【精品专题训练】2021年中考数学必刷压轴题二次函数抛物线与矩形问题专题训练含答案与试题解析

2021年中考数学抛物线压轴题二次函数与直角三角形综合专题训练一．解答题（共11小题）1．（2020•双柏县一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C 三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标；（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2020•信阳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、C（0，3）、B（2，3）（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由（4个坐标）．3．（2020•山亭区一模）如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求出二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．4．（2019秋•太仓市期中）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4a（a≠0）经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的△MAC是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2020•余干县模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣4，0）和点B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是x＝﹣1与x轴交于点D．（1）求拋物线的函数表达式；（2）若点P（m，n）为抛物线上一点，且﹣4＜m＜﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线的对称轴x＝﹣1于点E，作PF⊥x轴于点F，得到矩形PEDF，求矩形PEDF周长的最大值；（3）点Q为抛物线对称轴x＝﹣1上一点，是否存在点Q，使以点Q，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2020•马龙区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的交点A，与x轴的另一个交点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为l，当t为何值时，l 的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△P AD的面积最大？并求最大值；（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△P AD为直角三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，说明理由．8．（2020•铁岭四模）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得P A+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C，B重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC把△BDF的面积分成两部分，使S△BDE：S△BEF＝3：2，请求出点D的坐标；（4）若M为抛物线的对称轴上的一个动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．10．（2019秋•辛集市期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A、B、C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得P A+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合）过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC把△BDF的面积分成两部分，使S△BDE：S△BEF＝2：3，请求出点D的坐标；（4）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．11．（2019秋•江夏区校级月考）如图，直线AB经过x轴上一点A（3，0），且与抛物线y ＝ax2+1相交于B、C两点，点B的坐标为（1，2）．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）若点D是抛物线上一点，且D在直线BC下方，若S△BCD＝3，求点D的坐标；（3）设抛物线顶点为M，问在抛物线上是否存在点P使△PMC是以MC为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2021年中考数学抛物线压轴题二次函数与直角三角形综合专题训练参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．（2020•双柏县一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C 三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标；（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入函数表达式得：，解得：，故：函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则：，故直线AC的表达式为：y＝x﹣3，设点P（x，x2﹣2x﹣3），则点D（x，x﹣3），∴PD＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，抛物线开口向下，当x＝时，PD的最大值为，此时，点P（，﹣）；（3）存在，理由：①当∠ACP＝90°时，由（2）知，直线AC的表达式为：y＝x﹣3，故直线CP的表达式为：y＝﹣x﹣3…②，①②联立并解得：x＝1或0（舍去x＝0），故点P坐标为（1，﹣4）；②当∠P′AC＝90°时，设直线AP′的表达式为：y＝﹣x+b，将x＝3，y＝0代入并解得：b＝3，故：直线AP′的表达式为：y＝﹣x+3…③，联立①③并解得：x＝﹣2或3（舍去x＝3），故：点P′的坐标为（﹣2，5）；故点P的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）．2．（2020•信阳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、C（0，3）、B（2，3）（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由（4个坐标）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、C（0，3）、B（2，3），∴，解得，所以，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AB的解析式为y＝x+1，设点P的横坐标为x，∵PQ∥y轴，∴点Q的横坐标为x，∴PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1），＝﹣x2+x+2，＝﹣（x﹣）2+，∵点P在线段AB上，∴﹣1≤x≤2，∴当x＝时，线段PQ的长度最大，最大值为；（3）由（1）可知，抛物线对称轴为直线x＝1，①AB是直角边时，若点A为直角顶点，则直线AM的解析式为y＝﹣x﹣1，当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，此时，点M的坐标为（1，﹣2），若点B为直角顶点，则直线BM的解析式为y＝﹣x+5，当x＝1时，y＝﹣1+5＝4，此时，点M的坐标为（1，4），②AB是斜边时，设点M的坐标为（1，m），则AM2＝（﹣1﹣1）2+m2＝4+m2，BM2＝（2﹣1）2+（m﹣3）2＝1+（m﹣3）2，由勾股定理得，AM2+BM2＝AB2，所以，4+m2+1+（m﹣3）2＝（﹣1﹣2）2+（0﹣3）2，整理得，m2﹣3m﹣2＝0，解得m＝，所以，点M的坐标为（1，）或（1，），综上所述，抛物线的对称轴上存在点M（1，﹣2）或（1，4）或（1，）或（1，），使△ABM为直角三角形．3．（2020•山亭区一模）如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求出二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OB＝OC＝3，∴B（3，0），C（0，3）∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴M（1，4）设直线MB的解析式为y＝kx+n，则有解得：，∴直线MB的解析式为y＝﹣2x+6∵PD⊥x轴，OD＝m，∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）S三角形PCD＝×（﹣2m+6）•m＝﹣m2+3m（1≤m＜3）；（3）∵若∠PDC是直角，则点C在x轴上，由函数图象可知点C在y轴的正半轴上，∴∠PDC≠90°，在△PCD中，当∠DPC＝90°时，当CP∥AB时，∵PD⊥AB，∴CP⊥PD，∴PD＝OC＝3，∴P点纵坐标为：3，代入y＝﹣2x+6，∴x＝，此时P（，3）．∴线段BM上存在点P（，3）使△PCD为直角三角形．当∠P′CD′＝90°时，△COD′∽△D′CP′，此时CD′2＝CO•P′D′，即9+m2＝3（﹣2m+6），∴m2+6m﹣9＝0，解得：m＝﹣3±3，∵1≤m＜3，∴m＝3（﹣1），∴P′（3﹣3，12﹣6）综上所述：P点坐标为：（，3），（3﹣3，12﹣6）．4．（2019秋•太仓市期中）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4a（a≠0）经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的△MAC是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+bx+4，将点A的坐标代入上式并解得：b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…①；（2）抛物线的对称轴为：x＝，点D（3，4），过点D作x轴的垂线交BP于点H，交x轴于点G，过点H作HR⊥BD与点R，则BG＝1，GD＝4，tan∠BDG＝，∠DBP＝45°，设：HR＝BR＝x，则DR＝4x，BD＝5x＝＝，x＝，BH＝x，BG＝1，则GH＝＝，故点H（3，），而点B（4，0），同理可得直线HB的表达式为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝4或﹣（舍去4），故点P（﹣，）；（3）设点M（，m），而点A（﹣1，0）、点C（0，4），则AM2＝+m2，CM2＝+（m﹣4）2，AC2＝17，①当AM是斜边时，+m2＝+（m﹣4）2+17，解得：m＝；②当CM是斜边时，同理可得：m＝﹣；③当AC是斜边时，同理可得：m＝或；综上，点M的坐标为：（，）或（，﹣）或（，）或（，）．5．（2020•余干县模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．【解答】解：（1）由题意可列方程组：，解得：．故抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）连结BE，由（1）知，抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，则0＝x2﹣x﹣2∴x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∵∠AOC＝90°，∴AC＝，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：．∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时＝（）2＝（）2＝，∵S△AOC＝1，∴S△AEB＝，∴AB×|y E|＝，AB＝4，则y E＝﹣，则点E（﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB得：＝＝，∴＝．6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣4，0）和点B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是x＝﹣1与x轴交于点D．（1）求拋物线的函数表达式；（2）若点P（m，n）为抛物线上一点，且﹣4＜m＜﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线的对称轴x＝﹣1于点E，作PF⊥x轴于点F，得到矩形PEDF，求矩形PEDF周长的最大值；（3）点Q为抛物线对称轴x＝﹣1上一点，是否存在点Q，使以点Q，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，b＝﹣2，∴y＝﹣x2﹣2x+c，把A（﹣4，0）代入得：﹣16+8+c＝0，∴c＝8，∴拋物线的函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+8；（2）∵点P（m，n）为抛物线上一点，且﹣4＜m＜﹣1，如图1，∴n═﹣m2﹣2m+8，∵四边形PEDF是矩形，∴矩形PEDF的周长＝2PE+2PF＝2（﹣1﹣m）+2（﹣m2﹣2m+8）＝﹣2m2﹣6m+14＝﹣2（m+）2+，∵﹣2＜0，∴当m＝﹣时，矩形PEDF的周长有最大值是；（3）存在点Q，使以点Q，B，C为顶点的三角形是直角三角形，∵点Q为抛物线对称轴x＝﹣1上一点，∴设Q（﹣1，y），由对称得：B（2，0），∵C（0，8），∴QB2＝（2+1）2+y2＝9+y2，QC2＝（﹣1）2+（y﹣8）2＝1+（y﹣8）2，BC2＝22+82＝4+64＝68，分三种情况：①当∠QCB＝90°时，QB是斜边，∴QB2＝QC2+BC2，∴9+y2＝1+（y﹣8）2+68解得：y＝∴Q（﹣1，）；②当∠QBC＝90°时，QC是斜边，∵QC2＝BC2+QB2，∴1+（y﹣8）2＝68+9+y2，解得：y＝﹣，∴Q（﹣1，﹣）；③当∠BQC＝90°时，BC是斜边，∵BC2＝BQ2+QC2，∴68＝1+（y﹣8）2+9+y2，解得：y＝4±，∴Q（﹣1，4+）或（﹣1，4﹣）；综上，点Q的坐标是（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，4+）或（﹣1，4﹣）．7．（2020•马龙区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的交点A，与x轴的另一个交点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为l，当t为何值时，l 的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△P AD的面积最大？并求最大值；（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△P AD为直角三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）把点B（﹣1，0），C（2，3）代入y＝ax2+bx+3，则有，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0可得0＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或x＝3，∴D（3，0），且A（0，3），∴直线AD解析式为y＝﹣x+3，设M点横坐标为m，则P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），∵0＜t＜3，∴点M在第一象限内，∴l＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，l有最大值，l最大＝；（3）∵S△P AD＝×PM×（x D﹣x A）＝PM，∴PM的值最大时，△P AD的面积中点，最大值＝×＝．∴t＝时，△P AD的面积的最大值为．（4）如图设AD的中点为K，设P（t，﹣t2+2t+3）．∵△P AD是直角三角形，当∠APD＝90°时，PK＝AD，∴（t﹣）2+（﹣t2+2t+3﹣）2＝×18，整理得t（t﹣3）（t2﹣t﹣1）＝0，解得t＝0或3或，∵点P在第一象限，∴t＝．当∠P AD＝90°，可得P（1，4），∴t＝1，综上所述，满足条件的t的值为1或．8．（2020•铁岭四模）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；（2）①∵OA＝8，OC＝6，∴AC＝＝10，过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB＝＝＝，∴＝，∴QE＝（10﹣m），∴S＝•CP•QE＝m×（10﹣m）＝﹣m2+3m；②∵S＝•CP•QE＝m×（10﹣m）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣5）2+，∴当m＝5时，S取最大值；在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8的对称轴为x＝，D的坐标为（3，8），Q（3，4），当∠FDQ＝90°时，F1（，8），当∠FQD＝90°时，则F2（，4），当∠DFQ＝90°时，设F（，n），则FD2+FQ2＝DQ2，即+（8﹣n）2++（n﹣4）2＝16，解得：n＝6±，∴F3（，6+），F4（，6﹣），满足条件的点F共有四个，坐标分别为F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．9．如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得P A+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点C，B重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC把△BDF的面积分成两部分，使S△BDE：S△BEF＝3：2，请求出点D的坐标；（4）若M为抛物线的对称轴上的一个动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．∴当x＝0时，y＝5，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，∴﹣（x﹣5）（x+1）＝0，∴x1＝5或x2＝﹣1，∴点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（5，0），点C坐标为（0，5）；（2）∵抛物线的对称轴为x＝2，∴点A与点B关于直线x＝2对称，∴P A+PC＝PB+PC，∴当点P在BC上时，P A+PC有最小值，连接BC交对称轴为点P，则点P为所求点，∵点B坐标为（5，0），点C坐标为（0，5），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+5，∴当x＝2时，y＝3，∴点P（2，3）；（3）设点D（m，﹣m2+4m+5），则点E（m，﹣m+5），∵S△BDE：S△BEF＝3：2，∴＝，∴＝，∴m1＝，m2＝5（舍去），∴点D（，）；（4）设点M（2，n），∵点B坐标为（5，0），点C坐标为（0，5），∴MB2＝9+n2，MC2＝4+（n﹣5）2，BC2＝50，若MB为斜边，则9+n2，＝4+（n﹣5）2+50，解得：n＝7，若MC为斜边，同理可求n＝﹣3；若BC为斜边时，同理可求n＝6或﹣1；综上所述：点M的坐标为（2，7）或（2，﹣3）或（2，6）或（2，﹣1）．10．（2019秋•辛集市期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A、B、C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得P A+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合）过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC把△BDF的面积分成两部分，使S△BDE：S△BEF＝2：3，请求出点D的坐标；（4）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．【解答】解：（1）令y＝0，则x＝﹣1或5，令x＝0，则y＝5，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（5，0）、（0，5）；（2）抛物线的对称轴为：x＝2，点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交抛物线对称轴于点P，则点P为所求，直线BC的表达式为：y＝﹣x+5，当x＝2时，y＝3，故点P（2，3）；（3）设点D（x，﹣x2+4x+5），则点E（x，﹣x+5），S△BDE：S△BEF＝2：3，则，即：＝，解得：m＝或5（舍去5），故点D（，）；（4）设点M（2，m），而点B、C的坐标分别为：（5，0）、（0，5），则MB2＝9+m2，MC2＝4+（m﹣5）2，BC2＝50，①当MB为斜边时，则9+m2＝4+（m﹣5）2+50，解得：m＝7；②当MC为斜边时，同理可得：m＝﹣3；③当BC为斜边时，同理可得：m＝6或﹣1；综上点M的坐标为：（2，7）或（2，﹣3）或（2，6）或（2，﹣1）．11．（2019秋•江夏区校级月考）如图，直线AB经过x轴上一点A（3，0），且与抛物线y ＝ax2+1相交于B、C两点，点B的坐标为（1，2）．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）若点D是抛物线上一点，且D在直线BC下方，若S△BCD＝3，求点D的坐标；（3）设抛物线顶点为M，问在抛物线上是否存在点P使△PMC是以MC为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AB的表达式为：y＝﹣x+3…①，同理将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：抛物线的表达式为：y＝x2+1…②；（2）联立①②并解得：x＝1或﹣2，故点C（﹣2，5），如图1，过点D作y轴的平行线交BC于点H，设点D（x，x2+1），则点H（x，﹣x+3），则S△BCD＝3＝DH×（x B﹣x C）＝（﹣x+3﹣x2﹣1）×（1+2），解得：x＝﹣1或0，故点D（0，1）或（﹣1，2）；（3）如图2，点M的坐标为：（0，1），点C（﹣2，5），则直线CM函数表达式中的k值为：﹣2，（Ⅰ）当∠PCM＝90°时，则直线CP的函数表达式为：y＝x+m，将点C的坐标代入上式并解得：m＝6，故直线PC的表达式为：y＝x+6…③，联立②③并解得：x＝﹣2或（舍去﹣2），故点P的坐标为：（，）；（Ⅱ）当∠CMP（P′）＝90°时，同理可得：点P（P′）（，），综上，点P的坐标为：（，）或（，）．。

2021年九年级数学中考二次函数综合型压轴题经典题型训练试题1．已知，如图抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B 两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（4）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求的最大值；（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；（3）联结BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标．4．如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴的负半轴交于点C，OC＝OB＝10．（1）求抛物线的解析式；（2）点P、Q在第四象限内抛物线上，点P在点Q下方，连接CP，CQ，∠OCP+∠OCQ＝180°，设点Q的横坐标为m，点P的横坐标为n，求m与n 的函数关系式；（3）如图2，在（2）条件下，连接AP交CO于点D，过点Q作QE⊥AB于E，连接BQ，DE，是否存在点P，使∠AED＝2∠EQB，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3），D（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△P AB面积大时，试求出点P的坐标，并求出△P AB面积的最大值；（3）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝﹣x+1相交于A，B两点，A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，四边形BCMN是平行四边形？并求出满足条件的N点的坐标．7．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D 作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．8．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其图象与x轴的一个交点为B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），且对称轴为直线x＝1，过点B，C作直线BC．（1）求二次函数和直线BC的表达式；（2）利用图象求不等式x2﹣3x≥0的解集；（3）点P是函数y＝ax2+bx+c的图象上位于第四象限内的一动点，连接PB，PC，①若△PBC面积最大时，求点P的坐标及△PBC面积的最大值；②在x轴上是否存在一点Q，使得以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．9．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2﹣4（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣3，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC ＝4S△BOC，求点P的坐标；（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD 长度的最大值．10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于C 点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y＝﹣x+3交于C，D两点，连接BD，AD．（1）求m的值；（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP ＝4S△ABD，求点P的坐标；（3）点M是抛物线对称轴上的点，当MA+MC的值最小时，求点M的坐标．11．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）求抛物线的解析式；（2）①如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；②抛物线上是否存在一点P，使△PBC是以BC为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知．在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OA＝2，若以O 为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．（2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，连接MO、MC，问：点M位于何处时三角形MOC的面积最大？并求出三角形MOC的最大面积．（3）抛物线上是否存在一点P，使∠OAP＝∠BOC？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m（m为大于0的常数）与x 轴相交于点A，与y轴相交于点C，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，以AB为直径的⊙M经过点C．（1）直接写出点A，C的坐标（用含m的式子表示）；（2）求ac的值；（3）若直线l平行于AC，且与抛物线y＝ax2+bx+c有且只有一个公共点P，连接P A，PC，当△P AC的面积等于4时，求⊙M与抛物线y＝ax2+bx+c的交点坐标．14．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+5的对称轴是直线x＝2，且经过点（3，8），抛物线与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图2，已知Q（1，0），E（0，m），F（0，m+1），点P是第一象限的抛物线y＝ax2+bx+5上的一点，①当m＝1时，求使四边形EFPQ的面积最大时的点P的坐标；②若PQ＝PB，求m为何值时，四边形EFPQ的周长最小？15．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+3ax﹣18a（a ≠0），交x轴于点A、C两点，与y轴交于点B，且AC＝OB．（1）求a的值；（2）连接AB、BC，点D为BC上一点，直线AD交对称轴左侧的抛物线于点P，当2∠OBA+∠DAB＝90°时，求P点坐标．（3）在（2）的条件下，在AB上取点E，在AC上取点Q，使BE：AQ＝4：3，连接EQ，且AD平分线段EQ，在第二象限取点R，使射线QR⊥x轴于点Q，M为射线OB上的一点，在QR边上取点N，将∠OMN沿MN折叠，使MO的对应线段所在的直线与射线QR交于点K，得到△MNK的面积为4时，求∠MKN的度数．参考答案1．解：（1）∵B的坐标为（1，0），∴OB＝1．∵OC＝3OB＝3，点C在x轴下方，∴C（0，﹣3）．∵将B（1，0），C（0，﹣3）代入抛物线的解析式，得，解得：a＝，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3．（2）如图1所示：连结AC与抛物线的对称轴交于点Q，此时△QBC的周长最小．∵x＝﹣＝﹣＝﹣，B（1，0），∴A（﹣4，0）．设直线AC的解析式为：y＝mx+n，∵A（﹣4，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3．∵y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴是直线x＝﹣，∴当x＝﹣时，y＝﹣×（﹣）﹣3＝﹣，∴点Q的坐标是（﹣，﹣）；（3）如图2所示：过点D作DE∥y，交AC于点E．∵A（﹣4，0），B（1，0），∴AB＝5．＝AB•OC＝×5×3＝7.5．∴S△ABC设AC的解析式为y＝kx+b．∵将A（﹣4，0）、C（0，﹣3）代入得：，解得：k＝﹣，b＝﹣3，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．设D（a，a2+a﹣3），则E（a，﹣a﹣3）．∵DE＝﹣a﹣3﹣（a2+a﹣3）＝﹣（a+2）2+3，∴当a＝﹣2时，DE有最大值，最大值为3．∴△ADC的最大面积＝DE•AO＝×3×4＝6．∴四边形ABCD的面积的最大值为．（4）存在．①如图3，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．∵C（0，﹣3），令x2+x﹣3＝﹣3，∴x1＝0，x2＝﹣3．∴P1（﹣3，﹣3）．②平移直线AC交x轴于点E2，E3，交x轴上方的抛物线于点P2，P3，当AC＝P2E2时，四边形ACE2P2为平行四边形，当AC＝P3E3时，四边形ACE3P3为平行四边形．∵C（0，﹣3），∴P2，P3的纵坐标均为3．令y＝3得：x2+x﹣3＝3，解得x1＝，x2＝．∴P2（，3），P3（，3）．综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P1（﹣3，﹣3），P2（，3），P3（，3）．2．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）．∵将C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣4），即y＝x2﹣x﹣2．（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，∴AK∥DG，∴△AKE∽△DFE，∴＝．设直线BC的解析式为y＝kx+b1，∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，∵A（﹣1，0），∴y＝﹣﹣2＝﹣，∴AK＝，设D（m，m2﹣m﹣2），则F（m，m﹣2），∴DF＝m﹣2﹣m2+﹣m+2＝﹣m2+2m．∴＝＝﹣（m﹣2）2+．∴当m＝2时，有最大值，最大值是．（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．∵l∥BC，∴直线l的解析式为y＝x，设P（a1，），①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M，∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），B（4，0），∴AC＝，AB＝5，BC＝2，∵AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵△PQB∽△CAB，∴＝＝，∵∠QMP＝∠BNP＝90°，∴∠MQP+∠MPQ＝90°，∠MPQ+∠BPN＝90°，∴∠MQP＝∠BPN，∴△QPM∽△PBN，∴＝＝＝，∴QM＝，PM＝（a1﹣4）＝a1﹣2，∴MN＝a1﹣2，BN﹣QM＝a1﹣4﹣＝a1﹣4，∴Q（a1，a1﹣2），将点Q的坐标代入抛物线的解析式得×（a12）﹣×a1﹣2＝a1﹣2，解得a1＝0（舍去）或a1＝．∴P（，）．②当点P在直线BQ左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为（a1，2）．此时点P的坐标为（，）．综上所述，符合条件的点P的坐标是（，）或（，）．3．解：（1）把点A（4，0）和点B（0，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于G，∴DG∥OB，∴△ADG∽△ABO，∴，∵AD＝3BD，∴AG＝3OG，∵A（4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2，∴OG＝1，DG＝，∵D（1，），由平移得：点C的横坐标为1，当x＝1时，y＝﹣×1+×1+2＝3，∴m＝3﹣＝；（3）∵∠CBA＝2∠BAO，点C在该抛物线上且在第一象限，∴点C在AB的上方，如图2，过A作AF⊥x轴于A，交BC的延长线于点F，过B作BE⊥AF于点E，∴BE∥OA，∴∠BAO＝∠ABE，∵∠CBA＝2∠BAO＝∠ABE+∠EBF，∴∠FBE＝∠ABE，∵∠BEF＝∠AEB＝90°，∴∠F＝∠BAF，∴AB＝BF，∴AE＝EF＝OB＝2，∴F（4，4），设BF的解析式为：y＝kx+n，则，解得：，∴BF的解析式为：y＝x+2，∴，解得或，∴C（2，3）．4．解：（1）∵OC＝OB＝10，∴C（0，﹣10），B（10，0），把C，B两点坐标代入y＝x2+bx+c，得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣10．（2）如图1中，过点Q作QN⊥OC于N，过点P作PM⊥OC于M．∵∠OCP+∠OCQ＝180°，∠OCP+∠PCM＝180°，∴∠QCN＝∠PCM，∵∠QNC＝∠PMC＝90°，∴△QNC∽△PMC，∴＝，∴＝，整理得m＝12﹣n．（3）如图2中，作ET平分∠OED，交OD于T，过点T作TR⊥DE于R．由题意A（﹣4，0），P（n，n2﹣n﹣10），∴直线P A的解析式为y＝（n﹣10）x+n﹣10，∴D（0，n﹣10），∴m＝12﹣n，∴D（0，2﹣m），∴OD＝m﹣2，∵∠TEO＝∠TER，∠EOT＝∠ERT＝90°，ET＝ET，∴△EOT≌△ERT（AAS），∴OT＝TR，EO＝ER＝m，设OT＝TR＝x，在Rt△DTR中，∵DT2＝TR2+DR2，∴（m﹣2﹣x）2＝x2+（﹣m）2，∴x＝，∵∠OED＝2∠EQB，∠OET＝∠TED，∴∠OET＝∠EQB，∵∠EOQ＝∠QEB＝90°，∴△OET∽△EQB，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，整理得，m3﹣4m2﹣64m＝96＝0，可得（m﹣2）（m﹣8）（m+6）＝0，解得，m＝8或﹣6（舍弃）或2（舍弃），∵m＝12﹣n，∴n＝4，∴P（4，﹣12），5．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；（2）如图1，作PQ∥y轴交直线AB于点Q，设P（m，m2﹣2m﹣3），则Qm，m﹣3），∴PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S＝×3×（﹣m2+3m）△P AB＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，△P AB面积有最大值，最大值是，此时P点坐标为（，﹣）．（3）存在，理由如下：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），∵CE∥y轴，∴E（1，﹣2），∴CE＝2，①如图2，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴﹣a2+3a＝2，解得：a＝2，a＝1（舍去），∴M（2，﹣1），②如图3，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，∴a2﹣3a＝2，解得：a＝，a＝（舍去），∴M（，），综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（，），6．解：（1）由直线y＝﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又点（﹣1，4）经过二次函数的图象，根据题意得：，∴，则二次函数的解析式是：y＝﹣x2﹣x+1；（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M（x，﹣x+1），P（x，0），则MN＝PN﹣PM＝﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，所以，当x＝﹣时，MN的最大值为；（3）连接MC，BN，若BC＝MN，则四边形BCMN是平行四边形，∴﹣x2﹣x＝，解得x1＝﹣1，x2＝﹣2，故当N（﹣1，4）或（﹣2，4.5）时，四边形BCMN是平行四边形．7．解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，∵直线BC过点B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴，∵，∴当时，S有最大值，最大值；（3）设点M（1，m），则MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18；①当MC是斜边时，1+（m﹣3）2＝m2+4+18；解得：m＝﹣2；②当MB是斜边时，同理可得：m＝4，故点M的坐标为：（1，﹣2），（1，4）．8．解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，B（3，0），∴A（﹣1，0）．设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点C的坐标代入得：﹣3a＝﹣3，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B和点C的坐标代入得：，解得k＝1，b＝﹣3，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．（2）由x2﹣3x≥0可得到x2﹣2x﹣3≥x﹣3，由函数图象可得到x≥3或x≤0．（3）①作PM⊥x轴，垂足为M，交BC与点N．设P（m，m2﹣2m﹣3），则N（m，m﹣3）．∴PN＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m．＝PN•（OM+MB）＝PN•OB＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+．∴S△PBC∴当△PBC的面积最大时，点P的坐标为（，﹣），△PBC的面积的最大值为．②∵点B和点Q均在x轴，以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，∴PC∥BQ，PC＝BQ．∴点P与点C关于x＝1对称，∴点P的坐标为（2，﹣3）．∴CP＝2．∵BQ＝PC＝2，B（3，0），∴点Q的坐标为（1，0）或（5，0）．9．解：（1）由题意对称轴为直线x＝﹣1，可设抛物线解析式：y＝a（x+1）2﹣4，把点A（﹣3，0）代入可得，a＝1，∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3，（2）如图1，y＝x2+2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，所以点C（0，﹣3），OC＝3，令y＝0，解得：x＝﹣3，或x＝1，∴点B（1，0），OB＝1，设点P（m，m2+2m﹣3），此时S△POC＝×OC×|m|＝|m|，S△BOC＝＝，由S△POC ＝4S△BOC得|m|＝6，解得：m＝4或m＝﹣4，m2+2m﹣3＝21，或m2+2m﹣3＝5，所以点P的坐标为：（4，21），或（﹣4，5）；（3）如图2，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得：，解得：，所以直线AC：y＝﹣x﹣3，设点Q（n，﹣n﹣3），点D（n，n2+2n﹣3）所以：DQ＝﹣n﹣3﹣（n2+2n﹣3）＝﹣n2﹣3n＝﹣（n+）2+，所以当n＝﹣时，DQ有最大值．10．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+3过点（3，0），∴﹣9+3m+3＝0，∴m＝2；（2）由，得或，∴C（0，3），D（，﹣），∵S△ABP ＝4S△ABD，∴AB×|P y|＝4×AB×，∴|P y|＝9，P y＝±9，当y＝9时，﹣x2+2x+3＝9，∴x2﹣2x+6＝0，∵△＝4﹣4×6＜0，∴此方程无实数解，当y＝﹣9时，﹣x2+2x+3＝﹣9，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，∴P（1+，﹣9）或P（1﹣，﹣9）；（3）由（1）知：抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3，∴抛物线的对称轴是：x＝1，∵点A与点B关于直线x＝1对称，连接BC交对称轴x＝1于点M，点M即为所求，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或﹣1，∴B（3，0），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，把B（3，0）和C（0，3）代入得，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，∵抛物线的对称轴是：x＝1，∴当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴当MA+MC的值最小时，点M的坐标是（1，2）．11．（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得．∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）①在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3）．设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，∴．∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，若PE＝2ED，则PD＝3ED，设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），∴﹣m2+2m+3＝3（﹣m+3），即m2﹣5m+6＝0，解得m1＝2，m2＝3（舍）．当m＝2时，P（2，3），E（2，1），则PE＝1，∴；②存在，理由如下：设P（n，﹣n2+2n+3）．∵△PBC是以BC为底边的等腰三角形，∴PB＝PC．∵B（3，0），C（0，3），∴（n﹣3）2+（﹣n2+2n+3）2＝n2+（﹣n2+2n+3﹣3）2．解得n1＝，n2＝．∴，．12．解：（1）∵Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，∴OC＝OA＝2，∠BOC＝∠BAO＝30°，∴∠AOC＝30°+30°＝60°，如图，过点C作CD⊥OA于D，则OD＝×2＝，CD＝2×＝3，所以，顶点C的坐标为（，3），设过点O，C，A抛物线的解析式为为y＝ax2+bx，则，解得．所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x；（2）∵线段OC的长度一定，∴当点M到OC的距离最大时，△MOC的面积最大．∵C（，3），∴直线OC的解析式为y＝x，设点M到OC的最大距离d时，平行于OC的直线解析式为y＝x+m，联立，消掉未知数y并整理得，x2﹣x+m＝0，△＝（﹣）2﹣4m＝0，解得m＝．∴点M到OC的最大距离d＝×sin30°＝×＝．＝OC•d＝×＝．∴S△MOC即三角形MOC的最大面积是．（3）∵∠OAP＝∠BOA＝30°，∴2×＝2，∴直线AP与y轴的交点坐标为（0，2）或（0，﹣2），当直线AP经过点（2，0）、（0，2）时，解析式为y＝﹣x+2，联立，解得，．所以点P的坐标为（，），当直线AP经过点（2，0）、（0，﹣2）时，解析式为y＝x﹣2，联立，解得，．所以点P的坐标为（﹣，﹣）．综上所述，存在一点P（，）或（﹣，﹣），使∠OAP＝∠BOA．13．解：（1）对于直线y＝﹣x+m，令x＝0，得到y＝m，令y＝0，得到x＝2m，∴A（2m，0），C（0，m）．（2）如图，连接BC，∵以AB为直径的⊙M经过点C，∴∠ACB＝90°，∵∠BCO+∠CBO＝90°，∠BCO+∠ACO＝90°，∴∠CBO＝∠ACO，∵∠COB＝∠AOC＝90°，∴△COB∽△AOC，∴＝，∵OC＝m，OA＝2m，∴OB＝m，∴B（﹣m，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+m）（x﹣2m）＝ax2﹣amx﹣am2，∵C（0，m），∴﹣am2＝m，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣•x2+x+m．∴ac＝﹣×m＝﹣1．（3）设P（t，﹣•t2+t+m），作PN∥OC交AC于N，则N（t，﹣t+m），∴PN＝﹣•t2+2t，∵直线l平行于AC，且与抛物线y＝ax2+bx+c有且只有一个公共点P，∴△P AC的面积最大，此时PN的值最大，∴t＝﹣＝m，∴PN＝m，∵S＝•PN•（x A﹣x C）＝4，△P AC∴•m•2m＝4，∴m＝2或﹣2（舍弃），∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，当y＝2时，x＝0或3，∴⊙M与抛物线y＝ax2+bx+c的交点坐标为（3，2）或（0，2）．14．解：（1）根据题意知，．解得．故抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+4x +5．由y ＝﹣x 2+4x +5＝﹣（x +1）（x ﹣5）知，A （﹣1，0），B （5，0）；（2）①如图1，过点P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，如图1，设P （m ，n ），则OC ＝m ，PC ＝n ，∵点P 在抛物线的解析式：y ＝﹣x 2+4x +5上，∴n ＝﹣m 2+4m +5，∴S 四边形EFPQ ＝S 梯形PFOC ﹣S △EOQ ﹣S △QCP ＝（2+n ）×m ﹣×1×1﹣（m ﹣1）×n ＝m +n ﹣，∴S 四边形EFPQ ＝﹣m 2+3m +2，当m ＝﹣＝3时，S 最大．当m ＝3时，n ＝﹣9+12+5＝8，∴P （3，8）因此当四边形EFPQ 的面积最大时，点P 的坐标为（3，8）．②如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，垂足为D ，如图2，作Q 关于O 的对称点Q 1，连接EQ 1，则Q 1（﹣1，0），由（1）得B （5，0）A （﹣1，0）Q （1，0），∴QB ＝4，∵PQ ＝PB ，∴QD ＝DB ＝QB ＝2，∴OD ＝3，当x ＝3时，y ＝﹣9+13+5＝8，此时点P （3，8），PQ 、EF 的长固定，要使四边形的周长最小，即EQ +PF 最小即可， 当EQ 1∥PF 时，EQ +PF 最小，即四边形的周长最小，设直线PF 的关系式为y ＝k 1x +b 1，直线EQ 1的关系式为y ＝k 2x +b 2，由题意得：，，∴k1＝，k2＝m，当k1＝k2时，EQ1∥PF，即：＝m，解得：m＝．因此当m＝时，四边形EFPQ的周长最小．15．解：（1）∵直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3），∴c＝3，﹣＝1，∴b＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点M（1，4），∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A位于点B 的左侧），∴0＝﹣x2+2x+3，∴x1＝3，x2＝﹣1，∴点A（﹣1，0），点B（3，0），∵点M（1，4），点B（3，0），∴直线BM解析式为y＝﹣2x+6，∵点P在直线BM上，且PD⊥x轴于点D，PD＝m，∴点P（3﹣，m），∴S＝×PD×OD＝m×（3﹣m）＝﹣m2+m，△PCD∵点P在线段BM上，且点M（1，4），点B（3，0），∴0＜m≤4，∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）．（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，∴点P（﹣6+3，18﹣6）．若DC＝PD＝m时，∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，∴点P（4﹣，﹣2+2）．若DC＝PC时，∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去），综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．16．解：（1）对于抛物线y＝ax2+3ax﹣18a，令y＝0，可得ax2+3ax﹣18a＝0，解得x＝﹣6或3，∴C（﹣6，0），A（3，0），∴OC＝6，OA＝3，∴AC＝9，∵AC＝OB，∴OB＝6，∴B （0，6），∴﹣18a ＝6，∴a ＝﹣．（2）如图1中，取AB 的中点T ，连接OT ，设P A 交OT 于N ，交OB 于M ．∵OA ＝3，OB ＝6，∴AB ＝＝3，∵∠AOB ＝90°，AT ＝BT ，∴TO ＝TB ＝TA ＝，∴∠OBA ＝∠TOB ，∴∠ATO ＝∠OBA +∠TOB ＝2∠OBA ，∵2∠OBA +∠DAB ＝90°，∴∠ATO +∠DAB ＝90°，∴∠ANT ＝90°，∵S △AOT ＝S △AOB ＝•OT •AN ， ∴AN ＝＝，∴ON ＝＝＝，∵∠OAN ＝∠OAM ，∠ONA ＝∠AOM ＝90°，∴△ANO ∽△AOM ，∴＝，∴＝，∴OM＝，∴M（0，），∵A（3，0），∴直线AP的解析式为y＝﹣x+，由，解得或，∴P（﹣，）．（3）如图2中，过点E作ES∥AC交AD于S，交y轴于L，设直线AD交QE于J．∵AD平分线段QE，∴JE＝JQ，∵ES∥AQ，∴∠ESJ＝∠QAJ，∵∠EJS＝∠QJA，∴△ESJ≌△QAJ（AAS），∴ES＝AQ，∵BE：AQ＝4：3＝4：15，∴可以假设BE＝4m，AQ＝ES＝15m，则BL＝8m，LE＝4m，∴SL＝11m，OL＝6﹣8m，∴S（﹣11m，6﹣8m），∵点S在直线AD：y＝﹣x+上，∴6﹣8m＝m+，解得m＝，∴AQ＝5，OQ＝AQ﹣AO＝2，∴Q（﹣2，0），＝4时，过点M作MW⊥QR于W．当S△MNK∵QR∥OM，∴∠MNK＝∠NMB，∵∠NMK＝∠NMB，∴∠NMK＝∠MNK，∴MK＝KN，∴•KN•2＝4，∴KN＝MK＝4，∵∠MWK＝90°，KM＝4，WM＝OQ＝2，∴MK＝2MW，∴∠MKE＝30°，∴∠MKN＝180°﹣30°＝150°，当S＝4时，同法可得∠M′K′N′＝30°，△M′K′N′综上所述，满足条件的∠MKN的值为30°或150°。

2021年中考数学二次函数压轴题抛物线与正方形综合专题训练一．解答题（共11小题）1．（2019•城区一模）综合与探究如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，对称轴为x＝1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上求一点P，使点P到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点P的坐标；（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点M关于x轴的对称点为N，使得四边形AMBN为正方形？若存在，请直接写出此抛物线的函数表达式；若不存在，请说明理由．2．（2019•九江模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2的图象（记为抛物线C1）顶点为M，直线l：y＝2x﹣a与x轴，y轴分别交于A，B．（1）对于抛物线C1，以下结论正确的是；①对称轴是：直线x＝1；②顶点坐标（1，﹣a﹣2）；③抛物线一定经过两个定点．（2）当a＞0时，设△ABM的面积为S，求S与a的函数关系；（3）将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2的图象C1绕点P（t，﹣2）旋转180°得到二次函数的图象（记为抛物线C2），顶点为N．①当﹣2≤x≤1时，旋转前后的两个二次函数y的值都会随x的增大而减小，求t的取值范围；②当a＝1时，点Q是抛物线C1上的一点，点Q在抛物线C2上的对应点为Q'，试探究四边形QMQ'N能否为正方形？若能，求出t的值，若不能，请说明理由．3．（2018•徐州模拟）如图，对称轴为直线x=72的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线表达式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）条件下，是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2017•金牛区模拟）如图，在正方形OABC中，OC＝4，点D为边AB的中点，分别以OC、OA所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，DE⊥CD，交y轴与点E，连接CE．（1）求经过O、C、D三点的抛物线的表达式；（2）若（1）中的抛物线对称轴与x轴于点F，过点F的直线l，将四边形COED的面积分为2：9的两个部分，求直线l的表达式；（3）平移（l）中的抛物线，使抛物线的顶点P始终在直线CD上，平移后的抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点M在y轴，点N在平面直角坐标系中，当以P、Q、M、N四点为顶点的四边形是正方形时，求此时M点坐标．5．（2015•甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−23x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|＝5．（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．6．（2020•新抚区二模）如图，对称轴为x＝1的抛物线经过A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的动点，连接PO交直线AB于点Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；（3）C在直线AB上，D在抛物线上，E在坐标平面内，以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形，直接写出点E的坐标．7．（2019春•渝北区校级月考）如图1，抛物线y=−12x2−32x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．（1）如图1，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG−√1010EG的值最小，求出PG−√1010EG的最小值；（2）如图2，点M为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，点K为平面内一点，当以点A、M、N、K为顶点的四边形是正方形时，直接写出点N的坐标．8．（2019•泰州一模）如图1，直线y＝kx+n分别与y轴、x轴交于A、B两点，OA＝1，OB＝2，以AB为边作正方形ABCD，抛物线y=56x2+bx+c经过点A、B．（1）分别求出直线与抛物线相应的函数表达式；（2）试判断正方形ABCD的顶点C是否在抛物线上，并说明理由；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点（P不与A、B重合）．①连接AP、BP，求五边形APBCD面积的最大值；②是否存在以AP为边的正方形APEF，使其顶点E在正方形ABCD的边BC上？若存在，请求出此时P的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2017秋•平阳县校级月考）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y＝ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP＝t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE和Rt△OCD中的一个角相等？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，求t的值．10．（2017•鄂尔多斯）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+3（a≠0）与y轴交于点A（0，2），顶点为B，且对称轴l1与x轴交于点M（1）求a的值，并写出点B的坐标；（2）有一个动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为t秒，求t为何值时P A+PB最短；（3）将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点C，且新抛物线的对称轴l2与x轴交于点N，过点C作DE∥x轴，分别交l1，l2于点D、E，若四边形MDEN是正方形，求平移后抛物线的解析式．11．（2015•毕节市）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．2021年中考数学二次函数压轴题抛物线与正方形综合专题训练参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．（2019•城区一模）综合与探究如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为x ＝1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上求一点P ，使点P 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出此时点P 的坐标；（3）是否存在过A ，B 两点的抛物线，其顶点M 关于x 轴的对称点为N ，使得四边形AMBN 为正方形？若存在，请直接写出此抛物线的函数表达式；若不存在，请说明理由．【专题】压轴题；分类讨论；函数的综合应用；运算能力；推理能力．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B 两点，对称轴为x ＝1．∴B 点坐标为（3，0）．把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得{−1−b +c =0−9+3b +c =0， 解得{b =2c =3． ∴抛物线的函数表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图1，连接BC ，与对称轴交于点P ，则点P 为所求．当x ＝0时，y ＝﹣x 2+2x +3＝3，∴点C （0，3）．设直线BC 的函数表达式为y ＝kx +m ，将B （3，0），C （0，3）代入得{3k +m =0m =3， 解得{k =−1m =3． ∴直线BC 的函数表达式为y ＝﹣x +3．当x ＝1时，y ＝﹣x +3＝2∴点P （1，2）；（3）存在过A ，B 两点的抛物线，其顶点M 关于x 轴的对称点为N ，使得四边形AMBN 为正方形，由AMBN 是正方形，A （﹣1，0），B （3，0），得M （1，﹣2），N （1，2）或M （1，2），N （1，﹣2），①当顶点M （1，﹣2）时，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣2，将A 点坐标代入函数解析式，得a （﹣1﹣1）2﹣2＝0，解得a =12，抛物线的解析式为y =12（x ﹣1）2﹣2，②当M （1，2）时，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+2，将A 点坐标代入函数解析式，得a （﹣1﹣1）2+2＝0，解得a=−1 2，抛物线的解析式为y=−12（x﹣1）2+2，综上所述：y=12（x﹣1）2﹣2或y=−12（x﹣1）2+2，使得四边形AMBN为正方形．2．（2019•九江模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2的图象（记为抛物线C1）顶点为M，直线l：y＝2x﹣a与x轴，y轴分别交于A，B．（1）对于抛物线C1，以下结论正确的是①②③；①对称轴是：直线x＝1；②顶点坐标（1，﹣a﹣2）；③抛物线一定经过两个定点．（2）当a＞0时，设△ABM的面积为S，求S与a的函数关系；（3）将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2的图象C1绕点P（t，﹣2）旋转180°得到二次函数的图象（记为抛物线C2），顶点为N．①当﹣2≤x≤1时，旋转前后的两个二次函数y的值都会随x的增大而减小，求t的取值范围；②当a＝1时，点Q是抛物线C1上的一点，点Q在抛物线C2上的对应点为Q'，试探究四边形QMQ'N能否为正方形？若能，求出t的值，若不能，请说明理由．【专题】压轴题；数形结合；构造法．【解答】解：（1）二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2的对称轴为x=−−2a2a=1，当x＝1时，y＝﹣a﹣2；y＝ax2﹣2ax﹣2＝a（x2﹣2x）﹣2，即当x＝0或2时，抛物线过定点，即（0，﹣2）、（2，﹣2），故答案为：①②③；（2）过顶点M在MC⊥x轴，交AB于D，交x轴于C，由抛物线的顶点公式求得：顶点M（1，﹣a﹣2）当x＝1时，y＝2×1﹣a＝2﹣a，求得：D（1，2﹣a）当y＝0时，0＝2x﹣a，x=12a，求得：A（a/2，0）∴DM＝2﹣a﹣（﹣a﹣2）＝4，S＝S△BMD﹣S△AMD=12MD（OC﹣AC）=12×4×12a＝a（a＞0），（3）①当﹣2≤x≤1时，C1的y的值都会随x的增大而减小，而C1的对称轴为x＝1，﹣2≤x≤1在对称轴的左侧，C1开口向上，所以a＞0；同时C2的开口向下，而又要当﹣2≤x≤1时y的值都会随x的增大而减小，所以﹣2≤x≤1要在C2的对称轴右侧，令C2的对称轴为x＝m，则m≤﹣2，而x＝1和x＝m关于P（t，﹣2）中心对称，所以P到这两条对称轴的距离相等，所以：1﹣t＝t﹣m，m＝2t﹣1，且：2t﹣1≤﹣2，即：t≤−1 2；②当a＝1时，M（1，﹣3），作PE⊥CM于E，将Rt△PME绕P旋转90°，得到Rt△PQF，则△MPQ为等腰直角三角形，因为N、Q′是中心对称点，所以四边形MQNQ′为正方形．第一种情况，当t≤1时，PE＝PF＝1﹣t，ME＝QF＝1，CE＝2，∴Q（t+1，﹣t﹣1），把Q（t+1，﹣t﹣1）代入y＝x2﹣2x﹣2﹣t﹣1＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣2，t2+t﹣2＝0，解得：t1＝1，t2＝﹣2；第二种情况，当t＞1时，PF＝PE＝t﹣1，ME＝QF＝1，CE＝2，∴Q（t﹣1，t﹣3）代入：y＝x2﹣2x﹣2，t﹣3＝（t﹣1）2﹣2（t﹣1）﹣2，t2﹣5t+4＝0，解得：t1＝1 （舍去），t2＝4综上：t＝﹣2或1或4．3．（2018•徐州模拟）如图，对称轴为直线x=72的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线表达式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）条件下，是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【专题】压轴题；数形结合；待定系数法；二次函数图象及其性质；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x =72，∴可设抛物线解析式为y ＝a （x −72）2+k ，把A （6，0），B （0，4）代入可得{a(6−72)2+k =0a(0−72)2+k =4，解得{a =23k =−256， ∴抛物线解析式为y =23（x −72）2−256， ∴顶点坐标为（72，−256）； （2）∵点E （x ，y ）在第四象限，∴y ＜0，∴﹣y 表示点E 到OA 的距离，∵OA 是平行四边形OEAF 的对角线，∴S ＝2S △OAE ＝2×12×OA •|y |＝﹣6y ＝﹣4（x −72）2+25，其中1＜x ＜6；（3）当OA ⊥EF 且OA ＝EF 时，四边形OEAF 是正方形，此时E 点坐标为（3，﹣3），而坐标为（3，﹣3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ，使平行四这形OEAF 为正方形．4．（2017•金牛区模拟）如图，在正方形OABC 中，OC ＝4，点D 为边AB 的中点，分别以OC、OA所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，DE⊥CD，交y轴与点E，连接CE．（1）求经过O、C、D三点的抛物线的表达式；（2）若（1）中的抛物线对称轴与x轴于点F，过点F的直线l，将四边形COED的面积分为2：9的两个部分，求直线l的表达式；（3）平移（l）中的抛物线，使抛物线的顶点P始终在直线CD上，平移后的抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点M在y轴，点N在平面直角坐标系中，当以P、Q、M、N四点为顶点的四边形是正方形时，求此时M点坐标．【专题】压轴题．【解答】解：（1）如图1中，由题意C（﹣4，0），D（﹣2，﹣4），设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2﹣4，把（0，0）代入得到a＝1，∴经过O 、C 、D 三点的抛物线的表达式为y ＝（x +2）2﹣4，即y ＝x 2+4x ．（2）如图1中，设直线l 交CD 于M ．∵CD ⊥DE ，∴∠CBD ＝∠CDE ＝∠DAE ＝90°，∴∠CDB +∠BCD ＝90°，∠CDB +∠ADE ＝90°，∴∠ADE ＝∠BCD ，∴△CBD ∽△DAE ，∴BC AD=BD AE ， ∴42=2AE ，∴AE ＝1．∴OE ＝3，∴S 四边形COED ＝16−12×4×2−12×2×1＝11，∵直线l ，将四边形COED 的面积分为2：9的两个部分，∴S △CMF ＝2=12×CF ×|M y | ∴点M 是纵坐标为﹣2．当点M 在直线CD 上时，∵直线CD 的解析式为y ＝﹣2x ﹣8，∴M （﹣3，﹣2），∴直线l 的解析式为y ＝2x +4．当点M 在OE 上时，M （0，﹣2），此时直线l 的解析式为y ＝﹣x ﹣2．综上所述，直线l 的解析式为y ＝2x +4或y ＝﹣x ﹣2．（3）如图2中，当PQ 是正方形PMQN 的对角线时，M （0，﹣3）；如图3中，当当P与C重合，PQ是正方形PMNQ的边时，M（0，2）；如图4中，当PQ是正方形PQNM或正方形PQMN的边时，M（0，﹣18）；如图5中，当PQ是正方形PMQN的对角线时，M（0，﹣13）．综上所述，满足条件的点M的坐标为（0，﹣3）或（0，2）或（0，﹣18）或（0，﹣13）．5．（2015•甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−23x2+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|＝5．（1）求b，c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．【专题】压轴题．【解答】解：（1）∵抛物线y=−23x2+bx+c，经过点A（0，﹣4），∴c＝﹣4又∵由题意可知，x 1、x 2是方程−23x 2+bx ﹣4＝0的两个根，∴x 1+x 2=32b ，x 1x 2＝6由已知得（x 2﹣x 1）2＝25又∵（x 2﹣x 1）2＝（x 2+x 1）2﹣4x 1x 2=94b 2﹣24∴94b 2﹣24＝25 解得b ＝±143，当b =143时，抛物线与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，不合题意，舍去． ∴b =−143．（2）∵四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线的对称轴上，又∵y =−23x 2−143x ﹣4=−23（x +72）2+256，∴抛物线的顶点（−72，256）即为所求的点D ．（3）∵四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P 必是直线x ＝﹣3与抛物线y =−23x 2−143x ﹣4的交点，∴当x ＝﹣3时，y =−23×（﹣3）2−143×（﹣3）﹣4＝4， ∴在抛物线上存在一点P （﹣3，4），使得四边形BPOH 为菱形．四边形BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上6．（2020•新抚区二模）如图，对称轴为x ＝1的抛物线经过A （﹣1，0），B （2，﹣3）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的动点，连接PO 交直线AB 于点Q ，当Q 是OP 中点时，求点P 的坐标；（3）C 在直线AB 上，D 在抛物线上，E 在坐标平面内，以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为正方形，直接写出点E 的坐标．【专题】压轴题；数据分析观念．【解答】解：（1）对称轴为x ＝1的抛物线经过A （﹣1，0），则抛物线与x 轴的另外一个交点坐标为：（3，0），则抛物线的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣3），将点B 的坐标代入上式并解得：a ＝1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）设点P （m ，m 2﹣2m ﹣3），将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB 的表达式为：y ＝﹣x ﹣1，当Q 是OP 中点时，则点Q （12m ，m 2−2m−32），将点Q 的坐标代入直线AB 的表达式并解得：m =1±√52， 故点P （1+√52，−5−√52）或（1−√52，−5+√52）； （3）①当BC 为正方形的对角线时，如图1所示，直线AB 的表达式为：y ＝﹣x ﹣1，则点C （0，﹣1），点D （0，﹣3），BD ＝CD ＝2，故点E 1（2，﹣1）；②当BC是正方形的一条边时，（Ⅰ）当点D在BC下方时，如图2所示，抛物线顶点P的坐标为：（1，﹣4），点B（2，﹣3），故PD⊥BC，有图示两种情况，左图，点C、E的横坐标相同，在函数对称轴上，故点E2（1，﹣4）；此时，点D、E的位置可以互换，故点E3（0，﹣3）；右图，点B、E的横坐标相同，同理点E4（2，﹣5）；（Ⅱ）当点D在CB上方时，此时，点B、D坐标相同，这是不可能的，故不存在；综上，点E的坐标为：（2，﹣1）或（1，﹣4）或（0，﹣3）或（2，﹣5）．7．（2019春•渝北区校级月考）如图1，抛物线y=−12x2−32x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．（1）如图1，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG−√1010EG的值最小，求出PG−√1010EG的最小值；（2）如图2，点M为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，点K为平面内一点，当以点A、M、N、K为顶点的四边形是正方形时，直接写出点N的坐标．【专题】压轴题；分类讨论；运算能力；创新意识．【解答】解：（1）抛物线y=−12x2−32x+2…①，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则点A、B、C的坐标为：（﹣4，0）、（1，0）、（0，2），则点D（﹣2，1），函数的对称轴为x=−3 2，将点B、D的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BD的表达式为：y=−13x+13，过点P作y轴的平行线交直线EF于点G，设点P（x，−12x2−32x+2），则点G（x，−13x+13），△PDF的面积S=12×PG×（x F﹣x D）=12×（−12x2−32x+2+13x−13）×2=−12x2−76x+53，当x=−76时，S最大，即点P（−76，22172）；过点E作x轴的平行线交PG于点H，直线BD的表达式为：y=−13x+13⋯②，则tan∠EBA=13=tan∠HEG，GH=√1010GE，故PG−√1010EG＝PG﹣HG＝PH为最小值，即点G为所求，联立①②并解得：x=−103，故点E（−103，139），则PG−√1010EG的最小值PH：22172−139=138；（2）①当AM是正方形的边时，（Ⅰ）当点M在y轴左侧时（N在下方），如图2，当点M在第二象限时，过点A作y轴的平行线GH，过点M作MG⊥GH与点G，过点N作HN⊥GH于点H，∵∠GMA+∠GAM＝90°，∠GAM+∠HAN＝90°，∴∠HAN＝∠GMA，∠AGM＝∠NHA＝90°，AM＝AN，∴△AGM≌△NHA（AAS），∴GA＝NH＝4−32=52，AH＝GM，即y=−12x2−32x+2=52，解得：x=−3±√52，当x=−3−√52时，则GM＝x﹣（﹣4）=5−√52，点y N＝﹣AH＝﹣GM=√5−5 2，故点N（−32，√5−52）；当x=−3+√52时，同理可得：点N（−32，−5+√52）；当点M在第三象限时，同理可得：点N（−32，−3+2√212）；（Ⅱ）当点M在y轴右侧时，如图3，M在第一象限时，过点M作MH⊥x轴于点H，设AH＝b，MH＝a，同理可得：△AHM≌△MGN（AAS），则点M（﹣4+b，b−52），即a＝b−52，将点M的坐标代入①式并解得：b=3±√292，a=−2±√292（a、b均舍去负值），y N＝a+b=1+2√292，故点N（−32，1+2√292），同理当点M在第四象限时，点N（−32，−1+2√292）；②当AM是正方形的对角线时，当点M在y轴左侧时，过点M作MG垂直于函数对称轴于点G，设函数对称轴与x轴交于点H，同理可得：△AHN≌△NGM（AAS），设点N（−32，m），则点M（−32−m，52+m），将点M的坐标代入①式并解得：m=12或−52（舍去），故点N（−32，12）；当点M在y轴右侧时，同理可得：点N（−32，−52）．综上，点N的坐标为：（−32，√5−52）或（−32，−5+√52）或（−32，−3+2√212）或（−32，1+2√292）或（−32，−1+2√292）或（−32，12）或（−32，−52）．8．（2019•泰州一模）如图1，直线y＝kx+n分别与y轴、x轴交于A、B两点，OA＝1，OB＝2，以AB为边作正方形ABCD，抛物线y=56x2+bx+c经过点A、B．（1）分别求出直线与抛物线相应的函数表达式；（2）试判断正方形ABCD的顶点C是否在抛物线上，并说明理由；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点（P不与A、B重合）．①连接AP、BP，求五边形APBCD面积的最大值；②是否存在以AP为边的正方形APEF，使其顶点E在正方形ABCD的边BC上？若存在，请求出此时P的坐标；若不存在，请说明理由．【专题】压轴题；数形结合；待定系数法．【解答】解：（1）∵OA ＝1，OB ＝2，∴A （0，1），B （2，0）又∵A 、B 在直线y ＝kx +n 的图象上，∴{1=n 0=2k +n ，解得，{k =12n =1， ∴直线AB 的函数表达式为，y =−12+1．又∵y =56x 2+bx +c 经过点A 、B ．∴{1=c 0=56×22+2b +c ，解得，{b =−136c =1∴抛物线的函数表达式为，y =56x 2−136x +1．（2）点C 在抛物线上．如图，过点C 作CH ⊥x 轴．∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠ABO +∠CBH ＝90°，又∵∠ABO +∠BAO ＝90°，∴∠BAO ＝∠CBH∴△ABO ≌△BCH （AAS ）∴BH ＝AO ＝1，CH ＝BO ＝2，∴C （3，2）．又∵当x ＝3时，y =56×32−136×3+1＝2． ∴点C 在抛物线上．（3）①如图，过点P 作x 轴的垂线，交OB 、AB 于点N 、Q ，过点A 作AM ⊥PN ． 设点P （m ，56m 2−136m +1），则Q （m ，−12m +1）． ∴PQ =−12m +1﹣（−56m 2−136m +1）=−56m 2+53m ．∴S △APB ＝S △APQ +S △BPQ =12•PQ •AM +12•PQ •BN =12•PQ •OB =−56m 2+53m =−56（m ﹣1）2+56．∴当m ＝1时，S △APB 最大值 =56．又∵S 正方形ABCD ＝5∴五边形APBCD 面积的最大值为，56+5=356． ②存在．如图，过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点G ，过点E 作EI ⊥PG ，设点P （m ，56m 2−136m +1），由（2）易证△APG ≌△PEI ， ∴AG ＝PI ，PG ＝EI ，∴E （−56m 2+196m ，56m 2−76m +1）． 又∵点B （2，0）、C （3，2）在直线BC 上，∴易求y BC ＝2x ﹣4．假设点E 在边BC 上，则56m 2−76m +1＝2（−56m 2+196m ）+1． 解得，m 1＝1，m 2＝2．又∵点P 在直线AB 下方的抛物线上，∴0＜m＜2，∴m＝1，∴存在以AP为边的正方形APEF，使其顶点E在正方形ABCD的边BC上，此时P（1，−13）．9．（2017秋•平阳县校级月考）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y＝ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP＝t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE和Rt△OCD 中的一个角相等？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，求t的值．【专题】压轴题．【解答】解：（1）在y＝ax2+bx+4中，令x＝0可得y＝4，∴C（0，4），∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D坐标代入抛物线解析式可得{100a+10b+4=44a−2b+4=0，解得{a=−16b=53，∴抛物线解析式为y=−16x2+53x+4；（2）由题意可设P（t，4），则E（t，−16t2+53t+4），∴PB＝10﹣t，PE=−16t2+53t+4﹣4=−16t2+53t，∵∠BPE＝∠COD＝90°，当∠PBE＝∠OCD时，则tan∠PBE＝tan∠OCD∴PEPB =ODOC，即BP•OD＝CO•PE，∴2（10﹣t）＝4（−16t2+53t），解得t＝3或t＝10（不合题意，舍去），∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；当∠PBE＝∠CDO时，则tan∠PBE＝∠CDO∴PEPB =OCOD，即BP•OC＝DO•PE∴4（10﹣t）＝2（−16t2+53t），解得t＝12或t＝10（均不合题意，舍去），综上所述∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90°，PM＝PN，∴∠CQO+∠AQB＝90°，∵∠CQO+∠OCQ＝90°，∴∠OCQ＝∠AQB，∴Rt△COQ∽Rt△QAB，∴COAQ =OQAB，即OQ•AQ＝CO•AB，设OQ＝m，则AQ＝10﹣m，∴m（10﹣m）＝4×4，解得m＝2或m＝8，①当m＝2时，CQ=√OC2+OQ2=2√5，BQ=√AQ2+AB2=4√5，∴sin∠BCQ=BQBC=2√55，sin∠CBQ=CQCB=√55，∴PM＝PC•sin∠PCQ=2√55t，PN＝PB•sin∠CBQ=√55（10﹣t），∴2√55t =√55（10﹣t ），解得t =103， ②当m ＝8时，同理可求得t =203， ∴当四边形PMQN 为正方形时，t 的值为103或203．10．（2017•鄂尔多斯）已知抛物线y ＝a （x ﹣1）2+3（a ≠0）与y 轴交于点A （0，2），顶点为B ，且对称轴l 1与x 轴交于点M（1）求a 的值，并写出点B 的坐标；（2）有一个动点P 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为t 秒，求t 为何值时P A +PB 最短；（3）将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点C ，且新抛物线的对称轴l 2与x 轴交于点N ，过点C 作DE ∥x 轴，分别交l 1，l 2于点D 、E ，若四边形MDEN 是正方形，求平移后抛物线的解析式．【专题】压轴题． 【解答】解：（1）把A （0，2）代入抛物线的解析式可得，2＝a +3，∴a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣1）2+3，∴抛物线的顶点B 坐标为（1，3）．（2）如图1中，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接BA ′交x 轴于P ，点P 即为所求．∵A ′（0，﹣2），B （1，3），∴直线A ′B 的解析式为y ＝5x ﹣2，∴P （25，0）， ∴t =252=15时，P A +PB 最短（3）如图2中，设抛物线向右平移后的解析式为y ＝﹣（x ﹣m ）2+3．由{y =−(x −1)2+3y =−(x −m)2+3，解得x =m+12， ∴点C 的横坐标m+12，∵MN ＝m ﹣1，四边形MDEN 是正方形，∴C （m+12，m ﹣1），把点C 的坐标代入y ＝﹣（x ﹣1）2+3，得到m ﹣1=−(m−1)24+3， 解得m ＝3或﹣5（舍弃），∴移后抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣3）2+3．当点C 在x 轴下方时，C （m+12，1﹣m ），把点C 的坐标代入y ＝﹣（x ﹣1）2+3，得到1﹣m =−(m−1)24+3， 解得m ＝7或﹣1（舍弃），∴移后抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣7）2+3．11．（2015•毕节市）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M ′．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM ′与此抛物线的另一个交点为C ，求△CAB 的面积；（3）是否存在过A ，B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q ，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【专题】压轴题．【解答】解：（1）将A 、B 点坐标代入函数解析式，得{1−b +c =09+3b +c =0， 解得{b =−2c =−3， 抛物线的解析式y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）将抛物线的解析式化为顶点式，得y ＝（x ﹣1）2﹣4，M 点的坐标为（1，﹣4），M ′点的坐标为（1，4），设AM ′的解析式为y ＝kx +b ，将A 、M ′点的坐标代入，得{−k +b =0①k +b =4②， 解得{k =2b =2， AM ′的解析式为y ＝2x +2，联立AM ′与抛物线，得{y =2x +2y =x 2−2x −3， 解得{x 1=−1y 1=0，{x 2=5y 2=12C 点坐标为（5，12）．S △ABC =12×4×12＝24；（3）存在过A ，B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q ，使得四边形APBQ 为正方形，由ABPQ 是正方形，A （﹣1，0）B （3，0），得P （1，﹣2），Q （1，2），或P （1，2），Q （1，﹣2），①当顶点P （1，﹣2）时，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣2，将A 点坐标代入函数解析式，得a （﹣1﹣1）2﹣2＝0，解得a =12，抛物线的解析式为y =12（x ﹣1）2﹣2，②当P （1，2）时，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+2，将A 点坐标代入函数解析式，得a （﹣1﹣1）2+2＝0，解得a =−12，抛物线的解析式为y =−12（x ﹣1）2+2，综上所述：y=12（x﹣1）2﹣2或y=−12（x﹣1）2+2，使得四边形APBQ为正方形．。

2021年中考数学抛物线压轴题二次函数最值问题专题训练一．解答题（共10小题）1．（2020•青白江区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+√22CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2020•日照三模）如图1，点A在x轴上，OA＝4，将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的函数解析式；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、O、B三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）如图2，OC＝4，⊙A的半径为2，点M是⊙A上的一个动点，求MC+12OM的最小值．3．（2019秋•开福区校级期中）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB 交于点M．（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+√22QB的最小值．4．（2019秋•金安区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点M（﹣4，6）和点N（2，﹣6）．（1）试确定该抛物线的函数表达式；（2）若该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C①试判断△ABC的形状，并说明理由；②在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使PM+PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．5．（2019•中原区校级四模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP 为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+12MB的最小值以及此时点M、N的坐标．6．（2020•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2√33x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y=−√33x+√3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．7．（2019秋•河北区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A （﹣1，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，是否存在这样的P 点，使线段PD 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E ，EF ⊥x 轴于点F ，N 是直线EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴一个动点，请直接写出CN +MN +12MB 的最小值以及此时点M 、N 的坐标，直接写出结果不必说明理由．8．（2020•莫旗一模）如图，二次函数y =−12x 2+32x +2的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．点P 是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P 的横坐标为x ． （1）写出线段AC ，BC 的长度：AC ＝ ，BC ＝ ； （2）记△BCP 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式；（3）过点P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，连结AH ，AP ，设AP 与BC 交于点K ，探究：是否存在四边形ACPH 为平行四边形？若存在，请求出PK AK的值；若不存在，请说明理由，并求出PKAK的最大值．9．（2019秋•泰安期中）如图，对称轴x ＝﹣1的抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （2，0），B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣2）， （1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE=14OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．10．（2020•余干县模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，−83），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和AEAB的值．2021年中考数学抛物线压轴题二次函数最值问题专题训练参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2020•青白江区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+√22CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）OA＝3OB＝3，则点B（﹣1，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作y轴的平行线交CA于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3△ACP的面积=12PH×OA=12×3×（x2﹣2x+3+x﹣3）=32（﹣x2+3x），当x=32时，△ACP的面积的最大，最大值为：278，此时点P（32，154）；（3）过点M作MN⊥AC，则MN=√22CM，故当B、M、N三点共线时，BM+√22CM＝BN最小，直线CA的倾斜角为45°，BN⊥AC，则∠NBA＝45°，即BN=√22AB＝2√2=AN，则点N（1，2），由点B、N的坐标得，直线BN的表达式为：y＝x+1，故点M（0，1）．2．（2020•日照三模）如图1，点A在x轴上，OA＝4，将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的函数解析式；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、O、B三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）如图2，OC＝4，⊙A的半径为2，点M是⊙A上的一个动点，求MC+12OM的最小值．【解答】解：（1）如图1，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，∴∠BDO ＝90°，∵OA 绕点O 逆时针旋转120°至OB ，∴OB ＝OA ＝4，∠AOB ＝120°，B 在第二象限， ∴∠BOD ＝60°， ∴sin ∠BOD =BD OB =√32，cos ∠BOD =OD OB =12， ∴BD =√32OB ＝2√3，OD =12OB ＝2， ∴B （﹣2，2√3），设过点A （4，0），B （﹣2，2√3），O （0，0）的抛物线解析式为y ＝ax 2+bx +c ， ∴{16a +4b +c =04a −2b +c =2√3c =0，解得：{a =√36b =−2√33c =0，∴抛物线的函数解析式为y =√36x 2−2√33x ； （2）存在△POB 为等腰三角形，∵抛物线与x 轴交点为A （4，0），O （0，0）， ∴对称轴为直线x ＝2， 设点P 坐标为（2，p ），则OP 2＝22+p 2＝4+p 2，BP 2＝（2+2）2+（p ﹣2√3）2＝p 2﹣4√3p +28，①若OP ＝OB ＝4，则4+p 2＝42 解得：p 1＝2√3，p 2＝﹣2√3，当p ＝﹣2√3时，∠POA ＝60°，即点P 、O 、B 在同一直线上， ∴p ≠﹣2√3， ∴P （2，2√3），②若BP ＝OB ＝4，则p 2﹣4√3p +28＝42 解得：p 1＝p 2＝2√3， ∴P （2，2√3）；③若OP ＝BP ，则4+p 2＝p 2﹣4√3p +28， 解得：p ＝2√3， ∴P （2，2√3）；综上所述，符合条件的点P 只有一个，坐标为（2，2√3）；（3）在OA 上取点K ，使AK ＝1，连接CK 交圆与点M ，连接OM 、CM ，此时，MC +12OM ＝MC +KM ＝CK 为最小值， 理由：∵AK ＝1，MA ＝2，OA ＝4， ∴AM 2＝AK •OA ，而∠MAO ＝∠OAM ， ∴△AKM ∽△AMO ，∴KM OM=12，即：MC +12OM ＝MC +KM ＝CK ， CK =√42+33=5，即：MC +12OM 的最小值为CK ＝5．3．（2019秋•开福区校级期中）如图，直线y ＝x +2与抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2+m 交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ．（1）当四边形CODM 是菱形时，求点D 的坐标； （2）若点P 为直线OD 上一动点，求△APB 的面积；′（3）作点B 关于直线MD 的对称点B '，以点M 为圆心，MD 为半径作⊙M ，点Q 是⊙M 上一动点，求QB '+√22QB 的最小值．【解答】解：（1）∵D （m ，m ），OD =√2m ，四边形CODM 为菱形， ∴OD ＝OC ＝2=√2m ， ∴m =√2， ∴D （√2，√2）；（2）∵y ＝x +2与抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2+m 交于A 、B 两点， ∴联立{y =x 2−2mx +m 2+m y =x +2，解得{x 1=m −1y 1=m +1，{x 2=m +2y 2=m +4，∵点A 在点B 的左侧，∴A （m ﹣1，m +1），B （m +2，m +4），∴AB =√(m −1−m −2)2+(m +1−m −4)2=3√2， ∵直线OD 的解析式为y ＝x ，直线AB 的解析式为y ＝x +2， ∴AB ∥OD ，两直线AB 、OC 之间距离h ＝2×√22=√2， ∴S △APB =12AB •h =12×3√2×√2=3；（3）∵A （m ﹣1，m +1），B （m +2，m +4）， ∴AM ＝1×√2=√2，BM ＝2×√2=2√2，由M 点坐标（m ，m +2），D 点坐标（m ，m ）可知以MC 为半径的圆的半径为 （m +2）﹣m ＝2，取MB 的中点N ，连接QB 、QN 、QB ′，∴MN =12BM =12×2√2=√2， ∵MN QM=QM BM=√22，∠QMN ＝∠BMQ ， ∴△MNQ ∽△MQB ， ∴QN QB=MN QM=√22， ∴QN =√22QB ，由三角形三边关系，当Q 、N 、B ′三点共线时QB ′+√22QB 最小， ∵直线AB 的解析式为y ＝x +2， ∴直线AB 与对称轴夹角为45°， ∵点B 、B ′关于对称轴对称， ∴∠BMB ′＝90°，由勾股定理得，QB ′+√22QB 最小值为B 'N =√B′M 2+MN 2=√(2√2)2+(√2)2=√10． 即QB '+√22QB 的最小值是√10．4．（2019秋•金安区校级月考）已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4经过点M （﹣4，6）和点N （2，﹣6）．（1）试确定该抛物线的函数表达式；（2）若该抛物线与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ①试判断△ABC 的形状，并说明理由；②在该抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PM +PC 的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点M 、N 的坐标代入抛物线表达式得：{16a −4b −4=64a +2b −4=−6，解得：{a =14b =−32， 故抛物线的表达式为：y =14x 2−32x ﹣4；（2）①y =14x 2−32x ﹣4，令y ＝0，则x ＝﹣2或8，x ＝0，则y ＝﹣4， 故点A 、B 、C 的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0）、（0，﹣4）， 则函数的对称轴为：x ＝3， 则AB ＝10，BC =√80，AC =√20，则AB 2＝BC 2+AC 2，故△ABC 为直角三角形；②作点M 关于函数对称轴的对称点D （10，6）， 连接CD 交函数对称轴于点P ，则点P 为所求，将点CD 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 并解得： 直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣4， 当x ＝3时，y ＝﹣1，故点P （3，﹣1）， 此时PM +PC 的值最小为CD ＝10√2．5．（2019•中原区校级四模）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，已知A （﹣1，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△CDP 为等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E ，EF ⊥x 轴于点F ，N 是直线EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴一个动点，请直接写出CN +MN +12MB 的最小值以及此时点M 、N 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，把A （﹣1，0），C （0，3）代入解析式得， ∴{−1−b +c =0c =3， 解得b ＝2，c ＝3．故该抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3．（2）令﹣x 2+2x +3＝0， 解得x 1＝﹣1，x 2＝3， 即B （3，0），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ′， 则{b′=33k +b′=0，解得：{k =−1b′=3，故直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3； ∴设P （t ，3﹣t ）， ∴D （t ，﹣t 2+2t +3），∴PD ＝（﹣t 2+2t +3）﹣（3﹣t ）＝﹣t 2+3t ， ∵OB ＝OC ＝3，∴△BOC 是等腰直角三角形， ∴∠OCB ＝45°，当CD ＝PC 时，则∠CPD ＝∠CDP ， ∵PD ∥y 轴，∴∠CPD ＝∠OCB ＝45°， ∴∠CDP ＝45°， ∴∠PCD ＝90°，∴直线CD 的解析式为y ＝x +3，解{y =x +3y =−x 2+2x +3 得{x =0y =3 或{x =1y =4，∴D （1，4）， 此时P （1，2）；当CD ＝PD 时，则∠DCP ＝∠CPD ＝45°， ∴∠CDP ＝90°， ∴CD ∥x 轴， ∴D 点的纵坐标为3，代入y ＝﹣x 2+2x +3得，3＝﹣x 2+2x +3， 解得x ＝0或x ＝2， 此时P （2，1）；当PC ＝PD 时，∵PC =√2t ， ∴√2t ＝﹣t 2+3t ， 解得t ＝0或t ＝3−√2， 此时P （3−√2，√2）；综上，当△CDP 为等腰三角形时，点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3−√2，√2）．（3）CN+MN+12MB的最小值为3√3+32，N坐标为（1，3−√3），M坐标为（√3，0）．理由如下：如图，取G点坐标为（0，−√3），连接BG，∵B（3，0），∴直线BG解析式为：y=√33x−√3，∴tan∠GBO=√33，∴∠GBO＝30°，过M点作MB′⊥BG，∴B′M=12 BM，∴CN+MN+12MB＝CN+MN+B′M，∴CN+MN+12MB取最小值时，C、M、N、B′在同一条直线上，即CB′⊥BG，设直线CB′解析式为y=−√3x+b，∵C（0，3）故直线CB′解析式为为y=−√3x+3，∵抛物线的顶点为E坐标为（1，4），EF⊥x轴，N在EF、CB′上，∴N坐标为（1，3−√3），M（m，0）是x轴一个动点，也是CB′与x轴交点，∴M（√3，0）．∵CG＝3+√3，∠CGB＝60°，∴CB′＝CG sin∠CGB＝（3+√3）×√32=3√3+32，综上所述：CN+MN+12MB的最小值为3√3+32，N坐标为（1，3−√3），M坐标为（√3，0）．6．（2020•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2√33x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y=−√33x+√3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y=−√33x+√3，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，√3），则c=√3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a=−√3 3，故抛物线的表达式为：y=−√33x2+2√33x+√3；（2）①当∠PCM＝90°时，由点A、B、C的坐标知，△ABC为直角三角形，故AC⊥BC，当△PCM为直角三角形时，点P与点A重合，∴点P（﹣1，0）；②当∠CPM＝90°时，则点C、P关于函数对称轴对称，此时点P（2，√3），故点P的坐标为（﹣1，0）或（2，√3）；（3）存在，理由：点P（2，√3），设图象沿BC方向向左平移3m个单位，则向上平移√3m个单位，则平移后点B′、P′的坐标分别为：（3﹣3m，√3m）、（2﹣3m，√3m+√3），点E（1，0），分别过点A、E作直线BC的平行线n、m，过点B′作直线m的对称点B″，则EB′＝EB″，当B″、E、P′三点共线时，EB'+EP'＝EB″+EP′＝B″P′最小；点E是AB的中点，则直线m与直线n、直线m与直线BC等距离，则点B″在直线n 上，直线BC的倾斜角为30°，则直线B′B″的倾斜角为60°，则设直线B′B″的表达式为：y=√3x+b，将点B′的坐标代入上式并解得：直线B′B″表达式为：y=√3x+（4√3m﹣3√3）…①，设过点A的直线n的表达式为：y=−√33x+b′，将点A的坐标代入上式并解得：直线n的表达式为：y=−√33（x+1）…②，联立①②并解得：x＝2﹣3m，故点B″（2﹣3m，√3m−√3），而P′（2﹣3m，√3m+√3），故EB'+EP'的最小值B″P′＝2√3．7．（2019秋•河北区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+12MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由．【解答】解：（1）y＝﹣x2+bx+c经过点C，则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y＝﹣x2+bx+3并解得：b＝2，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，理由：令y＝0，则x＝﹣1或3，故点B（3，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），则PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，当x=32时，PD最大值为：94；（3）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，直线BH 表达式中的k 值为√33，则直线CH 的表达式为：y =−√3x +3， 当x ＝1时，y ＝3−√3，当y ＝0时，x =√3， 故点N 、M 的坐标分别为：（1，3−√3）、（√3，0）， CN +MN +12MB 的最小值＝CH ＝CM +FH =3+3√32． 8．（2020•莫旗一模）如图，二次函数y =−12x 2+32x +2的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．点P 是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P 的横坐标为x ． （1）写出线段AC ，BC 的长度：AC ＝ √5 ，BC ＝ 2√5 ； （2）记△BCP 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式；（3）过点P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，连结AH ，AP ，设AP 与BC 交于点K ，探究：是否存在四边形ACPH 为平行四边形？若存在，请求出PK AK的值；若不存在，请说明理由，并求出PKAK的最大值．【解答】解：（1）二次函数y =−12x 2+32x +2， 当x ＝0时，y ＝2， ∴C （0，2）， ∴OC ＝2，当y ＝0时，−12x 2+32x +2＝0， 解得：x 1＝4，x 2＝﹣1， ∴A （﹣1，0），B （4，0）， ∴OA ＝1，OB ＝4，由勾股定理得：AC =2+12=√5，BC =√22+42=2√5； 故答案为：√5，2√5； （4分） （2）∵B （4，0），C （0，2），∴直线BC的解析式为：y=−12x+2，如图1，过P作PD∥y轴，交直线BC于D，设P（x，−12x2+32x+2），则D（x，−12x+2），∴PD＝（−12x2+32x+2）﹣（−12x+2）=−12x2+2x，有S=12PD•OB=12×4（−12x2+2x）＝﹣x2+4x（0＜x＜4）；（6分）（3）不存在，如图2，∵AC2+BC2=(√5)2+(2√5)2=25＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即AC⊥BC，∵PH⊥BC，∴AC∥PH，要使四边形ACPH为平行四边形，只需满足PH＝AC=√5，（10分）∴S=12BC•PH=12×2√5×√5=5，∵而S＝﹣x2﹣4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，所以不存在四边形ACPH为平行四边形，∵AC∥PH，∴△AKC∽△PHK，∴PKAK =PHAC=√5=S√5√5=15S≤45；∴PKAK 的最大值是45．（12分）（说明：写出不存在给1分，其他说明过程酌情给分）9．（2019秋•泰安期中）如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE=14OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，∴B（﹣4，0）．设抛物线解析式是：y＝a（x+4）（x﹣2）（a≠0）．把C（0，﹣2）代入，得a（0+4）（0﹣2）＝﹣2．解得a=1 4．故该抛物线解析式是：y=14（x+4）（x﹣2）或y=14x2+12x﹣2；（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（﹣4，0），C（0，﹣2）代入得{−4m−2=0n=−2，解得{m=−12 n=−2，∴直线BC 的解析式为y =−12x ﹣2；作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，如图，设P （t ，14t 2+12t ﹣2），则Q （t ，−12t ﹣2），则PQ =−12t ﹣2﹣（14t 2+12t ﹣2）=−14t 2﹣t ， S △PBC ＝S △PBQ +S △PCQ =12•PQ •4=−12t 2﹣2t =−12（t +2）2+2，当t ＝﹣2时，△PBC 面积有最大值，最大值为2，此时P 点坐标为（﹣2，﹣2）；（3）设D （m ，0），∵DP ∥y 轴，∴E （m ，−12m ﹣2），P （m ，14m 2+12m ﹣2）， ∵PE =14OD ，∴|﹣m |＝4|−12m ﹣2−14m 2−12m +2|，∴m 2+3m ＝0或m 2+5m ＝0，∴m ＝﹣3，m ＝0（舍去）或m ＝﹣5，m ＝0（舍去）∴P （﹣3，−54）或P （﹣5，74）；（4）∵点A 、B 关于对称轴对称，∴点M 为BC 与对称轴的交点时，MA +MC 的值最小，此时△AMC 的周长最小．∵直线BC的解析式为y=−12x﹣2．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∴当x＝﹣1时，y=−3 2．∴抛物线对称轴上存在点M（﹣1，−32）符合题意，此时△AMC周长的最小值为AC+BC＝2√2+2√5．10．（2020•余干县模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，−83），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和AEAB的值．【解答】解：（1）由题意可列方程组：{c=−2a−2a+c=−83，解得：{a=23c=−2．故抛物线解析式为：y=23x2−43x﹣2；（2）连结BE，由（1）知，抛物线解析式为：y=23x2−43x﹣2，令y ＝0，则0=23x 2−43x ﹣2∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），B （3，0），∴AB ＝4，∵∠AOC ＝90°，∴AC =√5，设直线AC 的解析式为：y ＝kx +b ，则{−k +b =0b =−2， 解得：{k =−2b =−2． ∴直线AC 的解析式为：y ＝﹣2x ﹣2；当△AOC ∽△AEB 时S △AOCS △AEB =（AC AB ）2＝（√54）2=516， ∵S △AOC ＝1，∴S △AEB =165，∴12AB ×|y E |=165，AB ＝4，则y E =−85， 则点E （−15，−85）；由△AOC ∽△AEB 得：AO AC =AE AB =√5，∴AE AB =√55．。

矩形的存在性根据平移、三角形全等，中点坐标公式等方法求解点坐标 类型一：已知一边垂直，对边相等即可【经典例题1】如图，已知抛物线y=−x 2+bx +c 与y 轴相交于点A(0，3)，与x 正半轴相交于点B ，对称轴是直线x =1.(1)求此抛物线的解析式以及点B 的坐标。

(2)动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴正方向运动，同时动点N 从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿y 轴正方向运动，当N 点到达A 点时，M 、N 同时停止运动。

过动点M 作x 轴的垂线交线段AB 于点Q ，交抛物线于点P ，设运动的时间为t 秒。

①当t 为何值时，四边形OMPN 为矩形。

①当t>0时，①BOQ 能否为等腰三角形?若能，求出t 的值；若不能，请说明理由。

【解析】∵抛物线y=−x 2+bx +c 对称轴是直线x =1，1)1(2=-⨯-b ，解得b =2， ∵抛物线过A(0,3)，∴c =3，∴抛物线解析式为y=−x 2+2x +3，令y=0可得−x 2+2x +3=0，解得x =−1或x =3，∴B 点坐标为(3,0)；(2)①由题意可知ON=3t ，OM=2t ，∵P 在抛物线上，∴P(2t,−4t 2+4t+3)，∵四边形OMPN 为矩形，∴ON=PM ，∴3t=−4t 2+4t+3,解得t=1或t=43-(舍去)， ∴当t 的值为1时，四边形OMPN 为矩形；②∵A(0,3),B(3,0)，∴OA=OB=3，且可求得直线AB 解析式为y=−x +3，∴当t>0时，OQ ≠OB ，∴当△BOQ 为等腰三角形时，有OB=QB 或OQ=BQ 两种情况，由题意可知OM=2t ，∴Q(2t,−2t+3)，∴OQ=22)32()2(+-+t t =91282+-t t , BQ=22)32()32(+-+-t t =322-t ，又由题意可知0<t<1，当OB=QB 时,则有322-t =3,解得t=4236+(舍去)或t=4236-；当OQ=BQ 时,则有91282+-t t =322-t ,解得t=43； 综上可知当t 的值为4236-或43时，△BOQ 为等腰三角形。

2021年中考数学《二次函数综合压轴题》模拟训练题集（三）1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，C两点（点A在点C左侧），与y轴交于点B，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，连结PO，PB，PC．（1）当m＝2时，求证：△OPB≌△OPC．（2）直线BC交直线OP于点Q，当P为OQ中点时，求点Q坐标．（3）当S△OPB＝S△OPC，求所有满足条件的点P坐标．2．如图，抛物线过A（1，0）、B（﹣3，0），C（0，﹣3）三点，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点，过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A，直线AB的解析式为：y＝x+4；（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，过P作PD∥y轴交直线AB于D，若点P的横坐标为t，PD的长度为d，求d与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，延长DP交x轴于E，点F在BE上，EF＝PD，连接PF，过F作FQ⊥PF交AB于Q，直线PQ交x轴于点M，求t为何值时PM＝2PQ．4．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）与C（0，﹣3），与x轴负半轴的交点为B．（1）求抛物线的解析式与点B坐标；（2）若点D在x轴上，使△ABD是等腰三角形，求所有满足条件的点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，其中AB ∥MN，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，A（﹣1，0）与y轴交于点C，点E（1，﹣4）为抛物线的顶点，且OD＝OA．（1）求抛物线的解析式；（2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C三点为顶点的三角形与△BCE相似，若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与两坐标轴分别交于点A、B、C，直线y＝﹣x+4经过点B，与y轴交点为D，M（3，﹣4）是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）已知点N在对称轴上，且AN+DN的值最小．求点N的坐标．（3）在（2）的条件下，若点E与点C关于对称轴对称，请你画出△EMN并求它的面积．（4）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且∠ACO＝∠CBO．（1）求线段OC的长度；（2）若点D在第四象限的抛物线上，连接BD、CD，求△BCD的面积的最大值；（3）若点P在平面内，当以点A、C、B、P为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点P的坐标．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，2），直线y＝x﹣1与y轴交于点C，与x轴交于点D，点P是线段CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF垂直x轴于点F，交直线CD于点E，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当线段PE的长取最大值时，解答以下问题．①求此时m的值．②设Q是平面直角坐标系内一点，是否存在以P、Q、C、D为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式；（2）直线x＝m（在A、B之间）交抛物线于M点，交直线AB于N，用m表示线段MN的长．（3）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△P AB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）与点C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）直接写出B点的坐标；（2）求该二次函数的解析式；（3）若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，AB．请问是否存在点P，使得△BDP的面积恰好等于△ADB的面积？若存在请求出此时点P的坐标，若不存在说明理由．11．如图，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称轴为直线x＝﹣2，顶点为D．（1）填空：抛物线的解析式为，顶点D的坐标为，直线AB的解析式为；（2）在直线AB左侧抛物线上存在点E，使得∠EBA＝∠ABD，求E的坐标；（3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当S△POQ：S△BOQ ＝1：2时，求出点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点且点B（3，0），与y 轴的负半轴交于点C，OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，连接AC，点P为直线BC下方的抛物线上的一点，过点P作PQ∥AC交AB于点Q，交直线BC于点D，若PD＝DQ，求点P的坐标．（3）在（1）的条件下，点D为该抛物线的顶点，过点C作x轴的平行线交抛物线与另一点R，过点R作RH⊥AB于点H，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点M，连接DM交RH于点Q，当MQ＝2RQ时，求∠MQH的度数．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+5与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于点C．（1）求直线AC解析式；（2）过点A作AD平行于x轴，交抛物线于点D，点F为抛物线上的一点（点F在AD上方），作EF平行于y 轴交AC于点E，当四边形AFDE的面积最大时？求点F的坐标，并求出最大面积；（3）若动点P先从（2）中的点F出发沿适当的路径运动到抛物线对称轴上点M处，再沿垂直于y轴的方向运动到y轴上的点N处，然后沿适当的路径运动到点C停止，当动点P的运动路径最短时，求点N的坐标，并求最短路径长．14．如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC．（1）求直线BC的解析式；（2）如图2，点P是抛物线在第一象限内的一点，作PQ∥y轴交BC于Q，当线段PQ的长度最大时，在x轴上找一点M，使PM+CM的值最小，求PM+CM的最小值；（3）抛物线的顶点为点E，连接AE，在抛物线上是否存在一点N，使得直线AN与直线AE的夹角为45度，若存在请直接写出满足条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点在直线x＝1上．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限内抛物线上的一个动点，过点P做PQ∥y轴交BC与点Q，当点P在何位置时，线段PQ 的长度有最大值？（3）点M在x轴上，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M，点N，使以点M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（0，4）两点．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为C，点P为第一象限内抛物线上一点，求P点坐标为多少时，△BCP的面积最大，并求出这个最大面积．（3）在直线CD上有点E，作EF⊥x轴于点F，当以O、B、E、F为顶点的四边形是矩形时，直接写出E点坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值；（3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由．18．如图，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣+bx+c经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，点Q在直线AB上，当P，Q关于原点O成中心对称时，求点Q的坐标；（3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．19．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求B、D两点的坐标；（2）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，设F为y轴一动点，当线段PM长度最大时，求PH+HF+CF的最小值；（3）在第（2）问中，当PH+HF+CF取得最小值时，将△OHF绕点O顺时针旋转60°后得到△OH′F′，过点F′作OF′的垂线与x轴交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使得点D、Q、R、S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．20．如图，已知直线y＝﹣x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点，抛物线与x轴另一个交点为D．（1）求图中抛物线的解析式；（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；（3）在直线AB上是否存在点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．21．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6相交于A（，）和B（4，m），直线AB交x轴于点E，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连结AC、BC，是否存在一点P，使△ABC的面积等于14？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△P AC与△PDE相似，求点P的坐标．22．如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴交于点D（0，3）．（1）求抛物线的表达式以及点B的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得DP+CP最小，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）点Q是线段BD上方抛物线上的一个动点．过点Q作x轴的垂线，交线段BD于点E，再过点Q作QF∥x 轴交抛物线于点F，连结EF，请问是否存在点Q使△QEF为等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．23．如图，抛物线y＝（x+2）2+m与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点D在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，抛物线的顶点为M，点B的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及A，C，D的坐标；（2）判断△ABM的形状，并证明你的结论；（3）若点P是直线BD上一个动点，是否存在以P，C，D为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由24．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m，四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S的最值；（3）点P在抛物线的对称轴上，且∠BPC＝45°，请直接写出点P的坐标．25．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）、B（4，0），交y轴于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求点D坐标，并求△BCD面积的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC＝45°，如果存在，直接写出点Q坐标，不存在，请说明理由．26．已知：如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），该抛物线的顶点为M．（1）求点A、B的坐标以及c的值．（2）求直线BM的函数解析式．（3）试说明：点C在以BM为直径的圆上．（4）在抛物线上是否存在点P，使直线CP把△BCM分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，直线l：y＝﹣3x+8与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+9（a＜0）经过点B．（1）求a的值，并写出抛物线的表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，①当点M（2，n）时，求n，并求△ABM的面积．②当点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值和此时点M的坐标．28．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于A、B两点，其中点A（﹣1，0），抛物线与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图2，直线l是抛物线的对称轴，点P是直线l上一动点，是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（2）如图3，连接BC，点M是直线BC上方的抛物线上的一个动点，当△MBC的面积最大时，求△MBC的面积的最大值；点N是线段BC上的一点，求MN+BN的最小值．29．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（8，0）、C（0，4）三点，点D是抛物线上的动点，连结AD与y轴相交于点E，连结AC，CD．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当AD平分∠CAB时，①求直线AD所对应的函数表达式；②设P是x轴上的一个动点，若△P AD与△CAD相似，求点P的坐标．30．如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，且位于第一象限，当△ABP的面积为3时，求出点P的坐标；（3）过B作BC⊥OA于C，连接OB，点G是抛物线上一点，当∠BAG+∠OBC＝∠BAO时，请直接写出此时点G的坐标．31．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标：（3）在抛物线上存在点P，使得△APB的面积与△ACB的面积相等，求点P的坐标．32．如图1，已知抛物线；C1：y＝﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C（点B在点C的左侧），与y 轴交于点E．（1）求点B、点C的坐标；（2）当△BCE的面积为6时，若点G的坐标为（0，b），在抛物线C1的对称轴上是否存在点H，使得△BGH 的周长最小，若存在，则求点H的坐标（用含b的式子表示）；若不存在，则请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．33．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线y＝﹣x+2经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．①求△PBC面积最大值和此时m的值；②Q是直线BC上一动点，是否存在点P，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标．34．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A、B两点，A左B右（AO＜BO），交y轴于C，AB＝10，∠ACB＝90°．（1）求抛物线解析式；（2）点P在第一象限中的抛物线上，PQ⊥AB于Q，交CB于T，设P点横坐标为t，PT的长为d，求出d与t 的函数解析式；（3）在（2）条件下，过C作x轴的平行线交抛物线于D，交PQ于F，连DQ，延长CP、QD交于R点，若CR＝QR，求R点坐标．35．如图，抛物线C1的图象与x轴交A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1关于直线x＝1对称后的抛物线记为C2，将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C3，点E 为抛物线C3的顶点，在抛物线C2的对称轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在请求出点F的坐标，若不存在请说明理由．36．如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE＝OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．37．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．38．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B和点C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），抛物线的对称轴为x＝1，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，求四边形ACFB面积的最大值，以及此时点E的坐标．（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，写出点P点的坐标；若不存在，说明理由．39．已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a﹣2（a＞0），直线l：y＝﹣x+b．（1）如图1，若抛物线C1的顶点为D（1，﹣6），直线l与C1交于两点H、Q，∠HDQ＝45°．①求抛物线C1的解析式；②求b的值；（2）如图2，将抛物线C1向上平移2个单位得抛物线C2，直线l与C2交于两点M、N（M在N左侧），E为MN中点，点P为y轴左侧抛物线上一动点，过E点作x轴的垂线分别交直线MP、NP、抛物线C2于G、F、H，求线段FH与GH的数量关系．40．如图，抛物线的顶点P（m，1）（m＞0），与y轴的交点C（0，m2+1）．（1）求抛物线的解析式（用含m的式子表示）（2）点N（x，y）在该抛物线上，NH⊥直线y＝于点H，点M（m，）且∠NMH＝60°．①求证：△MNH是等边三角形；②当点O、P、N在同一直线上时，求m的值．41．如图，已知直线y＝x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．（1）求抛物线解析式；（2）点C（m，0）是x轴上异于A、O点的一点，过点C作x轴的垂线交AB于点D，交抛物线于点E．①当点E在直线AB上方的抛物线上时，连接AE、BE，求S△ABE的最大值；②当DE＝AD时，求m的值．42．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与x轴交于点A，与y轴交于点B，点F是点B关于x轴的对称点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点F，与直线AB交于点C．（1）求b和c的值；（2）点P是直线AC下方的抛物线上的一动点，连结P A，PB．求△P AB的最大面积及点P到直线AC的最大距离；（3）点Q是抛物线上一点，点D在坐标轴上，在（2）的条件下，是否存在以A，P，D，Q为顶点且AP为边的平行四边形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．43．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点在直线x＝1上．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限内抛物线上的一个动点，过点P做PQ∥y轴交BC于点Q，求线段PQ长度的最大值，及此时点P的坐标；（3）点M在x轴上，点N在抛物线的对称轴上，若以点M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．44．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点为D．（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）若P（0，t）（t＜﹣1）是y轴上一点，Q（﹣5，0），将点Q绕着点P顺时针方向旋转90°得到点E．当点E恰好在该二次函数的图象上时，求t的值；（3）在（2）的条件下，连接AD、AE．若M是该二次函数图象上一点，且∠DAE＝∠MCB，求点M的坐标．45．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求点A与点B的坐标；（2）若a＝，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P 在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．46．如图，已知抛物线y＝﹣+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）和点C（0，2），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，），当点P在x轴正半轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．47．如图，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝ax2﹣x+c经过A，B两点，与x轴的另一交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）M为抛物线上一点，直线AM与x轴交于点N，当＝时，求点M的坐标；（3）P为抛物线上的动点，连接AP，当∠P AB与△AOB的一个内角相等时，直接写出点P的坐标．48．如图，抛物线y＝﹣+bx+c交x轴于点A、B（A在B左侧），交y轴于点C，直线y＝﹣x+6经过点B、C．（1）求抛物线解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，连接P A交BC于点D，设点P的横坐标为t，的值为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点E为线段OB上一点，连接CE，过点O作CE的垂线交BC于点G，连接PG并延长交OB于点F，若∠OGC＝∠BGF，F为BE中点，求t的值．49．如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．（1）点A的坐标为，点B的坐标为．（2）①求抛物线的解析式；②直线AB与抛物线的对称轴交于点E，在x轴上是否存在点M，使得ME+MB最小，求出点M的坐标．（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值．50．定义：在平面直角坐标系中，如果点M（m，n）和N（n，m）都在某函数的图象l上，则称点M、N是图象l 的一对“相关点”．例如，点M（1，2）和点N（2，1）是直线y＝﹣x+3的一对相关点．（1）请写出反比例函数y＝的图象上的一对相关点的坐标；（2）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，﹣1）．①求抛物线的解析式；②若点M、N是抛物线y＝x2+bx+c上的一对相关点，直线MN与x轴交于点A（1，0），点P为抛物线上M、N 之间的一点，求△PMN面积的最大值．。

2021中考数学专题训练：二次函数的图象及性质一、选择题1. 在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2)2+1，下列说法中错误的是()A.y的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x=2C.当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到2. 抛物线y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是()A. (3，1)B. (3，－1)C. (－3，1)D. (－3，－1)3. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：有下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0<x<4时，y>0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上的两点，则x1<x2.其中正确的个数是()A．2 B．3 C．4 D．54. 某人画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出下表(计算没有错误)：根据此表判断：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1满足下列关系式中的() A．3.2<x1<3.3 B．3.3<x1<3.4 C．3.4<x1<3.5 D．3.1<x1<3.25. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2>4ac；②abc<0；③2a ＋b－c>0；④a＋b＋c<0.其中正确的是()A．①④B．②④C．②③D．①②③④6. (2019•嘉兴)小飞研究二次函数y=–(x–m)2–m+1(m为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m，则y1<y2；④当–1<x<2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是A．①B．②C．③D．④7. （2020·常德）二次函数的图象如图所示，下列结论：240b ac ->①；0abc <②；40a b +=③；420a b c -+>④．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18. （2020·湖北孝感）将抛物线：y =-2x +3向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于x 轴对称，则抛物线的解析式为( ) A.y =--2 B.y =-+2 C.y =-2 D.y =+2二、填空题9. 经过A (4，0)，B (-2，0)，C (0，3)三点的抛物线解析式是_____________.10. 如图所示，抛物线y ＝ax 2－3x ＋a 2－1经过原点，那么a 的值是________．11. 已知函数y ＝ax 2＋c 的图象与函数y ＝－3x 2－2的图象关于x 轴对称，则a ＝________，c ＝________．12. (2019•天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，=-．则M、N的大小关系为M__________N．(填“>”、“=”或“<”)N a b13. 如图，抛物线y=-x2+x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x 轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为.14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．三、解答题15. 已知抛物线经过点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求该抛物线的解析式．16. 把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到如图5－ZT －4所示的二次函数的图象．(1)求此二次函数的解析式；(2)在平移后的抛物线上存在一点M，使△ABM的面积为20，请直接写出点M的坐标．17. 如图，二次函数的图象与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D.(1)请直接写出点D的坐标;(2)求二次函数的解析式;(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.18. 如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．2021中考数学专题训练：二次函数的图象及性质-答案一、选择题1. 【答案】C[解析]根据二次函数的性质进行判断，由二次函数y=(x-2)2+1，得它的顶点坐标是(2，1)，对称轴为直线x=2，当x=2时，函数的最小值是1，图象开口向上，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x<2时，y的值随x值的增大而减小，可由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以选项C是错误的，故选C.2. 【答案】A【解析】∵抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是(h，k)，∴y＝2(x －3)2＋1的顶点坐标是(3，1)．3. 【答案】B[解析] 先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确．由图象(或表格)可以看出抛物线与x轴的两个交点分别为(0，0)，(4，0)，所以抛物线的对称轴为直线x＝2且抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确．由图象可以看出当0<x<4时，y<0，所以结论③错误．由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对应的点均有两个，若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，既有可能x1<x2，也有可能x1>x2，所以结论⑤错误．4. 【答案】B[解析] 从表格中的数据看，当3.2≤x≤3.5时，y随x的增大而增大，且x＝3.3时，y＝－0.17<0，x＝3.4时，y＝0.08>0，故y＝0一定在3.3<x<3.4这个范围内取得，∴方程的根也在此范围内．故选B.5. 【答案】A[解析] ①因为图象与x轴有两个不同的交点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，故①正确．②图象开口向下，故a<0.图象与y轴交于正半轴，故c>0.因为对称轴为直线x＝－1，所以－b2a＝－1，所以2a＝b，故b<0，所以abc>0，故②错误．③因为a<0，b<0，c>0，所以2a ＋b －c<0，故③错误．④当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ，由图可得，当x ＝－3时，y<0.因为抛物线的对称轴为直线x ＝－1，所以由对称性可知，当x ＝1时，y<0，即a ＋b ＋c<0，故④正确．综上所述，①④正确，故选A.6. 【答案】C【解析】把(m ，–m+1)代入y=–x+1，–m+1=–m+1，左=右，故①正确； 当–(x –m)2–m+1=0时，x1=1m m -x2=1m m - 若顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形， 则1–m+(1–m)2+1–m+(1–m)2=4(1–m)，即m2–m=0，∴m=0或1时，∴存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；故②正确； 当x1<x2，且x1、x2在对称轴右侧时，∵–1<0，∴在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，即y1>y2，故③错误； ∵–1<0，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而增大， ∴m≥2，故④正确， 故选C ．7. 【答案】B 【解析】本题考查了二次函数图像与系数的关系.∵抛物线与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，240b ac ∴->，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴为直线2x =，22ba∴-=，40a b ∴+=，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，0a ∴<.∵40a b +=，0b ∴>.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，0c ∴>.0abc ∴<，故②正确，由图象知，当2x =-时，0y <，420a b c ∴-+<，故④错误.综上所述，正确的结论有3个，因此本题选B ．8. 【答案】A【解析】利用平移得性质“上加下减，左加右减”得抛物线得解析式：y =-2(x +1)+3，整理得y =+2，再利用关于x 轴对称的性质“横坐标不变，纵坐标互为相反数”得：y =--2.故选A. 二、填空题9. 【答案】y=-(x -4)(x +2)[解析]设抛物线解析式为y=a (x -4)(x +2)，把C (0，3)代入上式得3=a (0-4)(0+2)，解得a=-，故y=-(x -4)(x +2).10. 【答案】－1 [解析] 因为抛物线经过原点(0，0)，所以a 2－1＝0，即a ＝±1.因为抛物线的开口向下，所以舍去a ＝1.故a ＝－1.11. 【答案】3212. 【答案】<【解析】当1x =-时，0y a b c =-+>， 当2x =时，420y a b c =++<，()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<， 即M N <， 故答案为：<．13. 【答案】2[解析]当y=0时，-x 2+x +2=0，解得x 1=-2，x 2=4，∴点A 的坐标为(-2，0).当x=0时，y=-x 2+x +2=2，∴点C 的坐标为(0，2). 当y=2时，-x 2+x +2=2，解得x 1=0，x 2=2， ∴点D 的坐标为(2，2).设直线AD 的解析式为y=kx +b (k ≠0)，将A (-2，0)，D (2，2)代入y=kx +b ，得解得∴直线AD 的解析式为y=x +1.当x=0时，y=x +1=1，∴点E 的坐标为(0，1). 当y=1时，-x 2+x +2=1，解得x 1=1-，x 2=1+， ∴点P 的坐标为(1-，1)，点Q 的坐标为(1+，1)，∴PQ=1+-(1-)=2.14. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b24a)．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－ba ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．三、解答题15. 【答案】解：∵抛物线的对称轴是直线x ＝2且经过点A(1，0)，∴由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(3，0)．设抛物线的解析式为y ＝a(x －1)(x －3)．把(0，3)代入解析式，得3＝3a ，∴a ＝1，∴y ＝(x －1)(x －3)，即该抛物线的解析式为y ＝x2－4x ＋3.16. 【答案】解：(1)此二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)2－4，即y ＝x2＋2x －3.(2)∵当y ＝0时，x2＋2x －3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(1，0)，B(－3，0)，∴AB ＝4. 设点M 的坐标为(m ，n)．∵△ABM 的面积为20，∴12AB·|n|＝20，解得n ＝±10. 当n ＝10时，m2＋2m －3＝10，解得m ＝－1＋14或m ＝－1－14，∴点M 的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)；当n ＝－10时，m2＋2m －3＝－10，此方程无解．故点M 的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)．17. 【答案】解:(1)D(-2，3).(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)，根据题意，得解得∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.(3)x<-2或x>1.18. 【答案】（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得2,0,42 1.a b cca b c++=⎧⎪=⎨⎪++=⎩解得32a=-，72b=，0c=．所以23722y x x=-+．（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－y M′＝yP′－yB．直线OC的解析式为12y x=，设点P的坐标为1(,)2x x，那么237(,)22M x x x-+．解方程23712()222x x x--+=，得123x=，22x=．x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以21(,)33P．图2 图3（3）如图3，△AOB 与△COD 重叠部分的形状是四边形EFGH ，作EK ⊥OD 于K ．设点A ′移动的水平距离为m ，那么OG ＝1＋m ，GB ′＝m ．在Rt △OFG 中，11(1)22FG OG m ==+．所以21(1)4OFG S m ∆=+． 在Rt △A ′HG 中，A ′G ＝2－m ，所以111'(2)1222HG A G m m ==-=-． 所以13(1)(1)22OH OG HG m m m =-=+--=． 在Rt △OEK 中，OK ＝2 EK ；在Rt △EHK 中，EK ＝2HK ；所以OK ＝4HK ． 因此4432332OK OH m m ==⨯=．所以12EK OK m ==． 所以211332224OEH S OH EK m m m ∆=⋅=⨯⋅=． 于是22213111(1)44224OFG OEH S S S m m m m ∆∆=-=+-=-++2113()228m =--+． 因为0＜m ＜1，所以当12m =时，S 取得最大值，最大值为38．。

人教版2021年中考数学考前冲刺必刷高频考题精准提升练习（二次函数专题）建议用时：100分钟一．选择题.1.若一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0)的图象经过第一、二、四象限，则k，b应满足的条件是()A.k＞0，b＞0B．k＜0，b＞0C．k＞0，b＜0D．k＜0，b＜02. 用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为( )A.y=(x-4)2+7B.y=(x-4)2-25C.y=(x+4)2+7D.y=(x+4)2-253. 若抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为( )A.m>1B.m>0C.m>-1D.-1<m<04.抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点,则m的取值范围是( )A.m<2B.m>2C.0<m≤2D.m<-25.当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是()A. B. C. D.6.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4 cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以3cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1 cm/s的速度沿BAAC方向运动到点C停止．若△BPQ的面积为y(cm2)，运动时间x(s)，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是()7. 如图,已知二次函数2y x bx c =++的图象与y 轴交于点A, 与x 轴正半轴交于B,C 两点,且BC ＝2,ABC S ∆ ＝3,则b 的值为( )A.-5B.4或-4C. 4D.-48. 如图，抛物线y ＝x 2﹣x ﹣与直线y ＝x ﹣2交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），动点P 从A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴 上的某点F ，最后运动到点B ．若使点P 运动的总路径最短，则点P 运动的总 路径的长为（ ）A ．B ．C ．D ．9. 抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 与直线y 2＝mx ＋n 的图象如图所示， 下列判断：①abc ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③5a －c ＝0； ④当x ＜12 或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．410. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x ＝2，下列结论：①4a ＋b ＝0；②9a ＋c ＞3b ；③8a ＋7b ＋2c ＞0；④当x＞－1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题。

2021年中考数学二次函数综合压轴题（题集）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y＝﹣49x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y＝﹣49x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A，直线a：y＝x+m与y轴交于点B，抛物线y＝x2+mx的顶点为C，且与x 轴左交点为D（其中m＞0）．（1）当AB＝12时，在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小；（2）当点C在直线l上方时，求点C到直线l距离的最大值；（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当m＝2020时，求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．3．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，32-），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线y=12x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使∥ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，点B的坐标是（4，4），作BA⊥x轴于点A，作BC⊥y轴于点C，反比例函数kyx=（k＞0）的图象经过BC的中点E，与AB交于点F，分别连接OE、CF，OE与CF交于点M，连接AM．（1）求反比例函数的函数解析式及点F的坐标；（2）你认为线段OE与CF有何位置关系？请说明你的理由．（3）求证：AM=AO．6．如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B (0，8)，D(10，0)．点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处．（1）若抛物线y＝ax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；（2）若点M是（2）中抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使△AME为等腰三角形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线D ﹣C﹣A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线1⊥x轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），△QFG的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t 的取值范围．（t的取值应保证△QFG的存在）7．如图，抛物线y=∥12∥x+m∥∥x∥4∥∥m∥0）交x轴于点A∥B∥A左B右），交y轴于点C，过点B的直线y=12x+b交y轴于点D∥∥1）求点D的坐标；∥2）把直线BD沿x轴翻折，交抛物线第二象限图象上一点E，过点E作x轴垂线，垂足为点F，求AF的长；∥3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，若四边形BDEP为平行四边形，求m的值及点P的坐标．8．已知抛物线24y ax bx +＝﹣经过点()()20,40A B ，-，，与y 轴交于点C ． 1（）求这条抛物线的解析式；2（）如图1，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标； 3（）如图2，线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ，垂足为,D M 为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点G ，使CMG 的周长最小？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线215322y x x =-++与x 轴的一个交点为点A ，与y 轴的交点为点B ，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点C ，与线段AB 交于点E ，点D 是对称轴l 上一动点．（1）点A 的坐标是________，点B 的坐标是________；（2）是否存在点D ，使得BDE ∆和ACE ∆相似？若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的对称轴l 向右平移与线段AB 交于点F ，与抛物线交于点G ，当四边形DEFG 是平行四边形且周长最大时，求出点G 的横坐标．10．已知二次函数y=ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0）、C （0，3），与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ，（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：∥BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得∥PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称轴为直线x＝﹣2，顶点为D．（1）填空：抛物线的解析式为，顶点D的坐标为，直线AB的解析式为；（2）在直线AB左侧抛物线上存在点E，使得∠EBA＝∠ABD，求E的坐标；（3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当S△POQ：S△BOQ＝1：2时，求出点P的坐标．12．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝13x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b＝，c＝；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）点M在抛物线上，且△AOM的面积与△AOC的面积相等，求出点M的坐标。

2021年中考数学压轴题如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （﹣3，0）、B （2，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E （m ，2）是直线AC 上方的抛物线上一点，连接EA 、EB 、EC ，EB 与y 轴交于D ．①点F 是x 轴上一动点，连接EF ，当以A 、E 、F 为顶点的三角形与△BOD 相似时，求出线段EF 的长；②点G 为y 轴左侧抛物线上一点，过点G 作直线CE 的垂线，垂足为H ，若∠GCH ＝∠EBA ，请直接写出点H 的坐标．【解答】解：（1）将A （﹣3，0）、B （2，0）、C （0，3）代入y ＝ax 2+bx +c 得， {0=9a −3b +c 0=4a +2b +c 3=c，解得：{ a =−12b =−12c =3， ∴抛物线的解析式为：y =−12x 2−12x +3；（2）①将E （m ，2）代入y =−12x 2−12x +3中，得−12m 2−12m +3＝2，解得m ＝﹣2或1（舍去），∴E （﹣2，2），∵A （﹣3，0）、B （2，0），∴AB ＝5，AE =√5，BE ＝2√5，∴AB 2＝AE 2+BE 2，∴∠AEB＝∠DOB＝90°，∴∠EAB+∠EBA＝∠ODB+∠EBA＝90°，∴∠EAB＝∠ODB，（Ⅰ）当△FEA∽△BOD时，∴∠AEF＝∠DOB＝90°，∴F与B点重合，∴EF＝BE＝2√5，（Ⅱ）当△EF A∽△BOD时，∴∠AFE＝∠DOB＝90°，∵E（﹣2，2），∴EF＝2，故：EF的长为2√5或2；②点H的坐标为（−45，135）或（−449，59），（Ⅰ）过点H作HN⊥CO于点N，过点G作GM⊥HN于点M，∴∠GMN＝∠CNH＝90°，又∠GHC＝90°，∴∠CHN+∠GHM＝∠MGH+∠GHM＝90°，∴∠CHN＝∠MGH，∵HN⊥CO，∠COP＝90°，∴HN∥AB，∴∠CHN＝∠APE＝∠MGH，∵E（﹣2，2），C（0，3），∴直线CE的解析式为y=12x+3，∴P（﹣6，0），∴EP＝EB＝2√5，∴∠APE＝∠EBA，∵∠GCH＝∠EBA，∴∠GCH＝∠APE＝∠EBA＝∠CHN＝∠MGH，∴GC∥PB，又C（0，3），∴G点的纵坐标为3，代入y=−12x2−12x+3中，得：x＝﹣1或0（舍去），∴MN＝1，∵∠AEB＝90°，AE=√5，BE＝2√5，∴tan∠EBA＝tan∠CHN＝tan∠MGH=AEBE=12，设CN＝MG＝m，则HN＝2m，MH=12m，∴MH+HN＝2m+12m＝1，解得，m=2 5，∴H点的橫坐标为−45，代入y=12x+3，得：y=135，∴点H的坐标为（−45，135）．（Ⅱ）过点H作MN⊥PB，过点C作CN⊥MH于点N，过点G作GM⊥HM于点M，∴CN∥PB，∴∠NCH＝∠APE，由（Ⅰ）知：∠APE＝∠EBA，则∠NCH＝∠EBA，∵∠GMN＝∠CNH＝90°，又∠GHC＝90°，∴∠HCN+∠NHC＝∠MHG+∠NHC＝90°，∴∠HCN＝∠MHG，∵∠GCH＝∠EBA，∴∠GCH＝∠EBA＝∠HCN＝∠MHG，由（Ⅰ）知：tan∠EBA=1 2，则tan∠MHG=GMHM=tan∠GCH=HGCH=12，设MG＝a，则MH＝2a，∵∠NCH＝∠MHG，∠N＝∠M，∴△HMG ∽△CNH ，∴MH CN =MG NH =HG CH =12， ∴NH ＝2a ，CN ＝4a ，又C （0，3），∴G （﹣3a ，3﹣4a ），代入y =−12x 2−12x +3中，得，a =119或0（舍去）， ∴CN =449，∴H 点的橫坐标为−449，代入y =12x +3，得，y =59． ∴点H 的坐标为（−449，59）． 综合以上可得点H 的坐标为（−45，135）或（−449，59）．。

2021年中考数学《二次函数综合压轴题》模拟训练题集（一）1．已知二次函数y＝+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，﹣1）和点A（4，1）．（1）求b、c的值；（2）如图1，点C（10，m）在抛物线上，点M是y轴上的一个动点，过点M平行于x轴的直线l平分∠AMC，求点M的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P是抛物线上的一动点，以P为圆心、PM为半径的圆与x轴相交于E、F 两点，若△PEF的面积为2，请直接写出点P的坐标．2．如图，抛物线y＝ax2+6x﹣5交x轴于A，B两点，交y轴于C点，点B的坐标为（5，0），直线y＝x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，求△BCP面积S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）过点A的直线交直线BC于点M，连接AC当直线AM与直线BC的一个夹角等于∠ACB的3倍时，请直接写出点M的坐标．3．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当x满足什么值时y＜0？（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，矩形OABC中，O为原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为（4，3），抛物线y＝﹣x2+bx+c 与y轴交于点A，与直线AB交于点D，与x轴交于C，E两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点P从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，与此同时，点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．连接DP、DQ、PQ，设运动时间为t（秒）．①当t为何值时，△DPQ的面积最小？②是否存在某一时刻t，使△DPQ为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．5．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+4x．（1）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点”．试求拋物线y＝﹣x2+4x的“方点”的坐标；（2）如图，若将该抛物线向左平移1个单位长度，新抛物线与x轴相交于A、B两点（A在B左侧），与y轴相交于点C，连接BC．若点P是直线BC上方抛物线上的一点，求△PBC的面积的最大值；（3）第（2）问中平移后的抛物线上是否存在点Q，使△QBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）连接BC，DB，DC．（1）求抛物线的函数解析式；（2）△BCD的面积是否存在最大值，若存在，求此时点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，0），抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．求S关于m的函数表达式；（3）抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为F，对称轴为直线l，当S最大时，在直线l上，是否存在点M，使以M、Q、D、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A、B、C三点，己知点A（﹣3，0）、C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合），①过点F作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标．②如图2，连接AP．以AP为边作图示一侧的正方形APMN，当它恰好有一个顶点落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．9．如图a，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、C（0，2），与x轴的另一个交点为B．（1）求出抛物线的解析式．（2）如图b，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC′，试判断四边形BC′AC的形状．并证明你的结论．（3）如图a，在抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在请说明理由．10．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点．（1）求m的值；（2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q的坐标；（3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．（1）直接写出：b的值为；c的值为；点A的坐标为；（2）点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．①如图1，过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标．12．如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点D，点C是BD的中点时，求直线BD和抛物线的解析式，（3）在（2）的条件下，点P是直线BC下方抛物线上的一点，过P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BD于点F，是否存在一点P，使得PE+PF最大，若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．13．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（3，0），与y轴负半轴交于点C，且OC＝OB．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴负半轴上存在一点D，使∠CBD＝∠ADC，求点D的坐标；（3）点D关于直线BC的对称点为D′，将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移h个单位，与线段DD′只有一个交点，直接写出h的取值范围．14．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的对称轴为直线l，将直线l绕着点P（0，2）顺时针旋转∠α的度数后与该抛物线交于AB两点（点A在点B的左侧），点Q是该抛物线上一点（1）若∠α＝45°，求直线AB的函数表达式；（2）若点p将线段分成2：3的两部分，求点A的坐标（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q在y轴左侧，过点p作直线l∥x轴，点M是直线l上一点，且位于y 轴左侧，当以P，B，Q为顶点的三角形与△P AM相似时，求M的坐标．15．如图，Rt△FHG中，∠H＝90°，FH∥x轴，＝0.6，则称Rt△FHG为准黄金直角三角形（G在F的右上方）．已知二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E（0，﹣3），顶点为C（1，﹣4），点D为二次函数y2＝a（x﹣1﹣m）2+0.6m﹣4（m＞0）图象的顶点．（1）求二次函数y1的函数关系式；（2）若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图象上，求点G的坐标及△FHG的面积；（3）设一次函数y＝mx+m与函数y1、y2的图象对称轴右侧曲线分别交于点P、Q．且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合，求m的值，并判断以C、D、Q、P为顶点的四边形形状，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P是直线BC上方抛物线上的点，若∠PCB＝∠BCO，求出P点的到y轴的距离．17．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O，P为直线OA上方抛物线上的一个动点．（1）求直线OA及抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，并与直线OA交于点C，当△PCO为等腰三角形时，求D的坐标；（3）设P关于对称轴的点为Q，抛物线的顶点为M，探索是否存在一点P，使得△PQM的面积为，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E，点P在BC下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．19．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；20．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE最大．①求点P的坐标和PE的最大值．②在直线PD上是否存在点M，使点M在以AB为直径的圆上；若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx与x轴交于点A（10，0），点B（1，2）是抛物线上点，点M为射线OB上点（不含O，B两点），且MH⊥x轴于点H．（1）求直线OB及抛物线解析式；（2）如图1，过点M作MC∥x轴，且与抛物线交于C，D两点（D位于C左边），若MC＝MH，点Q为直线BC上方的抛物线上点，求△BCQ面积的最大值，并求出此时点Q的坐标；（3）如图2，过点B作BE∥x轴，且与抛物线交于E，在线段OA上有点P，在点H从左向右运动时始终有AP ＝2OH，过点P作PN⊥x轴，且PN与直线OB交于点N，当M与N重合时停止运动，试判断在此运动过程中△MNE与△BME能否全等，若能请求出全等时的HP长度，若不能请说明理由．22．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A（﹣4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．①求△ADE面积最大值并写出此时点D的坐标；②若tan∠AED＝，求此时点D坐标；（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O 的对应点．当动点P从点C运动到点A，则动点Q所经过的路径长等于（直接写出答案）23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），联结PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣2，0），且经过点B（﹣5，9），与y 轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）点P为该抛物线上点A与点B之间的一动点．①若S△P AB＝S△ABC，求点P的坐标．②如图②，过点B作x轴的垂线，垂足为D，连接AP并延长，交BD于点M．连接BP并延长，交AD于点N．试说明DN（DM+DB）为定值．25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点E（﹣1，4），对称轴交x轴于点F．（1）请直接写出这条抛物线和直线AE、直线AC的解析式；（2）连接AC、AE、CE，判断△ACE的形状，并说明理由；（3）如图2，点D是抛物线上一动点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK⊥x轴于点K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．在点D的运动过程中，①DG、GH、HK这三条线段能否相等？若相等，请求出点D的坐标；若不相等，请说明理由；②在①的条件下，判断CG与AE的数量关系，并直接写出结论．26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+n与x轴，y轴分别交于点B，点C，抛物线y＝ax2+bx+（a≠0）过B，C两点，且交x轴于另一点A（﹣2，0），连接AC．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，且点P的横坐标为m，请用含m的代数式表示点P到直线BC的距离；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．27．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A、B（A左B右），且AB＝4，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，证明：对于任意给定的一点P（0，b）（b＞3），存在过点P的一条直线交抛物线于M、N两点，使得PM＝MN成立；（3）将该抛物线在0≤x≤4间的部分记为图象G，将图象G在直线y＝t上方的部分沿y＝t翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n≤6，求t的取值范围．28．如图，抛物线y＝﹣x﹣1与y轴交于点A，点B是抛物线上的一点，过点B作BC⊥x轴于点C，且点C的坐标为（9，0）．（1）求直线AB的表达式；（2）若直线MN∥y轴，分别与抛物线，直线AB，x轴交于点M、N、Q，且点Q位于线段OC之间，求线段MN长度的最大值；（3）在（2）的条件下，当四边形MNCB是平行四边形时，求点Q的坐标．29．如图，对称轴为x＝1的抛物线经过A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的动点，连接PO交直线AB于点Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；（3）C在直线AB上，D在抛物线上，E在坐标平面内，以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形，直接写出点E的坐标．30．如图（1）已知矩形AOCD在平面直角坐标系xOy中，∠CAO＝60°，OA＝2，B点的坐标为（2，0），动点M 以每秒2个单位长度的速度沿A→C→B运动（M点不与点A、点B重合），设运动时间为t秒．（1）求经过B、C、D三点的抛物线解析式；（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为AC中点时，若△P AM≌△PDM，求点P的坐标；（3）当点M在CB上运动时，如图（2）过点M作ME⊥AD，MF⊥x轴，垂足分别为E、F，设矩形AEMF与△ABC重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；（4）如图（3）点P在（1）中的抛物线上，Q是CA延长线上的一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，求点P的坐标．31．已知抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m（m＞0.5）的最低点的纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D为抛物线上的一点，BD 平分四边形ABCD的面积，求点D的坐标；（3）如图2，平移抛物线y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m，使其顶点为坐标原点，直线y＝﹣2上有一动点P，过点P 作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点E、F（直线PE、PF不与y轴平行），求证：直线EF恒过某一定点．32．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），点B（0，3）．点M（m，0）在线段OA上（与点A，O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度；（3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值．33．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠P AB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．34．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+（a+）x+c（a≠0）经过点A（﹣3，﹣2），与y轴交于点B（0，﹣2），抛物线的顶点为点C，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点E是x轴正半轴上的一点，如果∠AED＝∠BCD，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是位于y轴左侧抛物线上的一点，如果△P AE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标．35．如图，若m是正数，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A；直线a：y＝x+m与y轴交于点B；抛物线L：y＝x2+mx 的顶点为C，且L与x轴左交点为D．（1）若AB＝12，求m的值，此时在抛物线的对称轴上存在一点P使得△OBP的周长最小，求点P坐标；（2）当点C在直线l上方时，求点C与直线l距离的最大值；（3）在抛物线L和直线a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出m＝2020和m＝2020.5时“美点”的个数．36．如图1，抛物线W：y＝ax2﹣2的顶点为点A，与x轴的负半轴交于点D，直线AB交抛物线W于另一点C，点B的坐标为（1，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）过点C作CE⊥x轴，交x轴于点E，若AC平分∠DCE，求抛物线W的解析式；（3）若a＝，将抛物线W向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线W1，如图2，记抛物线W1的顶点为A1，与x轴负半轴的交点为D1，与射线BC的交点为C1．问：在平移的过程中，tan∠D1C1B是否恒为定值？若是，请求出tan∠D1C1B的值；若不是，请说明理由．37．在平面直角坐标系中，点到直线的距离即为点到直线的垂线段的长．（1）如图1，取点M（1，0），则点M到直线l：y＝x﹣1的距离为多少？（2）如图2，点P是反比例函数y＝在第一象限上的一个点，过点P分别作PM⊥x轴，作PN⊥y轴，记P到直线MN的距离为d0，问是否存在点P，使d0＝？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．（3）如图3，若直线y＝kx+m与抛物线y＝x2﹣4x相交于x轴上方两点A、B（A在B的左边）．且∠AOB＝90°，求点P（2，0）到直线y＝kx+m的距离最大时，直线y＝kx+m的解析式．38．如图，直线y＝﹣x+m与抛物线y＝ax2+bx都经过点A（6，0），点B，过B作BH垂直x轴于H，OA＝3OH．直线OC与抛物线AB段交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点C的纵坐标是时，求直线OC与直线AB的交点D的坐标；（3）在（2）的条件下将△OBH沿BA方向平移到△MPN，顶点P始终在线段AB上，求△MPN与△OAC公共部分面积的最大值．39．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝﹣x+2经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．求△PBC面积最大值和此时m的值；（3）Q是抛物线上一点，若∠ABC＝∠CBQ，直线BQ与y轴的交点M，请直接写出M的坐标．40．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、C（3，0），点B为抛物线顶点，直线BD为抛物线的对称轴，点D在x轴上，连接AB、BC，∠ABC＝90°，AB与y轴交于点E，连接CE．（1）求项点B的坐标并求出这条抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系武，并求出S的最大值；（3）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．41．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+ax+a（a≠0）交x轴于点A和点B（点A在点B左边），交y轴于点C，连接AC，tan∠CAO＝3．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，D是第一象限的抛物线上一点，连接DB，将线段DB绕点D顺时针旋转90°，得到线段DE（点B与点E为对应点），点E恰好落在y轴上，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作x轴的垂线，垂足为H，点F在第二象限的抛物线上，连接DF交y 轴于点G，连接GH，sin∠DGH＝，以DF为边作正方形DFMN，P为FM上一点，连接PN，将△MPN沿PN 翻折得到△TPN（点M与点T为对应点），连接DT并延长与NP的延长线交于点K，连接FK，若FK＝，求cos∠KDN的值．42．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为（0，﹣3），抛物线C2的解析式为y＝mx2+4mx ﹣12m，（m＞0）．（1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下．“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式；（2）求M，N两点的坐标；（3）在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得△P AM的面积最大？若存在，求出△P AM的面积的最大值；若不存在，说明理由．43．如图，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣+2经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线在第一象限内的图象上，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AC于点E，连接PC，设点P的横坐标为m．①当△PCE是等腰三角形时，求m的值；②过点C作直线PD的垂线，垂足为F．点F关于直线PC的对称点为F′，当点F′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．44．如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为线段OA上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．①试用含m的代数式表示线段PN的长；②求线段PN的最大值．45．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A（0，6）、B（6，6）．点Q在线段AB上，以Q为项点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点D，与x轴的一个交点为C．设点Q的横坐标为m，点C的横坐标为n（n＞m）．（1）当m＝0时，求n的值．（2）求线段AD的长（用含m的式子表示）；（3）点P（2，0）在x轴上，设△BPD的面积为S，求S与m的关系式；（4）当△DCQ是以QC为直角边的直角三角形时，直接写出m的值．46．如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．47．如图：抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x﹣1交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点P（m，n）是线段AB 上的动点．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标．48．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由．49．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、C（2，﹣3），抛物线与x轴的另一交点为点E，点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限，点M为抛物线对称轴上一点，当四边形MBEP恰好是平行四边形时，求点P的坐标；（3）若点P在第四象限，连结P A、PE及AE，当t为何值时，△P AE的面积最大？最大面积是多少？（4）是否存在点P，使△P AE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．50．如图，抛物线y＝（x+2）（x﹣2k）交x轴于点A、B，（A左B右），与y轴交于点C，把射线BC沿x轴翻折交抛物线于点D，交y轴于点F，点D纵坐标为6．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第四象限抛物线上一点，连接PB、PC，设点P横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数解析式（不要求写出自变量取值范围）；（3）在（2）的条件下，PD交y轴于点E，交BC于点M，过点P作y轴平行线交BD、BC于点G、H，若△MEF与△MGH面积的和为6，求△PBC的面积．。

1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l 与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．6．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．7．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．8．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m （m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．9．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为；（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．10．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．11．已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN ∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．12．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．13．如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k＜0）与y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标14．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（2）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：（3）已知抛物线y=ax2+2ax﹣b（a≠0）①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为y n，其顶点为A n…（n为正整数）．求A n A n+1的长（用含n的式子表示）．15．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC =S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．17．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．18．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．19．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．21．如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．22．如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B （3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M 到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．27．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．（1）求a，b的值．（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．29．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC 交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC 的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．30．综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE ∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．31．如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b=，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．33．如图，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y 轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．34．已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．36．已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx ﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q 在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．38．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP 为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．40．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣6），将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°，180°得到Rt △A1OC，Rt△EOF．抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F．（1）点C的坐标为，点E的坐标为；抛物线C1的解析式为．抛物线C2的解析式为；（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点．①若∠PCA=∠ABO时，求P点的坐标；②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h=PM+NM+BM，求h与x的函数关系式，当﹣5≤x≤﹣2时，求h的取值范围．41．如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．42．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y 轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．43．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．44．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y 轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．45．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．46．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．47．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．48．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．49．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D （4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．50．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共50小题）1．如图1，已知二次函数y=ax 2+x +c （a ≠0）的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0），连接AB 、AC ．（1）请直接写出二次函数y=ax 2+x +c 的表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N 的坐标；（4）如图2，若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得B 的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB 2=20，AC 2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC 是直角三角形．（3）分别以A 、C 两点为圆心，AC 长为半径画弧，与x 轴交于三个点，由AC 的垂直平分线与x 轴交于一个点，即可求得点N 的坐标；（4）设点N 的坐标为（n ，0），则BN=n +2，过M 点作MD ⊥x 轴于点D ，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n +2），然后根据S △AMN =S △ABN ﹣S △BMN 得出关于n 的二次函数，根据函数解析式求得即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax 2+x +c 的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0）， ∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，AB==2，BC=8﹣（﹣2）=10，AC==4，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°．∴AC⊥AB．∵AC∥MN，∴MN⊥AB．设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，∵MN∥AC，△BMN∽△BAC∴=，∴=，BM==，MN==，AM=AB﹣BM=2﹣==AM•MN∵S△AMN=××=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．【分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；（2）由题意知y=kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）时k的值即可得；（3）分⊙T在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．【解答】解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，∴d（点O，△ABC）=2；（2）y=kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k=﹣1，此时d（G，△ABC）=1；当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k=1，此时d（G，△ABC）=1；∴﹣1≤k≤1，∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；。

2021年中考数学压轴题如图，在平面直角坐标系中，将抛物线C 1：y =x 2平移，使平移后的抛物线C 2经过点A （﹣3，0），B （1，0），与y 轴的交点为E ．（1）求抛物线C 2的函数解析式；（2）点P （m ，n ）（﹣3＜m ＜0）是抛物线C 2上的动点，设四边形OAPE 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求四边形OAPE 的面积的最大值；（3）若y ＝x 2与平移后的抛物线对称轴交于D 点，在抛物线C 2的对称轴上，是否存在一点M ，使得以M ，O ，D 为顶点的三角形与△BOD 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设抛物线C 2的函数解析式为y ＝x 2+bx +c ，把A 、B 的坐标代入得{9−8b +c =01+b +c =0，解得：{b =2c =−3， 故抛物线C 2的函数解析式为y ＝x 2+2x ﹣3；（2）连接OP ，作PH ⊥x 轴，作PQ ⊥y 轴，把P （m ，n ）代入y ＝x 2+2x ﹣3得n ＝m 2+2m ﹣3，由抛物线y ＝x 2+2x ﹣3得：点E （0，﹣3），则S ＝S △OAP +S △OEP =12×3（﹣m 2﹣2m +3）+12×3（﹣m ）=−32（m +32）2+638， 所以四边形OAPE 的面积最大值是638；（3）由y ＝x 2+2x ﹣3得对称轴是直线x ＝﹣1，所以D （﹣1，1）， 则DF ＝OF ＝1，则△DOF 为等腰直角三角形， ∴∠DOF ＝∠ODF ＝45°，OD =√2，BD =√5，∠BOD ＝135°，∴点M 只能在点D 上方，∵∠BOD ＝∠ODM ＝135°，∴当DM DO =OD OB 或DM OB =OB OD 时，以M 、O 、D 为顶点的三角形与△BOD 相似． ①DM DO =OD OB ，则解得DM ＝2，此时点M 坐标为（﹣1，3）；②若DM DO =OB OD，则解得DM ＝1，此时点M 坐标为（﹣1，2）； 综上，点M 坐标为（﹣1，3）或（﹣1，2）．。

2021年中考数学压轴题如图1，抛物线y ＝ax 2−154x +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y =−34x +3经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为直线BC 下方的抛物线上一动点（不与点B ，C 重合），则△PBC 的面积能够等于△BOC 的面积吗？若能，求出相应的点P 的坐标；若不能，请说明理由；（3）如图2，现把△BOC 平移至如图所示的位置，此时三角形水平方向一边的两个端点点O ′与点B ′都在抛物线上，称点O ′和点B ′为△BOC 在抛物线上的一“卡点对”；如果把△BOC 旋转一定角度，使得其余边位于水平方向然后平移，能够得到这个三角形在抛物线上新的“卡点对”．请直接写出△BOC 在已知抛物线上所有“卡点对”的坐标．【解答】解：（1）分别把x ＝0，y ＝0代入一次函数表达式得：点C 、B 的坐标分别为（0，3）、（4，0），将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：{16a −15+c =0c =3，解得：{a =34c =3， 故抛物线的表达式为：y =34x 2−154x +3； （2）直线y =−34x 和直线BC 平行，直线y =−34x 和抛物线的交点就是满足条件的点P ，则{y =34x 2−154x +3y =−34x，解得：{x =2y =−32， 即当（2，−32）时，两个三角形面积相同；（3）抛物线的对称轴为：x =52，①当O ′B ′在水平位置时，如图2所示，O ′B ′＝4，则点B ′和O ′的横坐标分别为12、92， 将横坐标代入二次函数表达式得：y =2116， 故此时的“卡点对”坐标为（12，2116）和（92，2116）； ②当O ′C ′在水平位置时，O ′C ′＝3，则点B ′和O ′的横坐标分别为4、1， 将横坐标代入二次函数表达式得：y ＝0，故此时的“卡点对”坐标为（1，0）和（4，0）； ③当B ′C ′在水平位置时，同理可得：此时的“卡点对”坐标为（0，3）和（5，3）； 故抛物线上所有“卡点对”的坐标是（12，2116）和（92，2116）、（1，0）和（4，0）、（0，3）和（5，3）．。

2021年九年级数学中考压轴题之《二次函数与矩形、正方形综合》专题训练（附答案）1．如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第二象限内抛物线上一动点．F点坐标为（﹣4，0）．（1）求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标；（2）当D为抛物线的顶点时，求△ACD的面积；（3）连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标；（4）在x轴上方作正方形AFMN，将正方形AFMN沿x轴下方向向右平移t个单位，其中0≤t≤4，设正方形AFMN与△ABC的重叠部分面积为S，直接写出S关于t的函数解析式．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点（点A在原点左侧，点B在原点右侧），与y轴交于点C，已知OA＝1，OC＝OB，（1）求抛物线的解析式：（2）若D（2，m）在该抛物线上，连接CD，DB，求四边形OCDB的面积；（3）设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点E作EH⊥x轴于点H，再过点F作FG⊥x轴于点G，得到矩形EFGH，在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长．3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）．抛物线的对称轴和x轴交于点M．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P点在该抛物线上，当△P AB的面积为6时，求点P的坐标．（3）点G是抛物线上对称轴左侧的一个动点，点E从点B出发，沿x轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F由点M出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t．①若点G到AE和MF距离相等，直接写出点G的坐标．②点C是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG和FC为边做矩形FGDC，求点E恰好为矩形FGDC的对角线交点时t的值．4．如图，抛物线y＝ax2+2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）AB＝4，与y轴交于点C，OC＝OA，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM，如图1，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求m的值，并求出此时的△AEM的面积；（3）已知H（0，﹣1），点G在抛物线上，连HG，直线HG⊥CF，垂足为F，若BF＝BC，求点G的坐标．5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C．E为抛物线上一点，直线AE交y轴于点D，且OD＝OA．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第四象限内的抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴交直线AE于点Q，交x 轴于点F，过点P作PG⊥AE于点G，交x轴于点H，求PQ﹣GQ的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，点K为线段OD的中点，作射线AK，将该抛物线沿射线AK方向平移个单位长度，得到新抛物线y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新抛物线与原抛物线交于点I．点N是平面内一点，点M是新抛物线上一点，若以点I、E、M、N为顶点的四边形是以IE 为边的矩形，请直接写出点N的坐标．6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q 的坐标；（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．7．二次函数y＝x2﹣x+m（m＞0）的图象交y轴于点A，顶点为P，直线P A与x轴交于点B．（1）当m＝1时，求顶点P的坐标；（2）若点Q（a，b）在二次函数y＝x2﹣x+m（m＞0）的图象上，且b﹣m＞0，试求a的取值范围；（3）在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD．①求点D的坐标（用含m的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m的值．8．如图，点B、C分别在x，y轴的正半轴上，OB，OC的长分别为x2﹣8x+12＝0的两个根，且OC＞OB，将△COB绕点O逆时针旋转90°，点C落在x轴负半轴上的点A处，点B 落在y轴正半轴的点D处，连接AC．（1）求过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；（2）直接写出tan∠CAD的值；（3）点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ．求S△CPQ的最大值，及此时点P的坐标；（4）M是第二象限内一点，在平面内是否存在点N，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+c与x轴相交于A、B两点，顶点C（0，2）．AB＝2．点M（m，0）是x轴正半轴上一点，抛物线L关于点M对称的抛物线为L'．（1）求抛物线L的函数表达式；（2）点P是第一象限抛物线L上一点，点P到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线L'上的对应点为P'．设E是抛物线L上的动点，E'是点E在抛物线L'上的对应点，试探究四边形PEP'E′能否成为正方形．若能，求出m的值；若不能，请说明理由．10．将抛物线C1：y＝﹣x2+3沿x轴翻折，得抛物线C2．（1）请求出抛物线C2的表达式；（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x 轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝x2+2x的顶点为A，与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）请求出A、B、C三点的坐标；（2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式．12．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣6经过点A（﹣3，0）和点（﹣1，0），顶点为D．（1）求抛物线C1的函数表达式及点D的坐标；（2）将抛物线C1绕坐标轴上一点P旋转180°得到抛物线C2，点A、D的对应点分别为A'、D'，是否存在以AD为边，且以A、D、A'、D'为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出抛物线C2的函数表达式，若不存在，请说明理由．13．如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B（0，8），D（10，0）．点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处．（1）若抛物线y＝ax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；（2）若点M是（1）中抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使△AME为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线D﹣C﹣A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线l⊥x轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），△QFG的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．（t的取值应保证△QFG的存在）14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线y＝与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG＝S△OEG时，求m的值；②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知二次函数y＝x2+bx的图象经过点A（﹣4，0），顶点为B，一次函数y＝x+2的图象交y轴于点M，P是抛物线上一点，点M关于直线AP的对称点N恰好落在抛物线的对称轴直线BH上（对称轴直线BH与x轴交于点H）．（1）求二次函数的表达式；（2）求点P的坐标；（3）若点G是第二象限内抛物线上一点，G关于抛物线的对称轴的对称点是E，连接OG，点F是线段OG上一点，点D是坐标平面内一点，若四边形BDEF是正方形，求点G的坐标．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A 的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．17．如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．18．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F恰好落在y轴上，求出对应的点P的坐标．19．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）x轴上是否存在点P，使PC+PB最小？若存在，请求出点P的坐标及PC+PB 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）连接BC，设E为线段BC中点．若M是抛物线上一动点，将点M绕点E旋转180°得到点N，当以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标．20．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2﹣10x+16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝﹣2．（1）求此抛物线的表达式；（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S的最大值；（3）若点M在抛物线的对称轴上，P是平面坐标系上一点，在抛物线上是否存在一点N，使以P，C，M，N为顶点的四边形是正方形？如果存在，请写出满足条件的点N的坐标；如果不存在，请说明理由．21．如图1，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过A（5，0）和B（0，）两点，射线CE绕点C（0，5）旋转，交抛物线于D，E两点，连接AC．（1）求二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接OE，AE，当△CEO是以CO为底的等腰三角形时，求点E的坐标和△ACE 的面积；（3）如图2，射线CE旋转时，取DE的中点F，以DF为边作正方形DFMN．当点E 和点A重合时，正方形DFMN的顶点M恰好落在x轴上．①求点M的坐标；②当点E和点A重合时，将正方形DFMN沿射线CE方向以每秒个单位长度平移．设运动时间为t秒．直接写出正方形DFMN落在x轴下方的面积S与时间t（0≤t≤4）的函数表达式．参考答案1．解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c，将点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）分别代入得：，解得：，故抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．由于y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，所以该抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）；（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），过点D作DM∥y轴，交AC于点M，∵A（﹣3，0）、C（0，3），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∴，∴，∴AC的解析式为y＝x+3，则点M的坐标为（﹣1，2），则DM＝2，∴S△ACD＝S△ADM+S△CDM＝×2×2+×2×1＝3．（3）如图2，过点D作DK⊥x轴于点K，设D（x，﹣x2﹣2x+3），则K（x，0）．并由题意知点D位于第二象限．∴DK＝﹣x2﹣2x+3，OK＝﹣x．∵∠BAC是公共角，∴当△AOE与△ABC相似时，有2种情况：①∠AOD＝∠ABC．∴tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．∴＝3，解得x1＝，x2＝（舍去），∴D（，）．②∠AOD＝∠ACB．如图2，过点B作BH⊥AC于点H，由S△ABC＝AB•OC＝AC•BH，∴BH＝2，CH＝，∴tan∠BCH＝＝2，∴tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．∴＝2，解得x1＝﹣，x2＝（舍去）∴D（﹣，2）．综上所述，当△AOE与△ABC相似时，点D的坐标是（，）或（﹣，2）．（4）如图3，设A点移动后的对应点为E，EN与AC交于点G，当0≤t≤1时，∵OA＝OC，GE∥OC，∴△AGE为等腰直角三角形，∴AE＝EG＝t，∴S△AEG＝；当1＜t≤2时，如图4，同理△AFG为等腰直角三角形，∴AF＝GF＝t﹣1，∴MG＝MH＝1﹣（t﹣1）＝2﹣t，∴S△MHG＝MG•MH＝，∴S五边形GFENH＝1﹣S△MHG＝1﹣（2﹣t）2＝﹣+2t﹣1；当2＜t≤时，如图5，S＝S正方形MFEN＝1；当＜t≤4时，如图6，正方形MFEN与BC边交于G，H，过点G作GK⊥OB于点K，∴GK∥OC，∴△GKB∽△COB，∴，∴，∴BK＝，∴AK＝4﹣＝，∴KE＝GN＝AE﹣AK＝t﹣，∵△GNH∽△BOC，∴，∴NH＝3t﹣11，∴S△GNH＝GN•NH＝＝，∴S五边形MFEHG＝1﹣S△GNH＝1﹣＝﹣．综合以上可得S＝2．解：（1）在y＝ax2+bx+4中，令x＝0，则y＝4，∴C的坐标是（0，4），∵OC＝OB，∴B的坐标是（4，0）．把B（4，0），A（﹣1，0），代入y＝ax2+bx+4得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；（2）∵D（2，m）在抛物线y＝﹣x2+3x+4上，∴﹣4+6+4＝m，∴m＝6，∴D（2，6），如图1，过D作DM⊥x轴于点M．则S四边形OCDB＝S梯形OCDM+S△BMD＝×2×（4+6）+＝10+6＝16．（3）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，∴抛物线的对称轴是x＝﹣＝﹣＝，设E（n，﹣n2+3n+4），由对称得：F（3﹣n，﹣n2+3n+4），如图2，当点E在x轴上方，∵四边形EFGH是正方形，∴EF＝EH，∴n﹣3+n＝﹣n2+3n+4，解得：n1＝，n2＝（舍去），则正方形的边长是﹣2；如图3，当点E在x轴下方，∵EF＝EH，∴n﹣3+n＝﹣（﹣n2+3n+4），解得：n1＝，n2＝，当n1＝时，正方形边长＝2n﹣3＝5+﹣3＝+2，当n2＝时，正方形边长＝2n﹣3＝5﹣﹣3＝﹣+2＜0，不符合题意，舍去，则正方形的边长是+2；综上，可得正方形的边长为+2或﹣2．3．解：（1）∵点A（1，0），B（3，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线对应函数的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵点A（1，0），B（3，0），∴AB＝3﹣1＝2，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣m2+4m﹣3），∵△P AB的面积为6，∴S△P AB＝AB•|y P|＝×2×|﹣m2+4m﹣3|＝6，∴m＝2±，∴P（2+，﹣6）或（2﹣，﹣6）；（3）①由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，设点G的坐标为（n，﹣n2+4n﹣3），∵点G是抛物线上对称轴左侧的一个动点，∴n＜2，当点G在x轴上方时，即1＜n＜2，∵点G到AE和MF距离相等，且点A，E在x轴上，M，F在直线x＝2上，∴﹣n2+4n﹣3＝2﹣n，∴n＝或n＝（舍），∴G（，），当点G在x轴上方时，即n＜1，∵点G到AE和MF距离相等，且点A，E在x轴上，M，F在直线x＝2上，∴﹣（﹣n2+4n﹣3）＝2﹣n，∴n＝（舍）或n＝，∴G（，），即满足条件的点G的坐标为（，）或（，）；②如图，由①知，抛物线的对称轴为直线x＝2，由运动知，MF＝2t，BE＝t，∴ME＝t﹣1，∵以FG和FC为边做矩形FGDC，点C，F在直线x＝2上，∴∠GFM＝90°，∴ME∥FG，∵点E是矩形FGDC的对角线的交点，∴ME是△CFG的中位线，∴FG＝2EM＝2（t﹣1），设点G的坐标为（a，﹣a2+4a﹣3），∵点F在x轴下方，∴，∴（舍）或，即满足条件的t的值为．4．解：（1）由抛物线y＝ax2+2ax+c，可得C（0，c），对称轴为x＝﹣＝﹣1，∵OC＝OA，∴A（﹣c，0），B（﹣2+c，0），∵AB＝4，∴﹣2+c﹣（﹣c）＝4，∴c＝3，∴A（﹣3，0），代入抛物线y＝ax2+2ax+3，得0＝9a﹣6a+3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，∵M（m，0），PM⊥x轴，∴P（m，﹣m2﹣2m+3），又∵对称轴为x＝﹣1，PQ∥AB，∴Q（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），又∵QN⊥x轴，∴矩形PQNM的周长＝2（PM+PQ）＝2[（﹣m2﹣2m+3）+（﹣2﹣m﹣m）]＝2（﹣m2﹣4m+1）＝﹣2（m+2）2+10，∴当m＝﹣2时，矩形PQNM的周长有最大值10，此时，M（﹣2，0），由A（﹣3，0），C（0，3），可得直线AC为y＝x+3，AM＝1，∴当x＝﹣2时，y＝1，即E（﹣2，1），ME＝1，∴△AEM的面积＝×AM×ME＝×1×1＝；（3）如图2，连接CB并延长，交直线HG于点Q，∵HG⊥CF，BC＝BF，∴∠BFC+∠BFQ＝∠BCF+∠Q＝90°，∠BFC＝∠BCF，∴∠BFQ＝∠Q，∴BC＝BF＝BQ，又∵C（0，3），B（1，0），∴Q（2，﹣3），又∵H（0，﹣1），∴QH的解析式为y＝﹣x﹣1，解方程组，可得或，∴点G的坐标为（，）或（，）．5．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），则﹣8a＝﹣4，解得a＝，抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣4①；（2）∵OA＝OD＝2，故点D（0，2），由点A、D的坐标得，直线AE的表达式为y＝x+2，设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣4），则点Q（x，x+2），∵OA＝OD，故∠QAK＝45°，而GP⊥AE，则△PQG为等腰直角三角形，过点G作GK⊥PQ于点K，则QK＝PK＝GQ，则PQ﹣GQ＝PQ﹣QK＝PK＝PQ＝（x+2﹣x2+x+4）＝﹣x2+x+3，∵﹣＜0，故抛物线开口向下，∴PQ﹣GQ有最大值，当x＝2时，PQ﹣GQ的最大值为4，此时点P（2，﹣4）；（3）联立y＝x2﹣x﹣4和y＝x+2并解得或，故点E（6，8），∵点K为线段OD的中点，则点K（0，1），∴tan KAO＝＝，则sin∠KAO＝，cos∠KAO＝，则该抛物线沿射线AK方向平移个单位长度相当于向右平移1个单位向上平移个单位，则平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2﹣（x﹣1）﹣4+＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣2x﹣2②；联立①②并解得，故点I的坐标为（2，﹣4），设点M（m，n），n＝m2﹣2m﹣2③，而点E（6，8），则点I向右平移4个单位向上平移12个单位得到点E，同样，点M（N）向右平移4个单位向上平移12个单位N（M），当点M在点N的下方时，直线IM的解析式为y＝﹣x﹣，由，解得（舍弃）或，∴M（，﹣），由平移的性质可知N（，）．当点M在点N的上方时，同理可得，点N的坐标为（，）或（，）；综上，点N的坐标为（，）或（，）或（，）．6．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得，，∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图1，连接BC，CD．由题意，C（0，3），B（3，0），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），∵△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，当∠Q′BC＝90′时，∠ABQ′＝45°，∴EB＝EQ′＝2，∴Q′（1，﹣2），当∠QCB＝90°时，此时点Q与点D重合，Q（1，4），综上所述，满足条件的点Q的坐标为（1，4）或（1，﹣2）．（3）如图2中，设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，∴FM＝MG，即|2﹣a|＝|﹣a2+2a+3|，当2﹣a＝﹣a2+2a+3时，整理得，a2﹣3a﹣1＝0，解得，a＝，当2﹣a＝﹣（﹣a2+2a+3）时，整理得，a2﹣a﹣5＝0，解得，a＝，∴当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．7．解：（1）当m＝1时，y＝x2﹣x+m＝（x﹣2）2+，故点P（2，）；（2）对于y＝x2﹣x+m，令x＝0，则y＝m，即点A（0，m），∵b﹣m＞0，即点Q在点A的上方，而抛物线的对称轴为x＝2，故点A关于对称轴的对称点的横坐标为4，故a的取值范围为：a＜0或a＞4；（3）①由抛物线的表达式知，点P（2，m），由点A（0，m）和点P的坐标得，直线P A的表达式为y＝﹣mx+m，令y＝﹣mx+m＝0，解得x＝3，故点B（3，0），过点D作DH⊥y轴于点H，∵∠HAD+∠HDA＝90°，∠HAD+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠HDA，∵∠AOB＝∠DHA＝90°，AD＝AB，∴△AOB≌△DHA（AAS），∴HD＝AO＝m，AH＝BO＝3，故D（m，m+3）；②同①的方法得，C（m+3，3），∵二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，∴当x＝m时，y≤m+3，可得，化简得：m3﹣4m2≤18．∵m＞0，∴，∴，显然：m＝1，2，3，4是上述不等式的解，当m≥5时，（m﹣2）2﹣4≥5，，此时，，∴符合条件的正整数m＝1，2，3，4；当x＝m+3时，y≥3，可得﹣+m≥3，∵m＞0，∴，即，显然：m＝1不是上述不等式的解，当m≥2时，（m+1）2+2≥11，，此时，恒成立，∴符合条件的正整数m＝2，3，4；综上：符合条件的正整数m的值为2，3，4．8．解：（1）解x2﹣8x+12＝0得：x＝6或2，故点B（2，0）、点C（0，6），由图象的旋转知，点A、D的坐标分别为（﹣6，0）、（0，2）；设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入抛物线解析式中得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+6；（2）过点D作DH⊥AC于点H，则S△ACD＝×CD×AO＝×AC×HD，即×4×6＝××HD，解得HD＝2，根据勾股定理得，AH＝＝＝4，故tan∠CAD＝；（3）∵OA＝OC，则∠ACO＝45°，由题意得：PC＝2t，CQ＝6﹣t，则|x P|＝PC•cos45°＝t，则S△CPQ＝×CQ×|x P|＝×t（6﹣t）＝﹣（t2﹣6t），∵﹣＜0，故S△CPQ有最大值，当t＝3时，其最大值为，当t＝3时，PC＝6，点P的纵坐标为6﹣3，故点P（﹣3，6﹣3）；（4）①当AD是正方形的对角线时，则正方形为ANDM′，设M′N交AD于R，交x轴于点H，则点R是AD的中点，则点R（﹣3，1），在Rt△AOD中，tan∠DAO＝＝＝，则tan∠RHA＝3，则设直线M′N的表达式为y＝﹣3x+b，将点R的坐标代入上式并解得b＝﹣8，故直线M′N的表达式为y＝﹣3x﹣8，设点N（m，﹣3m﹣8），过点N作x轴的平行线交过点A与y轴的平行线于点G，交y轴于点K，∵∠DNK+∠ANG＝90°，∠ANG+∠NAG＝90°，∴∠NAG＝∠DNK，∵∠NGA＝∠DKN＝90°，AN＝DN，∴△NGA≌△DKN（AAS），∴GN＝DK，即m+6＝2+3m+8，解得m＝﹣2，故点N的坐标为（﹣2，﹣2）；②当AD是正方形的边时，当DN′是边时，同理可得：△DSN′≌△AOD（AAS），∴N'S＝OD＝2，DS＝AO＝6，故点N′（﹣2，8）；当AN是边时，点N对应的是上图中的点M，同理可得，点M（﹣8，6），即点N″（﹣8，6）；综上，点N的坐标为（﹣8，6）、（﹣2，8）、（﹣2，﹣2）．9．解：（1）由题意抛物线的顶点C（0，2），A（﹣，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+2，把A（﹣，0）代入可得a＝﹣1，∴抛物线L的函数表达式为y＝﹣x2+2．（2）结论：四边形PEP′E′能成为正方形．理由：情形1，如图1中，作PK⊥x轴于K，EH⊥x轴于H．由题意易知P（1，1），当△PME是等腰直角三角形时，四边形PEP′E′是正方形，∴PM＝ME，∠PME＝90°，由△PKM≌△MHE，可得PK＝MH＝1，MK＝EH＝1﹣m，∴E（m+1，m﹣1），∵点E在y＝﹣x2+2上，∴m﹣1＝﹣（m+1）2+2，解得m＝或（舍弃），∴m＝时，四边形PMP′N是正方形．情形2，如图2中，四边形PMP′N是正方形，同法可得E（m﹣1，1﹣m），把E（m﹣1，1﹣m）代入y＝﹣x2+1中，1﹣m＝﹣（m﹣1）2+2，解得m＝3或0（舍弃），∴m＝3时，四边形PEP′E′是正方形．综上，四边形PEP′E′能成为正方形，m＝或3．10．解：（1）∵抛物线C1：y＝﹣x2+3的顶点为（0，3），∴翻折后的抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），∴抛物线C2解析式为：y＝x2﹣3；（2）存在连接AN，NE，EM，MA，依题意可得：M（﹣m，3），N（m，﹣3），∴M，N关于原点O对称，∴OM＝ON，原C1、C2抛物线与x轴的两个交点分别（﹣，0），（，0），∴A（﹣﹣m，0），E（+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA＝OE，∴四边形ANEM为平行四边形，∴AM2＝3+9＝12，ME2＝（+m+m）2+32＝4m2+4m+12，AE2＝（+m++m）2＝4m2+8m+12，若AM2+ME2＝AE2，∴12+4m2+4m+12＝4m2+8m+12，解得m＝，此时△AME是直角三角形，且∠AME＝90°，∴当m＝时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形．11．解：（1）∵抛物线y＝x2+2x与x轴交于B、C两点，∴0＝x2+2x，∴x1＝0，x2＝﹣2，∴点B（﹣2，0），点C（0，0），∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴点A（﹣1，﹣1）；（2）设平移后抛物线的表达式为：y＝（x+1﹣m）2﹣1+n（m＞1），∴点D（m﹣1，﹣1+n），∵y＝（x+1﹣m）2﹣1+n＝x2+2×（1﹣m）x+m2﹣2m+n，∴点E（0，m2﹣2m+n），Ⅰ、如图1，当点D在点A的下方时，过点A作AM⊥y轴于N，过点D作DM⊥AM于M，∴∠ANE＝∠AMD＝90°，∵以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，∴AE＝AD，∠EAD＝90°，∴∠EAN+∠DAM＝90°，∵∠AEN+∠EAN＝90°，∴∠AEN＝∠DAM，∴△AEN≌△DAM（AAS），∴AN＝DM，EN＝AM，∴1＝﹣1﹣（﹣1+n），m﹣1﹣（﹣1）＝m2﹣2m+n﹣（﹣1），∴n＝﹣1，m＝3，∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2；Ⅱ、如图2，点D在点A上方时，过点D作DM⊥y轴于N，过点A作AM⊥DM于M，同理可证△EDN≌△DAM，∴DN＝AM，EN＝DM，∴m﹣1＝﹣1+n+1，m2﹣2m+n﹣（﹣1+n）＝m﹣1+1，∴m＝，n＝，∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣）2﹣，Ⅲ、当∠AED＝90°时，同理可求：y＝（x﹣1）2﹣1；综上所述：平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2或y＝（x﹣）2﹣或y＝（x﹣1）2﹣1．12．解：（1）∵y＝ax2+bx﹣6经过点A（﹣3，0）和点（﹣1，0），∴，解得，∴抛物线C1的解析式为y＝﹣2x2﹣8x﹣6，顶点D（﹣2，2）．（2）如图1中，当点P在x轴上时，设P（m，0）．当AP＝PD时，四边形AD′A′D是矩形，∵A（﹣3，0），D（﹣2，2），∴m+3＝，解得m＝﹣，∴P（﹣，0），∵PD＝PD′，∴D′（1，﹣2），∴旋转后抛物线C2的解析式为y＝2（x﹣1）2﹣2，即y＝2x2﹣4x．如图2中，当点P在y轴上时，设P（0，n）．当P A＝PD时，四边形AD′A′D是矩形，则有＝，解得n＝﹣，∴P（0，﹣），∵PD＝PD′，∴D′（2，﹣），∴旋转的抛物线C2的解析式为y＝2（（x﹣2）2﹣，即y＝2x2﹣8x+，综上所述，满足条件的抛物线的解析式为：y＝2x2﹣4x或y＝2x2﹣8x+．13．解：（1）∵四边形OBCD是矩形，B（0，8），D（10，0），∴BC＝OD＝10，DC＝OB＝8，∠OBC＝∠C＝90°，由折叠可得：OA＝OD＝10，AE＝DE，∵∠OBC＝90°，OB＝8，OA＝10，∴AB＝6，∴AC＝4，设AE＝DE＝x，则CE＝8﹣x，∵∠C＝90°，∴x2＝42+（8﹣x）2，解得：x＝5，∴AE＝DE＝5，∴点A的坐标为（6，8），点E的坐标为（10，5），∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（6，8），D（10，0），则，解得，此抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；（2）抛物线过O、D（10，0）两点，则其对称轴为x＝5，设点M（5，m），而点A（6，8）、点E（10，5），则AE2＝16+9＝25，AM2＝1+（m﹣8）2，EM2＝（m﹣5）2+25，当AE＝AM时，则25＝1+（m﹣8）2，解得：m＝8±2；当AE＝EM时，同理可得：m＝5；当AM＝EM时，同理可得：m＝；故点M的坐标为（5，8+2）或（5，8﹣2）或（5，5）或（5，2.5）；（3）设直线OA的解析式y＝k1x，∵点A的坐标为（6，8），∴6k1＝8，解得：k1＝，直线OA的解析式y＝x，同理可得：直线OE的表达式为y＝x，∵OP＝1×t＝t，∴P（t，0），∵直线⊥x轴于点P、点F，G是直线l与OA，OE的交点，∴点F、G的坐标分别为（t，t）、（t，t），则FG＝t﹣t＝t，当0＜t＜8时，点Q在线段DC上，过点Q作QS⊥直线l，垂足为S，如图1，则QS＝PD＝10﹣t，∴S＝×FG•QS＝FG•PD＝t（10﹣t）＝﹣t2+t；②当8≤t＜9时，点Q在线段CA上，且在直线l的右侧，设FG交AC于点N，如图2，则QN＝CN﹣CQ＝PD﹣CQ＝（10t）﹣（t﹣8）＝18﹣2t∴S＝FD•QN＝t（18﹣2t）＝﹣t2+t；③当t＝9时，QN＝18﹣2t＝0，点Q与点N重合，此时△QFG不存在，故舍去，④当9＜t≤10时，点Q在线段CA上，且在直线l的左侧，设FG交AC于点N，如图3．则QN＝CQ﹣CN＝CQ﹣PD＝（10﹣t）＝2t﹣18，S＝FG•QN＝t（2t﹣18）＝t2﹣t；综上所述：S＝．14．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，∴y＝﹣（x+3）（x﹣4）＝﹣；（2）①如图1，∵B（4，0），C（0，4），∴设BC的解析式为：y＝kx+n，则，解得，∴BC的解析式为：y＝﹣x+4，∴﹣x+4＝，解得：x＝1，∴E（1，3），∵M（m，0），且MH⊥x轴，∴G（m，），F（m，﹣），∵S△EFG＝S△OEG，∴＝×ON（x E﹣x G），[（﹣）﹣（）]（1﹣m）＝，解得：m1＝，m2＝﹣2；②存在，由①知：E（1，3），∵四边形EFHP是正方形，∴FH＝EF，∠EFH＝∠FHP＝∠HPE＝90°，∵M（m，0），且MH⊥x轴，∴H（m，﹣m+4），F（m，﹣），分两种情况：i）当﹣3≤m＜1时，如图2，点F在EP的左侧，∴FH＝（﹣m+4）﹣（﹣）＝，∵EF＝FH，∴，解得：m1＝（舍），m2＝，∴H（，），∴P（1，），ii）当1＜m＜4时，点F在PE的右边，如图3，同理得﹣＝m﹣1，解得：m1＝，m2＝（舍），同理得P（1，）；综上，点P的坐标为：或．15．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx的图象经过点A（﹣4，0），∴0＝8﹣4b，∴b＝2，∴二次函数的解析式为y＝x2+2x．（2）如图1中，当点P在第一象限时，由题意A（﹣4，0），H（﹣2，0），M（0，2），∵点M，N关于AP对称，∴AN＝AM＝＝2，∴NH＝＝4，∴N（﹣2，4），∴直线MN的解析式为y＝﹣x+2，∵P A⊥MN，∴直线P A的解析式为y＝x+4，由，解得或，∴P（2，6）．如图2中，当点P在第三象限时，同法可得N（﹣2，﹣4），∴直线MN的解析式为y＝3x+2，∵AP⊥MN，∴直线AP的解析式为y＝﹣x﹣，由，解得或﹣，∴P（﹣，﹣），综上所述，满足条件的点P坐标为（2，6）或（﹣，﹣）．（3）如图3中，设G（m，m2+2m），过点F作FN⊥GE于N，过点F作FP⊥BH于P，设直线BH交GE于Q，设GE交y轴于K．∵四边形EFBD是正方形，∴EF＝BF，∠EFB＝90°，∵∠ENF＝∠FPB＝90°，∠PNQ＝∠FPQ＝∠NQP＝90°，∴四边形PFNQ是矩形，∴∠NFP＝∠EFB，∴∠EFN＝∠BFP，∴△ENF≌△BPF（AAS），∴PF＝FN，EN＝BP，∴四边形PFNQ是正方形，设PF＝FN＝NQ＝PQ＝a，∵FN∥OK，∴＝，∴＝，∴GN＝﹣，∵NE＝PB，∴﹣2﹣m+a＝﹣4﹣2m+＝m2+2m﹣a+2，解得m＝﹣6或﹣4（舍弃），∴G（﹣6，6）．16．解：（1）把点A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+，得到0＝﹣+3b+，解得b＝1．（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，∴P（m，﹣m2+m+），∵M，Q重合，∴﹣m+＝﹣m2+m+，解得m＝0或4．（3）y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（1，2），由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，∴3﹣m＝﹣m+﹣（﹣m2+m+）且﹣m+＞2，得m＜﹣解得m＝1﹣或1+（不合题意舍弃），∴m＝1﹣．（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有﹣m+＜﹣m2+m+，∴m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中，当3＜m＜4时，抛物线不在矩形PQMN内部，不符合题意，当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中，综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜3或m＞4．17．解：（1）把点O（0，0）和A（6，0）代入y＝ax2﹣2x+c中，得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x．（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．∵y＝x2﹣2x＝（x﹣3）2﹣3，∴顶点B（3，﹣3），M（3，0），∴OM＝3．BM＝3，∴tan∠MOB＝＝，∴∠MOB＝60°，∵∠BOD＝30°，∴∠MON＝∠MOB﹣∠BOD＝30°，∴MN＝OM•tan30°＝，∴N（3，﹣），∴直线ON的解析式为y＝﹣x，由，解得或，∴D（5，﹣）．（3）如图②﹣1中，当∠EFG＝90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合，由题意OF＝BF，可得F（，﹣），E（3，﹣），利用平移的性质可得H（，）．如图②﹣2中，当∠EGF＝90°时，点H在对称轴右侧，由题意，∠EBF＝∠FEB＝30°∴EF＝BF，可得F（2，﹣2），利用平移的性质可得H（，﹣）．如图②﹣3中当∠FGE＝90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，由题意EF⊥BE，可得F（1，﹣），G（，﹣），利用平移的性质，可得H（，﹣）．综上所述，满足条件的点H的坐标为（，）或（，﹣）或（，﹣）．18．解：（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0，∴A（﹣4，0），B（0，4），把A，B两点的坐标代入抛物线解析式得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）①如图1，作PF∥BO交AB于点F，∴△PFD∽△OBD，则，∵OB＝4为定值，∴当PF取最大值时，有最大值，设P（x，），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），∴PF＝＝，∵﹣＜0且对称轴是直线x＝﹣2，∴当x＝﹣2时，PF有最大值，此时PF＝2，∴；②∵点C（2，0），∴CO＝2，如图2，点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，∴∠HPC＝∠OCF，在△CPH和△FCO中，∠HPC＝∠OCF，∠PHC＝∠COF，PC＝FC，∴△CPH≌△FCO（AAS），∴PH＝CO＝2，∴点P的纵坐标为2，∴，解得，，∴P1，P2．19．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，在x轴下方作∠ABD＝30°，交y轴负半轴于D，则BD＝2OD，∵B（3，0），∴OB＝3，根据勾股定理得，BD2﹣OD2＝32，∴4OD2﹣OD2＝9，∴OD＝，BD＝2，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），∴OC＝3，∴CD＝3+，过点P作PB'⊥BD于B'，在Rt△PB'B中，PB'＝PB，∴PC+PB＝PC+PB'，当点C，P，B在同一条直线上时，PC+PB最小，最小值为CB'，∵S△BCD＝CD•OB＝BD•CB'，∴CB'＝＝＝，即PC+PB的最小值，∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠DBC＝45°+30°＝75°，∴∠BCP＝90°﹣75°＝15°，∴∠OCP＝30°，∵OC＝3，∴OP＝，∴P（，0）；（3）如备用图，设M（m，﹣m2+2m+3），以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形，∴∠BMC＝90°，∵点A在x轴负半轴，且∠BOC＝90°，∴点M在x轴上方的抛物线，过点M作ME⊥x轴于E，作MF⊥y轴于F，∴∠MEO＝∠MFO＝90°＝∠EOF，∴四边形OEMF是矩形，∴∠EMF＝90°，∴∠BME＝∠CMF，∵∠BEM＝∠CFM＝90°，∴△BEM∽△CFM，∴，∴．∴m＝，∴M（，）或（，），∵点N是点M关于点E（，）的对称点，∴N（，）或（，）．20．解：（1）x2﹣10x+16＝0，解得：x＝8或2，故OC＝8，OB＝2，即点B、C的坐标分别为（2，0）、（0，8）；函数的对称轴是直线x＝﹣2，故点A的坐标为（﹣6，0），设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣2）（x+6），将点C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+8；（2）∵AB＝8，OC＝8，则AE＝m，BE＝8﹣m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10．∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC．，即，∴EF＝；过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝．∴，∴FG＝×＝8﹣m，∴S＝S△BCE﹣S△BFE＝（8﹣m）×8﹣×（8﹣m）（8﹣m）＝﹣m2+4m，∵＜0，故S有最大值，当m＝4时，S的最大值为8；（3）设点N的坐标为（m，n）而n＝﹣m2﹣m+8，点M（﹣2，t），①当PC是对角线时，如图1，2，3，4，此时，PN是边，（Ⅰ）如图1，当点N在点M的上方时，如图1，2，在图1中，过点N作NG⊥y轴于点G，过点M作MH⊥y轴于点H，∵∠NCG+∠GCN＝90°，∠GCN+∠MCH＝90°，∴∠NCG＝∠MCH，MC＝NC，∴△CHM≌△NGC（AAS），∴GC＝MH＝2，故点G（0，10），则点N的纵坐标为10，则n＝﹣m2﹣m+8＝10，解得：m＝﹣1或﹣3，故点N的坐标为（﹣3，10）或（﹣1，10）（即图1，2所示的情况）；（Ⅱ）当点N在点M的下方时，如图3，4，同理可得，点N的纵坐标为6，则n＝﹣m2﹣m+8＝6，解得m＝﹣2±2，故点N的坐标为（﹣2+2，6）或（﹣2﹣2，6）；②当PC是边时，如图5﹣12，（Ⅰ）当PM是对角线时，如图5﹣8，如图5，6，当MN在对称轴左侧时，由题意得：点N、C关于函数的对称轴对称，故点N的坐标为（﹣4，8）；如图7，8，当MN在对称轴右侧时，在图7中，过点N、C分别作函数对称轴的垂线，垂足分别为H、G，同理可得：GC＝MH，NN＝GM，即m+2＝8﹣t且t﹣n＝2，故点N（6﹣t，t﹣2），把点N的坐标代入y＝﹣x2﹣x+8并解得t＝10或4.5（舍去10），故点N的坐标为（1.5，2.5）；在图8中，同理可得点N的坐标为（t﹣10，t+2），把点N的坐标代入y＝﹣x2﹣x+8并解得t＝6或8.5（舍去6），故点N的坐标为（﹣1.5，10.5）；（Ⅱ）当PM是边时，如图9﹣12，当NM在对称轴的左侧时，如图9，11，当MN在对称轴的右侧时，如图10，12，在图9中，同理可得，点N的在为（，），在图11中，同理可得，点N的在为（，），同理可得，点N的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（﹣2+，6）．综上，点N的坐标为（﹣3，10）或（﹣1，10）或（﹣2+2，6）或（﹣2﹣2，6）或（﹣4，8）或（﹣1.5，10.5）或（1.5，2.5）或（，）或（，）或（，）或（，）或（﹣2+，6）．21．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+①；（2）当△CEO是以CO为底的等腰三角形时，则OC的中点（0，）的纵坐标和点E 的纵坐标相同，而点B（0，），即点E、B关于抛物线对称轴对称，∵抛物线的对称轴为直线x＝2，故点E的坐标为（4，）；△ACE的面积S＝S△COE+S△OAE﹣S△AOC＝OC•|x E|+OA•|y E|﹣×AO×CO＝5×4+×5×﹣×5×5＝；（3）①∵OA＝OC＝5，∴∠CAO＝45°，∵对角线DM与AC的夹角为45°，∴∠DMA＝90°，即DM⊥x轴，即点D、M的横坐标相同，由A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y＝﹣x+5②，联立①②并解得：x＝1或5（舍去5），故x＝1，故点D（1，4），∴点M的坐标为（1，0）；②设正方形MFDN平移后为M′F′D′N′，如图1，2所示；。

2021年九年级数学中考复习《二次函数压轴题经典题型》专题训练1．已知，如图抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B 左侧．点A的坐标为（﹣4，0），B的坐标为（1，0），且OC＝4OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求三角形ACD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．（1）点A的坐标为．（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FP A相似，求m的值．（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），B（0，4）两点，C为OA的中点，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）P为第一象限抛物线上一点，连接PB，PC，当△PBC的面积为6时，求点P的坐标；（3）M在线段BC上，在坐标平面内，以BM为直角边作等腰直角△BMN，当点N在抛物线上时，直接写出点M的坐标．4．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB∥x 轴交抛物线于点B，过点B作直线l⊥x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．（1）当a＝﹣2时，求线段OB的长．（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出a值的计算过程；若不存在，请说明理由．（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．5．已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，5）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）如图1，P是抛物线对称轴上一点，连接P A，PB，试求出当P A+PB的值最小时点P的坐标；（3）如图2，Q是线段OC上的一点，过点Q作QH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△QCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出Q点的坐标．6．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点B．动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DC边向点C运动，运动的时间为t秒，过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BG，求△BGD的面积最大值；（3）将△PED沿直线BD翻折，若点P的对应点P′恰好落在抛物线上，求此时t的值；（4）如图2，在点P运动的同时，点Q从点B出发，沿BA边以每秒1个单位的速度向点A运动．动点P、Q运动的过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出该菱形的周长：若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，3），它的对称轴是直线x＝﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标；（3）一动点P在线段BC上方（不与点B，C重合）的抛物线上运动，是否存在点P，使得△PBC的面积最大，若存在，求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；如不存在，请说明理由．8．如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当S△P AB＝2S△AOB时，求点P的坐标；（3）连接BC抛物线上是否存在点M，使∠MCB＝∠ABO？若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．9．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A、C重合，求过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0）和B（8，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；（3）在（2）的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a 的式子表示）．（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．12．如图所示：已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于两点A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．（1）求a，k，b的值．（2）直接写出关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；（3）当点P在直线AB上方时，请求出△P AB面积的最大值并求出此时点P的坐标；（4）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在x轴是否存在一点P，使得△POD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标．14．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）与B（3，0）．（1）求此二次函数的解析式；（2）若该二次函数图象顶点为D，点P为x轴上一点，将该二次函数图象绕着点P旋转180°得到新抛物线的顶点记为E，与x轴的交点记为F、G（点F在点G的左侧），若四边形DBEF是矩形，求点P的坐标；（3）若抛物线与y轴交于点C，现将抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过点C，在平移后的抛物线上是否存在点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出平移方式；若不存在，请说明理由．15．如图，已知直线与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点，抛物线与x轴另一个交点为D．（1）①点A坐标为（，），点B坐标为（，）②求出图中抛物线的解析式；（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；（3）在直线AB上是否存在一点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．（4）在x轴上有一点E，在抛物线上有一点F，能否以A、B、E、F四点构造平行四边形？如果能，请直接写出E点的坐标；如果不能，请说明理由．16．如图，抛物线y＝﹣ax2+2ax+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）两点，与x轴交于另一点C，直线y＝﹣x+3与x轴交于点D，与抛物线交于点E，点P在抛物线上且P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是直线AE上方的抛物线上一动（不与A、E重合），过点P向x轴作垂线交直线AE于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式；（3）连接P A，使得∠P AD＝45°，求P点的坐标．2021年九年级数学中考复习《二次函数压轴题经典题型》专题训练答案1．已知，如图抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B 左侧．点A的坐标为（﹣4，0），B的坐标为（1，0），且OC＝4OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求三角形ACD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）根据点B的坐标为（1，0），OC＝4OB可得出C点坐标，再把A，B，C两点的坐标代入抛物线的解析式求出a，c的值即可；（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N，利用待定系数法求出直线AC的解析式，故可得出DM＝﹣（x+2）2+4，即可得出结论；（3）①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，根据PC两点的纵坐标相等可得出P点坐标；②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，令P（x，4），由x2+3x﹣4＝4得出x的值即可得出P点坐标．解：（1）∵OC＝4OB，B（1，0），∴C（0，﹣4），把点A，B，C的坐标代入y＝ax2+bx+c，得，解得：，∴抛物线线的解析式为：y＝x2+3x﹣4；（2）如图1，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．∵A（﹣4，0），B的坐标为（1，0），∴AB＝5，∴S△ACD＝DM×（AN+ON）＝DM•OA＝2DM，设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），∴，解得，故直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣4．令D（x，x2+3x﹣4），M（x，﹣x﹣4），则DM＝﹣x﹣4﹣（x2+3x﹣4）＝﹣（x+2）2+4，当x＝﹣2时，DM有最大值4，故三角形ACD面积的最大值＝2DM＝8；（3）①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．∵C（0，﹣4），令x2+3x﹣4＝﹣4，∴x＝0或x＝﹣3．∴P1（﹣3，﹣4）．②如图3，平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，∵C（0，﹣4），∴可令P（x，4），由x2+3x﹣4＝4，得x2+3x﹣8＝0．解得x＝或x＝．此时存在点P2（，4）和P3（，4）．综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣4），P2（，4）和P3（，4）．点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．（1）点A的坐标为（4，0）．（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FP A相似，求m的值．（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．分析：（1）解方程即可得到A点的坐标；（2）利用待定系数法即可求得函数解析式；（3）由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP ＝90°和∠BNP＝90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；（4）用m可表示出P、F、E的坐标，由题意可知有F为线段PE的中点、P为线段EF的中点或E为线段PF的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值．解：（1）在y＝+2中，令y＝0，则x＝4，∴A（4，0）；故答案为：（4，0）；（2）∵在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，∴B（0，2），把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝，∴这条抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；（3）∵P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），∵△BEF和△APF相似，且∠BFE＝∠AFP，∴∠BEP＝∠APF＝90°或∠EBF＝∠APF＝90°，当∠BEF＝90°时，则有BE⊥PE，∴E点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝，如图1，当∠EBF＝90°时，过点E作EC⊥y轴于点C，则∠EBC+∠BEC＝90°，EC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠EBF＝90°，∴∠EBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BEC，∴Rt△ECB∽Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，解得，m＝，综上所述，以B、E、F为顶点的三角形与△FP A相似，m的值＝，；（4）由（1）知，P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），∵E、F、P三点为“共谐点”，∴有F为线段PE的中点、P为线段FE的中点或E为线段PF的中点，当F为线段PE的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝4（三点重合，舍去）或m＝；当P为线段FE的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝4（舍去）或m ＝﹣1；当E为线段FP的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝4（舍去）或m＝﹣；综上可知当E、F、P三点成为“共谐点”时m的值为﹣1或﹣或．点评：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）②中利用“共谐点”的定义得到m的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），B（0，4）两点，C为OA的中点，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）P为第一象限抛物线上一点，连接PB，PC，当△PBC的面积为6时，求点P的坐标；（3）M在线段BC上，在坐标平面内，以BM为直角边作等腰直角△BMN，当点N在抛物线上时，直接写出点M的坐标．分析：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）作PQ∥y轴交直线BC于Q，如图1，先确定直线BC的解析式为y＝﹣2x+4；设P （x，﹣x2+3x+4），则Q（x，﹣2x+4），所以PQ＝﹣x2+5x，利用三角形面积公式得到S△PBC＝S△PQB﹣S△PCQ＝PQ，则﹣x2+5x＝6，然后解方程求出x即可得到P点坐标；（3）设M（t，﹣2t+4）（0＜t≤2），当∠BMN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥EM于F，如图2，先证明△BME≌MNF得到ME＝NF＝t，BE＝MF＝2t，则N（3t，﹣t+4），接着把N（3t，﹣t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（3t）2+9t+4＝﹣t+4；然后表示出点N关于点M的对称点N′的坐标为（﹣t，﹣3t+4），把N′（﹣t，﹣3t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（﹣t）2﹣3t+4＝﹣3t+4；当∠MBN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥y轴于F，如图3，通过证明△BME≌NBF得到ME＝BF＝t，BE＝NF＝2t，则N（2t，t+4），然后把N （2t，t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（2t）2+6t+4＝t+4，最后分别解关于t的方程可得到满足条件的M点坐标．解：（1）解：根据题意得，解得：b＝3，c＝4，抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；（2）∵C为OA的中点，∴C点坐标是（2，0）作PQ∥y轴交直线BC于Q，如图1，设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（0，4），C（2，0）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+4；设P（x，﹣x2+3x+4），则Q（x，﹣2x+4），∴PQ＝﹣x2+3x+4﹣（﹣2x+4）＝﹣x2+5x，∵S△PBC＝S△PQB﹣S△PCQ＝PQ•2＝PQ，∴﹣x2+5x＝6，整理得x2﹣5x+6＝0，解得x1＝3，x2＝2，∴P点坐标为（3，4）或（2，6）；（3）设M（t，﹣2t+4）（0＜t≤2），当∠BMN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥EM于F，如图2，∵△BMN为等腰直角三角形，∴BM＝MN，易得△BME≌MNF（AAS），则ME＝NF＝t，BE＝MF＝4﹣（﹣2t+4）＝2t，∴N（3t，﹣t+4），把N（3t，﹣t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（3t）2+9t+4＝﹣t+4，解得t1＝0（舍去），t2＝，此时M点坐标为（，）；点N（3t，﹣t+4）关于点M（t，﹣2t+4）的对称点N′的坐标为（﹣t，﹣3t+4），把N′（﹣t，﹣3t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（﹣t）2﹣3t+4＝﹣3t+4，解得t1＝t2＝0（舍去）；当∠MBN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥y轴于F，如图3，∵△BMN为等腰直角三角形，∴BM＝BN，易得△BME≌NBF（AAS），则ME＝BF＝t，BE＝NF＝4﹣（﹣2t+4）＝2t，∴N（2t，t+4），把N（2t，t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（2t）2+6t+4＝t+4，解得t1＝0（舍去），t2＝，此时M点坐标为（，）；综上所述，M点坐标为（，）或（，）．点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．4．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB∥x 轴交抛物线于点B，过点B作直线l⊥x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．（1）当a＝﹣2时，求线段OB的长．（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出a值的计算过程；若不存在，请说明理由．（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．分析：（1）把a＝﹣2代入y＝﹣2（x﹣1）（x﹣3）＝﹣2x2+8x﹣6，解方程得到点C（0，﹣6），根据勾股定理即可得到结论；（2）解方程得到C（0，3a），B（4，3a），过A作AE⊥x轴于点E，AE延长线与CB交于点F，根据三角形的中位线的性质得到DG＝2AE＝﹣2a，求得BD＝DG+BG＝﹣5a，当△OBD为等腰三角形时，①当OB＝BD＝﹣5a，②当OD＝BD＝﹣5a时，③当OD ＝OB时，DG＝BG，解方程即可得到结果；（3）根据已知条件得到点M在BD的垂直平分线上，OM＝MD，求得n＝a，根据勾股定理列方程即可得到结论．解：（1）当a＝﹣2时，y＝﹣2（x﹣1）（x﹣3）＝﹣2x2+8x﹣6，当x＝0时，得y＝﹣6，∴点C（0，﹣6），当y＝﹣6时，即﹣6＝﹣2x2+8x﹣6，解得：x1＝0，x2＝4，∴点B（4，﹣6），∴BC＝4，OC＝6，∴OB═＝2；（2）在y＝a（x﹣1）（x﹣3）中，令x＝0，得y＝3a，∴C（0，3a），B（4，3a），∵点A是抛物线的顶点，∴A（2，﹣a），过A作AE⊥x轴于点E，AE延长线与CB交于点F，将BD与x轴的交点记为点G，则E为OG的中点，∵AE∥BD，∴DG＝2AE＝﹣2a，∴BD＝DG+BG＝﹣5a，当△OBD为等腰三角形时，分类讨论：①当OB＝BD＝﹣5a，在Rt△OBC中，BC＝﹣4a＝4，∴a＝﹣1，②当OD＝BD＝﹣5a时，在Rt△ODG中，25a2﹣4a2＝16，∴a＝﹣（由于a＜0，所以已负数舍去）；③当OD＝OB时，DG＝BG，但﹣2a≠﹣3a，∴此种情况不可能；∴a＝﹣1或﹣（由于a＜0，所以舍去）；（3）∵BD＝DG+BG＝﹣5a，∵点M是△OBD的外心，∴点M在BD的垂直平分线上，OM＝MD，BD垂直于x轴，∴n＝﹣a，∵M（m，n），D（4，﹣2a），∴（﹣a）2+m2＝（﹣a）2+（4﹣m）2，∴8m＝6a2+16，∵n＝a，∴8m＝24n2+16，整理上式，得：m＝3n2+2．点评：本题考查了二次函数的综合题，求函数的解析式，勾股定理，三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．5．已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，5）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）如图1，P是抛物线对称轴上一点，连接P A，PB，试求出当P A+PB的值最小时点P的坐标；（3）如图2，Q是线段OC上的一点，过点Q作QH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△QCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出Q点的坐标．分析：（1）将点A、B的坐标代入可得出b、c的值，继而得出这个抛物线的解析式；（2）由于点A、C关于y轴对称，所以连接BC，直线BC与y轴的交点即为所求的点P，利用待定系数法确定直线BC的解析式，然后求得该直线与y轴的交点坐标即可；（3）如图2，QH交BC于E，设Q（t，0），根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，设P点的坐标为（a，0），E（a，a+5），H（a，﹣a2﹣4a+5）．然后分类讨论：分别利用EH＝EQ或EH＝EQ，列关于a的方程，然后分别解关于t 的方程，从而得到Q点坐标．解：（1）将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c．得解这个方程组，得，所以，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5；（2）如图1，由于点A、C关于y轴对称，所以连接BC，直线BC与y轴的交点即为所求的点P，由y＝﹣x2﹣4x+5，令y＝0，得﹣x2﹣4x+5＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1，∴C点的坐标为（﹣5，0），又B（0，5），∴易得直线BC的解析式为：y＝x+5．∴当x＝﹣2时，y＝3，∴点P坐标（﹣2，3）；（3）设Q点的坐标为（a，0），所以BC所在的直线方程为y＝x+5．那么，QH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），QH与抛物线y＝﹣x2﹣4x+5的交点坐标为H（a，﹣a2﹣4a+5）．由题意，得①EH＝EQ，即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）＝（a+5），解这个方程，得a＝﹣或a＝﹣5（舍去）．②EH＝EQ，即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）＝（a+5），解这个方程，得a＝﹣或a＝﹣5（舍去），综上所述，Q点的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）．点评：本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质，记住三角形面积公式；会运用分类讨论的思想解决数学问题．6．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点B．动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DC边向点C运动，运动的时间为t秒，过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BG，求△BGD的面积最大值；（3）将△PED沿直线BD翻折，若点P的对应点P′恰好落在抛物线上，求此时t的值；（4）如图2，在点P运动的同时，点Q从点B出发，沿BA边以每秒1个单位的速度向点A运动．动点P、Q运动的过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出该菱形的周长：若不存在，请说明理由．分析：（1）用顶点式求解即可；（2）设点G坐标（m，﹣m2﹣2m+3），用S△BDG＝•EG•（x D﹣x B）即可求解；（3）通过证△MNP′≌MDP′（AAS），求而出P点对应点为P′坐标即可求解；（4）分当点H在E上（下）方两种情况画图，①利用BE＝BQ，②利用△BQR∽△DEP 即可求解．解：（1）由A、B、C点的坐标，可知D点坐标为（﹣1，4），设：二次函数表达式为：y＝a（x+1）2+4，将点B的坐标（﹣3，0）代入表达式，解得：a＝﹣1，∴二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）设：点G坐标（m，﹣m2﹣2m+3），设：直线BD的表达式为y＝kx+b，直线过B（﹣3，0）、D（﹣1，4），将点B、D坐标代入直线方程，则：k＝2，b＝6，y＝2x+6，∵点G、E横坐标相同，则E（m，2m+6），∴EG＝y G﹣y E＝﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣6＝﹣m2﹣4m﹣3，∴S△BDG＝•EG•（x D﹣x B）＝﹣（m+2）2+1，∴当m＝﹣2时，S△BDG面积最大值为1；（3）如图所示P点对应点为P′，PP′交BD于M点，过P′作P′H⊥轴，交BD于N点，则：△MNP′≌MDP′（AAS），∴P′N＝PD，DM＝MN，设运动的时间为t，则PD＝P′N＝t，∵BC＝2，CD＝4，∴tan∠BDC＝＝，在△DMP中，DP＝t，PM＝P′M＝t，DM＝MN＝t，∴DN＝t，BN＝BD﹣DN＝2﹣t，∴BH＝2﹣t，HN＝4﹣t；∴HP′＝HN+NP′＝4﹣t，OH＝OB﹣HB＝1+t，∴点P′坐标为（﹣1﹣t，4﹣t），∵P′在二次函数y＝﹣x2﹣2x+3上，将P点坐标代入二次函数化简得：16t2﹣15t＝0，t＝，t＝0（舍去）；答：t的值为时，点P的对应点P′恰好落在抛物线上；（4）①如左图所示，当点H在E上方时，∵四边形BEHQ为菱形，则BE＝BQ，过点E作EP⊥DC，在Rt△DPE中，tan∠BPD＝，BD＝2，则BE＝BD﹣ED＝2﹣，BE＝2﹣＝BQ＝t，解得：t＝20﹣8，∴菱形BEHQ周长＝4•BQ＝80﹣32；②如右图所示，当点H在点E下方时，连接QH交BE于R，则QH⊥EB，过点E作EP⊥y轴，易证：△BQR∽△DEP，∴…①，由题意得：BQ＝DP＝t，tan∠ABD＝tan∠BDC＝，BR＝t＝ER，ED＝2﹣t，代入①式解得：t＝，∴菱形BEHQ周长＝4•BQ＝；答：在矩形ABCD内存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形，其周长为或80﹣32．点评：本题是二次函数压轴题，涉及到解直角三角形、三角形全等、形似等知识点，根据题目正确画出图形是这类题目的关键．7．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，3），它的对称轴是直线x＝﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标；（3）一动点P在线段BC上方（不与点B，C重合）的抛物线上运动，是否存在点P，使得△PBC的面积最大，若存在，求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；如不存在，请说明理由．分析：（1）由对称性可得B（﹣3，0），根据交点式可求解析式．（2）分BC＝BM，BC＝CM，BM＝CM三种情况讨论可得M点坐标（3）设P（a，﹣a2﹣a+3），则D（a，a+3），用a表示S△PBC，根据二次函数的最值问题可求P点坐标解：（1）∵对称轴是直线x＝﹣，点A（2，0）∴B（﹣3，0）∴设抛物线解析式y＝a（x﹣2）（x+3）且过C（0，3）∴a＝﹣∴抛物线解析式y＝﹣（x﹣2）（x+3）＝﹣x2﹣x+3（2）∵B（﹣3，0），C（0，3）∴BC＝3若BC＝BM＝3∴M（﹣3﹣3，0）（不合题意舍去）或M（﹣3+3，0）若BC＝CM＝3∴M（3，0）若BM＝CM∴在Rt△CMA中，CM2＝（3﹣CM）2+CO2∴CM＝3∴M（0，0）∴M点坐标为（0，0），（﹣3+3，0）（3）∵B（﹣3，0），C（0，3）∴直线BC解析式y＝x+3如图作PD⊥x轴交直线BC于D，设P（a，﹣a2﹣a+3），则D（a，a+3）∴PD＝﹣a2﹣a+3﹣a﹣3＝a2﹣a∴S△PCB＝×（﹣a2﹣a）×3＝﹣a2﹣a∵﹣＜0∴当x＝﹣时，S△PBC最大值为∴P（﹣，）点评：本题考查了二次函数的综合题，待定系数法，二次函数的最值问题，等腰三角形的性质，分类讨论思想，关键是灵活运用二次函数的性质解决问题．8．如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当S△P AB＝2S△AOB时，求点P的坐标；（3）连接BC抛物线上是否存在点M，使∠MCB＝∠ABO？若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．分析：（1）先把A点坐标代入y＝﹣3x+c求出得到B（0，3），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）连接OP，如图1，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设P（x，﹣x2﹣2x+3）（x＜﹣1），由于S△P AB＝S△POB+S△ABO﹣S△POA，S△P AB＝2S△AOB，则S△POB﹣S△POA＝S△ABO，讨论：当P点在x轴上方时，•3•（﹣x）﹣•1•（﹣x2﹣2x+3）＝•1•3，当P点在x轴下方时，•3•（﹣x）+•1•（x2+2x﹣3）＝•1•3，然后分别解方程求出x即可得到对应P点坐标；（3）解方程﹣x2﹣2x+3＝0得C（﹣3，0），则可判断△OBC为等腰直角三角形，讨论：当∠BCM在直线BC下方时，如图2，直线CM交y轴于D，作DE⊥BC于E，设D（0，t），表示出DE＝BE＝（3﹣t），接着利用tan∠MCB＝tan∠ABO得到＝＝，所以3﹣（3﹣t）＝（3﹣t），解方程求出t得到D点坐标，接下来利用待定系数法确定直线CD的解析式为y＝x+，然后解方程组得此时M点坐标；当∠BCM在直线CB上方时，如图3，CM交直线AB于N，易得直线AB的解析式为y ＝﹣3x+3，设N（k，﹣3k+3），证明△ABC∽△ACN，利用相似比求出AN＝，再利用两点间的距离公式得到（k﹣1）2+（﹣3k+3）2＝（）2，解方程求出t得N点坐标为（﹣，），易得直线CN的解析式为y＝2x+6，然后解方程组得此时M点坐标．解：（1）把A（1，0）代入y＝﹣3x+c得﹣3+c＝0，解得c＝3，则B（0，3），把A（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）连接OP，如图1，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，设P（x，﹣x2﹣2x+3）（x＜﹣1），当P点在x轴上方，S△P AB＝S△POB+S△ABO﹣S△POA，∵S△P AB＝2S△AOB，∴S△POB﹣S△POA＝S△ABO，当P点在x轴下方．易得S△POB+S△POA＝S△ABO，当P点在x轴上方时，•3•（﹣x）﹣•1•（﹣x2﹣2x+3）＝•1•3，解得x1＝﹣2，x2＝3（舍去），此时P点坐标为（﹣2，3）；当P点在x轴下方时，•3•（﹣x）+•1•（x2+2x﹣3）＝•1•3，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝3（舍去），综上所述，P点坐标为（﹣2，3）；（3）存在．当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣3，则C（﹣3，0），∵OC＝OB＝3，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝3，当∠BCM在直线BC下方时，如图2，直线CM交y轴于D，作DE⊥BC于E，设D（0，t），∵∠DBE＝45°，∴△BDE为等腰直角三角形，∴DE＝BE＝BD＝（3﹣t），∵∠MCB＝∠ABO，∴tan∠MCB＝tan∠ABO，∴＝＝，即CE＝3DE，∴3﹣（3﹣t）＝（3﹣t），解得t＝，则D（0，），设直线CD的解析式为y＝mx+n，把C（﹣3，0），D（0，）代入得，解得，∴直线CD的解析式为y＝x+，解方程组得或，此时M点坐标为（，）；当∠BCM在直线CB上方时，如图3，CM交直线AB于N，易得直线AB的解析式为y＝﹣3x+3，AB＝，AC设N（k，﹣3k+3），∵∠MCB＝∠ABO，∠CBO＝∠OCB，∴∠NCA＝∠ABC，而∠BAC＝∠CAN，∴△ABC∽△ACN，∴AB：AC＝AC：AN，即：4＝4：AN，∴AN＝，∴（k﹣1）2+（﹣3k+3）2＝（）2，整理得（k﹣1）2＝，解得k1＝（舍去），k2＝﹣，∴N点坐标为（﹣，），易得直线CN的解析式为y＝2x+6，解方程组，得或，此时M点坐标为（﹣1，4），综上所述，满足条件的M点的坐标为（，）或（﹣1，4）．点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式，能把求函数交点问题转化为解方程组的问题；灵活运用锐角三角函数的定义和相似比进行几何计算；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．9．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A、C重合，求过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）设顶点式y＝a（x+2）2﹣8，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；（2）如图，先确定C（0，﹣6），再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，设P（x，x2+2x﹣6）（﹣6＜x＜0），则E（x，﹣x﹣6），所以PE＝﹣x﹣6﹣（x2+2x ﹣6），然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设M（﹣2，t），利用两点间的距离公式得到AC2＝72，AM2＝（﹣2+6）2+t2，CM2＝（﹣2）2+（t+6）2，利用勾股定理的逆定理进行讨论：当AC2+AM2＝CM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2+6）2+t2＝（﹣2）2+（t+6）2；当AC2+CM2＝AM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2）2+（t+6）2＝（﹣2+6）2+t2；当CM2+AM2＝AC2，△ACM为直角三角形，即（﹣2+6）2+t2+（﹣2）2+（t+6）2＝72，然后分别解关于t的方程得到对应的M点坐标．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2﹣8，把A（﹣6，0）代入得a（﹣6+2）2﹣8＝0，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣8，即y＝x2+2x﹣6；（2）如图，当x＝0时，y＝x2+2x﹣6＝﹣6，则C（0，﹣6），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣6，0），C（0，﹣6）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，设P（x，x2+2x﹣6）（﹣6＜x＜0），则E（x，﹣x﹣6）∴PE＝﹣x﹣6﹣（x2+2x﹣6）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+3）2+，当x＝﹣3时，PE的长度有最大值，最大值为，此时P点坐标为（﹣3，﹣）；（3）存在．抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，设M（﹣2，t），∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），∴AC2＝62+62＝72，AM2＝（﹣2+6）2+t2，CM2＝（﹣2）2+（t+6）2，当AC2+AM2＝CM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2+6）2+t2＝（﹣2）2+（t+6）2，解得t＝4，此时M点坐标为（﹣2，4）；当AC2+CM2＝AM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2）2+（t+6）2＝（﹣2+6）2+t2，解得t＝﹣8，此时M点坐标为（﹣2，﹣8）；当CM2+AM2＝AC2，△ACM为直角三角形，即（﹣2+6）2+t2+（﹣2）2+（t+6）2＝72，解得t1＝﹣3+，t2＝﹣3﹣，此时M点坐标为（﹣2，﹣3+）或（﹣2，﹣3﹣）．综上所述，M点的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣8）或（﹣2，﹣3+）或（﹣2，﹣3﹣）．点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和勾股定理的逆定理；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会利用分类讨论的思想解决数学问题．10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0）和B（8，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；（3）在（2）的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）利用待定系数法求得即可；（2）根据C的纵坐标求得F的坐标，然后通过△OCD≌△HDE，得出DH＝OC＝4，即可求得OD的长；（3）①先确定C、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理求得∠ECF＝∠EDF，由于tan。