高考抛物线专题做题技巧与方法总结附精选提升训练练习题(含答案)

高三抛物线练习题答案1. 练习题一题目：求解抛物线y = ax^2 + bx + c的顶点坐标。

解答：首先，我们知道抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。

在题目中给定了抛物线的表达式为y = ax^2 + bx + c，因此我们可以直接利用该表达式计算顶点坐标。

答案：顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。

2. 练习题二题目：已知抛物线的焦点为F，直线l是该抛物线的准线，证明直线l过焦点F的垂线。

解答：首先，根据焦准定义可知，抛物线上的每一点到焦点的距离与该点到准线的距离相等。

设P为抛物线上的任意一点，d1为焦点F到点P的距离，d2为点P到准线l的距离。

根据问题所求证，我们需要证明直线l过点P的垂线。

假设直线l不过点P的垂线，即直线l与过点P的垂线的交点为Q。

由于点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离，可知点Q也同时满足该条件。

然而，这与焦准定义相矛盾，因为焦准定义要求点P到焦点F的距离与点P到准线l的距离相等，但我们假设的交点Q违反了这个条件。

因此，通过反证法可证明直线l过焦点F的垂线。

答案：直线l过焦点F的垂线。

3. 练习题三题目：已知抛物线y = x^2的焦点为F，点P为抛物线上的一点，且点P到焦点F的距离为2。

求点P的坐标。

解答：根据已知条件，我们知道焦点F的坐标为(0, 1)。

要求点P的坐标，我们首先需要知道点P在抛物线上的纵坐标，即抛物线的函数表达式为y = x^2，代入点P的横坐标为x，得到点P的纵坐标为x^2。

由于点P到焦点F的距离为2，可以利用距离公式得到方程：√((x-0)^2 + (x^2-1)^2) = 2化简上述方程，得到：x^4 - x^2 - 3 = 0解这个方程，可以得到x的两个解，再带入y = x^2即可求得点P的坐标。

答案：点P的坐标为(-√3, 3)和(√3, 3)。

通过以上三个练习题的解答，我们可以发现在高三抛物线练习题中，需要灵活运用抛物线的性质和公式，进行问题求解。

江苏高考复习抛物线专题练习（带答案）平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，以下是江苏2021-2021高考温习抛物线专题练习，请考生仔细练习。

(2021泰州中学检测)给定圆P：x2+y2=2x及抛物线S：y2=4x，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下依次记为A，B，C，D，假设线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l的方程.[解] 圆P的方程为(x-1)2+y2=1，那么其直径长|BC|=2，圆心为P(1,0)，设l的方程为ky=x-1，即x=ky+1，代入抛物线方程得：y2=4ky+4，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，有那么(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=16(k2+1).故|AD|2=(y1-y2)2+(x1-x2)2=(y1-y2)2+2=(y1-y2)2=16(k2+1)2，因此|AD|=4(k2+1).依据等差数列性质得2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|，|AD|=3|BC|=6，即4(k2+1)=6，k=，即l方程为x-y-=0或x+y-=0.2.(2021苏州调研)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴.求证：直线AC经过原点O.【惯例证法】抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，显然直线AB的斜率不为0，当AB斜率不存在时，直线AP方程为x=，无妨设A在第一象限，那么易知A，B，C，此时kOA==2，kOC==2.kOA=kOC，A，O，C三点共线，即直线AC经过原点O.当AB斜率存在且不为0时，设直线AB方程为y=k代入y2=2px 得k2x2-(k2+2)px+=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x2=，(y1y2)2=p4，由题意知y1y20，y1y2=-p2kOC======kOA直线AC过原点O，综上，直线AC经过原点O.【巧妙证法】由于抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，而直线AB的斜率不为零，所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+.代入抛物线方程消去x得y2-2pmy-p2=0.假定记A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2=-p2.由于BCx轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标为，故直线CO的斜率为k===，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.3.(2021南师附中检测)设A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y2=2px(p0)上位于x轴两侧的两点.(1)假定y1y2=-2p，证明直线AB恒过一个定点;(2)假定p=2，AOB(O是坐标原点)为钝角，求直线AB在x轴上的截距的取值范围.[解] (1)设直线AB在x轴上的截距为t，那么可设直线AB 的方程为x=my+t.代入y2=2px得y2=2p(my+t)，即y2-2pmy-2pt=0，于是-2p=y1y2=-2pt，所以t=1，即直线AB 恒过定点(1,0).(2)由于AOB为钝角，所以0，即x1x2+y1y20.y=2px1，y=2px2，yy=2px12px2，于是x1x2===t2，故x1x2+y1y2=t2-2pt=t2-4t.解不等式t2-4t0，得00)把点P(-2，-4)代入得(-4)2=-2p(-2).解得p=4，抛物线方程为y2=-8x.当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2=-2py(p0)，把点P(-2，-4)代入得(-2)2=-2p(-4).解得p=.抛物线方程为x2=-y.综上可知抛物线方程为y2=-8x或x2=-y.[答案] y2=-8x或x2=-y4.(2021广东高考)抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时，求|AF||BF|的最小值.[解题思绪] (1)由点到直线的距离求c的值，失掉F(0，c)后可得抛物线的方程;(2)采用设而不求战略，先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，结合导数求切线PA，PB的方程，代入点P 的坐标，依据结构，可得直线AB的方程;(3)将|AF||BF|转化为关于x(或y)的函数，再求最值.[解] (1)依题意，设抛物线C的方程为x2=4cy(c0)，由点到直线的距离公式，得=，解得c=1(负值舍去)，故抛物线C的方程为x2=4y.(2)由x2=4y，得y=x2，其导数为y=x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x=4y1，x=4y2，切线PA，PB的斜率区分为x1，x2，所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1)，即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.由于切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，所以和为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由消去x并整理失掉关于y的方程为y2+(2y0-x)y+y=0.由一元二次方程根与系数的关系得y1+y2=x-2y0，y1y2=y.所以|AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0-y0-2=0，即x0=y0+2，所以y+x-2y0+1=2y+2y0+5=22+，所以当y0=-时，|AF||BF|取得最小值，且最小值为.江苏2021-2021高考温习抛物线专题练习及答案的一切内容就是这些，更多精彩内容请继续关注查字典数学网。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（抛物线）练习一. 基础小题练透篇1．已知点P 到点F (0，1)的距离比它到直线l ：y ＋2＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＝－4yB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x2．[2023ꞏ江西省南昌市摸底]设F 为抛物线C ：x 2＝16y 的焦点，直线l ：y ＝－1，点A 为C 上一点且|AF |＝5，过点A 作AP ⊥l 于P ，则|AP |＝( )A.4 B ．3 C ．2 D ．13．已知抛物线y 2＝8x 的准线为l ，点P 是抛物线上的动点，直线l 1的方程为2x －y ＋3＝0，过点P 分别作PM ⊥l ，垂足为M ，PN ⊥l 1，垂足为N ，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．655 B ．755C ．5D ．2＋3554．已知抛物线y 2＝16x ，过点M (2，0)的直线交抛物线于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|AF |＝12，O 为坐标原点，则四边形OAFB 的面积是( )A.202 B ．102 C ．52 D ．5225．[2023ꞏ湖南省湘潭市一模]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点T 在C 上，且|FT |＝52 ，若点M 的坐标为(0，1)，且MF ⊥MT ，则C 的方程为( )A ．y 2＝2x 或y 2＝8xB ．y 2＝x 或y 2＝8xC ．y 2＝2x 或y 2＝4xD ．y 2＝x 或y 2＝4x6．已知直线l ：y ＝k (x －2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若AF → ＝2FB →，则k 的值是( )A ．13 B ．223 C ．22 D ．247．[2023ꞏ江苏省高三月考]已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，在C 上有一点P ，||PF ＝8，则点P 到x 轴的距离为____________．8．[2023ꞏ广东省深圳市月考]已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，点A 为抛物线C 上横坐标为3的点，过点A 的直线交x 轴的正半轴于点B ，且△ABF 为正三角形，则p ＝________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ广西柳州市摸底考试]已知F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，直线l 是抛物线的准线，则F 到直线l 的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．82．[2023ꞏ陕西省西安市高三模拟]已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A 是抛物线E 的准线与坐标轴的交点，点P 在抛物线E 上，若∠P AF ＝30°，则sin ∠PF A ＝( )A ．12B ．33C ．34D ．323．[2023ꞏ四川大学模拟]设点P 是抛物线C 1：x 2＝4y 上的动点，点M 是圆C 2：(x －5)2＋(y ＋4)2＝4上的动点，d 是点P 到直线y ＝－2的距离，则d ＋|PM |的最小值是( )A ．52 －2B ．52 －1C ．52D ．52 ＋14．[2023ꞏ四川省高三模拟]已知△ABC 的三个顶点都在抛物线y 2＝4x 上，点M (2，0)为△ABC 的重心，直线AB 经过该抛物线的焦点，则线段AB 的长为( )A ．8B ．6C ．5D ．45．[2023ꞏ广东省开平市高三检测]已知F 是抛物线C ：y 2＝16x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若3FM → ＝2MN →，则||FN ＝__________．6．[2023ꞏ江苏省南京模拟]已知圆C: (x －3)2＋y 2＝4，点M 在抛物线T ：y 2＝4x 上运动，过点M 引直线l 1，l 2与圆C 相切，切点分别为P ，Q ，则|PQ |的取值范围为________．三. 高考小题重现篇1.[2022ꞏ全国乙卷]设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3，0)，若||AF ＝||BF ，则||AB ＝( )A ．2B ．2 2C ．3D ．322．[2020ꞏ全国卷Ⅰ]已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．93．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，0B ．⎝⎛⎭⎫12，0C ．(1，0)D ．(2，0)4．[2020ꞏ北京卷]设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( )A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP5．[2021ꞏ北京卷]已知抛物线C ：y 2＝4x ，C 的焦点为F ，点M 在C 上，若|FM |＝6，则M 的横坐标是________．6．[2021ꞏ山东卷]已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ湖北省高三联考]记以坐标原点为顶点、F (1，0)为焦点的抛物线为C ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．(1)已知点M 的坐标为(－2，0)，求∠AMB 最大时直线AB 的倾斜角；(2)当l 的斜率为12 时，若平行l 的直线m 与C 交于M ，N 两点，且AM 与BN 相交于点T ，证明：点T 在定直线上．2．[2023ꞏ山西省运城市模拟]已知P (1，2)在抛物线C ：y 2＝2px 上． (1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线P A 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：B答案解析：由题意，点P 到点F （0，1）的距离等于它到直线y ＝－1的距离，则点P的轨迹是以F 为焦点，y ＝－1为准线的抛物线，则点P 的轨迹方程为x 2＝4y .2．答案：C答案解析：抛物线方程C ：x 2＝16y ，准线方程为：y ＝－4，因为|AF |＝5，所以点A 到准线的距离为5，且y A ＞0，直线l ：y ＝－1与准线方程的距离为d ＝3，所以|AP |＝5－3＝2 .3．答案：B答案解析：令抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，则F （2，0），连接PF ，如图，因为l 是抛物线y 2＝8x 的准线，点P 是抛物线上的动点，且PM ⊥l 于M ，于是得|PM |＝|PF |，点F （2，0）到直线l 1：2x －y ＋3＝0的距离d ＝|2×2－0＋3|22＋（－1）2＝755 ，又PN ⊥l 1于N ，显然点P 在点F 与N 之间，于是有|PM |＋|PN |＝|PF |＋|PN |≥d ，当且仅当F ，P ，N三点共线时取“＝”，所以|PM |＋|PN |的最小值为d ＝755.4．答案：A答案解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程为x ＝－4，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线的定义可知，x 1＋4＝12，x 1＝8，y 21 ＝16×8，由抛物线的对称性，不妨令y 1＝82 ，设直线AB 的方程为x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝16x ， 得y 2－16my －32＝0，y 1y 2＝－32，∴y 2＝－22 ，四边形OAFB 的面积S ＝12 |OF |·|y 1－y 2|＝12×4×102 ＝202 .5．答案：A答案解析：设T （x 0，y 0），则MT → ＝（x 0，y 0－1），又由F （p 2 ，0），所以MF →＝（p 2，－1），因为MF ⊥MT ，所以MF → ·MT →＝0，可得p 2x 0－y 0＋1＝0，由y 20 ＝2px 0，联立方程组，消去x 0，可得y 20 －4y 0＋4＝0，所以y 0＝2，x 0＝2p，故T（2p，2），又由|FT |＝x 0＋p 2 ＝52 ，所以52 －p 2 ＝2p ，即p 2－5p ＋4＝0，解得p ＝1或p ＝4，所以C 的方程为y 2＝2x 或y 2＝8x .6．答案：C答案解析：直线l ：y ＝k （x －2）（k ＞0）过（2，0），即直线l 过抛物线的焦点F （2，0），画出图象如图所示，过A 作直线垂直于抛物线的准线，垂足为D ；过B 作直线垂直于抛物线的准线，垂足为C ，过B 作BE ⊥AD ，交AD 于E .依题意AF → ＝2FB →，设|AF |＝2|BF |＝2t （t ＞0）， 则|AE |＝|AD |－|BC |＝t ，|AB |＝|AF |＋|BF |＝3t ，|BE |＝（3t ）2－t 2＝22 t ，所以直线l 的斜率k ＝|BE ||AE | ＝22 . 7．答案：43答案解析：由抛物线的定义可知：||PF ＝x p ＋2＝8，所以x p ＝6，代入y 2＝8x 中，得y 2p ＝48，所以||y p ＝43 ，故点P 到x 轴的距离为43 . 8．答案：2答案解析：由题意可知，当B 在焦点F 的右侧时，|AF |＝3＋p 2 ，|FD |＝3－p2，又|FD |＝12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋p 2 ，所以12 ⎝⎛⎭⎪⎫3＋p 2 ＝3－p2 ，解得p ＝2；当B 在焦点F 的左侧时，同理可得p ＝18，此时点B 在x 轴的负半轴，不合题意．二 能力小题提升篇1．答案：B答案解析：由y 2＝8x 得p ＝4，所以F 到直线l 的距离为p ＝4. 2．答案：B答案解析：过P 作准线的垂线，垂足为Q ，由∠PAF ＝30°，可得∠APQ ＝30°，由题意如图所示：在Rt△AQP 中，cos ∠APQ ＝|QP ||PA | ＝32， 由抛物线的性质可得|PQ |＝|PF |，所以|PF ||PA | ＝32 ， 在△PAF 中，由正弦定理可得：|PA |sin ∠PFA ＝|PF |sin ∠PAF ，所以sin ∠PFA ＝|AP ||PF | ·sin ∠PAF ＝23·12 ＝33 . 故选B.3．答案：B答案解析：由题知圆C 2：（x －5）2＋（y ＋4）2＝4， ∴C 2()5，－4 ，r ＝2F （0，1）为抛物线焦点，y ＝－1为抛物线准线， 则过点P 向y ＝－1作垂线垂足为D ，如图所示：则d ＝1＋||PD ，根据抛物线定义可知||PD ＝||PF ， ∴d ＝1＋||PF ，∴d ＋|PM |＝1＋||PF ＋||PM ，若求d ＋|PM |的最小值，只需求||PF ＋||PM 的最小值即可， 连接FC 2与抛物线交于点P 1，与圆交于点M 1，如图所示，此时||PF ＋||PM 最小，为||FC 2 －r ，()d ＋||PMmin＝1＋||FC 2 －r ，∵F （0，1），C 2()5，－4 ，∴||FC 2 ＝52 ，∴()d ＋||PM min ＝1＋||FC 2 －r ＝52 －1. 故选B. 4．答案：B答案解析：设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，则F （1，0）.根据题意可知，点M （2，0）为△ABC 的重心，若直线AB 的斜率不存在， 则不妨取A （1，2），B （1，－2），则结合重心可得C 为（4，0），不合题意； 故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k （x －1），k ≠0，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （m ，n ），则有y 21 ＝4x 1，y 22 ＝4x 2，n 2＝4m ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1）， 得ky 2－4y －4k ＝0，Δ＝16（1＋k 2）>0， 则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，因为点M （2，0）为△ABC 的重心，所以n ＋y 1＋y 23＝0， 即n ＝－()y 1＋y 2 ，所以m ＋x 1＋x 23 ＝2，∴m ＋x 1＋x 2＝n 2＋y 21 ＋y 22 4＝2()y 1＋y 22－2y 1y 24 ＝6，即32k2 ＋8＝24，解得k 2＝2，则||AB ＝x 1＋x 2＋p ＝()y 1＋y 22－2y 1y 24＋2＝4k2 ＋4＝6，故线段AB 的长为6，故选B.5．答案：16答案解析：易知焦点F 的坐标为（4，0），准线l 方程为x ＝－4，如图， 抛物线准线与x 轴交点为A ，作MB ⊥l 于B ，NC ⊥l 于C ，AF ∥MB ∥NC ，则||MN ||NF ＝||BM －||CN ||OF ，由3FM → ＝2MN →，得||MN ||NF ＝35，又||CN ＝4，||OF ＝4，所以||BM －44 ＝35 ，||BM ＝325 ，||MF ＝||BM ＝325 ，||MF ||NF ＝25，所以||FN ＝16.6．答案：[22 ，4）答案解析：如图，连接CP ，CQ ，CM ，依题意，CP ⊥MP ，CQ ⊥MQ ，而|CP |＝|CQ |＝2，而|MP |＝|MQ |，则CM 垂直平分线段PQ ，于是得四边形MPCQ 的面积为Rt△CPM 面积的2倍，从而得12 |PQ |·|CM |＝2·12 |CP |·|MP |，即|PQ |＝2|CP |·|MP ||CM | ＝4|CM |2－|CP |2|CM | ＝41－4|CM |2 ，设点M （t ，s ），而C （3，0），s 2＝4t （t ≥0），则|CM |2＝（t －3）2＋s 2＝t 2－2t ＋9＝（t －1）2＋8≥8，当且仅当t ＝1时取“＝”，∀t ≥0，|CM |2∈[8，＋∞），因此得0<4|CM |2 ≤12 ，即12 ≤1－4|CM |2 <1，得22 ≤|PQ |<4， 所以|PQ |的取值范围为[22 ，4）.三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：由题意得，F （1，0），则||AF ＝||BF ＝2，即点A 到准线x ＝－1的距离为2，所以点A 的横坐标为－1＋2＝1， 不妨设点A 在x 轴上方，代入得，A （1，2）， 所以||AB ＝（3－1）2＋()0－22＝22 .故选B.2．答案：C答案解析：设焦点为F ，点A 的坐标为（x 0，y 0），由抛物线定义得|AF |＝x 0＋p2，∵点A 到y 轴距离为9，∴x 0＝9， ∴9＋p2 ＝12，∴p ＝6. 3．答案：B答案解析：由抛物线的对称性不妨设D 在x 轴上方、E 在x 轴下方．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y 2＝2px得D （2，2p ），E （2，－2p ），∵OD ⊥OE ，∴OD → ·OE → ＝4－4p ＝0，∴p ＝1，∴C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 . 4．答案：B 答案解析：不妨设抛物线的方程为y 2＝2px （p >0），P （x 0，y 0）（x 0>0），则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，y 0 ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ，直线FQ 的斜率为－y 0p ，从而线段FQ 的垂直平分线的斜率为p y 0 ，又线段FQ 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 02 ，所以线段FQ 的垂直平分线的方程为y －y 02 ＝py 0 （x －0），即2px －2y 0y ＋y 2＝0，将点P 的横坐标代入，得2px 0－2y 0y ＋y 20 ＝0，又2px 0＝y 20 ，所以y ＝y 0，所以点P 在线段FQ 的垂直平分线上．5．答案：5答案解析：设点M 的坐标为（x 0，y 0），则有|FM |＝x 0＋1＝6，解得x 0＝5.6．答案：x ＝－32答案解析：不妨设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋p2，0 ， PQ →＝（6，－p ），因为PQ ⊥OP ，所以p2×6－p 2＝0，∵p >0，∴p ＝3，∴C 的准线方程为x ＝－32.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）设直线的方程为x ＝my ＋1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）()y 1>0，y 2<0 . 记∠AMF ＝α，∠BMF ＝β，则tan α＝y 1x 1＋2＝y 1my 1＋3， tan β＝－y 2x 2＋2 ＝－y 2my 2＋3， 则tan ∠AMB ＝tan ()α＋β ＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3()y 1－y 2()m 2＋1y 1y 2＋3m ()y 1＋y 2＋9. 由题设得抛物线方程为y 2＝4x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x ＝my ＋1 消去x 得y 2－4my －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0y 1＋y 2＝4m y 1y 2＝－4，y 1－y 2＝4m 2＋1 ，∴tan ∠AMB ＝12m 2＋18m 2＋5，令t ＝m 2＋1 ，则t ≥1，∴tan ∠AMB ＝12t 8t 2－3 ＝128t －3t. 由单调性得当t ＝1时，tan ∠AMB 最大为125，此时m ＝0，直线AB 的倾斜角为90°. （2）设T ()x 0，y 0 ，TM → ＝λTA → ()λ≠1 则由AB ∥MN 得TN → ＝λTB →， ∴⎩⎨⎧y M －y 0＝λ()y A －y 0y N －y 0＝λ()y B －y 0 ，∴y M ＋y N －2y 0＝λ()y A ＋y B －2y 0 . 又∵k AB ＝12，∴y A －y B x A －x B ＝4y A ＋y B ＝12 ⇒y A ＋y B ＝8，同理y M ＋y N ＝8，∴8－2y 0＝λ()8－2y 0 ，又∵λ≠1，∴8－2y 0＝0，∴y 0＝4， ∴点T 在定直线y ＝4上．2．答案解析：（1）将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝2px 得4＝2p ，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ；（2）设AB ：x ＝my ＋t ，将AB 的方程与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4t ＝0，Δ>0＝16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，k PA ＝y 1－2x 1－1 ＝y 1－2y 21 4－1 ＝4y 1＋2，同理：k PB ＝4y 2＋2 ， 由题意：4y 1＋2 ＋4y 2＋2＝2，4（y 1＋y 2＋4）＝2（y 1y 2＋2y 1＋2y 2＋4），解得y 1y 2＝4，有－4t ＝4，即t ＝－1， 故直线AB ：x ＝my －1恒过定点（－1，0）.。

A 抛物线1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0) D ．(－4,0)2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.37164．点A ，B 在抛物线x 2＝2py (p >0)上，若A ，B 的中点是(x 0，y 0)，当直线AB 的斜率存在时，其斜率为( )A.2p y 0B.p y 0C.p x 0D.x 0p 5．[2010·福建卷] 以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＋2x ＝0 B ．x 2＋y 2＋x ＝0 C ．x 2＋y 2－x ＝0 D ．x 2＋y 2－2x ＝0 6．[2010·山东卷] 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2 7．[2010·陕西卷] 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A.12B ．1C ．2D ．4 8．[2010·辽宁卷] 设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16 9．[2011·东北三校模拟] 已知抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则a 的值为________．10．[2010·浙江卷] 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．11．给定抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)，斜率为k 的直线与C 相交于M ，N 两点，若线段MN 的中点在直线x ＝3上，则k ＝________.12．(13分)[2011·西城一模] 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点M (4,0)． (1)若点F 到直线l 的距离为3，求直线l 的斜率；(2)设A ，B 为抛物线上两点，且直线AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰好过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值．13．(12分)[2011·西城一模] 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．(1)求证：以线段F A 为直径的圆与y 轴相切；(2)若F A →＝λ1AP →，BF →＝λ2F A →，λ1λ2∈⎣⎡⎦⎤14，12，求λ2的取值范围．B 抛物线1．若点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y2．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a ＝( ) A.52 B.32 C ．－12 D ．－323．已知抛物线y 2＝4x ，若过焦点F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 是坐标原点，则△OAB 的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 4．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2] C ．[0,2] D ．(0,2)5．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，O 是原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB 的方程是( )A ．x ＝pB ．x ＝3pC ．x ＝32pD ．x ＝52p6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)均在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3| 7．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3C. 5D.928．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．329．已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．10．[2010·全国卷Ⅱ] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝________.11．[2010·重庆卷] 已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点P 到准线的距离为________．12．(13分)[2012·珠海模拟] 在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝⎛⎭⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l . (1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |13．(12分)[2010·湖北卷] 已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．A1．B [解析] 由y 2＝－8x ，易知焦点坐标是(－2,0)．2．B [解析] 抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，则直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，它与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.所以抛物线方程为y 2＝±8x .3．A [解析] 设动点p 到直线l 2的距离之和为d ，直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2.4．D [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2211x 22＝2py 2，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2p (y 1－y 2)，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22p ＝x 0p .5．D [解析] 因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，即所求圆的圆心．又知该圆过原点，所以圆的半径为r ＝1，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0.6．B [解析] 抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.7．C [解析] 方法1：∵抛物线的准线方程为x ＝－p2，圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16.∴3－⎝⎛⎭⎫－p2＝4，∴p ＝2. 方法2：作图可知，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切于点(－1,0)，所以－p2＝－1，解得p ＝2.8．B [解析] 设准线l 与x 轴交于点B ，连接AF 、PF ，则|BF |＝p ＝4，∵直线AF 的斜率为－3，∴∠AFB ＝60°.在Rt △ABF 中，|AF |＝4cos60°＝8.又根据抛物线的定义，得|P A |＝|PF |，P A ∥BF ，∴∠P AF ＝60°，∴△P AF 为等边三角形，故|PF |＝|AF |＝8.9．－14 [解析] 抛物线方程为x 2＝1a y ，故其准线方程是y ＝－14a ＝1，解得a ＝－14.10.324[解析] 设抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，由B 为线段F A 的中点，所以B ⎝⎛⎭⎫p 4，1，代入抛物线方程得p ＝2，则B 到该抛物线准线的距离为p 4＋p 2＝3p 4＝324.11．±22[解析] 过点A (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)，与抛物线方程联立后消掉y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，有x 1＋x 1＝4－2k 2k 2，x 1x 2＝1.因为线段MN 的中点在直线x ＝3上，所以x 1＋x 2＝6，即4－2k 2k 2＝6，解得k ＝±22.而此时k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0的判别式大于零，所以k ＝±22.12．[解答] (1)由已知，x ＝4不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由已知，抛物线C 的焦点坐标为(1,0)，因为点F 到直线l 的距离为3，所以|3k |1＋k 2＝3，解得k ＝±22，所以直线l 的斜率为±22.(2)证明：设线段AB 中点的坐标为N (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线MN 的斜率为y 0x 0－4，因为AB 不垂直于x 轴，所以直线AB 的斜率为4－x 0y 0，直线AB 的方程为y －y 0＝4－x 0y 0(x －x 0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝4－x 0y 0(x －x 0)，y 2＝4x ，消去x ，得⎝⎛⎭⎫1－x 04y 2－y 0y ＋y 20＋x 0(x 0－4)＝0， 所以y 1＋y 2＝4y 04－x 0，因为N 为AB 中点，所以y 1＋y 22＝y 0，即2y 04－x 0＝y 0，所以x 0＝2，即线段AB 中点的横坐标为定值2.13．[解答] (1)证明：由已知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)， 则y 21＝2px 1，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫2x 1＋p 4，y 12，圆心到y 轴的距离为2x 1＋p 4，圆的半径为|F A |2＝12×⎪⎪⎪⎪x 1－⎝⎛⎭⎫－p 2＝2x 1＋p 4， 所以，以线段F A 为直径的圆与y 轴相切．(2)解法一：设P (0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由F A →＝λ1AP →，BF →＝λ2F A →，得 ⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 1＝λ1(－x 1，y 0－y 1)，⎝⎛⎭⎫p 2－x 2，－y 2＝λ2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 1，所以x 1－p2＝－λ1x 1，y 1＝λ1(y 0－y 1)，p2－x 2＝λ2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 2＝－λ2y 1， 由y 2＝－λ2y 1，得y 22＝λ22y 21.又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， 所以x 2＝λ22x 1.代入p 2－x 2＝λ2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，得p 2－λ22x 1＝λ2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，p 2(1＋λ2)＝x 1λ2(1＋λ2)， 整理得x 1＝p2λ2，代入x 1－p 2＝－λ1x 1，得p 2λ2－p 2＝－λ1p2λ2，所以1λ2＝1－λ1λ2，因为λ1λ2∈⎣⎡⎦⎤14，12，所以λ2的取值范围是⎣⎡⎦⎤43，2. 解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB ：x ＝my ＋p2，将x ＝my ＋p2代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2(*)． 由F A →＝λ1AP →，BF →＝λ2F A →，得 ⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 1＝λ1(－x 1，y 0－y 1)，⎝⎛⎭⎫p 2－x 2，－y 2＝λ2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 1，所以x 1－p2＝－λ1x 1，y 1＝λ1(y 0－y 1)，p2－x 2＝λ2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2，y 2＝－λ2y 1， 将y 2＝－λ2y 1代入(*)式，得y 21＝p 2λ2，所以2px 1＝p 2λ2，x 1＝p2λ2.代入x 1－p 2＝－λ1x 1，得1λ2＝1－λ1λ2，因为λ1λ2∈⎣⎡⎦⎤14，12，所以λ2的取值范围是⎣⎡⎦⎤43，2.B1．C [解析] 点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，说明点P (x ，y )到点F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0即y ＝－2的距离相等，轨迹为抛物线，其中p ＝4，故所求的抛物线方程为x 2＝8y .2．D [解析] 根据分析把抛物线方程化为x 2＝－2⎝⎛⎭⎫12－a y ，则焦参数p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a 2，则12－a2＝1，解得a ＝－32.3．B [解析] 焦点坐标是(1,0)，A (1,2)，B (1，－2)，|AB |＝4，故△OAB 的面积S ＝12|AB ||OF |＝12×4×1＝2. 4．B [解析] 设点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，由|PQ |≥|a |，得y 20＋⎝⎛⎭⎫y 204－a 2≥a 2，整理，得y 20(y 20＋16－8a )≥0，∵y 20≥0，∴y 20＋16－8a ≥0，即a ≤2＋y 208恒成立．而2＋y 208的最小值为2，所以a ≤2.5．D [解析] A (x 0，y 0)，则B (x 0，－y 0)，由于焦点F p2，0是抛物线的垂心，所以OA ⊥BF .由此得y 0x 0×－y 0x 0－p 2＝－1，把y 20＝2px 0代入得x 0＝5p 2，故直线AB 的方程是x ＝52p .6．C [解析] 由抛物线定义，2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＋⎝⎛⎭⎫x 3＋p2，即2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|. 7．A [解析] 依题设P 在抛物线准线的投影为P ′，抛物线的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫12，0.依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为|PP ′|＝|PF |，则点P 到点A (0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d ＝|PF |＋|P A |≥|AF |＝⎝⎛⎭⎫122＋22＝172. 8．B [解析] ∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，∴K (－2,0)， 设A (x 0，y 0)，过A 点向准线作垂线AB ，则B (－2，y 0)，∵|AK |＝2|AF |，又AF ＝AB ＝x 0－(－2)＝x 0＋2，∴由BK 2＝AK 2－AB 2得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，∴A (2，±4)，∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8.9．y 2＝4x [解析] 设抛物线方程为y 2＝kx ，与y ＝x 联立方程组，消去y ，得：x 2－kx ＝0，x 1＋x 2＝k ＝2×2＝4，故y 2＝4x .10．2 [解析] 过B 作BE 垂直于准线l 于E ，∵AM →＝MB →，∴M 为AB 中点，∴|BM |＝12|AB |.又斜率为3，∠BAE ＝30°，∴|BE |＝12|AB |，∴|BM |＝|BE |， ∴M 为抛物线的焦点，∴p ＝2. 11.83[解析] 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AF |＝x A ＋1，|BF |＝x B ＋1，∴x A ＋1＝3(x B ＋1)．①由几何关系，x A －1＝3(1－x B )．②联立①②，得x A ＝3，x B ＝13，∴所求距离d ＝x A ＋x B ＋1＝83.12．[解答] (1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离．点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为：y 2＝2x (x >0)． (2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0， 圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20， 则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．13．[解答] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0)．化简得y 2＝4x (x >0)．(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )>0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)， F A →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝⎛⎭⎫y 214＋y 224＋1<0， ⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0.③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2.④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m <3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)，且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．。

高考抛物线专题做题技巧与方法总结知识点梳理：1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0>p)：GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF2.抛物线的焦半径、焦点弦 ①)0(22≠=p px y 的焦半径=PF 2P x +;)0(22≠=p py x 的焦半径=PF 2P y +；② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.③ AB 为抛物线pxy22=的焦点弦，则=B A x x42p ，=B A y y 2p -，||AB =p x x B A ++3. pxy22=的参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222（t 为参数），pyx22=的参数方程为⎩⎨⎧==222pty ptx （t 为参数）.重难点突破GAGGAGAGGAFFFFAFAF重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质 难点: 与焦点有关的计算与论证重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 1.要有用定义的意识问题1：抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A. 1617 B. 1615 C.87 D.点拨：抛物线的标准方程为y x 412=，准线方程为161-=y ,由定义知，点M 到准线的距离为1，所以点M 的纵坐标是16152.求标准方程要注意焦点位置和开口方向GAGGAGAGGAFFFFAFAF问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路” 问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨：设AB 为抛物线的焦点弦，F 为抛物线的焦点，点''、B A 分别是点B A 、在准线上的射影，弦AB 的中点为M ，则''BB AA BF AF AB +=+=，点M 到准线的距离为AB BB AA 21)''(21=+，∴以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切3、典型例题讲解：考点1 抛物线的定义题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换[例1 ]已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF解题思路：将点P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离 [解析]过点P 作准线的垂线l 交准线于点R ，由抛物线的定义知，PR PQ PF PQ +=+，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PR PQ +取得最小值，最小值为点Q 到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3总结：灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关 练习：1.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P成等差数列， 则有 （ ）A ．321x x x =+B ． 321y y y =+GAGGAGAGGAFFFFAFAFC ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+［解析］C 由抛物线定义，2132()()(),222p p p x x x +=+++即：2312x x x =+．2. 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时,M 点坐标是 ( )A. )0,0( B. )62,3( C. )4,2( D.)62,3(-[解析] 设M 到准线的距离为MK ,则MK MA MF MA +=+|||，当MKMA +最小时，M 点坐标是)4,2(，选C考点2 抛物线的标准方程GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF题型:求抛物线的标准方程[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线240x y --=上 解题思路：以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论. [解析] (1)设所求的抛物线的方程为22y px =-或22(0)x py p =>, ∵过点(-3,2) ∴229)3(24⋅=--=p p 或 ∴2934p p ==或∴抛物线方程为243y x =-或292x y =,前者的准线方程是1,3x =后者的准线方程为98y =-(2)令0x =得2y =-，令0y =得4x =，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,42p=,GAGGAGAGGAFFFFAFAF∴8p =，此时抛物线方程216y x =;焦点为(0,-2)时22p =∴4p =，此时抛物线方程28x y =-.∴所求抛物线方程为216y x =或28x y =-,对应的准线方程分别是4,2x y =-=.总结：对开口方向要特别小心，考虑问题要全面 练习：3.若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合,则p 的值 [解析]4132=⇒+=p p4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；GAGGAGAGGAFFFFAFAF③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）[解析] 用排除法，由抛物线方程y 2=10x 可排除①③④，从而②⑤满足条件.5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与Y 轴的交点，A 为抛物线上一点,且3||,17||==AF AM ，求此抛物线的方程[解析] 设点'A 是点A 在准线上的射影，则3|'|=AA ，由勾股定理知22|'|=MA ，点A 的横坐标为)23,22(p -，代入方程py x 22=得GAGGAGAGGAFFFFAFAF2=p 或4，抛物线的方程y x 42=或y x 82=考点3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证[例3 ]设A 、B 为抛物线px y 22=上的点,且 90=∠AOB (O 为原点),则直线AB 必过的定点坐标为__________.解题思路：由特殊入手，先探求定点位置［解析］设直线OA 方程为kx y =,由⎩⎨⎧==px y kxy 22解出A 点坐标为)2,2(2kp k p ⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y x k y 212解出B 点坐标为)2,2(2pk pk -，直线AB 方程为221)2(2k pk x k pk y ---=+,令0=y 得p x 2=，直线AB 必过的定点)0,2(p总结：（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；GAGGAGAGGAFFFFAFAF（2）B 点坐标可由A 点坐标用k1-换k 而得。

直线与抛物线的位置关系直线■:、•二，抛物线「占八y =hr+J<，=2丹消y得.+2(肪-p)x+护二0(1) 当k=0时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点；(2) 当k M 0 时，△>0,直线I与抛物线相交，两个不同交点；△=0,直线I与抛物线相切，一个切点；△v0，直线I与抛物线相离，无公共点。

(3) 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定)-------- •- •关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线1:kx b 抛物线- 丁芒八，(p ' 0)①联立方程法：y =kx +b 2 2 2:2二k2x2+2(kb — p)x+b2 =0y =2px设交点坐标为Ad-yJ, BX M)，则有:'0 ,以及x「，还可进一步求出y 1 y 2 二 kx i b kx 2 b = k(x 1 x 2) 2b2 2y 1y 2 =(kx b)(kx 2 b) = k X j X 2 kb(x-i x 2) b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长AB| = J i +冏为—x 2| = J l + k 2 J% +x 2)2 —4X J X 2 = J l + k 2-p I 9!1 2 - 2+■^2^ (y i + y 2)—4y i y 2 =H 1 + kb. 中点 M （X 0,yo ）, X 0 二宁②点差法： 设交点坐标为A （X 1，yJ ，B （X 2,y 2），代入抛物线方程，得2 2 y 12px 1y 2 2px 2将两式相减，可得（% -丫2）（% y 2）=2卩（％ -X 2）y 1 -y 2 _ 2p X 1 -X 2 y 1 y 2屮-七 _ 2p _ 2p _ p 捲 一X 2y 1 y 22 y y °同理，对于抛物线X 2 =2py （p=0），若直线l 与抛物线相交于A 、 是弦AB 的中点，则有k AB 二凶」二空0 =些2p 2p p（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点, 在，且不等于零）a.在涉及斜率问题时,k AB2p y 1 y 2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为 M （x o ，y o ），B 两点，点 M (X o , y o ) 2）直线的斜率存AB =、：i +^卜1 _y2 =抛物线练习及答案21已知点P 在抛物线y = 4x 上，那么点P 到点Q (2, - 1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之1和取得最小值时，点 P 的坐标为。

抛物线问题解决中的一些技巧抛物线是三大圆锥曲线之一，在高考中占有重要的地位。

求解抛物线问题我们应掌握一些解题的技巧，从而使得我们的解题更简洁、思路更清晰。

一、正确选用标准方程例1、求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点(24)P --，的抛物线的标准方程． 解：由题意，抛物线有两种情形：（1）设抛物线22(0)y px p =>，将(24)P --，代入得4p =．故标准方程为28y x =-； （2）设抛物线22(0)x py p =->，将(24)P --，代入得12p =，故标准方程为2x y =-． 所以满足条件的抛物线的标准方程为28y x =-或2x y =-．点评：求圆锥曲线的标准方程，关键是确定类型，设出方程，待定系数法是常用方法之一。

本题应结合图形，分析出两种情形，避免漏解。

练习1：已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,3)M m -到焦点距离为5，求m 的值。

解：设抛物线方程为22(0)x py p =->，准线方程：2p y =∵点M 到焦点距离与到准线距离相等，∴532p=-+，解得：4p =，∴抛物线方程为28x y =-。

把(,3)M m -代入得：m =±二、合理使用定义例2、已知点(32)P ，在抛物线24y x =的内部，F 是抛物线的焦点，在抛物线上求一点M ，使MP MF +最小，并求此最小值．解：过M 作准线l 的垂线MA ，垂足为A ，则由抛物线的定义有M F M A =．MP MF MP MA +=+∴，显然当P M A ，，三点共线时，MP MF +最小． 此时，M 点的坐标为(12)，，最小值为4． 点评：抛物线的定义用法：一是根据定义求轨迹；二是两个相等距离（动点到焦点的距离与动点到准线的距离）的互化．在解题中，应正确合理地使用定义，同时应注意“看到准线想焦点，看到焦点想准线”。

练习2：已知动点M 的坐标满足方程，则动点M 的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 以上都不对解：由题意得：，即动点到直线的距离等于它到原点（0，0）的距离。

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焦 点弦 长AB12()x x p ++12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 切线方程00()y y p x x =+00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+一．直线与抛物线的位置关系直线,抛物线,，消y 得：(1）当k=0时,直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2)当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点;ox ()22,B x yFy ()11,A x yΔ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定)二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l ：b kx y += 抛物线,)0( p① 联立方程法:⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如1. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M ， 2210x x x +=, 2210yy y +=② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程,得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ,021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y p k AB =, 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=(注意能用这个公式的条件：1)直线与抛物线有两个不同的交点，2)直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2,－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 。

抛物线y22pxy22pxx22pyx22py(p0)(p)(p0)(p)y y yyl l lOx OF x xO x Fl定义范围对称性焦点顶点离心率准线方程顶点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径A(x1,y1)焦点弦长AB平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

{MMF =点M 到直线l 的距离}x0,y R x0,y R xR,y 0 xR,y 0关于x 轴对称关于y 轴对称(p,0) (p,0) (0,p)(0,p)22 22焦点在对称轴上 O(0,0) e=1pxppxy2y22准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

p 2 ppAFp pAFAFx 1x 1AFy 1y1222(x 1 x 2) p (y 1 y 2) p (y 1 y 2) p(x1 x2) pyAx1,y1o FxBx2,y2焦点弦AB的几条性质以AB为直径的圆必与准线l相切A(x1,y1)2p2 p假设AB的倾斜角为假设AB的倾斜角为，那么AB，那么ABB(x2,y2)sin2cos2p22x1x2y1y2p4切线方程1 1 AF BF AB 2AF BF AF BF AF BF py0y p(x x0) y0y p(x x0) x0x p(y y0) x0x p(y y0)一．直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y得：〔1〕当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；〔2〕当k≠0时，＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；=0，直线l与抛物线相切，一个切点；＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。

〔3〕假设直线与抛物线只有一个公共点 ,那么直线与抛物线必相切吗?〔不一定〕二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l ：ykx b 抛物线，(p 0)①联立方程法：k xb k2x 22(kbp)xb 222p x设交点坐标为 ( 1,B(x 2,y 2)，那么有,以及x 1 x 2,x 1x 2，还可进一步求出Ax 1y1 y2kx1bkx2bk(x1x2)2by 1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方相交弦AB的弦长AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x21k2a或1121k 2AB1k2y1y21k2(y1y2)4y1y2ab.中点M(x0,y0),x0x1x2，y0y1y222②点差法：设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得y122px122px2将两式相减，可得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2) y1y22px1x2y1y22pa. 在涉及斜率问题时， k ABy1 y2在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，y 1y22p2pp，x 1x2y1y22y0y即k ABp ，y0同理，对于抛物线()，假设直线l与抛物线相交于、,y0)p yB两点，点M(x0是弦AB的中点，那么有k ABx1x22x0x02p2p p〔注意能用这个公式的条件：1〕直线与抛物线有两个不同的交点，2〕直线的斜率存在，且不等于零〕抛物线练习及答案1、点P在抛物线P到抛物线焦点距离之y=4x上，那么点P到点Q〔2，－1〕的距离与点和取得最小值时，点P的坐标为。