《回归分析——基于R》第3章多元线性回归

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《回归分析——基于R》第3章多元线性回归

《回归分析——基于R》第3章多元线性回归多元线性回归是统计学中一种常用的方法，用于探究多个自变量与一个因变量之间的关系。

在本章中，我们将介绍多元线性回归的基本概念、假设以及实现过程，并通过R语言进行实例分析。

多元线性回归的基本概念是建立一个包含多个自变量的线性回归模型，该模型试图将自变量与因变量之间的线性关系进行拟合，并通过最小化残差平方和来寻找最佳拟合结果。

多元线性回归模型的一般形式可以表示为: Y=β0+β1*X1+β2*X2+...+βn*Xn+ε其中，Y表示因变量，X1到Xn表示自变量，β0到βn表示回归系数，ε表示误差项或残差。

回归系数表示因变量在自变量作用下的变化情况，误差项表示模型无法解释的部分。

多元线性回归的实现过程可以通过最小二乘法来求解回归系数。

首先，需要检验多元线性回归模型是否满足基本假设，包括线性关系、多元正态分布、同方差性和无自相关性。

然后，使用R语言的lm(函数来进行模型拟合，得到回归系数和其他统计指标。

最后，需要对模型进行诊断分析，检验模型的拟合程度和统计显著性等。

在R语言中，可以使用lm(函数进行多元线性回归分析。

该函数的一般用法为lm(formula, data)，其中formula表示回归模型的公式，data表示数据集。

例如，如果要进行一个基于身高和体重预测体脂率的多元线性回归分析，可以使用以下代码：```R#导入数据data <- read.csv("data.csv")#构建回归模型model <- lm(bodyfat ~ height + weight, data=data)#查看回归系数summary(model)```在实例分析中，我们使用了一个数据集，并将其中的身高和体重作为自变量，体脂率作为因变量。

通过lm(函数构建了一个多元线性回归模型，并使用summary(函数查看了回归系数的统计指标，例如t值、p值以及置信区间。

多元线性回归与相关(共30张PPT)

❖ 根据矩阵行列式性质，矩阵行列式的值等于
其特征根的连乘积。因此，当行列式| X'X|≈0
时，至少有一个特征根为零，反过来，可以
证明矩阵至少有一个特征根近似为零时，X的
列向量必存在多重共线性，同样也可证明 X ' X
有多少个特征根近似为零矩阵X就有多少个多
重共线性。根据条件数 K i
, m
i
其中 m为最
❖ 首先给出引入变量的显著性水平和剔除变量的显著性水平，然后筛选变量。
回归变量的选择与逐步回归
回归变量的选择与逐步回归
❖ 逐步回归分析的实施过程是每一步都要对已引入回归方程的变量计算其偏回归平方和（即贡献），然后选一个偏回归平方和最小的变量，在预先给定的水平下进行显著性检验，如果显著则该变量不必从回归方程中剔除，这时方程中其它的几个变量也都不需要剔除（因为其它的几个变量的偏回归平方和都大于最小的一个更不需要剔除）。相反，如果不显著，则该变量要剔除，然后按偏回归平方和由小到大地依次对方程中其它变量进行检验。将对影响不显著的变量全部剔除，保留的都是显著的。接着再对未引人回归方程中的变量分别计算其偏回归平方和，并选其中偏回归平方和最大的一个变量，同样在给定水平下作显著性检验，如果显著则将该变量引入回归方程，这一过程一直继续下去，直到在回归方程中的变量都不能剔除而又无新变量可以引入时为止，这时逐步回归过程结束。
多重共线性检验
❖ 检查和解决自变量之间的多重共线性，多多元线性回归分析来说是很必要和重要的一个步骤，常用的共线性诊断方法包括：
❖ 直观的判断方法 ❖ 方差扩大因子法(VIF) ❖ 特征根判定法
直观的判断方法
❖ 在自变量的相关系数矩阵中，有某些自变量的相关系数值比较大。

多元线性回归分析数据可视化的R

在数据分析中，多元线性回归是一种常见的预测和分析方法，它可以帮助我们了解自变量和因变量之间的关系。然而，对于非专业的数据分析师来说，理解回归结果可能比较困难。这时，数据可视化就显得尤为重要。R语言作为一种开源的数据分析工具，被广泛用于多元线性回归分析和数据可视化。本次演示将介绍在R语言中进行多元线性回归分析和数据可视化的基本概念、方法和实际应用案例。
然后，我们使用summary()函数查看回归结果。
css
summary(price_model)
3、数据可视化接下来，我们使用ggplot2包将回归结果可视化。首先，我们创建一个散点图，以显示每辆车的功率、气缸数和马力与价格之间的关系。然后，我们添加一个拟合线来展示回归模型的结果。
scss
多元线性回归模型可以表示为： Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3X3 + β4X4 + ε
其中，β0是截距项，β1、β2、β3和β4是自变量的系数，ε是误差项。
为了估计这个模型中的参数，我们可以使用最小二乘法。最小二乘法是一种优化算法，它通过最小化预测值和实际值之间的平方误差来估计模型参数。
多元线性回归分析数据可视化的R
01 理论概述
目录
02 方法与技巧
03 案例分析
04 scss
05 data(mtcars)
06 scss
07 css
目录
08 scss
09 library(ggplot2)
010 theme_minimal()
011 总结
012 参考内容
多元线性回归分析数据可视化在 R语言中的重要性和应用场景
方法与技巧
在R语言中进行多元线性回归分析和数据可视化有很多方法和技巧。下面介绍一些常用的技巧：

多元线性回归

– C p 选择法
三、自变量选择
逐步选择法：基于偏回归平方和引入或剔
除一个自变量前进法
– 可以去掉高度相关的自变量 – 后续变量的引入可能会使先进入的变量不显著

后退法
– 考虑了自变量的组合作用 – 自变量较多或高度相关时，结果不准确

逐步回归法
多元线性回归的应用

影响因素分析
– 筛选、比较各因素对因变量的作用
总自由度 = 总样本数- 1
方差分析表中参数的计算（续）

F值的自由度：
分子自由度：为回归自由度（p）分母自由度：为误差（剩余）自由度
2) 回归方程的显著性检验及评价（二）

方程的评价 – 决定系数（R2）说明自变量能解释Y变化的百分比，说明模型对数据拟合程度，（0,1） – 复相关系数用来度量Y与多个自变量间的线性相关程度。
三、自变量选择

为什么要进行变量选择
– 自变量不一定都对因变量有显著意义（将不
重要的自变量引入方程，会降低模型的精度） – 变量之间存在共线性

目的
– 尽可能将回归效果显著的自变量选入方程，
作用不显著的自变量则排除在外。
三、自变量选择
全局择优法
– 对自变量各种不同的组合建立的方程
进行比较，从全部组合中找出“最优” 的方程。 2 R – 校正决定系数 c 选择法：
2. 方程的建立
1）方程中参数的求解采用最小二乘法原理求解正规方程组，得到b1 ，…， bm，进一步得到b0。
200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

《多元线性回归》PPT课件

ˆ 0.7226 0.0003 15674 103 .172 1 ˆ β ˆ 0 . 0003 1 . 35 E 07 39648400 0 . 7770 2
x11 x x 1n x k1 x kn
假设6：回归模型是正确设定的
§3.2
多元线性回归模型的参数估计
一、普通最小二乘估计二、参数估计量的性质三、样本容量问题
参数估计的任务和方法
1、估计目标：回归系数βj、随机误差项方差б2 2、估计方法：OLS、ML或者MM * OLS：普通最小二乘估计 * ML：最大似然估计
E(X(Y Xβ )0
矩条件
*矩条件和矩估计量*
1、 E(X(Y Xβ ) 0 称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了
原总体回归方程所具有的内在特征。
2、如果随机抽出原总体的一个样本，估计出的样本回归方程：
ˆ 能够近似代表总体回归方程的话，则应成立： ˆ X Y
1 ˆ)0 X (Y Xβ n
第三章
多元线性回归模型
§ 3.1 多元线性回归模型
§ 3.2 多元线性回归模型的参数估计 § 3.3 多元线性回归模型的统计检验 § 3.4 多元线性回归模型的预测 § 3.5 可线性化的多元非线性回归模型 § 3.6 受约束回归
§3.1
多元线性回归模型
一、模型形式二、基本假定
一、模型形式
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i ... k X ki i 0 j X ji i
#参数估计的实例
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，

多元线性回归分析简介

ˆ j 表示 j , j 0,1, , p 的估计值。
称
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp
为 y 关于 x 的多元线性经验回归方程（函数），它表示 p+1 维空间中的一个超平面（经验回归平面）。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
引进矩阵的形式：
设
y
y1
y2
，
X
1
1
x11 x21
有平方和分解公式 SS=SSR+SSE
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.5＇在 p 元回归分析问题中， SSR 与 SSE 相互独立，
且1
2
SSE
~
2(n
p
1)
；在原假设 H0 成立时，有
12ຫໍສະໝຸດ SSR~2(p)
。
因此取检验统计量 F=
SSR / p
H0成立时
F(p,n-p-1)
SSE / n p 1
（ xi1, , xip , yi ）（ i 1,2,, n ）到回归平面
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp 的距离的大小。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
一元回归分析中旳结论全部能够推广到多元旳情形中来。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.2＇在 p 元回归分析问题中，（1） ˆ 服从 p+1 维正态分
min
0 ,1 , , p
Q(0,
1,
,p)
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.1＇在 p 元回归分析问题中，的最小
二乘估计量为 ˆ X X 1 X Y 。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
误差方差的估计：

《多元线性回归》课件

案例三：销售预测
总结词
利用多元线性回归模型预测未来销售情况，为企业制定生产和销售计划提供依据。
详细描述
选取影响销售业绩的因素，如市场需求、竞争状况、产品定价等，建立多元线性回归模型。通过分析历史销售数据，预测未来销售趋势。在实际应用中，需要考虑市场变化和不确定性因素，对模型进行动态调整和优化。
市场分析
在市场营销领域，多元线性回归可用于分析消费者行为、市场趋势等，为企业制定营销策略提供支持。
多元线性回归的基本假设
线性关系
自变量与因变量之间存在线性关系，即随着自变量的增加或减少，因变量也按一定比例变
化。
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性，即自变量之间没有高度的相多元线性回归的案例分析
案例一：股票价格预测
总结词
通过分析历史股票数据，利用多元线性回归模型预测未来股票价格走势。
详细描述
选取多个影响股票价格的因素，如公司财务指标、宏观经济指标、市场情绪等，建立多元线性回归模型。通过训练数据拟合模型，并使用测试数据评估模型的预测精度。在实际应用中，需要考虑市场变化、政策影响等
特点
多元线性回归具有简单易用、可解释性强等优点，适用于探索多个变量之间的相互关系，并能够提供可靠的预测结果。
多元线性回归的应用场景
1 2 3
经济预测
通过对多个经济指标进行多元线性回归分析，可以预测未来的经济走势，为政策制定提供依据。
医学研究
在医学领域，多元线性回归常用于研究疾病发生与多个风险因素之间的关系，为疾病预防和治疗提供参考。
用于检验自变量与因变量之间是否存在线性关系。常用的方法包括散点图、趋势线等。如果数据点在散点图上呈现一条直线，或者趋势线与水平线接近平行，则可以认为自变量与因变量之间存在线性关系。

《多元线性回归分析》PPT课件

的线性关系而使因变量Y 变异减小的部分；
SS回归 b1l1Y b2l2Y bmlmY biliy
SS剩余表示剩余平方和，说明除自变量外，其它随机因素
对 Y 变异的影响。 SS剩余 SS总 SS回归
整理ppt
14
各变量的离差矩阵
b1 0.1424 ， b2 0.3515 ， b3 0.2706 ， b4 0.6382
Y 的误差平方和Q (Y Yˆ)2 为最小值
的一组回归系数b1 ,b2 ,bm 值。
求回归系数 b1 ,b2 ,bm 的方法
是求解正规方程组（normal equations）：
b1l11 b2l12 bml1m l1y
b1l21
b2l22
bml2m
l2y
b1lm1 b2lm2 bmlmm lmy
整理ppt
28
2.决定系数
决定系数（coefficient of determination）表示回归平方和占总平方和的比例，反映各自变量对因变量回归贡献的大小，用 R2 表示。 R2 SS回归
SS总
R2 无单位，取值在 0~1 之间。值越大，说明回归平方和在总平方和中所占的比重越大，剩余平方和所占比例越小，回归效果越好。
partial
regression
coefficient）。标准偏回归系数
b
' i
与
注意
偏回归系数之间的关系为：
b
' i
=
bi
lii l yy
= bi
si sy
标准偏回归系数绝对值的大小，可用以衡量自变量对
因变量贡献的大小，即说明各自变量在多元回归方程
中的重要性。

3第三章多元线性回归模型分析(一)

其他参数的含义与之相同。
例：
Ct

β 1
β
2
Dt
β3Lt
ut
其中，Ct=消费，Dt=居民可支配收入 Lt=居民拥有的流动资产水平
β 2的含义是，在流动资产不变的情况下，可支配收入变动一个单位对消费额的影响。这是收入对消费额的直接影响。
收入变动对消费额的总影响=直接影响+间接影响。（间接影响：收入流动资产拥有量消费额）
xiK

b2
bK

n

i 1
yi
根据数据的样本均值定义，则有：
x

1 n
n i1
xi1,
1 n
n
xi2,
i1

,1 n
n i1
xiK

也即： y x b
（3）的证明方法1

因为Σei=0，所以对 y y e两边求和即可。

(Y Y )(Y Y )

en

(Y X β)(Y X β)

(Y β X )(Y X β)

Y Y β X Y Y X β β X X β
注意到上式中所有项都是标量，且
(ˆ
X
Y
)

第三章多元线性回归模型**
多元线性回归模型是我们课程的重点，原因在于：
多元线性回归模型应用非常普遍；
原理和方法是理解更复杂计量经济学模型的基础；
内容较为丰富。
从而，我们应不遗余力地学，甚至是不遗余力地背！！！

第3章多元回归模型

解释变量的显著性
Y= β0 + β1x1 + β2x2 +
如果β1等于零，则X1对Y没有影响
β1的估计值不等于零
但是
β1真的不等于零吗？
假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。先假定原假设正确，然后根据样本信息，观察由此假设而导致的结果是否合理，从而判断是否接受原假设。判断结果合理与否，是基于“ 判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易发生”这一原理的。发生”这一原理的。如果结果是个小概率事件，如果结果是个小概率事件，那我们认为这是不可能发生的。会发生不可能发生的事情，能发生的。会发生不可能发生的事情，一定是假设前提错了。前提错了。上述“小概率事件”的概率被称为检验的“ 上述“小概率事件”的概率被称为检验的“显著性水平” 或者“犯第一类错误的概率” 性水平”，或者“犯第一类错误的概率”（拒绝了正确的虚拟假设）正确的虚拟假设）
t=
（3）给定显著性水平α，查t分布表，得临界值c＝t α/2(n-2)
(4) 比较，判断若若 |t|> t α/2(n-2)，则拒绝H0 ，接受H1 ； |t|≤ t α/2(n-2)，则拒绝H1 ，接受H0 ；
简易判断法则
当n > 30时，t分布近似于标准正态分布给定显著性水平为5％，临界值c约为2 如果t的绝对值大于2，就可以拒绝稻草人假设，说明斜率β1显著地不等于零因此，解释变量X对被解释变量Y具有影响
多重共线性
1、完全共线性 Rj ² ＝1 如果存在完全共线性，则不能应用OLS估计法 2、多重共线性 Rj ²接近于1 后果：估计量的方差较大,导致估计结果不准确
3.4 多元判定系数

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1
xnp n( p1)
p
1
2
n
设计矩阵
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3
3.1 多元线性回归模型
3.1.2 多元线性回归模型的基本假定
• 解释变量x1, x2, …, xp是确定性变量，不是随机变量，
且要求rank(X)=p+1＜n。
• 随机误差项均值为0且等方差，即高斯-马尔柯夫
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10
3.2 回归参数的估计
3.2.2 回归值与残差
yˆi ˆ0 ˆ1xi1 ˆ2 xi2 ˆp xip 为观测值yi的回归值；
则对于向量y，其回归值为 yˆ X ˆ (X X )1 X y ，其中
称 H (X X )1 X 为帽子矩阵，主对角线元素记为hii，易
exp(
1
( y - X )( y - X ))
2 2
则对数似然函数为：
ln
L
n 2
ln(2
)
n 2
ln(
2
)
1
2
2
(
y
X
)(
y
X
)
等价于使 ( y X )( y X )达到最小，这与OLSE一致。故在
正态假定下，β 的最大似然估计与OLSE完全相同。但误差
方差的最大似然估计为：
ˆ
2 L
浙江 7552 2110 1552 1228 2997 50197 63374 104.5 3
...
…
…………
…
…
……
… 陕西
…
…………
…
…
……
5551 1789 1322 1212 2079 43073 38564 109.4 3.2
甘肃 4602 1631 1288 1050 1388 37679 21978 108.6 2.7
(I H ) cov( y, y)(I H ) 2 (I H ) D(ei ) (1 hii ) 2 ,i 1, 2, , n
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12
3.2 回归参数的估计
3.2.2 回归值与残差
n
n
由 E( ei2 ) D(ei ) (n p 1) 2 可得σ2的无偏估计为：
yˆ 90.437 2.155x2
此方程的回归系数表示第二产业增加值每增加1亿元，GDP 增加2.155亿元，它不等于1。
为什么？你能合理解释嘛？
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6
3.1 多元线性回归模型
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7
3.2 回归系数的估计
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3.3 有关估计量的性质
性质3 D(ˆ) 2 ( X X )-1
D(ˆ) cov(ˆ, ˆ)
cov(( X X )-1 X y, ( X X )-1 X y) ( X X )-1 X cov( y, y)(( X X )-1 X )
( X X )-1 X 2 X ( X X )-1 2 ( X X )-1 X X ( X X )-1 2 ( X X )-1
当 p=1时即一元线性回归的情况，是上述公式对应的一个特殊情况，读者不妨自己验证。
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3.3 有关估计量的性质
第三章多元线性回归
3.1 多元线性回归模型 3.2 回归系数的估计 3.3 有关估计量的性质 3.4 回归方程的显著性检验 3.5 中心化和标准化 3.6 相关阵与偏相关系数 3.7 本章小结与评注
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3.1 多元线性回归模型
3.1.1 多元线性回归模型的一般形式 y=β0+β1x1+β2x2+…+βpxp+ε
data3.1<-read.csv(“D:/data3.1.csv”,head=TRUE) #读取数据 lm3.1<-lm(y~x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9,data=data3.1) #建立回归方程 summary(lm3.1) #输出回归结果及显著性检验结果
表3-1中的数据保存在文件data3.1.csv中，该文件存储在D盘
(3.1)
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3.1 多元线性回归模型
3.1.1 多元线性回归模型的一般形式
对于式（3.1）可以写成矩阵形式为
y X
(3.2)
其中，
y1
y
y2
yn
1
X
1
1
x11 x12 x21 x22
xn1 xn2
x1p
x2p
0
E( ) 0 var( ) 2
对n组观测数据 (xi1, xi2,…,xip; yi)，i=1,2,…,n，线性回归模型表示为:
y1 0 1x11 2 x12
y2
0
1x21
2 x22
yn 0 1xn1 2 xn2
p x1p 1 p x2 p 2
p xnp n
对方程组进行整理得到矩阵形式表示的正规方程组
X ( y X ˆ) 0
移项得
X X ˆ X y
当 (X X )1存在时，得回归参数的最小二乘估计为：
ˆ (X X )1 X y
( X X )1 X X 0 rank( X X ) p 1 rank( X ) p 1 Xn( p1) n p 1
1
在x1保持不变时,有
E( y) x2
2
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5
3.1 多元线性回归模型
3.1.3 多元线性回归系数的解释
考虑国内生产总值GDP和三次产业增加值的关系 GDP = x1 + x2+ x3 是确定性的函数关系。
现在利用本章表3-10（见下页）的数据做GDP对第二产业增加值x2的一元线性回归，得回归方程
回归方程
18
3.3 有关估计量的性质
性质1 ˆ 是随机向量y的一个线性变换。
ˆ (X X )-1 X y
性质2 ˆ 是 β 的无偏估计。
E(ˆ) E(( X X )-1 X y)
( X X )-1 X E( y)
( X X )-1 X E( X ) ( X X )-1 X X
青海 4667 1512 1232 906 1097 46483 33181 110.6 3.4
宁夏 4769 1876 1193 1063 1516 47436 36394 105.5 4.2
新疆 5239 2031 1167 1028 1281 44576 33796 114.8 3.4
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吉林 4635 2045 1594 1448 1643 38407 43415 111 3.7
黑龙江 4687 1807 1337 1181 1217 36406 35711 104.8 4.2
上海 9656 2111 1790 1017 3724 78673 85373 106 3.1
江苏 6658 1916 1437 1058 3078 50639 68347 112.6 3.1
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17
3.2.4 实例分析
yˆ 320.641 1.317x1 1.650x2 2.179x3 0.006x4 1.684x5 0.010x6 0.004x7 19.131x8 50.516x9
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ˆ0
ˆ1xi1
ˆ2 xi2
Q
p
p ˆp
n
2 ( yi
i 1
ˆ0
ˆ1xi1 ˆ2 xi2
ˆp xip ) 0 ˆp xip )xi1 0
ˆp xip )xip 0
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3.2 回归参数的估计
3.2.1 回归参数的普通最小二乘估计
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表 3-1
地区
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
北京 7535 2639 1971 1658 3696 84742 87475 106.5 1.3
天津 7344 1881 1854 1556 2254 61514 93173 107.5 3.6
（ Gauss-Markov ）条件。
• 正态分布的假设条件为：
i
1
~
,
N (0, 2 2 , ,n
) , i 1,2, 相互独立
,n
对于模型式（3.2），该条件可表示为：
此时，
N(0, 2In )
y N(X , 2In)
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3.1 多元线性回归模型
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
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《回归分析——基于R》第3章多元线性回归

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