半周积分法 傅氏变换算法

傅里叶变换概念及公式推导傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数从时域（时间域）转换为频域。

傅里叶变换的基本概念是，任何一个周期性函数都可以表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。

通过傅里叶变换，我们可以将原始信号分解成许多不同频率的正弦和余弦波。

F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(−iωt) dt其中，F(ω)表示频域中的函数，与f(t)相对应。

为了推导傅里叶变换的公式，我们首先将复数e^(−iωt)展开为正弦和余弦函数的形式：e^(−iωt) = cos(ωt) − i sin(ωt)然后将这个展开式代入变换公式中，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) (cos(ωt) − i sin(ωt)) dt为了求解这个积分，我们可以利用欧拉公式，将复数表示为以指数函数的形式：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt将第一个积分的积分变量由t替换为−t，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(−t) sin(ωt) dt由于f(t)是一个偶函数（即f(−t)=f(t)）F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t)sin(ωt) dt记F(ω)的实部为Re[F(ω)]，虚部为Im[F(ω)]，我们可以将公式进一步简化为：Re[F(ω)] = ∫[−∞,+∞] f(t) cos(ωt) dtIm[F(ω)] = − ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt这就是傅里叶变换的实部和虚部的计算公式，也称为余弦分量和正弦分量的公式。

通过计算这两个积分，我们可以得到函数在不同频率上的分量。

这些频率分量相当于原始函数在频域中的表现，有助于我们理解原始函数的频率特征。

要注意的是，以上推导过程是针对连续时间信号的傅里叶变换。

1 j j 2 2
通过傅氏逆变换，可求得指数衰减函数的积分表达 式。由（3）式，并利用奇偶数的积分性质，可得
f (t) F 1 F ()
1
F (
)e
j
t
d
2
1 j e j td
2 2 2
1
(
j )(cost j sin t)d
2 2 2 2 2
0
2 2
由傅氏积分定理，可得到一个含参量广义积分的 结果：
0,
t 0;
cos t sin t
0
2 2
d
2
,
t 0;
e t , t 0
4．单位脉冲函数（狄拉克--Dirac函数）
设
0 ,
(t)
1
t 0或 t , 0t
定义单位脉冲函数为
(t
)
lim
0
(t)
单位脉冲函数的一些性质：
() 的傅氏逆变换为u(t) 。
f (t) F-1 F()
1
2
1
j
()e jt d
1
()ejt d
1
sin td
2
2
1 1 sin td
20
由于
0
sin
td
0,2
,t t
0; 0
2
,
t0
故
f (t) 1 1
2
sin 0
td
1
2 1 2
1
j ( 0 ) t
2 j
1 2
2j
( 0 ) 2
( 0 )
j ( 0 ) ( 0 )
我们可以看出引入δ-函数后，一些在普 通意义下不存在的积分，有了确定的数 值。工程技术上许多重要函数的傅氏变 换都可以利用δ-函数及其傅氏变换很方 便地表示出来，并且使许多变换的推导 大大地简化。

傅里叶变换常用公式1.傅里叶变换定义：F(w) = ∫[f(t)e^(-jwt)] dt2.傅里叶逆变换定义：f(t) = ∫[F(w)e^(jwt)] dw / (2π)傅里叶逆变换定义了将频域函数F(w)转换回时域函数f(t)的方式。

3.单位冲激函数的傅里叶变换：F(w) = ∫[δ(t)e^(-jwt)] dtδ(t)是单位冲激函数，其傅里叶变换结果为14.周期函数的傅里叶级数展开：f(t) = ∑[a(n)cos(nω0t) + b(n)sin(nω0t)]f(t)可以用无穷级数形式表示，其中ω0为基本角频率，a(n)和b(n)为系数。

5.周期函数的傅里叶变换：F(w)=2π∑[δ(w-nω0)]周期函数f(t)的频谱是一系列频率为nω0的冲激函数。

6.卷积定理：FT[f*g]=F(w)G(w)f*g表示函数f(t)和g(t)的卷积，FT表示傅里叶变换，*表示复数乘法。

卷积定理说明卷积在频域中的运算等于对应的傅里叶变换相乘。

7.积分定理：∫[f(t)g(t)] dt = 1/2π ∫[F(w)G(-w)] dw积分定理表明函数f(t)和g(t)的乘积在时域中的积分等于它们在频域中的乘积的逆变换。

8.平移定理：g(t) = f(t - t0) 对应的傅里叶变换 F(w) = e^(-jwt0) G(w)平移定理说明在时域中将函数f(t)右移t0单位，等价于在频域中将F(w)乘以e^(-jwt0)。

9.缩放定理：g(t) = f(at) 对应的傅里叶变换 G(w) = 1/，a， F(w/a)缩放定理说明在时域中将函数f(t)横向拉伸为af(t)，等价于在频域中将F(w)纵向压缩为1/，a，F(w/a)。

除了以上列举的公式，傅里叶变换还有许多性质和定理，如频移定理、频域微分定理、频域积分定理等，这些公式和定理在信号处理中非常有用，可以加速计算和简化问题的分析。

例8
试证单位阶跃函数
F () F[(t)] (t)e jt d t e jt 1
t0
显然， (t)与常数1构成了一傅氏变换对，按
逆变换公式有
(t)
F
1[F ()]
1 2π
e
jt
d
由上式可得 e jt d 2π (t)
（6-9）
这是一个关于δ函数的重要公式．
例5 证明：1和 2π ()构成傅氏变换对．
f
(t)
1, 1,
π t 0 0 t π
如何将函数展开为傅里叶级数的三角形式．
解： 由定理6.1可得 0 1，a0 0，an 0 (n 1, 2,L )
bn
1
π
f (t)sin ntdt
π
π2
π
sin ntdt
0
nπ 2 (cos
nt
π
) 0
nπ 2 (1 cos nπ)
nπ 2 [1 (1)n ]
2π ( 0 )
例7 求正弦函数 f (t) sin 0t 的傅氏变换．
解：
F() F[ f (t)]
e
jt
sin
0t
d
t
1 (e j0t e j0t )e jt d t
2 j
1 (e j(0 )t e j(0 )t ) d t
2 j
jπ[ ( 0 ) ( 0 )]
式中当t=0可得重要积分公式
sin
x
d
x
π
0x
2
例4
求单边指数衰减函数
f
(t)
0, et ,
t0 t0
( 0)
的频谱函数、振幅谱、相位谱．

里叶级数 问题：非周期函数能否展开成傅里叶级数？
设想周期函数的周期 2l 不断增大而趋于无穷，即自 变量每增长无穷，函数才变化一次，当自变量增长为有 限值时，函数并不重复变化，此时它已经转化为非周期 函数。这样，可以把符合一定条件的非周期函数展开成 傅里叶积分。
可以证明： 如果定义在 (–, ) 的函数在任一有限区间上满足
说明：(1) 原函数存在积分运算，像函数中无积分运算；
(2) 积分运算
代数运算 (除法运算)。
证明：令
即 同理，有
，则 g' (x) = f (x)。于是
后 面 的 例 题 会 用 到
)
(
7. 卷积定理
说明： (1) 卷积 f1 (x) * f2 (x) 的定义为
(2) 原函数存在卷积运算
像函数间的普通乘积
3. 积分变换法求解数理方程的基本思想 如果不方便从原函数的方程直接求解，那么可能找
到适当的积分变换，把问题变换成比较简单的求像函数 的定解问题，再通过逆变换把求得的像函数变换成原函 数，从而得到所要求的解。
从物理上讲，经过积分变换后，自变量定义域的类 别也发生了变化。
例：
时间域 t 空间域 r
频率域
U (k, t) (k)ek2a2t t C(k, )ek2a2 (t )d 0
(3) 作像函数的傅里叶逆变换 (10-1-19)
由卷积定理，有
F[ f1(x) f2(x)] F[ f1(x)]F[ f2(x)] f1(k) f2(k)
取上式的傅里叶逆变换，得到 F1[ f1(k) f2 (k)] f1(x) f2 (x) F1[ f1(k)]F1[ f2(k)]
(1 x 1) ( x 1)
x

L1 F p
L1
e
px a
f
t
L1
e
px a
查表得
L1
1
e
px a
p
2
x
e y2 dy g(t)
2a t
易证 而
g0 0
L1
e
px a
L1
p
1
e
px a
p
于是
L[ g
't ]
p
1
e
p x
a
g
0
p
p x
e a
于是
L1[
p
1
e
p a
x
]
g
't
p
d dt
2
x
e
y2
dy
2
e
x2 4a2t
3
2a t
2a t 2
所以
u x,t f t g 't
x
t
f ( )
1
e d
4
x2 a2 (t
)
2a 0
(t )3/2
例 设 x 1, y 0, 求解下面定解问题
2u x2 y xy u | y0 x 2 u | x1 cos y
解 对 y进行拉普拉斯变换, ux, y Ux, p
x
方程可变为
dU ,
t 2U ,t
dt
U , t |t0
可解得
U ,t e2t
由于
F 1[e2t ]
1
x2
e 4t
2 t
即
F
1
x2
e 4t
e2t
2 t

特别的，
f (x) (x)dx f (0)
(2) 对称性： (x) 为偶函数，则有
特别的，
(x x0 ) (x0 x) (x) (x)
自然也有
f (x) (x0 x)dx f (x0 )
7
例1 求函数 (x a) 的傅里叶变换，其中 a 是与
自变量 x 无关的数。
解 由定义知
F[ f (x)ei0x ] fˆ( 0 ) 傅里叶变换
L[ f (t)eat ] F (s a) 拉普拉斯变换
(6) 延迟定理
对变换的自变量而言
若 fˆ () F[ f (x)], F(s) L[ f (t)], 则有
F[ f (x x0 )] fˆ()eix0 傅里叶变换
L[ f (t t0 )u(t t0 )] F (s)est0 拉普拉斯变换
fˆ () F ( f ) f (x)eix dx
f (x) F 1 ( fˆ ) 1 fˆ ()eix d.
2
F (s) L( f ) f (t)est dt. 0
拉普拉斯逆变换记为
f (t) L1 (F (s)),
可用留数定理求得：设F(s) 除在半平面 Re s c内
20
例1 求解下列问题的解 ut a 2uxx f (x,t) ( x , t 0), (37)
u |t0 (x).
(38)
对方程(39)两端关于 t取拉氏变换，并结合条件
(40)得
sU (, s) () a22U (, s) G (, s),
U
(, s)
s
1
2a 2
()
s
1
2a 2
s 2U (s) k 2U (s) f (s)

关于傅立叶变换,无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列,让人很难能够从感性上得到理解,最近,我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍,是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的,写得非常浅显,里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换,虽然是英文文档,我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容,看了有茅塞顿开的感觉,在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享,希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发,这电子书籍是免费的,有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下,URL地址是：要理解傅立叶变换,确实需要一定的耐心,别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的,当然,也需要一定的高等数学基础,最基本的是级数变换,其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。

二、傅立叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字,英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier<1768-1830>, Fourier对热传递很感兴趣,于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文,运用正弦曲线来描述温度分布,论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。

当时审查这个论文的人,其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日<Joseph Louis Lagrange, 1736-1813>和拉普拉斯<Pierre Simon de Laplace, 1749-1827>,当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时,拉格朗日坚决反对,在近50年的时间里,拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号,如在方波中出现非连续变化斜率。

法国科学学会屈服于拉格朗日的威望,拒绝了傅立叶的工作,幸运的是,傅立叶还有其它事情可忙,他参加了政治运动,随拿破仑远征埃及,法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。

从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上前言第一部分、DFT第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT）从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下第三章、复数第四章、复数形式离散傅立叶变换/***************************************************************************************************/这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。

感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。

/**************************************************************************************************/前言：“关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong，那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列?傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。

因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。

哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。

这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。

ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂：以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）连续傅里叶变换一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。

连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。

傅里叶变换常用公式推导傅里叶变换是一种将信号从时域（时序）转换到频域（频率）的数学技术。

它将任意周期函数或有限时间信号分解成一组不同频率的正弦和余弦函数的和。

傅里叶变换的常用公式包括（但不限于）傅里叶级数、傅里叶变换、傅里叶逆变换等。

傅里叶级数是将周期函数分解成一组正弦和余弦函数的和。

设周期为T的连续信号x(t)，其傅里叶级数公式为：x(t) = Σ[aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t)]= a₀/2 + Σ[aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t)]其中，a₀、aₙ、bₙ为系数，通过以下推导可得出它们的表达式：1.对于周期为T的函数x(t)，其傅里叶级数展开为：x(t) = A₀ + Σ[Aₙcos(nω₀t + φₙ)]其中，A₀、Aₙ、φₙ是系数。

2.将x(t)在一个周期内积分得到：∫[0,T]x(t)dt = A₀T + Σ[Aₙ/Tsin(φₙ)]3.由于x(t)在一个周期内的平方和等于其乘以自身的积分值，即：∫[0,T]，x(t)，²dt = ，A₀，²T + Σ[(Aₙ/T)²]4. 根据Dirichlet条件，对于x(t)在一个周期内可积，即：∫[0,T]，x(t)，²dt < ∞5.根据以上两个公式，可得：(A₀T)²+Σ[(Aₙ/T)²]<∞由于正弦函数和余弦函数的平方和有界，所以以上公式成立。

6.将傅里叶级数展开的表达式带入公式(5)，可得：(A₀T)²+Σ[(Aₙ/T)²]<∞7.假设T=2π/ω₀，则ω₀T=2π，进一步有：(A₀(2π/ω₀))²+Σ[(Aₙ/(2π/ω₀))²]<∞8.将公式(7)整理，可得：(1/2π)Σ[A₀²+(2π/ω₀)²(Aₙ²+Bₙ²)]<∞根据以上推导，我们可以求解出傅里叶级数中的系数a₀、aₙ、bₙ。

从而有公式
1 F 1 [cos aλ ] = [δ ( x + a) + δ ( x a)] 2
F 1 [sin aλ ] = 1 [δ ( x + a ) δ ( x a )] 2i
10
例2 求
1, | x |≤ m f ( x) = 0, | x |> m
傅里叶变换, 的傅里叶变换,其中 m > 0. 解 由定义知
∞
由例4结论可得
F [e
1 |λ | y
y ]= ( y > 0) 2 2 π y +x
14
1
几类常见的傅里叶变换或逆变换 几类常见的傅里叶变换或逆变换 1. 2. 3. 4. 5.
F [δ ( x + a )] = e iaλ F [δ ( x a)] = e iaλ F (δ ( x)) = 1
9
利用 F [δ ( x + a)] = e iaλ
F [δ ( x a )] = e iaλ
和傅里叶变换的线性性可得 和傅里叶变换的线性性可得 线性性
iaλ iaλ 1 e +e = cos aλ F [δ ( x + a) + δ ( x a )] = 2 2 iaλ iaλ 1 e e F [δ ( x + a) δ ( x a)] = = sin aλ 2i 2i
∫
+∞
∞
f (λ )e ixλ dλ .
F ( s ) = L( f ) = ∫
+∞
0
f (t )e st dt.
拉普拉斯逆变换记为 拉普拉斯逆变换记为
f (t ) = L1 ( F ( s )),
可用留数定理求得:设 F (s ) 除在半平面 Re s ≤ c内 可用留数定理求得: 留数定理求得 外是解析的, 有限孤立奇点 s1 , s 2 , s n 外是解析的,且当s → ∞

适用标准文案重新到尾完全理解傅里叶变换算法、上序言第一部分、DFT第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式失散傅立叶变换（Real DFT ）重新到尾完全理解傅里叶变换算法、下第三章、复数第四章、复数形式失散傅立叶变换/***************************************************************************************************/这一片的傅里叶变换算法，解说透辟，希望对大家会有所帮助。

感谢原作者们（July 、dznlong ）的精心编写。

/**************************************************************************************************/序言：“对于傅立叶变换，不论是书籍还是在网上能够很简单找到对于傅立叶变换的描绘，可是大都是些弄虚作假的文章，太甚抽象，尽是一些让人看了就望而却步的公式的排列，让人很难能够从感性上获得理解” ---dznlong，那么，究竟什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所波及到的公式详细有多复杂列?傅里叶变换（ Fourier transform）是一种线性的积分变换。

因其基本思想第一由法国学者傅里叶系统地提出，因此以其名字来命名以示纪念。

哦，傅里叶变换本来就是一种变换而已，不过这类变换是从时间变换为频次的变化。

这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频次的变化或其相互转变。

ok ，我们再来整体认识下傅里叶变换，让各位对其有个整体大体的印象，也趁便看看傅里叶变换所波及到的公式，终究有多复杂：以下就是傅里叶变换的 4 种变体（摘自，维基百科）连续傅里叶变换一般状况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限制语，则指的是“连续傅里叶变换”。

连续傅里叶变换将平方可积的函数 f （t ）表示成复指数函数的积分或级数形式。