抛物线与实际问题的专题练习

26.3 实践与探索第1课时现实生活中的抛物线1.(2020山西)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为( C )A.23.5 mB.22.5 mC.21.5 mD.20.5 m2.如图所示,从某建筑物10 m高的窗口A处用水管向外喷水,喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直).如果抛物线的最高点Mm,则水流落地点B离墙的距离OB是( B )离墙1 m,离地面403A.2 mB.3 mC.4 mD.5 m3.如图所示,池中心竖直水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管的高为 2.25 m.4.如图所示是一个横截面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4 m 时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 m,水面下降 1 m 时,水面的宽度为 2√6 m.5.如图所示,杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处,其身体(看成一点)的路线是抛物线y=-35x 2+3x+1的一部分.(1)求演员弹跳离地面的最大高度;(2)已知人梯高BC=3.4 m,在一次表演中,人梯到起跳点A 的水平距离是4 m,问这次表演是否成功?请说明理由. 解:(1)y=-35x 2+3x+1=-35(x-52)2+194,所以当x=52时,y 有最大值194.所以演员弹跳离地面的最大高度是194m.(2)能表演成功.理由如下: 当x=4时,y=-35×42+3×4+1=3.4,即点B(4,3.4)在抛物线y=-35x 2+3x+1上,所以能表演成功.6.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=-t2+24t+1.则下列说法中正确的是( D )A.点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B.点火后24 s火箭落于地面C.点火后10 s的升空高度为139 mD.火箭升空的最大高度为145 m7.如图所示,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2 m 的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-k)2+h.已知球D与O点的水平距离为6 m时,达到最高2.6 m,球网与O点的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距O点的水平距离为18 m,则下列判断正确的是( C )A.球不会过球网B.球会过球网但不会出界C.球会过球网并会出界D.无法确定8.如图所示,一工厂车间门口由抛物线和矩形ABCO的三边组成,门的最大高度是4.9 m,AB=10 m,BC=2.4 m,若有一个高为4 m,宽为2 m的长方体形的大型设备要安装在车间,如果不考虑其他因素,设备的右侧离开门边超过多少米时,此设备运进车间时才不会碰门的顶部( D )A.1.7B.1.8C.1.9D.2.19.某游乐园有一个直径为16 m 的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3 m 处达到最高,高度为5 m,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为x 轴,喷水池中心为原点建立平面直角坐标系. (1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;(2)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32 m,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.解:(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a (x-3)2+5(a ≠0),将(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得25a+5=0, 解得a=-15.所以y=-15(x-3)2+5(0<x<8).所以水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-15(x-3)2+5(0<x<8).(2)当x=0时,y=-15(0-3)2+5=165.设改造后抛物线(第一象限部分)函数表达式为y=-15x 2+bx+165.因为该函数图象经过点(16,0), 所以0=-15×162+16b+165,解得b=3.所以函数表达式为y=-15x 2+3x+165=-15(x-152)2+28920(0<x<16).所以扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920m.10.(拓展探究题)施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6 m,宽度OM 为12 m.现以O 点为原点,OM 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(如图(1)所示).(1)求出这条抛物线的函数表达式,并写出自变量x 的取值范围; (2)隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1 m 的隔离带),其中的一条行车道能否行驶宽2.5 m,高5 m 的特种车辆?(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB,使A,D 点在抛物线上,B,C 点在地面OM 线上(如图(2)所示).为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB,AD,DC 的长度之和的最大值,请你帮施工队计算一下.解:(1)因为M(12,0),P(6,6), 所以设这条抛物线的函数表达式为 y=a(x-6)2+6.因为抛物线过O(0,0), 所以a(0-6)2+6=0. 解得a=-16.所以这条抛物线的函数表达式为 y=-16(x-6)2+6,即y=-16x 2+2x(0≤x ≤12).(2)当x=6-0.5-2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)时,y=4.5<5, 故不能行驶宽2.5 m,高5 m 的特种车辆. (3)设点A 的坐标为(m,-16m 2+2m),则OB=m,AB=DC=-16m 2+2m.根据抛物线的轴对称,可得OB=CM=m. 故BC=12-2m,即AD=12-2m. 令L=AB+AD+DC =-16m 2+2m+12-2m-16m 2+2m=-13m 2+2m+12 =-13(m-3)2+15,故当m=3,即OB=3 m 时,三根木杆AB,AD,DC 长度之和L 的最大值为 15 m.。

抛物线曲线经典题目(含答案解析)
问题描述
某物体被抛向空中，并沿着抛物线轨迹运动。

该抛物线由方程
y = ax^2 + bx + c 描述，其中 a、b、c 为常数。

给定 a = 2, b = -4, c = 1，求该抛物线的顶点坐标和对称轴方程。

解答分析
首先，我们需要确定抛物线的顶点坐标。

抛物线的顶点坐标可
以通过以下公式计算：
x = -b / (2a)
y = a * (x^2) + b * x + c
代入 a = 2, b = -4, c = 1，即可得到抛物线的顶点坐标。

其次，我们还需要确定抛物线的对称轴方程。

对称轴方程可以
通过以下公式计算：
x = -b / (2a)
代入 a = 2, b = -4，即可得到抛物线的对称轴方程。

计算过程与结果
根据计算公式，我们可以得到抛物线的顶点坐标和对称轴方程的具体计算过程如下：
1. 计算顶点坐标：
x = -(-4) / (2 * 2) = 1
y = 2 * (1^2) + (-4) * 1 + 1 = -1
因此，该抛物线的顶点坐标为 (1, -1)。

2. 计算对称轴方程：
x = -(-4) / (2 * 2) = 1
因此，该抛物线的对称轴方程为 x = 1。

结论
该抛物线的顶点坐标为 (1, -1)，对称轴方程为 x = 1。

以上是对题目的完整解答与分析。

通过计算，我们可以得到抛物线的顶点坐标和对称轴方程，进一步了解抛物线的特征和形态。

抛物线的性质及综合应用1、已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆422=+y x 相交的公共弦长为32，求这条抛物线的方程。

2、已知B A 、是抛物线()022>=p px y 上的两点，O 为坐标原点，若AOB OB OA ∆=,的垂心恰为抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是 。

3、给定x y 22=，设()()P a a A ,00,>是抛物线上一点且d PA =，试求d 的最小值。

4、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求正三角形的边长。

5、直角三角线的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，且一直角边的方程是x y 2=，斜边长是35，求此抛物线方程。

6、已知过抛物线x y 42=的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程。

7、已知抛物线()022>=p px y 的一条过焦点F 的弦AB 被焦点F 分成长度为n m ,两部分。

求证：nm 11+为定值。

8、抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为︒135的直线，被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程。

9、设抛物线()022>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A 、两点，点C 在抛物线的准线上，且x BC //轴，求证：C O A 、、三点共线。

10、若抛物线2x y =上存在关于直线()3-=x m y对称的两点，求实数m 的取值范围。

11、已知抛物线2xy =，过点()1,2Q 作一条直线交抛物线于B A 、两点，试求弦AB 的中点方程。

12、如图，过抛物线x y =2上一点()2,4A 作倾斜角互补的 两条直线AC AB 、交抛物线于C B 、两点， 求证：BC 的斜率为定值。

13、已知抛物线py x 22=的焦点为F ，点()()()333222111,,,y x P y x P y x P 、、在抛物线上，且3122y y y +=，则有( ) ;;232221321FP FP FP B FP FP FP A =+=+、、 ;;22231231FP FP FP D FP FP FP C ==+、、14、与直线042=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程为 。

初三数学抛物线练习题1. 某投掷运动员在水平地面上向上抛出一个球，其运动轨迹为抛物线。

已知抛物线的顶点为 (-2, 4)，球的最高点为 (0, 6)。

(1) 求抛物线的方程。

解析：设抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c。

由顶点坐标得到 a：4 = a*(-2)^2 + b*(-2) + c4 = 4a - 2b + c由最高点坐标得到 c：6 = a*0^2 + b*0 + c6 = c代入 c 的值，得到：4 = 4a - 2b + 6整理方程，得到：4a - 2b = -2(2) 求球的运动方程。

解析：球的运动方程为 y = -4x^2 + bx + 6。

由最高点坐标得到 b：6 = -4*0^2 + 0*b + 66 = b球的运动方程为 y = -4x^2 + 6x + 6。

2. 已知某抛物线的焦点为 F(-3, 2)，直径 MN 的中点为 A(3, -1)。

(1) 求抛物线的方程。

解析：设抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c。

由焦点信息得到 a：2 = a*(-3)^2 + b*(-3) + c2 = 9a - 3b + c由中点信息得到 c：-1 = a*(3)^2 + b*(3) + c-1 = 9a + 3b + c由焦准等距性质得到 b：b = 2*(-3)代入 a、b 的值，得到：2 = 9a + 6-1 = 9a - 6解方程组，得到 a = 1/3，b = -6/3，c = -1/3。

抛物线的方程为 y = (1/3)x^2 - 2x - (1/3)。

(2) 求焦点 F 到直线 MN 的距离。

解析：直线 MN 的斜率为：k = (-1 - 2)/(3 - (-3)) = -3/6 = -1/2直线 MN 的方程为：y = (-1/2)x + m将 A 的坐标代入直线方程，得到 m:-1 = (-1/2)*3 + mm = -5/2直线 MN 的方程为 y = (-1/2)x - 5/2。

抛物线运动练习题(含答案)抛物线运动练题 (含答案)问题一一颗子弹以水平速度100 m/s 射向离地面20m的点，以重力加速度10 m/s²作用下，子弹射出后多久击中地面？答案：使用抛物线运动的公式，可以计算出子弹击中地面所需的时间。

抛物线运动公式为：h = v₀t + 1/2gt²其中，v₀表示初始速度，g表示重力加速度，h表示高度，t表示时间。

代入已知数据：h = 20mv₀ = 100 m/sg = 10 m/s²将公式稍作变形，得到：t² + 20t - 40 = 0解这个二次方程，可求得：t ≈ -23.3 秒或t ≈ 1.7 秒因为时间不能为负数，所以子弹射出约1.7秒后击中地面。

问题二一个人从离地面15m的点以速度20 m/s斜抛一个物体，物体飞行的距离是多少？答案：根据抛物线运动的公式，可以计算出物体的飞行距离。

抛物线运动公式为：d = v₀x t其中，v₀x表示初始水平速度，t表示时间，d表示距离。

我们需要找到物体运动的总时间，然后将其代入公式中计算距离。

首先，我们可以使用重力加速度的公式计算物体运动所需的时间 t₀：h = v₀yt₀ + 1/2gt₀²将公式代入已知数据：h = 15 mv₀y = 20 m/sg = 10 m/s²可得到：15 = 20t₀ + 1/2 * 10 * t₀²将这个方程稍作整理，得到二次方程：5t₀² + 20t₀ - 30 = 0解这个二次方程，可求得：t₀ ≈ -1.85 秒或 t₀ ≈ 0.85 秒因为时间不能为负数，所以物体运动约0.85秒后落地。

然后，我们将求得的 t₀代入公式：d = v₀x * t₀代入已知数据：v₀x = 20 m/st₀ ≈ 0.85 s计算得到物体的飞行距离d ≈ 17 m。

问题三一颗炮弹以45°角发射，速度为400 m/s。

抛物线练习题抛物线是二次函数的图像，它在数学中有着重要的应用。

本文将为您提供一些抛物线的练习题，帮助您更好地理解和应用抛物线的概念。

练习题一：抛物线的标准方程已知抛物线的顶点坐标为（2，3），经过点（1，0）。

求该抛物线的标准方程。

解答：由于已知抛物线的顶点坐标为（2，3），则抛物线的标准方程可以表示为：y = a(x - 2)^2 + 3又因为抛物线经过点（1，0），将该点代入方程中可得：0 = a(1 - 2)^2 + 30 = a + 3a = -3所以，该抛物线的标准方程为：y = -3(x - 2)^2 + 3练习题二：抛物线的焦点和准线已知抛物线的顶点坐标为（0，0），焦点为（2，0）。

求该抛物线的准线方程。

由于已知抛物线的顶点坐标为（0，0），准线方程可以表示为：y = -p又因为抛物线的焦点坐标为（2，0），代入焦准距离公式可得：p = 2所以，该抛物线的准线方程为：y = -2练习题三：抛物线的对称轴给定抛物线的焦点坐标为（3，0），顶点坐标为（1，2）。

求该抛物线的对称轴方程。

解答：由于已知抛物线的焦点坐标为（3，0），顶点坐标为（1，2），对称轴方程可以表示为：x = h其中，抛物线的对称轴与焦点的x坐标相等，所以对称轴方程为：x = 3练习题四：抛物线的焦点和顶点已知抛物线的焦点坐标为（0，1），顶点坐标为（1，4）。

求该抛物线的准线方程。

由于已知抛物线的焦点坐标为（0，1），顶点坐标为（1，4），首先可以求得焦准距离的值：p = 3根据抛物线性质可知，焦点的y坐标为顶点的y坐标减去焦准距离的绝对值，所以焦点的y坐标为：1 = 4 - |3|解得焦点的y坐标为1。

因此，该抛物线的准线方程为：y = 1练习题五：抛物线的焦点和顶点已知抛物线的焦点坐标为（2，-1），顶点坐标为（1，0）。

求该抛物线的准线方程。

解答：由于已知抛物线的焦点坐标为（2，-1），顶点坐标为（1，0），首先可以求得焦准距离的值：p = 1根据抛物线性质可知，焦点的y坐标为顶点的y坐标减去焦准距离的绝对值，所以焦点的y坐标为：-1 = 0 - |1|解得焦点的y坐标为-1。

人教版九年级上册第3课时抛物线类型的实际问题(380)1.如图，已知桥拱形状为抛物线，其函数关系式为y=−14x2，当水位线在AB位置时，水面的宽度为12m，这时水面离桥拱顶部的距离是．2.廊桥是我国的文化遗产．图是某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数解析式为y=−140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是米．3.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图)．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y=−29x2+89x+109，则羽毛球飞出的水平距离为米．4.在体育测试时，初三的一名高个子男同学在推铅球.已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0,2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6,5).(1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球推出去多远？（精确到0.01m，√15=3.873）5.一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．将抛物线放在所给的平面直角坐标系中(如图所示)，求该抛物线的解析式．解：根据题目条件，A，B，C三点的坐标分别是．设抛物线的解析式为y=ax2+c(a≠0)，将点B，C的坐标代入y=ax2+c，得．解得a=，c=．所以该抛物线的解析式为．6.有一个抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的图形放在平面直角坐标系中(如图)．若在离跨度中心5m处的点M垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，则这根铁柱的长为多少米？解：据题意知，抛物线的顶点坐标为，所以设该抛物线的解析式为．把点A的坐标或点B的坐标代入解析式，得a=，所以抛物线的解析式为，把铁柱所在位置的横坐标，即OM=代入解析式，得到对应的纵坐标的值为，即这根铁柱的长为m．参考答案1.【答案】:9m【解析】:根据题意，当x =6时，原式=−14×62=−9，即水面离桥拱顶部的距离是9m2.【答案】:8√53.【答案】:54(1)【答案】设二次函数的解析式为y =a(x −ℎ)2+k(a ≠0)，顶点坐标为(6,5). ∴y =a(x −6)2+5.∵A(0,2)在抛物线上，∴2=62⋅a +5∴a =−112∴y =−112(x −6)2+5，即y =−112x 2+x +2.【解析】:设顶点式，用待定系数法求解析式.(2)【答案】当y =0时，−112x 2+x +2=0，解得x =6±2√15（舍6−2√15）.∴x =6+2√15≈13.75m .∴该男同学把铅球推出去约13.75m .【解析】:该男同学把铅球推出去的距离，即为当y =0时，x 在正半轴上的值.5.【答案】:(−10，0)，(10，0)，(0，6) ；{0=100a +c ，6=c；−350；6；y =−350x 2+66.【答案】:(20,16)；y =a(x −20)2+16；−0.04；y =−0.04(x −20)2+16；15；15；15。

初三上册数学抛物线练习题抛物线是数学中的重要概念之一，研究抛物线可以帮助我们更好地理解数学中的曲线和函数。

在初三上册数学课程中，抛物线的相关知识有一定的难度，需要同学们进行充分的练习。

下面将为大家提供一些抛物线的练习题，希望能够对大家的学习有所帮助。

题目一：抛物线的基本形式1. 将抛物线的标准形式 y = ax^2 + bx + c 转化成顶点形式 y = a(x -h)^2 + k。

2. 已知抛物线的顶点为 V(3, -2)，求抛物线的标准形式方程。

3. 抛物线的顶点为 V(4, -3)，经过点 P(2, 5)，求抛物线的方程。

题目二：抛物线的性质及应用1. 抛物线的对称轴是 x = h，如何通过方程的形式确定抛物线的对称轴？2. 已知抛物线的焦点为 F(1, 2)，直径所在直线方程为 2x + y - 7 = 0，求抛物线的方程。

3. 一架火箭垂直发射，其运动轨迹形如抛物线。

已知火箭从地面起飞经过点 A(0, 0)，最高点为 B(2, 3)，点 P 在抛物线上且 x 坐标为 4，求点 P 的纵坐标。

题目三：抛物线的图像与变化1. 已知抛物线的焦点为 F(2, -1)，直径所在直线为 x + y - 4 = 0，求抛物线的方程。

2. 如果抛物线的开口向上，顶点在 x 轴上，且焦点为 (0, 4)，求抛物线的方程。

3. 抛物线 y = k(x - a)(x - b) 所表示的图像开口向上还是向下？这里 a、b 和 k 均为常数。

题目四：抛物线的解析式1. 已知抛物线的顶点为 V(h, k)，过点 P(x1, y1)，求抛物线的解析式。

2. 已知抛物线经过两点 A(1, 2) 和 B(3, 4)，求抛物线的解析式。

3. 抛物线的顶点为 V(0, 0)，过点 P(-3, 4)，求抛物线的解析式。

以上就是一些初三上册数学抛物线练习题，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握抛物线的相关知识。

通过反复练习和解答这些题目，相信大家能够在数学学习中取得更好的成绩。

2024年中考数学专项训练：函数实际综合应用(抛物线型问题)一、单选题1如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在AB处，此时桥洞中水面宽度AB仅为4米，桥洞顶部点O到水面AB的距离仅为1米；旱季最低水位线在CD处，此时桥洞中水面宽度CD达12米，那么最低水位CD与最高水位AB之间的距离为()A.8米B.9米C.10米D.11米2如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为()A.1B.1.5C.2D.33从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示，则当t=1.5s时，小球的高度为()A.18mB.20mC.25mD.30m4如图，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)具有h=20t-5t2的函数关系，下列解释正确的是()A.小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1sB.小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升C.小球从飞出到落地要用4sD.小球的飞行高度可以达到25m5如图1，校运动会上，依依同学进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系是y=-112x2+23x+53，则该同学此次投掷实心球的成绩是()A.8mB.9mC.10mD.12m6如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是()A.水流运行轨迹满足函数y=-140x2-x+1B.水流喷射的最远水平距离是40米C.喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米D.若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌7某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA,O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系(如图)，水流喷出的高度y m与水平距离x m之间的关系式是y=-x2+2x+3，则下列结论错误的是()A.柱子OA的高度为3mB.喷出的水流距柱子1m处达到最大高度C.喷出的水流距水平面的最大高度是3mD.水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外8如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为()A.0.5米B.22米C.33米D.0.85米二、填空题9某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y =-x 2+6x (单位：米)的一部分．则水喷出的最大高度是米．10“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图像，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的(如图)，水柱的最高点为P ，AB =2m ，BP =9m ，水嘴高AD =5m ，则水柱落地点C 到水嘴所在墙的距离AC 是m ．11某公园草坪上有一个草坪喷灌器OA ，从点A 向四周喷水，喷出的水柱类似于抛物线，且形状相同．如图是该喷灌器喷水时的截面图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的点C ，D 为最远的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y =-15x -4 2+5．则喷灌器OA 的高度是m ．12如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h (单位：m )与飞行时间t (单位：s )之间具有函数关系：h =-5t 2+20t ，则小球飞行最大高度是m ．13掷实心球是福建省中考体育考试的抽选考项目．实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y m 与水平距离x m ，抛出时起点处高度为53，当水平距离为3m 时，实心球行进至最高点3m 处，则行进高度y m 与水平距离x m 的关系式是．14一名男生在一个水平的训练场地里推铅球，铅球飞行高度y m 与距离该男生的水平距离x m 之间满足：y =-112x 2+23x +53，则铅球推出的距离为m ．15某市新建一座景观桥．桥的拱肋ADB 可视为抛物线的一部分，桥面AB 可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB 为40米，桥拱的最大高度CD 为16米(不考虑灯杆和拱肋的粗细)，则与CD 的距离为5米的景观灯杆MN 的高度为米．16如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO 与BD 均为0.9米，绳子甩到最高点C 处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．身高为1.4米的小吉站在距点О水平距离为m 米处，若他能够正常跳大绳(绳子甩到最高时超过他的头顶)，则m 的取值范围是．三、解答题17现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在的直线为x轴，以过点O作垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求OE= 12m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．(1)求满足设计要求的抛物线的函数解析式；(2)现需在这一隧道内壁的同样高度的A、B处安装上照明灯，如图所示，若要求A、B两个照明灯之间的水平距离为8m，求出此时A、B两个照明灯距离地面的高度．18如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手53米，铅球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4米处(即OC=4))，最高点高为3米，已知铅球经过的路线是抛物线．根据图示的直角坐标系回答下列问题．(1)求铅球所经过路线的函数表达式．(2)铅球的落地点离运动员有多远？19要修建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，水柱落地点A与点O在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高94m时，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．以O为原点，OA所在的直线为x轴，水管所在的直线为y轴，建立如图的直角坐标系．(1)求水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式；(2)求水柱落地点A到水池中心O的距离．20如图所示，一场篮球比赛中，某篮球队员甲的一次投篮命中，篮球运行轨迹为抛物线的一部分．已知篮球出手位置点A与篮筐的水平距离为5m，篮筐距地面的高度为3m，当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.6m．(1)求篮球出手位置点A的高度．(2)此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起拦截，已知乙的拦截高度为3.12m，那么他能否获得成功？并说明理由．(3)若甲在乙拦截时，突然向后后退0.2m，再投篮命中(此时乙没有反应过来，置没有移动)，篮球运行轨迹的形状没有变化，且篮球越过乙时，超过其拦截高度0.08m，求篮球出手位置的高度变化．参考答案：1.【答案】A【分析】本题主要考查二次函数的应用，结合图形弄清实际意义是解题的关键．以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，先求出函数关系式，再求出点D的坐标，最后求解即可．【详解】解：如图，以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为y=ax2，由题意可得B2,-1，代入函数关系式，得4a=1，解得a=-1 4，∴抛物线的解析式为y=-14x2，∵CD=12，∴可设D6,t，代入抛物线的解析式，得t=-14×62=-9，∴D6,-9，∴OF=9，∴EF=OF-OE=9-1=8，∴最低水位CD与最高水位AB之间的距离为8米．故选：A．2.【答案】D【分析】首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数的解析式，然后令y=0，即可求解．【详解】如图建立坐标系：抛物线的顶点坐标是(1，4)，设抛物线的解析式是y=a(x-1)2+4，把(0，3)代入解析式得：a+4=3，解得：a=-1，则抛物线的解析式是：y=-(x-1)2+4，当y=0时，-(x-1)2+4=0，解得：x1=3，x2=-1(舍去)，则水池的最小半径是3米．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式是本题的关键．3.【答案】D【分析】本题考查了二次函数的应用，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．由待定系数法求得函数解析式，再将t =1.5s 代入计算，即可求解．【详解】解：设函数解析式为h =a t -3 2+40，将0,0 代入得：0=a 0-3 2+40，解得a =-409，∴函数解析式为h =-409t -3 2+40，当t =1.5s 时，h =-4091.5-3 2+40=30，即小球的高度为30m故选：D ．4.【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据函数表达式，可以求出h =0的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程20t -5t 2=15的意义为h =15时所用的时间，据此解答．【详解】解：20t -5t 2=15的两根t 1=1与t 2=3，即h =15时所用的时间，∴小球的飞行高度是15m 时，小球的飞行时间是1s 或3s ，故A 不符合题意；h =20t -5t 2=-5(2-t )2+20，∴对称轴直线为：t =2，最大值为20，故D 不符合题意；∴t =3时，h =15，此时小球继续下降，故B 不符合题意；∵当h =0时，t 1=0，t 2=4，∴t 2-t 1=4，∴小球从飞出到落地要用4s ，故C 符合题意．故选：C ．5.【答案】C【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y =0，解方程即可．【详解】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，∴令y =0，则-112x 2+23x +53=0，整理得：x 2-8x -20=0，解得：x 1=10，x 2=-2(舍去)，答：该同学此次投掷实心球的成绩为10m ，故选：C ．6.【答案】C【分析】A 、设水流运行轨迹满足的函数关系式为y =a (x -20)2+11，用待定系数法求得a 的值即可求得答案；B 、把y =0代入函数y =-140x 2+x +1即可水流喷射的最远水平距离，C 、坡度为1：10的坡地解析式为y =110x ，设抛物线上点P (x , -140x 2+x +1),过P 作PQ ∥y 轴，交OA 于Q ，点Q (x , 110x ),PQ =-140x 2+x +1-110x =-140x -18 2+9.1，当x =18时喷射出的水流与坡面OA 之间的最大铅直高度；D 、向后平移后的解析式为y =-140(x -13)2+11，把x =30代入解析式求得y 的值，再减3后与2.3比较大小即可做出判断．【详解】解：A 、设水流运行轨迹满足的函数关系式为y =a (x -20)2+11，把(0，1)代入解析式得：400a +11=1，解得：a =-140，∴解析式为y =-140(x -20)2+11=-140x 2+x +1；故A 不符合题意；B 、当y =0时，-140(x -20)2+11=0；解得x =±2110+20，∴水流喷射的最远水平距离是2110+20米；故B 不符合题意；C 、坡度为1：10的坡地解析式为y =110x ，设抛物线上点P (x , -140x 2+x +1),过P 作PQ ∥y 轴，交OA 于Q ，点Q (x , 110x ),∴PQ =-140x 2+x +1-110x =-140x 2+910x +1=-140x -18 2+9.1，当x =18时喷射出的水流与坡面OA 之间的最大铅直高度是9.1米，故C 符合题意；D 、向后7米平移后的解析式为y =-140(x -13)2+11，当x =30时，y =3.775，3.775-3=0.775<2.3，∴不可以避开对这棵石榴树的喷灌，故选项D 不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7.【答案】C【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点(最大高度)，与x 轴，y 轴的交点，解答题目的问题．【详解】解：∵y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4，∴当x =0时，y =3，即OA =3m ，故A 正确，当x =1时，y 取得最大值，此时y =4，故B 正确，C 错误当y =0时，x =3或x =-1(舍去)，故D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．8.【答案】A【分析】根据题意建立直角坐标系，点(0，2.5)、(2，2.5)、(0.5，1)都在抛物线上，设抛物线解析式，列方程组，求解析式，根据解析式很容易就可求出抛物线的顶点坐标，纵坐标的绝对值即为绳子的最低点距地面的距离．【详解】以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．设抛物线的函数关系式为：y =ax 2+bx +c ．将(0，2.5)、(2，2.5)、(0.5，1)代入y =ax 2+bx +c 得：c =2.54a +2b +c =2.50.25a +0.5b +c =1 ，解得：a =2b =-4c =2.5，∴抛物线的表达式为：y =2x 2-4x +2.5；∵y =2x 2-4x +2.5=2(x -1)2+0.5，∴抛物线的顶点坐标为(1，0.5)，∴绳子的最低点距地面的距离为0.5米．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，本题关键在于正确选择原点建立直角坐标系，正确确定有关点的坐标，求出抛物线解析式．9.【答案】9【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y =-x 2+4x 的顶点坐标的纵坐标，利用配方法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y =-x 2+6x ，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y =-x 2+6x 的顶点坐标的纵坐标，∴y =-x 2+6x =-(x -3)2+9，∴顶点坐标为：(3,9)，∴喷水的最大高度为9米，故答案为：9．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．10.【答案】5【分析】以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，易得点D 和点P 的坐标，设抛物线的解析式为：y =a x -2 2+9，代入点D 的坐标求得函数的解析式，再求出点C 的坐标即可得到AC 的长度．【详解】解：以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A 0,0 ，D 0,5 ，P 2,9 ，∵点P 是最高点，∴设抛物线的解析式为：y =a x -2 2+9，将点D 坐标代入，可得：5=4a +9，解得：a =-1，∴y =-x -2 2+9，令y =0，解得：x 1=5，x 2=-1，∴点C 5,0 ，∴AC =5m ，故答案为：5．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键．11.【答案】1.8【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A 的坐标，进而可得出喷灌器OA 的值．【详解】解：当x =0时y =-15×0-4 2+5=1.8，∴点A 的坐标为0,1.8 ，∴喷灌器OA 的高度是1.8m ．故答案为：1.8．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点A 的坐标．12.【答案】20【分析】本题考查二次函数的应用．把一般式化为顶点式，即可得到答案．【详解】∵h =-5t 2+20t =-5(t -2)2+20且-5<0，∴当t =2时，h 取最大值20．故答案为：20．13.【答案】y =-427x 2+89x +53【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，解题的关键是根据题意列出函数解析式y =a x -3 2+3，把0，53 代入求出a 的值即可得出答案．【详解】解：∵当水平距离为3m 时，实心球行进至最高点3m 处，∴该抛物线的顶点坐标为3,3 ，∴设该抛物线的解析式为y =a x -3 2+3，∵抛出时起点处高度为53，∴该抛物线经过0，53 ．∴a 0-3 2+3=53，∴a =-427，∴y 关于x 的函数表达式是y =-427x -3 2+3=-427x 2+89x +53．故答案为：y =-427x 2+89x +53．14.【答案】10【分析】本题考查了实际问题与二次函数，当y =0时，解方程-112x 2+23x +53=0即可求解，此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．【详解】解：当y=0时，-112x2+23x+53=0，解得：x1=10，x2=-2(舍去)，∴铅球推出的距离为10m，故答案为：10．15.【答案】15【详解】以AB所在直线为x轴、CD所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为y=ax2+16，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当x=5时y的值即可．【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线表达式为y=ax2+16，由题意可知，B的坐标为20，0∴400a+16=0∴a=-125∴y=-125x2+16，∴当x=5时，y=15．答：与CD距离为5米的景观灯杆MN的高度为15米，故答案为：15．【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．16.【答案】1<m<5【分析】根据题意建立直角坐标系，提取出点的坐标求出抛物线解析式，根据能跳绳及高度大于1.4米列不等式即可得到m的值．【详解】解：以O为坐标原点，OA所在直线为y轴OD所在直线为x轴，由题意可得，A(0,0.9)，B(6,0.9)，C(3,1.8)，设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将点代入可得，c =0.99a +3b +c =1.836a +6b +c =0.9 ，解得：a =-110b =35c =910 ，∴y =-110x 2+35x +910，∵身高为1.4米的小吉站在距点О水平距离为m 米处能够正常跳大绳，即跳绳高度要高于1.4米，∴-110m 2+35m +910>1.4，当-110m 2+35m +910=1.4时，整理得m 2-6m +5=0，解得m 1=1，m 2=5，即身高为1.4米的小吉站在距点О水平距离1米处和5米处时，绳子恰好在头顶上，∵绳子甩到最高时要超过他的头顶，∴1<m <5，故答案为1<m <5．【点睛】本题考查二次函数的应用及坐标求法，解题的关键是建立适当的直角坐标系，会根据题意得出点的坐标．17.【答案】(1)y =-14(x -6)2+9(2)5m【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键．(1)设抛物线的函数表达式为y =-14(x -6)2+9，将0，0 代入，即可求解．(2)求出点A 的横坐标，即可求解．【详解】(1)解：∵OE =12m ，该抛物线的顶点P 到OE 的距离为9m ．∴抛物线的顶点P (6,9)，∴可设抛物线的解析式为y =a (x -6)2+9，把0，0 代入，得a =-14，∴抛物线的解析式为y =-14(x -6)2+9．(2)解：∵A 、B 距离地面的高度相同，∴A 、B 两点关于抛物线的对称轴对称．如图，过点B 作y 轴的垂线BQ ，交y 轴于点Q ，交抛物线的对称轴于点F ，则BF 经过点A ．由(1)知，抛物线的对称轴为x =6，则FQ =6．∵AB =8，则BF =AF =4，∴AQ =FQ -AF =2，BQ =QF +BF =10，∴A 点的横坐标为2，B 点的横坐标为10，令x =2，代入抛物线的解析式y =-14(x -6)2+9，得y =5，∴此时A 、B 两个照明灯距离地面的高度为5m ．18.【答案】(1)y =-112x -4 2+3(2)10米【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解题的关键是求出解析式；(1)设抛物线的解析式为y =a (x -4)2+3，运用待定系数法求出解析式即可；(2)由(1)中方程的解可以得出结论．【详解】(1)解：由题意得：A 点坐标为0,53，D 点坐标为(4,3)，且D 为抛物线的顶点，∴设抛物线的解析式为y =a (x -4)2+3，∴53=a (0-4)2+3，∴a =-112，∴抛物线解析式为y =-112(x -4)2+3；(2)解：令y =0，则0=-112(x -4)2+3，∴(x -4)2=36，解得x =10或x =-2(因为B 点在x 轴正半轴)，∴B 点坐标为(10,0)，∴OB =10，∴铅球的落地点离运动员有10米远，答：铅球的落地点离运动员有10米远．19.【答案】(1)y =-34x -1 2+3(2)水柱落地点A 到水池中心O 的距离为3m【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的性质是解题关键．(1)根据题意设抛物线解析式为y =a (x -1)2+3，把0,94代入解析式求出a 即可；(2)令y =0，解方程即可．【详解】(1)根据题意知，抛物线的顶点坐标为1,3 ，∴设抛物线解析式为y =a x -1 2+3，把0,94 代入解析式得，94=a +3，解得a =-34，∴水柱高度y 与距离池中心的水平距离x 的函数表达式为y =-34x -1 2+3；(2)令y=0，则-34x-12+3=0，解得x1=3，x2=-1(舍去)，∴A3，0，∴OA=3，∴水柱落地点A到水池中心O的距离为3m．20.【答案】(1)点A的高度为2.25m(2)获得成功，理由见解析(3)篮球出手位置的高度提高了0.074m【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，以及求二次函数解析式．(1)根据题意可得两点(3,3.6)和(5,3)，可设抛物线的表达式为：y=a x-32+3.6，代入即可求得解析式；(2)将x=1代入即可求得函数值，再与3比较大小即可；(3)根据题意求得变化后的函数解析式，结合数据的变化即可求得变化值．【详解】(1)解：由题意得，抛物线的顶点为：(3,3.6)，抛物线过点(5,3)，设抛物线的表达式为：y=a x-32+3.6，将(5,3)代入上式得：3=a5-32+3.6，解得：a=-0.15，则抛物线的表达式为：y=-0.15x-32+3.6，当x=0时，y=-0.150-32+3.6=2.25，即点A的高度为2.25m；(2)获得成功，理由：当x=1时，y=-0.15(x-3)2+3.6=-0.15(1-3)2+3.6=3<3.12，故能获得成功；(3)由题意得，新抛物线的a=-0.15，抛物线过点(5,3)、(1,3.2)，则设抛物线的表达式为：y=-0.15x2+bx+c，则3.2=-0.15+b+c3=-0.15×25+5b+c，解得：b=0.85c=2.5，则抛物线的表达式为：y=-0.1x2+0.85x+2.5，当x=-1时，y=-0.1x2+0.85x+2.5=2.324>2.25，则2.324-2.25=0.074，故篮球出手位置的高度提高了0.074m．。

函数的实际应用-中考数学重难点题型专题汇总抛物线型问题（专题训练）1.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根OE ，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．据设计要求：10m(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．2.甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽8m OA =，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时，桥下水位刚好在OA 处．有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线()20y ax bx c a =++≠，该抛物线在x 轴下方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移()0m m >个单位长度，平移后的函数图象在89x ≤≤时，y 的值随x 值的增大而减小，结合函数图象，求m 的取值范围．3.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．4.如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB 在x 轴上，且8AB =dm ，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y 轴，高度8OC =dm ．现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．5.跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点，落地点超过K 点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA 为66m ，基准点K 到起跳台的水平距离为75m ，高度为m h （h 为定值）．设运动员从起跳点A 起跳后的高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的函数关系为2(0)y ax bx c a =++≠．(1)c 的值为__________；(2)①若运动员落地点恰好到达K 点，且此时19,5010a b =-=，求基准点K 的高度h ；②若150a =-时，运动员落地点要超过K 点，则b 的取值范围为__________；(3)若运动员飞行的水平距离为25m 时，恰好达到最大高度76m ，试判断他的落地点能否超过K 点，并说明理由．6.根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．7.公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？8.如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y （米）与其离墙体A 的水平距离x （米）之间的关系满足216y x bx c =-++，现测得A ，B 两墙体之间的水平距离为6米．图2（1）直接写出b ，c 的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为3724米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？9.如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24m ，在距离D 点6米的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱项部O离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．。

专题十四实际生活中抛物线型问题与二次函数建模(363)1.如图所示的是抛物线形拱桥的截面图，当拱顶离水面4m时，水面宽8m．若水面上升3m，则水面宽度减少多少？下面给出了解决这个问题的两种方法．方法一:如图①，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧的交点为原点，以上升前的水面所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线的函数解析式为；当y=3时，求出此时自变量x的值，即可解决这个问题．方法二:如图②，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线的函数解析式为；当y=时，求出此时自变量x的值，即可解决这个问题．2.如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．(1)经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案(如图)，你选择的方案是(填“方案一”“方案二”或“方案三”)，则点B的坐标是，求出你所选方案中的抛物线的函数解析式；(2)因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．3.如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线．如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到喷水枪底部B的距离．4.随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽．小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；(2)求出水柱的最大高度是多少？参考答案2(1)【答案】解：方案一，点B的坐标为(5,0)．设抛物线的函数解析式为y=a(x+5)(x−5)．由题意可以得到抛物线的顶点坐标为(0,5)，将其代入函数解析式可得a=−15．∴抛物线的函数解析式为y=−15(x+5)(x−5)．方案二：点B的坐标为(10,0)，设抛物线的函数解析式为y=ax(x−10)，由题意可以得到抛物线的顶点坐标为(5,5)，将其代入函数解析式可得a=−15．∴抛物线的函数解析式为y=−15x(x−10)．方案三：点B的坐标为(5,−5)，由题意可以得到抛物线的顶点坐标为(0,0)，设抛物线的函数解析式为y=ax2，把点B的坐标(5,−5)代入函数解析式可得a=−15，∴抛物线的函数解析式为y=−15x2.(2)【答案】方案一：由题意得：把x=3代入y=−15(x+5)(x−5)，解得y=165=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．方案二：由题意得：把x=2代入y=−15x(x−10)，解得y=165=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．方案三：由题意得：把x =3代入y =−15x 2，解得y =−95=−1.8，∴水面上涨的高度为5−1.8=3.2(m)．4(1)【答案】如图，以喷水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x 轴，喷水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．由题意可设抛物线的函数解析式为y =a(x −1)2＋ℎ(0≤x ≤3)．抛物线过点(0，2)和(3，0)，代入抛物线解析式可得{4a +ℎ=0,a +ℎ=2.解得{a =−23,ℎ=83．所以，抛物线解析式为y =−23(x −1)2+83(0≤x ≤3)．化为一般式为y =−23x 2＋43x ＋2(0≤x ≤3)．(2)【答案】由(1)知抛物线解析式为y =−23(x −1)2+83(0≤x ≤3)．当x =1时，y =83． 所以抛物线水柱的最大高度为83米。

抛物线的练习题抛物线的练习题在数学学科中，抛物线是一个经常出现的图形，它具有许多有趣的性质和应用。

通过解决抛物线的练习题，我们不仅可以加深对抛物线的理解，还可以提高我们的数学思维能力和解决问题的能力。

下面，我们来看一些关于抛物线的练习题。

练习题一：求顶点坐标已知抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

求抛物线的顶点坐标。

解答：顶点是抛物线的最高点或最低点，它的 x 坐标可以通过公式 x = -b/2a求得。

将 x = -b/2a 代入抛物线的方程，即可求得顶点的 y 坐标。

练习题二：求焦点坐标已知抛物线的焦点坐标为 F(x1, y1)，顶点坐标为 V(xv, yv)，且焦距为 p。

求抛物线的方程。

解答：根据抛物线的定义可知，焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到直线的距离。

利用这个性质，我们可以得到焦点坐标与顶点坐标之间的关系。

根据焦点到顶点的距离等于焦距 p，可以得到以下关系式：√((x1 - xv)^2 + (y1 - yv)^2) = p将抛物线的标准方程 y = ax^2 + bx + c 代入上述关系式，再利用顶点坐标的求解方法，可以得到抛物线的方程。

练习题三：求抛物线与直线的交点已知抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c，直线的方程为 y = mx + n。

求抛物线与直线的交点坐标。

解答：将直线的方程代入抛物线的方程，可以得到一个关于 x 的二次方程。

解这个二次方程，即可求得交点的 x 坐标。

将求得的 x 坐标代入直线的方程，即可求得交点的 y 坐标。

练习题四：求两条抛物线的交点已知两条抛物线的方程分别为 y1 = a1x^2 + b1x + c1 和 y2 = a2x^2 + b2x + c2，其中a1 ≠ 0，a2 ≠ 0。

求两条抛物线的交点坐标。

解答：将两条抛物线的方程相减，可以得到一个关于 x 的二次方程。

解这个二次方程，即可求得交点的x 坐标。

2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线型实际应用考情分析年份题号题型分值结合背景解题关键点设问形式202225解答题8抛物线型——隧道截面(1)理解题意，得顶点坐标；(2)点A、B纵坐标为6(一对对称点)(也可理解为抛物线与直线y=6的交点)(1)求抛物线表达式；(2)求抛物线上两点坐标（对称点）典例精讲例已知篮筐距地面3.05m，小亮站在距篮筐水平距离4m处跳起投篮，篮球的运行路线是抛物线的一部分，当篮球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐．篮球和篮筐均看作一个点，建立如图所示的平面直角坐标系，y轴经过抛物线的顶点．例题图(1)求小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的解析式；(2)已知小亮的身高是1.8m，在这次跳投中，篮球在他头顶上方0.25m处出手，求球出手时小亮跳离地面的高度是多少米？(3)若小亮投篮后篮球被篮筐弹了出来，恰被距篮筐水平距离为5m处的小明跳起来接住，小明接球的高度为2.3m．已知篮球弹出后运行路线也是抛物线的一部分(两抛物线在同一平面内)，运行的水平距离为2m时到达最高点．若小明不接球，让篮球自由落地，则落地点到篮筐的水平距离是多少m?抛物线型实际应用题解题关键点是理解题意，从题干中梳理信息，把实际情境下的数字信息转化为数学问题，借助函数图象解决.练习(2022宁夏真题卷)2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米．以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为(4，12)，着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3∶4(即34 CEDE)．练习题图求：(1)点A的坐标；(2)该抛物线的函数表达式；(3)起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．(精确到0.1米) (≈1.73)练习1夏天，为了防止蚊虫污染饭菜，爷爷用细竹篾编了一个罩子保护饭菜(如图①)．它的横截面可以看成一个抛物线的形状．壮壮测得菜罩的跨度为80厘米，高度为32厘米，壮壮就以菜罩左边缘为原点建立平面直角坐标系(如图②)．练习1题图(1)求抛物线的解析式；(2)壮壮的妈妈想购买一批直径为24厘米，高度为2.5厘米的盘子，要使菜罩紧贴桌面，菜罩内一排能放下三个这样的盘子吗？请说明理由．练习2某游乐园计划在道路AB上方搭建一座抛物线型彩虹桥，已知道路AB的宽为40米，桥面最高处C点距离路面的距离OC为8米．以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示.练习2题图(1)求这座彩虹桥的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；(2)按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个桥墩进行支撑，若要保障道路AB的正常通行，两个桥墩之间的距离至少需要30米，求桥墩的最大高度(不考虑桥墩的宽度);(3)若在该彩虹桥下方有一个限高4米的横杆，现要在横杆上方设置一个宽18米，高2米的广告牌，问：在不超出桥面的情况下，这个广告牌能否按计划设置(不考虑横栏的宽度)?答案典例精讲例解：(1)∵抛物线的顶点在y轴上，∴该抛物线的对称轴是y轴，∴设抛物线解析式为y＝ax2＋3.5(a≠0)，∵小亮距y轴的水平距离为2.5m，距篮筐水平距离为4m，∴篮筐距y轴的水平距离为4－2.5＝1.5m，∴篮筐的坐标为(1.5，3.05)，把(1.5，3.05)代入抛物线解析式，得3.05＝a×1.52＋3.5，解得a＝－0.2，∴篮球运行路线所在抛物线的解析式为y＝－0.2x2＋3.5(－2.5≤x≤1.5)；(2)设球出手时，小亮跳离地面的高度为h m，则球出手时，球的高度为h＋1.8＋0.25＝(h＋2.05)m，∴h＋2.05＝－0.2×(－2.5)2＋3.5，解得h＝0.2，∴篮球出手时，小亮跳离地面的高度为0.2m；(3)∵篮球弹出后运行的水平距离为2m时到达最大高度，篮筐到y轴的距离为1.5m，∴篮球弹出后运行路线所在抛物线的对称轴是直线x＝1.5－2＝－0.5，∴设该抛物线的解析式为y＝a′(x＋0.5)2＋k，∵小明到篮筐的水平距离为5m，∴小明距y轴的水平距离为3.5m，∴抛物线经过点(－3.5，2.3)，(1.5，3.05)，代入抛物线解析式可得，222.3=(3.50.5)=0.153.653.05(1.50.5)a k aka k''⎧-++-⎧⎪⎨⎨='=++⎪⎩⎩，解得，∴抛物线的解析式为y＝－0.15(x＋0.5)2＋3.65，令－0.15(x＋0.5)2＋3.65＝0，解得x10.5，x20.5(舍去)，∴篮球落地点距y 轴(0.5)m ，0.5＋1.5＝2)m ，∴若小明不接球，则篮球落地点到篮筐的水平距离为(3＋2)m.课堂练兵练习解：(1)点A 的坐标为(0，4)；(2)∵抛物线最高点B 的坐标为(4，12)，∴点B 是抛物线顶点，抛物线可设为y ＝a (x －4)2＋12(a ≠0)，把点(0，4)代入得a (0－4)2＋12＝4，解得a ＝－12，∴该抛物线的函数表达式为y ＝－12(x －4)2＋12，即y ＝－12x 2＋4x ＋4；(3)在Rt △CDE 中，∵34CE DE =；∴设CE ＝3x ，则DE ＝4x ，由勾股定理得CD ＝5x ＝2.5，解得x ＝0.5，∴CE ＝1.5，DE ＝2，∴点D 的纵坐标为－1.5，将y D ＝－1.5代入抛物线y ＝－12(x －4)2＋12，得－12(x D －4)2＋12＝－1.5，解得x D ＝4＋或4－(舍去)，∴OC ＝x D －ED ＝4＋2＝2＋≈7.2(米)．∴起跳点A 与着陆坡顶端C 之间的水平距离OC 的长约为7.2米．课后小练练习1解：(1)设抛物线解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，由题意知，其顶点坐标为(40，32)，则抛物线为y ＝a (x －40)2＋32，把点(80，0)代入，得0＝a (80－40)2＋32，解得a ＝－150.∴抛物线的解析式为y ＝－150(x －40)2＋32；(2)能放下．理由如下：当x ＝803242-⨯＝4时，y ＝－150×(4－40)2＋32＝6.08>2.5.∴菜罩内一排能放下三个这样的盘子．练习2解：(1)∵AB ＝40，∴OB ＝20.设抛物线的解析式为y＝ax2＋c，又∵抛物线经过点C(0，8)和点B(20，0)，∴＝8，400＋＝0，解得＝－0.02，＝8，∴抛物线的解析式为y＝－0.02x2＋8(－20≤x≤20)；(2)∵两个桥墩之间的距离至少为30米，且对称安置，∴桥墩距离中心OC的距离至少为15米．令x＝15，得y＝－0.02×152＋8＝3.5，∴桥墩的最大高度3.5米；(3)由题意可得，广告牌的最高处距离路面的距离为4＋2＝6米．令y＝6，则－0.02x2＋8＝6，解得x1＝－10，x2＝10，∴距离路面的距离为6米时桥面的宽度为20米．∵18＜20，∴这个广告牌能按计划设置．。