这两者的区别在于，前者的输⼊和输出均为定量值；⽽后者的输⼊和输⼊和输出均为定性值。

3.⾸先，有题⽬可知下⾯关系：Y = 50 + 20(gpa) + 0.07(iq) + 35(gender) + 0.01(gpa * iq) - 10 (gpa * gender)(a) 当IQ和GPA⼀定的时候，Y的可变量是35*gender-10(gpa*gender).所以当GPA⼩的时候，⽆法判断前⾯变量的正负号，⽽当GPA⾜够⼤的时候，该变量⼀定是负的。

所以当GPA⾜够⼤时，男性平均收⼊⾼于⼥性(b) 直接套公式Y= 50 + 20 * 4 + 0.07 * 110 + 35 + 0.01 (4 * 110) - 10 * 4= 137.1(c)错误。

中⽂版61页有⽐较好的解释，实验分层原则规定：如果模型中含有交互项，那么即使主效应的系数的p值不显著，也应该包含在模型中。

4.(a)⼀般来说，三次回归的训练RSS会⽐线性回归的训练RSS⼩，因为三次回归会对数据进⾏贴近训练集的拟合。

(b)题⽬中明确说明该数据的实际模型是线性拟合，所以⽤三次拟合会产⽣过拟合，⽽线性拟合有更好的泛化能⼒，所以线性回归的测试RSS⼩。

(c)答案和(a)⼀样(d)由于不知道实际情况，所以⽆法判断。

8.Auto = read.table("Auto.data.txt", header = T ,na.strings="?")Auto = na.omit(Auto)(a)attach(Auto)lm.fit = lm(mpg ~ horsepower)summary(lm.fit)i.由summary的结果来看，F-statistic很⼤⽽p-value很⼩，说明两者是有相关性的。

庞浩 计量经济学3第三章 多元线性回归模型

4
2.样本回归函数SRF
条件均 值形式
ˆ ˆ X ˆ Y i 1 2 i
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ˆ Y i 1 2 2i 3 3i k ki
ˆ ˆ X e Yi 1 2 i i
个别值 ˆ ˆ X ˆ X ˆ X e 形式 Yi 1 2 2i 3 3i k ki i
16
X e 0
多元线性回归模型参数的 最小二乘估计
ˆ e Y X
ˆ X e X Y X X
X e 0
ˆ X Y X X
ˆ ( X X )1 X Y
17
二、参数最小二乘估计的性质
在古典假定下，多元线性回归模型的最小二乘估 计式是最佳线性无偏估计（BLUE）。 1.线性 参数的最小二乘估计式是被解释变量Yi的线性 组合。 ˆ ( X X )1 X Y
X 31 X k 1 1 X 32 X k 2 2 X 3 n X kn nk k k 1
Y X U
8
总体回归函数与样本回归函数 的矩阵形式
总体回归函数 条件期 望形式
E (Y ) X Y X U
20
三、参数最小二乘估计的分布
依据线性，参数的最小二乘估计是被解 1 ˆ ( X X ) X Y 释变量Y 的线性函数
i
Yi 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki ui
ui ~ N (0, ) (i 1,2,, n) ˆ ( j 1,2,, k ) 服从正态分布
9
三、多元线性回归模型的古典假定
u1 Eu1 0 u Eu 0 2 2 E (U ) E E ( ui ) 0 un Eun 0 n1 2.同方差和无自相关假定

多元线性回归模型资料讲解

多元线性回归模型第三章 多元线性回归模型基本要求：1、理解多元线性回归模型的定义2、理解多元线性回归模型的假定3、掌握参数估计的计算4、理解参数统计性质第一节 多元线性回归模型及假定一、多元线性回归模型许多经济现象往往要受多个因素的影响，研究被解释变量受多个解释变量的影响，就要利用多元回归模型。

多元线性回归模型与一元线性回归模型基本类似，只不过解释变量由一个增加到两个以上，被解释变量Y 与多个解释变量k X X X ,,,21 之间存在线性关系。

假定被解释变量Y 与多个解释变量k X X X ,,,21 之间具有线性关系，是解释变量的多元线性函数，称为多元线性回归模型。

即k k X X X Y 22110(3-1)其中Y 为被解释变量，(1,2,,)j X j k L 为k 个解释变量，(0,1,2,,)j j k L 为1k 个未知参数， 为随机误差项。

被解释变量Y 的期望值与解释变量k X X X ,,,21 的线性方程为：01122()k k E Y X X X L (3-2)称为多元总体线性回归方程，简称总体回归方程。

对于n 组观测值),,2,1(,,,,21n i X X X Y ki i i i ，其方程组形式为：01122,(1,2,,)i i i k ki i Y X X X i n L L(3-3) 即nkn k n n n k k k k X X X Y X X X Y X X X Y 2211022222121021121211101 其矩阵形式为n Y Y Y 21=kn n nk k X X X X X X X X X212221212111111k 210+n 21 即Y X βμ(3-4) 其中1n Y n Y Y Y 21为被解释变量的观测值向量； )1(k n Xkn n nk k X X X X X X X X X212221212111111为解释变量的观测值矩阵；(1)1k βk 210为总体回归参数向量；1nμn 21为随机误差项向量。

第三多元线性回归模型演示文稿

(17)模型应具有高度概括性。若模型的各种检验及预测能力大
致相同，应选择解释变量较少的一个。
(18) 模型的结构稳定性要强，超样本特性要好。
(19) 世界是变化的，应该随时间的推移及时修改模型。
第二十六页，共31页。
案例1：中国国债发行额模型（file:b1c4）
首先分析中国国债发行额序列的特征。1980年国债发行额是 43.01亿元（占GDP的1%），2001年国债发行额是4604亿元 （占GDP的4.8%）。以当年价格计算，21年间（1980-2001） 增长了106倍。平均年增长率是24.9%。
第二十九页，共31页。
R2 = 0.9986, DW=2.12, T =21, (1980-2000)
案例1：中国国债发行额模型（file:b1c4）
预测2001年的国债发行额（DEBTt，亿元）。DEBT2001 = 4608.71
预测误差是 = 4608.71 460=40.001 4604
，亿元）模型如下：
DEBTt = 0 +1 GDPt +2 DEFt +3 REPAYt + ut
第二十八页，共31页。
案例1：中国国债发行额模型（file:b1c4）
DEBTt = 4.38 +0.34 GDPt +1.00 DEFt +0.88 REPAYt + uˆ
(0.2) (2.1)
(26.6) (17.2)
(S.D.2 (10 1) SSE) / S.D.2 (10 1) / 7
2
(19.57892 9 403.1813) / 19.57892 9 / 7
2
26.45
第十三页，共31页。
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xnp n( p1)
p
1
2
n
设计矩阵
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3.1 多元线性回归模型
3.1.2 多元线性回归模型的基本假定
• 解释变量x1, x2, …, xp是确定性变量，不是随机变量，
且要求rank(X)=p+1＜n。
• 随机误差项均值为0且等方差，即高斯-马尔柯夫
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3.2 回归参数的估计
3.2.2 回归值与残差
yˆi ˆ0 ˆ1xi1 ˆ2 xi2 ˆp xip 为观测值yi的回归值；
则对于向量y，其回归值为 yˆ X ˆ (X X )1 X y ，其中
称 H (X X )1 X 为帽子矩阵，主对角线元素记为hii，易
exp(
1
( y - X )( y - X ))
2 2
则对数似然函数为：
ln
L
n 2
ln(2
)
n 2
ln(
2
)
1
2
2
(
y
X
)(
y
X
)
等价于使 ( y X )( y X )达到最小，这与OLSE一致。故在
正态假定下，β 的最大似然估计与OLSE完全相同。但误差
方差的最大似然估计为：
ˆ
2 L
浙江 7552 2110 1552 1228 2997 50197 63374 104.5 3
...
…
…………
…
…
……
… 陕西
…
…………
…
…
……
5551 1789 1322 1212 2079 43073 38564 109.4 3.2
甘肃 4602 1631 1288 1050 1388 37679 21978 108.6 2.7
(I H ) cov( y, y)(I H ) 2 (I H ) D(ei ) (1 hii ) 2 ,i 1, 2, , n
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3.2 回归参数的估计
3.2.2 回归值与残差
n
n
由 E( ei2 ) D(ei ) (n p 1) 2 可得σ2的无偏估计为：
yˆ 90.437 2.155x2
此方程的回归系数表示第二产业增加值每增加1亿元，GDP 增加2.155亿元，它不等于1。
为什么？ 你能合理 解释嘛？
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3.1 多元线性回归模型
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3.2 回归系数的估计
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3.3 有关估计量的性质
性质3 D(ˆ) 2 ( X X )-1
D(ˆ) cov(ˆ, ˆ)
cov(( X X )-1 X y, ( X X )-1 X y) ( X X )-1 X cov( y, y)(( X X )-1 X )
( X X )-1 X 2 X ( X X )-1 2 ( X X )-1 X X ( X X )-1 2 ( X X )-1
当 p=1时即一元线性回归的情况，是上述公式对应的 一个特殊情况，读者不妨自己验证。
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3.3 有关估计量的性质
第三章 多元线性回归
3.1 多元线性回归模型 3.2 回归系数的估计 3.3 有关估计量的性质 3.4 回归方程的显著性检验 3.5 中心化和标准化 3.6 相关阵与偏相关系数 3.7 本章小结与评注
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3.1 多元线性回归模型
3.1.1 多元线性回归模型的一般形式 y=β0+β1x1+β2x2+…+βpxp+ε
data3.1<-read.csv(“D:/data3.1.csv”,head=TRUE) #读取数据 lm3.1<-lm(y~x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9,data=data3.1) #建 立回归方程 summary(lm3.1) #输出回归结果及显著性检验结果
表3-1中的数据保存在 文件data3.1.csv中， 该文件存储在D盘
(3.1)
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3.1 多元线性回归模型
3.1.1 多元线性回归模型的一般形式
对于式（3.1）可以写成矩阵形式为
y X
(3.2)
其中，
y1
y
y2
yn
1
X
1
1
x11 x12 x21 x22
xn1 xn2
x1p
x2p
0
E( ) 0 var( ) 2
对n组观测数据 (xi1, xi2,…,xip; yi)，i=1,2,…,n， 线性回归模型表示为:
y1 0 1x11 2 x12
y2
0
1x21
2 x22
yn 0 1xn1 2 xn2
p x1p 1 p x2 p 2
p xnp n
对方程组进行整理得到矩阵形式表示的正规方程组
X ( y X ˆ) 0
移项得
X X ˆ X y
当 (X X )1存在时，得回归参数的最小二乘估计为：
ˆ (X X )1 X y
( X X )1 X X 0 rank( X X ) p 1 rank( X ) p 1 Xn( p1) n p 1
1
在x1保持不变时,有
E( y) x2
2
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3.1 多元线性回归模型
3.1.3 多元线性回归系数的解释
考虑国内生产总值GDP和三次产业增加值的关系 GDP = x1 + x2+ x3 是确定性的函数关系。
现在利用本章表3-10（见下页）的数据做GDP对第二产 业增加值x2的一元线性回归，得回归方程
回归 方程
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3.3 有关估计量的性质
性质1 ˆ 是随机向量y的一个线性变换。
ˆ (X X )-1 X y
性质2 ˆ 是 β 的无偏估计。
E(ˆ) E(( X X )-1 X y)
( X X )-1 X E( y)
( X X )-1 X E( X ) ( X X )-1 X X
青海 4667 1512 1232 906 1097 46483 33181 110.6 3.4
宁夏 4769 1876 1193 1063 1516 47436 36394 105.5 4.2
新疆 5239 2031 1167 1028 1281 44576 33796 114.8 3.4
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吉林 4635 2045 1594 1448 1643 38407 43415 111 3.7
黑龙江 4687 1807 1337 1181 1217 36406 35711 104.8 4.2
上海 9656 2111 1790 1017 3724 78673 85373 106 3.1
江苏 6658 1916 1437 1058 3078 50639 68347 112.6 3.1
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3.2.4 实例分析
yˆ 320.641 1.317x1 1.650x2 2.179x3 0.006x4 1.684x5 0.010x6 0.004x7 19.131x8 50.516x9
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ˆ0
ˆ1xi1
ˆ2 xi2
Q
p
p ˆp
n
2 ( yi
i 1
ˆ0
ˆ1xi1 ˆ2 xi2
ˆp xip ) 0 ˆp xip )xi1 0
ˆp xip )xip 0
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3.2 回归参数的估计
3.2.1 回归参数的普通最小二乘估计
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表 3-1
地区
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
北京 7535 2639 1971 1658 3696 84742 87475 106.5 1.3
天津 7344 1881 1854 1556 2254 61514 93173 107.5 3.6
（ Gauss-Markov ）条件。
• 正态分布的假设条件为：
i
1
~
,
N (0, 2 2 , ,n
) , i 1,2, 相互独立
,n
对于模型式（3.2），该条件可表示为：
此时，
N(0, 2In )
y N(X , 2In)
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y
24046 20024 12531 12212 17717 16594 14614 12984 26253 18825 21545
… … 15333 12847 12346 14067 13892