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双曲线定义课件

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双曲线的简单性质课件

双曲线的简单性质课件

焦点与准线的关系
焦点到准线的距离相等
双曲线的焦点到任意一条准线的距离相等，这是双曲线的基本性质之一。
焦点和准线共同确定双曲线的形状和大小
通过焦点和准线可以确定双曲线的形状和大小，因为它们决定了双曲线的离心率 和实轴、虚轴的长度。
03
双曲线的离心率
离心率的定义
• 离心率：双曲线的一个重要参数，定义为双曲线的焦点到其顶点的距离与双曲线的实轴长度的比值。
05
双曲线的对称性
双曲线的对称轴
总结词
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线。
详细描述
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线，也称为主轴。它与双曲 线的渐近线垂直，并且将双曲线划分 为两个对称的部分。
双曲线的对称中心
总结词
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点。
详细描述
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点，也称为顶点。它位于双曲线的渐近线上， 并且是双曲线与x轴的交点。
详细描述
双曲线的标准方程是 (x/a)^2 (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是双曲线 的实半轴和虚半轴长度。当a=b时， 双曲线为等轴双曲线；当a≠b时，双 曲线为非等轴双曲线。
双曲线的几何性质
总结词
双曲线具有离心率、渐近线、焦点等几何性质。
详细描述
离心率是双曲线的一个重要几何性质，它表示双曲线与坐标轴之间的相对位置关系。渐近线是双曲线上的直线， 它们与坐标轴平行。焦点是双曲线上的点，它们到原点的距离相等。这些性质在解决与双曲线相关的问题中具有 重要的作用。
感谢聆听
离心率决定双曲线的形状
离心率的变化会导致双曲线形状的变化，从而影响双曲线的形状和开口方向。
04

3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)

3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)
【解析】 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点 P 在左支上．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．

3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)

3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)
2
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9

y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为

第2讲双曲线课件理课件.ppt

第2讲双曲线课件理课件.ppt

【互动探究】
1．设双曲线1x62－9y2＝1 上的点 P 到点(5,0)的距离为 15，则 P 点到(－5,0)的距离是( D )
A．7 B．23 C．5 或 23 D．7 或 23 解析：容易知道(5,0)与(－5,0)是给出双曲线的焦点，P 是双 曲线上的点，直接从定义入手．设所求的距离为 d，则由双曲线 的定义可得：|d－15|＝2a＝8⇒d＝7 或 23.
AB 的方程为 y＝x＋1，
因此 M 点的坐标为12，23， F→M＝－32，32. 同理可得F→N＝－32，－32. 因此F→M·F→N＝－322＋32×－32＝0 综上F→M·F→N＝0，即 FM⊥FN. 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F.
的范围变化值需探究；
(3)运用不等式知识转化为 a、b、c 的齐次式是关键．
错源：没有考虑根的判别式 例 5：已知双曲线 x2－y22＝1，问过点 A(1,1)是否存在直线 l 与双曲线交于 P、Q 两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在求 出直线 l 的方程，若不存在请说明理由．
误解分析：没有考虑根的判别式，导致出错．
y2 9
Hale Waihona Puke －2x72 ＝1D．以上都不对
3．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 26，则双曲 线的渐近线方程为( C )
A．y＝±2x B．y＝± 2x
C．y＝±
2 2x
D．y＝±12x
4．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 x
＋2y＝0，则双曲线的离心率 e 的值为( A )
正解：设符合题意的直线 l 存在，并设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

双曲线及其标准方程课件

双曲线及其标准方程课件

音乐艺术
双曲线在音乐艺术中用于 创作优美的音乐旋律和和 声，特别是在处理音高和 音程时。
交通工程
双曲线在交通工程中用于 设计道路和轨道，特别是 在处理弯道和交叉口时。
04
双曲线的图像绘制
使用数学软件绘制双曲线
使用Ge双曲 线。用户只需在软件中输入双曲线的标准方程，即可自动生 成对应的双曲线图像。
05
双曲线的性质与方程 的关联
双曲线的性质与标准方程的关系
焦点距离
双曲线的标准方程中的系数与焦 点距离有关，决定了双曲线的开
口大小和方向。
渐近线
双曲线的标准方程中的系数决定了 渐近线的斜率和截距，反映了双曲 线的形状和位置。
离心率
双曲线的标准方程中的系数与离心 率有关，离心率决定了双曲线的开 口程度和形状。
推导结果
01
双曲线的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
-
frac{y^2}{b^2} = 1$。
02
其中$a > 0, b > 0$，且满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
推导结论
双曲线是一种特殊的二次曲线，其标 准方程反映了双曲线的几何特性。
双曲线的焦点到曲线上任意一点的距 离之差为常数，这个常数等于两焦点 之间的距离的一半。
绘制双曲线
在工具箱中选择“双曲线”工具，然 后在绘图区域单击并拖动鼠标，即可 绘制出双曲线。用户可以根据需要调 整双曲线的参数和位置。
使用手工绘制双曲线
准备工具
准备一张纸、一支笔和一把直尺。
绘制过程
首先在纸上确定双曲线的中心和焦点，然后使用直尺和笔绘制出双曲线的渐近线。接着，使用笔和直尺在纸上绘 制出双曲线的上半部分。最后，使用对称性画出双曲线的下半部分。这种方法虽然比较传统，但对于理解双曲线 的几何意义非常有帮助。

双曲线的简单性质课件ppt课件

双曲线的简单性质课件ppt课件

04 双曲线的标准方程的推导
推导过程
设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 根据双曲线的定义，点$P$到两 个焦点的距离之差为常数，即 $2a$。
利用距离公式和双曲线的定义， 可以得到点$P$到两个焦点的距 离分别为$sqrt{(x+a)^2+y^2}$ 和$sqrt{(x-a)^2+y^2}$。
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双 曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的 交点，也是双曲线离准线 最远的点。
比例常数。
性质
双曲线的焦点到任意一点的距离之 差等于常数2a，即|PF1| - |PF2| = 2a。
应用
通过焦点可以计算出双曲线的离心 率和准线方程。
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记作2c。
性质
焦距与半主轴长a和半次轴长b有 关，关系为c^2 = a^2 + b^2。
应用
通过焦距可以计算出双曲线的离 心率和准线方程。
双曲线的简单性质课件ppt课件
目录
• 双曲线的定义与标准方程 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的焦点与焦距 • 双曲线的标准方程的推导 • 双曲线的应用
01 双曲线的定义与标准方程
定义
总结词
双曲线是由两个无限延伸的分支组成的，其形状类似于开口 的抛物线。

双曲线及其标准方程课件

双曲线及其标准方程ppt 课件
欢迎来到本次ppt课件，将带您深入了解双曲线及其标准方程。让我们一起探 索这个有趣而美丽的数学概念！
什么是双曲线？
双曲线是数学中的一种曲线，它的形状类似于一个张开的双金属圆弧。它具有很多独特的特性和 性质。
图形特征
形状
双曲线的主轴长度大于副轴 长度，呈现出独特的开口形 状。
双曲线的图像与性质
焦点与准线
双曲线有两个焦点和两条 准线，这些元素决定了曲 线的位置和形状。
双曲线的离心率
离心率是衡量曲线弯曲程 度的指标，对于双曲线而 言，离心率大于1。
双曲线的对称性
双曲线具有对称性，关于 焦点、顶点、中心和原点 都存在对称性。
双曲线的应用
天文学
双曲线在行星轨道和彗星轨道的描述中发挥着重要作用。
渐近线
双曲线具有两条渐近线，可 以帮助我们更好地理解其形 状和趋势。
顶点
双曲线有两个顶点，它们是 曲线的最近点和最远点。
双曲线的标准方程
1 横轴标准方程
x²/a² - y²/b² = 1
2 纵轴标准方程
y²/a² - x²/b² = 1
3 参数方程
x = a*cos(θ), y = b*sin(θ)
通信技术
双曲线广泛应用于卫星通信和雷达系统中。
工程建模
双曲线在工程建模、电子设计和信号处理等领Leabharlann 具有广泛的应用价值。练习题
1
问题1
找到双曲线的焦点和准线。
问题2
2
计算给定双曲线的离心率。
3
问题3
应用双曲线方程解决实际问题。
结论和要点
1 双曲线是一种独特的数学曲线。
它具有特殊的形状、标准方程和性质。

双曲线的定义及标准方程课件


双曲线的性质及应用
双曲线拥有许多重要的性质和应用。在工程、物理学和金融等领域，双曲线的概念经常被应用于解决实际问题。 让我们深入研究双曲线的性质和应用。
结论及要点
通过本课件的学习，我们回顾了双曲线的定义、标准方程、图像特征以及其 性质和应用。掌握这些知识，可以帮助我们更好地理解曲线的性质和实际应 用。谢谢大家！
双曲线的图像特征
双曲线具有许多独特的图像特征。它的形状、对称性以及与其他曲线的关系使其在几何学和应用数学中具有广 泛的应用价值。
ห้องสมุดไป่ตู้
双曲线的焦点与准线
双曲线的焦点和准线是双曲线的重要属性。它们不仅确定了双曲线的形状， 还对我们理解双曲线的性质和应用起到关键作用。
双曲线的渐近线
双曲线的渐近线是一条特殊的直线，与双曲线的曲线趋势密切相关。了解双 曲线的渐近线有助于我们对双曲线的图像和性质有更深入的理解。
双曲线的定义及标准方程 ppt课件
欢迎来到本次精彩的课程介绍！我们将一起探讨双曲线的定义、标准方程以 及其图像特征。准备好了吗？让我们开始吧！
双曲线的定义
双曲线是数学中一种重要的曲线形式。它由离心率小于1的点构成，并具有特定的几何性质。让我们深入了解 双曲线的定义和性质。
双曲线的标准方程
双曲线可以使用标准方程来表示。这种方程的形式简洁，方便我们对双曲线 进行分析和计算。让我们掌握双曲线的标准方程。

双曲线的性质课件(PPT 15页)


y
B2
A1 F1 O
F2 A2
x
B1
y C3C2 C1
O
x
焦点在x轴上的双曲线图像
y 渐进线方程： b x a
Y x2 y2 1 a2 b2
B2
F1
A1
A2 F2 X B1
离心率对双曲线形状的影响
焦点在y轴上的双曲线图
像
Y
y2 a2
x2 b2
1
F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
2、对称性：关于x轴，y轴，
原点对称。 3、顶点 A1(-a,0),A2(a,0)
F1 A1 O
A2 F2
x
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
B1
|A1A2|=2ca,|B1B2|=2b 5、离心率：e= a
根据以上几何性质能够
根据以上几何性质能否
较准确地画出椭圆的图形？ 较准确地画出双曲线的图形呢？
双曲线标准方程：y 2 x 2 1 双曲线性质： a 2 b2
Y
1、范围：y≥a或y≤-a
F2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
A2
3、顶点 A1（0，-a），A2（0，a）
4、轴：实轴 A1A2 ; 虚轴 B1B2 B1
5、渐近线方程： y a x
o
b
6、离心率：e=c/a
A1
F2
B2 X
Y
F1
B2
F’1 A1 o
B1
X
A2 F’2
F2
证明:(1)设已知双曲线的方程是:
x2 a2
y2 b2
1

《双曲线方程》课件

解决与双曲线相关的几何问题
双曲线方程在解决与双曲线相关的几何问题中发挥了重要作用，如求双曲线的交点、判断点是否在双曲线上等。
在物理学中的应用
描述光和声的传播路径
在物理学中，双曲线方程可以用来描述光和声波的传播路径，特别是在处理折 射和反射等问题时。
研究行星和卫星的运动轨迹
在天文学中，双曲线方程可以用来描述行星和卫星的逃逸轨道，即它们的运动 轨迹在离开引力场时的轨迹。
几何法
通过几何图形，利用双曲线的性质和定义，求解出未知数。
参数法
引入参数，将双曲线方程化为参数方程，从而求解出未知数。
双曲线方程在实际问题中的应用案例
光学问题
双曲线方程可以用于描述光的反射和折射规律，解决 光学问题。
物理问题
双曲线方程可以用于描述物体的运动轨迹，解决物理 问题。
工程问题
双曲线方程可以用于描述机械运动、振动等现象，解 决工程问题。
与双曲线几何意义的联系与区别
联系
双曲线方程描述了双曲线的几何形状，包括 其分支、焦点和渐近线等。
区别
双曲线方程是代数形式，而双曲线的几何意 义则是直观表现。通过对方程的分析可以得 出双曲线的几何性质，如离心率、实轴和虚 轴等。
05
双曲线方程的扩展知识
双曲线方程的变形与转化
参数方程与直角坐标方程的转换
双曲线方程
• 双曲线方程的概述 • 双曲线方程的推导 • 双曲线方程的应用 • 双曲线方程与其他知识点的联系 • 双曲线方程的扩展知识
01
双曲线方程的概述
双曲线的定义
定义
双曲线是一种特殊的二次曲线，它由 一个固定的点（称为焦点）和一条固 定的直线（称为准线）的距离限制形 成。
描述
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上 页
两条射线
下
页 3、若常数2a＞ ︱ F1F2 ︱轨迹是什么？
小
结
结
没有轨迹
束
动 1、建系设点。
画
音 设M（x , y）,双曲线的焦距
乐
为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
首 常数=2a
页
F1
y
M
o F2 x
上 页
2,双曲线就是集合：
下
页 P= {M ||MF1 | - | MF2|| = 2a }
小 结
结 束
定义
动 画
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
音 乐
图象
首 页
上 页
··· y M
F1 oF2 x
y
·F2
M
· o
x
·F1
下 页
方程
小 结
x2 y2 a2 b2 1
y2 x2 a2 b2 1
结 束
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c,0)
F(0, ± c)
a2=b2+c2
结 束
动 画
音 乐
首 页
上 页
下 页
小 结
结 束
M点运动时，M点满足什么条件？
动 画
①如图(A)，当 |MF1|>|MF2| 时
音 乐
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，当 |MF1|<|MF2| 时
首
|MF2|-|MF1|=2a
页 由①②可得：
上 页
| |MF1|-|MF2| | = 2a
F(0,±5)
16 9
9 16
例1, 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，
动 画
双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值
音 乐
等于6，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在 x 轴2 y2
上 页
a2 b2 1 (a 0, b 0)
下 （差的绝对值）
页
小 上面 两条合起来叫做双曲线
结
结 束
分析：2a与|F1F2| 的大小关系
2a< |F1F2|
动
双曲线的定义
画
音 乐
平面内与 两定点 F1、F2
y
M
的距离的_差__的__绝__对__值__
首
F1 o F2 x
页 上
为_常__数__2_a____(小__于__|_F_1_F_2_|)_
首
页 上
解：∵
|
|PF1|
-
|PF2|
|
=
6
P
页
下 页
∴ | 10 - |PF2| | = 6
小
结
结 束
∴ |PF2| =4或16
动
如果方程
x2
y2

1
画
2m m1
音 乐
表示双曲线，求m的范围
解:（2+m)(m+1)>0，∴m<-2或m>-1
首 页
变式1：上述方程表示椭圆时，求m的范围
上
页 变式2: 上述方程表示焦点在y轴的双曲线时，
下
页 叫做双曲线的标准方程
小
结 它所表示的双曲线的焦点在 x 轴上，
结
束 焦点是F1(-c,0),F2(c,0)，这里 c2=a2+b2
? 想一想
动 画
音 焦点在y轴上的双曲线
乐
的标准方程是：
首 页
y2 x2
上
1
页 下
a2 b2
页
小 结
（a>0 b>0）
结 束
y
动 x2 y2
画 a2 b2 1
M
音
乐
F1 o F2 x
F ( ±c, 0)
y2 a2

x2 b2
1
F(0, ± c)
首
页 问题：如何判断焦点在哪个轴上？
上
页
练习：写出以下双曲线的焦点坐标
下
页 小
x2 y2 1, 1
2,
x2 y2 1
F(±5,0)
结
16 9
9 16
结 束
3, y2 x2 1
4,
y2 x2 1
下 页
求m的范围。
小
结 变式3 : 上述方程表示焦点在x轴的椭圆时，
结 束
求m的范围。
动
画
音 乐
• 证明椭圆
x2 y2 25 + 9 = 1
与双曲线x2-15y2=15的焦点相同
首 页
上 页
下 页
小 结
结 束
定义
动 画
音 乐
| |MF1|-|MF2| | =2a（2a<|F1F2|）
y
M
图象
首 页
动 画
音 乐
首 页
y
上
M
页
下
页
F1
o
F2
x
小
结
结 束
南康中学 周海钰
1. 什么叫做椭圆？
动 画
平面内与两定点F1、F2 (|F1F2|=2c)的距离的 和
音 乐
等于常数2a ( 2a>|F1F2|=2c>0)的点的轨迹
首
Y Mx, y
页
上 页
O
下 页
F1 c, 0
F2 c, 0 X
页
下
的点M的轨迹 叫做双曲线。
页
小 结
其中两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点
结 束
|F1F2|=2c 叫做焦距
注意：在双曲线定义中必须有条件 2c >2a
.
动 画
音
1、平面内与两定点F1，F2的距离的差等于常 数（小于 ︱F1F2 ︱ ）的点的轨迹是什么？
乐
双曲线的一支
首 页
2、若常数2a= ︱ F1F2 ︱轨迹是什么？
小 结
结 束
即
(x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
化简可得：
y
动
画 (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2)
音
乐 ∵c＞a，∴c2 ＞a2
令 (c2-a2)=b2 (b>0)
M
F1 o F2 x
首 页
上 页
得：
x2 y2 a2 b2 1
(a 0, b 0)
下 页
∵ 2a = 6, 2c =10
∴ a = 3, c = 5
小 结
∴ b2 = 52-32 =16
结 束
x2 y2 所以所求双曲线的标准方程为： 1
9 16
x2
例2:双曲线的标准方程为：
y2
1
动
9 16
画
音 乐
焦点为F1 , F2。 如果双曲线上有一点
Ｐ， 满足|ＰF1|=10, 则|ＰF2|=_4_或___1_6_
F1 o F2 x
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方程
小
结
x2 y2 a2 b2 1
y2 x2 a2 b2 1
结 束
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
动 画
音
乐
谢
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小 结
结 束
谢
1. 什么叫做椭圆？
动 画
平面内与两定点F1、F2 (|F1F2|=2c)的距离的 和
音 乐
等于常数2a ( 2a>|F1F2|=2c>0)的点的轨迹
Y Mx, y
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O
上
F1 c, 0
F2 c, 0 X
页 引入问题：
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平面内与 两定点F1、F2 的距离的 差
小
结 等于常数 的点的轨迹是什么呢,方程又是什么呢？