高中数学《导数及其应用》 新人教A版选修2-2

第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。

第一章导数及其应用本章综述本章内容共分为四大节.第一大节是导数.第二大节是导数的运算,主要介绍了基本初等函数的导数公式,导数的四则运算法则.第三大节是导数的应用,主要是利用导数判断函数的单调性,求函数的极值和最值问题,利用函数解实际问题和物理问题.第四大节是定积分和微积分的基本定理,主要介绍利用定积分求曲线围成的平面图形的面积.导数是微积分的核心概念之一,它是研究函数的单调性,函数的极值与最大,最小值,曲线的凹凸性,函数图形的描绘,曲线的曲率,方程的近似解等问题的最一般,最有效的工具;定积分是微积分的另一个核心概念,它在几何学上的应用有:计算平面图形的面积,体积以及平面曲线的弧长等;在物理学上它可计算变力沿直线所做的功,水压力,引力等一些重要的物理量.实际上,微积分在物理、化学、生物、天文、地理以及经济等各种科学领域中都有广泛而重要的作用,它是大学数学课程中极其重要又非常基础的一部分内容.导数来源于实践,又应用于实践.如现实生活中的瞬时速度,膨胀率,增长率问题等等,都充分反映了导数的思想.利用导数还可以解决现实生活中的最优化问题,由于其应用广泛,所以其地位在中学数学中极其重要.因此,导数及其应用已成为近几年高考的热点.导数概念的核心是变化率,学习导数应从物理和几何两方面去理解导数的意义;必须熟记常数与基本初等函数的导数;正确地运用和、差、积、商及复合函数的求导法则,就可以求出一切初等函数的导数;学会利用导数解决速度、加速度、函数的单调性、极值、最值等问题的解法,并会利用其解决实际问题.学习导数时要借助于实例,沿着从平均速度、瞬时速度到函数瞬时变化率的线索,认识和理解导数的概念;通过例题,体会利用导数的定义求导数的方法;借助于图形去认识和理解导数的几何意义,以及用导数的几何意义去解决问题;结合图形去认识和理解导数在研究函数性质中的应用;借助图形了解定积分的思想方法等.学习本章时要注意导数与导函数的区别,以及圆的切线、圆锥曲线与函数切线的区别.同时,还应明确平均变化率与瞬时变化率的区别与联系.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章导数及其应用1．1变化率与导数1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念双基达标(限时20分钟)1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx等于()．A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2解析ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝2(1＋Δx)2－2Δx＝4＋2Δx.答案 C2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是()．A．4 B．4.1 C．0.41 D．3解析v＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.答案 B3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )．A ．－4.8 m /sB ．－0.88 m/sC ．0.88 m /sD ．4.8 m/s解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．答案 A4．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12.答案 －125．已知函数y ＝2x ，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________.解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝21.5－22＝43－1＝13.答案 136．利用导数的定义，求函数y ＝1x 2＋2在点x ＝1处的导数．解 ∵Δy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(x ＋Δx )2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2＝－2x Δx －(Δx )2(x ＋Δx )2·x 2，∴Δy Δx ＝－2x －Δx(x ＋Δx )2·x 2，∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0－2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2＝－2x 3， ∴y ′|x ＝1＝－2.综合提高 (限时25分钟)7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为()． A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44解析Δy＝(2＋0.1)2－22＝0.41. 答案 B8．设函数f(x)可导，则limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx等于()．A．f′(1) B．3f′(1)C.13f′(1) D．f′(3)解析根据导数的定义：limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f′(1)，lim Δx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx＝13f′(1)．答案 C9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．解析v初＝s′|t＝0＝limΔt→0s(0＋Δt)－s(0)Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.答案 310．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝v t，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．解析v0＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0s(t0＋Δt)－s(t0)Δt＝limΔt→0v(t0＋Δt)－v t0Δt＝limΔt→0v·ΔtΔt＝v.答案相等11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．解运动方程为s＝12at2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴ lim Δt →0Δs Δt ＝at 0.由题意知a ＝5×105，t 0＝1.6×10－3，故at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.12．(创新拓展)已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解 由导数的定义知，f ′(x )＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2. ∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2.即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.。

第一章导数及其应用知识系统整合规律方法收藏1.导数的概念，要注意结合实例理解概念的实质，利用导数的几何意义求曲线的切线方程，要注意当切线平行于y轴时，这时导数不存在，此时的切线方程为x＝x0.2.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键.3.对复合函数的求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆，最后要把中间变量换成自变量的函数．复合函数的导数(高考要求f(ax ＋b)的形式的)，在学习的过程中不要无限制地拔高.4.利用导数判断函数的单调性应注意的几点(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点.(3)命题“如果f′(x)>0，则函数为增函数”的逆命题不成立，当f(x)在(a，b)内为增函数时，f′(x)≥0，如f(x)＝x3.由于f′(x)≥0时，f′(x)可能恒为0，f(x)也就恒为常数，所以由f′(x)≥0不能得到f(x)是单调增函数．因此，课本上关于单调性的结论在解题时要注意，它并非充要条件.5.利用导数研究函数的极值应注意的几点(1)可导函数f(x)在点x0取得极值的充分必要条件是f′(x)＝0，且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要非充分条件.(2)极值点也可以是不可导的，如函数f(x)＝|x|在极小值点x0＝0处不可导.(3)求一个可导函数的极值时，常常把使f′(x0)＝0的点x0附近的函数值的变化情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.6.极值与最值的区别(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念.(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值.7.导数的实际应用利用导数研究实际问题的最值的关键在于建立数学模型，因此要认真审题，分析各个量的关系，列出函数式y＝f(x)，然后利用导数求出函数f(x)的最值，求函数f(x)的最值时，若f(x)在区间(a，b)上只有一个极值点，要根据实际意义判定是最大值还是最小值，不必再与端点的函数值比较.8.求定积分求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是要找到被积函数的原函数．为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.9.定积分的应用中的两个主要问题一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题．其中，应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别.学科思想培优一、导数几何意义的应用例1 设曲线C ：y ＝x 3－3x 和直线x ＝a (a >0)的交点为P ，过P 点的曲线C 的切线与x 轴交于点Q(－a ,0)，求a 的值.[解] 依题意⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－3x ，x ＝a ，解得P(a ，a 3－3a ).y′＝3x 2－3，所以过P 点斜率为3a 2－3的曲线C 的切线方程为 y －(a 3－3a )＝(3a 2－3)(x －a ).令y ＝0得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 33a 2－3，0，则有2a 33a 2－3＝－a ，解得a ＝±155.由已知a >0，所以a 的值为155. 拓展提升要求a 的值，需利用导数的几何意义写出过P 点的曲线C 的切线方程，求出该切线与x 轴的交点，通过列方程求解．本题主要考查导数的几何意义，要注意条件a >0.二、求函数的单调区间例2 设a ∈R ，讨论定义在(－∞，0)的函数f (x )＝13ax 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12x 2＋(a ＋1)x 的单调性.[解] f ′(x )＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋a ＋1＝(x ＋1)(ax ＋a ＋1)，x <0.(1)若a ＝0，则f ′(x )＝x ＋1，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.(2)若a ≠0时，则f ′(x )＝a (x ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a .①若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a，－1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.②若－1≤a <0，则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.③若a <－1，则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a，0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.拓展提升导数研究函数的单调性是高考中最常见的考查方式，对函数性质的研究涉及到方方面面，涉及方法思想较多，数形结合思想、分类讨论思想、逆向思维等等.三、求函数的极值与最值例3 设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点. [解] (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1，若f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝a ＋527，极小值是f (1)＝a －1. (2)因为函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1.由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )趋于＋∞，取足够小的负数时，有f (x )趋于－∞，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点，从(1)中可知f (x )的单调性，可画出草图.当f (x )的极大值a ＋527<0，即a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527时，它的极小值也小于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上.当f (x )的极小值a －1>0，即a ∈(1，＋∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13上.故当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与 x 轴仅有一个交点.拓展提升一般地，对于“双峰”函数(只有一个极大值和一个极小值的函数)，当函数f (x )的极大值小于零或函数f (x )的极小值大于零时，图象与x 轴仅有一个交点.四、恒成立问题例4 已知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，当x ∈[－1，2]时，f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围.[解] ∵f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－23.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数. 所以当x ＝－23时，f (x )取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝5＋2227；当x ＝1时，f (x )取得极小值f (1)＝72.又f (－1)＝112，f (2)＝7.因此，f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. 要使f (x )<m 恒成立，须f (x )m ax <m ，即m >7. 所以所求实数m 的取值范围是(7，＋∞). 拓展提升本题中要使m >f (x )恒成立，只要m 大于f (x )的最大值即可，从而求出f (x )的最大值，问题就可得到解决，若将本题中“f (x )<m 恒成立”改为“f (x )>m 恒成立”，则只需求出f (x )的最小值即可.五、利用导数证明不等式例5 已知a ，b 为实数，且b >a >e ，求证：a b>b a.[证明] 因为b >a >e ，所以要证a b>b a，只需证b ln a >a ln b . 设f (x )＝x ln a －a ln x (x >a )，则f ′(x )＝ln a －a x. 因为x >a >e ，所以ln a >1，且a x<1. 所以f ′(x )>0，且f ′(a )>0.所以函数f (x )＝x ·ln a －a ln x 在[a ，＋∞)上是单调递增函数. 所以f (b )>f (a )＝a ln a －a ln a ＝0，即b ln a －a ln b >0， 所以b ln a >a ln b ，故a b>b a. 拓展提升“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.六、利用导数解决实际问题例6 烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A ，B 两座烟囱相距20 km ，其中B 烟囱喷出的烟尘量是A 烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．(比例系数为k )．若C 是AB 连线上的点，设AC ＝x km ，C 点的烟尘浓度记为y .(1)写出y 关于x 的函数表达式；(2)是否存在这样的点C ，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC 的距离；若不存在，说明理由.[解] (1)不妨设A 烟囱喷出的烟尘量为1，则B 烟囱喷出的烟尘量为8，由AC ＝x (0<x <20)，可得BC ＝20－x .依题意，点C 处的烟尘浓度y 的函数表达式为：y ＝k x 2＋k ·820－x2(0<x <20).(2)对(1)中的函数表达式求导得 y ′＝－2k x3＋16k 20－x3＝2k 9x 3－60x 2＋1200x －8000x 320－x 3.令y ′＝0，得(3x －20)·(3x 2＋400)＝0； 又0<x <20，∴x ＝203.∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，y ′<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，20时，y ′>0，∴当x ＝203时，y 取最小值.故存在点C ，当AC ＝203 km 时，该点的烟尘浓度最低.拓展提升在利用导数解决这类优化问题时，其一般步骤是：(1)设出恰当的未知量，并确定未知量的取值范围(即函数定义域)；(2)依题意将所求最值的量表示为未知量的函数；(3)求出函数的导数，令导数等于0，得到导数为0的点；(4)通过单调性确定出函数的最值点以及最值.七、定积分的应用例7 已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切于A 点，直线l 2：x ＝a (a ≠－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程；(2)若△BAD 的面积为S 1，求|BD |及S 1的值；(3)设由抛物线C ，与直线l 1，l 2所围成图形的面积为S 2，求证S 1∶S 2的值为与a 无关的常数.[解] 如下图所示.(1)由y ＝2x 2，得y ′＝4x . 当x ＝－1时，y ′＝－4， ∴直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)，即4x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，x ＝a ，得B 点坐标为(a,2a 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，4x ＋y ＋2＝0得D 点坐标为(a ，－4a －2)，∴点A 到直线BD 的距离为|a ＋1|， |BD |＝2a 2＋4a ＋2＝2(a ＋1)2， ∴S 1＝12|BD |·|a ＋1|＝|a ＋1|3.拓展提升(1)由导数的几何意义求出切线l1的斜率，再由点斜式写出直线l1的方程．(2)求出点A 到直线l2的距离以及B，D两点的坐标，从而由三角形的面积公式可求出S1.(3)由定积分的定义求出S2，注意讨论a的取值，再证明S1∶S2是常数.。

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导数的概念本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．教学内容分析1．导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时,导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具。

2．本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因,一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想,这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面,函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型,并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率,我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．教学目的1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验;5．通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．教学准备1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法;2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：复习准备理解平均速度与瞬时速度的区别与联系．体会模型感受当△t→0时，平均速度逼近于某个常数．提炼模型从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡．形成概念由物体运动的瞬时速度推广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义．应用概念理解导数概念，熟悉求导的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义．小结作业通过师生共同小结，使学生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．教学过程设计5分钟1．复习准备设计意图：让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系,感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度．（1）提问：请说出函数从x1到x2的平均变化率公式．（2)提问：如果用x1与增量△x表示平均变化率的公式是怎样的？(3）高台跳水的例子中，在时间段]4965,0[里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态。